Técnica de estimativa de parâmetros nos domínios da
freqüência e do tempo: Aplicação em materiais
condutores e não-condutores
Gilmar Guimarães
Valério L. Borges
OBJETIVO
Estimação simultânea da
difusividade térmica e
condutividade térmica
MATERIAIS
CONDUTORES
NÃO CONDUTORES
UFU
( )
( )
( )
( )
(
)
)
(
1
2
1
2)
(
)
(
f
f
f
f
f
T
f
T
f
h
f
X
Y
=
+
−
=
=
φ
φ
Ζ
Não condutor
L
x
(t) (t) sample X Y system φφφφ 1 φφφφ 2 1 2 (t) (t) θθθθ θθθθUFU
Fundamentos
Uma minimização de uma função baseada no quadrado da diferença entre o fator de fase experimental
e numérico no domínio da freqüência
para determinar a difusividade térmica
Outra função objetiva, baseada nos mínimos quadrados do módulo da resposta em freqüência.
)
(
)
(
1
)
(
2 1 2 1f
X
f
Y
A
B
f
Z
=
+
+
=
−
+
=
∆Θ
Φ
=
θ
θ
φ
φ
∞
=
×
×
=
−
−
1
4
)
(
(
2
1
)
2
2
/
2
n
L
t
e
n
t
L
Z
π
α
λ
α
× × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4Resposta em freqüência
( ) (
)
( ) (
)
∞ = ∞ =+
×
−
+
×
=
1 2 2 1 2 22
2
2
)
(
n n n n nf
A
f
B
j
f
A
A
B
f
Z
t
π
π
π
(
)
L
B
L
n
A
n
λ
α
α
π
/
4
1
2
−
2
2
2
=
=
× × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4Resposta em freqüência
× × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4 × × = λ α L B 4
ϕ
t
=arctan Im( ) / Re( )
Z
t
Z
t
(
)
+
(
)
+
−
=
∞ = ∞ = 1 22
2 1 22
21
2
arctan
/
n n n nAn
j
A
j
A
f
π
π
π
Função exclusiva de
αααα
! "
#
"
$ % &
'
! "
SOLUÇÃO
! "
"
UFU! "
"
UFU Τ1(t) φ1(t) Isolated surface Isolated surfacec
b
S1 Τ2(t)y
x
z
a
( )
( )
( )
(
)
)
(
1
2
1
)
(
)
(
f
f
f
f
T
f
T
f
h
f
X
Y
=
−
=
=
Ζ
φ
sistema entrada/saída
UFU( )
( )
( )
(
)
)
(
1
2
1
)
(
)
(
f
f
f
f
T
f
T
f
h
f
X
Y
=
−
=
=
Ζ
φ
X
Y
system
entrada fluxo de calor imposto na superficie
frontal
saída diferença de temperatura entre dois
pontos da superfície
EQUACAO DA DIFUSAO DE
CALOR
UFUt
T
z
T
y
T
x
T
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
α
1
2
2
2
2
2
2
condição inicial( )
(
)
( )
(
1)
2 0 1 1 , , 0 0 , 0 S z x S z x S at y T z z x x S at t y T y H H b y ∉ ∈ = ∂ ∂ − ≤ ≤ ≤ ≤ = ∂ ∂ − = = λ φ λ 0 0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = = = x a y o y c y b x z T x T y T x T x T(
x
,
y
,
z
,
0
)
T
0T
=
condições de contornoModelo térmico equivalente
UFU( )
=
−
=
t = S b ydS
t
d
t
r
t
G
t
0
)
(
)
,'
/
,
(
,
1 ' ' 'τ
λ
τ
φ
τ
α
θ
r
r
∞
+
−
=
0
1
(
)
)
(
)
(
τ
φ
τ
θ
t
G
t
t
d
)
(
)
(
)
(
f
G
f
φ
1
f
θ
=
+
UFU
Modelo térmico equivalente
)
(
)
(
)
(
f
G
f
φ
1
f
θ
=
+
)
(
)
(
)
(
1
1
1
f
G
f
φ
f
θ
=
+
)
(
)
(
)
(
2
1
2
f
G
f
φ
f
θ
=
+
Modelo térmico equivalente
UFU)
(
)
(
)
(
)
(
2
12
1
1
f
θ
f
G
f
φ
f
θ
−
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 1 2 1 1f
θ
f
G
f
φ
f
G
f
φ
f
θ
−
=
+−
+[
(
)
(
)
]
(
)
)
(
)
(
2 1 2 1 1f
θ
f
G
f
G
f
φ
f
θ
−
=
+−
+Modelo térmico equivalente
UFU[
(
,
,
,
)
(
,
,
,
)
]
'
)
(
)
(
' ' 1 1 1 2 2 2 12ds
t
z
y
x
G
t
z
y
x
G
t
h
t
G
b y S = +−
−
−
=
−
=
−
τ
τ
λ
α
τ
τ
Modelo térmico equivalente
UFU)
(
)
(
)
(
)
(
2
12
1
1
f
θ
f
G
f
φ
f
θ
−
=
+
)
(
)
(
12
+
t
−
τ
=
h
t
−
τ
G
Uma vez que os dados experimentais são obtidos discretamente, a transformada de Fourier numérica –
UFU
Função resposta em frequência
)
,
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
1
α
λ
φ
θ
θ
função
f
H
f
f
f
=
=
−
)
(
)
(
)
(
)
(
f
=
H
f
=
H
f
e
−
j
ϕ
f
Ζ
Estimaçao da Difusividade
Térmica: Domínio da
Frequência
A idéia básica aqui é a observação que o atraso entre a temperatura experimental e a calculada é uma função exclusiva da difusividade térmica.
O fator de fase is somente uma função da difusividade térmica
(
)
=
−
=
Nf
i
e
t
p
i
i
S
1
2
)
(
)
(
ϕ
ϕ
Funçao objetivo a ser minimizada
Estimativa da Condutividade
Térmica:
Domínio do tempo
Uma vez que o valor da difusividade térmica é obtido, uma função objetivo baseada na função erro quadrático de temperatura pode ser usada para estimar a condutividade térmica.
Portanto, a variável
λλλλ
será o parâmetro que minimizará a função,S
mq baseada na diferença entre as temperaturas experimentais e calculadas.Funçao objetivo a ser minimizada
UFU( )
( )
[
]
=
=
−
=
s
j
n
i
t
e
mq
i
j
i
j
S
1
1
2
,
,
θ
θ
Problemas
adicionais
Resistência de contato térmica
Baixos gradientes térmicos
Embora eles não representem dificuldade
em materiais não metálicos,
termopar
resistência elétrica e transdutor
φφφφ1111((((t)))) ΤΤΤΤ1111((((t)))) ΤΤΤΤ2222((((t)))) ΤΤΤΤ1111((((t)))) ΤΤΤΤ2222((((t)))) φφφφ1111((((t)))) T(x,y,z,t)
y
x
z
a) b)O uso de um modelo 3D-transiente permite otimizar o aparato experimental e escolher as melhores localizações dos sensores de temperatura e fluxo de calor.
Análise do
Gradiente de
Evolução da Temperatura
UFU 0 100 200 300 time [s] 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 te m pe ra tu re [ ºC ] T2 T1 0 200 400 600 time [s] 20 23 25 28 30 33 35 38 40 te m pe ra tu re [º C ] T1 T2para amostra de AISI304. a) 1D e b) 3D
Diferença de Temperatua
UFU 0 100 200 300 time (s) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 200 400 600 time [s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∆θ para AISI304: a) 1D b) 3D. ∆θ [0C] ∆θ [0C]H ea t flu x in p u t
Temperatura espacial em amostras
condutoras finas
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Incertezas nas estimações das propriedades
baixos valores nos sinais de temperatura e fluxo de calor dependência linear nos
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
0 10 20 30 40 50 60 time (s) -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 se ns iti vi ty c oe fic ie ntλ
λ
α
α
λ α=
T
∂
∂
T
S
=
T
∂
∂
T
S
T,,
T, temperaturaDOMÍNIO DO TEMPO E
DA FREQUÊNCIA
ESTIMAÇÃO EXCLUSIVA PARA CADA
PROPRIEDADE
ANALISE DE SENSIBILIDADE
modelos 1D e 3D - fator de fase
0.000 0.003 0.005 0.008 0.010 frequency (Hz) -1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 se ns iti vi ty c oe fic ie nt , 3D 1D
α
ϕ
ϕ
α
α ϕ,=
∂
∂
S
Influência da condutividade térmica no fator de fase 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 frequency (Hz) -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 se ns iti vi ty c oe fic ie nt , 1D 3D
,
,λϕ
λ
ϕ
λ
ϕ=
∂
∂
S
relacionada à
AMPLITUDE
dos sinais de
X
e
Y
.
α
Uma importante característica da técnica é a
baixa sensibilidade de
αααα
O valor estimado da difusividade térmica é
INSENSÍVEL
a erros sistemáticos (calibração dos
transdutores de fluxo de calor ou termopares)
UFU
Fator de fase sujeito a sinais de
entrada/saída originais e calibrados
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 frequency (Hz) -1.40 -1.20 -1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 ph as e [rd ] calibrated data original data
UFU
Módulo de Z para sinais originais e
calibrados de entrada/saída
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 frequency (Hz) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 calibrated data original dataUFU 139 65 10 Sample Sample Sample Thermocouple mple 53 Insulating material Electrical resistance
Heat fluxtransducer
10 Sample dimensions in mm symmetry line Insulating material 65 APARATO EXPERIMENTAL
UFU
RESULTADOS
Dados estatísticos
Valores estimados
Initial value Initial Sp Final Sp σ (m2/s) α [m2/s] 1.0 e-06 20 1.16e-03 4.0e-08
λ [W/mK] 10.0 14700 18.3 3.1e-01
Thermal properties This work Ref.[13,14] Error (%)
αααα
[m2/s] 3.762 3.82 1.54UFU 0 50 100 150 200 250 300 time [s] 0 2 4 6 8 10 12 te m pe ra tu re [º C ]
θ
t1θ
t2θ
e1θ
e2Temperatura
Teórica e
experimental
CONCLUSÕES
Excelente concordância entre valores deste método e resultados da literatura (menores que 2%). resíduos situados na faixa da incerteza de
medição de termopares ±±±± 0.3 K.
Método potencial para a estimação de propriedades de materiais em forma complexa como (ferramentas de corte).
