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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA TÉRMICA E DE FLUIDOS
Métodos De Elementos Finitos Estabilizados
Em Problemas De Convecção-Difusão
Autor: Vanessa Davanço PereiraOrientador: Luiz Felipe Mendes de Moura Co-orientador: João Batista Campos Silva
Curso: Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Térmica e Fluídos
Tese de doutorado apresentada à comissão de Pós Graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica.
Campinas, 2010 S.P. – Brasil
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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP
P414m
Pereira, Vanessa Davanço
Métodos de elementos finitos estabilizados em problemas de convecção-difusão / Vanessa Davanço Pereira. --Campinas, SP: [s.n.], 2010.
Orientadores: Luiz Felipe Mendes de Moura, João Batista Campos Silva.
Tese de Doutorado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.
1. Convecção. 2. Difusão. 3. Método dos elementos finitos. 4. Mínimos quadrados. 5. Estabilidade -
Modelos matemáticos. I. Moura, Luiz Felipe Mendes de. II. Silva, João Batista Campos. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. IV. Título.
Título em Inglês: Stabilized finite element methods in convection-difusion problems
Palavras-chave em Inglês: Convection, Diffusion, Finite element method, Least squares, Stability - Mathematical models
Área de concentração: Térmica e Fluídos Titulação: Doutor em Engenharia Mecânica
Banca examinadora: Edson Luiz Zaparoli, José Ricardo Figueiredo, Kamal Abdel Radi Ismail, Vicente Luiz Scalon
Data da defesa: 25/02/2010
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Dedicatória:
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Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus por ter me dado oportunidade de estar no mundo. Aos meus pais, Jorge Luiz Ramos Pereira e Maria Conceição Davanço Pereira, a meus irmãos Patrícia Davanço Pereira e Vinicio Davanço Pereira, agradeço todo amor, carinho, compreensão e respeito.
Aos amigos da Unicamp e Unesp – Ilha Solteira que estiveram sempre ao meu lado. Muitas das pessoas passaram e passam pelo que eu passei e passo: ficar longe da família em busca de um ideal comum. Tenho muito a agradecer e a muitas pessoas. Não cito nomes para não ser injusta com pessoas que me auxiliaram até onde já cheguei.
Meus agradecimentos especiais a:
Ao meu orientador Luiz Felipe Mendes de Moura e Co-orientador e amigo João Batista Campos Silva que me ensinaram muito e sempre me mostraram caminhos ao invés de meras soluções.
Ao Prof. Dr. José Roberto Nogueira sendo o primeiro a acreditar que eu seria capaz de chegar além da graduação.
As companheiras de republicas que sempre estiveram juntas comigo, contribuindo com idéias e sugestões indispensáveis para a finalização deste trabalho e minha vida.
Adriana, Tálita, pela amizade, companheirismo, dedicação e sinceridade nas palavras. Patrícia, Kéteri, Rosiane, Edlene e Jussara pela sinceridade de uma amizade, onde vimos que a distância não é suficiente para separar os amigos.
A todos que colaboraram direta ou indiretamente para a concretização deste sonho. Para vocês ofereço esta página.
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"Tudo tem seu tempo e até certas manifestações mais vigorosas e originais entram em voga ou saem de moda. Mas a sabedoria tem uma vantagem: é eterna."
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Resumo
Pereira, Vanessa Davanço, Métodos de Elementos Finitos Estabilizados em Problemas De Convecção-Difusão, Campinas: Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2010. p. Tese (Doutorado)
Neste trabalho foram desenvolvidos e aplicados códigos computacionais baseados em métodos de elementos finitos estabilizados, principalmente, a versão de mínimos quadrados (LSFEM – Least Squares Finite Element Method) que leva a sistemas algébricos sempre simétricos e positivos definidos, independentemente dos sistemas de equações diferenciais parciais dos casos considerados. Um método conhecido como CBS (Characteristic Based Split) também tem sido aplicado o qual possibilita a aplicação do método de Galerkin (GFEM – Galerkin Finite Element Method) para solução de problemas de escoamento de fluidos, sem oscilações na solução. Resultados têm sido obtidos para problemas de convecção-difusão bi e tridimensional discretizando os domínios por malhas estruturadas de elementos quadráticos, e para solução de escoamentos incompressíveis bidimensionais usando malhas não estruturadas de elementos finitos triangulares lineares.
Palavras Chave
Elementos Finitos, LSFEM, Mínimos Quadrados, GFEM, CBS, Convecção-Difusão, Escoamento Incompressível.
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Abstract
Pereira, Vanessa Davanço, Stabilized Finite Element Methods in Convection-Difusion Problems 2010. p.
Thesis (PhD in Mechanical Engineering): Faculty of Mechanical Engineering, State University of Campinas, Campinas.
In this study we developed and implemented computer codes based on stabilized finite element methods, especially the version of least squares (LSFEM - Least Squares Finite Element Method) that leads to algebraic systems always symmetric and positive defined, independently of the systems of partial differential equations of the cases considered. A method known as CBS (Characteristic Based Split) has also been implemented which allows the application of the Galerkin method (GFEM - Galerkin Finite Element Method) to solve problems of fluid flow without oscilations in the solution. Results have been obtained for two-and three-dimensional problems of convection-diffusion type discretizing the domains by structured meshes of quadratic elements and for solution of two-dimensional incompressible flows using unstructured meshes of linear triangles.
KeyWords
Finite Element, LSFEM, Least Squares, GFEM, CBS, Convection-Diffusion, Incompressible Flow
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Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
a – elementos da matriz
A – operador diferencial parcial c – calor específico Cs – Constante de Smagorinsky e – constante pequena E – erro F- termo fonte G – operador gradiente h – tamanho do elemento K – matriz dos coeficientes L – comprimento de referência L2 – norma L2 N – função de interpolação p – campo de pressão p
, p - polinômios de ordem arbitrária
p
+1, p+1 - polinômios de ordem arbitrária qx – fluxo de calor na direção x
qy – fluxo de calor na direção y qz – fluxo de calor na direção z R – resíduo
td – tração correspondente à tensão normal tp – tração correspondente à pressão T – temperatura
u – velocidade na direção x
u0 – velocidade de referência
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u - média dos valores de ui ao longo da característica
v - velocidade na direção y
xˆ - direção característica unidimensional w - velocidade na direção z
x Letras Gregas αdifusividade térmica β – compressibilidade artificial Γ – contorno do domínio δ – variacional ∆ - símbolo de variação εijk – tensor alternante
- direção transversal
- temperatura adimensional
λ – autovalores
Λ – número de condição da matriz
viscosidade cinemática - direção longitudinal ρ – massa específica φ – variáveis - variáveis desconhecidas z y x , , - vorticidades na direção x, y, z Ω – domínio espacial
...
Superescritos C0 – ordem da classe C1 - ordem da classe C11 – ordem da classe e – elementoh – aproximação de elementos finitos ie – elemento
ip – nó conectado ao elemento ie n – passo de tempo anterior n+1 – passo de tempo atual Nn – pontos nodais NN – número de nós na malha r – iteração anterior r+1 – iteração atual T - transposta * - quantidade intermediária
...
Subscritosα – índice de elemento de matriz β – índice de elemento de matriz
xi conv – convectivo
diff –difusivo
i, j – índices dos elementos das matrizes ou direções dos eixos k – direção do eixo xk
l – direção do eixo xl
nα – refere-se ao nó global n e local α no símbolo δnα
p – refere-se à pressão temp – refere-se à tempo u – refere-se à velocidade x, y – direções dos eixos
...
AbreviaçõesCBS - Characteristic Based Split; CFD – Computacional Fluid Dynamics CGM – Método do Gradiente Conjugado EBE – Element by Element
FEM – Método de Elementos Finitos
GDE – General Dynamic Equation (Equação Dinâmica Geral) GFEM - Galerkin Finite Element Method;
GLS – Galerkin Least Squares (Galerkin Mínimos Quadrados) h – refinamento em que aumenta a quantidade de elementos na malha hp – refinamentos p e h simultaneamente
LES – Simulação de Grandes Escalas
LSFEM – Least Squares Finite Element Method ndof – graus de liberdade por nó.
Nelem – número de elementos na malha
p – refinamento em que se aumenta o grau dos polinômios de interpolação
PCG-EBE – Método do Gradiente Conjugado Pré-Condicionado Elemento por Elemento Pe – número dePeclet
Pr – número de Prandtl Re – número de Reynolds
WRM – Weight Residual Method (Métodos dos Resíduos Ponderados)
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SiglasDETF - Departamento de Engenharia Térmica e de Fluidos FEM – Faculdade de Engenharia Mecânica
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Sumário
Capítulo 1 ... 1 Introdução ... 1 1.1 - Objetivos ... 4 1.2 – Organização do trabalho ... 5 Capítulo 2 ... 6 Revisão Bibliográfica ... 6 Capítulo 3 ... 16 Modelo Matemático ... 163.1 - Formulação Matemática para Problemas Convectivos-Difusivos Tridimensionais ... 16
3.2 - Formulação Matemática para Equações de Navier-Stokes Tridimensionais. ... 19
Capítulo 4 ... 23
Modelos Numéricos ... 23
4.1 - Método de Elementos Finitos de Mínimos Quadrados - LSFEM... 23
4.1.2 – Convecção-Difusão Tridimensional ... 23
4.1.2.1 – Discretização das Equações no Espaço ... 28
4.2 – Escoamento em Formulação U-P- ... 32
4.2.1. – Discretização dos Domínios para Problemas Tridimensionais ... 33
Capitulo 5 ... 38
Esquema de Separação Baseado na Característica (CBS) ... 38
5.1 – Esquema de Separação Baseado na Característica ... 38
5.1.1 – Procedimento Direto de Galerkin Característico. ... 39
5.1.2 – Procedimento de Galerkin Característico Explícito. ... 40
5.2 – Discretização no Tempo e Procedimento de Fracionamento. ... 44
5.3 – Esquema CBS-AC Livre de Matriz ... 47
5.3.1 – Método de Compressibilidade Artificial (AC) ... 48
5.4 – Esquema CBS semi-implícito. ... 49
5.4.1 – Método do Gradiente Conjugado Pré-condicionado. ... 50
5.5 – Discretização Espacial e Forma das Matrizes ... 50
5.6 – A restrição de formulação mista ... 55
5.6.1 – A forma CBS. ... 55
5.7 – Convergência para Regime Permanente ... 57
Capítulo 6 ... 58
Método de Solução: Gradiente Conjugado com Pré-Condicionador Elemento por Elemento – PCG-EBE. ... 58
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6.1 - Método de Gradiente Conjugado com Pré-Condicionador Elemento por Elemento –
PCG-EBE ... 59
Capítulo 7 ... 65
Apresentação e Discussão de Resultados em Problemas de Convecção-Difusão ... 65
7.1 – Solução de Problemas Convectivos-Difusivos Bidimensionais ... 65
7.2 - Soluções de Problemas Convectivo-Difusivos Tridimensionais ... 69
7.2.1 – Simulação de Convecção – Difusão em uma Cavidade Cúbica com malha grossa ... 70
7.2.1.1 – Convecção – Difusão em uma Cavidade Cúbica, Caso 1 ... 71
7.2.1.2 – Convecção – Difusão em uma Cavidade Cúbica, Caso 2 ... 106
7.2.1.3 – Convecção – Difusão em uma Cavidade Cúbica, Caso 3 ... 136
7.2.2 – Simulação de Convecção – Difusão em uma Cavidade Cúbica com malha mais fina ... 164
7.2.3 – Convecção – Difusão em um Canal ... 177
Capítulo 8 ... 180
Apresentação e Discussão dos Resultados do Esquema CBS. ... 180
8.1 – Escoamento em uma cavidade quadrada com tampa deslizante ... 181
8.2 – Escoamento em um Canal com Obstáculo. ... 182
8.3 – Banco de Tubos. ... 201
8.3 – Banco de Tubos II. ... 219
Capítulo 9 ... 232
Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros... 232
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Capítulo 1
Introdução
Os cálculos de escoamentos de fluidos são de interesse em muitos processos de importância para o homem e também na natureza. Tais escoamentos são modelados, matematicamente, pelas equações de Navier-Stokes, que são equações diferenciais parciais não lineares e, portanto, de difícil solução analítica, exceto em casos muito simplificados. O conhecimento dos campos de escoamentos é necessário no projeto de muitos equipamentos, em áreas tais como: indústria aeroespacial, motores de combustão interna e geração de energia, para citar alguns casos. Também, na natureza, o cálculo de escoamentos deve ser realizado, por exemplo, para estudar o comportamento de dispersão de poluentes na atmosfera e evitar catástrofes à saúde pública e ao meio ambiente. Estes são alguns dos poucos exemplos, que envolvem cálculos complicados em geometrias complexas.
Em face das não linearidades e complicações geometrias encontradas nos problemas reais, soluções das equações de Navier-Stokes, na sua forma completa, só são possíveis através de métodos numéricos. Popularmente, no meio científico e acadêmico, a área de computação de escoamentos de fluidos é denominada de CFD (Computational Fluid Dynamics) a qual tem recebido muita atenção nas últimas décadas, pois, o processo de simulação computacional é uma ferramenta que serve para se otimizar experimentos em laboratório, quando estes são estritamente necessários, para se complementar algum modelo, ou é a ferramenta a ser usada em casos em que não seria possível a realização de experimentos laboratoriais.
Um método de solução numérica que vem sendo investigado nos últimos anos, na área de dinâmica dos fluidos computacional (CFD), é o método de elementos finitos (FEM) devido à sua
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potencialidade de tratar com domínios complexos e/ou equações complexas. O método de elementos finitos tem como base matemática o método de resíduos ponderados (WRM), o que dá origem às suas várias formulações: Galerkin-Bubnov, Petrov-Galerkin, Colocação, Subdomínio e Mínimos Quadrados. Estas formulações resultam da escolha da função peso no produto interno desta função peso pelo resíduo na formulação variacional ou integral do método.
O método de elementos finitos surgiu originalmente para resolver problemas de estruturas, tendo sido nesta área o seu principal desenvolvimento e a maioria de trabalhos e livros publicados. Aplicações para soluções de problemas de escoamentos e transferência de calor, somente alguns anos, após a introdução método, foram tratados. Inicialmente, acreditava-se que problemas de escoamentos não pudessem ser resolvidos a contento pelo método. Certas modificações tiveram que ser introduzidas dando origem, por exemplo, ao método de Petrov-Galerkin para problemas de escoamentos, principalmente, quando os mesmos são convectivos dominantes. Isto, talvez, explique o porquê de problemas de escoamentos serem, em geral, analisados usando-se diferenças finitas ou volumes finitos. Na realidade, o método de diferenças finitas é equivalente ao método de elementos finitos de colocação e o método de volumes finitos é equivalente ao método de elementos finitos de subdomínio.
A literatura atual sobre o método de elementos finitos é vasta, merecendo destaque os livros textos de Zienkiewicz e Taylor, (2005), Reddy et al (1993), Baker, Dhatt e Touzot (1984) e Jiang (1998). Jiang (1998) apresenta em detalhes uma formulação do método de elementos finitos de mínimos quadrados (LSFEM – Least Squares Finite Element Method) para dinâmica dos fluidos computacional e eletromagnetismo.
O método de elementos finitos de mínimos quadrados (LSFEM) é um método que vem sendo investigado para simulação de escoamentos de fluidos, e como posto por Jiang, por exemplo, não requer a utilização de técnicas de “upwind”, as quais são de difícil implementação em problemas multidimensionais.
Ao contrário de outros métodos que eram utilizados no passado, o Método dos Elementos Finitos só tem utilidade prática se dispuser de um computador digital. Este requisito é devido à grande quantidade de cálculos que é necessário realizar, especificamente, na resolução de grandes sistemas de equações lineares. Assim se compreende que o rápido desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos tenha praticamente coincidido com a utilização de computadores nos centros de pesquisa e com a proliferação de micro-computadores ocorrida no final da década de
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1980 e início da década de 1990. Nota-se, na breve história, que sempre houve uma procura em melhorar o método para obter melhores resultados com um mínimo custo computacional. Atualmente, estudam a convergência da solução em muitos problemas em engenharia utilizando processos de refinamento da malha e/ou aumentando o grau dos polinômios de interpolação, na análise por elementos finitos.
No processo de refinamento convencional do Método dos Elementos Finitos, que é denominado de refinamento h, a malha de elementos é refinada através da diminuição sucessiva do tamanho h dos elementos. Neste processo, o número e o tipo de funções de interpolação sobre cada elemento mantêm-se fixos. Esta é a prática comum na análise por elementos finitos, que consiste em resolver um problema várias vezes. Normalmente, a utilização deste tipo de refinamento aumenta o custo da análise, bem como produz erros relacionados a arredondamentos associados às subdivisões demasiadamente refinadas dos elementos da malha. No segundo processo de refinamento, conhecido como refinamento p, o número e a distribuição de elementos sobre a malha discretizada permanecem fixos. No entanto, o número e o grau das funções de interpolação, as quais devem ser polinômios completos de ordem p, são aumentados progressivamente.
O refinamento do tipo h tem sido extensivamente examinado na literatura matemática e utilizado, por muitos anos, nas aplicações em engenharia. Recentemente, muitas pesquisas têm sido realizadas para o desenvolvimento de processos de refinamento p. Tem-se observado que a qualidade de aproximação da solução e o custo computacional são vantagens que a versão p de refinamento oferece em relação à versão h.
O processo convencional de refinamento tipo p do Método dos Elementos Finitos se baseia na discretização do sistema em elementos, cuja ordem é dependente das funções de interpolação. Neste caso, se novas variáveis físicas devem ser introduzidas nos elementos, novas funções de interpolação devem ser obtidas e acrescentadas às funções de grau mais baixo. Desta forma, embora o número de elementos da discretização original permaneça fixo, o número total de nós deve ser aumentado progressivamente. Geralmente, esta técnica produz dificuldades em razão da necessidade da geração de novas malhas de elementos. Entretanto, existem técnicas que possibilitam manter fixo o número de nós do elemento e introduzir polinômios de grau p que vai aumentando até a ordem desejada desde um grau 2 até por exemplo um grau 10.
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Para superar as dificuldades mencionadas anteriormente, nos últimos anos, têm-se estudado alguns procedimentos adaptativos de refinamento p, baseados na formulação paramétrica hierárquica do Método dos Elementos Finitos, proposta por Zienkiewicz (1971) e examinada por Peano (1976). Nestes procedimentos, a introdução de novas funções de interpolação de grau variável nos elementos se faz conservando inalteradas as funções de interpolação anteriores. Esta é a característica de importância fundamental em processos de refinamento hierárquico versão p do Método dos Elementos Finitos. As funções de interpolação que apresentam esta característica são chamadas de funções de interpolação hierárquicas e os elementos cujas variáveis físicas são interpoladas por estas funções são chamados de elementos hierárquicos.
Certas deficiências de convergência do Método de Elementos Finitos de Mínimos Quadrados podem ser sanadas usando-se refinamento p da malha. Entretanto, neste trabalho é utilizada apenas o refinamento h para elementos quadrilaterais quadráticos de nove nós nos casos bidimensionais e para elementos hexaedros de vinte e sete nós nos casos tridimensionais.
Sabe-se que o método clássico de Galerkin produz oscilações na solução de problemas convectivos dominantes, entretanto, tal método é ótimo para problemas puramente difusivos. Neste sentido, foi desenvolvido um método de separação para solução de equações de convecção-difusão denominado de CBS (Characteristic Based Split), inicialmente, para o caso de escoamentos compressíveis e, mais recentemente, para o caso de escoamentos incompressíveis, Lewis et al. (2004). Neste caso, quando se considera o movimento de uma partícula na direção da característica, uma equação de convecção-difusão é transformada numa equação de difusão e o método clássico de Galerkin pode ser aplicado sem resultar em oscilações da solução. Esta vertente de estabilização do método de elementos finitos é também estudada e aplicada neste trabalho para solução das equações de Navier-Stokes com transferência de calor, para alguns casos bidimensionais usando elementos triangulares lineares.
1.1 - Objetivos
A motivação principal para este trabalho é implementar uma vertente do método de elementos finitos de mínimos quadrados (LSFEM) para solução de problemas de convecção-difusão bidimensionais e tridimensionais, bem como aplicar o esquema CBS para solução de
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problemas de escoamentos com transferência de calor em alguns casos bidimensionais. Ou seja, o objetivo principal é o estudo e aplicação de métodos de estabilização para elementos finitos em problemas governados por equações do tipo convecção-difusão. Para se atingir estes objetivos códigos computacionais são construídos e/ou códigos pré-existentes são modificados para solução dos problemas testes.
1.2 – Organização do trabalho
Este trabalho foi organizado em nove capítulos descritos a seguir. Além deste capítulo introdutório; no Capítulo 2 apresenta-se uma breve revisão bibliográfica. No Capítulo 3 apresenta-se o modelo matemático dos problemas a serem analisados; no Capítulo 4 apresenta-se um modelo numérico do método de elementos finitos de mínimos quadrados para solução da equação de transporte e das equações de Navier-Stokes.
No Capítulo 5 apresenta-se a teoria e os fundamentos do esquema numérico CBS e no Capítulo 6 apresenta-se um método de gradiente conjugado com pré-condicionador elemento por elemento que foi usado para solução do sistema algébrico resultante do LSFEM para solução da equação de transporte de um escalar.
No Capítulo 7 apresentam-se os resultados das simulações do LSFEM para equação de transporte de um escalar com perfil de velocidade prescrito em domínios discretizados em malhas estruturadas de quadriláteros e hexaedros quadráticos; no Capítulo 8 apresentam-se resultados das simulações das equações de Navier-Stokes usando o esquema CBS, e finalmente no Capítulo 9 são apresentadas as conclusões deste trabalho e sugestões para trabalhos futuros.
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Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
No inicio do projeto, a pesquisa bibliográfica estava votada a trabalhos relacionados a Métodos de Elementos Finitos de Mínimos Quadrados com versões h e versões p de refinamento de malha, entretanto, no decorrer do trabalho foram feitos estudos do método de solução o que levou a análise de alguns trabalhos sobre métodos de Gradiente Conjugado Pré-Condicionados.
Posteriormente, o estudo englobou outro método de estabilização: o esquema CBS, por ser um método que possibilita a aplicação do método de elementos finitos de Galerkin para solução das equações de Navier-Stokes, sem oscilações das soluções. O esquema CBS apresenta bom desempenho na simulação de escoamentos de fluidos e vem ganhando espaço na categoria de métodos de discretização de passo de tempo fracionado.
Desta forma esta pesquisa engloba trabalhos nos itens principais mencionados nos parágrafos anteriores. Embora, a versão de refinamento p seja uma maneira de reduzir alguns dos defeitos do LSFEM, optou-se por adotar refinamento h da malha com elementos de quadráticos com funções lagrangeanas, a fim de verificar a qualidade dos resultados destes elementos na versão de mínimos quadrados, por ser elementos que já vem sendo usados pelo grupo de pesquisa em outras vertentes do método de elementos finitos. No caso, do esquema CBS foram utilizadas malhas não estruturadas de triângulos lineares.
Surana e Orth (1990) apresentaram uma formulação de elementos finitos refinamento p hierárquica completa, para um elemento axialmente simétrico, em problemas de condução de calor, onde o campo da temperatura nas direções longitudinais e transversais num elemento pode ser polinômios de ordens arbitrárias p e p . A função de interpolação e as variáveis
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nodais correspondentes para um elemento bidimensional do tipo casca axialmente simétrico são obtidas. Primeiramente, é construída a função de interpolação hierárquica de ordem p e p , e o operador de variáveis nodais hierárquicas nas direções e , e assim feito o produto para obter as funções hierárquicas bidimensionais. Exemplos numéricos são apresentados para demonstrar a precisão, eficiência e superioridade da formulação apresentada. Para todos os exemplos apresentam-se resultados de um elemento isoparamétrico com refinamento h. Compara-se também com soluções analíticas quando possível.
Surana e Guo (1990) apresentaram um elemento sólido axialmente simétrico bidimensional de nove nós para condução de calor em regime permanente onde o campo da temperatura nas direções e para um elemento podem ser polinômios de ordens arbitrárias p e p . Primeiramente construíram as funções de interpolação hierárquicas unidimensionais e os operadores de variáveis nodais correspondentes nas direções e usando polinômio de interpolação de Lagrange e o produto das funções unidimensionais foi feito para se obter as funções bidimensionais. As funções da interpolação do elemento e das variáveis nodais que correspondem a um polinômio de ordens p e p são um subconjunto daquelas que correspondem às ordens p 1 e p1 conseqüentemente as matrizes do elemento e os vetores nodais térmicos são hierárquicos também. A formulação assegura a continuidade C0. Os exemplos numéricos foram apresentados para demonstrar a exatidão e simplicidade do modelo. Para cada exemplo os resultados obtidos da formulação apresentada foram comparados com soluções analíticas disponíveis do refinamento h e é empregado para um elemento isoparamétrico. A convergência foi apresenta graficamente mostrando que o erro vai diminuindo para refinamentos h e p . Os resultados obtidos dessa formulação foram mostrados como excelentes resultados com uma taxa de convergência mais rápida com um modelo extremamente simples.
Jiang (1992) resolveu as equações de Navier-Stokes transiente para escoamento incompressível pelo método de elementos finitos utilizando a formulação velocidade-pressão-vorticidade após a discretização no tempo onde é minimizado o resíduo na norma L2 para cada passo de tempo. Este método transforma um sistema de equações diferencias parciais em um sistema algébrico simétrico e positivo definido, reduzindo assim o custo computacional.
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se eliminação Gaussiana para resolver o sistema algébrico. Os autores mostram resultados para o caso da Cavidade Quadrada e para o caso do escoamento num Canal com uma Expansão Brusca onde demonstram que o método dos mínimos quadrados apresenta bons resultados em aplicações de escoamentos incompressíveis transientes.
Tang e Tsang (1993) apresentam as equações de Navier-Stokes transientes e a equação de balanço de energia para um escoamento incompressível com propriedades constantes e aproximação de Boussinesq, pelo método de elementos finitos de mínimos quadrados, usando a formulação velocidade-pressão-vorticidade-temperatura-fluxo de calor e discretizaram esta formulação no tempo pelo método de diferenças finitas (backward). O esquema de discretização minimiza o resíduo na norma L2 para cada passo de tempo. Utilizando elementos quadrilaterais bilineares isoparamétricos e integração reduzida, os autores demonstram que o método dos mínimos quadrados apresenta bons resultados na aplicação de escoamentos incompressíveis transientes com convecção térmica. Outros trabalhos nesta vertente foram apresentados, entre eles tem-se Jiang (1992), Harbord e Gellert (1991), Ruas (1997) que avaliou problemas de Stokes Tridimensionais, utilizando o método de Galerkin/ Mínimos Quadrados.
Surana e Winterscheidt (1993) apresentaram uma formulação de elementos finitos de mínimos quadrados com refinamento p para solução da equação da convecção-difusão. A equação diferencial de segunda ordem descrevendo a convecção-difusão é transformada em um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem equivalentes, na qual a formulação de mínimos quadrados é construída usando a mesma ordem de cada aproximação na variável dependente. As funções de aproximação hierárquicas e o operador das variáveis nodais são estabelecidos pela construção de funções de aproximação hierárquicas unidimensionais de ordem
p e p nas direções e . Os polinômios bidimensionais são construídos pelo produto dos polinômios unidimensionais. Resultados numéricos foram apresentados e comparados com soluções numéricas e analíticas num problema teste bidimensional mostrado para demonstrar a precisão das características da convergência nessa formulação.
Surana e Winterscheidt (1994) apresentaram uma formulação de elementos finitos com refinamento p para um problema não linear de escoamento de fluido incompressível, bidimensional e permanente. As equações de Navier-Stokes foram modeladas como equações de primeira ordem envolvendo viscosidade e cisalhamento como variáveis auxiliares. Ambas
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variáveis auxiliares e primitivas foram interpoladas usando continuidade 0
C de igual ordem. O funcional de erro dos mínimos quadrados é construído usando um sistema de equações diferenciais parciais de primeira ordem acopladas sem linearização, aproximações ou suposições. Exemplos numéricos foram apresentados para demonstrar a característica da convergência e precisão deste método.
Bochev e Gunzburger (1994) utilizam o método de mínimos quadrados para a solução aproximada da equação de Stokes que resulta em um sistema pressão-velocidade-vorticidade de primeira-ordem. Entre as mais atrativas características dos métodos aplicados é que resulta em um sistema simétrico e positivo-definido de equações algébricas.
Bell e Surana (1996) apresentaram uma formulação de elementos finitos de mínimos quadrados com refinamento p para um escoamento fluido não permanente bidimensional, descrito pelas equações de Navier-Stokes onde os efeitos do espaço e do tempo são acoplados. As propriedades do elemento são derivadas utilizando as funções da aproximação do refinamento p no espaço e no tempo e assim minimiza o funcional do erro pela integração da soma dos quadrados do erro resultando em uma equação diferencial de primeira ordem. Um procedimento do passo de tempo é desenvolvido em que a solução pare na etapa do tempo atual e forneça as condições iniciais para a próxima etapa. As equações acopladas no espaço-tempo da aproximação de uma versão p fornecem a habilidade de um erro de truncamento que, por sua vez, permite passos muito grandes de tempo. O que requer literalmente as centenas de etapas do tempo em procedimentos convencionais desacoplados o passo de tempo podem ser realizadas em uma única etapa do tempo usando o espaço-tempo atual a aproximação acoplada. Os resultados foram comparados com as soluções analíticas e com as relatadas na literatura. A formulação apresentada é ideal para procedimentos adaptáveis do espaço-tempo. Os valores funcionais do erro do elemento fornecem um mecanismo para refinamento h, p ou h-p.
Park e Kim (1996) apresentam uma versão p do método de elementos finitos misto para problemas não-lineares elípticos de segunda ordem. A existência e unicidade da aproximação são demonstradas, as estimativas da ordem de erro na norma L2 são derivadas para as três funções relevantes. Uma estima de erro para a função escalar também é dada na norma Lq,2q.
Rao, Das e Sundararajan (1997) descrevem uma versão hp adaptativa de refinamento da malha e sua aplicação para solução de problemas unidimensionais de propagação de chamas. O
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objetivo é controlar a discretização espacial e temporal com tolerância de erro prescrita em todos os níveis. No algoritmo, o passo de tempo otimizado é primeiramente determinado de forma adaptativa, considerando a variação do erro computável na zona de reação. Posteriormente, o método usa um refinamento versão p até que o erro computável a posteriori esteja abaixo da tolerância. Durante a versão p, se o nível máximo permitido de aproximação é atingido em alguns elementos da malha sem satisfazer o critério de tolerância de erro global, então a conversão de da versão p para versão h é executada. No processo de conversão, um gradiente baseado no refinamento versão h não uniforme é introduzido nos elementos de mais alto grau de aproximação. Desta forma, as abordagens da versão p e versão h são utilizadas alternadamente até que um critério de erro posteriori seja satisfeito. O refinamento da malha é baseado sobre indicadores de erro nos elementos, de acordo com um procedimento estatístico de igual distribuição do erro. As simulações numéricas foram realizadas para um problema parabólico linear de propagação da chama pré-misturada.
Heuer e Stephan (1997) propõem analisar a eficiência do pré-condicionamento para resolver sistemas de equações resultantes da versão p para o acoplamento de elementos finitos e de elementos de contorno. O primeiro pré-condicionador é feito em bloco pelo método de Jacobi, enquanto o segundo é dado em parte pela escala da diagonal. Usaram o método do mínimo resíduo generalizado para a solução do sistema linear. Para o primeiro pré-condicionador, o número de iterações do GMRES necessário para obter uma precisão dada cresce como log2 p, onde p é o grau polinomial ansatz das funções. O segundo pré-condicionador, que é mais facilmente implementado, leva a certo número de iterações que se comportam como p log3 p. Resultados computacionais são apresentados para validar a teoria.
Rank, Krause e Preusch (1998) abordam a questão da precisão das formulações para versão p de elementos finitos para problemas de placa de Reissner-Mindlin. Três problemas modelos: um arco circular, uma chapa rômbica e uma estrutura geometricamente complexa são investigados. Enquanto os resultados dos deslocamentos e dos momentos são muito precisos, sem qualquer pós-processamento, mesmo para malhas muito grossas, a qualidade das forças de cisalhamento computadas a partir de equações constitutivas é pobre. É mostrado que melhores resultados podem ser obtidos, significativamente, se as forças de cisalhamento são computadas a partir de equações de equilíbrio ao invés de equações constitutivas. É deriva uma computação consistente de derivadas de segunda ordem das funções de forma.
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Muitos outros trabalhos podem ser encontrados na literatura envolvendo o método de elementos finitos de mínimos quadrados, entre eles Cai, et al (1994) que trabalham basicamente com sistemas de primeira ordem, Codina (2000) que analisou o método de elementos finitos estabilizado baseado na escala sub-malha, Yang e Liu que mostram o Método de Elementos Finitos para Elasticidade e Shen, et al (2001) que trataram de problemas hidrodinâmicos de dispositivos semicondutores.
Alguns autores apresentam trabalhos que comparam vários métodos aplicados a um mesmo problema. Camprub, et al (2000) apresentam um estudo de três formulações numéricas de elementos finitos (Galerkin, Mínimos Quadrados e Galerkin/ Mínimos Quadrados) aplicados a problemas convectivo-difusivo. Os autores apresentam exemplos e concluem que enquanto o método Galerkin tem soluções oscilatórias, o LSFEM e o GLS atingem a estabilidade. Mas o LSFEM tem duas desvantagens sendo a primeira um alto custo computacional e a segunda que o LSFEM tem soluções dissipativas. Tambem concluem que o LSFEM possui maiores exigências que os métodos Galerkin e GLS.
Ding, Tate e Tsang (2001), utilizam o método de elementos finitos de mínimos quadrados baseado em formulação de primeira ordem para escoamento compressível e incompressível. Neste trabalho, os autores simulam grandes escalas (LES) com modelos sub-malha para escoamento turbulento e processo de transporte. O LSFEM é implementado para filtrar as equações de (LES) para escoamento turbulento e processo de transporte. Os resultados numéricos são comparados com dados numéricos ou resultados de simulação direta. Finalmente os autores concluem que o LSFEM é um método numérico eficiente para simular escoamento turbulento e processo de transporte.
Duster, et al (2001) apresenta uma implementação de uma versão p tridimensional para problemas estruturais de sólidos com superfícies quase arbitrariamente curvadas. Aplicando o método de mistura da função, estruturas complexas podem ser modeladas frequentemente por alguns elementos p, sendo o básico para uma aproximação de ordem mais elevada.
Surana e Dyne (2002) apresentam computações de soluções não fracas de classe 11 C das equações de Navier-Stokes para escoamento compressível em referencial lagrangeano usando formulação de elementos finitos de mínimos quadrados com variáveis primitivas , u, p para espaço e tempo. Para escoamentos de latas velocidades as soluções reportadas possuem a mesma ordem de continuidade das equações diferenciais governantes. O papel da difusão, isto é,
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viscosidade (física ou artifical) e condutividade térmica sobre a estrutura de choque é demonstrado. Compressão de ar em um cilindro rígido por pistão sem massa e sem atrito é usado como problema modelo. Evoluções verdadeiras no tempo de classe 11
C são relatadas começando com o primeiro passo de tempo até que as condições de choque permanentes sejam alcançadas. Comparações com soluções analíticas são apresentadas quando possível.
Surana e Dyne (2002) apresentaram uma formulação de elementos finitos de mínimos quadrados no passo-tempo das equações de Navier-Stokes transiente unidimensionais (equações diferenciais governantes – GDE) para um escoamento compressível em referencial Euleriano usando como variáveis primitivas ,u, p com interpolação hierárquica de refinamento p de classe C11 no espaço e tempo. O procedimento de marcha no tempo é utilizado para computar evoluções do tempo para todos os valores do tempo. Para a dinâmica de gás de alta velocidade as interpolações tipo C11 no espaço e tempo possuem as mesmas ordens de continuidade no espaço e no tempo das GDE (GDE – Governing Diferential Equations). É demonstrado com este tratamento que soluções numéricas precisas das equações de Navier-Stokes são possíveis sem nenhuma suposição ou aproximação. No tratamento apresentado neste artigo não são usados nem são necessários operadores tipo SUPG, SUPG/DC, SUPG/DC/LS. Simulações numéricas precisas no empo mostram que a resolução da estrutura de choque (i.e. velocidade de choque, relações de choque e espessura de choque) está em excelente concordância com as soluções analíticas. Os papeis da viscosidade (física ou artificial) e da condutividade térmica na estrutura de choque são demonstrados. O tubo de choque de Riemann é usado como um problema modelo. As evoluções verdadeiras no tempo estão relatadas começando com o primeiro passo de tempo até que as condições permanentes de choque sejam atingidas. Neste tratamento, quando os funcionais dos erros computados tornam-se zero (computacionalmente), as soluções não-fracas computadas têm características como aquelas das soluções fortes das equações da dinâmica dos gases.
Pontaza e Reddy (2003) fizeram aplicações do método de elementos finitos mínimos quadrados combinados com métodos espectral / hp para soluções numéricas de problemas de escoamento de fluido viscoso. O trabalho apresenta a formulação, validação e aplicação de um algoritmo espectral hp para a solução numérica das equações de Navier-Stokes bi e tridimensionais para escoamentos estacionários incompressíveis e escoamento compressível de baixa velocidade. As equações de Navier-Stokes são expressas como um conjunto de equações de
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primeira ordem através da introdução de vorticidade, gradientes de velocidade como variáveis adicionais independentes. Expansões em elemento de alta ordem são usadas para construir o modelo discreto. O modelo discreto é obtido pela linearização do método de Newton, resultando em um sistema linear de equações com uma matriz de coeficientes simétrica e positiva definida que é resolvida pelo método do gradiente conjugado pré-condicionado. A convergência do funcional do método de mínimos quadrados e o erro da norma são verificados através de soluções da equação de Poisson bidimensional estacionária e equações de Navier-Stokes incompressível. Os resultados numéricos para escoamento sobre um degrau, escoamento permanente sobre um cilindro circular, escoamento tridimensional numa cavidade cúbica, e escoamento compressível com convecção natural numa cavidade são apresentados para demonstrar a capacidade preditiva e robustez da formulação proposta. Finalmente, resultados numéricos para escoamentos em cavidade com tampa deslizante são apresentados para demonstrar a efetividade do procedimento iterativo no método de elementos finitos de mínimos quadrados.
Em Bolton e Thatcher (2005), as equações de Navier-Stokes para escoamento em um avião são reformuladas como um sistema de primeira ordem em termos de funções tensão e corrente. Soluções deste sistema são obtidas pelo método de elementos finitos de mínimos quadrados. Uma característica desta abordagem é que após a linearização do sistema o problema algébrico será simétrico e positivo definido linear em cada iteração de Newton. Cuidados quanto ao tratamento da incompressibilidade são necessários para garantir bons resultados.
Wang (2008) realizou um estudo numérico de duas malhas pelo método de elementos finitos de mínimos quadrados para resolver escoamento incompressível estacionário pela solução das equações de Navier-Stokes com a condição de contorno de velocidade. Introduzindo vorticidade como uma variável adicional desconhecida, o problema de Navier-Stokes pode ser reformulado como um sistema de primeira ordem velocidade-vorticidade-pressão. Dois esquemas iterativos tipo Picard de elementos finitos de mínimos quadrados são propostos para aproximar da solução para o problema não linear de primeira ordem. Problemas bidimensionais em que polinômios contínuos e malhas uniformes de elementos finitos para ambos os esquemas iterativos de mínimos quadrados foram considerados. Em cada iteração, o esquema usual de minimização da norma L2 ou um esquema com a norma L2 ponderada foi usado para solução do problema de Oseen correspondente. Evidências numéricas mostram que, para o mesmo problema teste com solução exata contínua, as soluções do método de mínimos quadrados com norma L2 são mais
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precisas do que as soluções método de mínimos quadrados com norma L2 ponderada escoamentos com números de Reynolds baixos, enquanto que para escoamentos com números de Reynolds relativamente mais altos as aproximações do método dos mínimos quadrados com norma L2 ponderada parecem ser melhores do que as aproximações de mínimos quadrados na norma L2. Finalmente, resultados numéricos para escoamentos numa cavidade com tampa deslizante são obtidos para demonstrar a efetividade do procedimento iterativo do método de elementos finitos de mínimos quadrados.
O outro método de estabilização estudado, neste trabalho, foi o método de discretização do termo da derivada em relação ao tempo baseando no escoamento ao longo da característica, denominado na literatura de esquema CBS (Characteristic Based Split). O esquema CBS foi originalmente apresentado por Zienkiewicz e colaboradores da Universidade de Swansea. Excelentes textos sobre o método são Zienkiewicz e Taylor (2000), Lewis, Nithiarasu e Seetharamu (2004) e Liu (2005). Atualmente, os colabores do Prof. P. Nithiarasu da Universidade de Swansea têm apresentado vários desenvolvimentos e aplicações do esquema CBS para escoamentos compressíveis e incompressíveis.
Chun-Bin Liu (2005) apresentou um método CBS de compressibilidade artificial (AC) e um esquema CBS semi-implícito para escoamentos incompressíveis laminares e turbulentos. As simulações numéricas para escoamentos incompressíveis em regimes permanente e transiente foram realizadas em malhas estruturadas e não estruturadas de elementos lineares triangulares e tetraédricos. O método padrão de Galerkin foi utilizado na discretização espacial das equações governantes na forma CBS semi-discreta. O modelo matemático foi baseado nas equações médias de Navier-Stokes (RANS) e quatro modelos de turbulência de duas equações foram estudados em detalhes. Resultados de vários escoamentos laminares e turbulentos em regimes permanente e transiente foram obtidos, inclusive escoamento tridimensional no sistema circulatório superior do corpo humano. Além de problemas de regime permanente o modelo de Navier-Stokes transiente (URANS) foi empregado para resolver os vórtices atrás de um cilindro circular usando a técnica de passo de tempo dual. Resultados bi e tridimensionais apresentados mostraram que tanto o procedimento CBS-AC livre de matriz bem como a formulação CBS semi-implícita são precisos e eficientes.
Portanto, o escopo deste trabalho é o estudo de métodos de estabilização, com foco nos método elementos finitos de mínimos quadrados para equação de transporte de um escalar bi e
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tridimensional e no esquema CBS para solução das equações de Navier-Stokes bidimensionais em malhas não estruturadas de elementos triangulares lineares.
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Capítulo 3
Modelo Matemático
Neste capítulo são apresentados os fundamentos do método de elementos finitos de mínimos quadrados. O método baseia-se na minimização de um funcional formado pela integral do quadrado do resíduo, no domínio de interesse. Desta forma, o método se assemelha ao método de Rayleigh-Ritz que trata da minimização da energia potencial total quando aplicado a problemas estruturais.
3.1 - Formulação Matemática para Problemas Convectivos-Difusivos
Tridimensionais
Há algumas décadas, muitos artigos sobre elementos finitos têm mostrado a dificuldade de resolver uma simples equação de convecção-difusão. Uma equação típica de convecção-difusão em variáveis adimensionais pode ser escrita na forma:
0 1 2 Pe V (3.1)
Onde Pe é o número de Péclet e V é o vetor velocidade. Para este tipo de equação, é muito bem conhecido que a formulação padrão de Galerkin leva a soluções oscilatórias que podem ser amortecidas pelo uso de técnicas de upwind. A dificuldade com convecção-difusão está no fato
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que a equação que descreve o processo de convecção-difusão não pode, em geral, ser derivada por princípios variacionais. Entretanto, alguns métodos têm sido propostos com aproximação na formulação de princípio variacional para uma equação convecção-difusão.
Uma simples aproximação é o método de mínimos quadrados, que tem como vantagem: 1- O método fornece um princípio de minimização simples em casos onde isto é impossível
ou extremamente difícil para estabelecer o princípio variacional.
2- O funcional do método de mínimos quadrados é positivo definido e anula somente quando a solução exata foi encontrada.
O método de elementos finitos de mínimos quadrados é defendido como um método especial para transferência de calor e dinâmica dos fluidos com ampla abrangência de aplicações. Entretanto, o método está sempre aplicando o uso de aproximações não hierárquicas de baixa ordem e o sucesso deste método tem sido dependente de excessivos refinamentos de malha. Por isso, foram desenvolvidas formulações do método de elementos finitos de mínimos quadrados com aproximação hierárquica, denominada de versão p, para eliminar a desvantagem do método com refinamento h. Esta formulação permite relativamente malhas grosseiras que geralmente é fixada com um determinado número de elementos e vai-se aumentando o grau p dos polinômios de interpolação até que a convergência seja alcançada.
Inicialmente considere a Equação da Energia Térmica,
ˆ''' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q z z T k y y T k x x T k z T w y T v x T u cp (3.2)A equação (3.2) pode ser reescrita, por conveniência, como
0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z q y q x q z T c w y T c v x T c u x y w p p p (3.3)
Os componentes do fluxo de calor são dados pela lei de Fourier:
0 xˆ T k qˆx (3.4)
18 ˆ 0 ˆ y T q k y (3.5) 0 zˆ T k qˆz (3.2)
As seguintes variáveis adimensionais são definidas para as equações
0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ -, , , , , , - -w w T T cVL x y u v q L Pe x y u v q k T T L L V V cV T T (3.7)onde Pe é o número de Péclet e é a temperatura adimensional. As equações de primeira ordem adimensionalizadas resultante das equações (3.3) – (3.6) com o uso das equações (3.7) depende da escolha do fluxo de calor. No trabalho de Winterscheidt e Surana (1993) uma escolha dos fluxos de calor q , x q e y q é da forma: z
0
0
0
ˆ ˆ ˆ , , / / / y x z x y z w w w q q q q q q k T T L k T T L k T T L (3.8)Com a escolha das equações (3.8), as equações (3.3) – (3.6) podem ser reescritas como
y x q z q q u v w q t x y z x y z (3.9) 1 0 x e q P x (3.10) 1 0 y e q P y (3.11)
19 1 0 z e q P z (3.12)
3.2
-
Formulação
Matemática
para
Equações
de
Navier-Stokes
Tridimensionais.
Os escoamentos de fluidos podem ser modelados, matematicamente, pelas equações de Navier-Stokes as quais são equações diferenciais parciais não lineares.
Uma maneira de escrever as equações de Navier-Stokes como um sistema de equações diferenciais parciais de primeira ordem é usando a vorticidade como variável auxiliar. Considerando-se a formulação de Navier-Stokes para escoamentos incompressíveis em coordenadas cartesianas. As equações de Navier-Stokes, incompreensível, são freqüentemente escritas na formulação pressão-velocidade. Sendo a velocidade u
u ,,v w
e a pressão p tem-se que: f u u u u 2 p t (3.13) 0 u (3.14)Introduzindo a vorticidade ω u e usando a identidade vetorial: 2uuω, as equações de Navier-Stokes podem ser reescritas na formulação velocidade-pressão-vorticidade como um sistema de primeira ordem na forma:
f ω u u u p t (3.15) 0 ω (3.16)
20 0 u ω (3.17) 0 u (3.18)
Em coordenadas cartesianas, as equações de Navier-Stokes para escoamentos incompreensíveis tridimensionais resultam:
y z x u u u u p u v w f t x y z x y z (3.19) x z y v v v v p u v w f t x y z y z x (3.20) y x z w w w w p u v w f t x y z z x y (3.21) 0 z w y v x u (3.22) 0 z v y w x (3.23) 0 y u w z x (3.24) 0 z v u x y (3.25)
21 0 z y x z y x (3.26)
Nas equações (3.19) a (3.26) u ,,v w são as componentes de velocidade nas direções x ,,y z, respectivamente; p é campo de pressão e x,y,z são as vorticidades em torno dos eixos
z , y ,
x , respectivamente.
A implementação das equações (3.19)-(3.26) normalmente é feita para as variáveis adimensionalizadas. Definindo um comprimento e velocidade de referências L e u , as variáveis 0
podem ser adimensionalizadas como
i i x X L ; 0 i i u U u ; 0 2 0 t t p p P u ; 0 / t t L u ;
2 * 1/ 2 0 2 t t Cs S Skl kl u L L ; 0 i i L u ; Re u L0 (3.27)O asterisco é usado para variáveis dimensionais. Desta forma, as equações (3.19)-(3.26) na forma adimensional ficam como a seguir
1 i i t k j ijk t i j i j U U P U S t X X Re X (3.28) 0 i i U X (3.29) k i ijk j U X (3.30) 0 i i X (3.31)
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Os sistemas de equações (3.9) a (3.12) ou (3.28) a (3.31), após discretização do termo da derivada no tempo, pode ser escrito numa forma compacta como
A f
(3.32)
Na qual A é uma matriz de operadores diferenciais, Φ é um vetor contendo as incógnitas do problema e f é o vetor de termos fontes. No capítulo 4, estas entidades serão reapresentadas em detalhes.
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Capítulo 4
Modelos Numéricos
4.1 - Método de Elementos Finitos de Mínimos Quadrados - LSFEM
Neste capítulo é apresentado o modelo numérico do método de elementos finitos de mínimos quadrados para problemas de convecção-difusão tridimensionais. O mesmo procedimento pode ser seguido para as equações de Navier-Stokes (3.28) – (3.31), pois ambos os sistemas podem ser escritos na forma da Eq. (3.32).
4.1.2 – Convecção-Difusão Tridimensional
As equações (3.9) - (3.12) constituem as equações de primeira ordem que são equivalentes à equação (3.3). E com Th,qxh,q e q como aproximações de elementos finitos para as soluções hy zh verdadeiras
T q q q, x, y, z
; podem-se definir os seguintes resíduos ou erros para soluçõesaproximadas dentro de um elemento, assim as equações (3.9) - (3.12) são reescritas para as variáveis aproximantes como
1 1 h h h h h h h y x q z q q T T T T u v w E t x y z Pe x y z (4.1)
24 2 h h x T q E x (4.2) 3 h h y T q E y (4.3) 4 h h z T q E z (4.4)
onde E1, E2, E3 e E4são os erros e o índice h representa o tamanho do elemento. Aqui volta a se usar a mesma simbologia das variáveis dimensionais, embora, as variáveis sejam as adimensionais.
A formulação de elementos finitos de mínimos quadrados pode ser vista como uma aproximação variacional no sentido que é procurada a minimização de um funcional. Desta forma define-se o seguinte funcional para um elemento
h, xh, hy, zh
I F T q q q d
(4.5)Para uma única equação diferencial A f a função FE2, na qual Ah f E
. Para um sistema de N equações diferenciais, toma-se a função F como a soma dos quadrados dos
erros, isto é 2 1 N i i F E
, assim o funcional global, em todo o domínio será dado pela expressão 1 NE e e I I
(4.6)
d E I N i i e e 1 2 (4.7)25 Se o vetor de incógnitas for definido na forma:
T
T T, qx T,
qy T,
qz T (4.8)
a minimização do funcional na Equação (4.7) requer que
3 1 0 e e i i i I E E d
(4.9)A Eq. (4.7) é a forma do funcional quando se considera cada resíduo individualmente. Outra maneira é usar a formulação compacta da equação (3.32) como será demonstrado mais adiante neste capítulo.
No contexto de elementos finitos, as variáveis são interpoladas na forma:
h T N T (4.10)
h x x q N q (4.11)
h y y q N q (4.12)
h z z q N q (4.13)onde
N é a matriz das funções de interpolação e
T ,
qx ,
qy e
qz são as variáveis nodaispara Th,qhx,q e q , respectivamente. hy hz
As equações (4.1)-(4.4) constituem um problema não linear de valor inicial e de valores de contorno, que após a discretização no tempo, podem ser escritas como
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1 1 * * n n A f t (4.14)
* * 1 n n f A f t (4.15)Nas quais é um parâmetro que representa o esquema de discretização, desde um método explícito até o método totalmente implícito. Reddy (1993) apresenta alguns valores para
) ( (estável); frente para diferenças de esquema , 1 ) ) (( (estável); Galerkin de método , ) ) (( (estável); Nicolson -Crank esquema , ) ( precisão de ordem estável lmente condiciona -Euler) (ou trás para diferenças de esquema , 0 2 3 2 2 2 1 t O t O t O t O
A equação (4.14) pode ser reescrita na forma compacta da Eq. (3.32)
0A f (4.16)
onde T , , ,
x y z
T q q q
são as variáveis e o operador diferencial A é definido como
0 1 2 3 4 A A A A A A x y z t (4.17)27 onde 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (4.18) 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u Pe A (4.19) 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 v Pe A (4.20) 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 w Pe A (4.21) 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A (4.22)
28 e * 0 n (1 ) ( n) A f A t (4.23) na qual * 1 2 3 4 ( ) n n A A A A A x y z (4.24)
4.1.2.1 – Discretização das Equações no Espaço
Se e
for uma solução aproximada para num elemento, pode-se definir o vetor R de resíduos como
( e)
RA f (4.25)
Para aplicação do método de elementos finitos de mínimos quadrados define-se um funcional num elemento como a seguir
e e T I R Rd
(4.26)A base do método de elementos finitos de mínimos quadrados consiste na minimização do funcional definido na equação (4.26) e requer que a primeira variação desse funcional seja nula, isto é,
0
e
I
