Processo de Linearização de Gráficos

2016 ₁

Aula 2 – Linearização de Gráficos

CKS

Processo de Linearização de Gráficos

• O que é linearização ?

– Procedimento para tornar uma curvaem uma reta.

– Permite determinar a relação entre duas variáveis (y e x) , que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta (a e b).

• Por que linearizar ?

– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. – O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas

que governam o experimento que gerou os dados.

Métodos de Linearização

• Troca de variáveis

– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida.

– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta.

• Exemplo:

𝑦 = 𝑎𝑥

2

_{+ 𝑏}

Termo não linear

x

′

_{= 𝑥}

2

_{𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏}

Equação linear 2016 CKS ₃

Exemplo

𝑦 = 𝑎𝑥

2

_{+ 𝑏}

𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏

Outro exemplos de troca de variáveis

2016 CKS ₅

𝑦 =

𝑎

𝑥

+ 𝑏

𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏

𝑥′ =

1 𝑥

• Nem todas as equações podem ser linearizadas com troca de variável

𝑦 = 𝑎𝑥

2

_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

Termo não linear

x

′

_{= 𝑥}

2

𝑦 = 𝑎𝑥

′

_{+ 𝑏 𝑥}

′

_{+ 𝑐}

Equação resultante

Exemplo

2016 ₇

𝑦 = 𝑎𝑥

2

_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

𝑦 = 𝑎𝑥

′

_{+ 𝑏 𝑥}

′

_{+ 𝑐}

CKS

Outros Métodos de Linearização

• Uso de papéis especiais: mono-log e di-log

– Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log.

– Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida.

– Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.

Métodos de Linearização

• Tipos de Papéis:

milimetrado mono-log di-log

E sca la l o g a rít m ica E sca la l o g a rít m ica Escala logarítmica 2016 CKS ₉

Exemplo 1

• Conjunto de dados (qualquer)

– Obtido experimentalmente / simulação numérica

– Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado – Como proceder?

• Tira-teima

– Usando papel di-log para ver se lineariza

2016 CKS ₁₁

Análise do ajuste linear no papel mono-log

• Achando a e b equação linear 𝑦′_{= 𝑎𝑥 + 𝑏} 𝑎 =log 𝑦2 − log 𝑦1 𝑥2− 𝑥1 = log 0,08 − log 2 1 − 0 x_{1 x} 2 y₁ y2 𝑏 =log 𝑦 𝑥 𝑥=0= log 2 = 0,3010 𝑦′_{= −1,4. 𝑥 + 0,3010} mas 𝑦′= 𝑙𝑜𝑔 𝑦 então 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = −1,4. 𝑥 + 0,3010 𝑎 = −1,0969 − 0,3010 = −1,3979~ − 1,4 Para determinar y 10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10−1,4.𝑥+0,3010

• Para determinar y – Partindo de – temos – – 2016 CKS ₁₃

𝑙𝑜𝑔 𝑦 = −1,4. 𝑥 + 0,3010

10

𝑙𝑜𝑔 𝑦

_{= 10}

−1,4.𝑥+0,3010

𝑦 = 10

−1,4.𝑥

_.

₁₀

0,3010

_{= 2. 10}

−1,4.𝑥

𝑦 = 2. 10

−1,4.𝑥

Exemplo 2

• Conjunto de dados (qualquer)

– Obtido experimentalmente / simulação numérica

– Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado – Como proceder?

– Ultima tentativa com papel di-log

2016 CKS ₁₅

Análise do ajuste linear no papel di-log

• Achando a e b equação linear 𝑦′_{= 𝑎𝑥′ + 𝑏} 𝑎 =log 𝑦2 − log 𝑦1 log 𝑥2 − log 𝑥1 = log 2 − log 0,03 log 1 − log 0,06 x₁ x₂ y₁ y₂ 𝑎 =0,3010 − −1,5228 0 − −1,2218 = 1,4927~1,5 Selecionar um ponto para determinar b x₃

y₃

𝑦3′ = 𝑎. 𝑥3′+ 𝑏

𝑏 = 𝑦3′ − 𝑎. 𝑥3′ = log 0,5 − 1,5. log 0,4 = 0,2959

• Para determinar a equação original – Partindo de – Reescrevendo – temos – – 2016 CKS ₁₇

10

𝑙𝑜𝑔 𝑦

_{= 10}

𝑎.𝑙𝑜𝑔 𝑥 +𝑏

𝑦 = 1,9765. 𝑥

1,5

_{~2. 𝑥}

1,5 equação linear 𝑦′_{= 𝑎𝑥′ + 𝑏}

𝑦 = 10

𝑏

_{. 10}

𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑎

_{= 10}

𝑏

_{. 𝑥}

𝑎

_{= 10}

0,2959

_{. 𝑥}

1,5

𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 𝑎. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑏

Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta

• Dados obtidos:

– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de v e x.

• 1) unificar as unidadespara o mesmo sistema de unidades

– Por exemplo, no SI.

• 2) Fazer o gráfico:v versus x

Não é reta!!!

2016 CKS ₁₉

x (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 v (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

• 3) Fazer a linearização:

– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X – Análise:

• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve aceleração constante, ou seja, MRUV.

• As equações do MRUV são:

– A equação que relaciona v com x é:

– como 2 2 0 0 at t v x x  

at

v

v



0



x a v v  022  2 0 x x x  

ax

v

v

02

2

2

_

_

₀ 0 x

x

x





• 3) Fazer a linearização(cont):

– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.

– Assim: – coeficiente linear: – coeficiente angular:

ax

v

v

2



₀2



2

cx

b

y





2 0

v

b



a c2



v₀ b



2 c a 2

v

y



2016 CKS ₂₁

• 4) Montar uma tabelacom as variáveis linearizadas v2_{e x.}

• 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de v2_{versus x}

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 8 10 12 Y ( m 2/s 2) X (m) 2

V

Y



x (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 y = v2_{(m/s) 0,477 2,059 3,660 5,258 7,437 9,169 10,478}

• 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ

– Calculando o coeficiente angular:







i i i i i

x

y

x

A

₂

.







2

m/s

11,4286

63

,

0

20

,

7

_



A

2016 CKS ₂₃ x v2 x y xi yi xi2 xi.yi 0,00 0,477 -0,45 -5,03 0,203 2,2626 0,15 2,059 -0,30 -3,45 0,090 1,0338 0,30 3,660 -0,15 -1,85 0,023 0,2769 0,45 5,258 0,00 -0,25 0,000 0,0000 0,60 7,437 0,15 1,93 0,023 0,2897 0,75 9,169 0,30 3,66 0,090 1,0990 0,90 10,478 0,45 4,97 0,203 2,2378 Média = 0,45 5,51 Soma = 0,63 7,20

• 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ(cont.)

– Calculando o coeficiente linear B:

– Comparar os coeficientes e • calcular a aceleração:

• calcular a velocidade inicial V0:

x

A

B

y





y__Nyi N x x_ i 45 , 0 4286 , 11 51 , 5     y Ax B 2 2 /s m 3671 , 0  B 2 / 4286 , 11 2 /  A a 2 m/s 7143 , 5  a



3671 , 0 0 B V



V00,6059m/s

• 7) Desenhar a melhor reta no gráfico

– Escolher dois pontos X1e X2e a partir da equação da melhor reta

calcular Y₁e Y₂

– Exemplo:

– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta

x

y



0

,

3671



11

,

4286

.

20 , 0 1 x



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 12

Pontos da melhor reta

Y ( m 2/s 2) X (m) 653 , 2 ) 20 , 0 ( 4286 , 11 3671 , 0 1    y 2016 CKS ₂₅ x y 0,20 2,653 0,70 8,367

FIM