Lista de exercícios de recuperação
3º E.M. - Matemática
1) As equações das retas r e s da figura são, respectivamente, a) r: -x + y - 5 = 0 e s: x + y - 5 = 0. b) r: -5x + y - 5 = 0 e s: 5x + y - 5 = 0. c) r: x + y - 5 = 0 e s: - x + y - 5 = 0. d) r: -x + y + 5 = 0 e s: x + y + 5 = 0. e) r: 5x - y + 5 = 0 e s: 5x + y + 5 = 0.
2) Entende-se como demanda a relação entre o preço da oferta e a quantidade procurada. Na prática, algumas equações de oferta e demanda são aproximadamente lineares na faixa de valores que interessa. As equações lineares podem oferecer representações de oferta e demanda razoavelmente precisas dentro de uma faixa limitada.
Numa loja do comércio de Belo Horizonte, dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é
R$ 80,00. Quando o preço é R$ 60,00 são vendidos 20 desses relógios de pulso.
Considerando-se a demanda como uma função linear, a equação de demanda da situação apresentada é a)
x
y
50
0
b)2
x
y
100
0
c)x
y
2
100
0
d)x
y
100
0
e)x
y
50
0
3) Um engenheiro deseja construir um galpão cuja frente é mostrada na figura I a seguir.
Figura I
O telhado deve ser um arco de circunferência, apoiado na viga AB por pequenas colunas, com espaçamento de 2 metros entre elas. Para determinar as alturas das colunas, torna-
se necessário o uso dos conhecimentos de geometria analítica. Estabelecendo os eixos
coordenados e inserindo o esboço do telhado adequadamente, conforme é mostrado na figura II encontra-se o raio e a equação da circunferência que contém o arco do telhado.
Consequentemente determinam-se as medidas de cada coluna.
Figura II
O centro da circunferência que contém o arco AB do telhado é
4) GUINDASTE AÉREO: A NASA planeja pousar um novo jipe em Marte em agosto de 2012. E quer fazê-lo com um procedimento nunca utilizado: pilotando a cápsula de entrada na atmosfera até o local de pouso, com uma asa voadora hipersônica. Próximo ao solo, um conjunto de retrofoguetes pairando no ar baixaria o veículo suavemente por meio de cabos.
De acordo com a imagem apresentada a trajetória da cápsula pode ser modelada por uma equação linear de equações paramétricas
x
3
2
t
ey
4
3
t
, onde t é o tempo em segundos.Fonte: Revista Scientific American Brasil – aula aberta 4, ano I, nº 4 - 2010
É correto afirmar que o coeficiente angular da equação da trajetória da cápsula é
a)
2
3
b)3
2
c)3
2
d)3
1
e)2
3
5) Na figura abaixo, qual ponto, diferente do ponto O, está no INTERIOR de um círculo de centro O (2,3) e raio 4?
6)
Supondo agora que o percurso feito por você e o Sr. Jones é descrito pela reta r, cuja equação é
2x - 3y + 5 = 0, então, a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P(5, 10), é
a) 3x + 2y - 35 = 0 b) 2x + 3y - 5 = 0 c) 2x + 3y + 35 = 0 d) 2x - 3y + 5 = 0 e) 3x - 2y + 35 = 0
7) Leia o texto a seguir e responda à questão.
Equilíbrio no cotidiano
Equilibrista
Atravessar um vão caminhando ao longo de um cabo segurando uma longa vara chega a
prender a respiração dos observadores. Essa façanha demonstra o senso de equilíbrio de
alguns artistas de circo. O artista procura incessantemente o equilíbrio, fazendo com que,
à medida que ele se desloca, o centro de gravidade se mantenha num plano que contém
o cabo esticado. O uso da vara é fundamental para fazer com que, através dela
(puxando-a p(puxando-ar(puxando-a (puxando-a esquerd(puxando-a ou p(puxando-ar(puxando-a (puxando-a direit(puxando-a), sej(puxando-a m(puxando-antido o centro de m(puxando-ass(puxando-a (puxando-acim(puxando-a do c(puxando-abo.
Observe-se que, nesse caso, procura-se manter o equilíbrio do sistema homem mais a
vara longa.
Equilíbrio ao andar
O ser humano é simétrico em relação a um plano vertical que passa pelo meio do corpo.
Isto é, podemos trocar o que está à esquerda pelo que está à direita sem alterá-lo (veja
diante do espelho). O centro de massa está situado, portanto, numa linha contida nesse
plano. Ao transportarmos um objeto, tendemos a alterar a nossa envergadura buscando
manter a posição do centro de massa do sistema numa direção vertical acima dos nossos
pés.
O senso de equilíbrio, a manutenção do nosso centro de gravidade na posição adequada
requer uma dura aprendizagem na infância. Levam-se muitos tombos até se adquirir o
senso (no sentido intuitivo) do equilíbrio.
Mantendo um lápis de pé
Existem duas formas de manter um lápis de pé:
a) pela base - nesse caso, o equilíbrio é relativamente estável.
b) pela ponta - muito difícil de se obter, mas não impossível. Nesse caso, o equilíbrio é
instável. Basta um deslocamento diminuto para tirá-lo do equilíbrio.
O lápis exibe ainda um equilíbrio indiferente ao ser colocado "deitado" sobre a mesa.
Buscando maior equilíbrio
Uma forma de dotar os objetos de condições melhores de equilíbrio é baixar o centro de
gravidade. O melhor exemplo dessa busca de equilíbrio são os carros de corrida. Eles são
rebaixados de forma que o piloto corra sentado muito próximo do chão. Assim, eles
podem ser inclinados de ângulos relativamente grandes sem perderem o equilíbrio. A
carga colocada num trem, se rebaixada, terá maior equilíbrio.
Transportando cargas
As cargas devem ser colocadas num caminhão de forma a manterem o centro de
gravidade no "centro" do mesmo. Um vagão de trem tende a tombar quando o plano
vertical que passa pelo centro de gravidade fica fora dos trilhos da ferrovia.
Disponível em: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/centro_gravidade/equilibrio. Acesso em 22 nov.2009
Se construído de mesmo material, ou seja, mesma densidade em qualquer um de seus
pontos, o centro de equilíbrio de um triângulo coincide com o seu baricentro.
João deseja pendurar um triângulo no teto por apenas um fio. O triângulo será feito de
material homogêneo e seu projeto foi construído num plano cartesiano, conforme
desenho:
Escala: 1:50
1 cm
Assinale a alternativa que corresponde às coordenadas do baricentro do triângulo:
8) Qual das equações a seguir não representa uma circunferência no plano XOY? a) (x – 3)² + (y – 1)² = 3 b) x² + y² - 8 = 0 c) x² + y² - 2x - 6y + 1 = 0 d) (x + y)² = 4 e) (x + y)² - 2xy = 9
9) Considerando o plano xOy, é incorreto afirmar que:
a) A equação
1
9
²
4
²
y
x
representa uma hipérbole.
b) A equação
x
²
y
²
9
0
representa uma parábola.c) A equação
1
9
²
4
²
y
x
representa uma elipse.
d) Uma parábola pode ter três pontos de interseção com uma circunferência. e) A equação
2
x
²
y
7
²
14
representa uma elipse.10) Dados os pontos A (2,1) e B (4,-3), classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) ( ) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B é igual a 2. b) ( ) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é 2x + y – 5 = 0. c) ( ) As coordenadas do ponto médio do segmento AB é (3, - 1). d) ( ) O coeficiente angular da reta mediatriz do segmento AB é ½.
11) Um software muito utilizado na matemática é o Winplot, destinado a construção de figuras geométricas a partir
de suas representações algébricas.
A figura acima refere-se a uma circunferência, construída nesse software, por meio da equação :
x² + y² + 2x – 3y – k = 0
Como o raio da circunferência é igual a 3, o valor que deverá substituir a letra k, na equação da circunferência, deverá ser igual a:
a) 13/4 b) 9 c) 3 d) 23/4 e) 6
12) A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de
geometria cartesiana, é o estudo da
geometria
por meio de um
sistema de
coordenadas
e dos princípios da
álgebra
e da
análise
. Ela contrasta com a abordagem
sintética
da
geometria euclidiana
, em que certas noções geométricas são
consideradas
primitivas
, e é utilizado o
raciocínio dedutivo
a partir de
axiomas
e
teoremas
para obter proposições verdadeiras. A geometria anallitica é muito utilizada
na
física
e na
engenharia
, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria,
incluindo
geometria algébrica
,
diferencial
,
discreta
e
computacional
.
Em geral, o
sistema de coordenadas cartesianas
é usado para manipular
equações
para
planos
,
retas
,
curvas
e
círculos
, geralmente em duas dimensões, mas
por vezes também em três ou mais dimensões. O fato de que a álgebra dos
números
reais
pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da
geometria baseia-se no
axioma de Cantor-Dedekind
.
Dada a equação: - 2x + y -1 = 0 faça o que se pede.
a) Construa seu gráfico.
b) Determine t para que T(t-6, t-2) pertença à reta.
13) Excentricidade no espaço
As trajetórias da Terra em torno do Sol e da Lua em torno da Terra são elipses com excentricidades respectivamente iguais a 0,016 e 0,054. Como essas excentricidades são muito próximas de zero, as elipses são praticamente circunferências.
Dada a equação reduzida da elipse
1
4
9
2 2
y
x
, determine:a) as coordenadas dos vértices e dos focos b) o comprimento dos eixos maior e menor c) a excentricidade
14) Observe a figura a seguir.
Calcule:
a) medida do lado AB b) área do triângulo ABC c) área do quadrilátero d) medida do segmento BD e) medida do segmento CD
15) Dadas as circunferências C1: x² + (y – 1)² = 1 e C2: x² + y² - 4y = 0, determine a posição relativa entre elas.
16) Encontre a área dos triângulos seguintes utilizando determinante. a) Δ OBD b) Δ ADC c) Δ DEB d) Δ EBA e) Δ CBE f) Δ CDE
17) (Unicamp-modificado) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue e trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x² + y² - 6x – 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida do comprimento é o quilômetro. Pergunta-se:
Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias?
