Lista
de
Exercícios
de
Cálculo
I
Professor
Rodrigo
Turma
T03
Difenciabilidade,
Taxa
de
Variação,
Derivada
Implícita
e
Taxas
Relacionadas
‐
6ª
Lista
1) Para os itens a seguir, encontre todos os pontos em que a função é diferenciável e todos os pontos em que a mesma é contínua.
a) f(x) = |x+3|
b) f(x) = |x2 −9|
c) f(x) = 1 x
1
+
d) f(x) = (x−3)23
e) f(x) = x−1
f) f(x) =
1 x
x 16
2 2
− −
2) Falso ou verdadeiro:
a) Se uma função é contínua em um ponto, então ela é diferenciável nele.
b) Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nele.
c) Se uma função não é contínua em um ponto, então ela não é diferenciável nele.
d) Se uma função não é diferenciável em um ponto, então ela não é contínua nele.
3) A população de uma cidade, em
t
anos após o ano 1980, é dada por P(t
) = 20 +3 2
t 12 , 0 t t
2 − − (medida em milhares).
a) A população cresceu na década de 80? Explique sua resposta.
b) A derivada P'(t) confirma a resposta dada em (a)? Explique por quê.
c) Em que ano se deu a menor taxa de crescimento da população durante a década de 80?
d) Que anos de P'(t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantânea de variação de P é igual à sua taxa média de variação durante a década de 80?
4) Dada a função posição s(t)=−4,9t2 +v0t+s0, e que a função da velocidade em queda livre é s`, resolva os itens a seguir:
a) Um projétil é lançado para cima a partir da superfície da Terra, a uma velocidade inicial de 120 m/s. Qual sua velocidade após 5 segundos? E após 10 segundos?
c) Uma bola é lançada do topo de um edifício de 70m de altura a uma velocidade de -7 m/s. Qual sua velocidade após 3 segundos? Qual sua velocidade após ter caído 33m?
d) Para estimar a altura de um edifício, solta-se uma pedra de seu topo. Qual a altura do prédio se a pedra atinge o solo 6,8 segundos após se solta?
5) A Lei de Gravitação de Newton diz que a força gravitacional entre duas partículas (pontuais) de massas m1 e m2 é dada por:
2 2 1 r
m m K F=
onde r > 0 é a distância entre as partículas. Encontre a taxa de variação da força em relação ao raio e explique porque ela é negativa.
6) A Lei de Boyle diz que se a temperatura de um gás permanece constante, sua pressão é inversa-mente proporcional ao seu volume. Mostre que a taxa de variação da pressão é inversainversa-mente pro-porcional ao quadrado do volume.
7) Seja u(x) uma função diferenciável de x. Use o fato que |u| = u2 para provar que:
| u |
u ` u ] | u | [ dx
d = ⋅
8) Nos itens abaixo, encontre dy/dx derivando implicitamente:
a) x2 +y2 =16
b) xy = 4
c) x + y =9
d) x3 −xy+x2y2 +y3 =4
e) (x+y)3 =x3 +y3
f) 3 2 3 2
y x xy = +
9) Nos itens abaixo, encontre d2y/dx2 derivando implicitamente:
a) x2 +xy=5
b) y2 =x3
c) x2y2 −2x=3
10) Encontre os pontos para os quais as equações abaixo possuem tangentes horizontais e verticais:
a) 4x2 +y2 −8x+4y+4=0
11) O raio de um círculo está aumentando a uma taxa de 2 cm/min. Encontre a taxa de variação da área quando o raio é 6 cm e quando o raio é 24 cm.
12) Seja A a área de um círculo de raio r que está variando em relação ao tempo. Se dr/dt é constan-te então dA/dt também é? Explique sua resposta.
13) Todas as arestas de um cubo estão se expandindo a 3 cm por segundo. Quão depressa o volume está variando quando cada aresta possui 1m e 10m?
14) Nas mesmas condições do exercício acima, quão depressa que a área da superfície esta variando quando cada aresta possui 1m e 10m?
15) Um ponto está se movendo ao longo do gráfico de y = x2 de modo que dx/dt é 2 cm por minuto. Determine dy/dt quando x = 0 e x = 3.
16) Um coxo de comida para bovinos possui o formato de um triângulo isósceles de ponta cabeça. Ele possui 4 m de comprimento, 1 m de largura no topo e 1 m de altura do topo a parte mais funda. Se a ração está sendo bombeada a 0,06 m3 por minuto, a que taxa está subindo o nível de comida no coxo no instante em que ele está com 0,3 m preenchido?
17) Uma escada de 25 pés de comprimento está encostada em uma casa. A escada começa a escor-regar e a base a se afastar da parede a uma taxa de 2 pés por segundo. Quão depressa está descendo o topo da escada em direção ao solo quando a base está a 7 pés da parede?
18) Quando uma gota esférica de chuva cai, ela atinge uma camada de ar seco e começa a evaporar a uma taxa proporcional à sua área superficial ( 2
r 4
S= π ). Mostre que o raio diminui a uma taxa constante.
