5 Transdutor Indutivo

5 Transdutor Indutivo

De modo análogo aos transdutores resistivos e capacitivos, os transdutores indutivos são transdutores ativos que requerem uma fonte de excitação externa para proporcionar uma tensão de saída, que pode ser vista como uma certa modulação da mesma, que neste caso deve ser AC.

Uma variante muito usada dos transdutores indutivos é o LVDT (Linear Variable Differential Transformer), no qual o acoplamento entre o primário e o secundário de um transformador é variado por ação de um núcleo ferromagnético móvel, como será visto adiante.

Um indutor com enrolamento cilíndrico apresenta indutância definida por

L=0⋅r⋅N 2

⋅A

l

onde 0=4⋅×10−7H/m é a permissividade do espaço livre, r é a permeabilidade

relativa, N é o número de espiras, A é a área de secção reta do núcleo, l é o comprimento do núcleo.

Outras formas geométricas apresentam indutância dependente de outras variáveis. De qualquer forma um número expressivo de arranjos permitem a construção de transdutores indutivos, baseados na alteração de r, N, A ou l.

Considere inicialmente o seguinte modelo para um indutor real

onde R modela as perdas resistivas do fio, as perdas de corrente de fuga pelo núcleo e também as perdas de histerese e C modela a capacitância parasita associada ao enrolamento.

Como todo circuito RLC produz uma equação diferencial da forma

¨x2⋅⋅0⋅¨x 1 0 2⋅x= ¨x 0 Q⋅˙x 1 0 2⋅x onde a freqüência de ressonância é 0= 1



L⋅C e o fator de qualidade do circuito é Q= 0⋅L

R .

Sendo assim, no circuito RLC,

R=⋅L Q .

Analisando a impedância do circuito equivalente para o indutor real temos que Z_L= R XL // XC Z_L=



⋅L Q  j⋅⋅L



⋅ 1 j⋅⋅C ⋅L Q  j⋅⋅L 1 j⋅⋅C ZL=



⋅L Q  j⋅⋅L



⋅ 1 j⋅⋅C ⋅L Q  j⋅



⋅L− 1 ⋅C



Z_L=



⋅L Q  j⋅⋅L



⋅ − j ⋅C ⋅L Q j⋅



2 ⋅L⋅C−1 ⋅C



Z_L=



⋅L Q  j⋅⋅L



⋅ − j⋅⋅C ⋅C 2 ⋅L⋅C  Q 



 2 ⋅L⋅C −1



.

Supondo que Q≫1, tal que 

2 ⋅L⋅C  Q ≪ 2 ⋅L⋅C −1 Z_L=



⋅L Q  j⋅⋅L



⋅ −1



2 ⋅L⋅C −1



Z_L= ⋅L Q⋅



1−2 ⋅L⋅C



 j⋅⋅L



1−2 ⋅L⋅C



.

Se a capacitância parasita fosse desconsiderada (C=0), então

Z_L=⋅L

Comparando-se as duas expressões de ZL podemos concluir que a capacitância parasita

diminui o fator de qualidade, uma vez que

Qefetivo=Q⋅1− 2

⋅L⋅C 

Esta expressão vale até que = 1



L⋅C e nestas condições QefetivoQ

Além disso, há, também, um efeito de aumento da indutância efetiva, uma vez que esta pode ser entendida como

L_efetivo= Leq=

L 1−2

⋅L⋅C 

Derivando-se esta última expressão temos

∂ Leq ∂ L = 1−2 ⋅L⋅C⋅1 – L⋅−2 ⋅C  1−2 ⋅L⋅C 2 ∂ Leq ∂ L = 1−2 ⋅L⋅C 2 ⋅L⋅C 1−2⋅L⋅C 2 ∂ Leq ∂ L = 1 1−2 ⋅L⋅C 2 ∂ Leq= ∂ L 1−2 ⋅L⋅C2 de onde ∂ Leq L_eq = ∂ L 1−2 ⋅L⋅C  L 1−2 ⋅L⋅C  ∂ Leq Leq = ∂L L ⋅ 1 1−2 ⋅L⋅C 

Tal expressão indica que na construção de um transdutor de indutância variável, a capacitância parasita tende a aumentar a sensibilidade do transdutor (em relação ao caso ideal).

Os efeitos anteriormente mencionados, de capacitância parasita do enrolamento, podem ser somadas aos efeitos das capacitâncias parasitas associadas aos cabos coaxiais ligados aos transdutores. Por esta razão, cuidado especial deve ser tomada na escolha do cabo coaxial a ser utilizado para interligar este tipo de transdutor.

5.1 Aspectos de não linearidade

A não linearidade da saída em função do deslocamento mecânico é uma importante especificação de transdutores indutivos.

Assumindo a saída e a entrada correlacionadas como y= f  x, onde y é a saída e x é a entrada poderíamos definir dy/ dx como sensibilidade e d2_y

/d2_{x como uma medida de não}

linearidade.

Como visto nos transdutores capacitivos, uma outra forma, mais conveniente, de se definir sensibilidade pode ser obtida através do coeficiente dy/ y0, onde dy é uma pequena variação da

saída ocorrida no entorno do valor quiescente y₀.

Vimos também que se for assumida uma função

y₀= b x₀c , então dy y0 = −1



1_xc 0



⋅



dx x0



 1



1 c x₀



2⋅



dx x0



2

onde, neste caso, a sensibilidade e a distorção são dependentes do termo 1 1_xc

0

Obviamente, neste caso, para que uma boa linearidade seja obtida é necessário que c/ x0

Suponha agora uma função de dependência estrada-saída do tipo: y₀= b



x0 dy y₀≈  y y₀ = b



x– b



x0 b



x0 dy y0 = b



x b



x₀ −1 dy y₀=



x0 x −1 Substituindo-se x= x0dx dy y₀=



x0 x₀dx−1 dy y0 =



1 1dx_x 0 −1 Como 1



1=1−



 2







3⋅2 8



−... , então dy y0 ≈1 –1 2⋅



dx x0



3 8⋅



dx x0



2 −1 dy y0 ≈−1 2⋅



dx x0



3 8



dx x0



2 .

Agora temos um valor de não linearidade descorrelacionada com o de sensibilidade, e ambos fixos.

Um outra função poderia ser

y0=b⋅



x0 dy y0 = y y0 =y− y0 y0 = y y0 −1 dy y0= b⋅



x b⋅



x₀−1=



x x0−1 Fazendo-se x= x0dx dy y₀=



x₀dx x₀ −1 dy y0 =



1dx x0 −1

Neste caso a expansão será



1=1 2 – 1 8⋅ 2 ... , então dy y0=1 1 2⋅



dx x0



− 1 8⋅



dx x0



2 −1 dy y0= 1 2⋅



dx x0



− 1 8⋅



dx x0



2

Que apresenta características similares a da função anterior, quando a não subordinação de não linearidades e sensibilidade, e ainda apresenta uma melhor linearidade.

Os transdutores indutivos caem geralmente em 3 categorias: 1) com um indutor; 2) com dois indutores ( L₁ aumenta enquanto L₂ diminui); 3) com três indutores (um primário e dois secundários).

5.2 Transdutores com uma bobina (um indutor)

Seja o seguinte transdutor de relutância variável com núcleo ferromagnético de comprimento total lm, área Am e permeabilidade magnética m=r⋅0

Pode ser demonstrado que neste caso a indutância do transdutor é dada por:

L= 0⋅Ag⋅N2

l_g



Ag⋅lm

Am⋅r



tal parâmetro é da forma

y= b xc onde x=lg

que, como visto anteriormente, possui

dy y0= − 1



1 c x₀



⋅



dx_x 0



 1



1_xc 0



2⋅



dx x0



2 Como normalmente

Ag⋅lm Am⋅r ≪1 pois Ag≈ Am, lm≈lg er≫1 teremos dy y0 =−



dx x0







dx x0



2

o que implica que o transdutor não possui uma boa linearidade. Tal fato já era esperado pelo aspecto hiperbólico da indutância do transdutor em função do gap, descrito pela equação

L= 0⋅Ag⋅N2

l_g



Ag_Am⋅lm ⋅r



Uma maneira simples de transformar a variação da indutância em variação de tensão é através do seguinte arranjo:

Se fizermos Rs≫⋅L, então

vout=ve

Rs⋅⋅L

e com amplitude e freqüência fixa de excitação

5.3 Transdutor com dois indutores

O circuito mais comumente encontrado em aplicações que empregam dois elementos transdutores é a ponte de Wheatstone com excitação AC. Em tal circuito normalmente é montado um arranjo de indutores onde as variações de indutância são opostas (quando o acoplamento magnético aumenta em um diminui em outro). Como uma ponte com 2 braços ativos possui a característica de cancelar problemas de linearidade e temperatura, grande parte dos inconvenientes dos transdutores com somente um indutor são eliminados.

No circuito acima as resistências Rs modelam além das perdas ohmicas, perdas no núcleo e de histerese. O potenciômetro Rp é colocado para compensar as diferenças existentes entre os dois valores das perdas e deve ser ajustada de modo a zerar a ponte numa condição onde sabidamente

 L=0.

Para altos valores de Q (Q>10) a saída na condição de circuito aberto ( R_L=∞) tende para a tensão de Thevenin estudada para o caso de uma ponte resistiva com 2 braços ativos, ou seja:

5.4 Transdutores de três indutores (LVDT – Linear Variable

Differential Transformer)

O LVDT é um transformador com acoplamento magnético variável produzido pelo movimento de um núcleo ferromagnético colocado entre os enrolamentos. De modo a zerar a saída na situação de deslocamento mecânico nulo, os dois enrolamentos do secundário são conectados em oposição elétrica.

Pode ser demonstrado que

vout≈ve_ls⋅3⋅Ns ⋅Np ⋅

[

x⋅lc2 −lp2 – 4⋅x3 lc⋅3⋅lc−2⋅lp– 12⋅x2

]

onde Ns é o número de espiras do secundário, Np é o número de espiras do primário, ls é o comprimento do enrolamento secundário, lp é o comprimento do enrolamento primário, lc é o comprimento do núcleo móvel e x é o deslocamento do núcleo.

Este tipo de transdutor é muito comum e existem muitos circuitos que podem ser utilizados para excitar e retirar sinal CC destes transdutores. Abaixo podemos ver dois circuitos vendidos para este fim. Ambos apresentam um oscilador para alimentar o transdutor, um demodulador para detectar a envoltória do sinal de saída (a envoltória é proporcional ao sinal de deslocamento) e um filtro para suavizar o sinal de saída.