Capa e. desenhos do arquiteto. Hugo Ribeiro. Exemplar flo Impresso no Brasil

Capa e desenhos do arquiteto

Hugo

Ribeiro

Exemplar

flo

₈

₁₃

1967

*

Impresso no Brasil

N

N

N

DO

MESMO

AUTOR

Cr

aso

E

i-ementar

Iniciando a matemática moderna

—

nivel 1.

Curso

de Admissão:

Matemática.

Curso

Ginasial;

Matemática

-

primeira série ginasial

Matemática

-

segunda série ginasial.

Matemática

-

terceira série ginasial.

Matemática

-

quarta série ginasial.

Cursos

Clássico e Científico:

Matemática - primeiro ano.

Matemática

-

terceiro ano.

Curso Comercial

Básico: (esgotados) :

Aritmética prática, para o primeiro ano.

Matemática, para o segundo ano. Álgebra Elementar, para o terceiro ano.

Exame

de

Madureza

:

Guia de Matemática, para os exames do Artigo 91.

Curso

Vestibular:

(Em colaboração com o Prof. Victalino Alves)

Matemática. Questões de Concurso nas Escolas Superiores.

EDIÇÕES

DA

COMPANHIA

EDITORA NACIONAL

Rua

dos Gusmões,639 - São Paulo 2,

S

P

Curso

Normal

:

(Em oolaboração com oa Prots. Francisco Junqueira e

Dacobso Netto)

Matemática. 1.° ano dos Cursos Normais (GB)

í

N

D

I

C

E

G

E

R

A

I

índice dos Exercícios Introdução

PRIMEIRA

PARTE

ÁLGEBRA

Unidade

I: Análise

combinatória

simples

Definições 15 Inversão. Classede

uma

per-.„

mutação

20

Arranjos simples lo

Permutações

com

objetos

re-Permutações

com

objetos dis- petidos . . . 22

^in(;OS 20 Combinações

simples 23

Unidade

II:

Binômio

de

Newton

Produto de binômios distin- Propriedades do Binômio de

tos 31

Newton

34

„₀ Triângulo de Pascal 37

Binômio de

Newton

•

Soma

_{das potências}

seme-Têrmo

geral. 33 lhantes 37

Unidade

III:

Determinantes.

Sistemas

lineares

Definições 41 Cálculo do determinante de 2. a _ordem 43 Cálculo do determinante de 3. a _ordem 44 . Propriedades fundamentais. . 44

Determinante menor.

Adjun-to 46

Desenvolvimento 47

Conseqüêneias do teorema de

Laplace 50

Cálculo de

um

determinante 56 Regra prática de Chió 57

Sistemas lineares 60

Teorema

de

Cramer

61

Regra de

Cramer

62

SEGUNDA PARTE

TRIGONOMETRIA

Unidade

IV: Vetores.

Funções

circulares diretas

Vetores 77

Projeções ortogonais 81

Arcos e ângulos 83

Funções circulares diretas... 89

Relações entre as funções cir-culares de

um

mesmo

arco. 101

Cálculodaslinhasdosarcos

—

111 n

Unidade

V: Arcos de

extremidades

associadas. Aplicações

Arcos côngruos 115

Arcos associados 115

Relações entre as funções dos

arcos associados 117

Redução

ao primeiro

qua-drante 119

Arcos negativos 120

Arcos que correspondem a

uma

linha dada 121 Funções circulares inversas.. 121

Unidade

VI:

Operações

com

arcos

Medida

algébrica de

um

vetor 129

Adição de arcos 130

Subtração de arcos 132

Multiplicação 134

Fórmulas

em

função da

tan-gente da metade 137

Divisão de arcos 139

Unidade

VII: Cálculo por logaritmos Transformações de somas e

diferenças

em

produtos... 147

Tábuas

de logaritmos. . .. 151

Cálculo de expressões por

logaritmos 156

Unidade

VIII:

Equações

trigonométricas

Definição 159

Equações

com

uma

funçãodo arco incógnito 159

Equações

com

mais de

uma

função do arco incógnito.. 160

Método

da tangente da

me-tade 163

Unidade

IX: Resoluçõo de triângulos

Relações entre os elementos Relações entre os elementos de

um

triângulo retângulo 167 de

um

triângulo

obliquân-Casos clássicos de resolução _Casos

clássicos de triângulos

de triângulos retângulos. . 169 obliquângulos 170

r

ÍNDICE DOS

EXERCÍCIOS

Pâg.

1. Análise combinatória simples 28

2. Binômio de

Newton

₃₈

3. Determinantes _5g

4. Sistemas lineares ₇₂

5. Generalização da noção de arco ₈₈

6. Variação das funções circulares 99

7. Relações entre as linhas do

mesmo

arco 109

8. Arcos forma x/n. ₁₁₂

9. Arcos associados ₁₂₅

10. Redução ao primeiro quadrante 125

11. Funções circulares inversas ₁₂₆

12. Operações

com

arcos

140

13. Transformações

em

produto ₁₅₆

14. Uso das tábuas de logaritmos das funções circulares 156

15. Cálculo de expressões por logaritmos 157

16. Equações trigonométricas ₁₆₄

17. Triângulos retângulos e obliquângulos 184

18. Problemas de geometria ₁₈₅

c

rS

a

o

f

)

c

o

O

Q

O

o

o

c

o

o

o

o

(

J

(J

(

J

V-Cl

o

c

c

V

c*

NOTA

A

10.“

EDIÇÃO

1

Na

presente EDIÇÃO

conservamos

a tábua

de

loga-ritmos a

₄

decimais,

_{que julgamos}

_garantir

_uma

co-bertura

total a

todas

necessidades

do

aprendizado

nos

Cursos

de

Ensino

de

Grau

Médio

(2.° Ciclo), inclusive

em

relação às exigências

dos

Concursos

dé

Habilitação

aos

Cursos

Universitários.

A

par

disso representa

uma

inequívoca

economia

para

os

estudan-tes, pois

seu

custo,

em

volume

destacado,

sem

o

des-bãstamento

de

páginas

obtido

com

a

redução

a

4

decimais, seria

maior

que

o

do

próprio

compêndio.

O

número

de

exercícios foi

consideravelmente

au-mentado,

tendo

sido incluídos

com

a finalidade

de

atender

não

só a classes

mais

interessadas

_{do Curso}

Colegial,

como

principalmente

aos

candidatos

a

exames

vestibulares,

sempre

com

o título

“Questões

de

Con-curso de

Habilitação”.

_Devem

ser propostas,

de

pre-feiencia,

aos estudantes

_{que mostrarem maior pendor}

para

a disciplina,

ou

cujo

destino

sejam

as

Escolas

de

Grau

Superior.

Estimaríamos,

com

todo

empenho,

receber

dos

pre-zados

colegas suas

_{impressões sôbre}

_{os resultados}

obti-dos

com

êste nosso

_{compêndio, porque estamos}

_certos

de

que

uma

obra

didática

deve

representar

a

expe-riência pessoal

de

quantos

a utilizam

nas

atividades

da

nobre

função

docente.

„ ^ .

Ary

Quintella

Ru» GeneralArtijra«. 583/301 Leblon

—

Rio Z.C.20

©

'

o

©

o

o

A

T f

t)

o

©

©

o

o

o

o

o

e

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

ü

V

Q

u

PRIMEIRA

PARTE

ÁLGEBRA

I.

Análise

Combinatória

Simples.

II.

Binômio

de

Newton.

III.

Determinantes.

ü N

I

D A D

E

J

ANÁLISE

_{COMBINATÓRIA}

_SIMPLES

1.

Definições.

1*)

Análí

se

combinatória

ê o

estudo

dos

agrupamentos

que

se

podem

formar

com

os

_{elementos de}

_um

_conjunto

finito,

segundo

leis prefixadas.

2.

“)

Agrupamento

_simples

_é

_aquele

_em

que cada elemento

do

conjunto

figura

uma

única

vez, isto é,

em

que não

se considera

a

repetição,

no

mesmo

_{grupo, de}

_um

ele-mento

do

conjunto.

Em

caso contrario, os

agrupamentos

denominam-se

com

re-petiçâo

ou

completos.

Exemplo

:

Consideremos

as três letras o, b, c,

representando

os

ele-mentos de

um

conjunto.

Formaremos

_agrupamentos

_{simples de}

duas

letras,

escre-vendo:

ab, ac, bc.

E

com

repetição

ou

completos:

aa, ab, ac, bb, bc, cc. 3.

‘)

Taxa

ou

classe

do

agrupamento

é o

número

de

elementos

do

conjunto

_considerados

_em

_cada

grupo.

No

exemplo

_{anterior a classe}

_ou

_a

_taxa

é 2. 4.

a

)

Fatorial de

um

número

nêo

_produto

_dos

_números

naturais de I

a

n que

_se

_representa

pelo

símbolo

n\

ou

[n.

Assim:

7! -= 1.2.

3

.

4

.5.6.

7

=

6.

040

.

y

c

ç

l(i

Matematica

—

2“ Ano

Colegial

2.

Agrupamentos

simples.

Os

agrupamentos

simples

são, essencialmente,

de

três tipos: arranjos

ou

disposições simples,

permutações

e

combinações

simples.

a)

Arranjos

simples.

São

os

agrupamentos

em

que

o

número

deobjetos

de

cada

grupo

é

menor

que

o total,

um

elemento

figura

uma

só vez

em

cada grupo, e dois

agrupa-mentos

diferem

pela natureza

ou

pela

ordem

dos

elementos

que

nêles figuram.

Assim,

os arranjos simples

dos

três

elementos

a, b, c,

com

taxa

2, serão: _a6>

^

_bc ba, ca, cb,

onde

os arranjos dispostos

em

linha

diferem

pela natureza e os dispostos

em

coluna diferem

pela

ordem

dos elementos.

O

número

de

arranjos

ou

disposições

simples

de

n

ele-mentos

com

taxa

_p

representa-se

por

um

dos

símbolos:

An

A

H,r

Dn

ou

b)

Permutações.

i

São

agrupamentos

formados

com

todos os

n

j

elementos

do

conjunto, diferindo dois

agrupa-mentos

apenas

pela

ordem

dos elementos.

I

I

j

Exemplo

:

As permutações

dos

três

elementos

a, b, c, serão: abc, acb, bac, bca, cab, cba,

1

0

número

de

permutações

de

n

elementos

representa-se

j

com

o

símbolo

P

m

.

V

tf

São

agrupamentos

formados

com

todos os

n

elementos

do

conjunto, diferindo dois

agrupa-mentos

apenas

pela

ordem

dos elementos.

São

os

agrupamentos

em

que

o

número

deobjetos

de

cada

grupo

é

menor

que

o total,

um

elemento

figura

uma

só vez

em

cada grupo, e dois

agrupa-mentos

diferem

pela natureza

ou

pela

ordem

dos

elementos

que

nêles figuram.

Análise

_{combinatória simples}

₁₇

Observação. As permutações sáo

um

caso particular dos arranjos

em

que a taxa é igual ao

número

de elementos _(p

=

n) ; isto é :

c)

_{Combinações}

_simples

.

Sao

agrupamentos

em

que

o

número

de

elemen-tos de cada

grupo

é

menor

que

o total,

em

cada

grupo

um

elemento

figura

uma

sú vez e dois

agrupamentos

diferem

pela

natureza

de, pelo

menos,

um

elemento.

Exe mplo

:

As

confbinações

_{simples dos}

três

elementos

a, b, c, serão: ab, ac, bc.

Observa-se

que

os

agrupamentos

ab

e

ba

não

são

consi-derados

como

combinações

distintas.

O

número

de

combinações

simples

de

n

elementos

com

taxa

_p

representa-se

por

um

dos símbolos:

Cl

C

u,v

ou

(")

Observação. Se permutarmos os elementos de

um

grupamento do tipo combinações, obteremos _{agrupamentos do tipo arranjos.}

Assim cada combinação fornece tantos arranjos quantas são as _{permutações}

da taxa; logo, podemos concluir:

Exemplo

:

Suponhamos

os quatro elementos a, ò, c, d.

O

quadro das combi-nações de taxa 2 será:

ab ac ad

bc bd

cd

que foi formado, colocando-se à direita de

um

elemento cada

um

dos

18

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

Permutando

os elementos, o grupo ab, por exemplo, dará os dois arranjos: ab, ba e, assim, os demais.

O

número

de arranjos será:

6

X

2

=

12 Temos, portanto:

A

_J

X

fi.

3.

Formação

dos

arranjos simples.

Teorema

fundamental. Suponhamos

n elementos

repre-sentados

pelas letras a, b, c, ... I.

Os

arranjos

com

taxa 1, serão,

evidentemente:

a, b, c, I.

e

teremos:

A\

=

n.

Para formar

os

arranjos

de

taxa

2,

colocaremos,

adiante

de

cada

uma

daquelas

letras,

sucessivamente,

cada

uma

das

n-

1 restantes:

n

colunas

ab

ba

ca

.. . la

n-1

ac

bc

cb . . . lb linhas al bl cl .. . lk.

Dêsse

modo,

cada grupo

de

1

fornece

n-1

grupos

de

2

e

nenhum

arranjo

está

omitido

nem

repetido.

Podemos,

pois concluir:

A

2n

=

Al (n-

1)

Procedendo anàlogamente,

para

passar

aos

arranjos

de

taxa

3,

colocaremos adiante

de

cada grupo

de

2,

sucessiva-mente,

cada

um

dos

n-2

restantes.

Assim,

cada grupo

de

2

fornecerá

n-2

grupos

de

3

e

teremos:

Al

=

Al

(»

-

2)

De modo

geral, se

tivermos

um

grupo

de

t

elementos

abc ... *

I

Análise

combinatória

simples

₁₉

e

colocarmos,

à direita,

cada

um

dos n-i

restantes,

obteremos

n

-

i

grupos de

t

+

1

elementos:

abc . .. ij, abc .. . ik, etc, abc

il.

Da

formação do quadro

conclui-se o

teorema

fundamental:

Foi

mula

do

número

de

arranjos

simples

de

objetos

distintos.

Para

a

taxa

_p

=

1

temos,

com

eviden-cia,

A

_n

=

n, e, fazendo,

sucessivamente,

i

=

1, 2, 3, ...

p-1

no

teorema

fundamental,

obteremos

as igualdades:’

*

_A\

=

_n

Al

=

Al

(n

-

₁₎

Al

=

Al

(n

-

2)

Al

=

Al

~

1 (n

-

_p

+

₁₎

Multiplicando-as

_membro

_a

_membro

e simplificando os fatores

comuns

aos dois

_membros

_{resulta a}

fórmula:

Al

=

n{n

-1)

(n-2)

...

(n-p-f

₁₎ (I)

Exemplo

:

Al

=

5

X

(5

—

1) (5

-

2)

=

5

X

4

X

3

=

60. Observações: 1.

»)

O

número de arranjos de n objetos

com

_{taxa p} é igual ao

pro-duto de p fatôres inteiros, consecutivos e decrescentes a partir 2.

») Se multiplicamos e dividirmos o segundo

membro

de (I) nelo

20

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

que é

uma

segunda fórmula,

em

têrinos de fatorial. Exemplo.

A4

_

71 1

X

2

X

3

X

4

X

5

X

6

X

7

=

3!

1X2X3

3.*) Se fizermos p

—

0, na fórmula II, obteremos :

Daf, a convenção : ,o ni ,

A

=

—

r

=

1. n _n !

Al

=

1 5.

Permutações

de objetos

distintos.

Fórmula.

As

permutações

podem

ser

consideradas

um

caso

particular

dos

arranjos

em

que

a

taxa

é igual

ao

número

de

elementos.

Assim,

o

quadro

das

permutações

forma-se

como

o

dos

arranjos, até se considerar

o

último elemento

e a

fórmula

obtém-se,

fazendo

na

fórmula

I,

_p

=

n:

P

K

=

Al

—

n\n

-

1)

...

1

—

n!

(III)

Exemplo

:

P

4

-

41

-

1

X

2

X

3

X

4

-

24. ObsebvaçãO.

A

fórmula (III) pode ser escrita

Fazendo n => 1, vem: Dal, a convenção: n.P.-i Pi

=

1

X

P.

Po

“

1

0

!

=

1 6.

Inversão.

Classe

de

uma

permutação.

Chama-se

permutação

principal

de n elementos aquela

era

que

os objetos estão

colocados

na

ordem

natural.

Análise

combinatória simples

21

Assim,

se os

elementos

são

representados

pelas letras

do

alfabeto o, b, c, d,

por exemplo,

a

permutação

principal,

será , ,

abca.

Do

mesmo

modo,

se os

elementos

são

diferenciados

por

índices,

por

exemplo,

aj, 0.2, as, a4, a

permutação

principal

será

02 fl-3 o₄.

Dois

elementos

formam

uma

inversão sempre que

não

estiverem

na

ordem

natural

estabelecida

na

permutação

principal.

Assim,

na permutação de quatro

elementos

cabd

há

duas

inversões:

ca e cb.

Uma

permutação

diz-se

de classe

par

ou

ímpar,

segundo

seja

par

ou

ímpar

o

número

de

suas

inversões.

A

permutação

cabd

é

de

classe

par

(duas

inversões: ca, cb).

A

permutação

cbad

é

de

classe

ímpar

(três inversões: cb, ca, ba).

7.

Teorema

de Bezout.

Quando

se troca a posição

de

dois elementos, a

permutação

muda

de

classe.

Demonstração.

1.*)

Suponhamos que

os dois

elementos

ij,

na

permu-tação

dada,

sejam

consecutivos

:

ab

. .

. ij ... kl ₍₁₎

Trocando

os

elementos

t e _j,

obteremos

a

permutação

:

ah

. .

. ji ... kl (

2

)

Se

os

elementos

i,

_j

estavam na

ordem

_natural

_na

22

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

i

li

j:

ao passar

da

(1)

para

a (2) a

permutação ganha ou

perde

uma

inversão

e, portanto,

muda

de

classe.

2.a₎

Suponhamos

que

os dois

elementos,

i, j,

na

permu-tação

dada não

são consecutivos,

havendo

entre êles h

ele-mentos

:

ab ... i ....

_j

... kl.

h

Trocando

_j

de

posição,

sucessivamente,

com

os h prece-dentes,

obteremos

a

permutação.

ab

... ij ... kl

onde houve

h

mudanças

de

classe.

Trocando

_j

com

i,

mais

uma

mudança,

e

fazendo,

finalmente, i

ocupar

a

posição

pri-mitiva

de

_j

teremos novas

h

mudanças

de

classe.

Assim,

a

permutação

ab

... j .... t ... kl

terá sofrido 2/i

+

1

mudanças

de

classe.

Como

este

número

é

impar,

a

permutação

muda

de

classe.

8.

Permutações

simples

com

objetos

repetidos.

a) Definiçãoe símbolo.

Suponhamos

um

conjuntode nelementos,

sendo

a

elementos iguais a a.

O

número

de permutações distintas dos n elementos representa-se pelo símbolo P“.

De

um

modo

geral, o símbolo P“’ •

• indica o

número

de

permuta-ções distintas de

um

conjunto de n elementos, sendo a iguais a a, p iguais a 6, etc..

b) Cálculo

do

número

de

permutações

distintas.

Considere-mos a

elementos iguais a a e dotemos os

mesmos

de índices de 1 a a e passemos a considerá-los distintos.

O

conjunto será

:

ai, aà .. . a

a

, b, c, d

Formemos, então, o quadro das permutações, de

modo

que, nas

colunas, a3 permutações difiram apenas pela

ordem

dos elementos

com

índice.

O

quadro terá a disposição:

ai 02 ... a_a bcd Oi a_a .. 02 bcd ot oj ... a_a bcd bai aa ... a a cd . . 6ai aa ... aa cd ... òosoj ..

aacd

Análise

combinatória

simples

23

O

número

de permutações do quadro será

P„

n!

O

número

de permutações de cada coluna será

P

_a

=

a !

Se.dispensarmos os índices, todos os agrupamentos da

mesma

coluna ficarão iguais; logo, o

número

de permutações distintas reduzir-se-á ao

número

de colunas e será: .

p

a

=

n !

B <*!

Se no conjunto _{houvesse, ainda, ú} elementos iguais a b, obteríamos, mediante raciocínio análogo:

P

“>0

_Q

n[ "

“

ai/3l Exemplo : g ,

Pq

2

=

-3i 2 ,

=4X5X3

=

60.

9.

Cálculo

do

número

de

combinações

simples.*

Temos

a propriedade

(n.° _2, c, pág. 17)

:

C

P

n

XP

v

=

An

•• .

Cn

=

-0-* V

Considerando

as

fórmulas

(I) e (III),

podemos,

então, concluir

:

ou,

com

as

fórmulas

(II) e (III) :

0BSERVAÇÕE3:

l-a) Para p

=

1, temos:

C\

=

n. E, para _p

=

0:

C”

=

1.

2.*) Considerando a fórmula (IV), observa-sequeo númerode combi-nações é dado por

uma

fração

em

que

ambos

os têrmos têm

p

fatôres,

24

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

nonumerador

em

ordemdecrescente apartirdenenodenominadorapartir

de p. Estas frações representam-se peio símbolo ("). Daí, a fórmula das combinações escrever-se,

também

c

p n

-

O-O

símbolo (

'*) denomina-se coeficiente binomial ou número binomial

Exemplo

:

_

5X4X3

_

~

°

5

_1X2X3

10.

Propriedades

das

combinações

simples

ou

dos

coeficientes

binomiais.

Duas

combinações de

taxas

complementares

são

Duas

taxas

dizem-se

complementares

quando

sua

soma

é igual

ao

número

de

elementos.

Exemplo

:

C

7 e

C

7

têm

taxas

complementares

(3

+

4

=

7).

Tese

: riv

_

ri* - *

O

r<

—

v/n

Demonstração.

De

acôrdo

com

a

fórmula

(V),

temos

: n\

c

I

=

p! (

n-p

) ! n!

_{_}

n!

(n—

p)I

(n~n+

p)l (n-p)! p!

Donde

resulta : r<P /tn-p

^

n

^

n

Exemplo

:

n

c=a

n

0

100 Oioo 100

X

99

1

X

2

4.950

Análise

combinatória simples

25

)

Dado

um

conjunto

de n elementos, o

número

2.®) de

combinações de

taxa

_p

em

que

figuram

k

elementos

determinados

(k

<

_p) é C*’ _£

Demonstração.

Destaquemos

os

k

elementos

e o

conjunto

ficará

com

n—k

elementos.

Combinemos,

então, os

elementos

restantes

com

taxa

p-k.

O

número

dessas

combinações

será:

Juntando

a

cada

grupo

os

k

elementos

destacados,

o

número

de

“grupos será

o

mesmo

anterior,

porém

todos

con-terão os

k

elementos

e

a

taxa

será p.

Logo,

o

número

dêsses

últimos

agrupamentos

será,

também,

riP ~k - k

Exemplo

:

Dados

os

elementos

a, b, c, d, e,

o

número

de

combinações

com

taxa

4

em

que

figuram

o, b, será :

-₂ sy2 syl _Q

O

5 _{- 2}

—

—

03

=

O

Dado

um

conjunto de

n

elementos, o

número

3.*) de

combinações

de

taxa

_p

em

que não

figuram

k

dêsses

elementos

é _.

Demonstração.

Destaquemos

os

k

elementos

e

formaremos

um

conjunto

com

n—k

elementos.

Combinando

êstes objetos restantes

com

taxa

p,

o

número

de

grupos

será

26

Matemática

—

2.°

_Ano

_{Colegial Análise}

_{combinatória}

_simples

27

Exemplo

:

Dados

os

elementos

a, b, c, d, e, o

número

de

combinações

com

taxa

2

em

que

não

figuram

a e b será :

CÍ-2

=

cl

=

cl

=

3

11.

Relação de

Stifel.

Seja

um

conjunto de

n elementos

e a,

um

dêsses

elementos.

O

número

de

combinações

com

taxa

_{p pode}

ser

decom-posto

em

4dois

grupos:

1.

°)

combinações

era

que

figura o

elemento a;

2.

°)

combinações

em

que

não

figura

o

elemento

a.

De

acordo

com

as

duas

últimas

propriedades,

no

pri-meiro

grupo

o

número

de

combinações

será

:

c*-\

n- 1 e

no segundo

Cl

-i

Como

a

soma

dá

tôdas

as

combinações

dos

n

elementos

com

taxa

p,

teremos

: Arranjos

Al =

n(n-l) ... (n-p

₊

1) AP « 1 " (n-p) I Permutações

P»

=

1.2. 3 .

..»

=

«!

p

a_{’& __} n^ n a! fi ! Combinações

nP

_

n(n-1) .. . (n-p

+

1)

c

v n ' " 1.2 _p ~n (n-p) !p!

13.

Problemas.

Em

primeiro

lugar é necessário fixar

qual

o tipo

de

grupamento do

problema.

Para

isto

comparare-mos

o

número

_p

(objetos

de

cada

grupo)

com

n

(total

de

obje-tos).

E

teremos

:

1.

°)

_p

=

to.

grupamentos do

tipo

permutações.

2.

°)

p

jé

n

-

podem

ser arranjos

ou

combinações.

Formamos

então

um

grupo

(

ab

) e

invertemos a

ordem

dos elementos

(ba):

a)

Se

os dois

grupos

forem

distintos

-

arranjos

b)

Se

os dois

grupos

forem

idênticos

-

_{combinações.}

Exemplo

:

O

diretório

académico

de

uma

Faculdade

tem

cinco

membros.

Quantas

comissões distintas de dois

membros

poderemos

jormar?

Cl

- 1

+

Cl

-1

=

Cl

Esta

relação ê

conhecida

por

relação de Stijel e

pode

ser

também

escrita :

C!) +

O

=

0-12.

Resumo.

As

fórmulas

de

análise

combinatória

simples

podem

ser

reunidas

no

quadro:

Resolução.

1.

*)

0

número

de

_{elementos de}

um

_grupo

_é

_menor

_que

_o

_total

-

fica excluido

o

tipo

permutações.

2.

°)

Consideremos

a

comissão

: Presidente

, Vice-presidente.

Invertendo

a

ordem

: Vice-presidente

, presidente,

a

comis-são

é a

mesma

; logo, os

grupamentos

são

do

tipo

combi-nações.

0

número

de comissões

será,

portanto

:

Cl

=

5X

4

1

X

2

28

Matemática

—

2.°

Ano

Col

egial

Observação.

Há

problemas cujo enunciado contém

uma

exigência

a ser cumprida e que

devem

ser tratados atendendo-se a esta

particulari-dade. Exemplo

:

A

diretoria de

uma

sociedade tem dez membros. Quantas comissões de quatro membros podem ser formadas, figurando sempre o presidente

e o vice-presidenteT Resolução.

Os grupamentos

são

do

tipo

combinações

em

que figuram

sempre

dois

elementos.

O

número

de

comissões

será, então,

de

acôrdo

com

a

2*

propriedade

:

Cw-

2

=

Cl

=

”4

"

28 comissões

-Resp.

:

210, 120, 4845, (n-2) (n-1) n, 1, 302400.

7.

De

quantos

modos

diferentes se

podem

dispor as letras da palavra venturat Resp.

:

5.040.

8 Quantos números de cinco algarismos

podemos

formar

com

os

alga-rismos ímpares 1, 3, 5, 7, 9?

Em

quantos dêles os algarismos 1 e

3 ficam juntos?

Em

quantos aparece o grupo 79? Resp.

:

120, 48, 24.

9

O

número de combinações de

m

objetos

com

taxa 2 é 15. Calcular

m

Resp.

:

6

10

O

número

de arranjosde

m

objetos 3 a 3é 42m. Calcular m. Resp.

:

8

11 Calcularm, sabendo-se que onúmerode combinações de

m

+

2 objetos

5 a 5 é igual a

—

de m. Resp.

:

6 12

Quantas comissões diferentes de três

membros

poderemos formar

com

os cinco diretores de

uma

Sociedade?

Em

quantas comissões não figura o presidente?

Em

quantas figuram juntos o presidente e o vice-presidente? Resp.

:

10, 4, 3.

13. Quantas diagonais tem o icoságono? Resp.:

C

20

-20

=

170 14. Quantas diagonais tem

um

polígono convexo de 30 lados? Resp 405

»,

í

Análise

combinatório simples

29

15.

Quantas diagonais

tem

o dodecaedro regular?

Resp.:

C\

Q- 30- 12{C\-5)

=

100.

IG Quantas diagonais

tem

o octaedro regular?

E

o icosaedro regular?

Resp.

:

3 e 3G.

17. Quantos números diferentes

podem

ser formados

com

os algarismos

1, 2, 3, 4, 5, 6, ocupando os algarismos pares os lugares pares? Resp.

:

36.

18. Obtidos todos os números

com

as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9, quantos

começam

pelo algarismo 1 ? Resp.

:

120. 19. Obtidos todos os números

com

as permutações dos algarismos 1, 2, 3,

5, 7 e 9 e escritos

em

ordem de grandeza crescente, que lugar de ordem ocupará o

número

537 129? Resp.

: 421. 20. Achar n na equação:

A

=

24.

C%

_ 2 Resp. : 4 ou 9.

21. Quantas permutações distintas das letras da palavra

mínima

são

possíveis? Resp.

:

180.

22. Quantos números diferentes obteremos permutando os algarismos

do

número 355.113? Resp.: 90.

23.

Numa

assembléia de 40 cientistas, 8 são físicos. Quantas comissões de 5

membros podem

ser formadas incluindo no

mínimo

um

físico? Resp-;

sfUi

~

sUtI

ou 456 632

24.

Em

uma

reuniãode sete pessoas há nove cadeiras.

De

quantos

modos

se

podem

sentar as pessoas? (E.T.E.) Resp.: 181.440.

25.

De

quantos modos

podemos

dispor

m

mulheres e k homens,

em

fila, de

modo

que tanto os homens

como

as mulheres, entre si, fiquem

em

ordem de altura? (E.N.E. - 1945) Resp.

:

C”

_h

26. Dados 20 pontos do espaço, dos quais não existem 4 complanares, quantos planos ficam definidos? Resp.: 1.140.

27 Ordenando de

modo

crescente as permutações dos algarismos 2, 5,

6, 7, 8, qual o lugar que ocupará a permutação 6 8 2 7

5?

Resp. : 68. 28. Verificar a igualdade:

A

^

=

A

v

₊

p.

A

v ~ [ n -f-i n r n 29. Calcular n e _pno sistema:

C

v n

=

78 e

A

n p

₌

156. Resp. : 13 e2. 30. São dados 15 pontos no espaço, sendo 7 complanares. Quantos são

os planos definidos pelos 15 pontos? Resp.

:

421.

QUESTÕES

DE

CONCURSO DE

HABILITAÇÃO

31.

Das

permutações de 5 objetos são de classeímpar permutações (E.N.E. - 1958).

50

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

33. Calcule o

número

de combinações simples das letras a, b, c, d, e,

to-madas

4 a 4, nas quais as letras b e c figuram sempre juntas

(E.N.E. - 1958) Resp.: 3 (veja pág. 25).

34.

Com

uma

letram,

uma

letra de

um

certo

número

deletras a,

podemos

formar 20 permutaçõeã. Calcule o

número

de letras a. (E. Flum.

E

- ₅₈₎ Resp.: 3.

35.

Numa

ciasse existem 6 rapazes e 4 moças.

De

quantas maneiras

podemos

reuní-los

em

grupos de 6 compostos de 4 rapazes e 2

moças?

(E. Arq. U.

M.

Gerais - 1951) Resp.: 90.

36.

Em

um

saco há 4 bolas brancas e 6 pretas, á)

De

quantos

modos

poderemosextrair5 bolas,sendo 2 brancase3 pretas? b)

De

quantos

modos

poderemos retirar 5 bolas, sendo tôdas pretas? (E. T. Ex.

-1946) Resp.: 120 e 6.

37. Quantos números diferentes de dez algarismos, se

podem

formar

com

os algarismos 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, tendo todos êles o

mesmo

final 34475? (E. T. Ex. - ₁₉₄₈₎ Resp.: 30.

38. Sendo Cj^3

=

Cjq"3, calcule p. (E.N.E. 59) Resp.: 5.

39. Calcule m, de

modo

que:

m

!

+

(m

—

1) 1

_

6

(m

₊

1) 1

—

m

1 25

Resp.: 5 (E.F.E. 60).

40. Calcule m, sabendo que :

C

_L

+

Cl

+

•• •

+

C

Z

l

+

_{<Z =}

1.023

(EPUC

- 60).

. Resp.: 10.

41. .Quantos números existem de 7 algarismos significativos, tais que os algarismos 4 e 8 apareçam, sempre, duas e três vezes,

respectiva-mente,

em

cada

número?

(E.F.E.

—

955) Resp.: 8.820.

UNIDADE

II

BINOMIO

DE

NEWTON

produto**™*

11110

dC

_bÍnômios

_distintos.

_Suponhamos

(x

+

a) (x

+

6) (x -f c) . . . (x -f k)

de

n binômips

distintos.

o

Cada

_{têrmo do}

_{resultado será}

o produto

de

n

fatores,

tomados

um

_em

cada

binômio.

Os têrmos do produto

serão portanto

:

1.

°)

Escolhendo

a

letra

x

em

todos

os

binômios

obteremos

o

termo

x

n

,

que

é o

de maior

grau

do produto

2.

°)

Escolhendo

a

letra

x

em

n-1 binômios

e

a

segunda

letra

(a, b, c k)

no binômio

restante,

obteremos

os

têrmos

do produto da forma

:

ax

n

~

l ,

ôx"-1 ,

cx"-1 . . .

kx*~

l .

Assim,

o

coeficiente

de

x-*

no

resultado será a

soma

a

+

b

+

c

+

. .

.

+

k

que

_{representaremos por}

_Su

3.

°)

Os têrmos

em

_x"-

2

serão

obtidos

_escolhendo

_a

_{letra x}

em

n

-

_2^

binômios

e

duas

das

letras a, b, c . .

k

nos

dois

binômios

restantes.

_Êste

_têrmo

_será

pois:’

(ab -f ac -f ...

+

bc

+

bd

.. _.)

x

n

~

₂

que

_{representaremos por}

_S

2

x-

2,

onde

S

2 ê,

portanto

a

soma

dos produtos das

letras a, b, c, ... k,

tomadas

duas

a

_{duas (combinações de taxa}

32

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

_Binômio

_de

_N

_e

_wt

_{o n}

₃₃

4.°)

De

um

modo

geral, 03

têrmos

em

x*~

p

serão

formados

tomando

a

letra

x

em

n-p

binômios

e

_p

das

letras o, 6, ...

k

nos

p binômios

restantes.

Assim, o

coeficiente

de x

n

~

v _{será a}

_soma

_{dos produtos daquelas}

letras

toma-das

_p

a

_p

(combinações de taxa

p

dos

n

elementos),

que

representaremos por

S

v.

5°)

O

último

têrmo

do

resultado é abc . . . k,

que

representare-mos

por

S

n.

'

Assim

podemos

escrever

o

resultado :

(x+a)(x+b)..

.{x+k)=x

n

_+Si

_xn_1

_+S

2xn 2

+

...+S

Px" P

...+S„

(D

Exemplo.

Achar

o produto dos

binômios (x+1)

(

x-2

)

(x+3)

(x

+4).

Temos

: 51

=

l-

2

+

3

+

4

=

6

5

2

=

1.(-2)

+

1.3

+

1.4

+

(-2)3

+

(-2).

4

+

3.4

=

3.

5

3

-

1.(—2)3

+

1.(-2) .44-1.

3.4

d- (-2).

3.4

-

-

26

Si

=

1. (-2). 3.

4

=

-24

Logo

:

(x+1)

(

x-2

)

(x+3)

x+4)

=

x

4

_+6x

3

_+3x

2

_-26

_x

_-

₂₄

2.

Binômio

de

Newton.

Se,

na

fórmula

(I), fizermos:

o

=

b

—

c

=

...

=

k

o

produto

dos

fatores

binômios

toma

a

forma

:

(x

+

a)"

Resta

achar

as

somas

Si,

S

2, ...

S

p,

do segundo

membro,

na

hipótese considerada.

As

parcelas

de

Si ficarão

tôdas

iguais

a

a, as

de

S

2 iguais

a

o

2 e

assim por

diante, as parcelas

de

S

p serão iguais a

a

v

.

O

número

de

parcelas

de

Si é

n

(combinações das

n

letras

a, b, ... k,

tomadas

uma

a

uma)

;

o

número

de

parcelas

1

í

de

*$2 será

C„

(as letras a, b. c,

k foram

combinadas

duas

a

duas

) e

assim por

diante,

em

S

v

o

número

de

parcelas será

Cl.

Assim,

teremos

:

Si

=

Cl a;

S

2

=

Cl

o

2,

. . .

S

v

=

Cl

a*

Substituindo

na

fórmula

(I) :

(x+o)n

=

xn

+

C\ ax"-1

+

C; ta 2_xp

—

2

₊

.. .

+

C

p na t_‘xn-p

+.

. .

+a”

(II)

A

esta

fórmula

que

fornece

a

potência

de

um

binômio,

dá-se o

nome

de binômio

de

Newton,

embora

seja

devida

ao

matemático

italiano Tartaglia,

cabendo

a

Newton

sua

genera-lização,

para expoentes

não

positivos

ou

não

inteiros.

Exemplo.

(

_x

+

a)5

=

x

5

+

Clax

4

₊

_CÍa

2

_x

3

₊

_Cla

3

_x

2

₊

_Cta^x

₊

_a

5

=

x

5

₊

_5ax

4

₊

_10a

2

_x

3

₊

_10a

3

_x

2

₊₅

_a

4

_x+a

5

Observação.

Podemos

observar que o desenvolvimento do Binô-mio de

Newton

é

um

polinómio

homogêneo

de grau n

em

que os.

expo-entes do primeiro têrmo

diminuem

e os do segundo

aumentam

de

uma

unidade.

O

desenvolvimento

tem

n

+

1 têrmos.

3.

Têrmo

geral.

Chama-se

têrmo

geral a

expressão

ou

fórmula

que

permite

achar

um

têrmo

qualquer

do

desenvol-vimento,

desde

que

seja

dada

sua

ordem.

Observando

a

fórmula

II

do

desenvolvimento,

verifica-se

que o

têrmo

com

p precedentes,

isto é,

o

têrmo de

ordem

p+1,

que

representaremos

por

T

v+1, será:

(III)

Exemplo.

Achar

o 5.°

_{têrmo do desenvolvimento de}

_(x+2)

10

0

5.°

têrmo

tem

4 precedentes

(p

=

4) ; logo,

vem

:

TVi =

Cio 2

4,x

10_

4

34

Matemática

—

2.°

Ano

Colegial

4.

Propriedades do

bmôtuio

de

Newton.

Primeira.

O

coeficiente

do termo

que

_{tem p}

precedentes

é

Ct

0

eqüidistante

do extremo

terá

_p

conseqüentes.

Logo,

o

número

de

seus

precedentes

será o total

de

termos,

n

+

1,

menos

os

conseqüentes

e êle próprio, isto é :

n

+

l-p-1

=

n-p

e seu coeficiente será

Cn

P

-Como C

v n e

Cn

~ v

são

iguais

por

terem

+axas

complemen-tares,

o

teorema

fica

demonstrado.

Aplicação.

Dessa

propriedade

resulta ser suficiente calcular os

têrmos

até a

metade,

se

n

fôr

ímpar

e até a

metade

por

excesso, se

n

fôr par.

Segunda.

Lei

de

recorrência

de

formação

dos têrmos.

De

acôrdo

com

a

fórmula

do têrmo

geral,

temos

:

Ti!

T’»

"

«

e

seu precedente

será :

nl

T.

=

Cr

1flp

-

1

_x’-

p+1

=

_-7

—

tttt

TTTT

9 n (-ri

—

11 Ifl

—

Tt -1-1 1 ! (p-l)l(n—

p+l)l

a

v-l

_x

*-i>+l

Dividindo

membro

a

membro

:

ha

.

-

_ax

-i

T

f

V

donde

: (

iv

) r

Binómio

de

Newton

35

i i Conclui-se a

propriedade

: |

Para

passar

de

um

têrmo

ao seguinte multiplica-se o coeficiente peio expoente

de

x e divide-se pelo expoente

de

a

aumentado

de

1.

Em

seguida,

aumenta-se

o expoente de a e diminui-se o de x de

uma

unidade.

Aplicações.

1.

a

)

Para

obter

o

desenvolvimento de

um

binômio

pode-se

aplicar a

segunda

propriedade

até o

têrmo médio

e obter os ‘

seguintes pela

primeira

propriedade.

Exemplo.

(73

y

K E_Tf>

V4

(x+a)

6

₌

_x

6

₊

_6ax

5-| _g

—

_a

2_x4

+

—

_-7^—

a

3 x3

₊

₁₅

_a

4

x

2

+

6a

5

_x

₊

_a

e 2 3 2.

*)

Determinar

0

têrmo

de coeficiente

binomial

máximo.

De

acôrdo

com

a

fórmula

(IV),os coeficientes serão cres-centes

enquanto

tivermos

:

n-p

₊

1

P

Exemplo.

Os

têrmos de

(x

+

o

)

8

serão crescentes

enquanto

tivermos

:

8+1

1

V

<

~2~

°u

_P

<

4—

•

Logo,

o

têrmo

de

coeficiente

máximo

corresponderá

a

p

=

4

e será :

Ts

=

o

4

x

4

=

70 a

4

x

4.

1 ₃₆

Matemática

-

_2.°

Ano

_Colegial

Pela

fórmula

do têrmo

geral (III)

temoa

:

TV

i

-

c.^--^)’**

2

)

12-’

-Cxl

(-1

yx

2*-»’ (1)

Para que

o

têrmo

seja

independente de

x,

devemos

ter :

24-3p

=

0

.

' .

p

=

8.

Substituindo o

valor

_{de p}

em

(1),

temos

o

têrmo

pedido

que

será

o

nono

:

To

= C

i2

X

(-1)8

=

495

4.“)

Determinar

o

maior

têrmo

no

desenvolvimento de

(-!)’

(Cecil Thiré-íEx. de Álgebra). Resolução.

Temos

de acôrdo

com

a

fórmula

(IV)

T

v+i

=

T

v

X

—

—

x

l-1

X

\

=

T

v

X

22

~

_2P

(I)

p

3

op

Assim, para passar de

um

têrmo ao

seguinte,

o

multiplicador é

a

fração

22

-

2p

3p

Logo, os

têrmos

crescerão

enquanto

tivermos

:

22

-

2p

22

0

maior

número

inteiro

abaixo

de

22/5 é 4.

Substituindo

p

por

4

na

igualdade

(1), teremos, então,

o

têrmo

máximo

:

TV

i

=

TVi

=

Tg

Em

virtude

da

fórmula

do

têrmo

geral,

vem

:

Te

=

=

C

'-io \ -s

(l)‘

Binômio

de

Newton

37

5.

Triângulo de

Pascal.

A. relação de Stifel : Cj/ +1

=

Cf

+

C/f '1

, pode ap!icar-se para

formar os coeficientes das potências sucessivas de

um

binômio

com

o dispositivo prático denominado triângulo aritmético de Pascal

Na

primeira coluna escreve-se o

número

um

e cada elemento de

uma

linha

de coeficientes é obtido adicionando o

número

que lhe fica

em

cima

com

o precedente : 0 1

111

2

12

1 3

13

3 1 4 1 4 6 4 1 Exemplo.

Os coeficientes da quarta potência de

um

binômio são 1, 4, 6, 4, 1

6.

Resumo.

(x+a)(x+6)...(x+fc)

=

xn+<Sixn_ -₁

+S

2x"-~2

+

..

+5

_px"-*’+. •

+&n

(x+a)»

=

x»+C*

ax"-l

+Cl

fl2 xn 2

+

.

+<%

ap xa_~P-h. ..

+a*

T,+i

=

Cl

a * x»-p

T

p

+

1

=

T

v

X

n-p+1

ax~

l V

EXERCÍCIOS

Calcule os resultados, utilizando a lei de formação do produto • *1. (2+2) (*-3) (x+4) 2. (x

+

₁₎ (x-4) (x+5) (x-1) 3. (x-2) (x+2) (x-3) (x+3), Resp. : x3

_+3x*-10x-24

; x 4

_+x

3_-21x2_-^

₊

+20;

x4

_—

_13x3_+36.

4. Escreva o terceiro têrmo do produto (x+5) (x+2) (x-3) (x+6), sem

efetuá-lo. Resp.

:

13x2.

5. Escreva oquartotêrmo do produto(x-2) (x—3) (x-4) (x—5),

sem

efetuá-lo. Resp.

:

-154x.

Calcular o desenvolvimento das potências

:

38

Matemática

—

2.°

_Ano

_Colegial 10. ( V 3

+

V 2)8 11. (z ~ V 3)* 12. (z

+2

V ^)3 13.

(z

-

—

^ Resp. : 6)z*-15z4

_+90z

3-_270z*

_+405®

_{- 243} ; 7) 1

+6x

+

12z 2

_+8z*

8. 81x4

₊

_108x3

_+54z

2

₊

_12x

₊

l ; 9)

l-Sz+24z

2_-32z3

₊

_16x4 ; 10.485

₊

198 V~6; _{11) x}6~5

VI

_.z4

_+30z

3_{-30 V~3.z}2

_{+45z-9 VI;}

12

+>+6z

2 _V~^

₊

_12z?/

₊

8y <~y; 13) z 4

-

_4x2

_+6-4z-

2

_+x-

4 .

14. Calcular o quinto termo de (2z-1)11 _Resp.

: 42.240z7.

15. Achar o sétimo têrmo de

(z+2

V j,-)14 Resp.: 320.320 x

9

y3.

16. Achar o têrmo médio de (z2-2x)* Resp.: 1.120z12

.

1

*°

17. Calcular o têrmo

em

x8 _{no desenvolvimento de}

I x2 ) Resp. : 210z8 . ' x ' í 2 \ *

18. Calcular o têrmo

em

z* no desenvolvimento de ₍ z -\

—

) Resp. : 16z*. ' x 9

(

z2 _{3 \}

—

} 3 x / 0 20.

Calcular o têrmo Independente de x na potência ₍z

+

•

—

)

Resp.: 20. \ x /

21.

Achar n para que os coeficientes dos 2.°, 3.° e 4.° termos da potência (x+a)" fiquem

em

progressão aritmética. Resp.:

n~7.

22.

Provar que a

soma

dos coeficientes de (x+a)n é 2n.

23.

Achar a

soma

dos coeficientes de (

x+a

)

T

. Resp.: 128.

24.

Achar a

soma

dos coeficientes de (x2

+

2x)10. Resp. :

310.

25.

Achar a

soma

dos quadrados dos 8 primeiros números naturais.

Resp.

:

204.

QUESTÕES

DE

CONCURSO

DE

HABILITAÇÃO

26. Calcule o têrmo Independente de x

em

(

_x\

(E.N.E. - 1958). Resp.: 153. V z y ' 27. Complete: (x

+

à)

m

=

2

(E.P.U.C. - Rio 1958).

p m p n p

Resp.: 2

C

_^

a x

P~°

í

1\«

28. Calcule a

soma

dos coeficientes de f 2z

+

—

1 . (E.P.U.C.

-- 1958). Resp.:

2U—

.

Binômio

de

N

e

wton

₈₉

(E. N. Arq. -29'

Ca

Ret

°-tê 20

mO

médf0

_^

(Vf

"

_V})

' (E.P.U.C.

-

Rio 1960) 30. Calcule o _{têrmo Independente de x}

_em

₍

-V/

_zV*

(E.N. Quím. - 1952) Resp.: 455 ^ z V /

31. Determine o valor do _{termo independente de} z no desenvolvimento (2

x

~

.

sem

efetuar o desenvolvimento. (E.N. Quím. - _1949).

Resp.: 28.672.

32. Calcular direte-nent^o 7." têrmo de

(?.r

+ %

_/j)'

J

(E. N. Arq.

-33. Calcule, diretamente, o têrmo de

ordem

_p do desenvolvimento (x2

_V

, ordenado segundoas potências decrescentes de_{x, sendo}

p o primeiro termo

em

o segundo têrmo de

uma

progressão aritmé-tica, cuja soma dos k primeiros termos é 2/c2

+

3k, qualquer que

seja o valor de k. (E.N.E. - 1947) Resp.: 126z10

!/

3 .

34.

O

coeficfente do 98° têrmo de (z-j/) 100 é igual a

(F.E.U. Rio deJaneiro - 1961). 35. Sabendo que a

soma

dos coeficientes de (a

+

b)m é 256, calcule o número de permutações de w/2 elementos. (E.F.E. _-58) 'Resp.: 24. 36.

No

desenvolvimento de (a

+

5)2°, a razão do coeficiente de certo

têrmo para o seguinte é 5/16. Calcule a ordem do segundo desses dois termos. (E.F.E. - _{1960) Resp.: 6}o

.

37. Calcule

m

sabendo que a

soma

dos coeficientes dos termos de

ordem

ímpar do desenvolvimento de (x

+

a)m é 128. (E.F.E.-960) Resp.: tn

=

8. 38. Sendo 1 024a

soma

doscoeficientes _{do desenvolvimento de(3z}

₊

_11®

calcule rn. (E.F.E. - 1959). Resp.:

m

=

5. 39. Calcule o têrmo

em

x3 _{no desenvolvimento}

(y]x

-(E. Flum. Eng. - 1959). Resp.: - 455a6

z3

.

\ 2n~hl

*

+ j)

, onde n é inteiro e

posi-tivo, existirá

um

_{têrmo que não depende de}

z?

(ITA-

1959). Resp.: Não.

39. Calcule o têrmo

em

x3 _{no desenvc}

40.

No

desenvolvimento de

(E. Fium. Eng.

/ I \2 B+1

1

1 ) \ i I I 1 i I I « 8 1 8 I I itt IH IH !« Itl

8

!

«1 *.| K| 1

UNIDADE

lil

DETERMINANTES. SISTEMAS LINEARES

I

—

DETERMINANTES

1.

Defmições. Matriz.

Dados

m

n

elementos

chama-se

matriz

ao quadro formado

com

êsses

elementos

dispostos

em

rn linhas e

n

colunas.

Para

indicar a

matriz colocam-se

03

elementos

dispostos

em

linhas e

colunas

entre dois parca

de

barras

verticais;

assim

| oi fei ci di | 1 Ü2 b‘2 C2 dn \ ! oa fe3 C3 da !

é

uma

matriz de

doze elementos

onde

as 4

colunas são

indi-cadas

pelas letras

do

alfabeto e as

3

linhas,

por

índices

numé-ricos.

Matriz

quadrada.

No

caso

particular

em

que

m

e

n

são

iguais, a disposição

denomina-se

matriz

quadrada.

Exemplo

: 1 fei Cl I «2 &2 C2 '

a

3 63 c3

Ordem.

Chama-se

ordem

de

uma

matriz

quadrada

o

número

de

linhas

ou

colunas.

Assim, o

exemplo

anterior é

uma

matriz

42

Matemática

—

2.°

_Ano

Colegial

Diagonais.

Os

elementos

a\ b2 c3

da

matriz

quadrada

formam

a

diagonal

chamada

principal.

É

uma

permutação

de

primeira

classe.

A

segunda

diagonal

ci b2 «3

ou

a

3 62 ci é

denominada

diago-nal

secundária.

E

uma

permutação

de

segunda

classe.

Determinantes.

Determinante

de

uma

matriz

qua-drada

de

ordem

n, êa

soma

dos

produtos

distintos

dos

elemen-tos

da

matriz,

tomados

n

a

n, e

de

modo

que

em

cada

produto

figure

urn

único

elemento

de

cada

linha e

de

cada

coluna

e

tendo

cada produto

o

sinal

+

ou

-,

segundo

a

permutação

dos indicadores das

linhas

ou

colunas

seja

de

primeira

ou segunda

classe (pág. 20, § 6).

Os

produtos

pre-cedidos

do

sinal

+

chamam-se

aditivos

e os

precedidos

do

sinal

subtrativos.

Exemplos.

1.

°)

Suponhamos

a

matriz de

segunda

ordem

:

3l 61

02 l>2

Os

únicos

produtos nas condições

definidas

são

01 62 e

bi 02.

Considerando

os sinais

correspondentes

às

permutações,

temos

o

determinante:

CJl 62

—

bl

G

2

-Observação.

Os

produtos que entram na formação do

determi-nante,

podem

ser obtidos da diagonal principal, permutando as letras e fixando os índices ou, inversamente, fixando as letras e permutando os índices.

O

produto dos elementos da diagonal principal chama-se

tênno

principal, e é sempre aditivo. 2.

°)

Seja

a

matriz de

terceira

ordem

:

oi bi Ci

Ü2 b-2 C2

a

3 Ò3 C3

Determinantes.

Sis

temas

lineares

43

Fixando

03 índices e

permutando

as letras

da diagonal

principal

obtemos

os seis

produtos

da

definição

fli b_{2 c}3, c2 63, bi

a

2 c3, bi c2

a

3, ci a2 63, ci b2

a

3

Considerando

a

classe

de

cada

permutação, antepomos

0 sinal

correspondente

e

obteremos

o

determinante

da

matriz,

que

representaremos por

A

:

A

=

a,\b2c3

—

aicoba

—

b\a2c3 -f- bic2a3 -j- C\a2b3

—

cib2

a

3

2.

Notação.

O

determinante

representa-se de vários

modos:

a)

escrevendo a

própria

matriz

entre

duas

barras

verti-cais.

Suponhamos

A

0 valor

do

determinante

;

teremos

:

ai bi

A

=

&2 &2

b₎

indicando

a

soma

de têrmos derivados

do

principal :

A

=

2

O; l>2

c)

escrevendo

o

têrmo

principal entre

duas

barras :

A

=

| oi b2 |

3.

Cálculo

dos

determinantes

de

segunda ordem.

O

cálculo

de

um

determinante

por

intermédio

_apenas

da

definição, é

muito

penoso.

_{Todavia, para}

_a

_{segunda ordem,}

o

cálculo é imediato, pois só

há

dois produtos,

que

são

os

correspondentes

aos

elementos

das

duas

diagnoais ₍

diagonal

principal

menos

diagonal secundária).

A =

j \ I !

=

2

X

8

-

4

X

(-5)

=

36.