PRODUÇÃO DE IDÉIAS SOBRE PROBABILIDADE DESENVOLVIDA POR ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL EM ATIVIDADES EXPLORATÓRIO INVESTIGATIVAS.

Texto

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PRODUÇÃO DE IDÉIAS SOBRE PROBABILIDADE DESENVOLVIDA POR ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL EM ATIVIDADES EXPLORATÓRIO–

INVESTIGATIVAS.

JAQUELINE APARECIDA FORATTO LIXANDRÃO SANTOS (UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO - ITATIBA/SP).

Este é um trabalho em andamento que surgiu da seguinte questão: Que idéias sobre probabilidade desenvolvem os alunos tendo como contexto atividades exploratório–investigativas? Para esse propósito está sendo elaborada uma sequência de atividades do tipo exploratório–investigativas tendo como contexto a probabilidade, que será desenvolvida em duas salas do 7º ano do ensino fundamental (com aproximadamente 30 alunos em cada sala), pela pesquisadora em uma escola da Rede Pública Estadual, onde ministra aulas. A pesquisa tem como objetivos identificar ideias probabilísticas que emergem do processo de comunicação (oral/escrita) tendo como contexto de sala de aula atividades exploratório–investigativas e analisar o processo de produção de tais idéias em um contexto de interação e negociação em aulas exploratório–investigativas. Tendo em vista a dinâmica das atividades, que é caracterizada pelo processo de exploração, formulação de questões e conjecturas, teste, reformulação e justificação de conjecturas e o objetivo da pesquisa, nossa análise se pautará na etapa de desenvolvimento e socialização das atividades por meio do diário de campo da professora, nos registros escritos e nas gravações de áudio e vídeo dos alunos.

Acreditamos que o presente trabalho contribua com as pesquisas em estocástica, no ensino da probabilidade nas escolas e consequentemente no pensamento probabilístico dos estudantes.

Resumo

Probabilidade, Estocástica, Investigações atemáticas.

Palavras-chave:

Introdução

O objetivo deste artigo é apresentar nossa pesquisa[1] de mestrado, que está em andamento. Iniciamos os nossos estudos e hipóteses por meio de reflexões sobre experiências no processo de ensino e aprendizagem de matemática, mais precisamente em relação às probabilidades, compartilhando das reflexões apresentadas por Powell e Bairral: "No modelo tradicional de ensino, apelidado por alguns de "cuspe e giz", encontramos poucas situações que solicitam que os alunos reflitam sobre a matemática que vão aprender, sobre o que pensam dessa área ou sobre eles próprios em relação à disciplina" (POWELL; BAIRRAL, 2006: 47)

Em outras palavras, partimos da hipótese de que o modelo tradicional[2] de ensino não tem mobilizado o desenvolvimento do pensamento estatístico e probabilístico dos alunos, provavelmente seus conceitos têm sido apresentados de forma pré- concebida, onde predominam as regras e a memorização das mesmas, as narrações de práticas e reflexões de outras pessoas (aprendizagem passiva).

Pensamos que a estatística e probabilidade são sugestivos quanto à investigação, à

processo dinâmico, à ligação dialética entre ideário e reflexões e para tal propomos

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uma sequência de atividades em uma abordagem de investigação[3], envolvendo conceitos relacionados à probabilidade como principio norteador de nossa pesquisa, com o desejo de identificar neste contexto as idéias sobre este conceito que os alunos apresentam no processo de comunicação (oral/escrita) e analisar o processo de produção destas idéias levando em conta a interação entre alunos, professora- pesquisadora e a sequência de atividades.

Abordamos, respectivamente, nos próximos trechos uma síntese da revisão teórica que pretendemos trabalhar sobre conceitos probabilísticos e investigações matemáticas. Posteriormente apresentamos a metodologia adotada na investigação, uma das tarefas realizadas em sala de aula - Jogo do Lobo Mau e da Chapeuzinho-, assim como as respostas/argumentações dos alunos durante a realização da atividade. Ao final, nossas considerações a respeito da pesquisa e da tarefa apresentada.

Segundo Costa, o estudo matemático das probabilidades estabelece relação com estatística na "utilização de técnicas analíticas para identificar e caracterizar eventuais relações entre as variáveis em estudos e os níveis de relação entre tais variáveis que se fundamenta na Teoria das Probabilidades" (COSTA, 2007: 25). Em nosso trabalho, deteremos-nos ao estudo da teoria das probabilidades, porém entendemos que não seja possível tratarmos do pensamento probabilístico isolado de uma perspectiva mais ampla que inclui a estatística, como é proposto pelos estudos no campo da estocástica.

O Pensamento Probabilístico: concepções sobre probabilidade e estocástica

As diferentes abordagens frente às concepções probabilísticas, de acordo com Fernandes (1999), apresentam caráter multifacetado e que pode induzir a diferentes perspectivas. De modo semelhante, Shaughnessy (1992) ressalta que a tradição dualista da noção de probabilidade, (como grau de crença e como cálculo de frequências), ainda é bastante comum.

Vários autores (Hawkins & Kapadia,1984; Orton (apud CIRINO 2007, p. 33);

Fernandes, 1999 e Godino et al., 1996) apresentam classificações quanto aos conceitos de probabilidade, a maioria delas coincidem em número e denominação, no entanto, outras utilizam outros termos, porém com características semelhantes.

Atribuem-se ao conceito clássico

a definição de concepção clássica baseada em Laplace por meio da obra "Teoríe analytique dês probabilités", publicada em 1812.

Assim, a probabilidade é definida pela razão entre números de casos favoráveis em relação ao número total de casos possíveis, desde que esteja explícito que todos os resultados sejam igualmente prováveis de ocorrer. Nesta definição de probabilidade:"...assume-se implicitamente a eqüiprobabilidade de todos os acontecimentos elementares do espaço amostral e constitui uma abordagem a priori da probabilidade, pois calculam-se probabilidades antes da realização de qualquer experiência física" (FERNANDES, 1999: 51).

Tal definição também é contemplada por Carvalho e Oliveira (2002), ao retomar

que a característica de eqüiprobabilidade também é garantida pela estratégia de

utilização de simetria física ou por outra estratégia utilizada nas situações-problema

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a fim de evidenciar que todos os resultados tenham as mesmas vantagens que os demais.

A principal característica do conceito frequentista ou empírico

é que a probabilidade de um acontecimento emerge do processo de uma experimentação. Segundo Carvalho e Oliveira (CARVALHO; OLIVEIRA, 2002), o valor da probabilidade é dado pela frequência relativa de sucessos obtidos na realização de um experimento:

Dado o interesse pela ocorrência de um sucesso específico, vamos simbolizá-lo por A, registramos o número de vezes que isto acontece n

a

e o número total de repetições n realizadas em um determinado experimento. A razão freqüencial ou a freqüência relativa de que A ocorra, ou seja, n

a

/n parece tender a um limite à medida que o número total de experimentações tenda ao infinito. (p.2)

Dessa forma, as probabilidades são atribuídas baseadas em resultados de experiências realizadas, o que é denominado por: probabilidade a posteriori, uma vez que é calculada depois dos experimentos terem sido realizados.

Assim, a interpretação de tal probabilidade envolve dificuldades, pois pode conduzir as pessoas a decisões equivocadas. Essas dificuldades são resultantes da utilização de um mesmo limite para a freqüência relativa e também da definição do que se entende por "aleatoriedade" e por "semelhança" (Fernandes, 1999).

Nesta perspectiva, eventos individuais são inseridos no coletivo, ou seja, eventos semelhantes são inseridos em um mesmo contexto, assumindo essas propriedades individuais.

Na perspectiva subjetivista

Shaughnessy (1992) ressalta que é possível matematizar probabilidades subjetivas como uma forte dependência sobre o teorema de Bayes, e uma teoria que possibilite uma (re)significação de probabilidades, baseada nas informações acessíveis - informações prévias e as suas experiências.

, as probabilidades expressam grau de crença ou percepção pessoal. O individuo utiliza suas experiências e conhecimento sobre o assunto para expressar a probabilidade de um sucesso, o que possibilita diferentes medidas de probabilidade para um mesmo sucesso. Fernandes (1999) a designa por "personalista", pois segundo o autor as duas concepções anteriores - clássica e frequentista - são propriedades do mundo real, enquanto que na percepção subjetivista as probabilidades são avaliações pessoais de situações aleatórias, inerentes à mente do individuo. Desse modo, a probabilidade passa de uma avaliação externa ao sujeito para uma avaliação centrada no sujeito.

A concepção formal ou axiomática

da probabilidade, vigente nos dias atuais,

originou-se dos trabalhos de Kolmogorov. Surgiu como oposição à concepção

clássica e apoiada na teoria dos conjuntos. Segundo Carvalho e Oliveira

(CARVALHO; OLIVEIRA, 2002):

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O autor elege E como espaço amostral associado a um experimento aleatório e A como um subconjunto formado pelos sucessos de E. A função P definida sobre A é uma medida de probabilidade de E

se: todo sucesso S ÎA corresponde um número P(S), tal que 0 < P(S) < 1, a probabilidade do sucesso certo é dado por P(E)=1 e a probabilidade de um sucesso impossível é dado por P(E)=0. (p. 3)

Em que a compreensão sobre tais conceitos relacionados ao pensamento probabilístico nos possibilita para essa pesquisa? Acreditamos que algumas dessas diferentes concepções estejam presentes no ideário e discurso de alunos na Educação Básica, principalmente daqueles que ainda não tiveram a oportunidade de vivenciar teoricamente conceitos relacionados à probabilidade como medida, idéia de aleatoriedade, probabilidade condicional, etc. Com relação a uma perspectiva didática, poderíamos ainda acrescentar as concepções estocásticas/probabilísticas sugeridas por Shaughnessy (1992), Azcárate e Cardeñoso (apud Serradó et al

Serradó 2006: 95). ,

et al

orientou-se nos referidos estudos para elaborar um modelo explicativo de hipóteses progressivas do conhecimento probabilístico. Os autores utilizam esse modelo como referencia na orientação, interpretação de dados e formulação de hipóteses em suas investigações. O modelo configura quatro hipóteses de progressão, em relação ao tratamento da probabilidade, que são divididas em dois aspectos, conceitual e quantificador.

Quadro 1 - Resumo das hipóteses de progressão do conhecimento probabilístico proposto por Serradó et al

(2006: 96, tradução nossa).

Inclusão não

explícita Tratamento

intuitivo Tratamento

emergente Tratamento normativo Apresentam

algumas explicações

subjetivas Aspecto

conceitual Explicações

subjetivas e laplacianas em

contextos de jogos

Explicações subjetivas, frequênciais e laplacianas em qualquer tipo de

contexto

Modelização (laplaciana, frequencial e

bayesiana) como base para

uma definição axiomática Promove

Aspecto quantificador

raciocínio aritmético

Raciocínio aditivo sobre incerteza do sucesso (como

síntese de azar/necessidade)

e raciocínio proporcional

Raciocínios proporcionais e

combinatórios incompletos

Aplicação e raciocínio combinatórios de propriedade

baseados em

visão normativa

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É indiscutível a importância das pesquisas sobre as concepções e conhecimentos probabilísticos e estocásticos, sejam elas por diferentes enfoques ou linhas de investigações, para contornarmos as dificuldades enfrentadas em sala de aula por professores e alunos frente ao ensino e aprendizagem das probabilidades e estatística, assim como a metodologia adotada e os papéis desempenhados por alunos e professores.

Na organização das tarefas e na dinâmica em sala de aula, partimos da idéia de cenário para investigação, segundo Skovsmose (2008):

Abordagem Investigativa: Resolução de Problemas e Investigações Matemáticas

"As práticas em sala de aula baseadas num cenário de investigação diferem fortemente daquelas baseadas em exercício. A distinção entre elas tem a ver com as "referências" que visam levar os estudantes a produzir significados para atividades e conceitos matemáticos" (SKOVSMOSE, 2008: 21-22).

Para o autor, o significado de referência não está relacionado somente com as características dos conceitos e sim com as ações e os motivos dessas ações, mais precisamente com o contexto que possibilita ao aluno localizar um objetivo em suas ações.

Para Ernest (1998), os conceitos de problema e investigações estão relacionados com a inquirição matemática e estabelece distinção entre:

•· Foco ou objeto de inquirição: trata-se do problema em si ou do ponto de partida da investigação;

•· Processo de inquirição: na investigação tem-se um objetivo e não um destino enquanto que no processo de resolução de problemas tem-se um caminho a encontrar para alcançar o objetivo. Em outras palavras, nas investigações parte-se de uma situação problemática, porém outras situações vão surgindo durante a realização da atividade que faz com que a mesma se tome outros rumos. No entanto, na resolução de problemas você parte de um problema, cuja resolução é a atividade de procura de caminho, que não se conhece de antemão, para atingir o seu objetivo (que pode estar relacionado com uma ou mais solução, da mesma forma que pode não ter uma solução).

•· Pedagogia da inquirição: considera a resolução de problemas e as investigações como uma abordagem pedagógica que envolve mudanças nos processos matemáticos e no papel do professor que "deixa de ter o controle sobre as respostas, sobre os métodos aplicados pelos alunos e sobre as escolha de conteúdos de cada aula" Ernest (apud LIMA, 2006: 29).

De acordo com as colocações dos autores, entendemos que há consenso de que

resolução de problemas e as investigações matemáticas estão relacionadas ao

processo de inquirição, e estão ligados aos processos de interpretação dos alunos e

pela dinâmica em que são abordados em sala de aula.

(6)

Ponte et al.

•·

(2006) sugere que a dinâmica das atividades investigativas seja organizada em três fases:

Introdução:

•·

momento que a tarefa é apresentada a classe;

Desenvolvimento:

•·

realização da tarefa nos pequenos grupos (cada aluno tem uma função[4] pré-definida);

Discussão dos resultados:

O autor acrescenta que esse contexto possibilita ao aluno uma postura ativa, ou seja, de formulador de questões, conjecturas, provas e refutações perante o seu grupo, colegas de classe e professor, tanto na realização da tarefa como na apresentação dos resultados.

socialização das conclusões dos grupos e formulação de novas conclusões.

Resumindo, de acordo com essas perspectivas, organizamos nossa sequência de atividades, tendo como foco questões estocásticas, onde os sujeitos organizados em pequenos grupos (quarto alunos), ora encontravam o seu próprio caminho para resolver o problema, ora criavam problemas dentro da situação. Optamos pela organização da dinâmica, dividida em três fases, como sugerida por Ponte et al.

(2006).

Como foi mencionada na introdução, a pesquisa está em andamento, a revisão teórica está sendo concluída e iniciaremos o processo de análise. Ela se caracteriza como um estudo de caso em uma abordagem qualitativa, de acordo com as perspectivas abordadas pelos autores: Lüdke e André (1986), Bogdan e Biklen (1994) e Goldenberg (1997). O foco central de nossa investigação são as idéias probabilísticas que desenvolvem os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental em um ambiente investigativo, em uma perspectiva de resolução de problemas.

Metodologia de Investigação

Os sujeitos envolvidos são alunos de duas classes do 7º ano do ensino Fundamental, de uma Escola da Rede Estadual de Ensino do interior de São Paulo, em que a professora[5]-pesquisadora ministra aulas de Matemática.

Foi proposto aos sujeitos, em contexto de sala de aula, uma sequência de tarefas[6] que visam mais diretamente às probabilidades, porém é possível identificar em algumas, aspectos relativos à estatística. No total são dezoito tarefas, divididas em nove etapas que proporcionaram aos alunos contato com a linguagem ligada à estocástica, análise de possibilidades, estimativa de medida de chances, experimentação e avaliação de situações reais e simuladas. Também procuramos empregar os quatro conceitos de probabilidade como sugerido por Shaughnessy (1992) que defende uma abordagem pragmática que envolve vários conceitos de modelagem probabilística, que apresentamos anteriormente.

A realização da sequência de atividades com alunos e pesquisa de campo exigiram

instrumentos de coleta de dados adequados aos procedimentos adotados. Dessa

forma, a coleta de informações se deu por meio dos: (a) registros escritos dos

grupos de alunos em folha impressa fornecida pela professora, realizados durante a

atividade, (b) registros em áudio de entrevista semi-estrutuada realizada com

alguns alunos fora do contexto de sala de aula, (c) registros em vídeo da classe

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durante a socialização das atividades e (d) registros escritos da professora- pesquisadora no diário de campo.

Pretendemos analisar todo o material coletado, descritos acima, talvez organizando as atividades por eixo temático, centrando nossa atenção nos elementos que emergiram no contexto de sala de aula, os quais descrevemos abaixo:

•· Quais as idéias sobre os conceitos probabilísticos que os alunos apresentam no processo de comunicação (oral/escrita) durante a dinâmica investigativa?

•· Como acontece a interação entre os envolvidos frente à sequência de atividades e quais as influências dessa interação na formação do pensamento probabilístico?

Os quadros, a seguir, apresentam, respectivamente, uma das tarefas propostas aos alunos e as respostas/justificativas apresentadas pelo grupo, por meio de registro escrito, sobre a tarefa.

Quadro 2 - A tarefa "o jogo do Lobo Mau e da Chapeuzinho"[7]

Lobo Mau propôs o seguinte jogo para Chapeuzinho Vermelho:

- Cada um lança alternadamente, 10 vezes uma moeda para cima.

- Se as duas moedas apresentam cara, a Chapeuzinho ganha 1 ponto.

- Caso isso não ocorra. O Lobo Mau é quem ganha 1 ponto.

Quem obtiver o maior número de pontos ficará com os doces da vovó.

•a) Você considera o jogo justo? Justifique.

•b) Quem tem mais chances de ficar com os doces? Por quê?

c) Então, o que é melhor? Ser a Chapeuzinho ou o Lobo Mau?

Quadro 3 - Respostas/Justificativas transcritas dos registros escritos dos grupos, feitos durante o desenvolvimento da tarefa:

"GRUPOS DO NÃO" "GRUPOS DO SIM"

7 grupos responderam que não era justo.

Você considera o

jogo justo? 6 grupos responderam que

o jogo era justo.

Lobo.

Quem tem mais chances de ficar com

os doces?

Ambos, os dois, ninguém, qualquer um.

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Lobo quer trapacear;

Por quê?

Lobo tem mais chances de vencer;

O Lobo tem que fazer só uma coroa e Chapeuzinho tem que fazer duas caras;

Se sair cara e coroa o Lobo é quem ganha;

2 x caras a Chapeuzinho ganha, 1 x coroa e 2 x coroa o Lobo ganha;

O lobo tem duas chances de ganhar e a Chapeuzinho só uma;

O Lobo tem duas

possibilidades e Chapeuzinho apenas uma, mas isso não quer dizer que o Lobo ganhará.

Tem chances iguais (as mesmas);

Se um perder o ponto passa para o outro;

Jogam a moeda alternadamente;

Chapeuzinho pode ganhar ou perder e o Lobo também.

Lobo (todos os grupos).

Então, o que é melhor? Ser a Chapeuzinho ou o

Lobo Mau?

Chapeuzinho (2 grupos);

Qualquer um, tanto faz (3 grupos) e Nenhum (1 grupo).

Na socialização, as respostas e argumentações apresentadas foram as seguintes:

•n Grupos "do não" argumentaram dizendo aos "colegas do sim" ter três possíveis resultados: cara/cara, coroa/coroa e cara/coroa. Com a intervenção da professora (registrando na lousa as possibilidades e questionando-os quanto às chances de cada um) concluíram que havia quatro possibilidades e formalizaram que as chances do Lobo era de ¾ (75%) e da Chapeuzinho ¼ (25%).

•n Todos passaram a achar o jogo injusto e baseado no julgamento de alguns alunos em relação à atitude do Lobo surgiu uma discussão sobre questões éticas.

Como já foi mencionado, a pesquisa está em andamento, não tendo ainda iniciado

o processo formal de análises, porém reflexões e considerações foram realizadas a

partir das preciosas contribuições da Profa. Beatriz D'Ambrosio no seminário interno

à linha de pesquisa Matemática, Cultura e Práticas Pedagógicas da USF/Itatiba e

nos conduziram a coleta de novos dados. Outras atividades, envolvendo a temática

desenvolvida nas tarefas serão realizadas com alguns alunos (individualmente),

fora do contexto de sala de aula, juntamente com entrevistas semi-estruturadas. O

Considerações Finais

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objetivo é analisar se as hipóteses observadas no momento da socialização se confirmam em outras atividades e contexto.

Durante o desenvolvimento das tarefas, apresentada neste artigo, "o jogo do Lobo Mau e da Chapeuzinho", observamos que a mesma promoveu o trabalho colaborativo entre os sujeitos da pesquisa. Os alunos fizeram uso de linguagem estocástica, de hipóteses conceituais e quantificadoras - nos registros realizados nos grupos e nas argumentações perante os colegas e professora - as quais pretendemos fazer novas observações.

BOGDAN, R. C. & BIKLEN, S. K.

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[1]Profª Jaqueline Aparecida Foratto Lixandrão Santos - Mestranda da Universidade São Francisco - Itatiba/SP e Profª Drª Regina Célia Grando - Orientadora.

[2] Prática de ensino onde reflexões de outras pessoas são-lhes narradas e pede-se simplesmente que eles memorizem. Procedimento denominado por Freire (1970, 1973) de método bancário e por Gattegno (1970) de método tradicional de ensino.

(apud

[3] Um cenário de investigação é aquele que convida os alunos a formular questões e a procurar explicações. Quando os alunos assumem o processo de exploração e explicação, o cenário para investigação passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem. No cenário de investigação os alunos são responsáveis pelo processo. - Skovsmose (2008: 21)

POWELL e BAIRRAL, 2006: 48)

[4] Redator, responsável pelos registros escritos do grupo; cronometrista, aquele que organiza o tempo necessário e utilizado durante a tarefa; orador, que apresenta as conclusões do grupo perante a classe e coordenador, orienta o trabalho do grupo.

[5] A professora cursou o magistério, licenciatura em ciências/matemática e pedagogia, especialização em educação Infantil. Atua há dezesseis anos na Educação, iniciou como professora em classes de Educação Infantil, posteriormente nos anos iniciais do Ensino Fundamental, atualmente leciona Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio em uma Escola da Rede Estadual de Ensino.

[6] A sequencia de atividades foi elaborada junto ao grupo pesquisa em Educação Matemática da Universidade São Francisco (campus de Itatiba) - GRUCOMAT (Grupo Colaborativo de Matemática)- o qual fazemos parte.

[7] LOPES, A. J. (Bigode). Matemática agora é feita assim. 7ª séries. São Paulo:

FDT, 2000.

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Referências

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