Algebra Linear: Lista de Exercicios 8 – Mudança de bases

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Universidade Federal do Paraná 1◦ semestre 2015.

Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic

Ciência da Computação - TF

Lista de exercícios 8

Mudança de Bases

Observação: no livro do Leon [1], o autor chama de ’matriz de transição de B1 para B2’ o

que a maioria dos outros autores chamam de ’matriz de transição de B2 para B1’ (as duas

terminologias fazem sentido, mas para razões diferentes !). No presente documento, usamos a terminologia do Steven J. Leon.

Exercícios da Seção 3.5

Exercício 1: Para cada um dos itens seguintes, encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de {u₁, u2} para {e1, e2}.

a) u₁= (1, 1)|, u₂ = (−1, 1)|, b) u1= (1, 2)|, u2 = (2, 5)|,

c) u1= (0, 1)|, u2 = (1, 0)|.

Exercício 2: Para cada uma das bases oredenadas {u1, u2} no Exercício 1, encontre a matriz

de transição correspondente à mudança de base de {e₁, e2} para {u1, u2}.

Exercício 3: Sejam v₁ = (3, 2)| e v₂ = (4, 3)|. Para cada base ordenada {u₁, u2} dada no

Problema 2, ache a matriz de transição de {v1, v2} para {u1, u2}.

Exercício 4: Seja E = [(5, 3)|, (3, 2)|] e sejam x = (1, 1)|, y = (−1, 1)|e z = (10, 7)|. Determine os valores de [x]_E, [y]E e [z]E.

Exercício 5: Sejam u₁:= (1, 1, 1)|, u2:= (1, 2, 2)|, e u1:= (2, 3, 4)|.

a) Encontre a matriz de transição corespondente à mudança de base de {e1, e2, e3} para

{u₁, u2, u3}.

b) Encontre as coordenadas dos vetores seguintes em relação a {u1, u2, u3}.

i) (3, 2, 5)|, ii) (1, 1, 2)|, iii) (2, 3, 2)|.

Exercício 6: Sejam v1 := (4, 6, 7)|, v2 := (0, 1, 1)|, v3 := (0, 1, 2)|, e u1, u2, u3 os vetores do

Exercício 5.

a) Encontre a matriz de transição de {v1, v2, v3} para {u1, u2, u3}.

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Exercício 7: Dados: v₁:=1 2 v₂ :=2 3 S :=3 5 1 −2

encontre vetores w₁ e w₂ tais que S seja a matriz de transição de {w₁, w2} para {v1, v2}.

Exercício 8: Dados: v₁ :=2 6 v₂:=1 4 S :=4 1 2 1

encontre vetores w1 e w2 tais que S seja a matriz de transição de {v1, v2} para {u1, u2}.

Exercício 9: Sejam {x, 1} e {2x − 1, 2x + 1} bases ordenadas para P2.

a) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {2x − 1, 2x + 1} para {x, 1}.

b) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {x, 1} para {2x − 1, 2x + 1}.

Exercício 10: Encontre a matriz de mudança de coordenadas em P3 da base ordenada

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Coreço˜

es:

Correção do Exercício 1: A matriz de transição correspondente à mudança de base, de {u1, u2} para {e1, e2} é a matriz cujas colunas são os vetores coordenadas dos vetores {u1, u2}

na base {e₁, e2}. Segue que:

a) M_(B₁_←B₂₎=1 −1 1 1 , b) M_(B₁_←B₂₎ =1 2 2 5 , c) M_(B₁_←B₂₎=0 1 1 0

onde notemos as bases B2:= {u1, u2} e B1 := {e1, e2}.

Correção do Exercício 2: A matriz de transição da base B1 = {e1, e2} para a base B2 =

{u1, u2} é a inversa da matriz de transição de B2 para B1. Segue que:

a) M_(B₂←B1)= M −1 (B1←B2) = 1 −1 1 1 −1 = [· · · ] = 1/2 1/2 −1/2 1/2 , b) M_(B 2←B1)= M −1 (B1←B2) = 1 2 2 5 −1 = [· · · ] = 5 −2 −1 1 , c) M_(B₂_←B₁₎= M−1_(B 1←B2) = 0 1 1 0 −1 = [· · · ] =0 1 1 0 .

Correção do Exercício 3: Notemos B3 a base B3 := {v1 = (3, 2)|, v2 = (4, 3)|}. A matriz

de transição de B₃ para B₂ é obtida multiplicando a matriz de transição de B₃ para B₁ com a matriz de transição de B₁ para B₂.

A matriz de transição de B3 para B1 é dada por:

M_(B₁_←B₃₎=3 4 2 3 . Segue que: a) M_(B₂_←B₃₎= M(B2←B1)· M(B1←B3)= 1/2 1/2 −1/2 1/2 3 4 2 3 = [· · · ] =−5/2 −7/2 −1/2 −1/2 , b) M_(B₂←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3)= 5 −2 −1 1 3 4 2 3 = [· · · ] = 11 14 −4 −5 , c) M_(B₂←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3)= 0 1 1 0 3 4 2 3 = [· · · ] =2 3 3 4 .

Correção do Exercício 4: Notemos B₁ := {e1, e2} a base padrão de R2.

A matriz de transição da base E = {(5, 3)|, (3, 2)|} para a base padrão é dada por: M_(B₁_←E)=5 3

3 2

.

A matriz de transição da base padrão B₁para a base E = {(5, 3)|, (3, 2)|} é dada pela inversa, ou seja: M_(E←B₁₎= M−1_(B 1←E)= 5 3 3 2 −1 = [· · · ] = 2 −3 −3 5 .

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Os vetores de coordenadas [x]_E, [y]E e [z]E de x = (1, 1)|, y = (−1, 1)| e z = (10, 7)| na base

E são obtidos multiplicando M_(E←B₁₎ para os vetores de coordenadas [x]B1 = (1, 1)|, [y]B1 =

(1, −1)|e [z]B1 = (10, 7)| na base padrão, calculemos que:

[x]E = M(E←B1)· [x]B1 = 2 −3 −3 5 1 1 =−1 2

[y]E = M(E←B1)· [y]B1 =

2 −3 −3 5 1 −1 = 5 −8 [z]E = M(E←B1)· [z]B1 = 2 −3 −3 5 10 7 =−1 5 Correção do Exercício 5:

a) Notemos B1 := {e1, e2, e3} a base padrão de R3, e B2 a base B2 := {u1 = (1, 1, 1)|, u2 :=

(1, 2, 2)|, u3 := (2, 3, 4)|}.

A matriz de transição da base B₂ para a base padrão é dada por:

M_(B₁←B2)=   1 1 2 1 2 3 1 2 4  .

A matriz de transição da base padrão B1 para a base B2 é dada pela inversa, ou seja:

M_(B₂_←B₁₎= M−1_(B 1←B2)=   1 1 2 1 2 3 1 2 4   −1 = [· · · ] =   2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1  .

b) O vetor de coordenadas na base B2 sendo obtido por multiplicação para M(B2←B1) do

vetor de coordenadas na base B1, temos que:

i) [x]B2 = M(B2←B1)· [x]B1 =   2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1     3 2 5  =   1 −4 3  

ii) [y]_B₂ = M_(B₂←B1)· [y]B1 =

  2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1     1 1 2  =   0 −1 1   iii) [z]_B₂ = M(B2←B1)· [z]B1 =   2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1     2 3 2  =   2 2 −1   Correção do Exercício 6: a) Notemos: • B1 a base padrão de R3, B1 := {e1, e2, e3}, • B₂ a base B₂ := {u1 = (1, 1, 1)|, u2 := (1, 2, 2)|, u1 := (2, 3, 4)|}, • B3 a base B3 := {v1= (4, 6, 7)|, v2 = (0, 1, 1)|, v3 = (0, 1, 2)|}.

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A matriz de transição da base B₃ para a base padrão é dada por: M_(B₁←B3)=   4 0 0 6 1 1 7 1 2  .

Jà calculàmos no Exercício 5 que a matriz de transição da B₁ para a base B₂ era:

M_(B₂←B1)=   2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1  .

A matriz de transição da base B₃ para a base B₂ é obtida por multiplicação:

M_(B₂←B3)= M(B2←B1)·M(B1←B3)=   2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1     4 0 0 6 1 1 7 1 2  = [· · · ] =   1 −1 −2 1 1 0 1 0 1  .

b) O vetor x = 2v₁+ 3v2− 4v3 tem coordenadas [x]B3 = (2, 3, −4)| na base B3. As

coorde-nadas de x em B₂ podem ser obtidas por multiplicação de [x]_B₃ com M_(B

2←B3), da forma seguinte: [x]B2 = M(B2←B3)· [x]B3 =   1 −1 −2 1 1 0 1 0 1     2 3 −4  =   7 5 −2   Correção do Exercício 7: Notemos: • B1 a base padrão de R2, • B₂ a base B₂:= {v1 = (1, 2)|, v2 = (2, 3)|}, • B₃ a base incógnita, B₃:= {w1, w2}.

A estratégia é a seguinte: as colunas da matriz de transição de B₃ para B₁ sendas dadas para os vetores coordenadas de {w1, w2} na base padrão, é so calcular M(B1←B3).

Queremos que S seja a matriz de transição de B3 para B2, isso é:

S = M_(B₂←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3).

Multiplicando à esquerda os dois lados dessa expressão para M−1_(B

2←B1), obtemos: M_(B₁_←B₃₎= M−1_(B 2←B1)· S = M_(B₁←B2)· S =1 2 2 3 ·3 5 1 −2 =5 1 9 4 Concluemos que: w₁ :=5 9 w₂ :=1 4 Correção do Exercício 8: Notemos:

(6)

• B₁ _{a base padrão de R}2_,

• B₂ a base B₂:= {v1 = (2, 6)|, v2 = (1, 4)|},

• B₃ a base incógnita, B₃:= {u1, u2}.

A estratégia é a seguinte: as colunas da matriz de transição de B3 para B1 sendas dadas

para os vetores coordenadas de {u1, u2} na base padrão, é so calcular M(B1←B3).

Queremos que a matriz S seja a matriz de transição de B₂ para B₃, isso é: S = M(B3←B2)

= M(B3←B1)· M(B1←B2).

Multiplicando à direita os dois lados dessa expressão para M−1_(B

1←B2), obtemos:

M_(B₃_←B₁₎= S · M−1_(B

1←B2)

= S · M_(B₂←B1)

Passando aos inversos, temos que: M_(B₁_←B₃₎= M−1_(B 3←B1) = S · M(B2←B1) −1 = M−1_(B 2←B1)· S −1 = M(B1←B2)· S −1 ₌2 1 6 4 4 1 2 1 −1 =2 1 6 4 1/2 −1/2 −1 2 = 0 1 −1 5 Concluemos que: u1 = 0 −1 u2 = 1 5

Correção do Exercício 9: Notemos:

• B₁ a base de P₃ dada por B₁ := {x, 1} ,

• B2 a base de P3 dada por B2 := {2x − 1, 2x + 1}.

a) É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B2 na base B1 são:

[2x − 1]B1 = (2, −1)

|_,

[2x + 1]B1 = (2, 1)

|_.

Logo a matriz de mudança de base de B₂ para B₁ é dada por M_(B₁_←B₂₎ = 2 2 −1 1

. b) A matriz de transição de B1 para B2 sendo a matriz inversa da matriz de transição de B2

para B₁, calculemos que:

M_(B₂_←B₁₎= M−1_(B 1←B2)= [· · · ] = 1/4 −1/2 1/4 1/2 .

(7)

• B₁ a base de P₃ dada por B₁ := {1, x, x2}

• B2 a base de P3 dada por B2 := {1, 1 + x, 1 + x + x2}.

É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B2na base B1são dados por:

[1]B1 = (1, 0, 0)

|_,

[1 + x]B1 = (1, 1, 0)

|_,

[1 + x + x2]B1 = (1, 1, 1).

Logo a matriz de transição de B2 para B1 é dada por

M_(B₁_←B₂₎=   1 1 1 0 1 1 0 0 1  .

A matriz de transição de B1 para B2 sendo a matriz inversa da matriz de transição de B2