Olá!
Fernanda e Lorena
Somos do PET Engenharia Ambiental
Vamos pensar
+
O que são polígonos?
+
O que vocês entendem por área?
+
Como calculamos a área de grama para um campo de futebol?
Área
+
Medida da extensão ocupada por uma superfície
plana.
+
Suponha o seguinte retângulo:
1 cm
1 cm
cm² A= 12 cm²
Área do retângulo
+
Produto da base pela altura.
𝐴 = 𝑏. ℎ
+
Exercício: Determine a área da seguinte
figura:
h b A 6 9Área do retângulo
+
Quem tem maior área?
3m
5m
3m
Área do quadrado
𝐴 = 𝑏. ℎ
𝐴 = 𝑙²
lÁrea do paralelogramo
+
Produto da base pela altura
𝐴 = 𝑏. ℎ
+
Calcular a área do paralelogramo:
6 m8 m
30º
h
Área do triângulo
𝐴 =
𝑏.ℎ
2
b h b h h l l l 𝐴 = 𝑏.ℎ 2 = 𝑙. 𝑙. 23 2 = 𝑙2. 3 4Área do losango
+
𝐴 = 4.
𝐷 2.
𝑑 22
= 4.
𝐷.𝑑
4
.
1
2
=
𝐷.𝑑
2
d DÁrea do trapézio
+
𝐴 =
𝐵.ℎ
2
+
𝑏.ℎ
2
=
(𝐵.ℎ)+(𝑏.ℎ)
2
=
ℎ.
(𝐵+𝑏)
2
b h Base menor B Base maiorExercício
+
Um engenheiro deseja saber a área da seção da barragem
que faz parte de uma usina hidrelétrica. Sabe-se que a altura
máxima da barragem é de 150m e que os comprimentos
superior e inferior são de 2m e 8m respectivamente. Calcular
a área desejada.
Exercício
+
Um engenheiro deseja saber a área da seção da barragem
que faz parte de uma usina hidrelétrica. Sabe-se que a altura
máxima da barragem é de 100 m e que os comprimentos
superior e inferior são de 2m e 8 m respectivamente. Calcular
a área desejada.
R.: 500 m²
Vamos pensar
+
O que você entende por regular?
+
E por polígono regular?
Vamos pensar
+
Polígono regular: Polígono que tem todos
os lados congruentes e todos os ângulos
internos congruentes.
POLÍGONO REGULAR
Soma dos ângulos internos de um polígono
+
𝑆𝑖 = 𝑛 − 2 . 180°
+
𝑆𝑒 = 360 ° (
Para qualquer número de lados!
)
+
d =
𝑛(𝑛−3)
2
Soma dos ângulos externos de um polígono
ENEM 2016
+
É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?a) Quadrados, apenas.
b) Triângulos e quadrados, apenas.
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas
Área do polígono regular
+
Apótema: segmento perpendicular ao lado com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio do lado.a l 𝐴 = 𝑛. 𝑙. 𝑎 2 = 𝑛. 𝑙. 𝑎 2 = 𝑝. 𝑎 2
ÁREA DE QUALQUER
POLÍGONO REGULAR
ENEM 2011
+
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de:a) 45° b) 60° c) 90° d) 120° e) 180°
ENEM 2016
O proprietário de um restaurante deseja comprar um tampo de vidro retangular para a base de uma mesa, como ilustra a figura. Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa, tem a forma de um retângulo, cujos lados medem AC = 105 cm e AB = 120 cm. Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos de opções de tampos, de diferentes dimensões, e todos com a mesma espessura, sendo:
+
Tipo 1: 110 cm x 125 cm+
Tipo 2: 115 cm x 125 cm+
Tipo 3: 115 cm x 130 cm+
Tipo 4: 120 cm x 130 cm+
Tipo 5: 120 cm x 135 cmO proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se deve escolher o tampo de menor área possível que satisfaça a condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da borda externa da base da mesa, deve sobrar uma região,
correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, de cada lado. Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de vidro que o proprietário avaliou que deve ser escolhido?
Dúvidas nas
Problema - ENEM
(ENEM) Para se calcular a distância entre duas árvores , representadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas de um rio, foi escolhido um ponto C
arbitrário, na margem onde se localiza a árvore A. As medidas necessárias foram tomadas , e os resultados obtidos foram os seguintes: AC = 70 m, BAC = 62° e ACB = 74°. Sendo cos 28° = 0,88 , sen 74° = 0,96 e sen 44° = 0,70 , podemos afirmar que a distância entre as árvores é :
a) 48 metros b) 78 metros c) 85 metros d) 96 metros e) 102 metros
Problema - ENEM
(ENEM) Para se calcular a distância entre duas árvores , representadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas de um rio, foi escolhido um ponto C
arbitrário, na margem onde se localiza a árvore A. As medidas necessárias foram tomadas , e os resultados obtidos foram os seguintes: AC = 70 m, BAC = 62° e ACB = 74°. Sendo cos 28° = 0,88 , sen 74° = 0,96 e sen 44° = 0,70 , podemos afirmar que a distância entre as árvores é :
a) 48 metros b) 78 metros c) 85 metros d) 96 metros e) 102 metros
Problema - UNESP
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Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50m para a direita do ponto em que seencontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos B መ𝐴𝐶 e B መ𝐶𝐷 valem 30°, e o ângulo A መ𝐶𝐵 vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5
b)
12,5 2c) 25,0 d) 25,0 2 e) 35,0
Problema - UNESP
+
Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50m para a direita do ponto em que seencontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos B መ𝐴𝐶 e B መ𝐶𝐷 valem 30°, e o ângulo A መ𝐶𝐵 vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5
b)
12,5 2c) 25,0 d) 25,0 2 e) 35,0
Desafio – Simulado ENEM
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Um grande condomínio residencial foi projetado de forma que seis prédios iguais sejam construídos ao longo de uma circunferência de raio 4 dam,conforme mostra a figura.
Sabe-se ainda que cada prédio visto de cima é um retângulo com lado menor medindo 1 dam.
+
A disposição dos prédios foi projetada de forma que o hexágono interno obtido seja regular e doisvértices de cada retângulo toquem a circunferência.
Calcular o perímetro desse hexágono.
a) (3 7 − 3) 𝑑𝑎𝑚 b) 2( 7 − 3) 𝑑𝑎𝑚 c) 2(2 7 − 3)𝑑𝑎𝑚 d) 3(2 7 − 3)𝑑𝑎𝑚 e) 3(3 7 − 3)𝑑𝑎𝑚
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Um grande condomínio residencial foi projetado de forma que seis prédios iguais sejam construídos ao longo de uma circunferência de raio 4 dam,conforme mostra a figura.
Sabe-se ainda que cada prédio visto de cima é um retângulo com lado menor medindo 1 dam.
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A disposição dos prédios foi projetada de forma que o hexágono interno obtido seja regular e doisvértices de cada retângulo toquem a circunferência.
Calcular o perímetro desse hexágono.
a) (3 7 − 3) 𝑑𝑎𝑚 b) 2( 7 − 3) 𝑑𝑎𝑚 c) 2(2 7 − 3)𝑑𝑎𝑚 d) 3(2 7 − 3)𝑑𝑎𝑚 e) 3(3 7 − 3)𝑑𝑎𝑚
