ESTUDO SOBRE TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO APLICADAS A UM PROBLEMA DE ENGENHARIA

CONVÊNIOS CNPq/UFU & FAPEMIG/UFU

Universidade Federal de Uberlândia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação DIRETORIA DE PESQUISA COMISSÃO INSTITUCIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA 2008 – UFU 30 anos

ESTUDO SOBRE TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO APLICADAS A UM PROBLEMA DE ENGENHARIA

Simone Pereira Saramago¹

Faculdade de Engenharia Mecânica, UFU,Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.

sisaramago@gmail.com

Valder Steffen Jr.²

Faculdade de Engenharia Mecânica, UFU,Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.

vsteffen@mecanica.ufu.br

Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo sobre os métodos de otimização e aplicá-los na solução de um problema de engenharia. Serão considerados tanto os métodos determinísticos, baseados no cálculo de derivadas ou em aproximações destas e no gradiente, quanto os métodos heurísticos, também conhecidos como métodos naturais, que são métodos aleatórios. Essas técnicas são aplicadas na otimização de um problema de usinagem por descarga elétrica. Para solução destes problemas são utilizados o Método do Multiplicador de Lagrange Aumentado e os Algoritmos Genéticos. O problema de usinagem é um problema de otimização multi-objetivo, sendo utilizado o método da ponderação dos objetivos, para transformar as funções objetivo em uma única função escalar.

Palavras-chave: otimização, métodos determinísticos, métodos heurísticos, problema multi- objetivo.

1. INTRODUÇÃO

Otimização consiste em encontrar uma solução ou um conjunto de soluções ótimas para uma determinada função ou conjunto de funções. O conceito de solução ótima é inerente do problema que se deseja otimizar. Por exemplo, em uma situação A modelada matematicamente por uma única função F_A há a necessidade de determinar um valor (valor ótimo) tal que F_A seja mínimo, ou ainda, uma situação B cujo modelo matemático seja expresso por n funções FBn (n = 1,2, 3,...,n) onde se pretende maximizar algumas e minimizar as demais. Neste caso, pode-se ter uma única solução, um conjunto de soluções ou ainda não haver solução que satisfaça todas as funções.

À medida que o número de funções e o número de variáveis aumentam, a dificuldade em se determinar o conjunto de soluções ótimas também aumenta. É neste contexto que surge a necessidade de desenvolver técnicas matemáticas e computacionais que refinem o processo de otimização, dado que este é amplamente utilizado para resolver problemas de engenharia.

Os métodos para a solução de problemas de otimização se dividem em dois grupos, os métodos baseados no cálculo (Deterministic Optimization) e os métodos randômicos ou aleatórios (Random Strategies). Quanto à presença de limitantes ao problema, tem-se a otimização irrestrita e a otimização restrita. Na otimização restrita existem os métodos indiretos (Métodos Seqüenciais e outros) e os métodos diretos (Programação Linear e outros). No grupo dos métodos aleatórios podem ser citados os métodos de ordem zero, Algoritmos Genéticos, Simulated Annealing, Redes Neurais, Evolução Diferencial.

2. O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

A forma genérica dos problemas de otimização é:

Minimizar f(X), sujeita a X ∈ S (1)

Em que f :ℜⁿ →ℜe S⊂ℜⁿ. S é chamado conjunto factível. O vetor X = [x₁, x₂,..., x_n] é composto pelas variáveis do projeto.

Em forma análoga, define-se maximizadores locais e globais. É possível observar que

“Maximizar f” é equivalente a “Minimizar –f”, razão pela qual se pode, sem perda de generalidade, falar apenas de “Minimização”.

Nem sempre é possível minimizar funções de várias variáveis por meio de uma solução analítica. Surgem, então, métodos numéricos, que visam tal objetivo.

2.1. Modelo Geral de Otimização

É conveniente pensar em algoritmos de otimização como uma aplicação iterativa. A maioria dos algoritmos de otimização requer um conjunto inicial de variáveis de projeto X⁰. A partir daí, o projeto é atualizado iterativamente:

q q

q

X S

X

⁺¹

= + α

^∗ (2) Em que q representa o número da iteração, X é o vetor das variáveis de projeto, S ^q o vetor direção de busca no espaço de projeto, α^* é o escalar multiplicador que define o passo que se deseja dar na direção de S.

O uso da Equação 2 consiste em duas etapas. Primeiro, a determinação da direção de busca S, e segundo, definir o parâmetro escalar α^*, o qual irá minimizar f(X) o máximo possível na direção S^q. A seção áurea é um dos métodos mais utilizados para determinação de α^* (Vanderplaats, 1999).

3. MINIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES

O problema geral de otimização com restrições consiste em minimizar uma função objetivo, sujeita, ou não, a restrições de igualdade, desigualdade e restrições laterais. A função objetivo e as funções de restrições podem ser funções lineares ou não lineares em relação às variáveis de projeto, implícitas ou explícitas, calculadas por técnicas analíticas ou numéricas.

Seja o problema geral de otimização dado por:

Minimizar:

) (X

f , X =[x₁,x₂,K,x_n]^T, X εℜⁿ (3) Sujeito a: g_j (X) ≥ 0, j=1,2,...,J

h_k(X) = 0, k=1, 2,..., K (4) x_i^(L)≤ x≤ x_i^(U), i= 1, 2,..., n

Sendo que f(X) representa a função objetivo, gj e hk as restrições de desigualdade e de igualdade. X assume valores em ℜⁿ e possui limites inferiores - X^(L) - e superiores -X^(U).

4. MÉTODOS INDIRETOS

Para minimizar uma função f(X), sujeita a restrições, adota-se o seguinte procedimento.

Minimiza-se a função objetivo, como uma função sem restrições, mas introduzindo penalidades para limitar a violação das restrições. Assim, cria-se uma nova função objetivo, denominada função pseudo-objetivo.

O ótimo do projeto restrito é obtido através da solução seqüencial de vários problemas sem restrição. Estes métodos são conhecidos como SUMT (Sequential Unconstrained Minimization Techniques). Uma aproximação clássica usando SUMT, para criar uma função pseudo-objetivo é dada por:

) ( ) ( ) ,

(X r_p = f X +r_pp X

φ (5)

Em que, f(X) é a função objetivo original; φ representa a função pseudo-objetivo; p(X) função de penalidade; r_p o coeficiente de penalidade e p o número da iteração.

O fator rp é mantido constante para uma dada iteração da minimização irrestrita, para nova atualização da direção de busca, pode-se atualizar rp. Para a eficiência do método, deve-se procurar um valor adequado para o fator de penalidade de forma a garantir que todas as restrições sejam obedecidas.

Existem várias formas de se escrever a função de penalidade, neste estudo foi considerado o método que será apresentado a seguir.

4.1. Método do Multiplicador de Lagrange Aumentado (MMLA)

Neste método, procura-se reduzir a dependência do algoritmo em relação à escolha dos coeficientes de penalidade e a maneira pela qual são utilizados. Reduz o mal condicionamento numérico normalmente introduzido pelas penalidades. A Função Lagrangeana clássica associada ao problema de otimização é dada por:

∑ + ∑

+

= = = +

m j

l

k k k

j

jg X h X

X f X L

1 ( ) 1 1 ( )

) ( ) ,

( λ λ λ (6)

Sendo λ_i os multiplicadores de Lagrange. A solução do problema geral é obtida pela função pseudo-objetivo:

[ ]

∑ +

+

= =

m

j j j p j

p f X r

r X A

1

) 2

( ) , ,

( λ λ ψ ψ ^{+ ∑}

[

⁺

]

= +

l

k m khk X rp hk X

1

))2

( ( )

λ ( (7)

Em que:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=

p j j

j g X r

), 2 (

max λ

ψ (8)

As atualizações de λ_j e λ_k+m são dadas por:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= +

=

⎥ =

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

+

=

+ + + +

l k X h r

m r j

X g r

k p p p

m p k

m k

p p j j p p

p j j

, 1 );

( 2

, 1 2 ;

), ( max . 2

1 1

λ λ

λ λ

λ (9)

Adota-se uma estimativa para λ¹_j e para λ¹_k+m permitindo obter X¹. Corrigem-se, então, os valores de λ e X a cada iteração, e no limite, pretende-se que convirjam para a solução ótima.

5. MÉTODOS HEURÍSTICOS DE OTIMIZAÇÃO

Em engenharia, os problemas geralmente são complexos, não lineares, de difícil representação e descritos por funções nem sempre diferenciáveis, necessitando de métodos numéricos para sua solução. Os métodos determinísticos, baseados no cálculo de derivadas ou em aproximações destas e no gradiente, produzem bons resultados quando as funções são contínuas, convexas e unimodais. No entanto, na maioria das vezes, são ineficientes quando aplicados a problemas que apresentam não diferenciabilidade ou descontinuidade. Os métodos heurísticos, também conhecidos como métodos naturais, se caracterizam pela busca da melhor solução através de regras de probabilidade, trabalhando de maneira “aleatória orientada”. Tais métodos utilizam apenas as informações da função de otimização, não requerendo informações sobre suas derivadas ou possíveis descontinuidades.

Os métodos naturais são procedimentos iterativos que tentam simular os processos usados na natureza para resolver problemas difíceis. Entre as técnicas mais conhecidas pode-se citar recozimento simulado (Simulated Annealing), Busca Tabu e um grupo de métodos baseados em população. Neste ultimo grupo, destacam-se os Algoritmos Evolutivos ou Evolucionários (Algoritmos Genéticos, Estratégias de Evolução, Evolução Diferencial, etc.) e os algoritmos baseados na inteligência coletiva (otimização por enxame de partículas, colônias de formigas, etc.).

Estes algoritmos se baseiam em população de indivíduos, onde cada indivíduo representa um ponto de busca no espaço de soluções potenciais de um dado problema e imitam os princípios da natureza para criar procedimentos de otimização. Os Algoritmos Evolutivos possuem alguns procedimentos de seleção baseados na aptidão dos indivíduos, e em operadores de cruzamento e mutação.

Cada vez mais estão sendo desenvolvidas pesquisas com estes métodos, visando comparar seus resultados com os métodos clássicos na solução de problemas de otimização.

5.1. Algoritmos Genéticos

A fundamentação dos Algoritmos Genéticos é baseada na genética natural. Desta forma, é comum o uso dos termos: indivíduos de uma população, cromossomos, genes e alelos. Nos Algoritmos Genéticos, a população de indivíduos é um conjunto de pontos do domínio da função a ser maximizada ou minimizada. A quantidade de pontos depende do número de variáveis de projeto do problema em questão.

Algoritmos genéticos são algoritmos iterativos, em que a cada iteração a população é modificada, usando as melhores características dos elementos da geração anterior e submetendo-as aos três tipos básicos de operadores genéticos, reprodução, cruzamento e mutação, para produzir melhores resultados (Goldberg, 1989), acompanhando o princípio Darwiniano da luta pela vida.

De modo geral, considere que se deseja otimizar uma função f qualquer de n variáveis, conforme abaixo:

Maximizar f(X) = f(x₁, x₂,..., x_n), sujeita a x_i^l < x_i < x_i^u , i = 1, 2,..., n (10)

Cada seqüência de n variáveis é denominada de cromossomo ou indivíduo (Haupt & Haupt, 2004) e cada uma das n variáveis é um gene. Cada gene é representado no sistema binário e os bits 0 e 1 são denominados alelos. O comprimento de cada gene depende da precisão requerida para o problema e da amplitude do intervalo onde ele está definido.

O procedimento consiste em criar, aleatoriamente, uma população inicial de indivíduos {C1,

Reprodução: é um processo no qual cada cadeia é copiada levando em conta os valores da função de adaptação f. A função de adaptação de cada indivíduo é um valor que representa o grau de adaptabilidade deste no contexto em que se encontra, ou seja, o quão próximo o indivíduo está da solução do problema em relação aos indivíduos da população.

Cruzamento: é um processo no qual a combinação de partes de cada um de dois cromossomos gera um novo descendente.

Mutação: é a modificação aleatória ocasional (de baixa probabilidade) do valor de um alelo da cadeia.

Os Algoritmos Genéticos, assim como muitos algoritmos evolutivos de otimização, são desenvolvidos para resolver problemas irrestritos. Assim, no caso de problemas com restrições, torna-se necessário introduzir modificações no método. Neste estudo, é utilizado o conceito, já visto anteriormente, de Função de Penalidade (Vanderplaats, 1999). Nesta técnica, a função de penalidade é:

[ ( ) ]

{ } [ ( ) ]

∑ + ∑

= = =

J j

L

l l

j X h X

g X

p

1 1

2

, 2

0 max )

( (11)

6. OTIMIZAÇÃO MULTI-OBJETIVO

Um problema de otimização multi-objetivo é definido quando se deseja minimizar ou maximizar várias funções objetivo simultaneamente, sendo que, em vários casos, uma função está em conflito com outra (Eschenauer et al, 1990). Este problema pode estar sujeito a restrições e todas as funções envolvidas podem ser não-lineares. Várias técnicas estão disponíveis e podem ser consideradas para resolver este complexo problema de otimização. Alguns métodos clássicos são baseados em escalonar as funções, sendo que o vetor função objetivo é transformado em uma função escalar, enquanto que outros métodos tratam as funções objetivo como restrições adicionais.

Este trabalho utiliza o método da ponderação dos objetivos na solução de problemas de otimização multi-objetivo. Neste método, os problemas de otimização multi-objetivo são substituídos por um problema de otimização escalar.

6.1. Método da Ponderação dos Objetivos

Seja um problema de otimização multi-objetivo formulado como a seguir.

Minimizar ou maximizar:

fi(X) = [f₁(X) f₂(X) ... f_n(X)] ^T i = 1, 2, ..., n (12) Sujeita a: xlmin ≤ xl ≤ xlmax, l = 1, 2, ..., L

gj(X) ≤ 0, j = 1, 2,..., J (13)

hk(X) = 0, k = 1, 2, ..., K

Em que xl é um vetor de variáveis de decisão, fi(X) é um vetor da função objetivo, gj(X), hk(X) são restrições de desigualdade e de igualdade, respectivamente.

No método da poderação dos objetivos, a solução de problemas multi-objetivo está baseado na substituição destes problemas por um problema de otimização escalar. Isso ocorre, por exemplo, através da criação de uma função da forma:

∑ =

= ∑

=

=

n

i i

n

i wifi X w X

f

1 1

1 ,

) ( )

( (14)

Na qual w_i ≥ 0 são os coeficientes de ponderação. Para os métodos numéricos de procura do mínimo dado pela Equação 14 a localização, depende não somente dos valores wi, mas também das unidades nas quais as funções são expressas. Para que w_i possa refletir bem a importância dos objetivos, todas as funções devem ser expressas em unidades que aproximem os mesmos valores numéricos (Deb, 2001). Com este objetivo a Equação 14 será escrita na seguinte forma:

, ) ( )

(

∑1

= = n

i wifi X ci

X

f (15)

em que c_i são fatores de multiplicação.

Os melhores resultados são, usualmente, obtidos se ci=(1/fio), onde fiorepresenta a solução ideal para o problema. Em alguns exemplos, o valor fio assume valores muito grandes ou muito próximos de zero. Neste trabalho adota-se o vetor objetivo de Nadir.

Dadas duas funções objetivo ^f₁

( )

^{X e f}₂

( )

^{X para X =}

[

^x₁ ^x₂

]

^T, considere:

( ) ( )

[

^{o o}

]

^{T o}

[ (

^o

) (

^o

) ]

^T

o f X f X e f f X f X

f₁ = ₁ ⁽¹⁾ ₂ ⁽¹⁾ ₂ = ₁ ⁽²⁾ ₂ ⁽²⁾ (16)

Em que f1

( )

Xo⁽¹⁾ e f2

( )

Xo⁽²⁾ são os valores mínimos das funções f₁

( )

X e f₂

( )

X , respectivamente, no espaço objetivo. O vetor objetivo de Nadir pode ser estimado por

( ) ( )

[

(2) 2 ⁽¹⁾

]

^.

1

o T o

nad f X f X

f = Este vetor pode ser aplicado ao método da ponderação dos

objetivos. Para duas funções objetivo, determina-se uma nova função objetivo, dada por:

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ( )

^⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= − ₍₂₎

2 2

) 2 2 ( 2 2

) 1 1 ( 1

) 1 1 (

1 1 nad o

o o

nad o

X f f

X f X w f X

f f

X f X w f X

f (17)

Pareto (1896) formulou um conceito de ótimo que continua sendo muito importante para a análise multi-objetivo. A maneira mais comum de definir este ótimo é dada por:

Um ponto X^* ∈ X é ótimo de Pareto se:

fi(X) ≥ fi(X^*) para todo i ∈ I = [1,2,....,n] (18) ou existe pelo menos um i ∈ I tal que:

fi(X) > fi(X^*) para no mínimo um i ∈ I (19) Esta definição é baseada no conceito intuitivo de que o ponto X^*é escolhido como o ótimo se nenhum objetivo pode ser melhorado sem prejudicar pelo menos outro objetivo. Infelizmente, o ótimo de Pareto quase sempre não dá uma única solução, mas, um conjunto de soluções chamadas de soluções não-inferiores ou soluções não-dominadas.

7. PROBLEMA DE USINAGEM POR DESCARGA ELÉTRICA

O processo de usinagem por descarga elétrica (EDM) baseia-se na destruição de partículas metálicas por meio de descarga elétrica. Para que o processo de EDM ocorra é necessário que os materiais envolvidos (peça a ser usinada e ferramenta) sejam bons condutores de eletricidade. Peça e eletrodo são mergulhados num recipiente que contém um dielétrico. Tanto a peça como o eletrodo estão ligados a uma fonte de corrente contínua, por meio de cabos. Geralmente, o eletrodo tem

Figura 1, forma-se uma tensão elétrica entre o eletrodo e a peça. De início não há passagem de corrente, já que o dielétrico atua como isolante. Quando o espaço entre a peça e a ferramenta é diminuído até uma distância determinada (GAP), o dielétrico passa a atuar como condutor, formando uma “ponte” de íons entre o eletrodo e a peça. O processo de usinagem ocorre simultaneamente na peça e no eletrodo. Com ajustes da máquina, é possível controlar a erosão, de modo que se obtenha até 99,5% de erosão na peça e 0,5% no eletrodo. O tamanho da GAP pode determinar a rugosidade da superficie da peça. Com um GAP baixo, o tempo de usinagem é menor, mas a rugosidade é maior. Já um GAP mais alto implica maior tempo de usinagem e menor rugosidade da superfície. O fornecimento de corrente é interrompido pelo afastamento do eletrodo.

O dielétrico atua na limpeza das partículas fundidas e ainda refrigera a superfície usinada. O ciclo recomeça com a reaproximação do eletrodo até a distância GAP, provocando uma nova descarga (Cruz et al., 1999).

Figura 1: Esquema simplificado do processo de eletroerosão (Cruz et al., 1999).

O caso em estudo, que visa modelar a usinagem de um furo com alta precisão, foi escrito considerando duas funções objetivo: a minimização do desgaste do eletrodo δ em porcentagem, Equação 20, e do consumo potência elétrica N em W , Equação 21.

) 20 ( ₀^{13,609 2,045ln 0,207ln 12,219 0,171ln 3,102}

ln 253 , 0 ln 344 , 0 ln 551 , 0 726 , ln 3 174 , 0 ln 119 , 0 ln 335 , 0 ln 349 , 0 634 , 509 5 ,

81 _{0 0}

−

− +

−

+

−

− +

+

−

−

= −

g t

t I

e

g g

g i t

g t

t_i

φ δ

φ

φ φ

) 21 ( ₀^{0,845 0,197ln 0,058ln 0,557 0,003ln 0,005}

ln 016 , 0 ln 048 , 0 ln 071 , 2300 , 0 ln 053 , 0 ln 140 , 0 ln 119 , 0 ln 066 , 0 341 , 1 663 .

0 _{0 0}

g t

t I

e N

g g

g i t

g t

t_i

−

−

−

+

− +

+

−

−

= −

φ φ

φ φ

As variáveis de projeto foram: duração do pulso elétrico t_i em μs, o intervalo de tempo do pulso t0 em μs, a corrente de descarga I em A, o diâmetro da perfuração φ em mm e a profundidade da perfuração g em mm, sujeitas às seguintes restrições laterais:

2000

500≤t_i ≤ ; 250125≤t₀ ≤ ; 50≤φ≤70; 5≤ g≤10; 64≤ I ≤128 (22) Conforme a Equação 18, foram obtidas as soluções ideais para o caso em estudo, sendo que os resultados encontrados são mostrados na Tabela 1, considerando: Caso 1 - δ^o = min δ e Caso 2 - N° = min N.

Neste trabalho, para resolução do problema com restrição através da aplicação do método do multiplicador de Lagrange aumentado (MMLA), utilizou-se a subrotina constr do Matlab®.

Enquanto que, para aplicação dos algoritmos genéticos, utilizou-se a sub-rotina GAOT do Matlab®.

Em cada aplicação do método foi considerada uma população de 80 indivíduos e 100 gerações, sendo executadas 30 iterações do método, escolhendo-se o melhor valor (Grace, 1992).

Tabela 1: Resultados obtidos para soluções ideais.

MMLA (constr) Algoritmos Genéticos (GAOT) Pontos Iniciais Caso 1 Caso 2 Caso 1 Caso 2

I (A) 100 64 64 64 64

ti (μs) 1000 2000 500 2000 500

t₀ (μs) 100 250 250 250 250

φ (mm) 60 70 70 70 70

g (mm) 07 10 10 10 10

δ (%) 1,6698 0,1980 1,9417 0,1980 1,9417 N (W) 5610,3 3604,2 2806,5 3604,2 2806,5 f⁰ - 0,1980 2806,5 0,1980 2806,5 Tabela 2: Resultados obtidos com o Método da Ponderação dos Objetivos para o problema da

usinagem de um metal por descarga elétrica, utilizando-se MMLA.

w1 w2 I

(A) ti (μs) t0

(μs) φ (mm)

g

(mm) Δ (%) N (W) Tempo

(s) K f(X)

1,0 0,0 64 2000,0 125 70 10 0,2250 3811,7 0,2970 128 0,0155 0,9 0,1 64 2000,0 250 70 5 0,2035 3569,3 0,8120 704 0,0984 0,8 0,2 64 2000,0 250 70 5 0,2035 3569,3 0,2810 248 0,1937 0,7 0,3 64 1013,9 250 70 10 0,6061 3188,4 0,1870 62 0,3075 0,6 0,4 64 1006,1 250 70 10 0,6140 3183,9 0,1880 176 0,3324 0,5 0,5 64 1003,1 250 70 10 0,6170 3182,2 0,1560 68 0,3556 0,4 0,6 64 994,3 250 70 10 0,6260 3177,2 0,2340 74 0,3770 0,3 0,7 64 561,9 250 70 10 1,6020 2866,3 0,2970 167 0,2940 0,2 0,8 64 500,0 250 70 10 1,9417 2806,5 23,3130 46838 0,2000 0,1 0,9 64 500,0 250 70 10 1,9417 2806,5 0,2190 212 0,1000 0,0 1,0 64 500,0 250 70 10 1,9417 2806,5 53,9530 63752 9,1*10^-6

Tabela 3: Resultados obtidos com o Método da Ponderação dos Objetivos para o problema da usinagem de um metal por descarga elétrica, utilizando-se algoritmos genéticos.

w₁ w₂ I

(A) t_i (μs) t0

(μs) φ

(mm) g

(mm) δ (%) N (W) Tempo

(s) K f(X)

1,0 0,0 64 2000,0 250 70 10 0,1980 3604,2 16,3800 1679 2,7*10^-5 0,9 0,1 64 2000,0 250 70 5 0,2035 3569,3 16,7390 1712 0,0984 0,8 0,2 64 2000,0 250 70 5 0,2035 3569,3 17,2690 1771 0,1937 0,7 0,3 64 1616,7 250 70 5 0,2998 3443,0 19,7660 1970 0,2790 0,6 0,4 64 1115,5 250 70 10 0,5180 3243,8 17,8000 1836 0,3294 0,5 0,5 64 893,4 250 70 10 0,7467 3116,4 17,0350 1914 0,3516 0,4 0,6 64 715,6 250 70 10 1,0758 2994,1 17,7380 2061 0,3425 0,3 0,7 64 562,0 250 70 10 1,6020 2866,3 18,0340 2007 0,2940 0,2 0,8 64 500,0 250 70 10 1,9417 2806,5 14,8820 1692 0,2000 0,1 0,9 64 500,0 250 70 10 1,9417 2806,5 15,3970 1754 0,1000 0,0 1,0 64 500,0 250 70 10 1,9417 2806,5 16,1300 1704 9,1*10^-6

Figura 2: Conjunto ótimo de Pareto para o problema da usinagem de um metal por

descarga elétrica usando o método da Ponderação dos Objetivos e MMLA.

Figura 3: Conjunto ótimo de Pareto para o problema da usinagem de um metal por

descarga elétrica usando o método da Ponderação dos Objetivos e algoritmos

genéticos.

Para a solução do problema de otimização definido nas Equações 20 a 22, utilizou-se o método da ponderação dos objetivos proposto na Equação 17, sendo os valores ideais mostrados na Tabela 1. Observando os resultados apresentados nas Tabelas 2 e 3, verifica-se que os valores ótimos obtidos foram sensíveis à variação dos coeficientes de ponderação wi conforme mostrado nas Figuras 2 e 3, que representam a curva do conjunto ótimo de Pareto.

Na Figura 4 é possível visualizar as funções objetivos encontradas pelos dois métodos - MMLA e algoritmos genéticos, de acordo com a variação do coeficiente de ponderação w_1.

Observando-se a Figura 4, é possível notar que o valor da função objetivo encontrada pelos algoritmos genéticos foi coincidente ou menor que o apresentado pelo MMLA. Dessa forma, os algoritmos genéticos se mostraram como um método mais eficiente na resolução do problema de usinagem. No entanto, como já era esperado, este método, por ser randômico, necessita de um número de iterações maior que o MMLA, que é um método seqüencial.

Figura 4: Funções objetivos apresentada por MMLA e algoritmos genéticos, conforme a variação do coeficiente de ponderação w1.

8. CONCLUSÃO

Neste trabalho, métodos de otimização foram estudados e aplicados na otimização de um problema de usinagem por descarga elétrica. Os algoritmos genéticos obtiveram resultados coincidentes ou melhores que os encontrados pelo MMLA. As técnicas utilizadas se mostraram, portanto, como ferramentas eficientes na solução de problemas de engenharia.

9. AGRADECIMENTOS

Este trabalho teve apoio do PIBIC/CNPq/UFU.

10. REFERÊNCIAS

Cruz, C., Malaquias, E. S. and Fernandes, L. A, 1999, “Introdução à usinagem não tradicional”, Uberlândia-MG: DEEME, UFU, p. 7-19.

Deb, K, 2001, “Multi-objetive optimization using Evolutionary Algorithms”, John Wiley &

Sons.

Eschenauer, H., Koski, J. and Osyczka, A, 1990, “Multicriteria Design Optimization”, Berlin, Springer-Verlag.

Goldberg, D. E, 1989, “Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning”, Reading, MA: Addison-Wesley.

Grace, A, 1992, “Optimization Toolbox- For use with Matlab”, The Math Works Inc., Natick.

Haupt, R. L. and Haupt, S. E., 2004, “Practical Genetic Algorithms”, Wiley-Interscience Publication, New York.

Vanderplaats, G. N, 1999, “Numerical Optimization Techniques for Engineering Design”, Colorado Springs, CO: Vanderplaats Research & Development, Inc., 3. ed.

STUDY OF OPTIMIZATION METHODS APPLIED IN ENGINEERING PROBLEMS

Simone Pereira Saramago

Faculdade de Engenharia Mecânica, UFU,Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.

sisaramago@gmail.com

Valder Steffen Jr.

Faculdade de Engenharia Mecânica, UFU,Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.

vsteffen@mecanica.ufu.br

Abstract: The objective of this work is to present a study of optimization methods and applying them to solve an engineering problem. Both deterministic methods, based on calculations of derivatives or in their approaches and the gradient, and heuristic methods, also known as natural methods, which are pseudo-random methods will be taken into account. As example, these techniques are applied to optimize an electrical discharge machining problem. To this aim the Augmented Lagrange Multiplier Method and Genetic Algorithms have been used. As the machining problem is a multi-objective optimization problem, the weighting objectives method was used to write a single objective scalar function that takes into account all the different objectives.

Keywords: Optimization, deterministic methods, heuristic methods, multi-objective problem.