PARA QUE A MATEMÁTICA HOJE?

PARA QU

E

A

M

A

TEMÁTICA HOJ

E

?

Daniel de Freitas Barbosa

*

Esta é aquestão que mais me incomoda nos últimos anos. Eesse incômodo está diretamente vinculado ao fato de que está setomando cada vez mais difícil -senão inviãvel -pensar o que ensinar de Matemática hoje e, aseguir, como ensinar Matemática hoje, sem antes ter pelo menos vislumbrado para que aMatemática hoje.

Mediante osupra colocado, é possível ao leitor imaginar oestado de angús -tia eansiedade noqual vive um professor que trabalha num Curso deLicenciatura em Matemática -onde se pretende formar professores de Matemática para o 1°e2° graus - e que, ultimamente, está trabalhando exatamente com Prática de Ensino de Matemática. No caso, sou um desses professores.

A uma primeira vista, parece-me claro que ocampo de aplicação da Mate -mática seamplia constantemente e que esta ampliação nãoé possível por um limi-te. O crescimento das aplicações é uma das evidências da existência edo fortaleci-mento das relações da matemática com outras ciências, o que levou alguns cientis-tas a chamarem aMatemática de "rainha e escrava de todas as ciências".

Assim parecendo ser, ao invés de redigir este texto embasado unicamente em estudos bibliográficos, achei oportuno e esclarecedor antes ouvir pessoas com formação acadêmica diversa da minha a resposta

à

questão em pauta, para aseguir tentar algumas colocações pessoais, ou seja, colocar os meus questionamentos a respeito do tema, objetivando suscitar debates entre os colegas - principalmente os atuantes em Matemática para o 1°

lou

2° graus.

Para tanto, escolhi - sem amenor pretensão de inferências generalizadas -10 (dez) pessoas cujas formações acadêmicas são as seguintes: Engenharia Civil (A), Zootecnia (B), História (C), Pedagogia (D eE), Jornalismo (F), Direito (G), Educação Física (H), Psicologia (I) e Estatística (J). Cabe esclarecer que com for -mação acadêmica em Pedagogia foram entrevistadas duas pessoas, sendo que uma delas trabalha com Orientação Educacional e a outra, no momento, exerce apenas atividades de dona-de-casa.

As entrevistas foram realizadas em julho de 1988 ea nenhum dos entrevis-tados a questão foi colocada com qualquer antecedência. Todos deram suas

res-• Departamento deMatemática da UEM - MaringáPR

postas de imediato, as quais foram gravadas e por mim transcritas.

As respostas dos entrevistados à pergunta" Para que aMatemática Hoje ?" Foram as seguintes:

A) A Matemática eu considero que do jeito que nós caminhamos hoje, é a base de tudo. Técnicas, estruturas, a parte da Engenharia, Computação, abase de tudo é a Matemática na vida de hoje. Eu considero. Apesar do meu ramo não ser cálculo estrutural, mesmo assim eu uso Matemática. Orçamentos, controle deobras, estoque, controle financeiro, tudo uso Matemática.

B) Na minha área, especificamente, como a gente lida com fase experime n-tal, depende da Matemática também. Não só da Estatística. No caso de fazer aval i-ação e testar resultados deprojetos, entra a Matemática fundamentalmente. E não só aí mas numa série de outras atividades relacionadas ao Curso você precisa. Mesmo que seja, por exemplo, um cálculo simples: prá fazer ocálculo do interv a-lode parto de um animal, esquemas de ganho de peso; são coisas que necessitam o uso de fórmulas matemáticas, embora sejam simples. Tanto é que o nosso Curso de Zootecnia tem Matemática no currículo básico. Além disso, aparte decálculos prá construções simples de instalações

prá

animais, por exemplo.

Agora, em termos mais gerais me fica mais difícil responder. Mas eu acho que a Matemática

é

tão importante como o estudo da Língua Portuguesa, nonosso caso. Talvez ele seja mais importante porque a Matemática é uma cultura un iver-sal, ela embasa tudo. Em qualquer lugar, 2

+

2=4.

C) Ah! Mas a Matemática é importante. O que é que você pode fazer sem Matemática ? Eu acho que nada, não é ? A numeração está aí, todo mundo usa, todo mundo usa a Matemática em tudo. A matemática não é usada em tudo? Eu acho que é. Eu não sou da área da Matemática, sou da área deHistória mas dentro da História nós usamos a Estatística. A Matemática eu acho que entra em todos os campos. A Estatística é Matemática, não é? Eu acho, não deixa de ser um ramo da Matemática. Eu acho que aMatemática entra em todos os campos do conhecim en-to humano.

É

importantíssima, Não se pode fazer nada sem aMatemática. Princ i-palmente no mundo de hoje.

D) Na minha vida diária, sendo apenas dona-de-casa, eu não preciso da Matemática. Agora, pensando como pedagoga, eu acho que aMatemática desen -volve o raciocínio; a pessoa fica com o raciocínio mais rápido. Enão só prá racio -cinar na Matemática mas também em outras coisas. A Matemática sempre foi uma das matérias que mais gostei. Eu gosto da Matemática.'

E) Nos últimos 10 anos trabalho com

Orientação

Educacional

.

Eu acho que

a

Matemática é uma matéria fundamental

.

Porque, principalmente depois da

Mate-mática

Moderna,

eu acho que de um modo geral, globaliz

o

u

tudo. Sem

a

Matemá-tica eu

acho que seria impossível porque com

a

Matemática

Moderna o aluno

aprende brincando; com uma historinha

al

i

globalizando a aula, por meio de uma

brincadeira você desperta o interesse na

criança

e

ela aprende. Depende também

do professor.

Porque não é só chegar e falar

que

2

+

2

=

4

.

A matemática mudou

bastante. Então eu acho fundamental, eu acho que seri

a i

mpossível ensinar uma

outra

matéria sem a Matemática. Eu tive alguma

dificuldade em Matemática mas

acho

que foi mais por falta dos meus primeiros

professore

s

.

Em termos

de utilidade, de um

modo

geral,

pro s

er

humano, eu acho que

seja impossível

fazer qualquer coisa que não

entrasse a

Ma

temática.

F)

Depende de como resolver.

Se

f

or

prá

Curso

Su

perior,

não. Mas para

nível

secundário eu acho que é altamente importante

pa

r

a

poder desenvolver o

raciocínio.

Pra

humanidade de modo

geral, hoje, a

gente not

a no

s

ramos

técnicos que

a

Matemática é altamente importante nos

ce

ntros de pes

quis

a e

nas

fábricas.

Mas

para

as empresas, digamos do

meu ram

o,

ela não tem

gra

nde influência. É mais

conhecimento de

teoria. Agora, para as

i

ndústrias ela t

em

grande influência para

cálculos.

Nesta parte a Matemática é

fun

da

mental

,

porq

ue é

através da Matemática

aliada aos princípios

de Física, de Eletri

cid

ade e outros

mai

s, que se utiliza a

Ma-temática

para poder chegar ao avanço da

t

ecnologia.

Eu acho que nessa

parte de avanço

te

cnológic

o

a

Mat

emática é fundamental

mas na parte humana, a gente nota que

os

gran

d

es m

atem

áticos são poucos

e se

distanciam muito em relação à pessoa

hu

mana. Fica

m cri

aturas um pouco mais

embrutecidas e não dão tanto valor na pa

rte

humana. E

les ac

ham que só eles terem

uma grande capacidade de raciocínio ma

te

mátic

o é

mai

s im

portante do que

outras

coisas ligadas às próprias

criaturas.

A Matemática hoje,

com o avanço

do

s computad

ores

, com programas

espe-cífico

s

de cálculos, os matemáticos

em si

ho

je perderam

tam

bém uma grande força

com a procura. Porque

hoje

os comput

ado

res, por exe

mpl

o, na construção

civil,

tirou

praticamente a mão-de-obra

de ele

m

entos de mat

emá

tica que faziam

cálcu-los. Hoje se faz tudo através de compu

tad

ores. Eu es

tava

conversando com

um

engenheiro construtor

e

ele

disse de tu

do

que é de cá

lculo

s dos edifícios

daqui,

eles

mandam

prá

São

Paulo e com 3

(

t

r

ês) dias volt

a tu

do calculado,

tudo já

esquematizado, pronto,

sem perda de tem

p

o. Antigame

nte

em edifício de 20 (vin

-te) andares, para

se calcular levava-se m

e

ses. Hoje co

m 3

(três) dias vai

e

volta

tudo pronto. Modificou muito. O avanço tecnológico ti

r

ou co

m

os compu

t

adores,

essa suprema

ci

a que existia com matemáticos pa

r

a cá

l

culos.

G) Eu não posso fal

a

r que Matemática sig

n

if

i

ca alguma coisa prã

m

im

por-que eu nunca fui expressiva em Matemática. Mas eu a uso prá calcula

r

minha vida

econômica, mi

n

ha dotação orçamentária. Na minha vida profissional

s

ão os cá

l

cu-l

o

s trabalhistas. Na vida doméstica, na orientação dos me

u

s filhos. A

m

pliando um

pouquinho mais o horizonte, vo

c

ê coloca um número. Os números

sã

o infinitos

,

não é ? Dentro da ciência, da tecnologia dentro da informãtica em tu

d

o e

n

tra

Ma-temática. Até prá explicar certos

f

enômenos dentro das ciências ocu

l

t

a

s, tais com

o

a cabala, a numerologias explic

a

ndo o sentido da tua vida num pl

a

no além do

consciente ativo.

Quando você falou Matem

á

tica

,

eu fui colhida de surpresa, p

or

que eu olho

a Matemática com trauma. Na ve

r

dade, quando você fez a pergunta eu

f

ique

i

assim

meio bloqueada

,

porque a Mate

má

tica sempre significou um bloque

io

. Eu nunc

a

tive opor

t

unidade de lidar com números com desenvoltura

.

Númer

os,

par

a

mim,

sempre foram letras

g

r

e

gas

.

Entã

o

eu fico bloqueada quando se fala

em

Matem

ã

ti

-ca. Se eu pego o cad

e

rno de Mat

e

mática de meus filhos, um de 1

Q

a

no

de 1

Q

grau

,

eu sinto dificuldade

e

m ensin

a

r.

E

u tenho que me preparar antes, psi

co

logicamen

-te

,

prá depois tentar

exp

licar

a

lg

u

ma cois

a

prá eles.

Eu sei que a

Mat

emática

e

stá interligada em tudo. Mas eu

, até

prá faze

r

cálculo trabalh

i

sta, d

e

uma ação

tr

abalh

i

sta, eu tenho que recorrer

a

uma pesso

a

mais entendida n

o

a

ss

unto porq

ue

eu não consigo calcular. Você v

ê e

u tenho u

m

diploma

d

e nível superior e sou l

i

mitada na Matemática

.

Isso, por q

ue

? Def

i

ciên-cia de um

a

formação escolar.

É

a i

sso qu

e

eu atribuo. Não

é

deficiê

nci

a minha

.

E

esse meu bloqueio

é

devido a pe

s

soas despreparadas que vão prá

fre

nte de uma

turma de alunos e não tem, por

e

xemplo

,

psicologia prá lidar com

o

aluno

.

Não

têm uma forma pedagógica de ap

l

icar a matéria. Talvez saiba para si mesmos mas

não saibam transmitir. Ou talvez nem saibam e p

e

gam a incumbênci

a

só pelo

di-nh

e

iro

. E

u s

ou

fru

st

rada p

o

r

n

ão sa

b

er Mate

mátic

a.

E

u sei as q

u

atr

o

op

e

rações,

j

ur

os

e

olhe

l

á ! N

u

m esfo

r

ço

so

bre

hum

a

n

o.

Que h

orr

o

r,

n

ã

o

?

H) P

a

ra que a

M

atemática

n

a vida de um indivíduo

?

Eu

a

ch

o que

a Esco

la

deveria d

ire

cionar m

a

is

,

relacion

ar

mais

a

Matemática com

a

vida, c

om a

s ne

ce

s

si

-dades do

in

divíduo, como utiliz

ar

as contas que ele aprende dentro

do

coti

di

a

no

dele. Prá

q

ue serve aquilo que el

e

está aprendendo? Porque as pess

oas

ach

am

t

ão

difícil a matemática, tão complic

a

do? Porque não tem um tanto dir

eci

onament

o,

talvez, pr

á

vida delas. A partir do momento que for sentindo que aq

uil

o

é

impo

r

-tante, que vai beneficiar

,

vai faci

lit

ar

,

as pessoas gostariam mais. Eu

ne

m m

e l

e

m

-bro mais mas tinha tanta c

o

isa, ta

n

to esquema, regras e teorias e eu n

ão

consegu

ia

visu

a

liza

r

prá q

ue

f

i

m era aquilo

.

Embor

a

n

ã

o se

n

t

i

s

s

e di

fic

u

lda

de

,

t

ambém n

ão

ach

av

a nem rui

m

mas não tinha uma visão mais am

pl

a.

A

gor

a

,

a u

tilid

ade da M

a-tem

át

ica é em

t

u

do

.

Ela desen

v

o

l

ve o ra

c

iocín

i

o

. A

lé

m

de

s

er u

sad

a na v

id

a

o

próp

ri

o exercíc

i

o

e

u acho que

d

e

s

en

v

o

l

v

e o racio

cíni

o.

E

u

a

ch

o que

só por

e

s

te

f

a

to

é

bom. Ag

o

r

a, se

fosse d

ad

o

ma

is um

d

i

r

e

c

i

on

am

e

nto

,

porqu

e

o

a

luno tal

vez

não

c

apta isso s

e

ria

melho

r

aind

a

. Ma

s

el

a

é impo

r

tant

e

p

r

á

m

i

m

.

I

) A Mat

e

mática, dentro d

o

trabalho do p

s

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c

ólo

g

o,

é u

t

il

iz

a

da n

o mome

nt

o

em

q

ue se faz

um l

evantamento estatísti

c

o

, a

lgu

m

a c

oi

sa

a

ss

i

m

. For

a isso, n

ã

o.

A

g

o

r

a,

na vid

a

di

ária

, tem merca

d

o

,

tem com

p

r

a

,

te

m

c

asa

e n

i

s

so

se

u

sa Mate

má

-t

ic

a. E

m

t

erm

os

g

e

r

ai

s pro se

r

hum

a

no

,

a M

a

tem

áti

ca é

út

i

l

em

t

u

do. U

ma mú

sic

a

é M

at

emáti

ca.

J)

Par

a

q

ue a

M

a

t

em

á

ti

ca? Pa

ra qu

e ser

v

e?

Be

m,

c

omo

c

i

ên

c

ia,

prá de

sen

-v

ol

ver

te

c

nolog

ia

. M

atemática

, co

m

o

ens

in

o

, e

u

n

ão c

o

nsi

go ente

nder.

Matem

á

t

i-c

a prá

m

i

m, é u

m

a c

iência prá desenvo

l

ve

r tec

n

olo

gia,

É

p

r

á

i

s

so

que

ela serve

n

a

min

ha vi

da hoj

e

.

A utilidade da Matemát

i

c

a

,

m

e

s

mo

no

ger

a

l, e

u

v

ej

o só ass

i

m

:

com

o

um dese

nv

o

l

vimento de tecnologia

.

Ela

é a

fe

rr

am

en

t

a q

ue v

ocê tem

p

rá

desenvol ver as

c

o

isas que a sociedade está pedindo

. P

o

r ex

e

mp

lo

,

a

Ec

onomia

te

m

que

a

ndar mais

r

á

pido

?

A Matemática serve exata

m

e

n

te

aí.

P

r

a

m

im

ela continua

ser

vi

ndo

.

Inicialm

en

te

,

as falas dos entrevistados e

vi

de

n

c

i

ara

m a M

ate

m

ática co

m

o

pos

s

uidora

,

ess

en

c

i

almente, de tr

ê

s tipos de

v

alore

s: f

o

rm

ativo

,

in

for

m

ativo e

ut

i

-litár

i

o (Araújo

,

1

983)

.

Formati

v

o

,

p

orque é através dela que o i

n

div

í

duo

a

d

qui

r

e

a

maneir

a

de

pensar, de utiliz

a

r o seu pensamento de maneira c

oe

r

e

nte.

"(

...

) pen

s

a

ndo como pedagoga, e

u

acho qu

e a

Mat

em

á

t

i

c

a des

envolve

(

D)

o ra

ci

ocínio (...

)

não só (...) na Matemática mas t

a

mb

é

m e

m

o

utr

as co

isa

s

.

"

"(

.

..) Ela

(

a

Matemática) desenvol

v

e o ra

c

i

o

c

í

n

io

(

.

.

.

),

o p

róp

r

io

(H) exe

rc

í-cio

eu

acho que

d

esenvolve o raciocínio

.

"

"(

.

..)

'p

ar

a

n

í

vel secundári

o

eu acho que é

alt

a

me

nte imp

orta

n

te (F

) p

a

ra

pod

e

r desenvol

v

er o raciocínio."

Informa

ti

v

o, porque o individuo toma conh

e

ci

ment

o

d

e

t

o

d

o o

seu cont

e

x-to fi

l

osófico e

h

i

stórico, sendo que através da ling

u

a

g

em e

da co

muni

cação m

at

e-mát

i

ca, tem-se

u

ma eficaz forma para situar a linh

a d

e tempo

d

e

uma

civilizaç

ã

o

.

"(...) pri

n

cipalmente depois da Matemátic

a

M

oder

n

a

,

e

u

acho

que de

(

E)

um modo geral

,

globalizou tudo (E) seria imposs

í

vel

ensina

r out

ra m

até

r

ia se

m

a

Matemá

ti

ca. "

"(...) até dentro da nossa área de História nós usamos a (

C

)

Estatística

(...)

que (

.

..) não deixa de ser um

r

amo da Matemática. Eu acho que a Matemática e

ntra

em todos os campos do conhecimento humano."

Utilitária, no sentido de que o homem transfere as suas hab

i

lidades adqu

iri-das durante todo o processo

'

de educação de forma a enriquecer o

a

prendido, co

mo

também num instrumento de trabalho necessário a uma profiss

ã

o e o de ou

tras

ciências.

"(...) todo mundo usa a Matemática em tudo. (...) Não s

e

pode fazer

(C)

nada sem Matemática. Princ

i

palmente no mundo de hoje."

"(...) Técnicas, estruturas, a parte de Engenharia, comput

aç

ão, (A) (

.

..

)

or-çamento, controle de obras,

e

stoque, controle financeiro, tudo

us

a

Matemát

i

c

a."

Para que

a

Matemát

i

ca (...) Bem, como ciência, pr

a

d

esenvol

v

er

(J)

t

ecnologia.

"(

.

..) eu a uso para ca

l

c

ular minha vida econômica (...).

N

a

minh

a

(G

)

vida

profissional, são os cálculos

t

rabalhistas

.

"

"Na [Zootecnia) (

.

.

.

),

c

omo a gente lida com a fase exp

er

i

mental, (B

)

de-pend

e

de Matemáti

c

a também. (

.

.

.

) No caso de fazer avaliação

e t

estar resu

l

t

a

dos

de pr

o

jetos, entra a Matemát

i

ca fundamentalmente."

"(...) dentro do trabalho do psicólogo, é utilizada no mom

e

n

t

o em (I

)

qu

e se

faz um levantamento estatíst

i

co. (...) Em termos gerais, pro se

r

h

u

mano, a

M

ate-mática é útil em

t

udo. Uma

m

úsica é Matemática!"

"(...) nessa parte de avanço tecnológico a Matemática

é (

F) fundame

ntal

(

...

)."

Particularmente uma

d

as

a

firmações feitas por um dos

e

n

t

revi

s

tado

s

,

le-v

ou-

m

e a achar cabível faz

er

aqu

i

uma rápida retrospectiva

,

pa

ra

se

te

r

a

l

g

uns

elementos para reflexão e de

b

ates

.

Vejamos:

" ela [a M

a

temática)

é

a ferramenta que você tem

prã

de

s

envolve

r

a

s

(J)

coisa

s

que a sociedade está

pe

dindo."

Conforme NAGEL (

1

988), a Idade Moderna desponta t

r

az

endo a dest

rui

-ção da rela-ção social através da nega-ção do "trabalho-para-uso"

e d

a afirmaçã

o

do

"trab

a

lho-para-troca", desba

n

cando a prioridade dada aos conh

eci

mentos rel

i

g

i

o

sos e/ou morais daIdade Média (de meados do séc. V até 1453). Uma nova forma de trabalho desbanca o conteúdo teórico da sociedade da Idade Médiarelativo

À

"Cidade de Deus" e impõe um novo conteúdo da sociedade capitalista nascente,

relativo à "Cidade dos Homens".

O conhecimento e o controle sobre a natureza vem a ser a base da produção de mercadoria. Mercadoria que se constitui na "célula mater" da sociedade regi da pela relação social de Capital e Trabalho.

Assim, de maneira anárquica e contraditória o homem dominou aforma de produzir mercadorias concretizando as crises econômicas de superprodução e de destruição de parques industriais. Crises contínuas de superprodução do capitalis-mo expõem a sua própria decadência. A relação entre riqueza (mercadoria) estoca-da e a miserabiliestoca-dade crescente da população explicita adecadência dessa socieda-de que produz somente com o objetivo socieda-de acumulação sobre a expropriação.

Entretanto, o processo de decomposição de uma sociedade corre

paralela-mente à gestação de outra. E a contradição da sociedade capitalista atual, segundo a autora citada, fica assim posta: ao mesmo tempo que a necessidade nova acena

para um método de conhecimento cuja a premissa éatotalidade com abstrações

em mais alto nível, as carências materiais obrigam a raciocínios particulares e prag-máticos.

Após quantidade considerável de leituras pertinentes, consultas a estudio-sos de diversas áreas e principalmente de acordo com RIBNIKOV (1987) e com a

compreensão proporcionada por SIMMEL (1976), tomou-se bastante claro que: a

economia política

é

determinante dos fins a que se destinam aMatemática. A História nos mostra que a Matemática é diluída na Filosofia dos primei-ros tempos. Ela a Matemática não tem lugar na Idade Média, por excelência. Co-meça a ter lugar, ater estatuto de ciência, à medida que ocapitalismo começou a se

desenvolver, quando o homem viu-se na obrigação de trocar, de vender, de multi-plicar, de fazer empréstimos, cálculos de juros, análise de custos, planejamento de

custos para se obter uma lucratividade maior, de integrar a Matemática com a

Física e a Química para se ter uma produtividade maior.

A Matemática tem uma evolução, um crescimento acentuado, exatamente

quando ela está sendo utilizada para aumentar e racionalizar a produtividade. Enquanto a Matemática é um instrumento de otimização de custos, ela está no

processo cvolutivo, está sendo procurada e trabalhada pois está sendo necessária, útil e importante.

No momento em que o desenvolvimento da sociedade entra para a fase

chamada monopólica, onde a livre concorrência deixa de existir. não se tem mais

Matemática com o espírito de antes, integrado a livre concorrência. Creio não haver divergência deopinião quanto aofato de que hoje o monopólio éum acordo

político de divisão de mercado mundial e estabelecimento de preços. O preço,

hoje, das mercadorias

é

a determinação do preço político

.

Assim a Matemática deixou de ser um instrumento, hoje, de otim

izaç

ão da

produção. Em que área

está sendo utilizada a Matemática hoje?

Basta

aco

mpa

-nhar, mesmo que

não

e

xaustivamente, os noticiários para

s

e

perceber qu

e a

Mate-mática hoje

está

sendo

usada na área bélica,

na arte militar

q

ue

monopóli

o ex

clusi-vo de

uma área estratégica da

política.

Não é da sociedade em geral

-

hu

mani

dade.

Não tem aí

uma aplicabilidade e nem é

daí uma

exigênci

a

.

,

É claro,

a

Matemática referida nos últimos parág

r

a

f

os é

a

que e

stá

sendo

criada e desenvolvida

atualmente e não apenas a já conhec

i

da

pela

hum

anid

ade.

Enfim, como

já

r

eferida anteriormente, o

proce

s

so

de decomposiç

ão d

e

uma

sociedade corre paralelo

à

gestação de outra.

Não tenho sequer a pre

tens

ão de

ventilar aqui que a soc

i

edade está sendo gestada. Porém,

po

r

mais

que

o

já c

oloca-do possa levar

a concluir

que

hoje, na sociedade capitalista

-

que

é a úni

ca n

a

qual

vivi

- a Matemática não tem

para

que e nem porque em

t

e

rmos

de

hu

mani

dade,

creio que

o

objetivo

dessa

publicação seja alcançado, ou

s

eja,

que os

alm

ejados

debates entre os profissionais

ligados

à

Matemática se dêem, de fato,

em

to

dos os

graus de ensino.

REFERÊNCIAS BlliLIOGRÁFICAS

[01] ARAÚJO, Antonio Pinheiro de. " Educação Matemática: Importância, Proble-mas e Conseqüências". in Ciência e Cultura. SBPC, 35(5): 580-583, 1983;

[02] NAGEL, Lizia H .. " Avaliação ". Texto apresentado no11ENEM na Mesa Redon-da: Educação Matemática, Matemática e Educação. Maringá - PR, 1988;

[03] . " Quando o Conteúdo Vai além da Frase ...".Tesede d outora-do em Filosofia da Educação, pue/sp, 1986;

[04] RmNIKOV, K.."História de-Ias Matemáticas ". Moscú: Editorial Mir. 1987; [05] SIMMEL, Johanges M.. " Só o Vento Sabe A Resposta". Tradução de José Abrahão. Rio de Janeiro. Nova Fronteira, (1976).