Otimização. Conceitos Fundamentais. Paulo Henrique Ribeiro Gabriel Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia 2016/2

(1)

Otimização

Conceitos Fundamentais

Paulo Henrique Ribeiro Gabriel phrg@ufu.br

Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia

(2)

Prof.a Dr.a Maristela Oliveira dos Santos (ICMC/USP)

Prof.a _Dr.a _{Priscila Cristina Berbert Rampazzo (FACOM/UFU)}

Que gentilmente forneceram suas notas de aula.

(3)

Conteúdo

1 Pesquisa Operacional

2 História da Pesquisa Operacional

3 Modelagem Matemática

(4)

Segundo a Wikipédia (25/02/2016):

“Em matemática, o termootimização, ouprogramação matemática, refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função através da escolha

sistemática dos valores de variáveis reais ou inteiras dentro de um conjunto viável.”

(5)

(6)

Segundo a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SBPO):

“APesquisa Operacional(PO) é umaciência aplicada

voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a

tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou operação de sistemas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas de ação alternativas e encontrar as soluções quemelhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações.”

(7)

Conteúdo

(8)

1939–1945: Durante a Segunda Guerra Mundial, as gerências militares britânica e norte-americana empregaram uma abordagem científica para tratamento de problemas de gerenciamento de recursos escassos (radares, tropas, munição, remédios, etc.), de forma eficaz

1936: A British Military Applications utilizou, pela primeira vez o termo “operational research”.

(9)

Breve Histórico da PO (2/5)

1947: Início do interesse das indústrias na utilização das técnicas desenvolvidas na área militar, para auxiliar no planejamento e controle da produção

A maioria desses problemas é formulada por meio de modelos matemáticos lineares

(10)

1947: George B. Dantzig propôs um método prático para solução de modelos lineares, denominado Simplex1 [Dantzig, GB (1949). Programming in a linear structure, Econometrica 17:73–74.]

1972: Klee e Minty demonstraram que o método Simplex percorre 2n vértices [Klee, V; Minty, GJ (1972). How good is the

simplex algorithm?. In Shisha, O. Inequalities III. New

York-London: Academic Press. pp. 159–175.]

(11)

Breve Histórico da PO (4/5)

1979: Leonid G. Khachiyan desenvolveu um novo algoritmo para resolver modelos de programação linear: o Algoritmo Elipsóide (tempo polinomial porém mais lento do que o Simplex) [Khachiyan, LG (1979). A Polynomial Algorithm

in Linear Programming, Soviet Mathematics Doklady,

20(1):191-194.]

1984: Surge mais um método de se resolver problemas lineares: Algoritmo dos Pontos Interiores, criado por Narendra Karmarkar (tempo polinomial e competia com o Simplex) [N. Karmarkar (1984). A new polynomial-time algorithm

for linear programming. In Proceedings of the sixteenth

annual ACM symposium on Theory of computing (STOC ’84). ACM, New York, NY, USA, 302-311.]

(12)

Mais datas interessantes:

http://www.lionhrtpub.com/orms/orms-10-02/frhistorysb1.html

1

Eleito pela revista Computing in Science and Engineering um dos 10 algoritmos mais importantes do Século XX

(13)

Conteúdo

(14)

A busca de uma solução mais adequada entre diversas soluções alternativas traz consigo os elementos de umProblema de Otimização

Devemos estabelecer um critério de avaliação das soluções

alternativas, o qual nos permite dizer que uma solução é “melhor” que outra (objetivo ou subjetivo)

Esse critério de avaliação é denominadofunção objetivo, que buscamos otimizar, ou seja, maximizar ou minimizar

Por outro lado, as soluções alternativas devem ser possíveis de

execução indicando a presença de restrições que devem ser respeitadas

(15)

Problemas de Otimização (2/2)

(16)

Modelagem Matemática

O processo de transformar um problema real em uma formulação matemática que o representa é chamado demodelagem matemática. Na maioria das vezes, no processo de modelagem do problema, é necessário fazer simplificações, pois:

1 O problema não possui todos os dados conhecidos 2 Ou para facilitar a resolução

(17)

Modelagem (2/5)

Construindo um Modelo Matemático

Passo Fundamental: Ouvir aquele que lida com o problema real Passo 1: Descobrir o que deve ser determinado (variáveis do problema)

Passo 2: Descobrir o que está disponível (dados do problema)

(18)

Notação:

x é o vetor de variáveis

f é afunção objetivo, ou seja, uma função de x que deve ser minimizada ou maximizada

g é um conjunto (vetor) de restrições que o ponto x deve satisfazer; o

número de componentes de g é o número de restrições em x

(19)

Modelagem (4/5)

Com base nessa notação, um problema de otimização pode ser escrito da seguinte maneira: minimizar f (x ) sujeito a gi(x ) = 0 x ≥ 0 1 ≤ i ≤ n Sendo que: x ∈ Rn f ∈ Rn→ R gi ∈ Rn→ R

(20)

Exemplo de Modelo:

minimizar x1+ 2x2+ x3

sujeito a x1− 0.3x2 ≤ 0

x1+ x3 ≤ 0

x1, x2, x3 ≥ 0

(21)

Conteúdo

(22)

Para a produção de dois itens (P1 e P2) uma fábrica precisa de três

tipos de matéria-prima (M1, M2 e M3)

Cada item requer uma determinada quantidade de matéria-prima, mostrada na tabela a seguir:

P1 P2

M1 2 1

M2 1 2

M3 1 0

(23)

Exemplo 1: Problema de Planejamento de Produção (2/9)

No entanto, a quantidade de matéria-prima em estoque é limitada; os limites são dados a seguir:

M1 10

M2 12

M3 4

Deseja-semaximizar a lucratividadeda fábrica. Os parâmetros sobre lucratividade por produto estão descritos na tabela abaixo:

P1 1

(24)

Desejamos saber quanto deve ser produzido de modo a maximizar o lucro; logo, asvariáveis do modelo devem representar as quantidades produzidas:

I x1é a quantidade (em unidades) do item P1 I x2é a quantidade (em unidades) do item P2

(25)

Exemplo 1: Problema de Planejamento de Produção (4/9)

Em seguida, definimos a função-objetio, a qual determina, nesse caso, o lucro obtido pela produção de cada item ($/unidade):

f (x1, x2) = 1x1+ 1.5x2

(26)

Para garantir a produção de cada item, devemos modelar quando de matéria-prima precisamos para garantir a produção deuma unidade

de cada item

No entanto, temos um estoque limitado; assim, o total de matéria-prima utilizada não pode exceder o total em estoque

(27)

Exemplo 1: Problema de Planejamento de Produção (6/9)

Para utilizar a matéria-prima M1 respeitando o estoque, temos a

seguinterestrição:

2x1+ x2 ≤ 10

x1+ 2x2 ≤ 12

(28)

Finalmente, não podemos produzir quantidade negativas de itens, ou seja, precisamos definir asrestrições de não-negatividade

x1≥ 0, x2≥ 0

(29)

Exemplo 1: Problema de Planejamento de Produção (8/9)

Combinando todas essas informações, temos o seguinte modelo: maximizar f (x1, x2) = 1x1+ 1.5x2

sujeito a 2x1+ x2 ≤ 10

x1+ 2x2 ≤ 12

x1 ≤ 4

(30)

A solução ótima para este modelo é x1 = 8₃, x2 = 14₃

Ou seja, a solução ótima é produzir uma quantidade igual a 8₃ de P1 e 14

3 de P2

Nesse caso, o lucro obtido é de: 29₃