Unidade II MATEMÁTICA COMERCIAL. Profª. Gizele Munim

Unidade II

MATEMÁTICA COMERCIAL

Apresentação do módulo ii

ƒ Desconto Simples

ƒ Relação entre Taxa de Desconto e Juros Simples

Desconto simples

Desconto simples ou comercial é o

desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral.

O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo.

Desconto simples

Quando uma empresa vende a prazo, usualmente recebe títulos de seus clientes como garantia pelos financiamentos concedidos. Os títulos mais comuns são: ƒ Nota Promissória: É um comprovante da

aplicação de um capital com vencimento predeterminado (PF x PF ou PF x PJ);

ƒ Duplicatas: Título emitido por uma

pessoa jurídica contra seus clientes PF ou PJ, para o qual ela vendeu

mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, conforme

Desconto simples

ƒ Letra de Câmbio: Assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com

vencimento predeterminado, emitido ao portador, por uma instituição financeira;

financeira;

ƒ Cheques: É uma ordem de pagamento à vista. Pela lei, um cheque é pagável quando for apresentado ao banco, mesmo sendo emitido com data posterior

posterior.

Nota: Mesmo com esta definição, no Brasil convencionou-se utilizar o cheque para pré-datado, sendo aceito por alguns bancos nas operações de desconto também.

Desconto simples

Os títulos citados são exemplos de

instrumentos cuja característica comum é dar direito à empresa ou indivíduo que o possui de receber um valor (De face ou Nominal) do título em uma data futura (Data do vencimento)

Desconto simples

Normalmente quando as empresas

possuem títulos a vencer em data futura, havendo a necessidade de receber estes recursos antecipadamente, ela poderá levar tais títulos a uma instituição financeira que, caso decida adquirí los irá efetuar a

caso decida adquirí-los, irá efetuar a transação a preços inferiores aos seus respectivos valores de face, realizando o que denominados desconto de títulos. Os bancos normalmente utilizam os juros simples para fazer a operação de desconto simples para fazer a operação de desconto.

Desconto simples

Como exemplo deste caso, imagine uma empresa que emitiu uma duplicata no valor de $ 20.000,00 para vencimento em quatro meses. Em determinado momento, antes de completar este prazo, a empresa necessitou de dinheiro para seu fluxo de caixa Foi

de dinheiro para seu fluxo de caixa. Foi, então, ao banco que ofereceu um

adiantamento de $ 18.500,00 em troca da duplicata.

Dizemos, neste caso, que o banco propôs um desconto de $ 1 500 00

um desconto de $ 1.500,00. ($ 20.000,00 - $18.500,00).

Desconto simples

O cálculo do desconto simples pode ser obtido pela fórmula:

D = N x d x n

E o valor líquido do título descontado

Vd = N D

Vd = N – D Onde:

D = Valor do desconto

N = Valor nominal (Ou de face) n = Prazo de vencimento do título n = Prazo de vencimento do título d = Taxa de desconto

Desconto simples

Quando não se sabe a taxa de desconto, esta pode ser encontrada pela fórmula: d = D .

N x n

E quando a incógnita for o prazo de E quando a incógnita for o prazo de

vencimento do título, usaremos a fórmula: n = D .

Desconto simples

Exemplo: Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2.000,00 que vencerá em para 90 dias à taxa de 2,5% ao mês?

N = 2.000 d = 2,5% (0,025), % ( , ) n = 90 dias (3 meses) D = N x d x n D = 2.000 x 0,025 x 3 = 150,00 Vd = N – D Vd = 2.000 – 150 = R$ 1.850,00

Desconto simples

Exemplo: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e o valor de resgate R$ 880,00? N = 1.000 Vd = 880 n = 120 d (4m) D = N – Vd D = 1.000 – 880 = 120,00 d = D . = 120 = 0,03 N 1 000 4 N x n 1.000 x 4 Taxa = 3% ao mês

Desconto simples

Exemplo: Uma duplicata de R$ 6.800,00 foi descontada, cujo crédito foi R$ 6.000,00. Sabe-se que a taxa cobrada pelo banco foi de 3,2% ao mês. Quando venceria esta duplicata? N = 6.800 Vd = 1.000 d = 0,032 D = N – Vd D = 6.800 – 6.000 = 800,00 n = D . = 800 = 800 = N x d 6.800 x 0,032 217,60 = 3,67 meses ou 110 dias.

Desconto simples

Cálculo do valor do desconto para uma série de títulos de mesmo valor.

Este valor poderá ser obtido pela fórmula: Dt = N x q x d x t1 + tn

2 Onde:

Dt = Valor total do desconto N = Valor Nominal dos títulos q = Quantidade de títulos

d = taxa de desconto

t1 = Vencimento do 1º título t1 = Vencimento do 1º título

tn= Vencimento do último título.

(Nota: sempre expresso na mesma unidade de medida de d)

Desconto simples

t1 + tn 2

A expressão acima é a que representa o prazo médio dos títulos descontados. Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais de

vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento.

Desconto simples

Exemplo: Vamos admitir que um cliente apresente a um banco 5 títulos no valor de R$ 1.000,00 cada, com vencimentos entre 30 a 150 dias, para desconto a taxa de 3% ao mês(simples). Qual o valor do desconto? N = 1.000 Q = 5 d = 0,03 t1 = 30 (1 mês) tn = 150 (5 meses) D_T = N x Q x d x t1 + tn 2 D = 1 000 x 5 x 0 03 x 1 + 5 D_T = 1.000 x 5 x 0,03 x 1 + 5 2 D_T = 150 x 3 = 450,00

Desconto simples

Exemplo: Calcular o valor líquido resultante do desconto bancário de 12 títulos de R$ 1.680,00 cada, vencíveis de 30 a 360 dias, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês. N = 1.680 Q = 12 d = 0,025 t1 = 30 (1 mês) tn = 360 (12 meses) D_T = N x Q x d x t1 + tn 2 D = 1 680 x 12 x 0 025 x 1 + 12 D_T = 1.680 x 12 x 0,025 x 1 + 12 2 D_T = 3.276,00

Desconto simples

Interatividade

Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata no valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto

bancário simples de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano. a) 61 dias b) 70 dias c) 63 dias d) 65 dias ) 90 di e) 90 dias

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

Como vimos até agora, a taxa de desconto é taxa utilizada em operações de Desconto Comercial.

Embora seja freqüente a confusão entre juros e desconto, trata-se de critérios distintos, claramente caracterizados. No cálculo dos juros a taxa incide sobre o capital inicial (ou valor presente) ; no

desconto a taxa do período incide sobre o montante (ou valor futuro).

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

Pode-se haver confusão quanto a utilização da taxa de desconto e da taxa de juros da operação.

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

A figura abaixo exemplifica a relação entre a taxa d e a taxa i:

Fonte: Matemática Financeira Objetiva, Roberto Fonte: Matemática Financeira Objetiva, Roberto Zentgraf

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples pode ser obtida pela fórmula: Onde: i = Taxa de Juros d = Taxa de Desconto d ã n = prazo da operação

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

E l

Exemplo:

A taxa de desconto simples de duplicatas cobradas pelo Banco é de 8% a.m. Se

descontarmos neste banco uma duplicada que vencerá em 06 meses, Qual a taxa mensal de juros simples a ser cobrada? mensal de juros simples a ser cobrada? d = 8% a.m. = 0,08 n = 06

i = d = 0,08 = 0,08 = 0,1538 1 – d x n 1 - 0,08 x 6 0,52

i = 15 38% ao mês i = 15,38% ao mês

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

Uma duplicata emitida com vencimento para 03 meses foi descontada

antecipadamente, resultando numa taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual a taxa de desconto simples utilizada?

i = 5% = 0,05 n = 03 0,05 = d . 1 – d x 3 (0,05) x (1 – 3d) = d 0 05 0 15d = d 0,05 – 0,15d = d 0,05 = d + 0,15 d 0,05 = 1,15 d d = 0,05 / 1,15 = 0,0435 d = 4,35% ao mês

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

E l

Exemplo:

Suponha que uma empresa possua uma duplicata de R$ 20.000,00 com vencimento para daqui 75 dias. Calcule o valor que a empresa receberá se descontar a duplicata, sabendo que a taxa de desconto cobrada sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 15% ao mês. N = 20.000 d = 15% a.m. = 0,15 n = 75 dias = 2,5 meses, D = N x d x n D = 20.000 x 0,15 x 2,5 = 7.500

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

V l bid

Valor recebido:

Vd = 20.000 – 7.500 = 12.500

Qual a taxa de juros simples aplicada? Quem recebe hoje R$ 12.500,00, se

comprometendo a pagar R$ 20.000,00 daqui comprometendo a pagar R$ 20.000,00 daqui 75 dias, está pagando qual taxa?

J = C x i x n 7.500 = 12.500 x i x 2,5 7.500 = 31.250 x i i = 7500 / 31.250 i = 0,24 24% ao mês = 60% ao período

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

E l

Exemplo:

Se um banco utiliza taxa de desconto simples de 15% a.m., qual o valor da nota promissória a ser assinada por um cliente que deseja receber R$ 2.500,00 líquidos em sua conta para pagamento após 2 meses? sua conta, para pagamento após 2 meses? i = 0,15 = 0,15 = 0,15 = 0,2143 1 – 0,15 x 2 1 – 0,30 0,70 M = C (1 + i x n) M = 2 500 (1 + 0 2143 x 2) M = 2.500 (1 + 0,2143 x 2) M = 2.500 (1,42857) M = 3.571,43

Taxa de desconto simples x taxa de

juros simples

Interatividade

Qual o valor líquido a ser recebido pelo desconto de um título de valor nominal de R$ 10.000,00 resgatado 3 meses antes, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada pelo banco é de 5,88% ao mês? a) R$ 8.236,00 b) R$ 8.430,00 c) R$ 8.500,00 d) R$ 8.930,00 ) R$ 8 710 00 e) R$ 8.710,00

Juros compostos

No regime de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até período anterior. Ou seja, o Montante acumulado ao final de cada mês constitui-se no Capital Inicial do mês seguinte.

Juros compostos

Entendendo o Capital Inicial:

Tome como exemplo um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, durante 5 meses:

Juros compostos

Observa-se que o montante no final de cada mês constitui-se no capital inicial do mês seguinte. Entretanto esta forma de cálculo é extremamente trabalhosa e demorada.

Diante disso, deduz-se a fórmula para cálculo:

Juros compostos

O cálculo dos juros compostos pode ser feito através da fórmula:

M = C x (1 + i)n Onde: M = Montante M = Montante C = Capital Inicial i = Taxa de Juros n = Prazo

Juros compostos

Da fórmula principal, obtemos as seguintes fórmulas secundárias:

Capital Inicial ou (Valor Presente):

Prazo:

Juros compostos

A principal característica que diferencia juros simples e juros compostos é que no primeiro caso os juros são uma função linear do tempo e no segundo uma função exponencial, como ilustrado:

Juros compostos

Juros Compostos são conhecidos como “juros sobre juros”

“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza.” Albert Einstein

Juros compostos

Este regime corresponde a uma progressão geométrica (PG), onde os juros crescem de forma Exponencial ao longo do tempo,

como mostra o gráfico abaixo, um capital de R$ 1.000 aplicado por dez meses a uma taxa de 10% a m acumula um montante de taxa de 10% a.m., acumula um montante de R$ 2.593,74 no final. 800,00  1.000,00  1.200,00  1.400,00  1.600,00  1.800,00  2.000,00  2.200,00  2.400,00  2.600,00  Va lo re s , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Período

Juros compostos

Exemplo: Um mutuário comprou um

apartamento por R$ 100.000,00 financiado por um banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no

primeiro mês, ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação Qual consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos?

M = ???

C = capital inicial = 100.000,00 i = taxa de juros = 15% ao ano i taxa de juros 15% ao ano n = tempo = 10 anos

Juros compostos

Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal + juros) será de R$ 404.600,00 , ou seja, ele deve mais de 4 apartamentos.

Juros compostos

Ex: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final? montante final? C = 1000 i = 0,5% (0,005) n = 12 M = C x (1 + i)n M = 1.000 x (1 + 0,005)12 M = 1.000 x (1,005)_{( , )}12 M = 1.000 x 1,0617 M = 1.061,70 Rentabilidade: R$ 61,70

Juros compostos

Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros

compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,63? M = 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 M = C x (1 + i)n M = C x (1 + i)n 477,63 = C x (1,03)6 477,63 = C x 1,194,05 C = 477,63 = R$ 400,00 1,194,05, ,

Juros compostos

Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?

Juros compostos

Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês para resgatar R$ 1.444,89? (Log 1,806 = 0,257 e Log 1,03 = 0,013) 1.444,89 = 800 x (1 + 0,03)n 1.444,89 = 800 x 1,03n 1.444,89 = 1,03n 800

1,806 = 1,03n _{(propriedade dos logaritmos)} log 1,03n _{= log 1,806}

n * log1,03 = log1,806 n * 0,013 = 0,257

Interatividade

Qual a aplicação inicial que, após 4 meses de capitalização à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês resultou em R$ 17.661,01? A) R$ 15.950,00 B) R$ 16.000,00 ) $ , C) R$ 17.061,00 D) R$ 15.000,00 E) R$ 16.500,00

Juros compostos (hp 12 c)

Veremos agora a resolução de exercícios envolvendo juros compostos na

Juros compostos (hp 12 c)

[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros

[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro

[CHS] t i l

Juros compostos (hp 12 c)

Para utilizar as funções financeiras da HP 12C em cálculos envolvendo juros

compostos ( n, i, PV e FV), a calculadora deve conter na parte inferior do lado direito do visor a letra C.

Isto indica que os cálculos serão pelo sistema de juros compostos.

Caso a letra C não conste no visor

tecle (STO + EEX) para fazê-la surgir e deixar a calculadora no modo normal de operação denominado convenção

Juros compostos (hp 12 c)

Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a uma taxa de juros compostos de 8% a.m. Calcule o valor do resgate.

f [Reg]

4000 [CHS] [PV][ ] [ ] 6 [n]

8 [i]

Juros compostos (hp 12 c)

Pedro aplicou $400,00 por três meses a taxa de 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate?

Juros compostos (hp 12 c)

Qual o valor inicialmente aplicado que proporcionará um resgate de $800,00, a vencer em 04 anos, com taxa composta de 7% ao ano? f [Reg] 800 [FV] 4 [n] 7 [i] [PV] $ 610,32

Juros compostos (hp 12 c)

A Loja Maia vende uma máquina no valor de R$ 11.000,00, sem entrada, para

pagamento em uma única prestação de R$ 14.550,00 no final de 280 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

[f] [Reg] 11.000 [CHS] [PV] 280 [ENTER] 30 [ ] [ n ] 14.550 [FV] [i] [i] Taxa: 3,042% ao mês

Juros compostos (hp 12 c)

Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês para resgatar R$ 1.444,89? [f] [Reg] 800 [CHS] [PV][ ] [ ] 3 [ i ] 1.444,89 [FV] [ n ] Prazo: 20 meses

Juros compostos

Aplicamos R$ 1.000,00 a juros compostos, durante 09 meses, rendendo um montante final de R$ 3.000,00. Qual a taxa trimestral da aplicação? [f] [Reg] 1.000 [CHS] [PV] 3.000 [FV] 9 [ ENTER ] 3 [ ] [ n ] [ i ] Resultado: 44,225% ao trimestre

Juros compostos (hp 12 c)

Logaritmo Decimal (BRIGGS)

O logaritmo decimal (Briggs) de um número contido no visor é obtido calculando-se seu logaritmo natural e complementando pela seqüência:

10 [g] [LN] [ ]

Observação: A HP-12C não calcula o logaritmo decimal diretamente, daí o artifício. Exemplo a) Calcular log 2 b) 2 [ g ] [ LN ] 10 [g] [LN] [ ] Resultado: 0,301

Juros compostos (hp 12 c)

Juros compostos (hp 12 c)

Para calcular raiz:

1 268241 [ Enter ] 1,268241 [ Enter ] 12 [ 1/x ]

yx Resultado: 1,02

Interatividade

João tomou um empréstimo para

pagamento após 9 meses de R$ 3.500,00 a juros compostos de 1,89% ao mês. Quanto ele pagará no final da operação?

a) R$ 4.095,35 b) R$ 4,380,00 c) R$ 4,421,20 d) R$ 4,142,40 e) R$ 4,168,90