MAT175 - GEOMETRIA ESPACIAL Bibliografia:
[1] Fundamentos de Matem´atica Elementar, 10: Geo-metria Espacial, posi¸c˜ao e m´etrica. Osvaldo Dolce e Jos´e Nicolau Pompeo. 6. ed., S˜ao Paulo, Atual, 2005. [2] A Matem´atica do Ensino M´edio, vol. 2, Elon La-ges Lima et all. Cole¸c˜ao do Professor de Matem´atica, SBM, Rio de Janeiro, 1999.
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No¸
c˜
oes Primitivas
Adotaremos os conceitos de ponto, reta e plano que n˜ao s˜ao poss´ıveis de serem definidos.
Espa¸co ´e o conjunto de todos os pontos e ´e onde desenvolve-se a Geometria Espacial.
Quando pensamos na abordagem dessas no¸c˜oes com alunos do ensino m´edio, destacamos como fundamen-tais as ideias apresentadas por Elon [2], as quais trans-crevemos aqui:
“Na nossa opini˜ao, n˜ao ´e apropriado apresentar, no segundo grau, uma teoria axiom´atica formal para a Ge-ometria Espacial. Mas ´e importante estabelecer as re-gras b´asicas do jogo, introduzindo as entidades funda-mentais (ponto, reta, plano, espa¸co) como no¸c˜oes pri-mitivas e apresentando alguns dos axiomas como pro-priedades a serem aceitas sem demonstra¸c˜ao.
Muitas vezes o aluno recebe com certa surpresa o fato de que a Geometria se baseia em algumas no¸c˜oes para as quais n˜ao ´e apresentada defini¸c˜ao e em algu-mas propriedades para as quais n˜ao ´e apresentada uma demonstra¸c˜ao. ´E importante que o professor esclare¸ca que isto ocorre em qualquer teoria matem´atica (veja a discuss˜ao no cap´ıtulo 2 do primeiro volume desta s´erie).
O fato de ponto, reta, plano e espa¸co serem no¸c˜oes primitivas da Geometria, n˜ao significa que n˜ao se possa refor¸car a intui¸c˜ao do aluno a respeito dessas no¸c˜oes (...), pois ajudam a correlacionar entidades ma-tem´aticas com imagens intuitivas. Deve-se, por´em, esclarecer para o aluno que, do ponto de vista ma-tem´atico, o que importa ´e estabelecer uma quantidade m´ınima de propriedades (postulados) que sejam capazes de caracterizar o comportamento dessas entidades”.
O autor tamb´em menciona que a utiliza¸c˜ao de mode-los do mundo real ´e mais dif´ıcil nesse estudo e, quando utilizados, deve-se ter bem claro suas limita¸c˜oes, por isso, somente eles n˜ao bastam:
” ´E preciso algo mais: ter alguma imagina¸c˜ao, de-senvolver alguma habilidade de fazer representa¸c˜oes de tais figuras em papel e, principalmente, adquirir um bom conhecimento das propriedades fundamentais entre as figuras geom´etricas espaciais, de modo que rela¸c˜oes entre elas possam ser deduzidas atrav´es de uma argumenta¸c˜ao geom´etrica, j´a que raramente tais rela¸c˜oes podem ser observadas diretamente em uma fi-gura ou um modelo”.
Essa limita¸c˜ao deve estar bem presente ao utilizar-mos, por exemplo, a marca da ponta de um l´apis, um barbante (ou palito de churrasco), uma folha de papel (ou piso, parede da sala) para nos dar, respectivamente, a no¸c˜ao intuitiva de ponto, reta e plano nas atividades que realizaremos.
Atividade 1.1
a) Marque dois pontos, A e B, em seu caderno. Quan-tas reQuan-tas vocˆe consegue representar de forma que elas contenham esses dois pontos?
b) Agora marque um ponto A no seu caderno e ima-gine um outro ponto B em qualquer lugar do espa¸co. Quantas retas vocˆe consegue imaginar que formam-se no espa¸co e que contenham esses dois pontos?
c) O resultado obtido no item (a) e no item (b) mu-daria em alguma situa¸c˜ao?
Atividade 1.2
a) Marque trˆes pontos, A, B, C, n˜ao-colineares1 em
seu caderno. Quantos planos vocˆe consegue re-presentar de forma que eles contenham esses trˆes pontos?
b) Agora marque dois pontos no seu caderno e ima-gine outro em qualquer lugar do espa¸co. Contendo esses trˆes pontos, quantos planos vocˆe consegue imaginar que formam-se no espa¸co?
c) Marque apenas um ponto no seu caderno e ima-gine outros dois em qualquer lugar do espa¸co. E agora, quantos planos contendo estes trˆes pontos podemos imaginar que existem?
c) E se nenhum dos trˆes pontos estivessem contido no seu caderno e sim, em qualquer lugar do espa¸co? d) O resultado obtido nos itens anteriores mudaria em
alguma situa¸c˜ao?
Atividade 1.3
a) Represente dois pontos A e B num plano. A reta que cont´em esses dois pontos est´a contida no plano?
b) Represente um ponto A num plano α e um ponto B fora dele. A reta que cont´em os pontos A e B estar´a contida no plano α?
c) A partir do item (a) e (b) vocˆe conseguiria deter-minar uma condi¸c˜ao para que uma reta r esteja contida num plano α?
Nessas atividades, vocˆe acabou de constatar algumas das propriedades essenciais que relacionam as no¸c˜oes de ponto, reta, plano e espa¸co e que s˜ao dadas como axiomas ou postulados.
1. Dados dois pontos distintos do espa¸co, existe uma, e somente uma, reta que os cont´em.
2. Dados trˆes pontos n˜ao-colineares do espa¸co, existe um, e somente um, plano que os cont´em.
3. Se uma reta possui dois de seus pontos em um
plano, ela est´a contida no plano.
Estes axiomas, que s˜ao propriedades que aceitamos sem demonstra¸c˜ao, s˜ao utilizadas para mostrarmos ou-tras propriedades, teoremas, como o que segue.
Teorema 1.1 Existe um ´unico plano que cont´em uma reta e um ponto n˜ao pertencente a ela.
Prova. A partir dos questionamentos a seguir e da
figura 1, escreva a demonstra¸c˜ao desse teorema. a) Qual ´e a reta e o ponto exterior a ela? b) Quais os dois pontos tomados sobre a reta? c) Como garantir que os trˆes pontos n˜ao s˜ao
colinea-res?
d) Quantos planos cont´em esses trˆes pontos? e) A reta est´a contida no plano?
f) Existe um plano contendo a reta e o ponto exterior a ela? Esse plano ´e ´unico?
Figura 1: Um plano determinado por uma reta e um ponto exterior a ela.
2
Posi¸
c˜
oes de retas
Atividade 2.1
a) No plano α, represente duas retas r e s que se interceptam.
b) Quantos pontos as retas r e s tˆem em comum?
Atividade 2.2
a) Duas retas que se interceptam, podem ter mais de um ponto em comum? Em que condi¸c˜oes? Represente-as no plano α.
b) Quantos pontos as retas r e s tˆem em comum?
Atividade 2.3
a) Duas retas sempre se interceptar˜ao? Represente no plano sua observa¸c˜ao.
b) Quantos pontos as retas r e s tˆem em comum?
As atividades 2.1, 2.2 e 2.3 envolvem os conceitos de retas paralelas, coincidentes e concorrentes, respectiva-mente. Apresentamos a seguir tudo o que observamos e comentamos nestas atividades, na forma de defini¸c˜oes e propriedades.
- Quando duas retas tem exatamente um ponto em comum s˜ao chamadas de concorrentes e sempre determinam um plano.
- Pelo axioma 1, duas retas distintas podem ter no m´aximo um ponto em comum, pois se possu´ısse dois ou mais pontos, seriam retas coincidentes (mesma reta).
- Duas retas do espa¸co podem n˜ao ter pontos de in-terse¸c˜ao e serem coplanares. S˜ao retas paralelas. Duas retas s˜ao paralelas se, e somente se, ou s˜ao coincidentes ou s˜ao coplanares e n˜ao tem ponto em comum.
Atividade 2.4
Agora pensemos em retas que n˜ao est˜ao contidas no mesmo plano.
a) Existem retas paralelas, coincidentes e concorren-tes? Utilize como referˆencia os planos que conte-riam a superf´ıcie das paredes e piso da sala de aula para represent´a-los.
b) Tome agora uma reta r que estaria passando por um dos cantos da sala de aula e uma reta s na su-perf´ıcie do piso da sala, conforme mostramos a se-guir na figura 4. Como vocˆe classificaria a posi¸c˜ao dessas retas?
Observamos ent˜ao que no espa¸co existem retas que n˜ao se interceptam e n˜ao s˜ao paralelas. N˜ao existe nenhum plano que contenha r e s. Neste caso as retas s˜ao chamadas reversas ou n˜ao-coplanares e sempre
possuem interse¸c˜ao vazia.
Podemos resumir numa tabela as poss´ıveis posi¸c˜oes de duas retas do espa¸co.
Posi¸c˜ao relativa Interse¸c˜ao r e s de r e s de r e s s˜ao coplanares? Concorrentes Paralelas distintas Paralelas coincidentes Reversas
Observa¸c˜ao: Assim como no plano, no espa¸co tamb´em vale a seguinte propriedade: por um ponto P exterior a uma reta R do espa¸co, passa uma ´unica reta s paralela a ela.
Atividade 2.5
a) Considere a reta r contida no plano α (passando pela superf´ıcie do piso da sala). Represente uma reta paralela a r, que n˜ao esteja contida neste
plano α?
b) As retas r e s, representadas na fi-gura abaixo, s˜ao paralelas? Justifique.
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Posi¸
c˜
ao relativa entre reta e
plano
A atividade a seguir nos leva a refletir sobre as poss´ıveis posi¸c˜oes entre uma reta e um plano. Ap´os desenvolver
a atividade, complete o quadro resumo a partir das suas observa¸c˜oes.
Atividade 3.1
Consideremos os planos α, β e γ que conteriam, res-pectivamente, a superf´ıcie da tampa, da base e da late-ral de uma caixa, r a reta contendo uma das diagonais da tampa e s a diagonal que passa pelo interior da caixa, conforme mostrado na figura 2. Podemos dizer que
a) r pertence ao plano ...
A interse¸c˜ao entre r e α
... b) r n˜ao pertence ao plano γ. r intercepta o plano γ?
Em quantos pontos?
c) r n˜ao pertence ao plano β. r intercepta o plano β? Em quantos pontos?
Figura 2: Posi¸c˜ao relativa entre reta e plano
Resumindo, uma reta r e um plano α podem estar em um dos casos a seguir.
Posi¸c˜ao relativa de r e α Interse¸c˜ao de r e α r contida em α
r secantte a α
r paralela a α
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Posi¸
c˜
ao entre dois planos
dis-tintos
Considerando dois planos distintos, podemos pensar em suas posi¸c˜oes relativas a partir de suas interse¸c˜oes. A atividade a seguir tem essa proposta.
Atividade 4.1
Considere dois planos distintos θ e µ, que podem ser qualquer um dos planos que contˆem as superf´ıcies da figura 2.
a) θ e µ podem ter interse¸c˜ao vazia? Em que condi¸c˜oes? Exemplifique.
b) θ e µ podem interceptar-se em apenas um ponto? c) se θ e µ interceptam-se, como ´e sua interse¸c˜ao?
Exemplifique. d) Resumindo,
Posi¸c˜ao relativa de θ e µ Interse¸c˜ao de θ e µ secantes
paralelos
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Exerc´ıcios
1. Considere uma ponte sobre uma estrada de ferro. Sejam α e β, respectivamente, os planos da pista da ponte e o do leito da estrada de ferro e sejam r e s as retas que representam o eixo da pista e um dos trilhos. Quais s˜ao as posi¸c˜oes relativas de α, β, r e s?
2. Quantos s˜ao os planos determinados por 4 pontos n˜ao coplanares?
3. Duas retas r e s s˜ao concorrentes em um ponto O. Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer. Qual ´e a interse¸c˜ao do plano definido por r e P com o plano definido por s e P ? 4. Sejam r e s duas retas reversas, A um ponto em r e B um ponto em s. Qual ´e a interse¸c˜ao do plano α definido por r e B com o plano β definido por s e A?
5. Sejam r e s duas retas reversas e P um ponto qualquer do espa¸co. Diga como obter:
a) um plano contendo r e paralelo a s; b) um par de planos paralelos contendo r e s, respectivamente;
c) uma reta passando por P e se apoiando em r e rs.
6. Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. ´E sempre poss´ıvel tra¸car uma reta que passa por P , encontra r e ´e paralela a α? 7. ´E verdadeira ou falsa a afirma¸c˜ao: se dois planos s˜ao paralelos a uma reta ent˜ao eles s˜ao paralelos entre si.
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Diedros
Observe que uma reta divide um plano em dois con-juntos chamados de semi-planos. A reta ´e chamada de origem do semi-plano.
construir figura!!!!!!!!!!!!!!
Diedro ´e a uni˜ao de dois semi-planos, de mesma origem e n˜ao contidos num mesmo plano.
construir figura!!!!!!!!!!!!!!
A origem comum dos semi-planos ´e a aresta do die-dro e os dois semi-planos s˜ao suas faces.
