Aula 00 Curso: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

(1)

Prof. Ricardo Soncim - Aula 00

Aula 00

Curso: Matemática Financeira

Professor: Custódio Nascimento

(2)

Prof. Custódio Nascimento - Aula 00

Futuros Auditores Fiscais da Receita Estadual do Rio de Janeiro,

Bem vindos ao curso on-line preparatório para o cargo de Auditor

Fiscal da Receita Estadual do Rio de Janeiro.

Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio

Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto

Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela

mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de

resolver estudar para um concurso público no meio civil.

No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento

foram:

• Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito

da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3

meses de estudo, e convocado para as demais etapas do

concurso, das quais optei por não participar, por motivos de

cunho pessoal;

• Também em 2013, fui aprovado em

2º lugar

no concurso para

Especialista

em

Regulação

da

Agência

Nacional

de

Transportes Terrestres, na área de Engenharia Civil, com

cerca de 4 meses de estudo.

Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo,

mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa

e 2 filhos) e o lazer sempre necessário.

Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do

Exponencial Concursos.

No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você

trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras

de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva,

baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão

sonhado concurso público.

Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o

apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o

seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso

de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde

começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.

E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está

aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus

objetivos.

(3)

Este curso será de Teoria e Exercícios de Matemática Financeira. Ele

terá como base o edital do último concurso (2013), mas garantimos a

atualização e inserção de qualquer novo conteúdo que a banca venha trazer,

quando da divulgação do edital.

No concurso de 2013 para o ICMS-RJ, conduzido pela FCC, os assuntos

deste curso estavam inseridos no grupo G3 – Matemática Financeira,

Estatística e Raciocínio Lógico. Eram 10 questões de Matemática Financeira,

em um total de 24 questões cobradas no grupo G3. O candidato precisava

atingir a nota de corte em cada grupo, com um mínimo de acerto de 50%, e

ainda conseguir um mínimo total por prova de 65%. A partir disso, você pode

concluir que não se deve deixar de estudar nenhuma disciplina.

O nível de dificuldade das questões de Matemática Financeira do último

concurso, de uma maneira geral, foi bem mais elevado do que nos concursos

anteriores, o que pegou muita gente de surpresa! Foram, aproximadamente,

7.700 inscritos e somente 24 aprovados para um total de 50 vagas. Isso

mesmo,

sobraram vagas

!

Matemática Financeira é uma matéria muito cobrada nos concursos da

FCC. O nosso objetivo será abordar todo o conteúdo do edital, procurando

fazer um paralelo entre teoria e questões de provas. A parte teórica será

abordada de forma objetiva, concisa e esquematizada.

Além disso, teremos mais de 100 questões comentadas, com

prioridade para as questões da FCC, pois acredito que, quando conseguimos

entender a maneira de pensar dos integrantes da banca, fica mais fácil nos

prepararmos para o que está por vir. Em alguns momentos, serão utilizadas

questões de outras bancas (CESPE, ESAF, FGV, Cesgranrio), para

complementar o entendimento do assunto tratado.

Darei prioridade, também, para as questões de provas de concursos

de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos

nos preparando.

Provas AFRE-RJ 2008.1, 2008.2, 2009, 2010, 2011, 2014

Assunto

Quantidade

%

Capitalização composta: cálculo de juros e montantes.

9

14 Equivalência financeira.

8

12 Séries finitas e infinitas (ou perpétuas) de pagamentos:

postecipadas, antecipadas e diferidas.

7

11 Histórico e análise das provas

de Matemática Financeira

(4)

Capitalização simples: cálculo de juros e montantes.

7

11 Influência da inflação: taxa real e taxa aparente.

6

9 A operação de desconto simples: racional (por dentro),

comercial (por fora) e bancário.

6

9 Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema

Francês - Tabela Price

6

9 Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema de

Amortização Constante (SAC)

6

9 Taxas equivalentes e efetivas.

3

5 Convenção linear e exponencial quando não é

fracionário.

3

5 Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema

Americano de Amortização a uma e a duas taxas

(Sinking Fund).

2

3 Desconto composto: racional e comercial.

2

3 Vale ressaltar que os assuntos que apareceram em provas seis ou

mais vezes foram contemplados em TODOS os concursos!

Do exposto acima, podemos concluir que todos os itens do edital são

abordados nas provas! Alguns itens como “Influência da inflação: taxa real e

taxa aparente” apareceram em todas as provas e não são de difícil

aprendizado, ou seja, você não pode errar essas questões na prova!

Aula

Assunto

Data

00 Aula Demonstrativa – Porcentagem aplicada à matemática

financeira.

Disponível

01 Revisão de conceitos básicos de Matemática. 1. Conceito

de juros e regimes de capitalizações. 2. Capitalização

simples: cálculo de juros e montantes.

23/08

02 6. Capitalização composta: cálculo de juros e montantes.

7. Convenção linear e exponencial quando não é

fracionário. 8. Taxas equivalentes e efetivas. 9. Influência

da inflação: taxa real e taxa aparente.

(5)

03 3. Valor atual e valor nominal. 4. A operação de desconto

simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e

bancário. 5. Equivalência entre taxa de juro e taxa de

desconto. 10. Desconto composto: racional e comercial.

06/09

04 11. Equivalência financeira. 12. Séries finitas e infinitas

(ou perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas

e diferidas. 13. Utilização de tabelas financeiras. 14.

Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema

Francês - Tabela Price; Sistema de Amortização Constante

(SAC) e Sistema Americano de Amortização a uma e a

duas taxas (Sinking Fund).

13/09

Deixei para falar na aula de hoje, aula demonstrativa, de um assunto

que não está explicitamente escrito no edital, mas que é muito importante

para que você possa compreender todos os conceitos de Matemática

Financeira: porcentagem.

(6)

Vamos dar início ao nosso curso com esta aula demonstrativa sobre o

assunto porcentagem aplicada à Matemática Financeira.

Assunto

Página

1- Preciso estudar esta aula?

06 2- Porcentagem: Conceito, Fator de Multiplicação, Aumentos

e/ou Descontos sucessivos.

07 3- Questões comentadas

13 4- Questões apresentadas na aula

24 5- Gabarito

29 Você precisará estudar essa aula se você não souber responder

mentalmente as duas perguntas que colocarei a seguir ou se você souber,

porém demorando mais de 10 segundos para responder a cada uma delas.

1ª pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um

aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%.

Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00

(C) R$ 99,00

(D) R$ 101,00

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um

desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%.

Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00

(C) R$ 99,00

(D) R$ 101,00

Aula 00: Porcentagem aplicada à matemática financeira

(7)

A resposta para as duas perguntas é a alternativa letra C, ou seja, ele

passará a receber R$ 99,00.

Se você não conseguiu resolver essas perguntas mentalmente de forma

rápida ou achou que a reposta era a alternativa letra A, você deve ler esta

aula. No entanto, caso você tenha acertado dentro dos 10 segundos para

cada questão, você pode passar para a Aula 01, sobre juros simples.

2.1 – Conceito

A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada

pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem, ou seja, 20% é igual a

20

100 . Há

três maneiras de se representar esse número:

Forma percentual

Forma fracionária

Forma unitária

(ou decimal)

20%

20

100 0,2

1%

1

100 0,01

0,5%

0,5

100 0,005

Geralmente, a taxa percentual, que indicaremos por i, é aplicada em

relação a alguma quantidade, como, por exemplo, um valor aplicado em um

banco ou o número de pessoas em um local. A essa quantidade se dá o nome

de principal e a representamos pela letra C. Sendo P o valor da porcentagem

que queremos descobrir, temos a relação entre as variáveis:

=

∙

Exemplo: Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30% são mulheres.

Quantas mulheres existem na sala?

Solução

C = 120

i = 30%

Para calcularmos o valor do número de mulheres utilizamos a seguinte

fórmula:

=

∙

(8)

onde P é o valor da porcentagem que queremos descobrir. Temos duas

maneiras de realizar o cálculo:

1ª maneira: utilizando a forma centesimal:

=

:

= 120 ∙

30

100 = 36

2ª maneira: utilizando a forma unitária:

= 0,30

:

= 120 ∙ 0,30 = 36

Obviamente, as duas maneiras levam ao mesmo resultado, que nos diz que

temos 36 mulheres na sala. Você verá que utilizaremos com mais frequência a

segunda maneira (forma unitária), e eu recomendo que você se exercite para

utilizá-la também.

Vamos ver como esse assunto já foi cobrado em prova de concurso:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual –

Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um

reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi

de, aproximadamente:

(A)

28%

(B)

25%

(C)

22%

(D)

20%

(E)

18%

Resolução:

Primeiramente, vamos determinar a magnitude do aumento da

passagem, ou seja, quanto ela aumentou, em R$:

= 1,40 − 1,15 = 0,25

Depois determinamos o percentual que esse aumento representa do

preço inicial da passagem:

=

∙ ⇒ =

=

0,25

1,15

≈ 0,22 = 22%

Logo, a alternativa C é a resposta.

Resolveremos novamente essa questão ainda nesta aula, utilizando uma

forma de solução mais rápida, após estudarmos o conceito de fator de

multiplicação.

(9)

2.2 – Fator de Multiplicação

O fator de multiplicação nos ajuda muito a resolver problemas de

matemática financeira e é o item

mais importante

desta aula.

Vou explicar este conceito dando um exemplo. Imagine uma pessoa que

recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um aumento de 20%. Quanto ela

receberá após o aumento?

Solução

Vamos calcular o valor do aumento:

=

∙ = 800 ∙

20

100 = 160

Depois, calculamos o salário final (C

F

) somando o aumento (P) com o

salário anterior (C):

=

+

= 800 + 160 = 960

Podemos obter esse mesmo resultado de uma forma mais rápida,

multiplicando o salário anterior (C) pelo fator de multiplicação (f) que, por

definição, vale:

= 1 +

Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu valor

final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de

multiplicação f, logo:

=

∙ 1 +

Assim,

=

∙ 1 +

= 800 ∙ 1 + 0,2 = 800 ∙ 1,2 = 960

E se a grandeza sofrer uma redução? Considere que a pessoa do

exemplo acima tenha seu salário de R$ 800,00 reduzido em 20%. Qual será o

valor do seu novo salário após a redução?

Neste caso, temos duas maneiras de enxergar o problema. Na

primeira maneira, consideramos um fator de multiplicação calculado

especificamente para a redução (ou seja, uma nova fórmula), como se segue:

= 1 −

Neste caso, colocaríamos o valor absoluto do desconto na fórmula (em

outras palavras, colocamos o valor sem considerar um sinal positivo ou

negativo), e teríamos que o fator de redução é igual a:

= 1 − = 1 − 0,2 = 0,8

A segunda maneira de se enxergar o problema é considerar a mesma

fórmula para o fator de aumento ou de redução, e considerarmos um valor

positivo ou negativo para a taxa. Em outras palavras, é dizer que um desconto

(10)

de 20% equivale a um aumento de (-20%). Com isso, podemos utilizar a

seguinte fórmula:

= 1

Nesta fórmula, inserimos o valor do desconto que foi dado (-20%),

como se segue:

1

1 0,2

0,8

Como era de se esperar, obtivemos o mesmo valor. Cabe a você definir

qual a maneira que você acha mais simples e mais fácil, e adotá-la em seus

estudos. Neste curso, utilizaremos a segunda maneira, pois acreditamos que,

quanto menor o número de fórmulas a serem decoradas, maios é a chance de

um resultado positivo no concurso. Sendo assim, consideraremos

positivas

as

taxas para aumento

(ou lucro) e

negativas

as

taxas para redução

(ou

desconto, prejuízo).

Voltando ao problema que foi proposto (redução de 20% no salário), já

tendo calculado o fator de multiplicação, basta multiplicarmos tal fator pelo

salário anterior (C), logo:

∙

800 ∙ 0,8

640 Desta forma, temos os seguintes esquemas:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual –

Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um

reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi

de, aproximadamente:

(A)

28%

(B)

25%

(C)

22%

(D)

20%

(E)

18%

Fator de

multiplicação

1+i

de

aumento

i positivo

de

redução

i negativo

Valor final da

grandeza

C

F

= C . (1 + i)

para

aumento

i positivo

para

redução

i negativo

(11)

Resolução:

Vamos resolver novamente este problema utilizando o conceito de fator

de multiplicação que acabamos de aprender.

Quando temos um aumento, a fórmula a ser utilizada é a seguinte:

=

∙ 1

Substituindo os valores, temos:

1,40

1,15 ∙ 1

⇒ 1

1,40

1,15

⇒ 1

1,22 ⇒

0,22

22%

A alternativa C é a resposta correta.

2.3 – Aumentos e/ou descontos sucessivos

Para finalizar a parte teórica, vamos tratar do embasamento teórico

para resolvermos as perguntas do início da aula. Para recordarmos, eis

novamente as perguntas:

1ª pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um

aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%.

Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um

desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%.

Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

Taxas sucessivas

Quando

temos

aumentos

ou

descontos

sucessivos

basta

multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação

obtidos a partir de cada taxa de

aumento

ou

redução

, assim:

∙ 1

…

Onde o valor de i deve ser

positivo

(

+

) quando temos uma

taxa de

aumento

e deve ser

negativo

(

-

) quando temos uma

taxa de desconto

.

Valor final

em taxas

sucessivas

C

_F

= C . (1 + i

₁

) . (1 + i

₂

)...

aumento i positivo

(12)

Solução da 1ª pergunta

O

aumento de 10%

será aplicado com um

fator de aumento

(1+0,10), enquanto que o

desconto de 10%

será aplicado com um

fator de

desconto

(1-0,10)

. Podemos aplicar os fatores sucessivamente, multiplicando

o valor inicial do salário (R$ 100,00) por ambos os fatores, utilizando a

equação mostrada anteriormente:

= 100 ∙ 1

0,10 ∙ 1

0,10

100 ∙ 1,1 ∙ 0,9

99 Logo, o salário final será de R$ 99,00

Solução da 2ª pergunta

Nessa pergunta, o desconto ocorreu primeiro. Será que isso fará

diferença? Vejamos:

100 ∙ 1

0,10 ∙ 1

0,10

100 ∙ 0,9 ∙ 1,1

99 Note que agora multiplicamos o valor 100 primeiro por 0,9 e depois por

1,1, mas, como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto, assim,

não faz diferença se ganhamos primeiro um aumento ou um desconto de

salário!

Aumento (ou

desconto

) resultante:

Em uma situação envolvendo

aumentos ou

descontos

sucessivos,

podemos calcular o

aumento

(ou

desconto

) resultante (i

R

), da seguinte

forma:

1

1 ∙ 1

∙ 1

…

Se o resultado de i

R

for

positivo, teremos um

aumento. Por outro lado,

se o resultado der um número

negativo

, trata-se de um

desconto

.

Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente:

∙ 1

…

∙ 1

Desta forma, temos o seguinte esquema:

Aumento ou redução

resultante

(1+i

R

) = (1 + i

1

) . (1 + i

2

)...

aumento _{i positivo}

(13)

(FGV / Auditor do Estado – Área Controlador –

Controladoria Geral do Estado-MA / 2014) O prefeito de certo município

exerceu seu mandato nos anos de 2009 a 2012. Em cada um dos anos de

2010, 2011 e 2012 as despesas de custeio da administração municipal

aumentaram em 20% em relação ao ano anterior. Então, as despesas em

2012 superaram as de 2009 em, aproximadamente,

A) 60%.

B) 68%.

C) 73%.

D) 80%.

E) 107%.

Resolução:

Pelo enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 2011 e 2012),

sendo cada um deles de 20% em relação ao ano anterior. Trata-se, portanto,

de um caso de

aumentos sucessivos, em que queremos saber qual foi o

aumento resultante, ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao

ano inicial (2009). Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

em que i

1

= i

2

= i

3

= 0,2. Logo:

1 +

= 1 + 0,2 ∙ 1 + 0,2 ∙ 1 + 0,2 = 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2

Neste ponto, você deve ter percebido que terá que multiplicar os três números

decimais, e já que a prova do concurso não permite o uso de calculadora, você

terá que fazer isso “na mão”. Sendo assim, comece a treinar desde já. Se for

preciso, volte à Matemática Fundamental, para relembrar como se resolve

uma multiplicação (ou divisão) de números com vírgula. Resolvendo a

multiplicação, ficamos com:

1 +

= 1,728 ≈ 1,73 ⟹

= 0,73 = 73%

(14)

01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia –

Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de

determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço

P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu

novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser

praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

A) 56%.

B) 15%.

C) 50%.

D) 30%.

E) 44%.

Resolução:

1ª solução: utilizando a forma literal

Vamos dar nomes às variáveis que indicarão os preços inicial e final praticados

nas lojas A e B:

"#

= preço inicial da loja A

$#

= preço final da loja A

"%

= preço inicial da loja B

$%

= preço final da loja B

Sendo assim, vamos montar as equações, de acordo com o enunciado:

A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. Logo:

$#

= 1 − 0,20 ∙

"#

= 0,8 ∙

"#

(I)

A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar

o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10%

a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A.

"%

=

&_'(

(II)

$%

= 1 − 0,1 ∙

$#

= 0,9 ∙

$#

(III)

Queremos encontrar o aumento que a loja B deve realizar, ou seja, o valor de

$%

−

"% "%

=?

Substituindo I em III, temos:

$%

= 0,9 ∙ 0,8 ∙

"#

= 0,72 ∙

"#

(IV)

3- Questões Comentadas

(15)

Substituindo II em IV, temos:

$%

= 0,72 ∙ 2 ∙

"%

⟹

$%

"%

= 1,44

Logo, o valor do aumento é:

$%

−

"%

=

$%

"%

− 1 = 1,44 − 1 = 0,44 = 44%

2ª solução: dando um valor para P, por exemplo, P=100 (mais prática e

rápida)

Loja A

"

=

= 100

$

= 1 − 0,2 ∙ 100 = 0,8 ∙ 100 = 80

Loja B

"

=

⁄ = 50

2

$

= 1 − 0,1 ∙ 80 = 0,9 ∙ 80 = 72

Aumento = 72-50 = 22

22

50 = 44%

A alternativa E é a resposta correta.

02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de

Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem

vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o

preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os

compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas,

querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e

o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja

de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na

loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%.

B) 10%.

C) 15%.

D) 1%.

E) 5%.

Resolução:

Neste caso, o caminho mais rápido para resolvermos a questão é supormos

que o preço P é igual a 100. Sendo assim, temos:

Loja Q:

(16)

Preço após o reajuste de 10% = 1 + 0,1 ∙ 100 = 1,1 ∙ 100 = 110

Preço após o desconto de 10% = 1 − 0,1 ∙ 110 = 0,9 ∙ 110 = 99

Loja R:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 20% = 1 + 0,2 ∙ 100 = 1,2 ∙ 100 = 120

Preço após o desconto de 20% = 1 − 0,2 ∙ 120 = 0,8 ∙ 120 = 96

Logo, a diferença de preços entre as lojas é de 99 - 96 = 3.

Tal diferença, em relação ao preço da loja Q, é de

3

99 ≈ 3%

É importante ressaltar que, neste caso, você não precisa fazer a conta acima

(

>>

), pois 99 é muito próximo de 100 e a questão pede uma resposta

aproximada. A alternativa A é a resposta correta.

03. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O

preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse

preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um

determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias,

o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar

ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo

comerciante é de aproximadamente

A) 15%.

B) 12%.

C) 19%.

D) 13%.

E) 14%.

Resolução:

Mostraremos duas formas de solução:

1ª Solução: estipulando valores

Considere que o preço inicial vale 100. Após o primeiro aumento de 7% o

preço passa a ser igual a

100 ∙ 1 + 0,07 = 100 ∙ 1,07 = 107

.

O aumento máximo permitido é de 22% (sobre o preço inicial), logo o preço

máximo final é igual a

100 ∙ 1 + 0,22 = 100 ∙ 1,22 = 122

(17)

Logo, o segundo aumento deve levar o preço de 107 para 122, logo deve ser:

=

∙ 1 +

⟹ 122 = 107 ∙ 1 +

⟹ 1 + =

122

107 = 1,14 ⟹ = 0,14 = 14%

Observe o esquema gráfico abaixo para facilitar o seu entendimento:

2ª Solução: utilizando a fórmula dos aumentos sucessivos

Lembrando que se tivermos variações sucessivas, basta multiplicarmos os

fatores de multiplicação para obtermos a variação resultante, assim:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

1 + 0,22 = 1 + 0,07 ∙ 1 +

⟹ 1 +

=

1,22

1,07

= 1,14 ⟹

= 0,14 = 14%

Esta última situação é mais simples, caso você tenha facilidade com fórmulas

matemáticas.

A alternativa E é a resposta correta.

04. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O

preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês

seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo

produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de

aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%.

B) menos 10%.

C) menos 20%.

D) mais 25%.

E) mais 20%.

Resolução:

A questão pede o percentual de variação da porcentagem de aumento dos

preços. Primeiramente, vamos decifrar essa solicitação:

Etapa 1: O preço aumentou inicialmente de R$ 15,00 para R$ 18,75 e sofreu

um aumento percentual i

1

– que calcularemos daqui a pouco.

100

107

122 Aumento de 7%

Aumento de i%

Aumento de 22%

(18)

Etapa 2: Depois, ele aumentou de R$ 18,75 para R$ 22,50, sofrendo um

aumento percentual i

2

– que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 3: o percentual i

1

mudou para i

2

, ou seja, sofreu uma variação

percentual i

3

. Esse valor i

3

que é a resposta do problema!

Agora, vamos aplicar a fórmula do aumento percentual para cada etapa e

encontraremos os valores de i

1

, i

2

e, finalmente, i

3

.

Etapa 1:

=

∙ 1 +

⟹ 18,75 = 15 ∙ 1 +

⟹ 1 +

=

18,75

15 = 1,25 ⟹

= 0,25

Etapa 2:

=

∙ 1 +

⟹ 22,5 = 18,75 ∙ 1 +

⟹ 1 +

=

22,5

18,75

= 1,2 ⟹

= 0,2

Etapa 3:

=

∙ 1 +

⟹ 0,2 = 0,25 ∙ 1 +

⟹ 1 +

=

0,2

0,25

= 0,8

= −0,2 = −20%

Ou seja, a taxa foi de menos 20%. A alternativa C é a resposta correta.

05. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:

Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um

produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de

seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o

da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no

máximo,

A) 5.

B) 5.

C) 19.

D) 500.

E) 600.

Resolução:

A questão quer saber o valor percentual máximo de variação do preço. Logo,

temos que perceber que o máximo preço “errado” da etiqueta seria R$ 960.

Assim, basta calcularmos a diferença percentual entre R$ 160 e R$ 960.

=

∙ 1 +

⟹ 960 = 160 ∙ 1 +

⟹ 1 + =

960

160 = 6 ⟹ = 5 = 500%

(19)

06. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:

Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou

um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa

transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e

revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado.

Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi

vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o

lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%.

B) 12%.

C) 15%.

D) 18%.

E) 21%.

Resolução:

Vamos utilizar o diagrama a seguir, para facilitar a compreensão do problema:

Este é um caso em que atribuir um valor inicial ao apartamento X não facilita

a resolução da questão. Neste caso, a maneira mais simples de resolver a

questão é com o uso da fórmula dos aumentos sucessivos:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

A questão nos forneceu o valor do lucro da segunda venda (

= 40%), bem

como do lucro resultante (

= 61%), e pede o valor do lucro da primeira venda

(i

1

).

1 + 0,61 = 1 +

∙ 1 + 0,4 ⟹ 1,61 = 1 +

∙ 1,4 ⟹ 1 +

=

1,61

1,4

= 1,15

= 0,15 = 15%

A alternativa C é a resposta correta.

07. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de

Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013)

Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o

preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor

Apto Y

Lucro de x%

Lucro de 40%

Lucro de 61%

(20)

deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e

ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas

condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

A) R$ 620,00.

B) R$ 580,00.

C) R$ 600,00.

D) R$ 590,00.

E) R$ 610,00.

Resolução:

Primeiramente, precisamos decifrar os dados da questão. O comerciante quer

estabelecer um preço de venda (preço de etiqueta) tal que ele possa anunciar

um desconto de 30%, gerando um preço intermediário, e ainda assim,

garantir lucro de 20% em relação ao valor da compra. Logo, esse preço

intermediário dá 20% de lucro sobre o preço inicial. Sendo assim, podemos

usar o seguinte diagrama para nos auxiliar:

Vamos calcular o preço intermediário para, a partir dele, chegar ao preço de

venda:

I. O preço intermediário (P

M

) dá um lucro de 20% sobre o preço inicial (350):

=

∙ 1 +

⟹

?

= 350 ∙ 1 + 0,2 ⟹

?

= 350 ∙ 1,2 = 420

II. Um desconto de 30% (i=-0,3) sobre o preço de venda (P

V

) nos leva ao

preço intermediário (420):

=

∙ 1 +

⟹ 420 =

@

∙ 1 − 0,3 =

@

∙ 0,7 ⟹

@

=

420 0,7

= 600

A alternativa C é a resposta correta.

08. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda -

RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em

um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então,

pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%.

B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

350 Preço intermediário (P

M

)

Lucro de 20%

Desconto de 30%

Preço de

compra

Preço de

_venda

(21)

D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%,

Resolução:

Primeiramente, vale lembrar que PIB per capita é a razão entre o valor do PIB

e o número de habitantes (N) de uma população, logo:

PIB

PIB per capita

N

=

Dito isto, vamos mostrar duas soluções possíveis para a questão:

1ª Solução – usando fator de multiplicação

Lembre-se de que depois de um aumento, o valor final da grandeza é obtido

pelo produto do seu valor inicial pelo fator de multiplicação, ou seja,

=

∙ 1 +

O PIB aumentou 6,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,06 = 1,06 e o

novo valor do PIB vale PIB

F

= 1,06.PIB.

A população aumentou 2,0%, logo o fator de multiplicação vale

1 + 0,02 = 1,02 e o novo valor do nº de habitante vale N

F

= 1,02.N.

O novo PIB per capita é obtido pela razão dos novos valores de PIB e nº de

habitantes, assim:

AB CDE FGC HG =

AB

I

=

1,06 ∙ AB

1,02 ∙ I

=

1,06

1,02

∙

AB

I

= 1,039 ∙ AB CDE FGC HG

"J"K"#L

A conta nos mostra que o fator de multiplicação do PIB é igual a 1,039, logo:

= 1 + = 1,039 ⟹ = 0,039 = 3,9%

A alternativa E é a resposta correta.

2ª Solução – utilizando valores

Considerando que, no início, tenhamos um PIB de 100 e o nº de habitantes

também igual a 100. Desta maneira, o PIB per capita inicial vale

= 1.

O PIB aumentou 6,0%, logo seu valor final vale 1,06.

A população aumentou 2,0%, logo seu valor final vale 1,02.

O novo valor do PIB per capita vale:

AB CDE FGC HG =

1,06

1,02

= 1,039

Note que O PIB per capita aumentou de 1 para 1,039, ou seja, aumentou

3,9%. A alternativa E é a resposta correta.

(22)

09. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da

União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um

aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos

preços no biênio considerado?

A) 8%

B) 8,8%

C) 10,8%

D) 18%

E) 18,8%

Resolução:

Esta questão pode ser facilmente resolvida com o uso da fórmula do aumento

resultante de dois aumentos sucessivos, conforme vimos na aula:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

Pelos dados da questão,

i

1

=10%=0,10

i

2

=8%=0,08

Logo:

1 +

= 1 + 0,1 ∙ 1 + 0,08 = 1,1 ∙ 1,08 = 1,188 ⟹

= 0,188 = 18,8%

A alternativa E é a resposta correta.

10. (FGV / Auditor da Receita do Estado –

Secretaria de Estado da

Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços

durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30%

em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos

preços do dia anterior é de:

A) 10%

B) 12%

C) 14%

D) 16%

E) 18%

Resolução:

Esta questão também pode ser resolvida com o uso da fórmula das variações

sucessivas:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

(23)

i

1

=20%=0,20

i

2

=-30%=-0,3. Atentar que, como se trata de um desconto, o percentual entra

na fórmula como um valor negativo.

Logo:

1 +

= 1 + 0,2 ∙ 1 − 0,3 = 1,2 ∙ 0,7 = 0,84 ⟹

= −0,16 = −16%

Isso significa que o desconto real foi de 16%. A alternativa D é a resposta

correta.

11. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da

Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise

desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização

total nesses três meses foi de:

A) 60%

B) 56,6%

C) 53,4%

D) 51,2%

E) 48,8%

Resolução:

Foram três desvalorizações sucessivas de mesma taxa de 20%, portanto

podemos utilizar a seguinte fórmula:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

Neste caso, i

1

= i

2

=i

3

=-20%=-0,2

1 +

= 1 − 0,2 ∙ 1 − 0,2 ∙ 1 − 0,2 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512

= −0,488 = −48,8%

A alternativa E é a resposta correta.

12. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da

Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas

economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre,

verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto

declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto

significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:

A) 60%

B) 66%

C) 70%

(24)

E) 100%

Resolução:

A questão nos forneceu a taxa resultante, que vale I = 100% - pois o

investimento dobrou de valor – e nos forneceu a primeira taxa de aumento, de

25%, pedindo então a segunda taxa de aumento, logo:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

⟹ 1 + 1 = 1 + 0,25 ∙ 1 +

⟹ 2 = 1,25 ∙ 1 +

1 +

=

2 1,25

= 1,6 ⟹

= 0,6 = 60%

A alternativa A é a resposta correta.

13. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007,

um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00.

Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de

20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu

valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu

valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três

anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20%

B) 18,4%

C) 18%

D) 15,2%

E) 15%

Resolução:

A questão nos fornece três taxas sucessivas, a saber:

Valorização de 20% em 2008 => i

1

= 20% = 0,2

Desvalorização de 20% em 2009 => i

2

= – 20% = – 0,2

Valorização de 20% em 2010 => i

3

= 20% = 0,2

A taxa percentual resultante será:

1 +

= 1 +

∙ 1 +

1 +

= 1 + 0,2 ∙ 1 − 0,2 ∙ 1 + 0,2 = 1,2 ∙ 0,8 ∙ 1,2 = 1,152

= 0,152 = 15,2%

A alternativa D é a resposta correta.

14. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria

profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da

(25)

percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi

de

A) 2,4%

B) 3,6%

C) 4,5%

D) 5,4%

E) 6,0%

Resolução:

O aumento de i = 80% foi sobre o valor C = 3%, logo:

=

∙ 1 +

⟹

= 3 ∙ 1 + 0,8 = 3 ∙ 1,8 = 5,4 ⟹

= 5,4%

(26)

01. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia –

Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de

determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço

P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu

novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser

praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

A) 56%.

B) 15%.

C) 50%.

D) 30%.

E) 44%.

02. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de

Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem

vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o

preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os

compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas,

querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e

o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja

de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na

loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%.

B) 10%.

C) 15%.

D) 1%.

E) 5%.

03. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O

preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse

preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um

determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias,

o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar

ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo

comerciante é de aproximadamente

A) 15%.

B) 12%.

(27)

C) 19%.

D) 13%.

E) 14%.

04. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013) O

preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês

seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo

produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de

aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%.

B) menos 10%.

C) menos 20%.

D) mais 25%.

E) mais 20%.

05. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:

Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um

produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de

seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o

da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no

máximo,

A) 5.

B) 5.

C) 19.

D) 500.

E) 600.

06. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:

Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou

um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa

transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e

revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado.

Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi

vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o

lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%.

B) 12%.

(28)

C) 15%.

D) 18%.

E) 21%.

07. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de

Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013)

Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o

preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor

deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e

ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas

condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

A) R$ 620,00.

B) R$ 580,00.

C) R$ 600,00.

D) R$ 590,00.

E) R$ 610,00.

08. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual-RJ / 2007) Em um país, o

Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a

população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a

evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%.

B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%.

09. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da

União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um

aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos

preços no biênio considerado?

A) 8%

B) 8,8%

C) 10,8%

D) 18%

E) 18,8%

(29)

10. (FGV / Auditor da Receita do Estado – AP / 2010) - O dono de uma

loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia

um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está

oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de:

A) 10%

B) 12%

C) 14%

D) 16%

E) 18%

11. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – AP / 2010) As ações de certa

empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A

desvalorização total nesses três meses foi de:

A) 60%

B) 56,6%

C) 53,4%

D) 51,2%

E) 48,8%

12. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – AP / 2010) Alberto investiu no

início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final

do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No

final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no

início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações

valorizaram em:

A) 60%

B) 66%

C) 70%

D) 75%

E) 100%

13. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de 2007,

um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00.

Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de

20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu

(30)

valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três

anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20%

B) 18,4%

C) 18%

D) 15,2%

E) 15%

14. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria

profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da

categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o

percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi