1.1 – Co O coordena sistema sistema. C A partir que será S o ângulo números serão rep Exemplo a) A = S mesmo alguma r polares? de coord coincidir eixo dos portanto N P podem Exemplo a) r = 2 c d) 4 π
θ
= oordenadas P O sistema d adas retangu de coordena Considere um do ponto O chamada de eja P um po o, em radian s reais r e θ s presentadas p os: Identifica ) , 4 ( 4 π Seja P(x, y) ponto no si relação entre A resposta é denadas carte r com a orig s x. Suponha temos:θ
cos
r
x
=
Note quex
2 mos encontrar os: Esboce o cos θ 4 π CEN Polares de coordenad ulares. Exis adas polares m plano e so O, em qualqu e eixo polar. nto qualquer nos, orientado serão as coor pelo par orde ar os pontos um ponto qu istema polar e as coorden é afirmativa. esianas (retan gem do plano que r > 0. Oco
r
x
=
⇒
2 2 2r
y
=
+
e r as suas coo os gráficos. UNIVERSID NTRO DE CIÊ DEPARTA CÁLCULO D APLICAdas que con te outro sist s”. A seguir bre ele escol uer direção, r do plano, d o AOP. Se r rdenadas pol enado (r, θ). no plano pol b) B = ( ualquer no s r. Poderíamo nadas cartesi . Para mostra ngulares), fa o cartesiano Observe que
θ
os
esen
θ
e quetg
θ
=
ordenadas po b) r = c e) r = 4 B O DADE FEDERA ÊNCIAS EXATA MENTO DE M DIFERENCIAL AÇÕES DA nhecemos pa tema de coo r, veremos c lha um ponto trace uma s distinto de O OP r = , e lares do pont lar. ) , 5 ( 2 π istema carte os, então, p ianas de P e armos isto, c azendo a orig e o eixo pol o triângulo xy
r
y ⇒
=
(
tg
y
x
y
=
⇒
olares e vice-cos 2θ 4 AL DA PARAÍ AS E DA NAT MATEMÁTIC L E INTEGRAL INTEGRAL ara identifica ordenadas qu como constru o fixo O, cha emirreta, no O. Seja θ então os to P que siano e P(r,θ perguntar se e suas coord considere o s gem do plano lar coincidir xOP é retângθ
rsen
=
.)
x
g
θ
. Conh versa. c BA TUREZA A L II L ar pontos no ue pode ser u uir e como amado de ori ormalmente t r θ O c) C =( θ) esse existe enadas istema o polar com o gulo, e, ecidas as coo ) r = 2 (1 + O C o plano é o usado neste identificar p igem ou polo traçada horiz P θ ) , 3 ( 2 π − r ordenadas ca cos θ) C O θ y o sistema de sentido: “O pontos neste o do sistema. zontalmente, A artesianas de P x e O e . , eSolução:a) Vamos esboçar o gráfico de r = 2 cosθ. Quando θ = 0, teremos r = 2. A curva passa pelo ponto A(2, 0). Da mesma forma temos que a curva passa pelos pontos: B
(
2,π
/4)
,C
(
0
,
π
/
2
)
,(
− 2,3π
/4)
D ,
E
(
−
2
,
π
)
, F(
− 2,5π
/4)
,G
(
0
,
3
π
/
2
)
, H(
2,7π
/4)
e I(
2
,
2
π
)
. O gráfico da curva será:b) Vamos esboçar o gráfico de r = cos2θ. Quando θ = 0, teremos r = 1. A curva passa pelo ponto A(1, 0). A curva também passa pelos pontos:
B
(
0
,
π
/
4
)
,C
(
−
1
,
π
/
2
)
,D
(
0
,
3
π
/
4
)
,E
( )
1
,
π
,(
0
,
5
π
/
4
)
F
,G
(
−
,
3
π
/
2
)
, H(
0
,
7
π
/
4
)
e I(
1
,
2
π
)
. O gráfico da curva está ao lado.1.2 – Área em coordenadas polares
Seja r = f(θ) uma função contínua e definida no intervalo [θ1, θ2]. Admita que f(θ) ≥ 0 e que
θ2≤θ1 + 2π. Vamos determinar a área limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ). Subdivida o intervalo [θ1,θ2] em subintervalos [θi , θi+1],
i = 1, …, n. Sejam αi e βi os pontos de máximo e de mínimo de f em cada intervalo [θi , θi+1], respectivamente. Note que a área Ai, limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ) está compreendida entre as áreas dos setores circulares de raios f(αi) e f(βi), ou seja:
2 1 2 1
)
(
2
)
(
2
i i i i i i if
A
f
π
α
π
θ
θ
β
π
π
θ
θ
⋅
−
≤
≤
⋅
−
+ + θi+1 θ2 (αi , f(αi)) Ai θi (βi , f(βi)) θ1 Somando estas áreas, obtemos:∑
∑
∑
= + = = + − ⋅ ≤ ≤ − ⋅ n i i i i n i i n i i i i A f f 1 1 2 1 1 1 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1β
θ
θ
α
θ
θ
Passando o limite quando n → ∞, obtemos:
∫
=
2 1 2 2 1(
)
θ θf
θ
d
θ
A
Exemplos: 1) Calcule a área limitada pelas curvas:
a) r = cos 2θ b) r = 2(1 + cos θ)
Solução: a) O esboço da curva está no exemplo anterior. Podemos ver que a área procurada é oito vezes a área da metade de uma pétala. Então:
(
)
16
4
4
4
1
4
cos
1
4
1
2
4
cos
1
2
cos
4 0 4 0 4 0 2 1 4 0 2 2 1 1π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
π π π π=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
=
∫
d
∫
d
∫
d
sen
A
.Portanto a área procurada é:
2
16
8
×
π
=
π
=
A
unidades de área.b) A área da região limitada pelo cardióide será dada por:
(
)
[
]
∫
(
)
∫
+
=
+
+
=
=
πθ
θ
2πθ
θ
θ
0 2 2 0 2cos
cos
2
1
2
cos
1
2
2
1
d
d
A
1 2 3 −1 1 2 r = 2cos(t) A B C D −1 1 −1 1 2 r = cos2t −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 x(
)
∫
∫
⎟⎟
=
+
+
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
πθ
θ
θ
2πθ
θ
θ
0 2 02
3
4
cos
cos
2
2
cos
1
cos
2
1
2
d
d
π
θ
θ
θ
π6
2
2
4
3
2 0=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
sen
sen
unidades de área.2) Calcule a área entre as curvas r = 2a cos θ e r = 2a sen θ.
Solução: Vamos inicialmente determinar a interseção entre as curvas:
4
cos
2
cos
2
a
θ
=
asen
θ
⇒
θ
=
sen
θ
⇒
θ
=
π
. Assim, a área entre as curvas dadas será dada por:(
)
=
=
×
=
∫
∫
4 0 2 4 0 24
2
2
1
2
π πθ
θ
θ
θ
d
sen
d
sen
A
(
)
[
]
1
2
1
4
2
2
2
2
cos
1
2
4 0 4 0−
=
−
=
×
−
=
−
=
∫
πθ
d
θ
θ
sen
θ
ππ
π
u.a.3) Calcule a área interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior ao cardióide r = 2(1 + cos θ) 4) Calcule a área interior ao círculo r = 4 e exterior ao cardióide r = 4(1 − cos θ).
1.3 – Comprimento de Curvas
Seja y = f(x) uma função derivável em [a, b], com f’ contínua. Vamos determinar o comprimento da curva y = f(x) no intervalo dado. A ideia é aproximar a curva por segmentos de reta e somar os comprimentos desses segmentos.
Para isto, subdivida o intervalo [a, b] em subintervalos [xi, xi+1], i = 1, …,n. Em cada subintervalo da subdivisão, escolha um ponto, digamos xi, e considere o ponto sobre a curva (xi , f(xi)). Temos que o comprimento de cada segmento de reta que liga os pontos (xi, f(xi)) e (xi, f(xi)) é dado por
(
) (
)
2 1 2 1 i(
i)
(
i)
ix
f
x
f
x
x
+−
+
+−
(7) y y = f(x) x a b Do Teorema do Valor Médio, temos que:)
(
),
(
)
(
'
)
(
)
(
x
i 1f
x
if
c
ix
i 1x
ic
ix
i 1x
if
+−
=
⋅
+−
∈
+−
Substituindo em (7), obtemos:(
)
(
)
(
)
(
i i)
i i i i i i i i i x x c f c f x x x x c f x x − + = + − = − + − + + + + 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ) ( ' 1 ( ) ) ( ' 1 ( ) ( 'Somando estes comprimentos, temos:
(
)
∑
= + − + n i i i i x x c f 1 1 2 ) ) ( ' 1 (Se tomarmos g(x) = 1+ f'(x)2 , temos a soma de Riemann da função g e passando o limite quando n → ∞, podemos definir, quando este limite existir, o comprimento da curva C, y = f(x), como sendo
∫
+
=
b af
x
dx
C
1
'
(
)
2 −1 1 2 −1 1 2 r = 2sen t r = 2cos t θ = π/4Suponhamos que a curva seja dada na sua forma paramétrica x = f(t) e y = g(t), com t ∈ [a, b], f e g deriváveis, com derivadas contínuas. Repetindo o mesmo raciocínio anterior, obteremos que o comprimento C da curva será dado por
∫
+ = b a 2 2 dt ) t ( ' g ) t ( ' f CObservação: Sejam x=x(t), y=y(t),t∈
[ ]
a,b funções deriváveis et
=
t
(
x
)
a função inversa de).
t
(
x
x
=
Então)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
).
(
'
))
(
(
t
x
t
y
dx
dy
t
x
t
y
x
t
t
y
dx
dy
x
t
y
y
=
⇒
=
=
⇒
=
poisdx
t
x
dt
t
x
x
t
dx
dt
)
(
'
1
)
(
'
1
)
(
'
=
⇒
=
=
. Logo∫
+ = b a x t y t dt C '( )2 '( )2Suponhamos que a curva seja dada na forma polar, isto é, em coordenadas polares r = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2], com
f
'
contínua. Sabemos queθ θ θ θ θ θ sen f y rsen y f x r x ) ( cos ) ( cos = = ⇒ = =
Assim,
x
'
(
θ
)
=
f
'
(
θ
)
cos
θ
−
f
(
θ
)
sen
θ
ey
'
(
θ
)
=
f
'
(
θ
)
sen
θ
+
f
(
θ
)
cos
θ
. Logo,θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2 2 2 2 2)
(
cos
)
(
'
)
(
2
cos
)
(
'
)
(
'
f
f
f
sen
f
sen
x
=
−
+
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2 2 2 2 2cos
)
(
cos
)
(
'
)
(
2
)
(
'
)
(
'
f
sen
f
f
sen
f
y
=
−
+
e 2 2 2 2)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
θ
y
θ
f
θ
f
θ
x
+
=
+
.Portanto, o comprimento C da curva r = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2], será dado por
∫
+
=
2 1 2 2)
(
)
(
'
θ θf
θ
f
θ
d
θ
C
Exemplo: 1) Calcule o comprimento das curvas abaixo: a)
y
(
x
22
)
32,
0
x
3
3 1+
≤
≤
=
b)[ ]
3,
0
,
cos
2
r
θ
πθ
∈
=
c)x
(
t
)
=
e
tcos
t
,
y
(
t
)
=
e
tsen
t
,
1
≤
t
≤
2
Solução: a) O comprimento C da curva dada será dado por:
∫
+
=
b af
x
dx
C
1
'
(
)
2 . Temos que:( )
( )
2
2
'
( )
2
( )
'
( )
( )
2
'
)
2
(
)
(
23 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1+
32⇒
=
×
+
12×
⇒
=
+
⇒
=
+
=
=
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
y
. Logo,( )
( )
( )
12
3
1
1
1
2
2
1
3 0 3 0 3 2 3 0 2 2 3 0 2 4 3 0 2 2=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=
∫
x
x
dx
∫
x
x
dx
∫
x
dx
∫
x
dx
x
x
C
u.c.b) O comprimento C da curva dada será dado por:
∫
+
=
2 1 2 2)
(
)
(
'
θ θf
θ
f
θ
d
θ
C
. Temos que:( )
( )
θ
θ
θ
θ
θ
2cos
2
'
cos
2
sen
f
f
r
=
=
⇒
=
⇒( )
( )
(
( )
)
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2 2 2 42 4 cos 4 cos 4 cos 4 ' = + = + = f f sen r . Logo,( )
2 2 3 sec 2 cos 2 cos 4 3 3 3 3 0 0 2 0 2 0 4 = = = = =∫
π∫
πθ
∫
πθ
θ
θ
πθ
θ
θ
d d d tg C u.c. 1.9 – Volumes de RevoluçãoQuando giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos um sólido, chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual a região gira é chamada de eixo de revolução ou eixo de rotação. Por exemplo, quando giramos a região do plano limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4, em torno do eixo dos x, obtemos um sólido de revolução chamado de cone. Se girarmos o retângulo limitado pelas retas y = 3, y = 0, x = 0 e x = 1, em torno do eixo OY, obteremos um sólido de revolução, chamado de cilindro.
Consideremos o seguinte problema: Seja R uma região do plano limitada pela curva y = f(x) e pelas retas x = a, x = b e y = 0. Vamos calcular o volume V do sólido de revolução S, obtido pela rotação de R, em torno do eixo OX.
Suponhamos que f seja uma função contínua e não negativa (f ≥ 0) em [a, b]. Considere uma subdivisão do intervalo [a, b],
a = x0 < x1 < …< xi < xi+1 < …< xn = b
Sejam Δxi = xi+1 − xi o comprimento de cada intervalo [xi , xi+1], Ri o retângulo de base Δxi, cuja altura é f(ci), onde ci é um ponto qualquer do intervalo [xi , xi+1]. Quando giramos o retângulo Ri, em torno do eixo OX, obtemos um cilindro cujo volume é
y y = f(x) Ri x a xi xi+1 b
[
]
2 i i)
x
c
(
f
Δ
π
A soma dos volumes desses cilindros,
[
]
∑
= n 0 i i 2 i ) x c ( fΔ
π
nos dá uma aproximação do volume do sólido S. Passando o limite quando n → ∞, podemos, se este limite existir, definir o volume V do sólido S, como sendo
∫
=
ba
f
x
dx
V
π
(
)
2 .Observações: 1) Suponha que a região R é limitada pelos gráficos das funções f(x), g(x) e pelas retas x = a e x = b. Admita que f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b]. Então o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX é
[
]
∫
− = b a 2 2 dx ) x ( g ) x ( f Vπ
2) Se, ao invés de girarmos em torno do eixo OX, girarmos em torno do eixo OY, teremos, neste caso, que o volume do sólido S será
∫
= d c 2 dy ) y ( g Vπ
3) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OX, de equação y = L. Neste caso, o volume do sólido S obtido será
[
]
∫
− = b a 2 dx L ) x ( f Vπ
4) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OY, de equação x = M. Neste caso, o volume do sólido S obtido será
[
]
∫
− = d c 2 dy M ) y ( g Vπ
Exemplos: 1) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada pela curva y = x2 e pelas retas x = 1, x = 2 e y = 0.
Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é dado por:
∫
=
ba
f
x
dx
V
π
(
)
2 .Observe que neste caso o raio de rotação é x2, conforme mostra figura ao lado. Então
( )
.
.
5
31
5
1
5
2
5
5 5 2 1 5 2 1 4 2 1 2 2v
u
x
dx
x
dx
x
V
π
π
π
π
⎟⎟
=
π
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
=
∫
∫
2) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada pela curva
x
sen
y
=
e pelas retas x = 0, x = π e y = 0.Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é dado por:
∫
=
ba
f
x
dx
V
π
(
)
2 .Observe que neste caso o raio de rotação é (sen x)2, conforme mostra figura ao lado. Então
(
)
.
.
2
1
4
2
2
1
2
2
cos
1
2 0 0 0 2v
u
x
sen
x
dx
x
dx
x
sen
V
π
π
π
π
π π π=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
∫
∫
3) Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região R, em torno do eixo OX, onde R é limitada pelas curvas y = x2 e y = x + 2.
Solução:
4) Encontre o volume do sólido S obtido pela rotação da região R, em torno do eixo OY, limitada pelas curvas y2 = 4x e x = 4.
5) Seja R a região do plano limitada pela curva
y
=
x
e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y = -2.6) Seja R a região do plano limitada pela curva
y
=
x
e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x = -2.7) Seja R a região do plano limitada pela curva
y
=
x
3 e pelas retas y = 8 e x = 0. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX.8) Seja R a região do plano limitada pela curva
y
=
x
2−
4
x
e pela reta y = 0. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX.1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 x y y = x^2 R x raio de rotação = x^2 (x, x^2) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x y 0 x pi
raio de rotação = sen x y = sen x
9) Seja R a região do plano limitada pela curva
y
2=
x
e
2
y
=
x
. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OY.10) Seja R a região do plano limitada pela curva
y
=
x
2 e pela reta y = 4. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno de: a) y = 4; b) y = 5; c) x = 2.11) Calcule o volume de um cone de altura H e raio R. 12) Calcule o volume de uma esfera de raio R.
