Um algoritmo para a otimização da extração da sacarose atraves de um difusor continuo

EXTRAÇÃO DA SACAROSE ATRAvtS DE UM DIFUSOR CONT!NUO

ALBERTO ANGEL !1AZZONI

Orientador: Prof. Dr. JOS~ MARIO MARTfNEZ PEREZ

Dissertação apresentada no Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação, como requisito par -cial para obtenção do título de Mes-tre em Matemática Aplicada.·

- Ao !1ario Martinez, pela orientação e pelo apoio.

-Aos colegas e amigos da UNICAMP, pelas palavras de incentivo.

Ao Professor Enrique Ortega da Faculdade de Engenharia de Ali-mentes e Agricola, pelas claras explicações sobre os processos de difusão.

Ao colega e amigo Renato Borges Guerra, graças a quem aprendi o pouco que eu sei de matemática.

Página

Capítulo I

- Motivação: O Processo de Difusão para

Extra-çao de Sacarose • • • • • • • • • • • • • .. • • • • • . • .. • • • • • • 1 1.1 - Procedimentos de Extração de Sacarose. 1 1.2- Conceitos sobre Difusão . . . 1

1.3- Descrição do Difusor e do Processo de

Extração

...

2

1.4 - Previsão da Influência e Comportamento

das Variáveis no Processo de Extração.

7

1 . 5 - Conceito de Eficiência ... 11

1.6- Definição do Problema ••••••••••••••••

11

capítulo II - Formulação e Resolução do Problema • .. • • • • • • • 13

2.1 - Introdução

2. 2 - Formulação

...

do Problema ... . 2. 3 - Algo ri trno Proposto ... . 2.4 - Ajuste do Algoritmo aos Dados

Disponí-13 13 15 ve1.s • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • 16 2.5- Resolução do Problema •••••••••••••••• 17 2.5.1- Esquema do Algoritmo ••••••••• 17 2.6- Procedimento Computacional ••••••••••• 19

2.6.1 - Comentários sobre as Principais Subrotinas • • • • • . • • • • • • • • • • • • • 20 Capítulo I I I - Experiências Numéricas •••••••••••••••.••••. 22

-3.1 - Introduçao •••••••••••• o • • • o o . o . o o • • • • 22

O presente trabalho aborda o problema de otimizar a

extração de sacarose que será destinada

à

produção de álcool hi

dratado. O processo de extração

é

realizado através de um

protó-tipo de difusor continuo que fora projetado pela FaCuldade de

En-genharia de Alimentos e Agrícola da UNICAMP.

No capitulo I, fazemos uma breve descrição do

proces-so de extração por difusão, do protótipo de difuproces-sor contínuo e

analisamos o comportamento das variáveis que intervém no processo

de extração definindo em forma global o problema.

No capítulo II, formulamos o problema e propomos um

algoritmo para sua resolução expondo o procedimento computacional

utilizado.

No capítulo III apresentamos as ~xperiências

numéricas que foram realizadas visando analisar o comportamento do al -goritmo proposto.

CAPITULO I

MOTIVAÇÃO: O PROCESSO DE DIFUSÃO PARA EXTRAÇÃO DE SACAROSE

1.1 PROCEDIMENTOS DE EXTRAÇÃO DE SACAROSE

Os procedimentos usados para a extração de sacarose,

podem ser classificados, .de uma forma geral, em dois tipos:

a) Procedimento

de

extração por moendas- (tradicio

na1).

Era, há algum tempo atrás, o único processo de

extração, e consiste, basicamente, na obtenção do caldo da cana de açúcar por prensagem em moendas

com a ajuda do chamado moinho de cana.

b) Procedimento de extração sólido-llquiUo.

O processo de extração

é

realizado através de

di-fusores ou extratores, cujas características e

funcionamento serão detalhadas nos Ítens seguin

tes.

1.2 CONCEITOS SOBRE DIFUSÃO

11_Difusão11 _{ou "difusor}11

sao termos oriundos da indús-tria da beterraba açucareira e empregados para descrever o

sistema de extração de sacarose com água quente. Na indús

tria química, a operação se classifica como lixiviação

(ex-tração com solvente), sendo o termo difusão reservado

A utilização deste sistema de extração tem motivado

sua adoção por parte dos

parses industrializados, visto que

tem sido comprovado um maior rendimento de extração [ 3 ],

exigindo uma construção civil mais simples e um custo de

manutenção menor.

1.3 DESCRIÇÃO DO DIFUSOR E DO PROCESSO DE EXTRAÇÃO

Neste item faremos uma breve descrição das caracte

-rísticas e funcionamento do protótipo de difusor contínuo,

que foi projetado pela Faculdade de Engenharia de Alimentos

e Agrícola da UNICAMP e para o qual ternos desenvolvido

o

algoritmo de otimização que apresentaremos no capítulo se-guinte.

Visto que o protótipo de difusor

é

de caráter expe

-rimental, serão expostas diferentes alternativas a

:serem

testadas no processo, visando a obtenção de um maior

rendi-mento na extração.

O corpo do difusor

é

um prisma retangular de 28cm.

por 40cm. de base e 2,50 metros de comprimento sustentado

por quatro suportes de

SOem. de

altura.

A

figura

1,

mostra

Figura 1

O difusor foi projetado com 4 conexões que sao apre-sentadas na figura 2, destinadas a:

- Entrada de cana picada - SaÍda de megaço

- Entrada de água

- SaÍda de caldo concentrado

C)ltlll.

--CALDO

Figura 2

Basicamente, as quatro conexoes citadas definem o

processo de extração. Por uma conexão

é

injetada água

quen-te e simultaneamenquen-te

é

introduzida a cana picada em

contra-corrente. No sentido do fluxo da água

é

obtido, como saída,

caldo concentrado. No sentido do fluxo do sÓlido (cana pi

-cada}

é

extraído megaço~

o difusor possui no seu interior 9 metades de

cilin-dros que chamamos canecos, como foi mostrado na figura 1.

Existe uma pequena zona de justaposição entre os

canecos,

que foi projetada levando em consideração um melhor deslo -camento do material sólido entre os mesmos.

Na parte inferior dos canecos existe, em cada lado , uma boca de saída de uma polegada de diâmetro. Este par de bocas permite a entrada/saída rápida de líquido contido no caneco. Essa movimentação de líquido se torna necessária pa ra a pesquisa de pulsação do nivel do lÍquido {Fig.3), ope--ração esta muito importante para acelerar a extope--ração.

CANECO CHEIO

?!Qll!)

ESVAZIAMENTO CANECO VAZIO ESQUEMA DE PULSAÇÃO FIGURA 3 ENCHI I-lENTO

As bocas também servirão para experimenta-r os siste-mas alternativos de movimentação de líquido, tais como:

a} Escoamento por vasos comunicantes sem pulsação

(Fig. 4)

b) Escoamento gravitatório em cascata. Neste caso, o difusor precisará ficar inclinado, aproximadamen-te 4°, para conseguir esta movimentação (Fig.S}.

BSCOA11ENTO POR VASOS COMUNICANTES FIGURA 4

BSCOA1lENTO GRAVITAT6RIO E11 CASCATA FIGURA 5

A

movimentação

do sÓlido será realizada através de

pás, que lentamente carregarão as porções de cana picada de

um caneco para outro (Fig. 6)

MOVIMENTAÇÃO DO SÓLIDO FIGURA 6

Diferentes modelos de pás e acessórios terão que ser testados, pois além do efeito de transporte do sólido, exis

tem outros efeitos colaterais relevantes, tais como:

a) Compressão do leito da cana picada

b) Escoamento do caldo contido no leito por arras -tre do sólido.

Ambos os efeitos colaterais coincidem, a fim de evitar arrastre de caldo em sentido inverso a seu escoamento

-{Fig. 7).

ESCOAMENTO INDESEJADO

DO L!QUIDO

--.f\:---!---ilt--/1---JP'

POR ARRASTRE

~ DO SÕLIDO

EFEITOS COLATERAIS FIGURA 7

As

pás girarão com velocidade de urna ou duas rota

-çoes por minuto e serão movimentadas com um mecanismo que

inclui catracas e correntes, um tensor de corrente e um ten

sor com redutor de velocidade (Fig. 8).

6~---~

---

---•

·o-.

' _•

•

ESQUEMA DOS COMPONENTES MECÂNICOS FIGURA 8

1.4 PREVISÃO DA INFLutNCIA E COMPORTAMENTO DAS VARIÁVEIS NO PRO CESSO DE EXTRAÇÃO

Neste item, daremos uma idéia do comportamento

das

principais variáveis que intervêm no processo de extração

de sacarose, assim como as prováveis mudanças a serem intro

duzidas dado o caráter experimental do difusor.

As

var~a-

..

veis mais importantes sao:

a) TEHPE RATURA

;;i

p E<

;;i

"'

§!

"'

E<

temperatura de 20-30°c. e a água quente entrará com uma temperatura máxima de 90°C. As chapas i~

feriores do difusor serão aquecidas com Óleo que!!

te a 90°C.

~possível que exista um perfil de temperatura, ao

longo do difusor, como

é

mostrado na Fig.

9~

ÂGUA QUENTE

.---~·

. CANA

---

--..,

25°2\

_;,._~-,-1

---r··---,-- -

r - ~ -.- - - , - - - -.- - - - .----I I I I ' 1 I I I I ' I 2 3 : 4 : 5 : 6 1 7 : 8 9 '

__

___.___~ COMPRIMENTO FIGURA 9

as

0

_c

75°C 65°C 55°C 25°C CANECOS

Serão feitas experiências, com diversas condiçÕes

de aquecimento, para atingir quatro diferentes ní

veis de temperatura de extração: 55, 65, 75

e

85°c.

Existe, em geral, a tendência de aumentar o rendi

menta conforme se aumenta a temperatura.

Isto

ocorre sempre que o aquecimento for gradual, pois

um choque térmico poderá

acarretar

a modificação

da estrutura do Iftaterial de

forma

a· impedir a mi-gração da

sacarose.

b) PULSAÇÕES

Tem sido observado, que o processo de molhar e

deixar escorrer a cana moida em forma repetida ,

conduz aos maiores indíces de extração no

menor

tempo de contato.

O efeito da pulsação na extração ainda não foi ex

plicado.

~

provável que tenha a ver com a

compac-tação do megaço quando se deixa escorrer o

líqui-do e/ou a possibilidade de escoamento

gravitató-rio dentro dos canais das partículas de cana.

c) AGITAÇÃO

~lliCÃNICA

(movimentação do sólido)

O sólido

é

transladado de um caneco a nutro por

meio das pás que se movimentam em baixa rotação

(1 ou 2 rpm). Será testado um sistema

alternati-vo de movimentação rápida {10-40 rpm) para testar a resistência do material sólido.

d) EFEITO DA MODIFICAÇÃO DO PH PELA

ADIÇ~O

DE HI

DR0XIDO DE CÂLCIO

Para diminuir o efeito corrosivo do caldo sobre o aço carbono, material do qual

é

construido o difusor, usa-se uma solução de hidróxido de cál cio, para fazer com que o PH do caldo passe de

S.4(PH natural da cana) a 6-2! valo~ mínimo

A modificação do PH deverá ser feita em forma gr~ dativa, para evitar efeitos secundários tais como reação de compostos químicos {formação de sais de

cálcio insalubre), que poderiam afetar o

preces-so

de

extração.

e) TEMPO

O processo

é

medido através do intervalo de temPO

que decorre entre a entrada da massa de cana e a

saída do megaço.

Depois de estabelecida a influência da

temperatu-ra no processo, deverá ser estudada a influên

cia do tempo

de

contato em relação ao rendimento

de extração.- Por exemplo, será analisado

como

flui no processo um tempo de 5 até 40 minutos com intervalos de 5 minutos.

o tempo adequado definirá a capacidade de

produ-ção do difusor.

f) REFLUXO

A

cana que entra

é

colocada em contato com caldo

quente, concentrado, para que absorva todo o lÍ quido que essa massa, de partículas sólidas,

á

capaz de absorver. O efeito

é

produzir um enrique cimento do teor de sacarose do produto final.

g)

NÚilliRO DE ETAPAS

Como foi definido no item 1.3, o difusor tem 9

etapas (canecos). No entanto, dada a forma de op~

ração

é

possível adicionar módulos de 3,6 ou 9 es

tágios, em caso

de

se considerar necessário.

h) TAMANHO E FORMA DAS PART!CULAS DA CANA

Esta

é

uma variável externa ao processo de

extra-ção, porém, muito importante. Se trabalharmos com

cana preparada sob diferentes pD)cessos, os quais

produzem sÓlidos de diferentes dimensões,

obtere-mos partículas de diferentes dimensões e

teores

de urni da de •

1.5 CONCEITO DE EFICitNCIA

Definimos como eficiência o percentual de extração

de sacarose no processo. Tal percentual mede-se através da

relação sacarose extraída no caldo e sacarose total contida

na cana inicial. Este indicador pode ser calculado pela

se-guinte fórmula:

E= 100 x

voluine caldo x

p

caldo

umidade(%) x

tipo de cana

usada

Sendo pcaldo

=

Densidade do caldo lida em

tabelas

l .

6

DEFINIÇÃO DO PROBLEHA

pendentes que permitem uma extração mais eficiente de saca-rase pelo método de difusão.

CAPITULO II

FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

2 .1 INTRODUÇÃO

O presente capítulo tem por objetivo a apresentação,

formulação e resolução do problema definido globalmente, no

capítulo anterior.

O algoritmo que apresentaremos

é

de caráter geral, e admite qualquer número de variáveis que intervém no

proces-so de extração de sacarose. Ternos adotado este

critério,vi~

to que

é

possível sua utilização para qualquer tipo e dirnen

são de difusor contínuo.

2.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

As variáveis independentes do problema, podem ser classificadas em contínuas e

discretas:

contínuas são: PH , temperatura e tempo; discretas são: pulsação, agitação mecâ nica, refluxo, número de etapas e tamanho das partículas de

cana. Temos assim um conjunto de possíveis combinações (nem

todas válidas para o processo) para as variáveis discretas. Para citar algumas como exemplo damos as seguintes:

- Agitação lenta com moido tipo fino de cana, sem refluxo , nem pulsação, com 9 etapas.

Agitação rápida, com moido tipo fino de cana, sem refluxo,

com

pulsação, com 9 etapas.

fluxo, sem pulsação, com 9 etapas. etc.

Para cada combinação de variáveis discretas, ternos

definido então um problema de otimização 11_{contínuo". Porém}

a função objetivo (eficiência) não

é

dada em forma

determi-nística pois está sujeita a erros aleatórios de medição ou por intervenção de variáveis não consideradas.

Consideremos agora numa ·combinação fixa de variáveis contínuas. Sejam x

1, •••

o,Xk

as variáveis discretas e Y o va

lar da eficiência para valores dados a x

1

, •••• ,Xk distribuí

das da seguinte forma:

Onde: Obs. x1 x2 x3 xk y 1 x1 ₁ x1 ₂ x1 ₃

~

y1 2 x2 ₁ x2 ₂ x2 ₃

~

y2 3 x3 ₁ x3 ₂ x3 ₃

~

y3 m

m

é

o número de observações (experimentos)

X~

é

variável independente para i=l,2, •• ,k

~

j=l,2, •• ,m

Sendo que:

representa as variáveis discretas já definidas representa a eficiência no processo de extração

de

sacarose para esse experimento.

Trata-se, como foi dito anteriormente de achar

valo-.

res de x

₁

, ••••

,~,

que forneçam altas eficiências, no menor

número de ensaios possíveis.

Observamos que o custo deste processo nas suas condi

çoes reais, depende unicamente do número de ensaios,

sendo

o trabalho computacional (em términos de memória e tempo de

CPU) usado para determinar que ensaio deve ser

considerado desprezível.

2.3 ALGORITMO PROPOSTO

realizado

Propomos que a eficiência como função das variáveis independentes contínuas

é

adequadamente representada pelo "modelo quadrático" seguinte:

-Eficiência

~

Q(X)

~ ~

XtG X+ b X + C Onde;

G e

-

uma matriz simétrica

b e

-

um vetor

c

e uma constante

-Sendo que G,b e C, sao determinados em cada passo do

algoritmo (antes de cada ensaio) usando todos os ensaios

precedentes, através do método dos quadrados mínimos

linea-res.

A escolha do modelo foi baseada nas considerações se guintes:

a) As expressões quadráticas sao as que melhor se

adaptam a problemas de otimização.

b) O alto grau de flexibilidade (o algoritmo

admite

que se possa trabalhar com um grande número de va

riáveis, as quais podem ser modificadas em forma

isolada ou conjunta).

2. 4 AJUSTE DO ALGORIT!-10 AOS DADOS DISPON!VEIS

. n -

.-Dado um con]unto de dados;X,Y,E,R ,onde Y e a var1a-vel dependente, temos que ajustar urna expressão quadrática

aos dados, tal que, o erro seja mínimo.

Achar a melhor aproximação quadrática para esses

da-dos, implica achar os coeficientes de Gij'bi e C, que

mini-mizem

a

seguinte

expressão:

Este problema pode ser resolvido pelo método dos

qu~

drados mínimos lineares (1).

2, 5 RESOLUÇÃO DO PROBLEHA

As variáveis independentes tem cotas inferiores e su periores naturais, que o experimentador conhece, por exem-plo a temperatura poderá variar entre 25 e 90°, o tempo en

tre 5 e 45 minutos, o PH entre 5.4 e 6.2. Assim, em cada

passo do algoritmo, o experimentador será aconselhado a

fa-zer o ensaio que resolva o seguinte problema:

!linimizar Q (X)

Sujeito a L. :Ç X.~ U

1.

l l

O resultado obtido, aconselha um novo experimento a ser feito até atingirmos valores desejados da eficiência~

2. 5.1 ESQUEHA DO ALGORITMO

Inicialmente simulamos um número de experimentos,

atribuindo valores gerados aleatoriamente para as

variáveis independentes. A seguir calculamos a efi

-ciência (variável dependente) para cada experimento simulado.

Feito isto, procedemos como segue:

1. Ajusta-se a função quadrática Q(x} aos dados ger~ dos, através de quadrados mÍnimos lineares.

*

2. Minimiza-se Q(X), encontrando o ponto ótimo X 3. Simula-se um novo experimento, calculando a efi

*

* •

ciência em X, encontrando o ponto (X,Y }.

* *

te ajuste o ponto (X ,Y ) •

S. Minimiza-se a nova quadrática encontrada no

i tem 4.

6. Repete-se o processo, até atingirmos um

va-lor razoável de eficiência.

Para realizarmos o processo de otimização dos itens

2 e 6, usamos o método de Nelder-Mead (2).

A seguir, passaremos a descrever o processo

computa-cional, com seu respectivo diagrama de blocos simplificado.

2.6 PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL

O procedimento computacional compreende um programa

principal e quatro subrotinas principais, para o qual

te-mos desenvolvido o seguinte diagrama de blocos

INICIO

LEITURA

DE

ElU'ERIMENTOS

/

""

"

ElU'ER

/

/

CALL

"

"

QUAU

/

/

CALL

"'

"

Fi/4ASF

_/

"

/

CALL

'\

'\

MFi/2A

_/

NÃO

_EFICI~NCIA

VALOR DA

_:il

_O

DESEJADO

SIM

2.6.1 COMENTÂRIOS SOBRE AS PRINCIPAIS SUBROTINAS

Faremos agora alguns comentários sobre as subrotinas

utilizadas:

a) SUBROTINA EXPER

e

a subrotina que inicialmente calcula a

eficiência Y para cada combinação de variáveis indepen

-dentes

x1

geradas aleatoriamente. Na saída do pro cesso de otimização, efetuado pela subrotina MF02A a subrotina EXPER calcula a eficiência para

*

cada ponto ótimo encontrado X • No processo real esta rotina

é

o próprio experimento, realizado no laboratório em condiçÕes naturais.

b) SUBROTINA QUAD

g aquela que monta as equações normais, no prece~ so de ajuste da função quadrática Q(X), aos dados disponíveis, através do método dos quadrados

mini

mos lineares ..

c) SUBROTINA F04ASF

e

aquela que resolve um sistema linear de equa çÕes do tipo Ax=b, onde A

é

uma matriz simétrica. Para a resolução do sistema a subrotina usa o

mé-todo de decomposição de Cholesky, e foi implemen-tada pela NAG LIBRARY.

d) SUBROTINA MF02A

~ a que minimiza a função, foi implementada pelo

u

r-~ 1

B I B

1 . : ;

r;

A \\'!-

p

LABMA, e usa o método de Nelder-Mead para otimiz!! ção de funções, que

é

descri to no apêndice II.

CAP!TULO III

EXPERI~NCIAS NU~RICAS

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresentaremos as experiências

numéri-cas realizadas, sendo que as mesmas tiveram como

objetivo

analisar o comportamento do algoritmo proposto-no

capítulo

anterior.

Tendo em consideração que no processo de extração de

sacarose por difusão

é

oneroso fazer experimentos,

consider~

mos conveniente fazer experiências numéricas com uma

função

teste usando o algoritmo proposto e o método de Nelder-Mead.

Com o

algo~itmo

de Nelder-Mead simulamos que o

processo de

otimização da função teste representa o número de experimen-tos que seriam necessários realizar até serem atingidos valo res Ótimos da eficiência e comparamos esses resultados com

os obtidos nas experiências numéricas do algoritmo proposto.

3.2 FUNÇÃO TESTE

A função

teste escolhida para as experiências

numéri-cas foi a seguinte:

F(X)

=

(X-X*)t G(X-X*)+C+P

Onde:

X*

é

um suposto ponto Ótimo

X e

-

um ponto inicial

3.3 -V/'ILO~S CERADOS /I.LEATG-RIAKEN~

"

.c

e uma constante P e o valor da perturbação.

ALGORITMO PROPOSTO - EXPERIENCIAS NUMtRICAS

As experiências numéricas

reali~adas

com o

_algoritmo

pcoposto que foi apresentado no ítem 2.5.1 do capítulo

ante-rior, sao dadas na tabela I.

_{As mesmas foram realizadas com}

duas variáveis e tendo suposto conhecido um ponto eficiência

X*(7,-6).

ótimo da

Visando analisar o comportamento do algoritmo com

rnu-danças nas variáveis e que fizemos experiências sem perturb~

çoes e com perturbações de lO até

100%~

S~M PER

1

-~ r~:RTURllA- rERTU!liiJI-' Pl:RTURB/1- I'ERTURilA- PERTVIUlA- PERTUI!!IJ\- PI:RTUl<l!ll-Pl:RTURBA- Pi:RTURBA- PERTURllll-1'Uilll11ÇÀO Ç'ÀO LOI çlio

'"'

'"

'"'

çM

.,,

ÇÃO

'"'

'"

'"'

'"

'"'

çM

'"'

_'"'

'"'

_'"'

1001

"

V,O.L()R

'!llll

VJ\WR MW VP.LOR M!tl V.U.OR MIN VALOR Mitl VALOR MIII VALOR MlN VIILOR 'HN VI\.LOil MIN VALOR "!>> VALOR lU

AVAL. 011 FUNÇJI.O OA F;mçl\o OA ;'UNÇ!to DA FUI;Ç)\0 DA FI.INÇJ\.o OA FUNÇÃO DA FUNÇi\0 DA FUUÇÂO DA FUNÇJI.O DA fU1<Ç . .\o DA FUIIÇ~

-

80].0G19 78J.658B 764.2557 744.6527 7Z5.H'JG 70G,0465 686.~434 667.2~03 647,8373 626.4342 609.0311

-

76.2400 76.8242 71.4084 77.9926 78.5769 79.1611 7~. ?453 60.3295 80,5137 61.4~80 62.082~

-

666.970J 718.175~ 769,3816 820.5872 871.7921 922,9g~5 ~74.20H Hl25.410 1076.615 1127.821 1179.027 n6.aan

j

- 948.8Hl 931.6S25 914.4559 897.259) 880,0627 862,6661 845.6695 828.4129 Bll.H63 794.0797 - us.no& 132.9105 140.4304 147.9503 155.4702 162.9901 l10.5100 178.0JOU l85.54H 193,0698 200.5697

-

64.8913 63,6089 62.7204 6L.6ll9 60.5435 79.4550 78.3665 17.2781 7&.1896 75.1011 74.0127

'

0.69Dt:~06 0.181 o. 122 1.605 2. 787 4.190 5.644 6.902 1,497 6.636 2,695

,

0,890E-06 O, 7111;-01 0,241 0,464 o. 7l1 0,973 ~.252 1,570 1.975 2. SJO 3,)09

,

o.nn:~os o,BllE~Ol O. lOS 0.654 1.129 1,750 2,596 3.616 S.HO 9.121 15.616

•

0.217E~05 o.nn;~o1 0.212 o. 546 0.593 1.302 1.810 2. 486 3. 51] S. 253 B. 465

'

0,182E-05 0.755E-Ol 0.262 0.516 0.816 1.155 1,555 2.069 2.820 c .as o 6,311

•

0,125E-05 o, 746t-Ol o. 249 0.476 a. 724 0.983 1.259 l.SU 2.021 2.694 3,607

,

0.122E-06 O. 767E•Ol o. 270 o.su 0.864 1,2.16 1.706 2.310 3.212 4. ?SJ 7.&24

•

o.uze-o6 0.?30E~01 o.2H 0,457 0.6SG 0.911 1.138 1.363 1,696 2,ll9 2.805

'

O.l22t-06 0,6Z4t•01 0.]07 0,652 l.lJ.2 1.699 2.470 3.SSB s.no 8.184 14. ta O

"

0.122E-06 O, 710E-Ol 0,264 O,SH 0,817 1,151 l,S4l 2,041 2. 727 4.006 6.267

u 0,122&-06 0,7661':-01 0.281 O. S74 0.934 1.366 1.904 2,629 3. 740 5.H'i 19,345

"

0,298E~06 O, 769E•Ol 0,271 0.541 0.866 1.239 1.687 2.276 3.166 4.&77 7. 518

"

0.16U:·05 D.670E~Ol o. 338 0.748 1,ll9 ~.075 1.0~6 4. 562 6.902 11.127

I"·'"

"

O.H6E-06 o, 74oe~o1 o .14 2 o. 451 0.669 o.an 1.071; ~.284 1.SJ6 1.887 2. 366

"

0,06E~06 O. 783!:-01 0.278 0,562 0.909 l,JH 1.829 2.506 3. 537 S. l l l a. 737

"

0,436!:~06 0. 760E~Ol o. 260 0.504 o. 784 1,090 1.434 1.865 2.491 J. 523 1 s.4o2

n O,llSE-05 O. ?Z;!E~Ol o.23z• 0,423" 0.607• 0,763· '!l,665

f'l.974

'1..027 ''l.Oll

"

0.297E~OS 0.7951:~01 o. 284 0,577 0,941 1,1n 1.920 2,649 1.173 S. ?JL 9.501

'"

0.736!:~06 O, 775E-01 0,21l Q. S3ó o.ass 1.275 1. 656 2.227 l.OBO 4.Sl8

I" ,..

J .)03

"

o. JJ6E~06 lo. ' ' 763t::~Ol 0.280 0.566 0,915 l. 335 1,040 2, S25 ], 57) 5.181 Í _a.uo *VALOIU:S H%tHI"'.JS TABELA I i i I ' ' '

'

' '

ANÂLISE DA TABELA I

Nesta tabela, observamos que o valor mínimo sem per

-turbação

é atingido na sétima iteração com uma precisão

de

E-06 mantendo-se esse valor constante nas quatro

seguintes

iterações, sendo que

já

na primeira iteração

é

obtido um

ex-celente resultado com a mesma precisão.

Perturbando de 10%, o valor rninimo

é

atingido na se

-gunda iteração com uma precisão de E-01. Os valores obtidos

nas iterações restantes oscilam em torno desse mínimo manten

do-se a precisão.

Analisando as restantes perturbações, observamos que

os valorês mínimos são obtidos na iteração 17, sendo que os

mínimos vão aumentando em ordem de grandeza até perturbações

de 80%, diminuindo nas duas Últimas perturbações (90 e 100%).

Por outra parte observamos que a medida que o valor

da perturbação

é

incrementado, aumenta a dispersão dos res

-tantes valores com relação aos respectivos minimos obtidos •

3.4 NELDER-MEAD - EXPERitNCIAS NU~RICAS

'

com o algoritmo de Nelder-Mead supomos um ponto Ótimo

conhecido X*(7,-6) para uma determinada eficiência e

simula-mos que o processo de otimização representa um conjunto de

ensaios a serem feitos até obter valores Ótimos da eficiên

-cia.

De forma análoga as experiências realizadas no

Ítem

anterior, a função foi testada sem perturbaçõês e com

pertuE

Levando em consideração que para realizar o processo

de otimização

é

necessário dar um ponto inicial e que a fun

çao

é

perturbada, fizemos experiências com diferentes pon

-tos iniciais visando analisar os efei-tos que as perturba çoes produziam no valor da função com relação aos mesmos.

A seguir apresentamos os resultados nas seguintes ta

o

,.

~

"

~~

---~

'·

0 0

,.

'

o • " o o o

*

~

;

~

..

"' <> C> o N N M ~ ~ • ~ ~ ~ ~ C> o o <> <> o o o o c g

~ ~

:

~ ~ ~

*

*

*

k

* *

~

é

~

~ ~ ~ ~ ~ N ~ ~ ~ ~ ~ ~ : ~ ~ o ~ ~ o o o o o ~ o o o o f TABE!ili II

'·

I

I

i

1

ANl\LISE DA TABELA II

O ponto inicial dado foi {4,-4), porém bem prÓximo do

ótimo suposto

(7,-6).

Na função sem perturbação o mínimo

é

atingido em 72 iterações com uma precisão de E-08, mas ob

-tem-se um bom valor com 20 iterações.

Analisando as diferentes perturbações observamos que

os valores mínimos são atingidos com uma

exce~ente

precisão,

sendo que esta varia conforme a perturbação. Com perturba

-ções de 10 a 90% a precisão está entre E-04 e E-08 e com

H H H SE>I PtRTU!m~Çf;O VERTURB>.ÇJ\0

"'

"

111\LQR ti!N,

"

11/U.OR 1\lN, VIIL DA FUNÇM ·~· lll'l l;mlÇiiO

'

620.7500

'

sn.an1

'

Sl4.6a75

'

491.7180

"

llS.U~ó

"

200.1680

"

1:.6999

"

425.5726

"

28,04~$

"

LQ,G254G

"

5,0)40

"

S.JHG?G

'"

5,0177

'"

O,S9104Sl

"

2,)128

"

11.H78Sl0

"

0.611~·01

"

O.i6H26

"

0.8901:-0l

"

n.74JE:.o2

"

0.41-1&•02

"

o.nl;:.-ot

"

0.60:1~·01

"

0,641E·Ol

"

0,1\liC·O)

..

o.Olle-oJ

"

O.l66E-Ol

"

O.HlE-0~

"

0.112~-00

"

O.SOSE-04

"

0.40l.I'O·OI

"

0.53~1:·06

..

o,Hu:-os

..

O,l25E-Oii

"'

~. UúE-OG

.,

n,l51E-Ol

"'

o.n;~-01

..

0 0.l08E-OB

"

•o, BStE-0~ .

'·'·'~'

'"'''"'

rtRTURilo\çl'.O VõRTliR!I/1\"')lO NO'<TU!llliiÇ~O

'"'

"'

\01

'

"'

VIILOR fi!H,

"'

VI\LOR 1\tN,

"

'11\LOR Mlll, IIAL OA FU!IÇJ\o 111'1\L 0/1 FU!!ÇI\0 1\VN.., o/1. rwç.\o

'

514.97)5

'

sn1.oss2

_'

oG! .196~

'

451,7665

'

41S.n?JJ

'

JH.s2n

"

\S7.4GG?

"

G8J,85Q1

"

6SO ,SG1S

"

n.ta~sn

"

521.1<;17

"

Sl~.9JJ2

"

H,07)66

'"

6)0,4045

'"

U0,911l

"

1.644?70

"

UO,lHO

"

H6,708l

"

4.116846

'"

7ta.n4a

'"

807,9283

"

0.1:171280

"

SSC..GJD

"

518,6104

"

O.HL2l94

"

40B,77H

"

li2,8!H

"

O,SJ2J;·O?.

"

>Jl.?"'l

"

~46,3475

"

o,Jl3e-oz

"

;~S.lSll

"

423,702

"

0, 756L•02

"

~17.6474

"

I

HS,OH~

..

n.J~ar:-ol

'"

4'10.4415

'"

'lH,J">6l

"

a.Jl2C·04

"

569.6lst

"

r,lS,JJlJ

"

O,lOOE-03

"

194.ni4

"

I

618.1589

"

0,205L-0~

"

11l.l0l~

"

' r,D2,JJ04

..

0.265~·05

.,

n,GJ~C·07

I

..

•n,L70~·n~ ' ---~ -~~-

..

- "

-"

VERT<ll<!)/I,Ç.~O I'CRTUI<B"ÇI\0

I

r"r.t!R!l•\ÇJ.o 'OH

"'

"'

'

'"

111\L<)R >1!:<, )19 wu.on II!U.

'"

VALOR lt!N,

11\IIIL, on ru:";lio _·~· Oh FtnlÇ.I'.o 1\VI\L,

"

FUllÇ!i.O

'

4ll.l087

'

JH.4204

'

l5S.SJ22

'

359,9411

'

127.31(1

'

294.6010

"

750,0615

"

71L?572

"

19J,Cl29

"

Sl6,84H

"

526.1481

"

515.4489

"

7ll,,l0?

"

ns.L%o

'"

7S6.86Ll

"

JSL.07l5

I

"

Jll,l6H

"

29),6572

'"

872,1413

"

916.?661

"

981.5849

"

S82, ~OH

"

579.HS9

"

S7S.S655

"

121.~944

'"

267.SSJ9

'"

2U,lllS

"

5,2,?005

"

5ll.46H

"

SlO,Ol4l

"

)37,2021

"

)44,6046

"

302.0070

"

198,$642

"

9)9, 2722

"

817.9502

"

•Joa.l~92

"

'249, ;149

"

•tn.Jon

,,,

G42.H~7

"

651,18!9

"

659.9HO

'"

GJ4.SMG

"

6H,l7ll

"

648,2J6S

"

~1).676,

"

616.)717

"

Gl9.0S!l5

i

I

I

I -·~- -~---·~- -~----·~-Pr.RTURB/>Ç~'l rtn"l"URU~ç;>;o

"'

"'

N~ IIN..OR >!IN, :I? 111\LOR ~\IH.

'"~ M FU\IÇ~ AVAL. DI\ F\JNÇÃO

'

Jll,Ul~

'

27?.7556

'

262.2279

'

229.6H8

"

615.7065

"

637.5642

"

504, 74?7

"

494.050~

"

77!.52S2

"

aoa.lHl

"

lU,?JOl

"

l05.H29

"

016.204

'"

1090,82)

"

5'l,94S

"

S6B,J24S

"

1S6.Hll

'"

l01.2Hl

"

50~.601

"

4H,t5U

"

25,,(09

"

2l6.6HO

"

917.648

"

951.3362

"

'll7.S97

..

074.474l

"

668.446

"

67G,~H

"

655.100

"

661,961

"

'•2L.7H

"

624.4641 nR'IU!UCÇÃO !Q ~~

"'

V.;.L~R ~IN, "~ DA 7\IIIÇÃO

'

,H.SGH

'

U7,06l7

"

651.4~~~

"

UJ.JS14

"

82t,B564

"

lU,5lH

'"

lU5.4H

"

5!4.7HO

"

4;,nn

"

4!5, 7JSQ

"

lll,21H

"

H7.0242

..

·1~.0609 N

"'

·

-ANÂLISE DA TABELA III

O ponto inicial dado foi (-4,4), sendo que a função

sem perturbação atinge o mínimo em 87 iterações com uma

pre-cisão de E-09, mas obtem-se um excelente resultado na

itera-ção

40

com uma precisão de E-01.

Com perturbações de 10 e 20% o mínimo

é

atingido em

89

iterações com urna precisão

de E-08. Pertur~ações de 30 a

'

"

'

. .

g:;; ... :; ::: .... <> ... ~ ... O "' "' OD "' N C> "'n"'

..

.

. .

~ :G ~ .. ~ ,:, :c~~~~~;';g ..;.;.; TABELA IV

I

I

I'

I

I

I

!

ANALISE DA TABELA IV

O ponto inicial dado foi (4,4) e a função sem per

-turbar atinge o mínimo em 72 iterações com uma precisão de E-08.

Perturbando a função em 10% o mínimo

é

atingido em 95

iterações com uma precisão de E-08. Os valores obtidos com

~ _<

"

""

•

_"

_" "'

... ...

..

.... "' ... ... ..., N O "' "' N "' " "; ., "':; ":

...

.

"-

_"

_'

"'~~~~~~~~~~~~~~g :;.:;;~:;:~1'(;:56

~ ~ ~

_~';!"'~

....

~

.. -::

*

~

*

~~"::

~ ~ ~ ~

...

*

:<!~":;"':

~

*

~

~

...

~~ ... ~~~ "~~ ""•

".

TABELA V o • o

...

--•

I

I

I

I I I

ANÃLISE DA TABELA V

O ponto inicial dado foi (4,4) e o valor mínimo sem perturbar a função foi atingido na iteração 80 com uma preci são de E-08 ..

Observamos que com perturbações de lO e 20% o

valor

mínimo da função

é

obtido na iteração 88 com uma precisão de

E-09

e

E-08

respectivamente.

Para perturbações_ de 30 a 100%

Da análise realizada nas tabelas II, III, IV e V

con-9luimos que sem perturbar a função, com quaisquer dos pontos

iniciais usados, obtemos mínimos compatíveis sendo que

que varia

é

o número de iterações na medida em que o ponto

inicial

é

dado mais longe do Ótimo suposto.

o

Perturbando a função observamos que para um ponto ini

cial próximo da solução (tabela II) os valores obtidos

sao

-compatíveis enquanto que para valores iniciais-longe da solu ção com perturbaçÕes acima de 20%, obtemos valores não signi

fica

ti

vos.

3.5 RESULTADOS COMPARATIVOS

Neste ítem vamOs comparar os resultados obtidos

com

o algoritmo proposto (tabela I) e aqueles conse;uidos com o

algoritmo de Nelder-Mead (tabela II) já que não podemos

con-siderar significativos pelos motivos apontados no item ante-rior as tabelas III, IV e v.

Considerando que cada avaliação da função teste com

Nelder-Mead representa para nós um experimento e supondo que

para realizar cada um destes no processo real e

-

necessário

um dia de tempo, analisando a tabela II sem perturbar a

fun-ção observamos que para obter um valor compatível com o da

tabela I precisaríamos de 30 dias, enquanto que na tabela I na primeira iteração (um dia) obtemos excelentes resultados. Seguindo o mesmo raciocínio comparativo, com uma

per-turbação de 10% seriam necessários 25 dias, s~ndo que na

Com uma perturbação de 20% gastaríamos 25 dias, com

30% 10 dias, com 40% 15 dias, com 50% 15 dias e de 60 a 100%

5 dias, sendo que em todos esses casos o Ótimo do algoritmo

API':NDI CE I

~TODOS

DOS QUADRADOS M1NIMOS LINEARES

1.1 PRINC1PIO DOS QUADRADOS M1NIMOS LINEARES

Consideremos que f (x} seja uma função, e que 'tx

1},

para i = 1,2, ••• ,n seja uma sequência de pontos, nos quais ternos valores observados de f{x). Denotamos f{x.}, valor

-~

exato em x

1,

por fi e o valor observado em x

1

por

f

1

•

Defi-nimos o erro como:

Consideremos que ~j(x), j=l,2, •••• ,n seja uma sequê~ cia definida de funções para cada x

1, ou seja:

Desta maneira, nosso objetivo

é

aproximar

f

1

vês de uma combinação linear de· {~(x) } tal que:

atra m E

j=1

m

a.

J para i=1,2, ••• ,n (I)

Sendo os coeficientes aj incógnitas a determinar

1

de forma que a seguinte expressão, seja reduzida ao mínimo.

2

(f(z. )-~ (x.) )

n -2 E

i=O

n

A condição necessária para E ter um mínimo

é:

a

E

ãa

_r = O para r = 0,1, •••••••••.•••• , n

ou seja,

[f(x1 J-(a0 T0 (x1 J + •••••••••••••••• +a T (x.))]T (x.)=O _{n n 1 . · r 1}

O

que nos

conduz a seguinte expressão:

n

n-ao . ~ To(xi)Tr(xi)+ ••••••• +an ).=0 E T ( x. ) i=o n 1 T (x.)= E f(x.)T (x.) r 1 i=o 1 r 1 (III) Patd O " r-' n

A expressao (III) constitui um sistema de n+l equa

ções com n+l incógnitas, denominadas equações normais.

Pela resolução do sistema, determina-se o valor das

incógnitas que satisfazem a equação (II), obtendo-se uma

aproximação por quadrados mínimos lineares de f(x) sobre

Assim definido o princÍpio dos quadrados mínimos

lineares, no item seguinte daremos uma aplicação específi -ca para o problema formulado no -capítulo II.

1·2 APLICAÇÕES AO PROBLEMA

Dado um plano e dois vetores x

1

, x

2

que pertencem ao

plano, podemos obter um vetor resultante Y e aproximar a

função Q definida no capítulo II a Y. Consideremos a segui~

te figura:

Q

(Y-Q)

Na figura I, temos que:

a) x

1 e x2 são vetores dados.

b) Y

é

o vetor

resultante de x

1, x2

c)

(Y - Q)

é

o vetor diferença, cuja.norrna {1)

re-presenta a menor distância de um ponto ao

plano,

onde (Y-Q) satisfaz a condição de ortogonalidade

-a todo vetor do pl-ano, isto e,

(Y-Q) ..L Xi' para i = 1,2, ••• H,K

Podemos agora definir o erro mínimo para a função

Q.

De uma maneira geral, o erro mínimo pode ser expresso

por:

(Y - Q) _(IV)

Agora consideremos a função Q e Rn e Y e Rn

-Da expressao (IV) temos:

2

1

E

=Jy

-m

I

m m t

+ ••••••••••••••••• +

y -l(x ·) 2 Generalizando:

~

IYi-(l(Xi)tG xi

+

b xi

+c)

12

(V) i=l 2

-A seguir passaremos a deduzir as equaçoes normais re sultantes da aplicação do método dos quadrados mínimos

li-neares.

Temos definido,

(Y-

Q} ~X.

,

para i=

1, 2, ••..•• , k.

~ Por. ortogonalidade, < Y - Q, X.

,

> = O

Segue-se que:

< Q₁ X. > = < Y, X. >

1 1 (VI)

A

função

Q pode ser expressa em forma matricial como:

Q(x)

=A

r (VII)

Onde A

é

a matriz de coeficientes e r

é

um

vetor,

cujas componentes sao as componentes das incógnitas G, b e

c.

Substituindo (VII) na equação (VI), temos:

<Ar,Xi> = (VIII)

onde Xi sao os vetores colunds de A

Operando em (VIII) e por propriedade de produto

in-terno, obtemos:

(X.) t 1

Ou seja,

-Que representa _um sistema de equaçoes lineares, onde

o número de equações

é

igual ao número de incógnitas.

Pela resolução do sistema de equações, obtemos como resultado um vetor, cujas componentes são as componentes da matriz A, vetor b e a constante c.

APllNDICE I !

l'lliTODO DE NELDER-HEAD

2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

De maneira geral, os métodos numérico para a determi

naçao do valor Ótimo de uma função não linear sao

iterati-vos, sendo necessário para iniciar o processo de busca,

es-tirnar um valor inicial para a solução. Desta forma

á

gerada

uma sequência de aproximações sucessivas até atingir o

Óti-mo.

Os diferentes procedimentos sao caracterizados pelas estratégias para produzir esta série de aproximações. Os todos diretos sã9 aque:es em que a estratégia de hllsca

baseada na comparação dos valores que assume a função

mé

-e

em cada ponto. Tais métodos não avaliam as derivadas· da fun

-ção. Entre estes métodos, encontra-se o método de Nelder

Mead, que passaremos a descrever no Ítem seguinte.

2.2 DESCRIÇÃO DO ~TODO

Neste método a figura geométrica denominada simplex tem uma importante relevância, como definiremos a seguir.

Definição: Um conjunto de n+l pontos num espaço n-dimensional, forma um simplex. Quando os pontos são equi-distantes, o simplex

é

denominado regular.

No caso em que n = 2, a figura correspondente e

-um triângulo. Para n = 3, um tetraedro, etc. A idéia

prin-cipal do método,

é

que podemos facilmente formar um

novo

simplex a partir do original, e irmos trasladando o mesmo

até conseguirmos que a figura ''cerque" o mínimo.

Para descrever o processo, introduzimos a seguinte

notação:

(1}

Xh

é

o vértice correspondente para f(~) =

_{max f(xi)}

i

=

max f (x.),

i

1

(2)

x

5

é

o vértice

correspondente para f(X5)

( 3) Xt

é

o vértice correspondente para

onde i=l,2,oe•••ln+l

(4) X

0

é

o centrÓide

V

x1, i~h, sendo dado pela seguinte ex pressao:

1 m+l

X = E

x.

o n _i=l 1

i~

A seguir definiremos 3 operações básicas usadas neste método.

a) Reflexão, onde Xh

é

substitu{do por:

Onde o coeficiente de reflexão a>O

é

a razão da distân

tal que, um melhor valor da função

é

esperado. Usa-se

a

relação:

Onde o coeficiente de expansão I! >1

é

expresso pela razao

c) Contração,

é

a operação através da qual o sirnplex

é

redu

zido, usa-se a seguinte relação:

Onde o coeficiente de contração B

é

a razão da distância

de

[x

_c X ] para [x X ] e satisfaz _o O<~ 4

--h o

o método pode ser visualizado como um movimento definido através das operaçÕes descritas acima, que mostramos na Figa

i

,

até o simplex "cercar" o ponto mínimo.

/ REFLEXÃO EXPANSÃO FIGURA l X e xh CONTRAÇÃO

Podemos definir o processo como segue:

1) Um sirnplex original

é

formado, e a função

é

avaliada em

cada vértice para determinar Xh' X

5

e X

0

•

2) Realiza-se a reflexão sobre ~ e avalia-se o ponto refle

tido xr.

taura-se o processo, com a formulação de um novo simplex.

< f(Xn),

é

de se esperar que a direção {X -X)

• r o

possa dar um valor inferior da função, logo expandimos o

novo simplex nessa direção. A expansão seria sucesso, se

é

substituido

Dor

_.

X •

_e

Em

caso de falha,

Xb

é

substituído por Xr. Em ambos os

ca-sos, o processo

é

restaurado através

de

um novo sirnplex.

5) Se no movimento de reflexão do i tem 2, a avaliação de Xr

é

tal que f(~) >

f(X

5} , substitue-se

por Xr e realiza-se o movimento de contração. Depois de

efetuarmos a contração, compara-se f(~) e f(Xc). Se

> f(Xc) a contração

é

sucesso; Xh

é

substituído

por Xc e reinicia-se o processo com um novo simplex. No

caso de falha, f(~) ~ f(Xc) e o Último simplex

é

con

-traido em torno do ponto

x

1,onde a função assume o menor

Recomeçando-se o processo a partir do item 1.

O

critério

de parada do algoritmo sugerido por Nelder

-Mead [7]

é

dado pela seguinte expressão:

{ l n n+l E i=l < E .. l

Onde E e um va or prefixado suficientemente pequeno.

2. 3 COMENTÂRIOS

O método de Nelder-Mead requer a continuidade de

função, sendo de grande utilidade prática nos casos onde a

função

é

não diferenciável ou as de~ivadas parciais da mes

ma sao descontínuas, ou ainda quando o valor da função de

-pende de- a·lguma medida física, porém sujeita a erros aleató

rios.

Os problemas citados, acarretam em geral dificulda

-des para os métodos que precisam avaliar a derivada da

função.

A maior vantagem do método

é

a facilidade de

progra-mação. No referente a convergência,

é

em geral lenta e a r~

pidez da mesma depende da estimação dada para o ponto ini -cial ..

Este método: juntamente com os demais métodos dire tos, foram desenvolvidos através de processos heuristicos ,

entretanto nenhuma prova sobre a convergência dos mesmos foi

realizada até hoje. Porém experiências computacionais

reali-zadas por muitos autores [4,6] asseguram que o Nelder-

Mead

C O N C L U S

Õ

E S

Como já ternos apontado no decorrer do presente trab~

lho, o oneroso no processo real de extração de sacarose por dif~

sao

é

realizar experimentos com alterações nas variáveis até atin

gir um resultado razoável na extração. Considerando esse fator

corno muito importante

é

que temos proposto um algoritmo para

re-solver o problema, sem entrar em considerações no que respeita a eficiência computacional do mesmo, considerações estas que temos

nos reservado para expor aqui.

As experiências numéricas realizadas mostraram um

bom comportamer.to do algoritmo proposto, embora consideremos o

mesmo lento, já que foi testado para duas variáveis e vinte ite-rações (cada iteração

é

considerada um experimento simulado) se~

do que o tempo de CPU gasto foi de 3.5 minutos para cada rodada

de programa nessas condições. Se o número de variáveis fosse

incrementado, o tempo de CPU aumentaria consideravelmente.

o tempo computacional que

é

considerado grande e

causado em boa parte pelo uso do método de Nelder-Mead no prece~

so de otimização. Embora o algoritmo de Nelder-Mead seja

consi-derado lento

é

extremamente eficiente em termos de convergência,

B I B L I O G R A F I A

---[1] Brod1ie, K.W.: Unconstrained Minirnization, em the State of

the

Art

in Numerical Analisis, o.

Jacobs

(Ed.),

Acadernic

Press, New York, 1977.

[2]

Brüniche, Olsen H.: Diffusion of Beet and Cane, Sugar

Tech-nology, Review 1, 3-42, 1979.

[31

Genie,

G.V.: Evaluation of the Eficiency of Cane

Diffusers

by Transfer Units, S African Sugar

J.,

57, 601-607, 1973.

[ 4] Kowalik, J. e Osborne M.R.: t1ethods for Unconstrained Optimi

zation Problems,

Richa~d

Bellman (Ed.), American Epsevier Pu

blishing company Inc. 1 New York, 1968.

[5]

Luemberger, D.G.: Introduction to Linear and Non Linear

Pro-graming, Adisson - Wesley, 1973.

[ 6] Murray, W.: Numerical Methods for Unconstrained Optimization, London Academic, 1972.

[ 7] Ne1der, J .A. e Mead, R.: A Simplex Methods for Function H.i-nimization, Computer J. 7, 303- 310, 1965.

[81 Ralston Antony: Introducción al Analisis Numérico, Editorial Limusa- ~Viley S.E., Mexico, 1970.