Matemática Financeira Aula 1 (manhã e tarde) 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira

Aula 1 (manhã e tarde)

Matemática Financeira

Objetivos de aprendizagem:

Depois de ler e discutir este tópico você será capaz entender

• Fazer contas utilizando a regra de três e

porcentagens

• Entender os princípios de Matemática Financeira • Calcular valores futuros e presente em juros simples

e compostos

Agenda do Curso

Data Horário Período Tema da Aula

03/06/2017

08:30

Manhã

Apresentação da Disciplina Revisão de Porcentagens

Revisão de Regra de Três Simples e Composta

10:30

Juros Simples

Desconto de Duplicata

Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples

03/06/2017

13:00

Tarde

Juros Compostos

Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos Convenção Linear (parte inteira e fracionária)

15:00 _{Taxa Acumulada}Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Observações

• Usar HP12C

• Para estudar:

• Slides como grandes tópicos • Livros indicados na bibliografia • Lista de Exercícios

• Na prova poderá utilizar todo material: livros,

cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá utilizar celular

Aplicações

• Gestão Financeira

• Planejamento Financeiro

• Investimentos

• Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores

possíveis.

• A partir desses 3 valores é possível montar uma equação,

de primeiro grau, com uma incógnita.

• Os valores conhecidos podem ser diretamente

proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a

proporção

• Se um produto custa R$ 400,00 e teve um

desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto?

Porcentagens com Regra de Três

Reais (R$) Porcentagem 400,00 100% 30,00 X 400 30 100 100 ∗ 30 400 7,5%

• (SóMatemática) Com uma área de absorção de

raios solares de 1,2m2_{, uma lancha com motor}

movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa

área para 1,5m2_{, qual será a energia produzida?}

Diretamente Proporcional

Área Energia

1,2 400

• (Globo) Um atleta, com velocidade constante de

8km/h, leva 50 minutos para percorrer um

quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão?

Inversamente Proporcionais

Velocidade (km/h) Tempo (minutos)

8 50 16 X 8 16 50 8 ∗ 50 16 25

• Enquanto a regra de três simples envolve até 2

grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais

grandezas direta ou indiretamente.

• A forma de resolução é montar uma série de

regra de três simples

• (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias.

Exemplo Regra de Três Composta

= ₆ 12 ∗ 10 ∗ 30

18 ∗ 5 ∗ 20 6

3600 1800

• A porcentagem é uma maneira de expressar um

número como parte de um todo.

• Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%.

• Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais

(=100%).

• Se você gastar 2, então você gastou 2/10 × 100%

= 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80%

Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual

0,05 = 5%

0,5 = 50%

0,8 = 80%

1 = 100%

• Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05

• Para achar o valor correspondente, basta

multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3

• Por exemplo: 10% de R$ 1.000

• 0,10 * 1000 = R$ 100,00

• Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte

pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três.

• Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485

são universitárias, qual o percentual de universitários?

• Parte = 485

• Todo = 1000

• O primeiro passo é dividir a parte pelo todo • 485 / 1000 = 0,485

• Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual • 0,485 x 100 = 48,5%

• 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias

• Para somar uma porcentagem ao número

original, por exemplo “200 + 40%”, basta utilizar a fórmula 200 x (1 + 0.40) = 280

• Exemplos: acrescentar ao preço original um valor

de lucro, comissão ou taxas

• Ex: Achar valor final após conceder descontos

• Para retirar um porcentagem basta multiplicar

pela porcentagem restante, por exemplo:

• Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão

cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso).

• Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias

Calcule as porcentagens correspondentes:

2% de R$ 700

40% de 48 m

38% de 200 Kg

6% de R$ 50

37,6% de R$200

22,5% de R$60

Exercícios de Porcentagem

a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância xxxx?

c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

• Estudar o valor do dinheiro no tempo

• Conceitos de juro, capital e tempo

• Habilidades matemáticas prévias:

• Porcentagem

• Frações, Potências, Raiz, Log

• Receber uma quantia hoje, equivale a receber

uma quantia maior amanhã (Valor Futuro);

• Receber uma quantia amanhã, equivale a receber

uma quantia menor hoje (Valor Presente).

• E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo",

cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo.

• O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou

emprestado através de alguma operação financeira.

• Também conhecido como: Principal, Valor Atual,

Valor Presente ou Valor Aplicado.

• Em inglês usa-se Present Value (indicado pela

tecla PV nas calculadoras financeiras).

• Excel: Valor Presente

• Remuneração do Capital

• O jurojurojurojuro existe porque a maioria das pessoas prefere o

consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu

desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser

recompensado por esta abstinência na proporção do tempotempotempotempo e riscoriscorisco, que a operação envolver. risco

• O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro

• Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o

resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização

• Utiliza-se calendário comercial, na marioria das

vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).

• Notação nas calculadoras financeiras: n

• a. a . = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao

quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre

• É a soma do

Capital inicial

juro

em determinado

tempo

• O montante é calculado apenas no fim da

capitalização.

• Outras representações: S (de SSSaldo); VF S

(de VVVValor FFFuturo); FV (de FF FFuture VF VVValue)

• VF = VP + J

• Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

• JUROSJUROSJUROSJUROS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

• JUROSJUROSJUROSJUROS COMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

• A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza jurosjurosjurosjuros compostos

compostos compostos

compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto

• J = C * i * n

• Quanto rende um capital inicial (principal) de

$100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos?

• Qual o montante ao final de 2 anos?

• Determinar o montante, ao fim de 5 meses,

correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples.

• Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses

• S = P(1 + in)

• S = 6.000 (1 + 0,04×5)

• S = R$ 7.200,00

• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o

montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:

• P = S/(1+ in)

• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular

o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que

•

∗

• Na qual “i” é a Taxa a ser descoberta, “J” o valor

de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos.

• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular

o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que

•

∗

• Na qual “i” é a Taxa, “J” o valor de juros, “C” o

capital e “n” a quantidade de períodos a ser descoberta.

• Duas taxas são proporcionais quando seus

valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade

• No regime de juros simples, “Taxas Proporcionai

s” e “Taxas Equivalentes” são consideradas a m esma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais

ou equivalentes. Este conceito diz mais a resp eito ao regime de juros compostos.

Desconto de Duplicata

• Operação conhecida no Brasil como Desconto

comercial ou bancário (por fora).

• Diferentemente do cálculo de juros, que incide

sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro.

• O valor futuro, nesse caso, é conhecido como

Desconto de Duplicata Juros Simples

• Fórmulas para cálculo:

• Valor do Desconto (D): D = VF.d.n

• Valor presente, abatendo o desconto

• VP = VF * (1 – d *n) onde d é a taxa de desconto

• Exemplo:

• Qual o valor do desconto comercial simples de

um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês?

Resolução

• Dados retirados do problema

• VF = 1.600,00

• n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês)

• d = 2,5% ao mês

• Valor do Desconto (D) =?

• Solução:

• Enquanto no Juros Simples temos uma função

linear, no juros compostos temos uma função exponencial.

• Como ser observa na fórmula do Montante

• ! " ∗ 1 #

• Determinar o montante, ao fim de 5 meses,

correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos.

• Dados: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. e n = 5 meses

•

Juros Simples:

•

Juros Compostos

Exemplo Comparativo

• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o

montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros Compostos basta inverter a relação

anterior, isto é:

• $ %

& '

• Para calcular a taxa também é possível deduzir a

fórmula a partir da fórmula do montante:

• ! " ∗ 1 #

• % 1 #

• ' % = 1 #

Cálculo do Tempo em Juro Compostos

• A quantidade de períodos (n) também pode ser deduzida a partir da fórmula do montante

• ! " ∗ 1 # • % 1 # • Log % = Log 1 # • Log % = n * Log 1 # • Log ) * = n

O LOG pode ser substituído, nesse

• Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos

para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada.

• Exemplo:

Convenção Linear

Convenção Exponencial

Convenção Linear

Exercício

• (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00

emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste

empréstimo pela convenção linear.

• Resultados para Conferência:

• FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30

Convenção Linear na HP

• A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções.

• Quando o período n é um número fracionário, é necessário verificar a letra C está aparecendo no visor

• A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas STO EEX.

• Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção exponencial.

• Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção linear.

• Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples, a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de juros

• Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é

informada em uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa Nominal e Efetiva.

• Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa

nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso significa que a taxa nominal é 24% a.a porém a taxa

efetiva, a qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12

• Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m

• Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35.

• O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo é de 45,33% a.a.

• Calcule a taxa efetiva mensal e anual

• Para calcular sucessivos aumentos, que

produziram uma taxa acumulada, usa-se a

formula abaixo caso a taxa já esteja em índice

Exemplo de Taxa Acumulada

Taxa Acumulada de Inflação

• Qual a taxa de inflação

acumulada no período de 12 meses da tabela ao lado?

• [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1

,005)x(1,007)x(1,004)x(0,99 8)x(0,995)x(1,003)x(1,007)x (1,009)x(1,01) – 1] x 100.

• A taxa aparente é formada por dois componentes:

a taxa real e a inflação.

• A taxa real, portanto, é a taxa aparente,

descontada da inflação

• Fórmula para achar a taxa real:

• 1 +1 +1 +1 +

iiii

iiii

IIII

• Onde:

• (BrasilEscola) - Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do

período foi de 21%, determine a taxa real anual.

• Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21 • 1 + 0,32 = (1 + i_r) * (1 + 0,21) 1,32 = (1 + i_r) * 1,21 1,32/1,21 = 1 + i_r 1,09 = 1 + i_r i_r = 1,0909 – 1 i_r = 0,0909 i_r = 9,09%

Bibliografia

Bibliografia

I. Básica:

1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentos

financeiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20). São Paulo: Atlas, 2008.

2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014.

3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo:

Atlas, 1996.

II. Complementar

1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração e

contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000

2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: Lapponi