Lista Semanal 4 - 13/04/2018 Questão 1. Considere a curva cuja equação equação vetorial é dada por:
r(t) = (2sen t)i + (2 cos t)j + e−tk. (a) Determine o domínio de r(t).
Solução:
O domínio I de uma curva é dado pela interseção dos domínios das funções coordenadas. Logo, se-jam I1, I2...Inos domínios das funções coordenadas de uma dada curva r(t), tem-se, I = I1∩I2∩...∩In
Como r(t) = (2sen t)i + (2 cos t)j + e−tk, I
1 = R, I2 = R, I3 = R, então, I = I1∩ I2∩ I3 = R
(b) Esboce o grá co da curva. Solução:
(c) Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce. Solução:
Questão 2. A trajetória de uma formiga ao longo do tempo t é descrita pela equação r(t) = (4 +sen 20t)(cos t)i + (4 + sen 20t)(sen t)j + (cos 20t)k. Existe algum valor de t em que esta trajetória é interrompida? Justi que sua resposta. Solução:
Para a trajetória ser interrompida, o vetor posição descrito pela curva não deve variar, ou seja, sua derivada tem que ser nula em algum ponto t0, para que isso ocorra. Logo, veri cando:
r0(t) = [(4+sen 20t)0(cos t)+(4+sen 20t)(cos t)0]i+[(4+sen 20t)0(sen t)+(4+sen 20t)(sen t)0]j+(cos 20t)0k. r0(t) = [20(cos 20t)(cos t)+(4+sen 20t)(−sen t)]i+[20(cos 20t)(sen t)+(4+sen 20t)(cos t)]j−20(sen 20t)k. Desse jeito, fazendo r0(t
0) = (0, 0, 0), tem-se:
[20(cos 20t0)(cos t0) + (4 +sen 20t0)(−sen t0)] = 0
[20(cos 20t0)(sen t0) + (4 +sen 20t0)(cos t0)] = 0
−20(sen 20t0) = 0 Assim, como
(sen 20t0) = 0 → 20t0 = kπ → t0 =
kπ
20, k = 0, 1, 2...
Logo, para quando t0 é da forma t0 = kπ20, t0 não é solução da equação [20(cos 20t0)(cos t0) +
(4 +sen 20t0)(−sen t0)] = 0 , pois o termo 20(cos 20t0)(cos t0) nunca será 0 para termos t0 da forma
apresentada. Assim, não existe nenhum t0 ∈ R tal que r0(t0) = (0, 0, 0). Logo, a trajetória da formiga
nunca é interrompida.
Outro modo de ver se a trajetória possui interrupções é veri car se a curva r(t) é contínua. Note que as funções coordenadas de r(t) são compostas por funções trigonométricas do tipo seno e cosseno, e de funções constantes, as quais são contínuas em R. Assim, como a soma, subtração e produto de funções contínuas resulta em uma função contínua, tem-se que r(t) é uma função contínua. Logo, por ser contínua, a trajetória descrita pela formiga não pode apresentar interruções, então, não existe nenhum valor de t ∈ R para que a trajetória descrita pela formiga seja interrompida.
Questão 3. Considere a curva r(t) e t = 1 4: r(t) = 3 2t i + (t2)j + (e−t)k. (a) Encontre r0(t). Solução:
Para derivar a curva r(t) é preciso derivar cada uma de suas funções coordenadas, desse modo: r0(t) = 3 2t 0 i + (t2)0j + (e−t)0k. = 3 2 i + (2t)j + (e−t)k. (b) Encontre o vetor posição r(t) e o vetor tangente r0(t)para o valor de t dado.
Solução:
Para encontrar os vetores r(t) e r0(t), substitui-se o valor t = 1
4, dado anteriormente, assim: r 1 4 = 3 2 1 4 i + 1 4 2 j + (e−14)k = 3 8i + 1 16j + e −14k
Além disso, substitui-se o valor t = 1
4 na derivada da curva, assim: r0 1 4 = 3 2 i + 2.1 4 j + (e−14)k = 3 2i + 1 2j + e −1 4k
(c) Determine o vetor tangente unitário para o valor de t dado. Solução:
O vetor tangente ˆv, para o ponto dado, é de nido como: ˆv = r0(t)
||r0(t)||, logo: ˆ v = r 0(t) ||r0(t)|| = 3 2i + 1 2j − e −1 4k q (32)2+ (1 2)2+ (−e −1 4)2 = 3 2 q 5 2+ e −1 2 i + 1 2 q 5 2 + e −1 2 j − e −1 4 q 5 2 + e −1 2 k
(d) Esboce o grá co da curva, exibindo o vetor tangente encontrado no item (b). Solução:
Questão 4. Seja r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k uma curva no espaço, com a ≤ t ≤ b. (a) Descreva um método para calcular o comprimento de arco de r(t) em [a, b].
Solução:
Seja r(t) = (x(t), y(t), z(t)) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b). Seja P a partição de tal intervalo, com P da forma: P = a = t0, t1...tn−1, tn= b. O comprimento dos n sub-intervalos é
∆i= ti− ti−1, i = 1, 2...n. Seja o vetor ~vi o vetor que liga o ponto (x(ti−1), y(ti−1), z(ti−1))ao ponto
(x(ti), y(ti), z(ti)), logo: vi = (x(ti) − x(ti−1), y(ti) − (ti−1), z(ti) − (ti−1)). Assim, a norma de cada
vetor vi é igual ao comprimento da curva no sub-intervalo ∆i. Desse modo, o comprimento da curva
r(t),representado por S, é aproximadamente a soma das normais dos vetores vi, com i = 1, 2..n. Logo:
S '
n
X
i=1
||vi||
Contudo, tal método da um valor aproximado para o comprimento de arco. Para o cálculo exato, faz-se a norma de vi tender a 0. Além disso, como a curva r(t) satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor
Médio, tem-se que existe um ci,di e ei que pertemcem à ∆i, tal que:
x(ti) − x(ti−1) = x0(ci)∆i; y(ti) − y(ti−1) = y0(di)∆i; z(ti) − z(ti−1) = z0(ei)∆i (1)
E como ||vi|| = p(x(ti) − x(ti−1))2+ (y(ti) − y(ti−1))2+ (z(ti) − z(ti−1))2. Substituindo o
resul-tado (1), ca: S = lim ∆i→0 n X i=1 p (x0(c i)∆i)2+ (y0(di)∆i)2+ (z0(ei)∆i)2= lim ∆i→0 n X i=1 p (x0(c i))2+ (y0(di))2+ (z0(ei))2∆i
Assim, intuitivamente, percebe-se a analogia de lim∆i→0
Pn
i=1com a integral de Riemann (embora não
seja, necessariamente) e p(x0(c
i))2+ (y0(di))2+ (z0(ei))2 com a norma da derivada de r(t). Logo, o
comprimento de curva de r(t) no intervalo [a, b] é: S =
Z b
a
||r0(t)||dt
(b) A partir do método descrito em (a), calcule o comprimento de arco da curva Solução:
r(t) = (b cos t)i + (bsen t)j + (p1 − b2)k,
com 0 ≤ t ≤ 2π.
Encontrando primeiramente a derivada da curva: r0(t) = (−b sen(t), b cos(t), 0). Logo, ||r0(t)|| =
pb2sen2(t) + b2cos2(t) = b, Assim, o comprimento de arco da curva r(t) no intervalo [0, 2π] é:
S = Z 2π 0 ||r0(t)||dt = Z 2π 0 b dt = 2π b u.c.
Questão 5. Nos itens a seguir, faça o que se pede. (a) Responda: o que é uma função de duas variáveis?
Solução:
Seja f : A ⊂ R2 → B ⊂ R; (x, y) 7→ f(x, y). Uma função de duas variáveis é um conjunto de ternas
da forma (x, y, f(x, y)), cuja associação de cada par (x, y) com um f(x, y) é feita a partir de uma lei de associação f, com a condição de que um (x, y) se associe a somente um f(x, y). Ou seja, de forma prática, o conceito é análogo ao de uma função de uma varivável. Assim, x e y atuariam como variáveis independentes e z = f(x, y) seria a variável dependende (pois depende de x e y).
Além disso, como o domínio é um subconjunto do R2 e a imagem um subconjunto do R, o grá co de
f (x, y)é formado pelo conjunto de pontos da forma (x, y, f(x, y)), logo, está no R3. (b) Descreva dois métodos para visualizar uma função de duas variáveis.
Solução:
Pode-se reconhecer uma função de duas variáveis, por uma tabela de dados. Assim, dada uma tabela de dados, a condição para que tal tabela possa representar uma função é que a associação entre os dados seja tal que cada elemento do domínio (das variáveis independentes) esteja associado a somente um elemento da imagem (da variável dependente).
Exemplo: Seja a tabela de dados abaixo, que expressa a temperatura de uma sala de aula (em um dado momento) em função da posição, de uma sala que possui dimensões de 4 metros de comprimento e 4 metros de largura e o condicionador de ar, que está em um dos cantos da sala, está no ponto (0, 0).
Posição(x,y) Temperatura (◦C) (0,0) 16 (0,2) 18 (0,4) 19 (2,0) 18 (4,0) 19 (2,2) 19 (4,4) 20
Um modo bastante comum para a visualização de uma função de duas variáveis é a partir de seu grá co, ou seja, dada uma função f(x, y), cujos valores de x e y pertencem ao conjunto D, o grá co de f(x, y) é o conjunto de pontos S = {(x, y, f(x, y)); x, y ∈ D}. O grá co da função é um modo geométrico de visualizá-la.
Fazendo f(x, y) = k, para descrever as suas curvas de nível, tem-se: p
x2+ y2 = k → x2+ y2= k2
Logo, são circunferências de centro C(0, 0) cujos raios são iguais a k. Segue a imagem das curvas de nível referentes aos níveis, 1, 2 e 3.
(c) Dê um exemplo do quotidiano em que você identi ca a presença de uma função de duas variáveis. Faça uma breve explicação informando as variáveis envolvidas e o possível comportamento da função envolvida.
Solução:
Dado que uma determinada pessoa foi ao mercado fazer compras e que o preço do kilo do arroz é R$ 3, 00 e o preço do kilo do feijão é R$ 4, 00, tem-se que o quanto de dinheiro que ela irá gastar é dado pela função gasto, que depende da quantidade comprada de arroz e de feijão ( os quais eu irei representar por x e y, respectivamente). Desse modo, a função gasto, G(x, y), é dada por: G(x, y) = 3x + 4y. Logo, a quantidade comprada de arroz (x) e a comprada de feijão (y), são as variáveis independentes (desconsiderando as mudanças de preços ocasionadas por fatores externos) e a variável z = G(x, y) é a variável dependente. Note que G(x, y) é uma função crescente, ou seja, conforme compra-se uma maior quantidade de arroz e/ou feijão, o gasto aumenta, e caso se compre uma quantidade menor de arroz e/ou feijão, o gasto diminui.
