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MATEMÁTICA FINANCEIRA

PROF. RANILDO LOPES GRAD. EM MATEMATICA

GRAD. EM COMPUTAÇAO

PROF. RANILDO LOPES

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4 aula de financeira

Juro simples e juro composto

Quando investimos ou pedimos emprestado um valor em

dinheiro, devemos receber ou pagar uma compensação financeira pelo tempo de investimento ou de empréstimo, dependendo da situação. Essa compensação é denominada juro.

Para calcular o juro devemos considerar:

 o capital (C), valor investido ou pedido emprestado;

 o tempo (t), do início ao fim da operação;

 a taxa de juro (i), taxa percentual recebida ou paga pelo capital em relação ao tempo.

O valor em dinheiro ao final da operação (capital + juro) é

denominado montante (M).

Regime de juro simples

No regime de juro simples, a taxa de juro incide sempre sobre o capital inicial.

Vamos considerar, por exemplo, um investimento de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 1,5% ao mês.

Observe, na tabela, a seguir, como calculamos o montante ao

final de cada um dos três primeiros meses.

Regime de juro simples

M

juro referente ao 1

mês

M

juro referente ao 2

mês

M

juro referente ao 3

mês

início M

= 1.000

após 1 mês

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,015 = 1.015

após 2 meses

M

= 1.015 + 1.000 ∙ 0,015 = 1.030

após 3 meses

M

= 1.030 + 1.000 ∙ 0,015 = 1.045 Período Montante (em real)

juro referente

aos três meses

(1.000 ∙ 0,015 ∙ 3)

M = C (1 + it)

M = C + J J = C i t

Regime de juro simples

Em qualquer transação financeira em que o regime é de juro simples, sendo C o capital, i a taxa percentual de juro, t o tempo, J o juro e M o montante, temos:

Como J = C i t e M = C + J, então:

Resolução

R9. Finanças. Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juro

simples de 2% ao mês. Determinar a taxa equivalente ao ano, o juro recebido após 1 mês, após 5 meses e o montante após 8 meses.

 A taxa equivalente ao ano, no regime de juro simples, é:

i

= 12 i

 i

= 24%

 O juro, em real, recebido após 1 mês de aplicação é:

J = C i t  J = 1.000 0,02 1  J = 20

Exercício resolvido

Resolução R9.

 O juro, em real, recebido após 5 meses de aplicação é:

J = C i t  J = 1.000 0,02 5  J = 100

 Para obter o montante após 8 meses de aplicação, calculamos inicialmente o juro no período:

J = 1.000 0,02 8  J = 160 Agora, somamos o juro ao capital:

M = C + J  M = 1.000 + 160  M = 1.160

Portanto, a taxa equivalente ao ano é de 24% o juro recebido após 1 mês é R$ 20,00, após 5 meses é R$ 100,00 e o

montante após 8 meses é R$ 1.160,00.

Exercício resolvido

Resolução

R10. Finanças. Calcular o juro que rende um capital de

R$ 7.500,00 aplicado à taxa de 12% ao ano, durante 5 meses.

Podemos resolver o problema de duas maneiras:

 Utilizando a taxa equivalente ao mês:

i = 12% ao ano = 1% ao mês

J = 7.500 0,01 5  J = 375

 Utilizando a fração do ano correspondente ao número de meses dados: 5 meses do ano

J = 7.500 0,12  J = 375

Portanto, o capital rende juro de R$ 375,00.

Exercício resolvido

Regime de juro composto

No regime de juro composto, o juro é calculado sempre sobre o resultado da aplicação anterior, ou seja, calculamos

“juro sobre juro” .

Acompanhe, na tabela a seguir, a evolução do montante

gerado pelo investimento de R$ 1.000,00 à taxa de 2% ao

mês sob os regimes de juro simples e de juro composto.

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 1 M

= 1.020

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 M

= 1.020

M

= 1.040,40 + 1.040,40 ∙ 0,02 M

≃ 1.061,21

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 3 M

= 1.060

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 2 M

= 1.040

Período Juro simples Juro composto

início M

= 1.000 M

= 1.000

após 1 mês após 2 meses

M

= 1.020 + 1.020 ∙ 0,02 M

= 1.040,40

após 3 meses

Regime de juro composto

Período Juro simples Juro composto

M

= 1.061,21 + 1.061,21 ∙ 0,02 M

≃ 1.082,43

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 4

M

= 1.080 após

4 meses

M

= 1.082,43 + 1.082,43 ∙ 0,02 M

≃ 1.104,10

M

= 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 5 M

= 1.100

após 5 meses

após t meses

M

= 1.000 ∙ (1 + 0,02t) M

= 1.000 ∙ (1 + 0,02)

Regime de juro composto

 após 3 meses: M

= M

+ M

i = M

(1 + i) M

= C(1 + i)

(1 + i) =

 após 2 meses: M

= M

+ M

i = M

(1 + i) M

= C(1 + i) (1 + i) =

Vamos detalhar os cálculos feitos na coluna do juro composto ao final de cada mês:

 após 1 mês: M

= C + Ci  M

= C(1 + i)

C(1 + i)

C(1 + i)

 após 4 meses: M

= M

+ M

i = M

(1 + i)

M

= C(1 + i)

(1 + i) = C(1 + i)

. .

.

Regime de juro composto

M

= C(1 + i)

(1 + i) =

 após t meses: M

= M

+ M

i = M

(1 + i)

C(1 + i)

Assim, o montante que resulta dessa aplicação é calculado da seguinte forma:

M = C(1 + i)

. .

.

Regime de juro composto

Exemplo

M

= 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 1) = 220 M

= 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 2) = 240 M

= 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 3) = 260 M

= 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 4) = 280

Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de 10%

após 4 meses.

No regime de juro simples:

termos de uma PA de razão 20

Regime de juro composto

Exemplo

M

= 200 ∙ (1 + 0,1)

= 220 M

= 200 ∙ (1 + 0,1)

= 242 M

= 200 ∙ (1 + 0,1)

= 266,20 M

= 200 ∙ (1 + 0,1)

= 292,82

Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de 10%

após 4 meses.

No regime de juro composto:

termos de uma PG de razão 1,1

Regime de juro composto

Resolução

R11. Poupança. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado numa caderneta de poupança, que rende juro composto de 1,2% ao mês. Qual foi o saldo (montante) dessa caderneta após 6

meses de aplicação, se durante esse período não houve nenhuma outra movimentação na conta?

Aplicando a fórmula do juro composto, temos:

M = 1.500 (1 + 0,012)

 M = 1.500 (1,012)

1.611,29 Portanto, após 6 meses de aplicação o saldo dessa caderneta foi de aproximadamente R$ 1.611,29.

Exercício resolvido

Resolução

R12. Depreciação. O valor de uma máquina sofre

depreciação anual de 25%. Se hoje ela custa R$ 2.000,00, daqui a quantos anos ela valerá metade do que vale hoje?

(Adotar: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

Aplicando a fórmula do juro composto, a definição e as propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

1.000 = 2.000 (1 – 0,25)

 (0,75)

= t =

t =

Exercício resolvido

Resolução R12.

Como = 0,30 e , temos:

t =

Portanto, a máquina terá seu valor reduzido à metade em 2 anos e meio, contados a partir de hoje.

Exercício resolvido

Resolução

R13. Dívida. Uma dívida contraída a juro composto, com taxa mensal constante, aumentou 69% em dois meses. Qual era a taxa mensal de juro?

É importante perceber que 69% é a taxa acumulada sobre a dívida no período de dois meses. Assim:

(1 + 0,69) = (1 + i

)

 1 + i

= i

= 0,30  i

= 30%

Exercício resolvido

R14. Condições de pagamento. Uma loja oferece as

seguintes alternativas para o pagamento de uma mercadoria:

 à vista, com 3% de desconto sobre o preço de tabela;

 com cheque pré-datado para 30 dias, no valor de tabela da mercadoria.

Considerando que um indivíduo tenha dinheiro para comprar a mercadoria à vista e que esse dinheiro possa ser aplicado a

uma taxa de 0,8% ao mês, qual é a opção mais vantajosa para o consumidor?

Exercício resolvido

Resolução R14.

Sendo P

o preço de tabela da mercadoria e P

seu preço à vista, temos:

P

= 0,97 P

(desconto de 3% sobre o preço de tabela)

Se o valor à vista da mercadoria fosse aplicado, produziria um montante, após 1 mês, de:

M = 0,97 P

(1 + 0,008)  M = 0,97776 P

Exercício resolvido

Resolução R14.

Logo, após 30 dias o valor resgatado na aplicação seria insuficiente para saldar o cheque pré-datado, pois:

Portanto, é mais vantajoso para o consumidor pagar a mercadoria à vista.

0,97776 ∙ P _t < P _t

Exercício resolvido

Seja i a taxa de juro composto e t o tempo:

 para obter o valor futuro, multiplica-se o valor presente por (1 + i)

;

 para obter o valor presente, divide-se o valor futuro por (1 + i)

.

Atualização financeira

Resolução

R15. Comércio. Uma compra de R$ 600,00 vai ser paga em 3 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira à vista.

Determinar o valor de cada parcela sabendo que a loja cobra juro de 6,5% ao mês.

Inicialmente, vamos calcular o valor

presente de cada uma das parcelas. Observe o esquema:

no ato

30 dias (1 mês)

60 dias (2 meses)

x x x

valor (em reais)

Exercício resolvido

Resolução R15.

A soma da entrada (valor pago no ato da compra) com as demais parcelas atualizadas monetariamente (descontado o juro) fornece o valor da compra à vista:

x + + = 600

Resolvendo a equação, obtemos x 212,72.

Portanto, o valor de cada parcela do financiamento é, aproximadamente, R$ 212,72.

Exercício resolvido

Resolução

R16. Financiamento. Um grande magazine anuncia a venda de uma bicicleta por R$ 300,00 à vista, ou R$ 50,00 de

entrada e mais dois pagamentos mensais de R$ 135,00. Qual é a taxa mensal de juro no plano a prazo? (Utilize: = 78)

Inicialmente, vamos calcular o valor

presente de cada uma das parcelas. Observe o esquema:

30 dias (1 mês)

60 dias (2 meses) no ato

50 135 135

valor (em reais)

Exercício resolvido

Resolução R16.

A soma da entrada com as duas prestações mensais

atualizadas monetariamente (descontado o juro) fornece o valor à vista da bicicleta (R$ 300,00):

50 + + = 300

Exercício resolvido

Resolução R16.

Para resolver essa equação, fazemos (1 + i) = k:

50 + + = 300 250k

– 135k – 135 = 0 50k

– 27k – 27 = 0

k = k = 1,05 ou k = – 0,51 (não é conveniente) Logo:

(1 + i) = 1,05 i = 0,05

Portanto, a taxa de juro no plano a prazo é de 5%.

Exercício resolvido