Solução de Elasticidade para Vigas de Material com Gradação Funcional
Aluno: Gustavo Brattstroem Wagner Orientador: Carlos Alberto de Almeida
Introdução
Este projeto insere-se no Projeto de Pesquisa do Orientador cujo objetivo é desenvolver ferramentas computacionais para a análise de risers marinhos obtidos de material com gradação funcional. Risers marinhos são estruturas extremamente esbeltas submetidas a carregamentos dinâmicos e que devem satisfazer as restritivas condições de operação, sendo as mais relevantes do ponto de vista estrutural, de desgaste por abrasão, de isolamento térmico, de proteção à corrosão. Resultados recentes têm demonstrado que os modelos clássicos de vigas de Timoshenko desenvolvidos e largamente empregados na representação numérica de risers de materiais isotrópicos apoiam-se em algumas hipóteses, especialmente quanto à distribuição uniforme das tensões de cisalhamento nas seções retas, que não foram ainda verificadas e quantificadas para a condição de materiais com gradação funcional.E, é neste aspecto que o atual projeto de iniciação cientifica se insere.
O projeto tem como objetivo comprovar os limites de validade das hipóteses empregadas no modelo de Timoshenko, comparando-se os resultados obtidos numericamente com soluções analíticas empregando-se modelos da Teoria da Elasticidade. Com estes resultados obtidos analiticamente espera-se verificar e quantificar a validade das hipóteses clássicas utilizadas especialmente quanto as seções retas manterem-se planas e tensões de cisalhamento serem constantes ao longo da seção transversal da viga.
Inicia-se este trabalho com o estudo do processo de obtenção das distribuições das tensões e dos deslocamentos de vigas com materiais isotrópicos, através da teoria da elasticidade. Utilizando-se vigas prismáticas com seções retangulares, verifica-se como a tensão de cisalhamento influência no deslocamento da seção transversal. Através da variação da relação entre a altura da viga pelo seu comprimento e do tipo de carregamento submetido, obtém-se resultados com os quais pode-se observar a dependência das deformações de cisalhamento na validação da hipótese de Timoshenko.
Na segunda parte do trabalho, uma breve introdução das características dos materiais com gradação funcional é apresentada, expondo-se a sua história, aplicações e vantagens. Inicia-se o estudo da solução da elasticidade para vigas com este tipo de material levando em conta apenas a variação contínua do módulo de elasticidade. O procedimento realizado para materiais isotrópicos é repetido e os resultados comparados. Desta forma, pode-se validar as hipóteses de vigas de Thimoshenko.
Viga de Material Isotrópico
No presente estudo, consideram-se as tensões e os deslocamentos de uma viga em balanço de material isotrópico, sob diferentes tipos de carregamentos. Neste caso o
∂σx ∂x + ∂τxy ∂y + X = 0 ∂σy ∂y + ∂τxy ∂y + y = 0
desenvolvimento teórico é significativamente simplificado por ser o material isotrópico, em que as propriedades mecânicas, como o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poison, são constantes em qualquer direção considerada. Ligas metálicas, muito utilizadas na engenharia, são geralmente tratadas como isotrópicas. Mesmo que suas redes cristalinas estejam alinhadas em diferentes direções em cada grão, uma análise macroscópica, indica que estas ligas possuem propriedades invariantes em todas as direções, graças à grande aleatoriedade na direção cristalográfica.
Inicialmente considera-se a análise do comportamento de uma viga reta deformada por um carregamento genérico de acordo com a teoria da elasticidade. Este desenvolvimento conduz a uma equação diferencial, como definida a seguir, e que deverá ser sempre satisfeita em todo o domínio geométrico da viga.
Sob um determinado carregamento uma viga está submetida a um estado de tensões e de deformações, resultado de um campo de deslocamentos. No presente estudo considera-se o carregamento em um único plano o que permite a aproximação simplificadora de que a viga se deforma segundo o estado plano de deformação. Desta forma o número de componentes de deformação reduz-se a apenas três na forma:
Considerando-se um elemento diferencial no estado plano de tensões mostrado na Fig.1, as seguintes equações de equilíbrio são obtidas na forma:
Onde X e Y são as forças de corpo nas respectivas direções.
Considerando-se as equações (2), é possível introduzir-se uma função de tensão
𝜓(𝑥, 𝑦) com o objetivo de reduzir as variáveis do problema a esta única função. Essa função
𝜓(𝑥, 𝑦) é definida adiante através das condições de contorno resultantes de cada tipo de carregamento. Desconsiderando as forças de corpo, as componentes de tensões são obtidas na forma:
𝜀
𝑥=
𝜕𝑢 𝜕𝑥𝜀
𝑦=
𝜕𝑣 𝜕𝑦𝜀
𝑧=
𝜕𝑤 𝜕𝑧;
𝛾
𝑥𝑦=
𝜕𝑢 𝜕𝑦+
𝜕𝑣 𝜕𝑥𝛾
𝑥𝑧=
𝜕𝑢 𝜕𝑧+
𝜕𝑤 𝜕𝑥𝛾
𝑦𝑧=
𝜕𝑣 𝜕𝑧+
𝜕𝑤 𝜕𝑦;
0 0 0 0 0 (1)Fig.1: Elemento diferencial no estado plano de tensão
(2) 𝜎𝑥= 𝜕2ψ 𝜕𝑦2 𝜎𝑦 = 𝜕2ψ 𝜕𝑥2 𝜏𝑥𝑦 = − 𝜕2ψ 𝜕𝑥𝜕𝑦 (3) (2)
O comportamento da viga deformada é elasticamente caracterizado utilizando-se também as equações de compatibilidade geométrica e as relações constitutivas. Das seis equações de compatibilidade existentes nos casos gerais, apenas uma não é identicamente satisfeita no caso de estado plano de deformações. A equação resultante é:
As relações constitutivas associadas são:
Substituindo-se (3) em (5) e o resultado em (4), é obtido a equação diferencial em função de ψ(x, y) na forma:
A equação diferencial possui a forma biharmônica. Em um estudo subsequente, considera-se uma viga com material de gradação funcional, sendo a manipulação algebricamente mais trabalhosa. Neste caso, os parâmetros físicos passam a ser função de uma coordenada especial da viga.
Definida a equação diferencial em (6), passa-se a considerar os carregamentos utilizados. Apenas o carregamento de uma força concentrada na extremidade livre da viga é exposto neste relatório. No entanto, carregamentos como uniformemente distribuído e linearmente crescente a partir de um valor nulo na extremidade também foram analisados. Isso é necessário para uma compreensão dos fatores que influenciam a distribuição dos deslocamentos nas seções da viga. O processo de obtenção dos resultados é consiste em:[1]
1. Propor uma expressão para uma das componentes das tensões.
2. Integrar a equação (3) e substituir o resultado em (6), obtendo-se as funções componentes das tensões através da solução da equação diferencial.
3. Utilizar as condições de contorno para as tensões, obtendo as constantes de integração 4. No caso de não ser possível determinar estas constantes, o procedimento é refeito para
uma nova tentativa da forma de uma das componentes das tensões.
5. Obtidas as constantes de integração, a partir destas expressões para as tensões, as funções para os deslocamentos são obtidas através da integração das equações (5), substituídas em (1), e satisfazendo as correspondentes condições de contorno dos deslocamentos.
Obtém-se a seguir as distribuições das tensões e dos deslocamentos no domínio de viga em balanço carregada por uma força concentrada na extremidade livre, como mostra a Fig. 2. 𝜕2𝜀 𝑥 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜀 𝑦 𝜕𝑥2 = 𝜕2𝛾 𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 (4) 𝜀𝑥 = 1 + 𝜐 𝐸 [ 1 − 𝜐 𝜎𝑥− 𝜐𝜎𝑦] 𝜀𝑦 = 1 + 𝜐 𝐸 [ 1 − 𝜐 𝜎𝑦− 𝜐𝜎𝑥] 𝛾𝑥𝑦 = 2(1 + 𝜐) 𝐸 𝜏𝑥𝑦 (5) 𝜕4ψ 𝜕𝑥4+ 2 𝜕4ψ 𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 𝜕4ψ 𝜕𝑦4 = 0 (6)
Seguindo o procedimento apresentado, faz-se a hipótese para a seguinte distribuição das tensões longitudinais da seguinte forma:
Onde 𝐶1 é constante. Uma boa suposição é relacionar as tensões 𝜎𝑥 e 𝜏𝑥𝑦 com os momentos
fletores e força cortante, respectivamente. Esta condição nem sempre é verdadeira, mas indicará a solução. Da integração da equação (7) duas vezes em y, tem-se:
cujo resultado substituído em (6), resulta em
Da equação (9), válida para todo 𝑥 e 𝑦 na viga, fornece:
e portanto,
Voltando-se com o resultado de (11) em (8), obtém-se uma expressão para 𝜓 em função de constante de integração, e consequentemente as funções das tensões através da equação (3). Essas são definidas aplicando-se as condições de contorno na solução. Neste problema em particular, tem-se 10 condições de contorno a serem impostas considerando-se as quatro faces do domínio do problema, conforme mostrado na Fig. 3 abaixo.
Fig.2: Viga em balanço sob carga concentrada
𝜎𝑥= 𝜕2ψ 𝜕𝑦2 = 𝐶1𝑥𝑦 (7) ψ = 𝐶1 6 𝑥𝑦 3+ 𝑦𝑓 1 𝑥 + 𝑓2(𝑥) (8) 𝑦𝜕 4𝑓 1(𝑥) 𝜕𝑥4 + 𝜕4𝑓 2(𝑥) 𝜕𝑥4 = 0 (9) 𝜕4𝑓 1(𝑥) 𝜕𝑥4 = 0 𝜕4𝑓 2(𝑥) 𝜕𝑥4 = 0 (10) 𝑓1 𝑥 = 𝐶2𝑥3+ 𝐶3𝑥2+ 𝐶4𝑥 + 𝐶5 𝑓2 𝑥 = 𝐶6𝑥3+ 𝐶7𝑥2+ 𝐶8𝑥 + 𝐶9 (11)
Desta forma, em 𝑥 = 0, tem-se as seguintes condições: 𝑑 2 𝑤𝜎𝑥𝑑𝑦 = 0 −𝑑 2 𝑑 2 𝑤𝜏𝑥𝑦 = −𝑃 −𝑑 2 𝑑 2 𝑤𝜎𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 −𝑑 2
Em 𝑥 = 𝐿, tem-se as seguintes condições:
𝑑 2 𝑤𝜎𝑥𝑦𝑑𝑦 = −𝑃𝐿 −𝑑 2 𝑑 2 𝑤𝜏𝑥𝑦 = −𝑃 −𝑑 2 𝑑 2 𝑤𝜎𝑥𝑑𝑦 = 0 −𝑑 2
Em 𝑦 = −𝑑 2 , tem-se as seguintes condições:
𝜎𝑦 = 0
Note-se que esta equação é válida para todo 𝑥 entre 0 e L .Desta forma a equação resulta nas seguintes condições: 0 = 0 −𝐶1𝑤𝑑 3 24 − 𝐶4𝑤𝑑 = −𝑃 0 = 0 𝐶1𝐿𝑤𝑑3 12 = −𝑃𝐿 −𝐶1𝑤𝑑 3 24 + −3𝐶2𝐿 2− 2𝐶 3𝐿 − 𝐶4 𝑤𝑑 = −𝑃 0 = 0 6 −𝐶2 𝑑 2+ 𝐶6 𝑥 + 2 −𝐶3 𝑑 2+ 𝐶7 = 0 −𝐶2 𝑑 2+ 𝐶6= 0 −𝐶3 𝑑 2+ 𝐶7= 0 (12.1) (12.2) (12.3) (12.4) (12.5) (12.6) (12.7) (12.8)
𝜏𝑥𝑦 = 0
Em 𝑦 = 𝑑 2 , tem-se as seguintes condições:
𝜎𝑦 = 0
E, mas uma vez, a equação resulta em:
𝜏𝑥𝑦 = 0
Dessas dez condições de contorno, determinam-se as constantes necessárias que definem a distribuição das tensões. São elas:
Substituindo-se os resultados na equação (8), obtêm-se as tensões explicitadas em (3), onde 𝐼 é o momento de inércia[1].
De acordo com esse resultado, pode-se observar que a tensão normal, na direção 𝑥, varia linearmente com a cordenada y por toda a viga e é proporcional ao momento fletor na seção reta da viga. A tensão de cisalhamento tem uma representação parabólica constante, pois a força cortante é também constante ao longo do comprimento da viga. Estes resultados verificam com as soluções encontradas na literatura considerando-se as hipóteses simplificadoras. As Fig.4 e 5 apresentam as distribuições destas tensões. Estas tensões também podem ser obtidas fazendo-se uma diferente proposta em (7). Pode-se iniciar a solução do problema através de uma proposta para tensão de cisalhamento na forma 𝜏𝑥𝑦 = 𝑔(𝑦). Esta proposta é independente de 𝑥 assim como a força cortante na viga. Realizando o mesmo procedimento feito anteriormente, são obtidos os mesmos resultados para as tensões.
−𝐶1𝑑 2 8 − 3𝐶2𝑥 2− 2𝐶 3𝑥 − 𝐶4= 0 6 𝐶2 𝑑 2+ 𝐶6 𝑥 + 2 𝐶3 𝑑 2+ 𝐶7 = 0 𝐶2 𝑑 2+ 𝐶6= 0 𝐶3 𝑑 2+ 𝐶7= 0 −𝐶1𝑑 2 8 − 3𝐶2𝑥 2− 2𝐶 3𝑥 − 𝐶4= 0 (12.9) (12.10) (12.11) (12.12) 𝐶2= 0 𝐶6 = 0 𝐶3= 0 𝐶7 = 0 𝐶1= − 12𝑃 𝑑3𝑤 𝐶4= 3𝑃 𝑑𝑤 (13) 𝜎𝑥= − 𝑃𝑥𝑦 𝐼 𝜎𝑦 = 0 𝜏𝑥𝑦 = − 𝑃 2𝐼 𝑑2 4 − 𝑦 2 (14)
𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚 ; 𝑃 = 1𝑘𝑁
Para obterem-se os deslocamentos, volta-se às equações (5) e (1), relacionando-as da seguinte forma:
Integrando (15.1) e (15.2), obtém-se:
Onde 𝑗1(𝑦) e 𝑗2(𝑥) são funções resultantes de integrações. Substituindo-se (16) em (15.3) e
separando-se os termos em 𝑦 e em 𝑥, a equação com ambos os lados iguais à constante 𝑎1. Tem-se então:
Integrando (17) e substituindo o resultado nas equações (14), têm-se os deslocamentos em função de três constantes conforme mostrado nas equações (18).
Fig.4: Distribuição da tensão normal na direção x. Fig.5: Distribuição da tensão de cisalhamento na direção x. 𝜀𝑥= 𝜕𝑢 𝜕𝑥= 1 + 𝜐 𝐸 1 − 𝜐 𝜎𝑥− 𝜐𝜎𝑦 = − 𝑃𝑥𝑦 𝐸𝐼 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦= 1 + 𝜐 𝐸 1 − 𝜐 𝜎𝑦− 𝜐𝜎𝑥 = 𝜐𝑃𝑥𝑦 𝐸𝐼 𝛾𝑥𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 2(1 + 𝜐) 𝐸 𝜏𝑥𝑦 = − 2 1 + 𝜐 𝑃 𝐸𝐼 𝑑2 4 − 𝑦 2 (15.1) (15.2) (15.3) 𝑢 = − 𝑃 2𝐸𝐼𝑥 2𝑦 + 𝑗 1 𝑦 𝑣 = 𝜐𝑃 2𝐸𝐼𝑥𝑦 2+ 𝑗 2(𝑥) (16) 𝑑𝑗1(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑃 𝐸𝐼 1 + 𝜐 2 𝑦 2+ 𝑎 1 𝑑𝑗2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑃 2𝐸𝐼𝑥 2− 1 + 𝜐 𝑃 4𝐸𝐼 𝑑 2− 𝑎 1 (17) 𝑢 = − 𝑃 2𝐸𝐼𝑥 2𝑦 + 𝑃 3𝐸𝐼 1 + 𝜐 2 𝑦 3+ 𝑎 1𝑦 + 𝑎2 𝑣 = 𝜐𝑃 2𝐸𝐼𝑥𝑦 2+ 𝑃 6𝐸𝐼𝑥 3− 1 + 𝜐 𝑃 4𝐸𝐼 𝑑 2𝑥 − 𝑎 1𝑥 + 𝑎3 (18)
Assumindo-se as condições de contorno correspondentes a um pino fixo, neste caso (L,0), tem-se: 𝑢 = 𝑣 =𝜕𝑣
𝜕𝑥 = 0 em 𝑥 = 𝐿 e 𝑦 = 0. E, desta forma, obtém-se:
Substituindo-se os resultados da equação (19) em (18), tem-se para os deslocamentos as seguintes equações[1]:
A deflexão de uma viga é dada a partir do deslocamento vertical (𝑣) da sua fibra neutra, neste caso, quando 𝑦 = 0. Como a curvatura de uma viga é aproximadamente dada por 𝜕
2𝑦
𝜕𝑥2 na fibra neutra, esse resultado coincide com a hipótese simplificadora de
Euler-Bernoulli. A forma da distribuição dos deslocamentos depende da razão da altura pelo comprimento da viga, e por isso demonstram-se abaixo as distribuições dos deslocamentos para as razões 𝑑 𝐿 = 0.1, 0.5 e 1.
(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1, 0.5 𝑒 1𝑚; 𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸 = 80𝐺𝑃𝑎)
Fig.6: Deslocamento u para razão d/L=0.1. Fig.7: Deslocamento v para razão d/L=0.1. 𝑎1= 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼− 1 + 𝜐 𝑃𝑑2 4𝐸𝐼 𝑎2= 0 𝑎3= 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 (19) 𝑢 = − 𝑃 2𝐸𝐼𝑥 2𝑦 + 𝑃 3𝐸𝐼 1 + 𝜐 2 𝑦 3+ 𝑃𝐿 2 2𝐸𝐼− 1 + 𝜐 𝑃𝑑2 4𝐸𝐼 𝑦 𝑣 = 𝜐𝑃 2𝐸𝐼𝑥𝑦 2+ 𝑃 6𝐸𝐼𝑥 3− 𝑃𝐿 2𝐸𝐼𝑥 + 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 (20)
Os perfis das vigas deformadas estão mostradas abaixo para as três razões consideradas. Fig.8: Deslocamento u para razão d/L=0.5. Fig.9: Deslocamento v para razão d/L=0.5.
Fig.10 Deslocamento u para razão d/L=1 Fig.6: Deslocamento u para razão d/L=0.1.
Fig.11: Deslocamento v para razão d/L=1.
Fig.13: Perfil da viga deformada para razão d/L=0.5.
Através das Fig.6-14, constata-se serem válidas as hipóteses simplificadoras das seções retas permanecerem retas após a deformação para uma viga em balanço sob o carregamento concentrado na extremidade livre. As Fig.10, 11 e 14 mostram seções deformadas não planas. A estrutura cuja razão altura pelo comprimento é igual a um não deve ser considerada como viga, pois não se enquadra na definição de um estrutura esbelta. O formato sinuoso apresentado na Fig.14 resulta da influência da tensão de cisalhamento que neste caso não é desprezível comparada à tensão normal.
O estudo realizado acima deve ser feito para outros tipos de carregamento antes de uma validação geral das hipóteses simplificadoras. Carregamentos que geram maiores forças cortantes em relação a um mesmo momento fletor acabam por não satisfazerem as hipóteses de manter seções planas após a deformação com menores relações 𝑑 𝐿 . Para evidenciar isso, compara-se abaixo o carregamento concentrado e do uniformemente distribuído. Observa-se que no carregamento uniformemente a força cortante no engaste é maior enquanto o momento fletor é o mesmo. Isso resulta no aparecimento da “sinuosidade” nas seções próximas ao engastamento. No engastamento Força concentrada Força distribuída Força Cortante -10 kN -10 kN Momento Fletor -100 kN.m -50 kN.m
Fig.15: Comparação entre tipos de carregamentos. Força concentrada à esquerda e uniformemente distribuido à direita.
Materiais com Gradação Funcional
Inicialmente desenvolvido por japoneses [5, 6] para suportar altas temperaturas, materiais com gradação funcional são compósitos formados por duas ou mais fases constituintes, cuja principal característica é possuir uma composição continuamente variável entre estes materiais [2]. Desta forma, é possível selecionar um compósito onde as melhores propriedades de cada material são utilizadas. Como exemplo, pode-se citar a possível combinação das características de isolante térmico e de resistência à corrosão da cerâmica com a tenacidade dos metais. No campo da engenharia, o emprego de MGF permite uma melhor distribuição das tensões residuais, o incremento de propriedades térmicas, da alta tenacidade à fratura, e dos reduzidos fatores de intensidade de tensões, quando comparados com outros compósitos ou materiais homogêneos [2].
Como no caso de materiais isotrópicos, a obtenção da equação diferencial que governa a função de tensão ψ(x,y) é um resultado da composição entre as mesmas equações de equilíbrio (2), de compatibilidade geométrica (4) e das relações constitutivas (5). Aqui, pode-se também definir as funções de tensão, como mostrado em (3). Neste estudo, considera-pode-se que apenas o módulo de elasticidade varia continuamente com a coordenada y, que nesta caso representa a altura da viga. Comparado com o caso estudado para materiais isotrópicos, essa é a única diferença a ser considerada. Dessa forma, substituindo novamente (3) em (5) e o resultado em (4), obtém-se, após algumas manipulações algébricas, a seguinte equação:
Note-se que neste relatório utiliza-se E para representar E(y). Verifica-se que se nesta equação as derivadas do módulo de elasticidade em relação a y forem iguais a zero, material isotrópico, a equação (21) reduz-se à forma biharmônica (6).
Em [7, 8, 9, 10], Reddy et al. propõe que a variação da fração volumétrica de um compósito de MGF metal-cerâmico pode ser expressada pela seguinte função:
1 − 𝜐 𝐸 𝜕4𝜓 𝜕𝑦4+ 2 1 − 𝜐 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝜕3𝜓 𝜕𝑦3+ 1 − 𝜐 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2+ 1 − 𝜐 𝐸 𝜕4𝜓 𝜕𝑥4 − 𝜐 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝜓 𝜕𝑥2 + 2 1 − 𝜐 𝜕𝐸 −1 𝜕𝑦 𝜕3𝜓 𝜕𝑥2𝜕𝑦+ 2 1 − 𝜐 𝐸 𝜕4𝜓 𝜕𝑥2𝜕𝑦2= 0 (21) 𝑉𝑓 𝑧 = 𝑧 𝑑+ 1 2 𝑛 −𝑑 2≤ 𝑧 ≤ 𝑑 2 (22)
Onde 𝑛 é um expoente positivo da equação que estabelece a quantidade e distribuição de cerâmica na estrutura. Visando simplificar ao máximo as equações que são utilizadas a seguir durante a resolução do problema com vigas engastadas, considera-se neste trabalho 𝑛 = 1, fazendo a variação volumétrica entre os materiais linear. Desta forma uma simplificação da álgebra associada ao problema é utilizada, fazendo uma variação linear do módulo de elasticidade conforme mostra a equação (23) e a Fig.17.
Assim como no caso onde o material era isotrópico, também aqui desenvolve-se o estudo de uma viga engastada com uma força concentrada na extremidade livre, como mostrado na Fig.18. No entanto, a viga considerada possui agora um MGF. Desta forma é possível uma comparação entre os dois casos bastando os módulos de elasticidade E1 e E2
tenderem ao mesmo valor. Essa comparação é demonstrada durante o processo e auxilia na validação das equações obtidas.
Inicia-se este problema fazendo-se uma proposta para a tensão normal 𝜎𝑥 da seguinte forma:
Da integração dupla da equação (24) em 𝑦, obtém-se:
Fig.17: Variação do módulo de elasticidade pela altura da viga 𝐸 𝑦 = 𝐸2− 𝐸1 𝑑 𝑦 + 𝐸2+ 𝐸1 2 (23) 𝜎𝑥= 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2 = 𝑥. 𝑔(𝑦) (24) 𝜓 = 𝑥𝑔1 𝑦 + 𝑓1 𝑥 𝑦 + 𝑓2(𝑥) (25) Fig.18: Viga em balanço sob carga concentrada
Substituindo (25) em (21), resulta na seguinte equação:
Colocando-se 𝑥 em evidência, é possível dividir a equação (26) em duas classes de termos que dependem apenas de y e que dependem em x e y. Assim, como a equação deve ser válida para todo o domínio geométrico da viga, tem-se a equação (26) em duas equações:
Através da equação (27) e da variação linear do módulo de elasticidade (23), pode-se determinar 𝑔1(𝑦) solucionando a EDO.
As funções 𝑓1(𝑥) e 𝑓2(𝑥) podem ser obtidas através da equação (28). Multiplicando-se toda a
equação (28) pela função do módulo de elasticidade, obtém-se mais uma vez termos que dependem apenas de 𝑥 e termos que dependam de 𝑥 e 𝑦. Desta forma, pode-se novamente separá-la em duas equações:
Integrando quatro vezes em 𝑥 a equação (30), tem-se a função 𝑓2(𝑥) em função das constantes de integração.
Para obter a função 𝑓1 𝑥 , retorna-se à equação (31) dividindo-a por 𝑦. Desta forma, pode-se separá-la novamente em mais duas equações, uma em função apenas de x e outra em função de 𝑥 e 𝑦.
Integrando a equação (33) quatro vezes em 𝑥, obtém-se a função 𝑓1(𝑥) também em função das constantes de integração.
1 + 𝜐 𝐸 𝑥 𝜕4𝑔 1 𝜕𝑦4 + 2 1 − 𝜐 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝑥 𝜕3𝑔 1 𝜕𝑦3 + 1 − 𝜐 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝑥 𝜕2𝑔 1 𝜕𝑦2 + 1 − 𝜐 𝐸 𝜕4 𝑓 1𝑦 + 𝑓2 𝜕𝑥4 − 𝜐𝜕 2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2 𝑓 1𝑦 + 𝑓2 𝜕𝑥2 + 2 1 − 𝜐 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝜕3𝑓 1 𝜕𝑥2𝜕𝑦= 0 (26) 1 + 𝜐 𝐸 𝜕4𝑔 1 𝜕𝑦4 + 2 1 − 𝜐 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝜕3𝑔 1 𝜕𝑦3 + 1 − 𝜐 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝑔 1 𝜕𝑦2 = 0 1 − 𝜐 𝐸𝑥 𝜕4 𝑓 1𝑦 + 𝑓2 𝜕𝑥4 − 𝜐 𝑥 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2 𝑓 1𝑦 + 𝑓2 𝜕𝑥2 + 2 1 − 𝜐 𝑥 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝜕3 𝑓 1𝑦 𝜕𝑥2𝜕𝑦 = 0 (27) (28) 𝑔1 𝑦 = 𝐶1+ 𝐶2 𝑦 − 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 + 𝐶3 𝑦 − 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 3 + 𝐶4 𝑦 − 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 4 (29) 1 − 𝜐 𝑥 𝜕4𝑓 2 𝜕𝑥4 = 0 1 − 𝜐 𝑥 𝜕4𝑓 1 𝜕𝑥4 − 𝜐𝑦𝐸 𝑥 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝑓 1 𝜕𝑥2 − 𝜐𝐸 𝑥 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝑓 2 𝜕𝑥2 + 2 1 − 𝜐 𝐸 𝑥 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 1 𝜕𝑥2 = 0 (30) (31) 𝑓2 𝑥 = 𝐶9𝑥3+ 𝐶10𝑥2+ 𝐶11𝑥 + 𝐶12 (32) 1 − 𝜐 𝑥 𝜕4𝑓 1 𝜕𝑥4 = 0 −𝜐𝐸 𝑥 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝑓 1 𝜕𝑥2 − 𝜐𝐸 𝑥𝑦 𝜕2𝐸−1 𝜕𝑦2 𝜕2𝑓 2 𝜕𝑥2 + 2 1 − 𝜐 𝐸 𝑥𝑦 𝜕𝐸−1 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 1 𝜕𝑥2 = 0 (33) (34) 𝑓1 𝑥 = 𝐶5𝑥3+ 𝐶6𝑥2+ 𝐶7𝑥 + 𝐶8 (35)
Com as funções 𝑔1(𝑦), 𝑓1 𝑥 e 𝑓2(𝑥) definidas em (29), (35) e (32), respectivamente, impõe-se as mesmas dez condições de contorno utilizadas no caso istrópico na determinação das constantes de integração. No entanto, apenas cinco dessas condições são necessárias, pois as outras são redundantes. Elas são demonstradas pelas equações (36.1) até (36.5).
𝜎𝑦 𝑦 = 𝑑 2 = 0
𝜎𝑦 𝑦 = − 𝑑 2 = 0
As equações (36.1) e (36.2) são válidas para todo o domínio geométrico da viga, e, portanto, correspondem a 𝐶5 = 𝐶6 = 𝐶9 = 𝐶10 = 0. 𝜏𝑥𝑦 𝑦 = 𝑑 2 = 0 𝜏𝑥𝑦 𝑦 = − 𝑑 2 = 0 − 𝜏𝑥𝑦 0, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑃 𝑑 2 −𝑑 2
Considerando-se as equações (36.3), (36.4) e (36.5) e definindo-se 𝐶13 = 𝐶2+ 𝐶7 é possível chegar a um sistema linear de 3 equações. A solução analítica deste sistema resulta nas seguintes expressões para as constantes:
(36.5) 6 𝐶5 𝑑 2+ 𝐶9 𝑥 + 2 𝐶6 𝑑 2+ 𝐶10 = 0 (36.1) 6 −𝐶5 𝑑 2+ 𝐶9 𝑥 + 2 −𝐶6 𝑑 2+ 𝐶10 = 0 (36.2) −𝐶2− 4𝐶4 𝑑 2− 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 3 − 3𝐶3 𝑑 2− 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 2 − 𝐶7= 0 (36.3) −𝐶2− 4𝐶4 − 𝑑 2− 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 3 − 3𝐶3 − 𝑑 2− 𝑑 𝐸1+ 𝐸2 2 −𝐸2+ 𝐸1 2 − 𝐶7= 0 (36.4) − 1 12𝑤 6𝐶4𝑑 𝐸1+ 𝐸2 −𝐸2+ 𝐸1 − 3𝐶3 𝑑3− 𝑤 −𝐶2+ 𝐶4𝑑3 𝐸1+ 𝐸2 3 2 −𝐸2+ 𝐸1 3 − 𝐶7− 3𝐶3𝑑2 𝐸1+ 𝐸2 2 4 −𝐸2+ 𝐸1 2 𝑑 = 𝑃 𝐶13= − 12𝐸12𝐸22𝑃 𝑑 −𝐸2+ 𝐸1 2 𝐸12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 𝐶4= 3 𝐸1+ 𝐸2 −𝐸2+ 𝐸1 𝑃 𝑑4 𝐸 12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 𝐶3= 4𝑃 𝐸12+ 𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑑3 𝐸 12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 (37) (38) (39)
Logo, a partir destas constantes, é possível obter-se expressões analíticas para as componentes das tensões em todo o domínio da viga, na forma:
Nas Fig.19 e 20, apresentam-se as distribuições das tensões em diversas (cinco) seções transversais da viga. Com referência às tensões normais 𝜎𝑥, observa-se que esta é nula na seção 𝑥 = 0 e aumenta a medida que a seção se desloca em direção ao engastamento. Ao contrário do modelo isotrópico, verifica-se que a distribuição não é mais linear e que a fibra neutra também não mais se encontra no baricentro da estrutura, e sim, mais próxima da região com maior módulo de elasticidade. Também se observa que este mesmo ponto corresponde a posição onde a tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 é máxima. A forma da distribuição da tensão de cisalhamento é uma parábola cúbica, como pode ser observado na equação (42). Nas Fig. 21 e 22 estão apresentadas as distribuições das tensões utilizando-se as equações acima, mas tomando-se valores muito próximos para 𝐸1 e 𝐸2. O objetivo é utilizar este modelo de MGF para representar a solução do material isotrópico. Note-se que os resultados obtidos reproduzem as soluções obtidas anteriormente com a distribuição linear das tensões normais e a distribuição parabólica das tensões de cisalhamento (comparas Fig. 21 e 22 com Fig.4 e 5).
(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1= 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2= 200𝐺𝑃𝑎) 𝜎𝑥= − 3 𝑑𝐸1+ 6𝑦𝐸1− 𝑑𝐸2+ 6𝑦𝐸2 2𝑦𝐸2− 2𝑦𝐸1+ 𝑑𝐸1+ 𝑑𝐸2 𝑃𝑥 𝑑4 𝐸 12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 𝜎𝑦 = 0 𝜏𝑥𝑦 = − 𝑃 2𝑑4 𝐸 12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 (−4𝐸12𝑦2𝑑 + 8𝐸13𝑦3+ 𝐸12𝑑3− 2𝐸12𝑦𝑑2− 16𝐸1𝑦2𝐸2𝑑 +4𝐸1𝑑3𝐸2+ 𝐸22𝑑3− 4𝑦2𝐸22𝑑 + 2𝐸22𝑦𝑑2− 8𝐸22𝑦3) (40) (41) (42)
Fig.19: Tensão normal com 𝐸1 𝐸
2= 2 Fig.20: Tensão de cisalhamento com 𝐸1
(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1= 200.1𝐺𝑃𝑎; 𝐸2= 200𝐺𝑃𝑎)
Com referência à obtenção dos deslocamentos, segue-se o mesmo procedimento utilizado para materiais isotrópicos. No entanto, devido à complexidade das funções das tensões e das manipulações algébricas exigidas neste caso, não foi possível obter-se soluções literais e analíticas. Assim, foi necessário utilizar-se valores numéricos para a geometria da viga e para as propriedades do compósito. Desta forma, inicia-se a obtenção dos deslocamentos através das seguintes relações:
Onde 𝑗1 𝑦 e 𝑗2(𝑥) são funções resultantes do processo de integração. Através das
equações (43) e (44), substitui-se 𝑢 e 𝑣 na equação (45) e obtém-se 𝑗1(𝑦) e 𝑗2(𝑥) através da solução da equação diferencial resultante. A equação resultante é de difícil manipulação algébrica e a solução só é possível substituindo-se os valores referentes às geometrias da viga e às propriedades do compósito. Com o auxílio do software Maple 14 obteve-se, numericamente, os resultados para 𝑗1(𝑦) e 𝑗2(𝑥). Utilizando as mesmas condições de
contorno no caso isotrópico (𝑢 = 𝑣 = 𝜕𝑣
𝜕𝑥 = 0), obtêm-se os valores das constantes obtidas da
solução numérica. As distribuições dos deslocamentos u e v através das seções transversais podem ser observadas nas Fig.23 até 28.
Analisando os gráficos apresentados, percebe-se um comportamento similar dos deslocamentos com os mesmos observados no caso isotrópico. Para a viga com razão
Fig.21: Tensão normal com 𝐸1 𝐸
2≈ 1 Fig.22: Tensão de cisalhamento com 𝐸1 𝐸2≈ 1 𝜕𝑢 𝜕𝑥= 𝜀𝑥= 𝜎𝑥 𝐸(𝑦) → 𝑢 = − 3𝑥2𝑃 𝑑𝐸 1+ 6𝑦𝐸1− 𝑑𝐸2+ 6𝑦𝐸2 𝑑3 𝐸 12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 + 𝑗1(𝑦) 𝜕𝑣 𝜕𝑦= 𝜀𝑦= − 𝜐𝜎𝑥 𝐸(𝑦) → 𝑣 = 6𝜐𝑃𝑥 𝑑𝐸1𝑦 + 3𝐸1𝑦2− 𝑑𝐸2𝑦 + 3𝑦2𝐸2 𝑑3 𝐸 12+ 4𝐸1𝐸2+ 𝐸22 𝑤 + 𝑗2(𝑥) 𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 𝛾𝑥𝑦 = 2 1 + 𝜐 𝜏𝑥𝑦 𝐸(𝑦) (43) (44) (45)
d L
= 0.1 os deslocamentos permanecem com uma distribuição linear durante todo o comprimento. À medida que a razão d L aumenta, observa-se o surgimento de uma “sinuosidade” no deslocamento u e o deslocamento v passa a assumir uma forma parabólica. A única difeença observada na comparação do MGF com o material isotrópico é o fato das curvas não mais passarem pela origem. Isso acontece exatamente pelo fato da fibra neutra não se encontrar mais no baricentro da seção da viga.
Analisando essas similaridades e diferenças, é possível concluir que as seções retas transversais da viga permanecem retas após a deformação, validando assim as hipóteses de Timoshenko na análise de vigas com materiais de gradação funcional. Essa afirmativa só é válida para esse tipo de carregamento e distribuição do módulo de elasticidade, e o estudo deve ser feito para outras combinações antes de uma validação total das hipóteses em questão.
(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚; 𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1= 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2= 200𝐺𝑃𝑎; 𝜐 = 0.3)
(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.5𝑚; 𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1= 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2= 200𝐺𝑃𝑎; 𝜐 = 0.3)
(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 1𝑚; 𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1= 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2= 200𝐺𝑃𝑎; 𝜐 = 0.3)
Fig.25: Deslocamento u para 𝑑 𝐿 = 0.5 Fig.26: Deslocamento v para 𝑑 𝐿 = 0.5
Referências Bibliográficas
[1] C. Wang, Applied Elasticity, McGraw-Hill INC, 1953
[2] Albino, Juan Carlos; Materiais com Gradação Funcional no Comportamento
Dinâmico de Linhas Flexíveis. Rio de Janeiro, 2011. 168p. Tese de doutorado -
Departamento de EngenhariaMecânica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. [3] Yin, H.M.; Sun, L.Z.; Paulino, G.H.; Micromechanics-based elastic model for
functionally graded materials with particle interactions; Acta Materialia 52 (2004)
3535-3543.
[4] Almeida, C.A.; Albino, J.C.R.; Menezes, I.F.M.; Paulino, G.H.; Geometric nonlinear
analyses of functionally graded beams using a tailored Lagrangian formulation;
Mechanics Research Communications 38 (2011) 553-559.
[5] Koizumi, M. The Concept of FGM. Ceramic Transactions, Functionally Gradient
Materials, v.34, p. 3-10, 1993
[6] Yamanouchi, M.; Koizumi, M.; Hirai, T.; Shiota, I. Proceedings of the First
International Symposium on Functionally Graded Materials, 1990.
[7] Ariciniega, R.A.; Reddy, J.N. Large deformation analysis of functionally graded shells.
Intnl. J. Solids and Structures, v.44, p.2036-2052, 2007.
[8] Chakraborty, A.; Gopalakrishnan, S.; Reddy, J.N. A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials. Int. J. Mech. Science, v.45, p.519-539, 2003
[9] Praveen, G.N.; Reddy, J.N. Nonlinear Transient Thermoelastic Analysis of Functionally Graded Ceramic-metal Plates. Intnl. J. Solids Struct., v.35, p. 4457-4476, 1998.
[10] Reddy, J.N.; Chin, C.D. Thermomechanical Analysis of Functionally Graded Cylinders and Plates. J. Thermal Stress, v.21, p. 593-626, 1998
