2- Resolução de Sistemas Não-lineares.

2- Resolução de Sistemas

Não-lineares.

2.1- Método de Newton.

2.2- Método da Iteração.

3.3- Método do Gradiente.

2- Sistemas Não Lineares de Equações

Note que como caso particular podemos ter um sistema linear de equações algébricas:

( , , , ) ( , , , ) ou com e ( ) ( , , , ) n n n n n n f x x x f x f x x x f x f x f x x x =           =  _{   } = = =  _{   }  _{   }  _{=    }  f(x) 0 f x 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 1 0 L L M M LLLLLLLL L 11 1 12 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ou ( , 0 0 , , ) 0 n n n n n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a f x x x f x x x x a x b a x a x f x x x a x b + + − = + + − = − = =   =     = + + − = Ax b 0 L L LLLLLLLLLLLLLLLL L LLL L L L

2.1- Método de Newton

Considere um sistema não linear de n equações com n incógnitas.

Resolveremos este problema com aproximações sucessivas. Seja a aproximação k com sendo uma das raízes de com erro . Logo .

Supondo que é continuamente diferenciável num domínio convexo que contem e podemos expandir a função em série de potencia entorno do ponto e desprezamos as

potencias maiores que 1 (termos não lineares). ( , , , ) ( , , , ) ou com e ( ) ( , , , ) n n n n n n f x x x f x f x x x f x f x f x x x =           =  _{   } = = =  _{   }  _{   }  _{=    }  f(x) 0 f x 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 1 0 L L M M LLLLLLLL L ( , , , ) k k k k n x x x = x _{1 2} L x ∆ = ∆ ∆xk ( x₁k, x₂k,L,∆x_nk) x = xk + ∆xk ( ) k + ∆ k = f(x x ) 0 2 f(x) k x x k x

2.1- Método de Newton

Devemos entender como sendo a matriz Jacobiana das funções com respeito as variáveis .

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , ( ) 0 ( ) 0 ( ) , , ) k k k k k k n n n k k k k k k n n n k k k n k n n n n f f f f x x x x x x x x x f f f f x x x x x x x x x f f f x x x x f x f f ∂ ∂ ∂ ≈ + ∆ + ∆ + + ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≈ + ∆ + ∆ + + ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≈ + ∆ + = ∂ = k k k k k k k x x x x x x x x x x L L L L L LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 2 2 0 k n k n n f x x x x            ₌  ∂ ∆ + + ∆ ∂ ∂  _xk _xk L n x x x₁ , ₂,L,

)

=

+ ∆

≈

f(x ) f

+

'

∆

=

(3) ou

f(x

f(x

x )

(x ) x

0

2.1- Método de Newton

O sistema (3) é um sistema linear da forma:

' n n n n n n f f f x x x f f f x x x f f f x x x ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂}    ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂}  = = _{ }     ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂}    f (x) W (x) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 L L L L L L L ( ) ( ) ou ( ) k k k k k k k k k k k n k k k k k n k _{n n n} k n n n f f f f x x x x f f f f x x x x f f f f x x x x  _{∂ ∂ ∂}      _∆  ∂ ∂ ∂             ∂ ∂ ∂     _∆      _{+ ∂ ∂ ∂}   _{= + ∆ =}                   ∂ ∂ ∂     _∆    _{ }   ∂ ∂ ∂   x x x x x x x x x x x f(x ) W (x ) x 0 x 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 L L L L L L M M L

2.1- Método de Newton

Se a matriz é não singular, então possui inversa e segue

Para a aproximação zero podemos escolher como um valor estimado grotescamente para a raiz procurada.

Este é o Método de Newton e note que devemos calcular a matriz inversa em cada passo: . Se a matriz inversa é continua na vizinhança da solução

procurada e a aproximação inicial é suficientemente perto de , então podemos fazer a seguinte aproximação para obter o Método de Newton Modificado:

k W(x ) [ ] logo com 0,1,2,... k k k k k k k k k k k k k k − − + − + ∆ = ⇒ ∆ = − = + ∆ = − = W(x ) f(x ) W(x ) x 0 x W(x ) f(x ) x x x x W(x ) f(x ) 1 1 1 1 x0 k+ = k − k − k x 1 x W(x ) f(x )1 k − ≈ − W(x ) 1 W(x )0 1 − W(x) 1 x0 * x * x k+ = k − − k x 1 x W(x ) f(x )0 1

2.1.1- Existência de Raiz do Sistema e Convergência do Método de Newton

Teorema 1: Seja um sistema não linear de equações com

coeficientes reais, onde as funções são definidas e continuas junto com suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem num domínio . Ou seja, .

Suponha e o fecho de sua vizinhança serem pontos de , onde é a m-norma e as seguintes condições serem válidas:

1) A matriz Jacobiana em tem inversa e

x0 são os cofatores do elemento , com max , det( ) n ij ij m m _i Wij j A W W − = ≤ =

∑

{

}

2.1.1- Existência de Raiz do Sistema e Convergência do Método de Newton

2) 3)

4) as constantes e satisfazem a desigualdade Então o Método de Newton

converge para esta escolha de aproximação inicial e

* *

lim é a solução do sistema tal que . p p m B →∞ = = − ≤ ≤ ∆ x x f(x) 0 x x0 2 ₀ x 0 x , A B_{0 0} ( ) com ( , , , ) e , n i k _{j k} f C i j n V x x = ∂ _{≤ = ∈} ∂ ∂

∑

Note que, sempre que sejam verificadas todas as hipóteses do teorema o método de Newton converge para uma solução que é raiz do sistema na vizinhança de .x0

* x

2.1.1- Existência de Raiz do Sistema e Convergência do Método de Newton

Note que, se e o sistema tem em uma solução segue que e as condições do teorema são válidas para qualquer ponto suficientemente perto de .

Por outro lado, para que a condição 2) seja válida é importante observar que fornece uma estimativa da diferença entre as aproximações primeira e inicial. Desta forma podemos verificar rapidamente se esta desigualdade é verificada assim que a

primeira aproximação seja calculada:

Também, podem ser obtidos resultados de convergência análogos aos anteriores para o caso em que a norma

considerada é = f(x) 0 * x B₀ ( ) C ∈ Ω f(x) 2 Ω * * e = ≠ f(x ) 0 W(x ) 0 * x x0 ) . m m B − _{= − ≤ ≤} ∆x W(x ) f(x )0 1 0 x1 x0 ₀ 2 2 ou . l k

2.1.1- Existência de Raiz do Sistema e Convergência do Método de Newton

Definição de Taxa de Convergência para os Métodos iterativos:

Dizemos que um método iterativo converge para a solução com taxa de convergência de ordem se a seguinte

desigualdade se verifica

onde não depende de .

* x Q específica k específica k

c

x

x

x

x

−

≤

−

k

k

>

∀

x

c

2.1.2- Unicidade da Solução do Método de Newton e Taxa de Convergência e Estabilidade.

Teorema 2: Se as condições 1) a 4) do Teorema 1 são

verificadas, então existirá no domínio uma única solução do sistema .

Teorema 3: Se as condições 1) a 4) do Teorema 1 são

verificadas, então a seguinte desigualdade se verifica para as aproximações sucessivas

onde é a solução do sistema e Falta algum resultado que garanta a estabilidade da

convergência do Método de Newton quando varia a escolha da aproximação inicial! = f(x) 0 * x f(x )* = 0 p x m B − ≤ ≤ ∆ x x0 2 ₀ x * ( ) ( ) p p p m µ B − −   − ≤     x x 1 2 1 0 0 1 2 . nA B C µ0 = 2 0 0 ≤1

2.1.2- Unicidade da Solução do Método de Newton e Taxa de Convergência e Estabilidade.

Teorema 4: Se as condições 1) a 4) do Teorema 1 são

verificadas e onde , então o Método de Newton converge para sua única solução do sistema no domínio para qualquer escolha da

aproximação inicial que pertença ao domínio

Note que se então para a aproximação inicial sempre há uma vizinhança e qualquer ponto desta vizinhança pode ser escolhido como aproximação inicial para que o Método de Newton seja convergente para a solução procurada .

= f(x) 0 * x x0 m B − ≤ ≤ ∆ x x0 2 ₀ x nA B C µ0 = 2 0 0 < 1 B C µ 0 ≤ ∆x 0 2 % . m B µ µ − − ≤ x0 x0 0 ₀ 0 1 2 e B₀ < ∆x µ₀ < 2 1 _x0 * x % % * 0 0 0 0 0 * 0 _{0 *} 0 0 0

Suponha 2 2 com 1 fixe max( ,1/ ) logo pelo

teorema 1 e 4 o Método de Newton para qualquer aproximação inicial 1

que verifique a condição será convergente para .

2 m B qB q q B µ µ µ µ < = ∆ > = − − ≤ x x x x x

2.1.3- Exemplo 2 pag. 462 do Demidovich

Use o Método de Newton para encontrar a solução aproximada positiva do sistema de equações:

começando com a aproximação inicial

Solução: Nosso sistema é ( , , )

( , , ) ( , , ) f x y z x y z f x y z x y z f x y z x y z  _{= + + − =}  = + − =   = − + =  2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 0 2 4 0 3 4 0 x y z x y z x y z  _{+ + =}  + − =   − + =  2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 0 3 4 0 . . x₀ = y₀ = z₀ = 0 5 M é t o d o d e N e w t o n k k k k f f f x y z f f f x y z f f f x y z + _{= −} −  _{∂ ∂ ∂}    ∂ ∂ ∂    _{∂ ∂ ∂}  =   ∂ ∂ ∂    _{∂ ∂ ∂}    ∂ ∂ ∂   x x W ( x ) f ( x ) W ( x ) 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Para executar cada

aproximação devemos calcular em cada passo

, e

k k k −

2.1.3- Exemplo 2 pag. 462 do Demidovich

Solução: Nosso sistema é ( , , )

( , , ) ( , , ) f x y z x y z f x y z x y z f x y z x y z  _{= + + − =}  = + − =   = − + =  2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 0 2 4 0 3 4 0 . . x₀ = y₀ = z₀ = 0 5 0 0 0 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 ( , , ) (0.5) (0.5) ( 0.25 ( ) 1.2 0.5) 1 0.25 ( , , ) 2(0.5) (0.5) 4(0.5) 1.25 ( , , ) 3 5 1.00 _{(0.5) 4(0.5) (0.5) 1.00} f x y z f x y z f x y z −     = −_{ }  _{= + + − = −}  =  = + − = −  = − + = −  ₋    f x 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0.875 0.500 0.375 2 2 2 4 2 4 logo e det( ) 40 6 4 2 e 2 1 4 3 4 1 15 5 5 1 14 2 6 40 11 7 1 x y z x y x z − −     = − = _{ }      = _ − _  ₋    − − −     = − _− − _       = _ − _ = −    − −    −    W (x ) W (x ) x x W (x ) f(x W (x) W ( ) x )

2.1.3- Exemplo 2 pag. 462 do Demidovich

Para a iteração 2 devemos calcular

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 3 1 ( , , ) (0.875) (0.500) (0.375) 1 0.15625 ( , , ) 2(0.875) (0.500) 4(0.375) 0.281 0.15625 ( ) 0.28125 0.4 25 ( , , ) 3(0.875) 4(0.500) (0 3750 _{.375) 0.43750} f x y z f x y z f x y z     = _  _{= + + − =}  =  = + − =  = − + =      f x 2 1 1 1 1 1 1 1 1.750 1 0.750 3.500 1 4 5.250 4 0.750 15.25 3.75 4.75 1 23.625 2.6250 9.62 2 2 2 4 2 4 logo e det( ) 64.75 6 4 2 e 5 64.75 19.25 12.25 1.75 x y z x y x z − −     = − = −     = _ − _  ₋    − − −     = − _− − _  _{− −}     ₋    =  −  W(x) W(x ) W W(x ) x x W(x ( ) x ) f( 1 0.78981 0.49662 0.36993     = _{ }     x ) e assim sucessivamente, . . 0.007279

note que a medida que

. . 0.014511 aumenta o número de . . 0.021767 iterações k          _{     } = = =  _{     }  _{    }        _→  x f(x ) f(x ) f(x ) 0 3 3 2 0 78521 0 00001 0 49662 0 00004 0 36992 0 00005 

2.1.3- Exemplo 2 pag. 462 do Demidovich

Frase do Dia

“True Laws of Nature cannot be linear.”