Risco Sistêmico e Grandes Desvios

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Risco Sistˆ

emico e Grandes Desvios

Rafael Jorge Pereira

Rio de Janeiro 2014

(2)

Rafael Jorge Pereira

Risco Sistˆemico e Grandes Desvios

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Orientador:

Maria Eul´alia Vares

Departamento de M´etodos Estat´ısticos Instituto de Matem´atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(3)

Folha de exame

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Banca examinadora:

Maria Eul´alia Vares

Instituto de Matem´atica - UFRJ

Glauco Valle da Silva Coelho Instituto de Matem´atica - UFRJ

Valentin Sisko

(4)

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por sua infinita gra¸ca e por sempre me cercar de pessoas incr´ıveis e brilhantes, a minha orientadora Maria Eulália por todo o apoio, dedica¸cão, incentivo e por sua infinita paciência. Agrade¸co a minha fam´ılia que com muito amor é sempre muito generosa e compreensiva nas horas em que mais preciso, a todo corpo docente pelo apoio e credibilidade, em espec´ıfico, aos conselhos da Alexandra M. Schmidt nas aulas de inferência durante minha gradua¸cão pois este trabalho é fruto dos seus conselhos. Agrade¸co a cada membro da minha turma de mestrado pela contribui¸cão direta ou indireta neste trabalho, em espec´ıfico, aos amigos Eduardo Ferioli e Fernando Aragão. Enfim, a todos os amigos muito obrigado.

(6)

Resumo

Um dos principais problemas da teoria de processos estocásticos é descrever o comportamento de um sistema composto por um grande número de componentes interagindo entre si. Este é um ensaio baseado no artigo de J. Garnier, G. Papanicolaou e T. Yang [9] que estuda o risco sistêmico em um modelo de difusões interagentes do tipo campo médio, que no limite macroscópico apresenta duas regiões de equil´ıbrio estável.

O objetivo desta disserta¸cão é estudar o modelo de difusões interagentes proposto, analisando a solu¸cão do modelo, a rela¸cão entre seus parâmetros e os grandes desvios com respeito a média emp´ırica do sistema. Além disso, vamos propor uma extensão do modelo, que separa o sistema em dois grupos, de modo que, a taxa de reversão à média de cada componente com seu própio grupo seja maior que a taxa de reversão à média de cada componente com o grupo vizinho.

(7)

Abstract

One of main problems of stochastic system theory is to describe the behaviour of a system comprised of a large number of interacting subsystems. This is an essay based on the article by J. Garnier, G. Papanicolaou and T. Yang [9] proposed in analysis of systemic risk in a mean field type model of interacting diffusions which exhibits two stable equilibria states in the macroscopic limit.

The aim of this work is to study the proposed model of interacting diffusions, analyzing model solution, the relationship between the parameters and the large deviations with respect to the average empirical of system. Moreover, we propose an extension of the model which separates the system into two groups. The mean reversion rate of each component with respect to its own group is greater than the mean reversion rate of each component with the other group.

(8)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Processos Estoc´asticos . . . 3

1.1.1 Propriedades do Movimento Browniano . . . 5

1.2 Integra¸c˜ao Estoc´astica . . . 6

1.3 Equa¸c˜oes Diferenciais Estoc´asticas . . . 10

2 Estudo do modelo 15 2.1 O Modelo . . . 15

2.2 Modelo Simplificado . . . 16

2.3 An´alise do Modelo . . . 22

2.3.1 Limite de Campo M´edio . . . 23

2.4 Modelo Heterogˆeneo . . . 36

2.5 Modelo de Grupos . . . 38

2.5.1 An´alise do Modelo de Grupos . . . 38

3 Grandes Desvios e Simula¸c˜oes 41 3.1 Grandes Desvios . . . 41

3.2 Grandes Desvios via Campo M´edio . . . 42

3.3 Simula¸c˜oes N´umericas . . . 45

3.3.1 Modelo Simplificado . . . 45

3.3.2 Modelo Principal . . . 48

3.3.3 Modelo de Grupos . . . 50

Apêndice A: 53 3.4 Código da Simula¸cão em Matlab . . . 53

(9)

Lista de Figuras

1.1 σ = 1, θ = 1, µ = 0, N = 10. . . 12 1.2 σ = 1, θ = 6, µ = 0, N = 10. . . 13 1.3 σ = 1, θ = 1, µ = −1, N = 50. . . 13 1.4 σ = 1, θ = 6, µ = −1, N = 50. . . 14 1.5 σ = 1, θ = 6, µ = 1, N = 10. . . 14 3.1 σ = 1, θ = 1, N = 10, h = 0.1. . . 46 3.2 σ = 1, θ = 6, N = 10, h = 0.1. . . 46 3.3 σ = 1, θ = 1, N = 50, h = 0.1. . . 47 3.4 σ = 1, θ = 6, N = 50, h = 0.1. . . 47 3.5 σ = 1, θ = 6, N = 100, h = 0.1. . . 48 3.6 σ = 1, θ = 1.5, N = 100, h = 0.1. . . 49 3.7 σ = 1, θ = 6, N = 100, h = 0.1. . . 49 3.8 σ = 1, θ = 1.5, N = 100, h = 0.1. . . 50 3.9 σ = 1, θ = 6, N = 100, h = 0.1. . . 50 3.10 σ = 1, θ = 6, ¯θ = 1.5, N = 100, h = 0.1. . . 51 3.11 σ = 1, θ = 6, ¯θ = 0.5, N = 100, h = 0.1. . . 51 3.12 σ = 1, θ = 6, ¯θ = 1.5, N = 100, h = 0.1. . . 52 3.13 σ = 1, θ = 6, ¯θ = 0.5N = 100, h = 0.1. . . 52

(10)

Introdu¸

c˜

ao

Risco sistêmico é o risco que um sistema composto por um grande número de componentes interconectados possui de que grande parte dos componentes falhem ao mesmo tempo ou de modo sucessivo causando a falência de todo sistema. E uma´ caracter´ıstica conjunta de sistemas interconectados, de modo que, avaliar o risco de um ´

unico componente n˜ao permite dizer nada sobre o risco sistˆemico.

No mercado financeiro, em geral, esse evento ocorre quando o mau desempenho de uma ou mais institui¸cões financeiras afeta o desempenho dos demais agentes interconectados gerando uma rea¸cão em cadeia que afeta todo sistema e o leva ao colapso. Nesta disserta¸cão vamos discutir o modelo proposto por J. Garnier, G. Papanicolaou e T. Yang [9] na avalia¸cão do risco sistêmico em um sistema de difusões interagentes composto por um grande número de componentes. As componentes deste modelo possuem trajetórias cont´ınuas, duas regiões de equil´ıbrio que no contexto do mercado financeiro são denotadas por região normal e região de falha e interagem entre si via campo médio, cada componente interage com a média das demais. Associado a essas intera¸cões definimos um parâmetro de reversão à média denotado por θ que determina o grau no qual cada componente é influenciado pela média do conjunto. Além disso, as componentes deste sistema movem-se sob a influência de um campo (for¸ca) dado pela derivada do potencial V (y) = 1₄y4−1

2y

2_{. O potencial V (y) ´}_{e modulado por um parˆ}_ametro

de estabiliza¸cão h e cada componente sofre ainda a a¸cão de um ru´ıdo aleatório. Note que a fun¸cão V (y) possui uma estrutura biestável que garante um comportamento metaestável do sistema em torno da região “normal” {+1} e da região de “falha” {−1} pontos de m´ınimo dessa fun¸cão. Isto é, as componentes do sistema tendem a permanecer em torno do {+1} ou {−1}.

(11)

O objetivo deste trabalho é analisar o comportamento do sistema para um número grande de componentes, mais especificamente, queremos calcular a probabilidade de ocorrer um evento sistêmico, isto é, um evento no qual grande parte do sistema transita de uma região considerada normal para uma região de falha. O principal interesse será calcular a probabilidade de transi¸cão da média emp´ırica de uma vizinha¸ca de {+1} para uma vizinhan¸ca {−1} (e vice-versa). No entanto, o modelo adotado na descri¸cão do sistema possui um termo não linear que não nos permite calcular a média emp´ırica de forma direta e por esse motivo, vamos analisar o processo a valores medida e expressar a média emp´ırica em fun¸cão da medida emp´ırica [3].

Neste contexto, pode - se interpretar risco sistêmico como um grande desvio da média emp´ırica do sistema cuja probabilidade pode ser determinada a partir dos resultados obtidos no artigo de Dawson e Gartner [5]. Ademais, será mostrado que ao contrário do que podemos esperar esta probabilidade independe da taxa de reversão à média θ.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Processos Estoc´

asticos

Um processo estoc´astico {Xt; t ≥ 0} ´e uma estrutura constitu´ıda de um espa¸co de

probabilidade (Ω,F , P ), um conjunto de ´ındices definidos em [0, ∞), e uma aplica¸cão X : [0, ∞) × Ω → R, tal que para cada t ∈ [0, ∞), a fun¸cão X(t, .) : Ω → R é uma variável aleatória, isto é, {w : X(t, w) ∈ Γ} ∈ F para todo Γ ∈ B(R). Ou seja, um processo estocástico é uma cole¸cão de variáveis aleatórias definidas em um espa¸co de probabilidade (Ω,F , P ) indexadas por t ∈ [0, ∞), convenientemente interpretado como o tempo.

Diremos que o processo é mensurável se esta fun¸cão for conjuntamente mensurável, ou seja, B([0, ∞) × F )-mensurável. Para cada ω ∈ Ω, a fun¸cão X(., ω) : [0, ∞) → R é chamada trajetória amostral, ou realiza¸cão do processo em ω. Nesta disserta¸cão, vamos tratar de uma classe de processos estocásticos que possuem trajetórias cont´ınuas em t.

Define-se Ft = σ(X(s, .) : s 6 t) como a σ-´algebra gerada pelo processo at´e o

instante t, ou seja, (Ft)t≥0 é uma filtra¸cão, isto é, Ft⊂Ft+s ∀ t, s ∈ [0, ∞). E dizemos

que o processo X = (Xt)t≥0 ´e (Ft) - adaptado se Xt forFt - mensur´avel para todo t.

Desta forma, dados s, t ∈ [0, +∞),

(13)

´

e a lei da variável aleatória X(t+s) condicionada ao processo até o instante t, (X(s, .))_s6t.

A seguir vamos definir uma classe de processos estocásticos que será muito utilizada nesta disserta¸cão, conhecido como movimento browniano ou processo de Wiener.

Defini¸cão 1 Uma cole¸cão de variáveis aleatórias (Bt, 0 ≤ t ≤ T ) definida no espa¸co de

probabilidade (Ω,F , P ) ´e chamado de movimento browniano padr˜ao em R, se: (a) P (B0 = 0) = 1;

(b) Para cada m ≥ 1, cada 0 < t0 < t1 < . . . < tm ≤ T , Bti+1 − Bti, 0 ≤ i ≤ m − 1

são variáveis aleatórias independentes e Bti+1−Bti possui distribui¸cão normal com média

zero e variˆancia (ti+1− ti), ou seja, de densidade

1 p2π(ti+1− ti) exp − 1 2(ti+1− ti) y2 , _{y ∈ R;}

(c) Para cada ω ∈ Ω, a trajet´oria (caminho) amostral t → Bt(ω) ´e cont´ınua em [0, T ].

Observe que as condi¸cões (a) e (b) da defini¸cão anterior determinam as distribui¸cões finito dimensionais do processo. Tal defini¸cão pode ser substitu´ıda por:

(b)0 Dado m ≥ 1, e 0 < t0 < t1 < . . . < tm ≤ T , a distribui¸c˜ao de (Bt1, . . . , Btm),

denotada por pt1,...,tm, ´e a distribui¸c˜ao normal em R

m _{com m´}_{edia zero e matriz de}

covariˆancia Σ := ((ti∧ tj)i,j), i.e

pt1,...,tm(dx) = 1 (2π)m/2_(detΣ)1/2exp −1 2hx, Σ −1 xi dx,

onde h., .i denota o produto interno euclidiano usual em Rd_.

A defini¸cão é estendida a (Bt)0≤t≤∞ de forma usual [13] (Karatzas, Cap´ıtulo 2, página

47). Observe que para 0 = t0 < t1 < . . . < tm < ∞, os incrementos {Bti − Bti−1}

i=m i=1

são independentes e a distribui¸cão de Bti − Bti−1 depende de ti e ti−1 somente através

da diferen¸ca ti − ti−1, ou seja, Bti − Bti−1 possui distribui¸c˜ao normal com m´eia zero e

(14)

1.1.1 Propriedades do Movimento Browniano

O movimento browniano da maneira que foi definido possui certas propriedades tais como o princ´ıpio da reflex˜ao e a propriedade de martingalas.

(1) Princ´ıpio da reflex˜ao. Dado a > 0 e seja Ta= inf{t : Bt= a}.

P (Ta< t) = 2P (Bt > a).

Esta propriedade decorre da propriedade forte de Markov (ver defini¸c˜ao 6.2 p´agina 81 [13]).

Demonstra¸c˜ao 1 Observe que se Bs passa pelo ponto “a” em algum instante de tempo

s < t, pela propriedade forte de Markov (ver defini¸cão 6.2 página 81 [13]), temos que Bt− BTa independe do que ocorreu até o tempo Ta. Pela simetria da normal e pelo fato

de P (Bu = a) = 0 para u > 0, temos

P (Ta< t) = P (Ta < t, Bt> a) + P (Ta< t, Bt < a)

= 2P (Ta < t, Bt> a).

Usando o fato de {Bt> a} ⊂ {Ta< t}, podemos reescrever essa equa¸c˜ao como

P (Ta < t) = 2P (Ta< t, Bt> a) = 2P (Bt> a).

C.Q.D.

Antes de enunciar a pr´oxima propriedade, vamos definir o que ´e uma martingala.

Defini¸c˜ao 2 Dados um espa¸co de probabilidade (Ω,F , P ), uma filtra¸c˜ao {Ft; t ≥ 0} e

um processo estoc´astico cont´ınuo (Xt), dizemos que (Xt) ´e uma martingala com respeito

a (Ft) se e somente se:

(i) (Xt) ´e (Ft) − adaptado, i.e, Ft− mensur´avel ∀ t,

(15)

(2) Propriedade de Martingalas. O movimento browniano ´e uma martingala:

E[Bt|FsB] = Bs ∀ 0 ≤ s ≤ t. q.c.

onde (F_sB) é a filtra¸cão gerada pelo movimento browniano, isto é, para cada s, F_tB = σ(Bs: 0 ≤ s ≤ t) é a sigma álgebra gerada até o tempo s.

Demonstra¸c˜ao 2 Sabemos que se s < t, Bt − Bs ´e independente de FsB e possui

distribui¸cão normal com média zero e variância (t − s). Portanto,

E[Bt|FsB] = E[(Bt− Bs) + Bs|FsB] = E[Bt− Bs|FsB] + Bs

= 0 + Bs = Bs ∀ 0 ≤ s ≤ t, q.c.

1.2 Integra¸

c˜

ao Estoc´

astica

Nesta se¸cão vamos resumir os conceitos básicos de integra¸cão estocástica no sentido de Itô. Boas referências para uma abordagem mais detalhada de integra¸cão estocástica tanto no caso geral quanto no caso espec´ıfico do movimento browniano podem ser encontradas em Durrett [4] e Karatzas [13].

O movimento browniano desempenha um papel fundamental na constru¸cão de uma importante classe de processos de Markov em R, também chamado de processos de difusão. Objetivamente falando, estes processos correspondem a processos de Markov com trajetórias cont´ınuas que podem ser descritas em termos de suas caracter´ısticas locais. A integra¸cão estocástica R₀tϕ(s)dBs é uma ferramenta fundamental na descri¸cão

de tais processos. Note que, como as trajetórias do movimento browniano são de varia¸cão ilimitada no intervalo [0, t] (ver Teorema 9.18, página 110 [13]), não podemos interpretar essa integral no sentido de Stieltjes. Também sabemos que com probabilidade um a fun¸cão t → Bt(ω) não possui derivada. Portanto, a integral de “

Rt

0 ϕ(s)dBs” n˜ao pode

(16)

No entanto, podemos definir essa integral para uma determinada classe de fun¸cões fazendo uso da natureza estocástica do movimento browniano. Definida inicialmente por K. Itô, essa integral ficou conhecida como a integral estocástica de Itô. Detalhamos a seguir a constru¸cão da integral de Itô.

Seja (Bt) um movimento browniano padr˜ao unidimensional definido no espa¸co de

probabilidade (Ω,F , P ) e seja {Ft, t ≥ 0} uma filtra¸c˜ao sobre esse espa¸co tal que:

(i) F0 cont´em todos os conjuntos de probabilidade nula, para F∞, onde

F∞:= σ(∪t≥0Ft) é a menor σ-álgebra de F que contém todos os Ft.

(ii) F_tB ⊂Ft para cada t, onde FtB = σ(Bs : 0 ≤ s ≤ t).

(iii) E[Bt− Bs|Fs] = 0 q.c., E[(Bt− Bs)2|Fs] = t − s q.c. para 0 ≤ s ≤ t.

O próximo passo é definir a classe dos ‘integrandos’. Uma vez definida a filtra¸cão com as propriedades acima, diremos que o processo é adaptado ou, (Ft)-adaptado.

Seja T > 0 fixo e H0,T definido a seguir

H0,T =

ϕ : [0, T ] × Ω → R, (B[0, T ] × F∞) − mensur´avel, adaptado,

e |||ϕ|||2 0,T = E Z T 0 |ϕs|2ds < +∞ .

Dizemos que dois processos quaisquer ϕ e ψ s˜ao indistingu´ıveis se |||ϕ − ψ|||2

0,T = 0.

Ademais, H0,T pode ser visto como um subespa¸co de L2([0, T ] × Ω,B[0, T ] × F∞) onde,

|||.|||0,T ´e uma restri¸c˜ao da norma L2 no espa¸co de medida produto (Lebesgue × P ).

(17)

de equivalˆencia dos integrandos definida anteriormente).

Seja S o subespa¸co dos processos simples (e previs´ıveis) em H0,T

ϕ(t, .) = ξ0(.)I[0,t1](t) + Σ

m−1

i=1 ξi(.)I(ti,ti+1](t), (1.1)

onde, 0 = t0 < . . . < tm = T é uma parti¸cão finita (determin´ıstica), ξiéFti−mensurável

e limitada, para i = 1, . . . , m, e IB denota a fun¸c˜ao indicadora do conjunto B.

Para ϕ ∈ S, definimos o processo (ϕ ◦ B)t, 0 ≤ t ≤ T , por

(ϕ ◦ B)t= Σi

∗₋₁

i=1 ξi(Bti+1 − Bti) + ξi∗(Bt− Bti∗),

onde i∗ = i∗(t) ´e dado por ti∗ ≤ t ≤ t_i∗₊₁. Equivalentemente,

(ϕ ◦ B)t= Σm−1i=0 ξi(Bt∧ti+1 − Bt∧ti), (1.2)

para 0 ≤ t ≤ T . As propriedades a seguir podem ser verificadas para todo ϕ, ˜ϕ ∈ S: (a) As trajet´orias t → (ϕ ◦ B)t s˜ao cont´ınuas;

(b) ((cϕ + ˜c ˜ϕ) ◦ B)t= c(ϕ ◦ B)t+ ˜c( ˜ϕ ◦ B)t q.c., para c, ˜c ∈ R;

(c) (ϕ ◦ B)t´e uma (Ft) − martingala;

(d) (ϕ ◦ B)t( ˜ϕ ◦ B)t−

Rt

0 ϕuϕ˜udu ´e uma (Ft) − martingala. Em particular,

E(ϕ ◦ B)2_T = |||ϕ|||2_0,T. (1.3)

Inicialmente, esta integral ´e definida para uma classe de processos simples (e previs´ıveis) em S. No entanto, nosso objetivo ´e expandir a integral para o espa¸co H0,T.

Essa expans˜ao pode ser feita baseando-se no seguinte lema (ver Lema 2.18 [18]). Lema 1.1 S ´e denso em H0,T para |||.|||20,T.

(18)

Note que, estamos trabalhando com martingalas a tempo cont´ınuo e pela desigualdade cl´assica de Kolmogorov (que pode ser estendida do caso discreto para o caso cont´ınuo) [13] temos que, dado ϕ, ˜ϕ ∈ S e y > 0,

P sup 0≤t≤T |(ϕ ◦ B)t− ( ˜ϕ ◦ B)t| ≥ y ≤ 1 y2|||ϕ − ˜ϕ||| 2 0,T. (1.4)

Pelo Lema 1.1, dado ϕ ∈ H0,T e n ≥ 1 podemos tomar ϕ(n) ∈ S tal que |||ϕ(n)−

ϕ|||0,T ≤ 1/n3 e pela desigualdade (1.4) temos que

P sup 0≤t≤T (ϕn◦ B)t− (ϕ(n+1)◦ B)t ≥ 1 n2 ≤ n4 2 n3 2 = 4 n2 (1.5)

Seja An o evento do lado esquerdo da equa¸c˜ao (1.5). Se aplicamos o lema de

Borel-Cantelli [11], temos que a probabilidade P (An infinitas vezes) = 0. Podemos definir

N = [Aninfinitas vezes] e ent˜ao, P (N ) = 0 de modo que N ∈F0. Em Ω \ N a sequˆencia

(ϕ(n)_{◦ B)}

t(ω) converge uniformemente em t. Portanto, podemos definir

(ϕ ◦ B)t(ω) =    limn→∞(ϕ(n)◦ B)t(ω) se ω /∈ N, 0 se ω ∈ N.

Devido à convergência uniforme segue que a fun¸cao t → (ϕ ◦ B)t(ω) é cont´ınua, para

cada ω. Além disso, (ϕ ◦ B)t(ω) é (Ft)-mensurável e para cada t,

lim

n→∞(ϕ

(n)_{◦ B)}

t= (ϕ ◦ B)t na norma L2.

Observe que o surgimento de ds na defini¸c˜ao de |||.|||2_0,T ´e devido ao fato de (Bt)2− t

(19)

geral de martingalas a tempo cont´ınuo. No caso geral a classe de integrandos ´e mais restrita.

Seja ϕ ∈ H0,T. A ideia da prova do Lemma 1.1 ´e mostrar a existˆencia de ϕ(k) ∈ S

k ≥ 1, tal que lim k→∞ Z T 0 Eϕs− ϕks 2 ds = 0, (1.6)

onde assumimos que ϕ ´e limitada e que ϕt= 0 para t ≤ 0.

Defini¸c˜ao 3 Dado T > 0 e ϕ ∈ H0,T, o processo (ϕ ◦ Bt : 0 ≤ t ≤ T ) ´e chamado de

integral estocástica de Itô da fun¸cão ϕ. A nota¸cão mais usual é dada por R₀T ϕsdBs.

1.3 Equa¸

c˜

oes Diferenciais Estoc´

asticas

Nesta se¸cão vamos introduzir os conceitos básicos da teoria de equa¸cões diferenciais estocásticas necessários para o desenvolvimento desta disserta¸cão. Uma boa referência é Durrett [4] cápitulo 5.

De modo geral, as equa¸cões diferenciais estocásticas são representadas da maneira a seguir:

dx(t) = b(x(t))dt + σ(x(t))dB(t), t ≥ 0; x(0) = 0.

Em geral, dizemos que uma equa¸cão diferencial estocástica possui solu¸cão forte no sentido de Itô se tivermos um processo (xs) que com probabilidade um satisfa¸ca a seguinte

(20)

x(t) = Z t 0 b(x(s))ds + Z t 0 σ(x(s))dB(s), ∀ t ≥ 0.

Defini¸cão 4 Um processo estocástico {x(t) : t ≥ 0} é chamado de um processo de Ornstein-Uhlenbeck [17] se satisfaz a seguinte equa¸cão diferencial estocástica:

dx(t) = −θ(x(t) − µ)dt + σdB(t) (1.7)

As constantes paramétricas são: • θ > 0 é a taxa de reversão à média; • µ é a média do processo;

• σ ´e a magnitude das flutua¸c˜oes do movimento browniano.

A solu¸cão exata do processo de Ornstein-Uhlenbeck com condi¸cão inicial x(0) é dada via formula de Itô, substituindo x(t) pela fun¸cão auxiliar f (x, t) = xeθt _{e integrando de}

0 a t temos:

x(t) = x(0)e−θt+ µ(1 − e−θt) + σ Z t

0

e−θ(t−s)dB(s), 0 ≤ t < ∞, (1.8)

onde x(0) ´e a condi¸c˜ao inicial.

Além do processo (x(t)) ser gaussiano e markoviano ele possui certas caracter´ısticas muito interessantes. Para uma discussão da motiva¸cão f´ısica por trás do processo de Ornstein-Uhlenbeck uma refêrencia clássica é Nelson [17]. Ademais, observe que se fixarmos um valor para média µ podemos analisar o comportamento do processo para diversos valores de θ.

Em geral, esperamos que quanto maior o parˆametro θ mais concentrado em torno da m´edia se encontra o sistema. A seguir simulamos o comportamento de N processos

(21)

independentes para diversos valores de θ.

(22)

Figura 1.2: σ = 1, θ = 6, µ = 0, N = 10.

(23)

Figura 1.4: σ = 1, θ = 6, µ = −1, N = 50.

(24)

Cap´ıtulo 2

Estudo do modelo

2.1 O Modelo

A seguir vamos analisar um modelo de difusões interangentes (proposto por [9]) composto por N componentes (agentes) que interagem entre si via campo médio. Denotaremos por xj(., .) : [0, T ] × Ω → R a trajetória (caminho) amostral de cada

componente j, de modo que, cada xj(t) interage com a m´edia ¯x(t) = _N1

PN

j=1xj(t). A

evolu¸c˜ao dinˆamica do sistema possui as seguintes caracter´ısticas:

• O sistema apresenta um comportamento metaest´avel em torno dos pontos {+1} e {−1}.

• O sistema possui um mecanismo de estabiliza¸cão. • O sistema sofre a a¸cão de um ru´ıdo aleatório.

• O sistema apresenta um parâmetro de reversão à média que determina o grau de intera¸cão de cada componente com a média do sistema.

• As condi¸c˜oes iniciais s˜ao xj(0) = 0 ∀ j = 1, . . . , N .

Um modelo que possui as caracter´ısticas desejadas, isto é, intera¸cões via campo médio e com as condi¸cões estabelecidas acima pode ser descrito matematicamente por um sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas de Itô da seguinte forma:

(25)

dxj(t) = −hU (xj(t))dt + θ(¯x(t) − xj(t))dt + σdBj(t), ∀j = 1 . . . , N, (2.1)

onde:

• U (x) = V0_{(x) = x}3_{− x ´e o campo (for¸ca) do sistema.}

• h é o parâmetro de estabiliza¸cão do sistema. • θ > 0 representa o parâmetro de reversão à média. • σ2 _{> 0 representa o coeficiente de difus˜}_ao.

• {Bj(t)}Nj=1 é uma sequência de movimentos browniano padrão e independentes.

A evolu¸cão do sistema é portanto caracterizada pelas condi¸cões iniciais (x1(0), . . . , xN(0)), pelos parâmetros (h, σ, θ) e pelo tamanho N do sistema. Nosso

objetivo é analisar a média emp´ırica ¯x(t) do conjunto através do sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas (2.1).

Observe que esse sistema possui um termo não linear dado por U (x) que dificulta a análise direta da média emp´ırica e nos conduz a analisar a medida emp´ırica do sistema, ou seja, vamos analisar processos que tomam valores no espa¸co das medidas de probabilidade M1(R).

Antes de entrar nos detalhes do modelo principal vamos analisar um modelo linear mais simples e esclarecer as principais diferen¸cas entre esses modelos, estabelecendo um paralelo entre os principais pontos de interesse do modelo principal a partir do modelo linear mais simples.

2.2 Modelo Simplificado

Nesta subse¸c˜ao vamos analisar um modelo com caracter´ısticas semelhantes ao modelo principal, por´em, com uma estrutura bem mais simples. Basicamente temos um sistema

(26)

linear difusivo onde cada componente interage com o conjunto de modo semelhante ao modelo principal, ou seja, as intera¸cões ocorrem via campo médio. No entanto, diferentemente do modelo principal que apresenta uma estrutura biestável e cujo interesse é analisar um grande desvio da média, isto é, a probabilidade de transi¸cão de uma região normal para uma região de falha, nosso objetivo será analisar a probabilidade (da média emp´ırica) de um grande número de componentes ultrapassar um determinado n´ıvel pré-estabelecido. No contexto adotado nesta disserta¸cão a probabilidade deste evento será chamada de risco sistêmico.

De modo análogo ao modelo inicialmente proposto queremos analisar este processo e determinar a probabilidade de ocorrência de um evento sistêmico. Em particular estamos interessados em analisar o decaimento de um grande número de componentes a um determinado n´ıvel “η < 0” em um intervalo de tempo finito [0, T ]. O principal objetivo desta se¸cão é analisar o risco sistêmico em um modelo linear mais simples utilizando como estat´ıstica o limite de campo médio do sistema e determinar uma estimativa de grandes desvios para este modelo.

Neste caso o sistema difusivo com intera¸cões via campo médio pode ser descrito matematicamente por um sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas de Itô da seguinte forma

dxj(t) = θ(¯x(t) − xj(t))dt + σdBj(t), j = 1, . . . , N

xj(0) = 0,

(2.2)

onde

• xj(t) representa a trajet´oria de cada componente do sistema para j = 1 . . . , N .

• θ > 0 representa o parâmetro de reversão à média. • σ2 _{> 0 representa o coeficiente de difus˜}_ao.

(27)

• {Bj(t)}Nj=1 é uma sequência de movimentos browniano padrão e independentes.

Observa¸cão: Nas simula¸cões a condi¸cão inicial utilizada é xj(0) = −1, pois note

que o interesse principal será avaliar as transi¸cões entre as regiões {+ξ} em torno de {+1} para {−ξ} em torno de {−1} e vice-versa.

Queremos analisar o risco sistêmico através da estat´ıstica ¯x(t) no limite quando N → ∞. Podemos reescrever a equa¸cão (2.2) da seguinte forma:

dxj(t) = θ " 1 N N X i=1 xi(t) − xj(t) !# dt + σdBj(t), j = 1, . . . , .

Aplicando o somat´orio em “j” e dividindo por “N ” em ambos os lados temos

d 1 N N X j=1 xj(t) ! = d σ N N X j=1 Bj(t) ! , 1 N N X j=1 xj(t) = σ N N X j=1 Bj(t).

Logo, a média emp´ırica do conjunto possui a mesma distribui¸cão da média de N movimentos brownianos independentes com coeficiente de difusão σ2_{, sendo portanto um}

movimento browniano com coeficiente de difus˜ao σ2_{/N .}

Podemos escrever (2.2) da seguinte forma

dxj(t) = θ " σ N N X i=1 Bi(t) ! − xj(t) # dt + σdBj(t), (2.3)

com solu¸c˜ao dada por

xj(t) = σ N N X i=1 Bi(t) + σe−θt Z t 0 eθsdBj(s) − σ N N X i=1 e−θt Z t 0 eθsdBi(s) (2.4)

(28)

∀ j = 1, . . . ,.

Pela lei forte dos grandes n´umeros no limite quando N → ∞ temos que 1 N N X i=1 Bi(t) → 0, q.c.

e neste caso o processo ´e an´alogo a (1.7) com µ = 0. Da´ı pode-se ver que os processos xj(t)

convergem para para processos de Ornstein - Uhlenbeck independentes para j = 1, . . .

dxj(t) = −θxj(t)dt + σdBj(t)

xj(0) = 0

cuja solu¸c˜ao ´e dada por

xj(t) = σe−θt

Z t

0

eθsdBj(s); 0 ≤ t < ∞. (2.5)

Para verificar a convergˆencia lembremos (2.4). J´a sabemos que o primeiro termo do lado direito tende a zero quase certamente e podemos ver que o terceiro converge em probabilidade e em L2 _{a zero quando N → ∞. De fato, seu valor esperado ´}_{e zero e o}

segundo momento ´e dado por " σ N N X i=1 e−θt Z t 0 eθsdBi(s) #2 ≤ σ 2 Ne −2θt e2θt 2θ .

No entanto, estamos interessados em obter aproxima¸c˜oes no c´alculo das probabilidades de “grandes desvios”, ou seja, determinar o comportamento de certos “eventos raros” (que possuem probabilidade tendendo a zero) de modo a obter estimativas mais precisas para probabilidade desses eventos, quando N → +∞.

O estudo de grandes desvios foi feito inicialmente por Cramér tratando de grandes desvios com rela¸cão à lei dos grandes números no estudo de problemas assintóticos para sequências de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas.

(29)

Posteriormente seu trabalho foi ampliado por Chernoff (1952) e se desenvolveu para diversos tipos de processos, na mecânica estat´ıstica em situa¸cões de dependência entre as variáveis aleatórias. Uma formula¸cão geral deve-se a Varadhan [21].

A análise de “grandes desvios” em situa¸cões de dependência entre as variáveis aleatórias surge naturalmente na mecânica estat´ıstica, no estudo do comportamento de propriedades macroscópicas de sistemas termodinâmicos em equil´ıbrio. No contexto do modelo apresentado nesta se¸cão o principal interesse é analisar o risco sistêmico baseado no evento " min 0≤t≤T 1 N N X j=1 xj(t) ≤ η # .

Pela simplicidade do modelo verificamos facilmente que a média emp´ırica do sistema possui a mesma distribui¸cão da média de N movimentos brownianos independentes com coeficiente de difusão σ2_{, que de fato, ´}_{e um movimento browniano com coeficiente}

de difus˜ao σ2_{/N que denotaremos por ˜}_{B. Dessa forma, podemos calcular a seguinte}

probabilidade P min 0≤t≤T σ N N X j=1 Bj(t) ≤ η ! = P min 0≤t≤T ˜ B(t) < η √ N σ ! = 2Φ η √ N σ√T ! , (2.6)

onde a última igualdade na equa¸cão (2.6) é devida ao princ´ıpio da reflexão do movimento browniano.

Queremos calcular o limite

lim N →∞− 1 N log P 0≤t≤Tmin ˜ B(t) ≤ η √ N σ ! = lim N →∞− 1 N log 2Φ η√N σ√T !

(30)

Lema 2.1 Quando x → ∞ Z +∞ x 1 √ 2πe −1 2y 2 dy ∼ x−1√1 2πe −1 2x 2 ;

mais precisamente, a seguinte desigualdade

[x−1− x−3]√1 2πe −1 2x2 < Z +∞ x 1 √ 2πe −1 2y2dy < x−1√1 2πe −1 2x2 ´

e v´alida para todo x > 0. Aplicando o Lema acima,

lim N →∞− 1 N log 2Φ η√N σ√T ! = lim N →∞− 1 N log Z η √ N σ√T −∞ 2 √ 2πe −u2 2 du ! = lim N →∞− 1 N log   2 √ 2π   e−2σ2Tη2N −η √ N σ√T     = lim N →∞− 1 N " log 2 √ 2π + log e−2σ2Tη2N − log −η √ N σ√T !# = η 2 2σ2_T. lim N →∞− 1 N log P 0≤t≤Tmin ˜ B(t) < η √ N σ ! = η 2 2σ2_T.

Portanto, a probabilidade desejada ´e dada por

P min 0≤t≤T 1 N N X j=1 xj(t) < η ! ≈ exp(−η2_N/(2σ2_{T )),} _(2.7)

o s´ımbolo 00 ≈00 _{em (2.7) deve ser interpretado como uma equivalˆ}_{encia logar´ıtmica.}

Note que a equa¸cão (2.7) não depende de θ, portanto, a probabilidade de um evento sistêmico, isto é, um evento onde ocorre a falha de grande parte ou de até mesmo todo

(31)

sistema, independe da taxa de reversão à média, ou seja, aumentar a estabilidade do sistema aumentando os valores de θ não interfere na ocorrência ou não de um evento sistêmico. Em contrapartida, quanto maior θ, mais concentrado em torno da média é o sistema, e caso ocorra um evento sistêmico maior será a quantidade de elementos que geram este evento.

Podemos ainda estar interessados em analisar a probabilidade do tempo esperado até que um grande número de componentes caia abaixo de um determinado n´ıvel η pela primeira vez, isto é, calcular a probabilidade P (τ < t) onde τ = min{t : ¯x(t) < η}. O cálculo desta probabilidade foi feito com detalhes em [14] no caso em que temos N processos de Ornstein - Uhlenbeck independentes.

A seguir vamos analisar o modelo principal e desenvolver um estudo an´alogo ao que foi feito no modelo mais simples com uma abordagem mais complexa e mais detalhada do modelo.

2.3 An´

alise do Modelo

Nesta se¸cão vamos analisar o modelo principal representado pelo seguinte sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas

dxj(t) = −hU (xj(t))dt + θ(¯x(t) − xj(t))dt + σdBj(t), j = 1, . . . N

xj(0) = 0,

(2.8)

onde:

• U (x) = V0_{(x) = x}3_{− x ´e o campo (for¸ca) do sistema.}

• h é o parâmetro de estabiliza¸cão do sistema. • θ > 0 representa o parâmetro de reversão à média. • σ2 _{> 0 representa o coeficiente de difus˜}_ao.

(32)

O principal objetivo desta se¸cão é estudar o limite (macroscópico) da distribui¸cão emp´ırica quando N → ∞. A análise deste modelo foi feita por Dawson em 1983 [3] garantindo que o mesmo está bem definido.

Vale ressaltar que a análise desse modelo será feita para valores pequenos de h, pois sendo h um parâmetro de estabiliza¸cão do sistema. Se h for grande a inclina¸cão ao redor da região de equil´ıbrio aumenta, dificultando as poss´ıveis transi¸cões de uma região estável para outra. Portanto, vamos sempre assumir h pequeno.

2.3.1 Limite de Campo M´

edio

De modo análogo ao modelo simples queremos analisar o comportamento sistêmico do processo (2.8) através da média emp´ırica ¯x(t), no entanto, essa análise não será feita de forma direta, pois o processo é não linear. Portanto, ao invés de analisar a média emp´ırica do processo precisamos analisar a medida emp´ırica deste processo no limite quando N → ∞. Antes de entrarmos nos detalhes dessa análise vamos fazer as seguintes defini¸cões:

Defini¸c˜ao 5 Seja (Ω, A) um espa¸co mensur´avel. Para x ∈ Ω definimos δx como

δx(A) =    1, se x ∈ A 0, c.c.

Dizemos que δx ´e a medida de Dirac concentrada em x.

Defini¸c˜ao 6 Seja M1(R) o conjunto de medidas de probabilidade em R, munido com a

topologia da convergˆencia fraca e C ([0, T ], M1(R)) o conjunto de fun¸c˜oes cont´ınuas em

[0, T ] que tomam valores em M1(R). Define-se a medida de probabilidade emp´ırica do

processo XN(t, dy) := _N1

PN

j=1δxj(t)(dy) de modo que XN(., .) pertence C([0, T ], M1(R)).

Diremos que XN(t, dy) converge fracamente para u(t, y)dy denotando por

XN(t, dy) → u(t, y)dy se para toda fun¸c˜ao cont´ınua e limitada f : R → R temos que

lim N →∞ Z ∞ −∞ f (y)XN(t, dy) = Z ∞ −∞ f (y)u(t, y)dy.

(33)

Consideramos sobre M1(R) a topologia da convergˆencia fraca. Esta pode ser obtida

atrav´es de uma m´etrica adequada a qual denotaremos por ρ, de modo que, dada ψ, φ ∈ C([0, T ], M1(R)), dT(φ, ψ) = sup0≤t≤Tρ(φ(t), ψ(t)). Como ρ podemos tomar por exemplo

a m´etrica de Prohorov.

A seguir vamos vamos definir a m´etrica de Prohorov, uma boa referˆencia pode ser encontrada em Billingsley [1] ou em Kurtz [6].

Seja (M, d) um espa¸co métrico (d denota a métrica nesse espa¸co) e B(M ) a σ −álgebra de subconjuntos de Borel em M . Seja P (M ) a fam´ılia de medidas de probabilidade em (M, B(M )). Para um subconjunto A ⊂ M , define-se uma vizinhan¸ca ε de A por

Aε:= {p ∈ M |∃q ∈ A, d(p, q) < ε} = [

p∈A

Bε(p).

onde Bε(p) ´e uma bola aberta de centro p e raio ε.

A m´etrica de Prohorov π : P(M )2 _{→ [0, +∞) ´e definida pela distˆ}_{ancia entre as duas}

medidas de probabilidade µ e ν como

π(µ, ν) := inf {ε > 0|µ(A) ≤ ν(Aε) + ε e ν(A) ≤ µ(Aε) + ε para todo A ∈ B(M )} .

A seguir vamos enunciar o teorema do limite de campo m´edio para a medida emp´ırica XN, o qual foi provado por Dawson [3] em 1983.

Teorema 2.3.1 (Dawson, 1983) [3] Assuma que a for¸ca seja dada por U (y) = y3 ₋

y e que XN(0) convirja fracamente para uma medida de probabilidade ν0. No limite

quando N → ∞ o processo XN converge fracamente para um processo determin´ıstico

com densidade de probabilidade u(t, y)dy ∈ C([0, T ], M1(R)), que é a única solu¸cão fraca

da equa¸c˜ao de Fokker-Planck: ∂ ∂tu = h ∂ ∂y[U (y)u] − θ ∂ ∂y Z ∞ −∞ ˜ yu(t, ˜y)d˜y − y u +1 2σ 2 ∂2 ∂y2u, (2.9)

(34)

Pelo Teorema acima o processo XN(., .) que toma valores em M1(R), no limite

quando N → ∞ converge para trajetória determin´ıstica com densidade u(t, y)dy, onde u(.) é única solu¸cão da equa¸cão de Fokker-Planck (2.9) associada ao sistema (2.8) do qual temos interesse em determinar a solu¸cão.

Antes de entrar nos detalhes do Teorema vamos verificar que o sistema n˜ao linear

dx(t) = −U (x(t))dt + θ(m(t) − x(t))dt + σdB(t), m(t) := E(x(t)),

x(0) = x0.

(2.10)

possui uma única solu¸cão forte (Apêndice A.1 Dawson [3]). Vale ressaltar a diferen¸ca entre o sistema (2.10) e a equa¸cão usual (2.1), o sistema (2.10) possui um termo m(t) := E(x(t)) que depende da lei do processo no tempo t e não possui o parâmetro h, pois neste caso a determina¸cão de uma solu¸cão forte para (2.10) independe deste parâmetro, visto que, h determina a amplitude da fun¸cão U (x(t)).

Demonstra¸cão 3 I) Suponha que exista uma solu¸cão x(t) para equa¸cão

dx(t) = −U (x(t))dt + θ(m(t) − x(t))dt + σdB(t) x(0) = x0,

tal que m(t) = E(x(t)).

Queremos mostrar que m(t) ´e limitada em [0, T ] para todo T < ∞.

De modo geral, seja x(.) a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao linear de primeira ordem do tipo

(35)

Multiplicando esta equa¸c˜ao pelo fator de integra¸c˜ao exp[R₀tf (s)ds] temos, x(t) exp Z t 0 f (s)ds − x0 = Z t 0 g(s) exp Z s 0 f (u)du ds.

Podemos reescrever a equa¸c˜ao (2.10) da seguinte forma:

dx(t) = [−x(t)3+ (1 − θ)x(t)]dt + σdB(t) + θm(t)dt, m(t) := E(x(t)),

x(0) = x0.

Se tomarmos f (t) = [(θ − 1) + x2_{(t)] e g(t) = σdB(t) + θm(t) onde dB(t) denota}

a derivada generalizada do movimento browniano. Podemos aplicar o mesmo racioc´ınio utilizado anteriormente e escrever a seguinte equa¸c˜ao:

x(t)exp Z t 0 f (s)ds = x0+ θ Z t 0 m(s)exp Z s 0 f (u)du ds + σ Z t 0 exp Z s 0 f (u)du dB(s), x(t) = x0exp − Z t 0 f (s)ds +θ Rt 0 m(s)exp Rs 0 f (u)du ds exphR₀tf (s)dsi + σ Rt 0 exp Rs 0 f (u)du dB(s) exphR₀tf (s)dsi .

Integrando o numerador do ´ultimo termo por partes tomando u = expR₀sf (u)du e dv = dB(s) temos que x(t) = x0exp − Z t 0 f (s)ds + θ Z t 0 m(s)exp − Z t s f (u)du ds + σB(t) − σe(1−θ)t_exp − Z t 0 x2(s)ds Z t 0 B(s)(θ − 1) + x2(s) e(θ−1)sexp Z s 0 x2(u)du ds.

(36)

Observe que a ´ultima parcela da equa¸c˜ao acima pode ser escrita como σe(1−θ)t_exph₋Rt 0x 2_(s)dsi Z t 0 B(s)(θ − 1) + x2(s) e(θ−1)sexp Z s 0 x2(u)du ds = σe(1−θ)t_exph₋Rt 0 x 2_(s)dsi Z t 0 B(s)[(θ − 1) + x2(s)]exp Z s 0 (θ − 1) + x2(u) du ds ≤ σexph−Rt 0 f (s)ds i sup 0≤s≤t |B(s)| Z t 0 |θ − 1| + x2_{(s) exp} Z s 0 (θ − 1) + x2(s) du ds

Portanto, no caso em que θ > 1 ou θ < 1 podemos determinar uma cota superior para a integral acima separando a integral da soma na soma das integrais

E|x(t)| ≤ |x0|e(1−θ)t+ θ Z t 0 |m(s)|e(1−θ)(t−s)ds + σE|B(t)| + σE sup 0≤s≤t |B(s)| (1 + e(θ−1)t).

Pela desigualdade de Doob

E sup 0≤s≤t |B(s)| ≤ E sup 0≤s≤t |B(s)|2 1₂ ≤ 2t12. Fazendo m+_{(t) = E|x(t)|,} m+_{(t) ≤ |x} 0|e(1−θ)t+ 2σt 1 2 + θRt 0 m +_(t)e(1−θ)(t−s)_{ds + 2σt}1₂_{(1 + e}(θ−1)t_). Logo, para 0 ≤ t ≤ T e θ 6= 0 m+(t) ≤ (K|x0| + 2σT 1 2)exp θ + θet(1−θ)/|1 − θ| . onde, K = max(1, e(1−θ)T).

Pela desigualdade de Jensen [11] m(t) ≤ |m(t)| ≤ m+_{(t), portanto, m(t) ´}_{e limitado}

para t ∈ [0, ∞] garantindo que não existem explosões na equa¸cão (2.10).

A seguir será mostrado que o sistema (2.10) possui solu¸cão forte. Antes disso, note que, pelo Teorema de Cameron - Martin - Girsanov [13] juntamente com o fato da solu¸cão

(37)

do sistema ser não explosiva temos que a seguinte equa¸cão diferencial estocástica

dx(t) = [−(x(t))3+ x(t)]dt + σdB(t) − θx(t)dt + θx(0).

possui uma ´unica solu¸c˜ao forte.

Demonstra¸c˜ao 4 II) O sistema (2.10) possui solu¸c˜ao forte.

Pelo m´etodo iterativo de Picard:

Seja x(1)_{(t) a ´}_{unica solu¸}_c˜_{ao forte da equa¸}_c˜_ao

dx(1)(t) = [−(x(1)(t))3+ x(1)(t)]dt + σdB(t) − θx(1)(t)dt + θx(0).

De modo geral, seja x(n)(t) a única solu¸cão forte da equa¸cão

dx(n)(t) = [−(x(n)(t))3+ x(n)(t)]dt + σdB(t) − θx(n)(t)dt + θE[x(n−1)(t)], x(n+1)(t) − x(n+1)(0) = Z t 0 [−(x(n+1)(t))3+ (1 − θ)x(n+1)(s)]ds + σB(t) + θ Z t 0 m(n)(s)ds m(n)(t) := E[x(n)(t)].

Estabelecemos o seguinte esquema iterativo para n ≥ 1,

x(n+1)(t) − x(n)(t) = Z t 0 (1 − θ)[x(n+1)(s) − x(n)(s)]ds − Z t 0 [(x(n+1)(s))3− (x(n)_(s))3_]ds + θ Z t 0 [m(n)(s) − m(n−1)(s)]ds.

(38)

(y3− x3_{) = (y − x)(y}2_{+ xy + x}2_{) =} 1 2(x − y)[(x + y) 2_{+ x}2_{+ y}2_{] temos:} x(n+1)(t) − x(n)(t) = Z t 0 (1 − θ)[x(n+1)(s) − x(n)(s)]ds − Z t 0 [x(n+1)(s) − x(n)(s)]f (s)ds + θ Z t 0 [m(n)(s) − m(n−1)(s)]ds, onde x(n+1)_(0)−x(n)_{(0) = 0 e f (s) =} 1 2[x (n+1)_{(s) + x}(n)_(s)]2_{+ [(x}(n+1)_(s))2_{+ (x}(n)_(s))2_{] ≥ 0.}

Multiplicando pelo fator de integra¸c˜ao exp[R₀tf (s)ds] e integrando por partes como no passo anterior temos

x(n+1)(t) − x(n)(t) = θ Z t 0 e(t−s)(θ−1)exp − Z t s f (u)du . [m(n)(s) − m(n−1)(s)]ds. Logo, para 0 ≤ t ≤ T |m(n+1)_{(t) − m}(n)_{(t)| ≤ K} Z t 0 |[m(n)_{(s) − m}(n−1)_(s)]|ds, onde K = θ max(1, eT (θ−1)_).

De modo iterativo podemos determinar uma cota superior para |m(n+1)₁ (t) − m(n)₁ (t)| da seguinte forma |m(n+1)_{(t) − m}(n)_{(t)| ≤ K} Z t 0 |[m(n)_{(s) − m}(n−1)_(s)]|ds ≤ K Z t 0 K Z s1 0 |m(n−1)(s1) − m(n−2)(s1)|ds1ds ≤ Kn Z t 0 Z s1 0 ... Z sn−1 0 |m(1)_(s n−1) − m(0)(sn−1)|dsn−1...ds1ds ≤ Kn_Tn_/n!

Portanto, a sequˆencia {m(n)_{(t) : 0 ≤ t ≤ T } definida no espa¸}_{co m´}_{etrico (C([0, T ]), d),}

(39)

Cauchy. Seja m(t) o limite uniforme de mn(t).

Vamos partir de um argumento an´alogo ao anterior para mostrar que (2.10) possui solu¸c˜ao forte.

Seja x(.) a única solu¸cão forte da equa¸cão

dx(t) = [−x(t)3+ (1 − θ)x(t)]dt + σdB(t) + θm(t)dt, temos que, x(t) − x(n)(t) = Z t 0 (1 − θ)[x(s) − x(n)(s)]ds − Z t 0 [x3(s) − (x(n)(s))3]ds + θ Z t 0 [m(s) − m(n−1)(s)]ds.

Fatorando a diferen¸ca de cubos como anteriormente temos,

x(t) − x(n)(t) = Z t 0 (1 − θ)[x(s) − x(n)(s)]ds − Z t 0 [x(s) − x(n)(s)]f (s)ds + θ Z t 0 [m(s) − m(n−1)(s)]ds, onde x(0) − x(n)_{(0) = 0 e f (s) =} 1 2[x (n+1)_{(s) + x}(n)_(s)]2_{+ (x}(n+1)_(s))2_{+ (x}(n)_(s))2 _{≥ 0.}

Multiplicando pelo fator de integra¸c˜ao exp[R₀tf (s)ds] e integrando por partes como nos passos anteriores,

x(t) − x(n)(t) = θ Z t 0 e(t−s)(θ−1)exp − Z t s f (u)du . [m(s) − m(n−1)(s)]ds Logo, para 0 ≤ t ≤ T |E[x(t)] − m(n)_{(t)| ≤ K} Z t 0 |m(s) − m(n−1)_(s)|ds.

(40)

Portanto, m(n)(t) converge para E[x(t)] e sabemos que a sequência dos m(n)(t) converge para m(t). Logo, segue que E[x(t)] = m(t) garantindo dessa forma a existência de uma solu¸cão forte para a equa¸cão (2.10).

III) Unicidade da solu¸c˜ao.

Para mostrar a unicidade da solu¸c˜ao vamos supor que existem duas solu¸c˜oes de (2.10) x1(t) e x2(t), onde m(1)(t) = E[x1(t)] e m(2)(t) = E[x2(t)]. Como antes podemos escrever

a seguinte desigualdade, |m(2)_{(t) − m}(1)_{(t)| ≤ |m}(2)_{(0) − m}(1)_{(0)| + K} Z t 0 |m(2)_{(s) − m}(1)_(s)|ds, _(2.11) onde m(2)(0) = m(1)(0) = E[x0].

Desigualdade de Gronwall [4] (Durret cap´ıtulo 5 p´agina 188).

Suponha que ϕ(t) ≤ A + BR₀sϕ(s)ds para todo t ≥ 0 e ϕ(t) cont´ınua. Ent˜ao ϕ(t) ≤ AeBt_.

Pela desigualdade de Gronwall,

|m(2)(t) − m(1)(t)| ≤ 0.eKt= 0. (2.12)

Logo, m(2)_{(t) = m}(1)_{(t), estabelecendo dessa forma a unicidade da solu¸}_c˜_ao.

Uma segunda etapa muito importante é mostrar que a equa¸cão de Fokker - Planck (2.9) possui uma única solu¸cão a valores medida.

A seguir vamos verificar a existência de uma solu¸cão. Devido ao grau de complexidade a unicidade não será vista nesta disserta¸cão. A principal referência é o artigo do Dawson (Apêndice A.2 Dawson 1983 [3]).

(41)

Demonstra¸c˜ao 5 I - Existˆencia.

Seja x(.) a solu¸cão da equa¸cão (2.10). Seja φ ∈ S , onde S é o espa¸co das fun¸cões teste de Schwartz, pela fórmula de Itô temos que:

φ(x(t)) − φ(x(0)) − Z t 0 [(−x3(s) + x(s)(1 − θ))φ0(x(s)) + 1 2σ 2_φ00 (x(s)) + θm1(t)φ0(x(s))]ds ´ e uma martingala.

Se p(t;dx) denota a lei de x(t). Então a condi¸cão de martigala acima implica que p(. ; .) é uma solu¸cão a valores medida de probabilidade da equa¸cão não linear (2.9).

Tendo feito tais considera¸cões a constru¸cão do Teorema (2.3.1) é baseada nos dois seguintes passos[3]:

1. Mostrar que a fam´ılia de processos ´e relativamente compacta.

Para provar que a fam´ılia de processos XN(t, .) ´e relativamente compacta em

C([0, T ], M1(R)) ´e suficiente provar que:

• sup_Nsup_0≤t≤T E(hXN(t), |x|i) < ∞.

• Para cada φ ∈ CK(R), o espa¸co de fun¸c˜oes com suporte compacto, os processos

hXN(.), φi s˜ao relativamente compacto em C[0, T ].

2. Determina¸c˜ao do limite.

Seja PN a lei de probabilidade do processo a valores medida XN. O fato do processo

XN ser relativamente compacto implica na existˆencia de uma subsequˆencia PNk →

u. Bastando provar que u é a única solu¸cão do processo a valores medida {u(t) : t ≥ 0}.

Portanto, pelo Teorema 2.3.1, podemos analisar u e tratar XN como uma pertuba¸c˜ao

(42)

R∞

−∞yXN(t, dy). Em geral, n˜ao existem solu¸c˜oes expl´ıcitas dispon´ıveis para (2.9) mas

podemos encontrar solu¸c˜oes de equil´ıbrio, ou seja, as solu¸c˜oes quando t → ∞ assumindo ξ = limt→∞

R∞

−∞yu(t, y)dy. A solu¸c˜ao u e ξ no limite satisfaz: h d dy[(y 3_{− y)u}e ξ] − θ d dy[(ξ − y)u e ξ] + 1 2σ 2 d2 dy2u e ξ = 0, ue_ξ(y) = 1 Zξ q 2πσ_2θ2 exp ( −(y − ξ) 2 2σ2 2θ − h 2 σ2V (y) ) , Zξ = Z ∞ −∞ 1 q 2πσ_2θ2 exp ( −(y − ξ) 2 2σ_2θ2 − h 2 σ2V (y) ) dy. (2.13)

onde Zξ é a constante normalizadora. E ξ deve satisfazer a condi¸cão de consistência ou

compatibilidade:

ξ = m(ξ) := Z ∞

−∞

yue_ξ(y)dy. (2.14)

Logo encontrar solu¸cões de equil´ıbrio se reduz a encontrar solu¸cões dessa equa¸cão. Para θ fixo, o modelo foi definido de modo que a especifica¸cão de um valor cr´ıtico para σ é de extrema importância, pois se σc ≤ σ, a influência das pertuba¸cões externas

sob o sistema aumenta de tal forma que a aleatoriedade passa a dominar a intera¸c˜ao entre os componentes, ou seja, a intera¸c˜ao devido ao fator θ(¯x(t) − xj(t))dt se torna

desprez´ıvel e neste caso o sistema se comporta como N difus˜oes independentes.

Neste caso, o sistema possui um comportamento instável entre as regiões {+ξ} e {−ξ} devido à simetria da fun¸cão V (xj(t)) = xj(t)4/4 − xj(t)2/2. Logo, temos um

processo de m´edia zero.

Portanto, estamos interessados no caso em que σ ´e pequeno, σ < σc, pois neste caso

o termo difusivo σdBj(t) possui uma influˆencia menor sob o sistema e a intera¸c˜ao de

cada componente com a média emp´ırica passa a ter maior significância devido a parcela θ(¯x(t) − xj(t))dt. Nestas condi¸cões uma grande parte dos componentes permanecem em

(43)

torno da mesma região por um longo intervalo de tempo, isto é, das regiões {+ξ} ou {−ξ}. Por esse motivo vamos sempre considerar σ < σc.

Proposi¸c˜ao 2.1 (Garnier, Papanicolaou, Yang, 2013) Para h pequeno, o valor crit´ıco σc pode ser expandido como

σc=

r 2θ

3 + O(h). (2.15)

Pode ser mostrado [9], que as solu¸cões não nulas ±ξ são da forma:

±ξ = ± r 1 − 3σ 2 2θ 1 + h 6 σ2 σ2 2θ 2 1 − 2(σ2_/2θ) 1 − 3(σ2_/2θ) ! + O(h2). (2.16)

Pela proposi¸cão 2.3 é possivel determinar uma rela¸cão entre os parâmetros que garante a existência de estados bi-estáveis. A seguir vamos mostrar que, dados θ e h pequeno, a equa¸cão (2.14) possui solu¸cões não nulas se e somente se 3σ_2θ2 < 1.

Demonstra¸c˜ao 6 Rela¸c˜ao Entre σ2 _{e θ.}

Como estamos supondo h pequeno, com base em (2.13) podemos considerar a densidade de ue_ξ como sendo uma pertuba¸cão da fun¸cão densidade da normal. Seja Y uma variável aleatória com distribui¸cão normal de média ξ e variância σ2_{/2θ, e seja p}

ξ sua densidade. Sabemos que: Zξ = Z ∞ −∞ 1 q 2πσ_2θ2 exp ( −(y − ξ) 2 2σ_2θ2 − h 2 σ2V (y) ) dy. (2.17)

(44)

definindo η = 2/σ2, segue que:

exp(−hηV (y)) = 1 − hηV (y) + h2η2V2(y)/2 + O(h3),

Zξ =

Z

{1 − hηV (y) + h2_η2_V2_{(y)/2 + O(h}3_)}p

ξ(y)dy, e = E[1 − hηV (Y ) + h2η2V2(Y )/2 + O(h3)] = 1 − hηEV (Y ) + 1 2h 2 η2EV2(Y ) + O(h3).

Da´ı, tamb´em obtemos

Z_ξ−1 = 1 + hηEV (Y ) − 1 2h

2_η2_EV2_{(Y ) + h}2_η2_{(EV (Y ))}2_{+ O(h}3_).

Portanto, podemos calcular m(ξ) da seguinte forma:

m(ξ) = Z_ξ−1 Z y 1 − hηV (y) + 1 2h 2_η2_V2_{(y) + O(h}3₎ pξ(y)dy (2.18) = Z_ξ−1 ξ − hηE[Y V (Y )] + 1 2h 2_η2_{E[Y V}2_{(Y )] + O(h}3₎ = ξ + hη{ξEV (Y ) − E[Y V (Y )]} + h2η2{−1 2ξEV 2_{(Y ) + ξ(E(V (Y ))}2 − EV (Y )E[Y V (Y )] + 1 2E[Y V 2_{(Y )]} + O(h}3₎ = ξ − hησ 2 2θE ¯V (Y ) + h 2 η2σ 2 2θ{E[V (Y ) ¯V (Y )] − EV (Y )E ¯V (Y )} + O(h 3 ) = ξ − hησ 2 2θE ¯V (Y ) + h 2_η2σ2 2θcov( ¯V (Y ), V (Y )) + O(h 3_).

(45)

Garnier, G. Papanicolaou e T. Yang [9] (apêndice A, página 20). Pela condi¸cão (2.14) ξ = m(ξ) segue que,

E ¯V (Y ) − hηcov( ¯V (Y ), V (Y )) + O(h2) = 0. (2.19)

Assumindo que ξ = ξ0+ hξ1+ O(h2) temos,

ξ₀3− 3σ 2 2θξ0− ξ0 = ξ0(ξ 2 0 + 3 σ2 2θ − 1) = 0. (2.20)

Portanto as solu¸c˜oes s˜ao: ξ = ±p1 − 3σ2_{/2θ e ξ = 0.}

2.4 Modelo Heterogˆ

eneo

Uma generaliza¸cão do modelo também é apresentada em [9] para o caso em que cada agente possui uma taxa individual de reversão a média, isto é, para j = {1, . . . , N } temos um sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas da seguinte forma

dxj(t) = −hU (xj(t))dt + θj(¯x(t) − xj(t))dt + σdwj(t). (2.21)

Como antes temos U (x) = V0(x) e agora consideramos o caso em que θ1, . . . , θN

assume K valores positivos distintos Θ1, . . . , ΘK e definimos Il = {j : θj = Θl},

ρl = |Il|/N e XNl = 1 ρl N

P

j∈Ilδxj assumindo que o limN→∞ρl existe e ´e positivo para todo

l. O limite de (X_N1, . . . , X_NK) quando N → ∞ ´e dado pelas solu¸c˜oes fracas (u1, . . . , uK)

do conjunto de K equa¸c˜oes de Fokker-Planck apresentadas no Teorema a seguir.

Teorema 2.4.1 (Garnier, Papanicolaou, Yang, 2013) Assuma U (y) = y3 − y e que (X1

N(0), . . . , XNK(0)) converge fracamente em probabilidade para uma medida de

probabilidade (ν1, . . . , νk). O vetor (X_N1, . . . , X_NK) converge fracamente a valores medida quando N → ∞ para o vetor de solu¸c˜oes fraca (u1, . . . , uK) do sistema de equa¸c˜oes de

(46)

∂ ∂tu1 = 1 2σ 2 ∂2 ∂y2u1 − Θ1 ∂ ∂y Z ˜ yXρlul(t, ˜y)d˜y − y u1 + h ∂ ∂y[U (y)u1] .. . ∂ ∂tuK = 1 2σ 2 ∂2 ∂y2uK− Θk ∂ ∂y Z ˜ yXρlul(t, ˜y)d˜y − y uK + h ∂ ∂y[U (y)uK], (2.22)

com condi¸c˜oes iniciais (ν1, . . . , νk). As solu¸c˜oes de equilibrio ue_{l ,ξ} possuem a seguinte forma: ue_{l ,ξ}(y) = 1 Zl,ξ q 2π_2Θσ2 l exp ( −(y − ξ) 2 2_2Θσ2 l − h 2 σ2V (y) ) Zl,ξ = Z 1 q 2π_2Θσ2 l exp ( −(y − ξ) 2 2_2Θσ2 l − h 2 σ2V (y) ) dy, (2.23)

e ξ de satisfazer a condi¸c˜ao de compatibilidade:

ξ = m(ξ) := Σρl

Z

yue_{l ,ξ}(y)dy. (2.24)

Analogamente temos que se U (y) = y3_{− y, ξ = 0 ´e uma solu¸c˜}_{ao trivial da equa¸c˜}_ao

(2.24), e pode ser mostrado ainda através de uma extensão do caso homegêneo [9] que existem duas solu¸cões não triviais ue

l ,ξ e uel ,−ξ se e somente se d

dξm(0) > 1 e como no

caso homogêneo, podemos determinar uma aproxima¸cão para condi¸cão de equil´ıbrio para pequeno valores de h.

Proposi¸cão 2.4.2 A condi¸cão de compatibilidade (2.24) possui solu¸cões não nulas se e somente se σ < σc e para pequeno valores de h, σc posssui a seguinte expansão

σc= v u u t K X l=1 ρl Θl / K X l=1 3ρl 2Θ2 l + O(h). (2.25)

(47)

pequenos valores de h e s˜ao dadas por: ±ξ = ± v u u t K X l=1 ρl Θl 1 − 33σ 2 2Θl / K X l=1 ρl Θl + O(h). (2.26)

2.5 Modelo de Grupos

Nesta se¸cão vamos analisar um caso especial muito interessante o qual denominamos por modelo de grupos. Neste caso o processo é dividido em dois ou mais grupos onde cada agente irá pertencer a um desses grupos. As intera¸cões ocorrem de modo que, cada agente interage com o grupo ao qual pertence com taxa θ e com os demais grupos com a taxa ¯θ tal que, θ > ¯θ.

Antes de detalhar este modelo vamos citar as principais caracter´ısticas que tornam seu estudo relevante.

Pode-se ter interesse em estudar um sistema com as seguintes caracter´ısticas:

• O sistema é formado por dois ou mais grupos com tendências opostas, isto é, cada grupo possui um comportamento diferente dos demais.

• O grau de intera¸cão de cada agente com seu própio grupo é maior do que com os demais grupos.

portanto, propor um modelo que seja sens´ıvel a essas informa¸c˜oes proporciona uma modelagem mais apurada e eficiente.

2.5.1 An´

alise do Modelo de Grupos

A análise deste modelo será feita a seguir para um caso particular onde separamos o sistema em dois grupos, ou seja, o sistema é dividido em dois grupos onde metade das componentes se encontra no grupo 1 e a outra metade no grupo 2.

(48)

Um modelo que possui as caracter´ısticas desejadas pode ser descrito matematicamente pelo sistema de equa¸cões diferenciais estocásticas de Itô (2.27) caso xj(t) perten¸ca ao

grupo 1 ou por (2.28) caso contr´ario:

dxj(t) = −hU (xj(t))dt + θ(¯x1(t) − xj(t))dt + ¯θ(¯x2(t) − xj(t))dt + σdBj(t) (2.27)

dxj(t) = −hU (xj(t))dt + θ(¯x2(t) − xj(t))dt + ¯θ(¯x1(t) − xj(t))dt + σdBj(t),(2.28)

para j ∈ ¯x1, m´edia do grupo 1 e para j ∈ ¯x2, m´edia do grupo 2.

A seguir vamos propor as solu¸cões esperadas de (2.27) e (2.28), que pode ser visto como uma extensão dos Teoremas 2.3.1 e 2.4.1 para o modelo de grupos. Estamos interessados nas solu¸cões não triviais desse sistema e como nos casos anteriores estudamos o processo a valores no espa¸co das medidas.

Assuma que a for¸ca seja dada por U (y) = y3 − y e que (X_N(1)(0), X_N(2)(0)) convirja fracamente para as medidas de probabilidade ν1, ν2. Neste modelo, separamos as

componentes em dois conjuntos disjuntos, de modo que metade dos componentes perten¸ca ao grupo 1 e a outra metade perten¸ca ao grupo 2, onde as intera¸c˜oes s˜ao dadas como anteriormente. No limite quando N → ∞ os processos X_N(1) e X_N(2), que representam a medida emp´ırica do grupo 1 e 2 respectivamente e tomam valores em M1(R) convergem

fracamente para um sistema determin´ıstico com densidades u1(t, y), u2(t, y) ∈ C([0, T ],

M1(R)), ∂ ∂tu1 = h ∂ ∂y[U (y)u1] − θ ∂ ∂y Z ∞ −∞ ˜ yu1(t, ˜y)d˜y − y u1 − ¯θ ∂ ∂y Z ∞ −∞ ˜ yu2(t, ˜y)d˜y − y u1 + 1 2σ 2 ∂2 ∂y2u1, ∂ ∂tu2 = h ∂ ∂y[U (y)u2] − θ ∂ ∂y Z ∞ −∞ ˜ yu2(t, ˜y)d˜y − y u2 − ¯θ ∂ ∂y Z ∞ −∞ ˜ yu1(t, ˜y)d˜y − y u2 + 1 2σ 2 ∂ 2 ∂y2u2,

(49)

onde ν1 e ν2 s˜ao as condi¸c˜oes iniciais.

A rela¸cão entre os parâmetros, a existência de uma rela¸cão entre sigma cr´ıtico σc em

fun¸cão de θ e ¯θ e as solu¸cões aproximadas ainda estão em desenvolvimento. Observe ainda que podemos ampliar essa versão do modelo de grupos separando os agentes em mais de dois grupos, a extensão e a análise deste caso ainda estão em desenvolvimento.

(50)

Cap´ıtulo 3

Grandes Desvios e Simula¸

c˜

oes

3.1 Grandes Desvios

No cap´ıtulo anterior foi mostrado que para valores de N grande a medida emp´ırica XN(t, dy) converge em probabilidade para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Fokker - Planck (2.9)

e neste caso a m´edia emp´ırica ¯x(t) permanece em torno do momento de primeira ordem R∞

−∞yu(t, y)dy. Observe que se as condi¸c˜oes de existˆencia dos dois estados de equil´ıbrio

for satisfeita, ¯x(t) permanecer´a na regi˜ao {+ξ} em torno de {+1} ou {−ξ} em torno de {−1} por determinado intervalo de tempo para valores pequenos de h.

Uma transi¸cão sistêmica é um evento no qual ¯x(t) é deslocado da região {+ξ} para a região {−ξ}, ou seja, a transi¸cão de um grande número de agentes de uma região para outra em um intervalo de tempo finito. Nosso interesse é calcular a probabilidade de transi¸cão para valores de N grande.

Dado um horizonte de tempo finito [0,T], os parâmetros (h, σ, θ) e as devidas condi¸cões de existência para o equil´ıbrio bi-estável. Queremos calcular uma aproxima¸cão da probabilidade de transi¸cão da média entre uma região estável e outra

P (¯x(0) ∈ {−ξ}, ¯x(T ) ∈ {+ξ}) (3.1)

(51)

3.2 Grandes Desvios via Campo M´

edio

Nesta se¸cão vamos calcular a probabilidade de transi¸cão assintótica usando a teoria de grandes desvios desenvolvida no artigo de Dawson e Gartner [5]. Porém, antes de estabelecer a teoria de grandes desvios iremos rever algumas nota¸cões e terminologias definidas em [5].

• M1(R) ´e o espa¸co das medidas de probabilidade em R munido da m´etrica de

Prohorov ρ, associada `a convergˆencia fraca.

• C([0, T ], M1(R)) é o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas f : [0, T ] → M1(R) com a métrica

sup_0≤t≤T ρ(φ1(t), φ2(t)).

• M_Rϕ_{(R) = {µ ∈ M}1(R),R ϕ(x)µ(dx) ≤ R}, onde ϕ ∈ C2(R) ´e uma fun¸c˜ao

n˜ao-negativa com limx→∞ϕ(x) = ∞. Neste artigo [5] foi mostrado que se U (x) = x3−x,

a fun¸c˜ao ϕ adequada ´e dada por ϕ(x) = 1 + x2_{+ γx}4_{, onde 0 ≤ γ ≤ h/2.}

• M∞(R) = ∪R>0M ϕ

R(R) = {µ ∈ M1(R),R ϕ(x)µ(dx) < ∞} munido com a

topologia indutiva: µn → µ em M∞(R) se e somente se µn → µ em M1(R) e

sup_nR ϕ(x)µn(dx) < ∞.

• C([0, T ], M∞(R)) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas f : [0, T ] → M∞(R) munido

com a topologia: φn(.) → φ(.) em C([0, T ], M∞(R)) se e somente se φn(.) → φ(.)

em C([0, T ], M1(R)) e o sup0≤t≤T supnR ϕ(x)φn(t, dx) < ∞.

• Dado ν ∈ M∞(R) e seja εν = {φ ∈ C([0, T ], M∞(R)) : φ(0) = ν}, munido com a

topologia relativa.

Para simplificar a nota¸c˜ao, reescrevemos (2.1) como ut = L∗uu + hM

∗_{u, onde} L∗_ψφ = 1 2σ 2 φxx + θ ∂ ∂x x − Z xψ(t, x)dx φ , M∗φ = ∂ ∂x[U (x)φ].

Teorema 3.2.1 (Dawson e Gartner, 1987) Dado um horizonte de tempo finito [0,T], ν ∈ M∞(R) e A ⊆ εν, se XN(0) = _N1 PN_j=1δxj(0) → ν em M∞(R) quando N → ∞, ent˜ao

(52)

a lei de XN(t) = _N1

PN

j=1δxj(t) satisfaz o princ´ıpio dos grandes desvios com uma fun¸c˜ao

taxa Ih isto ´e:

− inf

φ∈AoIh(φ) ≤ lim inf_{N →∞}

1 NlogP (XN ∈ A) (3.2) ≤ lim sup N →∞ 1 NlogP (XN ∈ A) ≤ − infφ∈ ¯A Ih(φ),

onde Ao e ¯A representam respectivamente o interior e o fecho de A, e

Ih(φ) = 1 2σ2 Z T 0 sup f :hφ,f2 xi6=0 Jh(φ, f )dt, Jh(φ, f ) = hφt− L∗φ − hM∗φ, f i2/hφ, fx2i, hφ, f i = Z +∞ −∞ f (x)φ(dx),

se φ(t) ´e absolutamente cont´ınua ∀ t ∈ [0, T ] e Ih(φ) = ∞ caso contr´ario.

Antes de aplicarmos o Teorema 3.1.2, considere ν = ue

−ξ em (2.13) e o conjunto

definido a seguir

A = {φ ∈ εν : φ(T ) = ue_ξ}.

Observe que Ao_´_{e um conjunto vazio, e o Teorema 3.1.2 nos proporciona uma cota inferior}

trivial para a probabilidade em quest˜ao. Portanto, vamos considerar o conjunto Aδ

Aδ = {φ ∈ εν : ρ(φ(T ), ueε) ≤ δ}.

O Teorema 3.2.1 implica que

− inf φ∈Ao δ Ih(φ) ≤ lim inf N →∞ 1 NlogP (XN ∈ Aδ) (3.3) ≤ lim sup N →∞ 1

NlogP (XN ∈ Aδ) ≤ − infφ∈Aδ

(53)

Al´em disso, vamos mostrar que infφ∈Aδ pode ser limitado por baixo pelo infφ∈AIh(φ)

quando δ → 0.

Lema 3.1 Por defini¸c˜ao infφ∈AδIh(φ) ´e crescente e limitado por cima pelo infφ∈AIh(φ).

E al´em disso,

lim

δ→0φ∈Ainfδ

Ih(φ) ≥ inf

φ∈AIh(φ). (3.4)

Demonstra¸cão 7 Vamos mostrar para um caso particular porém suficiente que é o caso em que δ = 1/n. Para cada n, seja φn ∈ A1/n, tal que infφ∈A1/nIh(φ) ≤ Ih(φn) <

infφ∈A1/nIh(φ) + 1/n; onde {Ih(φn)} ´e limitada por cima pelo infφ∈AIh(φ) + 1 < ∞.

Seja Ih uma fun¸c˜ao taxa apropriada (satisfazendo o Teorema 3.2.1), e pela proposi¸c˜ao

B.13 de [18], o critério de compacidade equivale para a sequência de compactos em C([0, T ], M∞(R)), ou seja, {φn} possui uma subsequência convergente {φnk} cujo limite

φ∗ pertence ao conjunto A. Como Ih é uma fun¸cão semicont´ınua e decrescente, então

lim n φ∈Ainf1/n Ih(φ) = lim k Ih(φnk) = lim infk Ih(φnk) ≥ Ih(φ ∗ ) ≥ inf φ∈AIh(φ). (3.5)

Combinando o lema 3.1 e o fato que infφ∈Ao

δIh(φ) ≤ infφ∈AIh(φ) temos que, para

> 0 qualquer, e δ > 0 suficientemente pequeno

− inf

φ∈AIh(φ) ≤ lim infN →∞

1

NlogP (XN ∈ Aδ) (3.6)

≤ lim sup

N →∞

1

NlogP (XN ∈ Aδ) ≤ − infφ∈AIh(φ) + .

Portanto, para N grande e δ suficientemente pequeno:

P (XN ∈ Aδ) ≈ exp −N inf φ∈AIh(φ) . (3.7)

Esse resultado nos mostra que as trajetórias da média emp´ırica em sistemas com um grande número de componentes possui um comportamento metaestável, tal resultado pode ser verificado nas simula¸cões númericas seguir.

(54)

3.3 Simula¸

c˜

oes N´

umericas

Nesta se¸cão vamos simular cada um dos modelos apresentados nesta disserta¸cão e interpretar o seu comportamento de acordo com a escolha dos parâmetros. As simula¸cões apresentadas a seguir foram feitas utilizando o esquema de Euler onde discretizamos as equa¸cões (2.1), (2.2) e (2.28) em uma grade de tempo uniforme, de modo que, X_jn representa a simula¸cão de Xj no intervalo de tempo n∆t ∀j = 1, . . . , n. Por exemplo, na

equa¸c˜ao (2.1) temos a seguinte discretiza¸c˜ao:

X_jn+1= X_jn− hU (Xn j)∆t + σ∆B n+1 j + θ( 1 N N X k=1 X_kn− Xn j)∆t. (3.8) ´

E importante ressaltar que tanto as simula¸cões do modelo de Ornstein-Uhlenbeck apresentadas no cap´ıtulo 1 quanto as simula¸cões do modelo simplificado apresentadas a seguir descrevem a trajetória temporal individual de cada componente. No entanto, as simula¸cões apresentadas para o modelo principal e para o modelo de grupos descrevem o comportamento da média emp´ırica do sistema.

3.3.1 Modelo Simplificado

Observe a seguir o efeito ao aumentar os valores de N e θ. Assim como simulado no c´apitulo 1 o sistema fica mais concentrado em torno do seu valor inicial {−1}.

(55)

Figura 3.1: σ = 1, θ = 1, N = 10, h = 0.1.

(56)

Figura 3.3: σ = 1, θ = 1, N = 50, h = 0.1.

(57)

Figura 3.5: σ = 1, θ = 6, N = 100, h = 0.1.

3.3.2 Modelo Principal

A seguir mostramos o comportamento do modelo principal quando aumentamos o valor de θ. Note que, a medida que o número de intera¸cões aumenta se torna mais fácil de visualizar as duas regiões estáveis do sistema.

(58)

Figura 3.6: σ = 1, θ = 1.5, N = 100, h = 0.1.

(59)

Figura 3.8: σ = 1, θ = 1.5, N = 100, h = 0.1.

Figura 3.9: σ = 1, θ = 6, N = 100, h = 0.1.

3.3.3 Modelo de Grupos

Assim como no modelo principal vamos simular o comportamento da m´edia emp´ırica do sistema e observar seu comportamento quando se aumenta os valores de θ1 e θ2.

As simula¸c˜oes 3.10 e 3.11 mostram o comportamento da m´edia ep´ırica de todas as componentes do sistema enquanto 3.12 representa o comportamento das componentes que pertencem ao grupo 1 e ao grupo 2 separadamente. A figura 3.12 deixa claro a diferen¸ca entre o comportamento do gupo 1 e 2.

(60)

Figura 3.10: σ = 1, θ = 6, ¯θ = 1.5, N = 100, h = 0.1.

(61)

Figura 3.12: σ = 1, θ = 6, ¯θ = 1.5, N = 100, h = 0.1.

(62)

Apˆ

endice A:

3.4 C´

odigo da Simula¸

c˜

ao em Matlab

[language= MATLAB]

f unctionr = OU M F (sigma, theta, mu)

N=100; X= -ones(N,1); dt=.02; h=.1; sigma=1; theta=6; n=1; passos=100; while n¡passos for i=1:N W(i,1)=sqrt(dt)*randn(); end

X(:,n+1)=X(:,n) + sigma*W - theta*(X(:,n) - mu)*dt; n=n+1; end k=1:passos; t=k*(dt);

plot(t,X) r=0;

[language= MATLAB]

f unctionr = OU M F (sigma, theta, mu) N = 100; X = −ones(N, 1); dt = .02; h = .1; sigma = 1; theta = 6; n = 1; passos = 100; while n < passos for i = 1 : N W (i, 1) = sqrt(dt) ∗ randn(); end

(63)

n = n + 1; end k = 1 : passos; t = k ∗ (dt); plot(t, X) r = 0; end

(64)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] BILLINGSLEY, Patrick.Convergence of probability measures. 1999. [2] Chung, Kai Lai. A course in probability theory. Academic press, 2001.

[3] D. A. Dawson, Critical dynamics and fluctuations for a mean-field model of cooperative behavior, J. Statist. Phys., 31 (1983), pp. 29-85.

[4] Durrett, Rick. Probability: theory and examples. Cambridge university press, 2010. [5] D. A. Dawson and J. Gartner, Large deviations from the McKean-Vlasov limit for

weakly interacting diffusions, Stochastics, 20 (1987), pp. 247-308.

[6] Ethier, Stewart N.; Kurtz, Thomas G. Markov processes: characterization and convergence. John Wiley & Sons, 2009.

[7] Fouque, J. P., & Sun, L. H. (2012). Systemic risk illustrated. Handbook on Systemic Risk, Cambridge University Press (forthcoming).

[8] Feller, William. An Introduction to Probability Theory and its Applications Vol. I. (1968).

[9] Garnier, J., Papanicolaou, G., Yang, T. W. (2013). Large deviations for a mean field model of systemic risk. SIAM Journal on Financial Mathematics, 4(1), 151 − 184. [10] Ikeda, N., S. Watanabe. Stochastic differential equations and diffusion processes.

Elsevier, 1989.

[11] James, B.R.: Probabilidade: Um Curso em N´ıvel Intermedi´ario. IMPA, 3a _edi¸c˜_ao,