Álgebra Linear 2
1
Fórmulas e Resumo Teórico
Para fins gerais, considere 𝑉 um espaço vetorial e uma transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑉 e 𝐼 corresponde ao operador identidade.
Produto Interno
É uma operação definida entre vetores e que retorna um número. Qualquer operação pode ser um produto interno, desde que atenda à essas propriedades:
- < 𝜆𝑢, 𝑣 > = 𝜆 < 𝑣, 𝑢 >
- < 𝑢, 𝑣 + 𝑤 > = < 𝑢, 𝑣 > + < 𝑢, 𝑤 > - < 𝑢, 𝑣 > = < 𝑣, 𝑢 >
- < 𝑢, 01 > = 0
- < 𝑢, 𝑢 > ≥ 0 𝑒 < 𝑢, 𝑢 > = 0 ⇔ 𝑢 = 01
Exemplos de Produto Interno
ℝ6: < 𝑥 8, 𝑥9, … , 𝑥6 , 𝑦8, 𝑦9, … , 𝑦6 > = 𝑥8𝑦8 + 𝑥9𝑦9 + ⋯ + 𝑥6𝑦6 𝕄9: < 𝑎88 𝑎89 𝑎98 𝑎99 , 𝑏𝑏8898 𝑏𝑏8999 > = 𝑎88𝑏88 + 𝑎89𝑏89 + 𝑎98𝑏98 + 𝑎99𝑏99 ℙ6: < 𝑝, 𝑞 > = 𝑝 𝑥 8 𝑞 𝑥8 + 𝑝 𝑥9 𝑞 𝑥9 + ⋯ + 𝑝 𝑥6C8 𝑞 𝑥6C8
Obs: 𝑥8, 𝑥9, … , 𝑥6C8 ∈ ℝ e são números quaisquer nos quais calculamos o
polinômios e então fazemos a soma de produtos acima. Como os polinômios 𝑝, 𝑞 ∈ ℙ6, eles têm grau menor ou igual a 𝑛, ou seja, podem ter 𝑛 raízes reais. Para
garantir que o produto interno acima não dê zero, basta pegar, no mínimo, 𝑛 + 1 pontos.
ℙ6: < 𝑝, 𝑞 > = K𝑝 𝑡 𝑞(𝑡)𝑑𝑡 L
2
Autovalores e Autovetores
Dizemos que 𝜆 é um autovalor de 𝑇, se e somente se: 𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣, para algum 𝑣 ∈ 𝑉. Nesse caso, dizemos que 𝑣 é autovetor de 𝑇. Mas repare, que se ASSUMIRMOS que 𝑣 é um autovetor de 𝑇, qualquer múltiplo de 𝑣 também será. Veja o que ocorre para 𝜇𝑣, com 𝜇 ∈ ℝ:
𝑇 𝜇𝑣 = 𝜇 𝑇 𝑣 = 𝜇 𝜆𝑣 = 𝜆 𝜇𝑣
Ainda, se ASSUMIRMOS que existem dois vetores distintos, 𝑣 e 𝑤, que são autovetores associados ao autovalor 𝜆, ou seja, 𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣 e 𝑇 𝑤 = 𝜆𝑤, o vetor que é fruto da soma de 𝑣 com 𝑤 também será autovetor. Veja que:
𝑇 𝑣 + 𝑤 = 𝑇 𝑣 + 𝑇 𝑤 = 𝜆𝑣 + 𝜆𝑤 = 𝜆(𝑣 + 𝑤)
Então, se você tem um grupo de autovetores, qualquer combinação linear entre eles também será um autovetor, então, podemos definir o chamado autoespaço. Autoespaço
Define-se o autoespaço associado ao autovalor 𝜆 pelo conjunto de vetores que, como vimos acima, são autovetores associados ao autovalor 𝜆:
𝑉(𝜆) = 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑣 ∈ 𝑉: 𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣 Mas, repara que podemos mostrar o seguinte:
𝑇 𝑣 = 𝜆𝑣 ⇔ 𝑇 𝑣 = 𝜆𝐼 𝑣
⇔ 𝑇 𝑣 − 𝜆𝐼 𝑣 = 01 ⇔ 𝑇 − 𝜆𝐼 𝑣 = 01
Então, pode-se escrever que:
3
Polinômio Característico
Ele é um meio de encontrar todos os autovalores de uma transformação. Sua definição é feita a partir da matriz da transformação, do seguinte modo:
𝑝Y 𝑡 = det ( 𝑇 − 𝑡𝐼)
As raízes desse polinômio correspondem à todos os autovalores.
Encontrando os Autoespaços
Após encontrar os autovalores pelo polinômio característico, podemos encontrar os autovetores resolvendo um sistema linear homogêneo. Seja 𝜆 um autovalor encontrado, basta calcular 𝐾𝑒𝑟(𝑇 − 𝜆𝐼). Em resumo, você toma a matriz da transformação, subtrai 𝜆 de todos os elementos da diagonal principal da matriz da transformação e, então, calcula o núcleo da matriz resultante.
Multiplicidade Algébrica
Sabe-se que o polinômio característico é do seguinte modo: 𝑝Y 𝑡 = 𝑡 − 𝜆8 ]^ 𝑡 − 𝜆
9 ]_ … 𝑡 − 𝜆` ]a
Repare que temos 𝑚 autovalores distintos: 𝜆8, 𝜆9, … , 𝜆`. Definimos a
multiplicidade algébrica de 𝜆c como o expoente do monômio correspondente ao
autovalor 𝜆c, ou seja, a multiplicidade algébrica de 𝜆8 é 𝑟8, a de 𝜆9 é 𝑟9 e assim por
diante.
Repare agora que o grau do polinômio é a soma dos expoentes 𝑟8 + 𝑟9 + ⋯ + 𝑟d.
Mas, consideremos que esse polinômio é do operador 𝑇: 𝑉 → 𝑉 e que a dimensão de 𝑉 é 𝑛. Como o grau do polinômio característico coincide com a dimensão do espaço 𝑉, então 𝑟8 + 𝑟9 + ⋯ + 𝑟d = 𝑛.
4
Multiplicidade Geométrica
Considere o polinômio característico do texto acima. Essa multiplicidade é definida como a dimensão do autoespaço. Então, se:
dim 𝑉 𝜆8 = 𝛼8 dim 𝑉 𝜆9 = 𝛼9
⋮
dim 𝑉 𝜆6 = 𝛼6
A multiplicidade geométrica de 𝜆8 é 𝛼8, a de 𝜆9 é 𝛼9 e assim por diante.
Operadores Diagonalizáveis
Dizemos que um operador é diagonalizável se for possível construir uma base constituída somente com seus autovetores.
Condições para Diagonalização
Lembrem-se que, quando calculamos a multiplicidade geométrica, ela pode OU NÃO ser igual à multiplicidade algébrica, mas nunca superior. Sinteticamente:
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 ≤ 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
Para podermos diagonalizar, necessitamos de uma base de autovetores, ou seja, se nosso espaço tiver dimensão 𝑛, precisaremos de 𝑛 autovetores LI. Mas, reparem, da discussão que fizemos nos itens anteriores, sobre multiplicidades temos o seguinte:
𝛼c ≤ 𝑟c, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑟8 + 𝑟9 + ⋯ + 𝑟d = 𝑛
Mas conseguirmos a diagonalização, então, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser igual a 𝑛, pois isso equivale a dizer que teremos 𝑛 autovetores LI. Pelo que vimos acima, como 𝛼c ≤ 𝑟c e 𝑟8 + 𝑟9 + ⋯ + 𝑟d = 𝑛, temos
5
que isso só será possível se 𝛼c = 𝑟c, ou seja, a multiplicidade algébrica for IGUAL
a geométrica.
Em resumo, para podermos diagonalizar, deve valer:
- Todas as raízes do polinômio característico devem ser reais
- As multiplicidades geométricas devem coincidir com as algébrica
Algoritmo de Diagonalização
Considere 𝑇: ℝ6 → ℝ6:
Retirar os autovalores da matriz de transformação
Encontrar autoespaços (e autovetores por consequência). Organize os autovetores numa base. Considere que montamos 𝐵 = {𝑣8, 𝑣9, … , 𝑣6}.
Escrever a matriz do operador com relação à base de autovetores. Essa matriz será diagonal, com os autovalores na diagonal:
𝐷 =
𝜆8 0 ⋯ 0 0 𝜆9 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆6
Escrever, então a matriz de mudança de base. Considere que você possuía a matriz do seu operador com relação a uma base 𝐵, então você tinha 𝑇 t. Devemos escrever a matriz 𝐼 u,t.
6
Então, podemos usar composição de transformações, e chegar na relação: 𝐼 t,u ∙ 𝑇 t = 𝑇 u ∙ 𝐼 t,u
Mas como 𝑇 t = 𝐷, pois essa é a matriz relativa à base de autovetores, temos
finalmente que:
𝑇 u = 𝐼 t,u ∙ 𝐷 ∙ 𝐼 t,u w8
Então, conseguimos escrever a matriz 𝑇 u usando uma matriz diagonal e outras
duas matrizes auxiliares.
Potências de Matrizes
Se tivermos a seguinte relação:
𝐴 = 𝑀 ∙ 𝐷 ∙ 𝑀w8
Vale que:
𝐴6 = 𝑀 ∙ 𝐷 ∙ 𝑀w8 6 = 𝑀 ∙ 𝐷 ∙ 𝑀w8 ∙ 𝑀 ∙ 𝐷 ∙ 𝑀w8 ∙ … ∙ 𝑀 ∙ 𝐷 ∙ 𝑀w8
Como 𝑀w8 ∙ 𝑀 = 𝐼 e a identidade multiplicada por qualquer matriz resulta na
própria matriz, teremos:
𝐴6 = 𝑀 ∙ 𝐷6 ∙ 𝑀w8
Mas se 𝐷 for diagonal, fica muito simples:
𝐷 = 𝜆8 0 ⋯ 0 0 𝜆9 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆6 ⇒ 𝐷] = 𝜆8] 0 ⋯ 0 0 𝜆]9 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆]6
7
Subespaços Ortogonais
A busca do subespaço ortogonal consiste em encontrar um conjunto de vetores que são ortogonais a outro conjunto. Por exemplo, tome o subespaço:
𝑆 = [ 1,2,0 ; 0,1,2 ; (0,2,4)] Procuramos o subespaço 𝑆~ que é definido por:
𝑆~ = {𝑣 ∈ ℝ• ∶ 𝑣 ⊥ 𝑤, ∀ 𝑤 ∈ 𝑆}
Ou seja, são todos os vetores 𝑣 que são ortogonais a TODOS os vetores 𝑤 de 𝑆. Para calcular isso, basta tomar 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), com 𝑥, 𝑦, 𝑧 arbitrários e impor que ele é ortogonal a todos os vetores que são BASE de 𝑆. Como 𝑆 é gerado por três vetores, mas sabemos claramente que um deles é LD com os demais, podemos escrever:
𝑆 = [ 1,2,0 ; 0,1,2 ]
Façamos 𝑦8 = (1,2,0) e 𝑦9 = (0,1,2), impondo ortogonalidade teremos:
< 𝑣, 𝑦8 > = 0 < 𝑣, 𝑦9 > = 0 ⇔ < (𝑥, 𝑦, 𝑧), (1,2,0) > = 0 < (𝑥, 𝑦, 𝑧), (0,1,2) > = 0 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 = 0 𝑦 + 2𝑧 = 0 Temos a solução: 𝑦 = −2𝑧 e 𝑥 = 4𝑧. Logo, temos que:
8
Exercícios
1. Autovalores de Operações entre Transformações
Questão 10, P2 – Poli-USP – 2011
Seja V um espaço vetorial e seja 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Sejam 𝑢 e 𝑣 autovetores distintos de T associados aos autovalores α e β, respectivamente. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se 𝛼 = 𝛽, então 𝑢 − 𝑣 é um autovetor de 𝑇 associado ao autovalor α. (II) Se 𝛼 ≠ 𝛽, então existe 𝛾 ∈ 𝑅 tal que 2𝑢 − 𝛾𝑣 seja um autovetor de 𝑇. (III) Se 𝛼 = 𝛽 ≠ 0, então 𝑢 − 𝑣 é um autovetor de 𝑇 associado ao autovalor 0. Assinale a alternativa correta.
A. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. B. Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
C. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. D. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. E. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
9
2. Potências de Matrizes
Questão 2, P2 – Poli-USP – 2011
Seja 𝐴 ∈ 𝑀9(𝑅) uma matriz com autovalores −1 e 3 associados aos autovetores
(1, −1) e (1, 1), respectivamente. Então 𝐴8L é igual a
A. 89 1 − 38L 1 + 38L −1 + 38L 1 − 38L B. 89 −1 + 38L 1 + 38L 1 + 38L −1 + 38L C. 89 1 − 38L 1 + 38L −1 − 38L −1 + 38L D. 89 1 + 38L −1 + 38L −1 + 38L 1 + 38L E. 89 −1 − 38L 1 − 38L −1 + 38L 1 + 38L
10
3. Diagonalização e Polinômio Característico
Questão 11, P2 – Poli-USP – 2013
Seja 𝑇 ∶ 𝑅‰ → 𝑅‰ um operador linear tal que
𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅‰| 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 0 𝑒 𝑦 − 𝑤 = 0}.
Sabendo que 𝑇 é diagonalizável, que 3 é um autovalor de 𝑇 e que 𝑑𝑖𝑚 (𝐾𝑒𝑟 𝑇 − 3𝐼 ) = 1, é correto afirmar que o polinômio característico de 𝑇 é igual a:
A. 𝑡 𝑡 − 3 9(𝑡 − 𝜆), para algum 𝜆 ∈ 𝑅 tal que 𝜆 ≠ 3 e 𝜆 ≠ 0.
B. t(t − 3)(t − λ)(t − µ), para algum 𝜆 ∈ 𝑅 e algum µ ∈ 𝑅 tais que 𝜆 ≠ 3, 𝜆 ≠ 0, µ ≠ 3 e µ ≠ 0.
C. 𝑡9 𝑡 − 3 9
D. 𝑡(𝑡9 + 1)(𝑡 − 3)
11
4. Produto Interno e suas Propriedades
Questão 13, P1 - Poli – 2013, tipo de prova 1
Dado um espaço vetorial V, sabe-se que uma função <, > : 𝑉 × 𝑉 → 𝑅
é um produto interno se, e somente se, estiverem satisfeitas: • 𝑖 < 𝑢, 𝑣 > =< 𝑣, 𝑢 >
• 𝑖𝑖 < 𝑢, 𝑣 + 𝑤 > = < 𝑢, 𝑣 > + < 𝑢, 𝑤 > • 𝑖𝑖𝑖 < 𝜆𝑢, 𝑣 > = 𝜆 < 𝑢, 𝑣 >
• 𝑖𝑣 < 𝑢, 𝑢 > ≥ 0
para todo 𝜆 ∈ 𝑅 e todos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. Se 𝑉 = 𝑅9 , a respeito da função
<, > : 𝑅9 × 𝑅9 → 𝑅, dada por < 𝛼8 , 𝛼9 , 𝛽8, 𝛽9 > = 𝑑𝑒𝑡
𝛼8 𝛼9
𝛽8 𝛽9 , para todos (𝛼8, 𝛼9), (𝛽8, 𝛽9) ∈ 𝑅9, é correto afirmar que < , >
Escolha uma alternativa
A. é um produto interno em 𝑅9
B. não satisfaz (i) nem (iv) C. não satisfaz (ii) nem (iv) D. satisfaz (i) e (ii), apenas E. satisfaz (ii) e (iv), apenas
12
5. Norma e suas Propriedades
Questão 13, P1 – 2013, tipo de prova 1
Seja V um espaço vetorial não nulo munido de um produto interno < , >. Considere as seguintes afirmações:
(I) para todos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, vale que:
𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 ⇐⇒ | < 𝑢, 𝑣 > | = 𝑢 𝑣 ; (II) para todos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, vale que:
𝑢 + 𝑣 = 𝑢 − 𝑣 ⇐⇒ < 𝑢, 𝑣 > = 0;
(III) para todos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝜆 ∈ 𝑅, se 𝑣 = 𝜆𝑢 então | < 𝑢, 𝑣 > | = 𝑢 𝑣 . Escolha uma alternativa
A. apenas a afirmação (III) é verdadeira
B. apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras C. apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras D. todas as afirmações são verdadeiras
13
6. Subespaços Ortogonais
Questão 5, P1 – Poli-USP – 2012
Considere o espaço vetorial 𝑅‰ munido do produto interno canônico. Sejam
𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 e S o subespaço de 𝑅‰ definido por:
𝑆 = [(1, 𝑎, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 𝑏, 1)]. Pode-se afirmar que 𝑑𝑖𝑚(𝑆~) = 1 se e somente se:
A. 𝑎 − 𝑏 ≠ 0 B. 𝑎 + 𝑏 = 0 C. 𝑎 + 𝑏 ≠ 0 D. 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑏 ≠ 0 E. 𝑎 − 𝑏 = 0
14
7. Subespaços Ortogonais
Questão 1, P1 – Poli-USP – 2012
Considere o espaço vetorial 𝑃9(𝑅) munido do produto interno:
< 𝑝, 𝑞 > = 𝑝(0)𝑞(0) + 𝑝(1)𝑞(1) + 𝑝(2)𝑞(2), 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃2(𝑅). Se 𝑆 = 1 − 𝑡, 1 − 𝑡9 ⊂ 𝑃 9 𝑅 e 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅, então 𝛼 − 𝛽𝑡 + 𝑡9 ∈ 𝑆~ se e somente se: A. 𝛼 = −2 𝑒 𝛽 = 2 B. 𝛼 = 0 𝑒 𝛽 = 0 C. 𝛼 = 0 𝑒 𝛽 = 2 D. 𝛼 = 2 𝑒 𝛽 = −2 E. 𝛼 = 0 𝑒 𝛽 = −2
15
8. Matrizes Semelhantes
Questão 13, P2 – Poli-USP – 2013
Considere as matrizes A, B e C abaixo:
𝐴 = −2 −31 2 −11 2 2 −2 , 𝐵 = −10 −10 00 0 0 −2 , 𝐶 = 𝑎 11 0 −1𝑐 0 𝑏 1
em que a, b, c ∈ R. Se C é invertível e satisfaz 𝐶w8𝐴𝐶 = 𝐵, então 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
é igual a: A. 2 B. 0 C. -2 D. -1 E. 1