Imersões isométricas em grupos de Lie nilpotentes e solúveis

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CI ˆENCIAS

P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

Marcos Ferreira de Melo

IMERS ˜

OES ISOM ´ETRICAS EM GRUPOS DE LIE

NILPOTENTES E SOL ´

UVEIS

(2)

Marcos Ferreira de Melo

IMERS ˜

OES ISOM ´ETRICAS EM GRUPOS DE LIE

NILPOTENTES E SOL ´

UVEIS

Tese submetida à Coordenação do Curso de P ós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor em Matemática.

´

Area de concentrac¸˜ao: Geometria diferencial.

Orientador:

Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira.

(3)

Melo, Marcos Ferreira de

M486i Imers ões isométricas em grupos de Lie nilpotentes e sol úveis.

Marcos Ferreira de Melo – Fortaleza: 2008. 104f.

Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira.

´

Area de concentrac¸˜ao: Geometria Diferencial

Tese (doutorado)- Universidade Federal do Cear´a;

Departamento de Matem´atica, 2008

(4)

i

(5)

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, a Jeová Deus pelo dom da vida e por todas as bênçãos a mim concedidas.

Agradeço à minha esposa, Rebeca Melo, pelo amor, carinho e compreensão em todos esses anos.

Agradeço à minha mãe, Aurea e minha irmã Joyce pelo afeto e incentivo durante a minha vida.

Agradec¸o ao meu irm˜ao Marcelo Melo pela cumplicidade, apoio e companheirismo em toda a minha vida.

Agradeço aos meus sogros Joaquim Ibiapina e Neusa Bezerra por toda a consideração, assistência, arrimo e desvelo em todos esses anos. Agradeço aos meus cunhados André, Débora, Tiago e Priscila pela estima e boa convivência.

Agradeço ao meu orientador, Jorge Herbert, pelo perito trabalho de orientação e por todo o imprescind´ıvel suporte que proporcionou a realização desta tese de doutorado.

Agradeço aos professores Abdênago Barros e Gervásio Colares pelas pertinentes e valiosas sugest ões em adendo a este trabalho, por aquiescerem em participar da banca de defesa desta tese e por todo o apoio nestes anos em que participei deste programa de p ós-graduação. Agradeço ao professores Paolo Piccione e Pedro Roitman por suas apropriadas e ponderadas consideraç ões e admoestaç ões e por assentirem em tomar parte da comissão julgadora deste trabalho.

(6)

iii

Agradec¸o aos professores F´abio Montenegro, Alexandre Fernandes, Lucas Barbosa e Cleon Barroso pelo valoroso ensino e aprendizado que angariei nas disciplinas por eles ministradas neste programa de doutorado.

Agradeço a todos os meus colegas de p ós-graduação em matemática da UFC, em es-pecial, a Francisco Andrade, Jorge Hinojosa, Jose´ılson Lima, Juscelino Pereira e Paulo Alexandre por terem me ajudado nas disciplinas que cursaram comigo.

Agradeço à secretária da p ós-graduação, Andréia Dantas, pela assiduidade e com-petência em executar suas atribuiç ões que, em particular, me beneficiaram. Agradeço aos demais secretários, Antonia Catarina, Carlos Adriano e Márcio Pereira pelo proveito que obtive em virtude do bom trabalho desempenhado por eles.

Agradeço à bibliotecária da matemática, Rocilda Sales, e aos seus auxiliares, Francisca Fernanda e Erivan Carneiro pelo benef´ıcio que me trouxeram através bom desem-penho de suas atividades.

Agradec¸o aos meus colegas da UFC no campus do Cariri por todo amparo e aux´ılio que recebi para concluir a minha tese doutorado.

Agradec¸o a CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

(7)

iv

“Semeia de manhã a tua semente, e não descanses a tua mão até a noitinha; pois não sabes onde esta terá bom êxito , quer aqui quer ali, ou se ambas serão igual-mente boas.”

(8)

Sum´ario

Agradecimentos ii

Resumo 1

Abstract 2

Introdu¸c˜ao 3

1 No¸c ˜oes Preliminares 10

1.1 Grupos de Lie Nilpotentes . . . 10

1.1.1 Conex˜ao e Curvatura para Campos Arbitr´arios . . . 12

1.2 Grupos de Lie Sol ´uveis . . . 13

1.2.1 Conex˜ao e Curvatura para Campos Arbitr´arios . . . 17

2 Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 20 2.1 Alguns Tensores Auxiliares . . . 20

2.1.1 Definic¸˜ao Alternativa do TensorL . . . 28

2.2 Existˆencia de um Referencial Adaptado . . . 30

2.3 Existência de Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes . . . . 38

2.4 Apˆendice . . . 41

3 Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Sol úveis 44 3.1 Alguns Tensores Auxiliares . . . 44

3.1.1 Definic¸˜ao Alternativa do TensorL . . . 61

3.2 Existˆencia de um Referencial Adaptado . . . 67

3.3 Existência de Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Sol úveis . . . 77

(9)

Sum´ario vi

4 Imers ões Isométricas no Espa¸co Hiperb ólico Complexo 78

4.1 O Espac¸o Hiperb ´olico ComplexoCH₂ _{. . . .} ₇₉

4.1.1 Conex˜ao Riemanniana emCH₂ _{. . . .} ₈₀

4.1.2 A Curvatura deCH₂ _{. . . .} ₈₂

4.2 As Equac¸ ˜oes de Compatibilidade emCH₂ _{. . . .} ₉₁

4.3 Existência de Imers ões Isométricas emCH₂ _{. . . 100}

(10)

Resumo

Neste trabalho, demonstramos teoremas estabelecendo condiç ões suficientes para a existência de imers ões isométricas com curvatura extr´ınseca prescrita em grupos de Lie nilpotentes e sol úveis, isto é, grupos de LieN, Scujas respectivas álgebras de Lie

n,ss˜ao da forman=z⊕vcom

[v,v]⊂z, [z,v] ={0}, [z,z] ={0},

es = z⊕v⊕a, onde z⊕v ´e nilpotente, a = R_H _{´e um fator unidimensional, com o}

colchete de lie estendido aaatravés das relaç ões

[H, E] = 1

2E, [H, Z] =Z

paraE ∈ veZ ∈ z. Obtemos assim uma generalização do Teorema Fundamental da Teoria de Subvariedades em Rn _{e, em particular, obtemos resultados de imersão em}

todos os grupos tipo-Heisenberg e em todos os espac¸os de Damek-Ricci.

(11)

Abstract

In this paper, we prove theorems establishing sufficient conditions to existence for iso-metric immersions with prescribed extrinsic curvature in two-step nilpotent Lie groups and solvmanifolds.

We obtain a generalization of the Fundamental Theorem of Submanifold Theory in

Rn_{and, in particular, we one has immersion results in the generally Heisenberg type}

groups and Damek-Ricci spaces.

(12)

Introdu¸c˜ao

Atribui-se ao ge ômetra O. Bonnet o usualmente denominado Teorema Fundamental da Teoria de Superf´ıcies, cujo teor pode ser resumido como a prova de que, caso satisfaçam formalmente as equaç ões de Gauss e Codazzi, duas formas quadráticas dadas em um aberto simplesmente conexo do plano, uma das quais positiva-definida, podem ser realizadas como a métrica induzida e a curvatura extr´ınseca de uma su-perf´ıcie imersa no espaço euclidiano. O mérito incontestável do teorema é estabelecer um prol´ıfico enlace entre a teoria de superf´ıcies e a análise de equaç ões diferenciais par-ciais. Isto graças ao fato de que, apresentadas em termos de componentes locais, as for-mas quadráticas satisfazem a um sistema sobre-determinado de equaç ões de primeira ordem, cujas condiç ões de compatibilidade são justamente as equaç ões fundamentais de Gauss e Codazzi.

A linguagem de fibrados principais presta-se exemplarmente ao enunciado preciso de extens ões naturais do Teorema de Bonnet a teoria de subvariedades em formas es-paciais, como demonstradas segundo uma notável variedade de formas na literatura, a exemplo de [9], [22], [28], [34] e [36]. A despeito da diversidade de formulaç ões, o Teorema Fundamental da Teoria de Subvariedades em formas espaciais assenta-se na possibilidade de construir-se sobre a variedade a ser imersa um fibrado vetorial com curvatura nula. As equaç ões de Gauss, Codazzi, acrescidas da equação de Ricci, que regula a curvatura do fibrado normal, são vistas como condiç ões suficientes para a e-xistência de um referencial ortonormal paralelo no fibrado, o qual mimetiza o referen-cial can ônico no espaço euclidiano. Naturalmente, o fibrado passa a ser representado como o ambiente euclidiano em que imergimos a variedade. Uma variante interessante desta idéia, com curiosas interpretaç ões em termos da Teoria de Elasticidade, pode ser lida em [7] e [8].

Embora constituam um sistema de equac¸ ˜oes diferenciais sobejamente d´ıficil de

(13)

Sumário 4 nipular, as equaç ões fundamentais de Gauss, Codazzi e Ricci são ferramentas indis-pensáveis ao estudo de existência e unicidade (rigidez) de subvariedades em espaços de curvatura constante. Surpreendentemente, em casos de not ório interesse geométrico, como o estudo de superf´ıcies m´ınimas e, mais geralmente, de superf´ıcies de curvatura média constante, as equaç ões de Gauss e Codazzi correspondem a equaç ões ampla-mente estudadas via ferramentas de sistemas integráveis. Este é o caso da precursora representação de Weierstrass para superf´ıcies m´ınimas, que relaciona o teorema funda-mental a equaç ões de Cauchy-Riemann e cuja formulação recente, baseada em textos clássicos, vincula tais superf´ıcies a análise do operador de Dirac em superf´ıcies de Rie-mann. Nestes exemplos, e em tantos outros cuja enumeração não é o nosso enfoque presentemente, o teorema fundamental é o arcabouço derradeiro para validar teoremas de representação ou teoremas de equivalência.

Estas consideraç õesper sitalvez justifiquem por que, recentemente, assiste-se a um considerável esforço de pesquisa sobre teoremas de existência de imers ões isométricas em espaços mais gerais. A t ônica de diversos artigos na literatura pertinente é a investigação das condiç ões de integrabilidade para superf´ıcies em espaços homogêneos de dimensão três, entre os quais as formas espaciais tridimensionais figuram como os exemplos com quantidade máxima de movimentos r´ıgidos independentes. A lista completa destes espaços é já amplamente conhecida, em função dos primeiros esforços na direção da geometrização do Teorema de Poincaré, e inclui, como exemplo, o grupo de Heisenberg de dimensão três. A prop ósito, referimos o leitor a [33] e [37].

Os artigos [14] e [15] são, do nosso conhecimento, os primeiros trabalhos em que são descritas vers ões do teorema fundamental para, respectivamente, imers ões isométricas em produtos riemannianos de um espaço de curvatura constante por uma c ópia da reta real e nos espaços homogêneos com grupos de isometrias de dimensão quatro. Posteriormente, resultados similares sobre imers ões em produtos semi-riemannianos de formas espaciais foram demonstrados em [23] e [38], adaptando as idéias apresen-tadas em [14]. Em [26], formula-se um teorema de existência de imers ões isométricas no modelo sol úvel de um espaço homogêneo de dimensão três com grupo de isome-trias também tridimensional.

(14)

Sumário 5 superf´ıcie imersa com respeito as linhas de fluxo de um campo de Killing distinguido do ambiente. Observamos que, em todos os casos tratados em [14] e [15], o ambi-ente submerge em um espaço de curvatura constante e as fibras da submersão podem ser parametrizadas como linhas de fluxo de um campo gerando uma translação am-biente. A propriedade exemplar destes espaços é que a conexão riemanniana e o ten-sor de curvatura podem, ao longo da superf´ıcie imersa, ser completamente descritos em termos da curvatura da base da submersão e das projeç ões do campo de Killing tangentes e normais a superf´ıcie. Ilustrando a vinculação do Teorema de Bonnet a teo-ria de superf´ıcies de curvatura média constante, sobre que discorremos acima, men-cionamos que diversos trabalhos posteriores combinaram os teoremas demonstrados por Daniel a existência de uma forma quadrática holomorfa, como asegurada em [1] e [2], para produzir uma consistente gama de exemplos e resultados de estrutura so-bre superf´ıcies m´ınimas, de curvatura média ou intr´ınseca constante nestes espaços. Desincumbidos da pretensão de sermos exaustivos, citamos, da enorme quantidade de contribuiç ões de que tomamos not´ıcia, os artigos [3], [16], [17], [20] e [35].

(15)

Sumário 6 Destacamos que teoremas de existência de imers ões isométricas em grupos de Lie dotados de uma métrica invariante à esquerda estão entre os diversos corolários do teorema geral em [29] - v. também [26] - a que aludimos anteriormente. Dito de modo algo impreciso, os autores tomam comoG-estrutura a trivialização do fibrado tangente do grupo de Lie ambiente obtida pela escolha de um referencial global, ortonormal e invariante à esquerda. Com isto, tornam constante o tensor de Christoffel e o tensor de curvatura. Mimetizam, então, estas escolhas em um fibrado sobre a variedade a ser imersa, considerando a existência de secç ões neste fibrado em que a derivada co-variante é inteiramente descrita pelo tensor de Christoffel do grupo. Na linguagem de B. Daniel, isto corresponderia a tomar condiç ões adicionais envolvendo derivadas de primeira ordem das projeç ões tangentes e normais detodosos campos nos referenciais distinguidos do fibrado.

Nos cap´ıtulos a seguir, empreendemos uma construção a meio caminho entre as apresentados por Daniel e por Piccione e Tausk. Lidamos com uma classe espec´ıfica de espaços ambiente, a saber, grupos de Lie nilpotentes e sol úveis munidos de uma métrica invariante à esquerda, sem, contudo, impor o mesmo gênero de condiç ões adi-cionais requeridas em [29]. Mais precisamente, utilizando o fato de que, neste grupos, destaca-se uma subálgebra de campos de Killing conformes invariantes à esquerda, pretendemos descrever inteiramente a derivada covariante e, por conseguinte, a cur-vatura destes espaços unicamente em termos da métrica, de projeç ões na direção destes campos e de suas derivadas covariantes, as quais consideramos em conjunto como ten-sores distinguidos. Pretendendo evitar antecipar uma embaraçosa lista de notaç ões e noç ões, dirigimos o leitor diretamente para o exame dos seguintes teoremas, demons-trados no corpo do texto. O primeiro destes trata de imers ões isométricas em um grupo de LieN nilpotente a dois passos.

Teorema 1. SejaMm _{uma variedade Riemanniana orientada, simplesmente conexa e seja} _E

um fibrado vetorial Riemanniano real com postom′ _{de modo que} _S ₌ _{T M} _⊕_E _{´e um fibrado} vetorial trivial. Fixamos um referencial ortonormal global {Eˆk}n+n

′

k=1 em S. Sejam ∇ˆ e R,ˆ

nesta ordem, a conex˜ao compat´ıvel e o tensor curvatura deS_e_∇_,_∇E

as conex˜oes compat´ıveis induzidas emT M eE_{, respectivamente. Definimos}_Jˆ_k_,_Lˆ _e_Qˆ _{como em (2.20), (2.22) e (2.23),}

respectivamente. Supomos que estes campos satisfa¸cam as equa¸c˜oes

ˆ

(16)

Sum´ario 7 e

ˆ

∇Eˆn+k=−

1

2Jˆk, k = 1, . . . , n

′_.

(2) Então, existem uma imersão isométricaf : M → N e um isomorfismof⊥ _: _E _→_{T M}⊥_{, onde} T M⊥_{denota o fibrado normal ao longo de}_f_{, de modo que}_f⊥ _{é uma isometria, quando restrito} às fibras, e satisfaz

f∗∇EXV = ¯∇⊥f∗Xf

⊥_V, _X _∈_Γ(_{T M}₎_{, V} _∈_Γ(_E₎_, ₍₃₎ f⊥II(X, Y) = ¯∇⊥f∗Xf∗Y, X, Y ∈Γ(T M), (4)

onde∇¯⊥_{denota a conexão normal em}_{T M}⊥_{. A imersão isométrica é única, a menos de escolhas} de um referencial global emS_{e movimentos r´ıgidos em}_N_.

Os tensores Jˆk reproduzem, no fibrado S, as derivadas covariantes dos campos de

Killing na subálgebraz = [n,n] da álgebra de Lien deN. Os tensores Lˆ eQˆ provêm das express ões, deduzidas no Cap´ıtulo 2, da conexão riemanniana e da curvatura de N em termos dos campos de Killing nesta subálgebra e de suas derivadas covariantes. O teorema correspondente para imers ões isométricas em um grupo de LieSsol úvel a três passos é obtido igualmente descrevendo-se a conexão e a curvatura ambientes em termos de campos vetoriais nas duas últimas parcelas da soma diretas=v⊕z⊕a

em que se decomp õe a álgebra de LiesdeS. Novamente, desempenham papel crucial estes campos e suas derivadas covariantes, embutidas na definição dos tensoresJ,ˆ Lê

ˆ

Qdo enunciado.

Teorema 2.SejaMm_{uma variedade Riemanniana orientada, simplesmente conexa e seja}_E_um

fibrado vetorial Riemanniano real com postom′_{de modo que}_S₌_{T M}_⊕_E_{´e um fibrado vetorial} trivial. Fixamos um referencial ortonormal global{Eˆk}n+n

′₊₁

k=1 emS. Sejam∇ˆ eR, nesta ordem,ˆ

a conex˜ao compat´ıvel e o tensor curvatura deS_e_∇_,_∇E

as conex˜oes compat´ıveis induzidas em T M eE_{, respectivamente. Definimos} _Jˆ_k_,_Jˆ_n′₊₁, Lˆ eQˆ como em (3.18), (3.19), (3.24) e (3.25),

respectivamente. Supomos que estes campos satisfa¸cam as equa¸c˜oes

ˆ

R = ˆQ (5)

e

ˆ

∇Eˆn+k =−

1

2Jˆk, k = 1, . . . , n

′_{, n}′ _{+ 1}_.

(6) Então, existem uma imersão isométricaf : M → S e um isomorfismof⊥

∗ : E → T M⊥, onde T M⊥_{denota o fibrado normal ao longo de}_f_{, de modo que}_f⊥

(17)

Sum´ario 8 `as fibras, e satisfaz

f∗∇E

XV = ¯∇

⊥

f∗Xf

⊥

∗ V, X ∈Γ(T M), V ∈Γ(E), (7) f_∗⊥II(X, Y) = ¯∇⊥_f

∗Xf∗Y, X, Y ∈Γ(T M), (8)

onde∇¯⊥_{denota a conexão normal em}_{T M}⊥_{. A imersão isométrica é única, a menos de escolhas} de um referencial global emS_{e movimentos r´ıgidos em}_S.

A restrição de nossa caminhada e grupos nilpotentes a dois ou três passos torna-se justificada em parte por raz ões técnicas, dada a crescente dificuldade de determinar express ões manipuláveis dos tensores fundamentais em uma situação absolutamente geral. Um outro motivo, de caráter geométrico, que nos fez circunscrever a análise a estas classes de grupos, é o fato de que incluem os afamados grupos tipo-Heisenberg e espaços de Damek-Ricci tão vastamente estudados em várias áreas de Geometria Riemanniana e da Análise Geométrica. Uma pequena amostra de textos pioneiros no campo pode ser encabeçada por [4], [5], [10], [11], [12], [13], [18], [19], [21], [24] e [25]. Como ilustração do alcance dos resultados que obtivemos, apresentamos à parte uma versão do teorema fundamental para imers ões isométricas no espaço hiperb ólico com-plexo, cujo enunciado denota proximidade com os resultados de B. Daniel.

Teorema 3. Sejam M uma variedade Riemanniana orientada e simplesmente conexa de di-mensão 3,h·,·ia métrica emM,∇a conexão compat´ıvel correspondente eJi os endomorfismos

emT M dados por

JiX =X×Ti×ν, i= 1,2,

ondeT1 eT2 são campos vetoriais emM eν é uma seçcão global no fibrado trivialM ×R. Seja

Sum campo sim´etrico de operadores Sy :TyM → TyM e sejamf1 ef2 fun¸c˜oes suaves emM

tais que||Ti||2 +fi2 = 1, parai = 1,2.Então, existe uma imersão isométricaf : M → CH2

se, e somente se,(h., .i, S, T1, T2, f1, f2)satisfazem as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi paraCH2e,

para todo campo vetorialX emM, as seguintes equa¸c˜oes s˜ao satisfeitas

∇XT1 = f1SX −

1

2f2J1X+ 1

2f1J2X− hX, T1iT2, (9) df1(X) = −hSX, T1i −

1

2hX, T1i − 1

(18)

Sum´ario 9 e

∇XT2 = f2SX −

1 2X−

1

2hX, T1iT1+ 1

2hX, T2iT2, (11) df2(X) = −hSX, T2i −

1

2hX, T1if1+ 1

2hX, T2if2, (12)

ou seja,(h., .i, S, T1, T2, f1, f2)satisfazem as equa¸c˜oes de compatibilidade paraCH2.

(19)

Cap´ıtulo 1

No¸c ˜oes Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentamos os grupos de Lie objeto de nosso estudo e estabelecemos alguns fatos geométricos básicos nesses espaços.

1.1 Grupos de Lie Nilpotentes

SejaN um grupo de Lie com álgebra de Liene forma de Maurer-Cartanωn. A conexão de Levi-Cività para uma dada métrica invariante à esquerdah·,·iemN é

2 ¯∇EF = [E, F]−ad∗E ·F −ad

∗

F ·E, (1.1)

para campos invariantes `a esquerdaE, F emn, onde adE = [E, · ]e

had∗E·F, Gi=hF,adE ·Gi=hF,[E, G]i, E, F, G ∈n.

Supomos quenadmite a decomposic¸˜aon=z⊕vcom

[v,v]⊂z, [z,v] ={0}, [z,z] ={0}, (1.2) o que obviamente implica que

[n,n]⊂z, [n,[n,n]] ={0}. (1.3)

Desse modo,N é um grupo de Lie nilpotente (a dois passos). Vamos denotar porne n′ _{as dimens ões de} _v _and _z_{, respectivamente. Podemos, sem perda de generalidade,} supor que a métrica invariante à esquerdah·,·iemN é escolhida de modo que a soma diretan =z⊕v é ortogonal.

(20)

Cap´ıtulo 1. No¸c ões Preliminares 11 As relaç ões (1.2) implicam que

¯

∇EF =

1

2[E, F] (1.4)

para campos invariantes `a esquerda emv. Tamb´em obtemos de (1.2) que∇¯ZZ′ = 0

para quaisquer campos invariantes `a esquerdaZ, Z′_em_z_.

Dado um campo de vetoresZ ∈ z, é fácil ver que (1.4) é equivalente ao fato de que

¯

∇Z gera uma transformação linear anti-simétrica em v. Com efeito, para E, F ∈ v, tem-se que

h∇¯EZ, Fi=−

1

2h[E, F], Zi=− 1 2had

∗

EZ, Fi, (1.5)

paraZ ∈zeE, F ∈v. DenotamosJZ :v →v,JZE =ad∗EZ. Verifica-se imediatamente

que os campos de vetores emzs˜ao campos de Killing. De fato,

h∇¯ZZ′, Z′′i= 0, h∇¯EZ, Z′i= 0, (1.6)

paraE ∈vandZ, Z′_{, Z}′′ _∈_z_{. Finalmente, uma vez que}_[z_,_{v] =}_{₀_}_{, segue-se que}

¯

∇ZE = ¯∇ZE =−

1

2JZE, E ∈v. (1.7)

Assim, conclu´ımos que a derivada covariante para campos invariantes `a esquerda em

(N,h·,·i) ´e dada por

¯

∇EF =

1

2[E, F], E, F ∈v, (1.8)

¯

∇EZ =−

1

2JZE =− 1 2ad

∗

EZ, E ∈v, Z ∈z, (1.9)

¯

∇ZZ′ = 0, Z, Z′ ∈z. (1.10)

O operadorJZ, associado a um campo de vetoresZ ∈z, pode ser estendido ancomo

JZ :=−2 ¯∇Z. (1.11)

´E tamb´em apropriado considerar o campo tensorial do tipo(0,2), igualmente denotado porJZ, definido porJZ(E, F) = hJZE, Fi.

(21)

Cap´ıtulo 1. No¸c ões Preliminares 12 N, o qual admite a seguinte decomposição (veja [18])

¯

R(E, F)G=−1

4J[E,G]F + 1

4J[F,G]E− 1

2J[E,F]G, (1.12) ¯

R(E, F)Z =−1

2

¡_¯

∇FJZ

¢ E+1

2

¡_¯

∇EJZ

¢

F, (1.13)

¯

R(E, Z)F = 1 2

¡_¯

∇EJZ

¢

F, (1.14)

¯

R(E, Z)Z′ = 1

4JZJZ′E, (1.15)

¯

R(Z, Z′)E = 1

4JZ′JZE− 1

4JZJZ′E, (1.16) ¯

R(Z, Z′)Z′′ = 0, (1.17)

para E, F, G ∈ v e Z, Z′_{, Z}′′ _∈ _z_{. ´E poss´ıvel reescrever (1.13) e (1.14) em termos do} colchete de Lie e dos tensoresJ. De fato, temos, paraE, F ∈veZ ∈z,

( ¯∇EJZ)F = ¯∇E(JZF)−JZ∇¯EF = ¯∇E(JZF) =

1

2[E, JZF],

onde estamos usando o fato queJZF ∈v. Assim, obtemos

( ¯∇EJZ)F =

1

2[E, JZF]. (1.18)

É também útil observar que, dadoZ′ _∈_z_{, vale}

h( ¯∇EJZ)F, Z′i = h∇¯E(JZF), Z′i=EhJZF, Z′i − hJZF,∇¯EZ′i

= −hJZF,∇¯EZ′i

= 1

2hJZF, JZ′Ei.

Assim, podemos concluir que

h( ¯∇EJZ)F, Z′i=

1

2hJZF, JZ′Ei. (1.19)

1.1.1 Conex˜ao e Curvatura para Campos Arbitr´arios

Dado um campo de vetoresX em N, denotamos porXv_e_Xz_{suas projeç ões sobre os} subespaçosvez, respectivamente.

Usando as f órmulas obtidas em (1.8)-(1.10) para campos invariantes à esquerda, obtemos a seguinte expressão para a derivada covariante ambiente em termos de cam-pos de vetoresX, Y, V arbitráriosemN:

¯

∇XY = ∇¯XvYv+ ¯∇_XvYz+ ¯∇_XzYv+ ¯∇_XzYz

= 1

2[X, Y]− 1 2JYzX

v

− 1

2JXzY

v

(22)

Cap´ıtulo 1. No¸c ˜oes Preliminares 13 O tensor curvatura se decomp ˜oe do seguinte modo:

¯

R(X, Y)V = R¯(Xv_{, Y}v₎_Vv

+ R¯(Xv_{, Y}v₎_Vz_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}z₎_Vv₋_R¯₍_Yv_{, X}z₎_Vv

+ R¯(Xv_{, Y}z₎_Vz₋_R¯₍_Yv_{, X}z₎_Vz_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}z₎_Vv_. _(1.21) Da´ı, usando as express ˜oes (1.12)-(1.17) e contraindo (1.21) com um quarto campo veto-rialW ∈Γ(T N), segue-se que

hR¯(X, Y)V, Wi = −1

4hJ[Xv,Vv]Y

v_{, W}v_i₊1

4hJ[Yv,Vv]X

v_{, W}v_i

− 1

2hJ[Xv,Yv]V

v_{, W}v_i

+ 1

2

³

h( ¯∇XvJ_Vz)Yv, Wzi − h∇¯_YvJ_Vz)Xv, Wzi

+ h( ¯∇XvJ_Yz)Vv, Wzi − h(∇_YvJ_Xz)Vv, Wzi

´

+ 1

4

³

hJYzJ_VzXv, Wvi − hJ_XzJ_VzYv, Wvi

+ hJYzJ_XzVv, Wvi − hJ_XzJ_YzVv, Wvi

´ .

Note que

hJ[Xv_,Vv_]Yv, Wvi=h[Xv, Vv],[Yv, Wv]i. (1.22)

Usando (1.22) e a anti-simetria do tensorJ, conclu´ı-se que

hR¯(X, Y)V, Wi = −1

4h[X

v_{, V}v_]_,_[_Yv_{, W}v_]_i₊1

4h[Y

v_{, V}v_]_,_[_Xv_{, W}v_]_i

− 1

2h[X

v_{, Y}v_]_,_[_Vv_{, W}v_]_i

+ 1

2

³

h( ¯∇XvJ_Vz)Yv, Wzi − h∇¯_YvJ_Vz)Xv, Wzi

+ h( ¯∇XvJ_Yz)Vv, Wzi − h(∇_YvJ_Xz)Vv, Wzi

´

− 1

4

³

hJVzXv, J_YzWvi − hJ_VzYv, J_XzWvi

+ hJXzVv, J_YzWvi − hJ_YzVv, J_XzWvi

´

. (1.23)

1.2 Grupos de Lie Sol ´uveis

SejaS um grupo de Lie com álgebra de Liese forma de Maurer-Cartanωs. A conexão de Levi-Cività para uma dada métrica invariante à esquerdah·,·iemS é

2 ¯∇EF = [E, F]−ad∗E ·F −ad

∗

(23)

Cap´ıtulo 1. No¸c ˜oes Preliminares 14 para campos de vetores invariantes `a esquerdaE, F ems, onde adE = [E, · ]e

had∗E ·F, Gi=hF,adE·Gi=hF,[E, G]i, E, F, G∈s.

Supomos quesadmite a decomposiçãos =z⊕v⊕a, onde a= R_H _{é um fator}

unidi-mensional, com

[v,v]⊂z, [z,v] ={0}, [z,z] ={0}, (1.25) e o colchete de Lie é estendido aapelas relaç ões

[H, E] = 1

2E, [H, Z] =Z (1.26)

paraE ∈vandZ ∈z, o que obviamente implica que

[s,s]⊂z⊕v=:n, [n,n] =z, [z,n] ={0}. (1.27) Assim,S é um grupo de Lie sol úvel (ou nilpotente a três passos). Denotamos pornen′ as dimens ões devez, respectivamente. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que a métrica invariante à esquerdah·,·iemS é escolhida de modo que a soma direta

s=z⊕v⊕a é ortogonal. As relaç ões (1.25) e (1.26) implicam que

¯

∇H = 0, (1.28)

¯

∇EF =

1

2hE, FiH+ 1

2[E, F], (1.29) ¯

∇EH =−

1

2E, (1.30)

¯

∇EZ =−

1 2ad

∗

EZ (1.31)

e

¯

∇ZH=−Z, (1.32)

¯

∇ZE =−

1 2ad

∗

EZ, (1.33)

¯

∇ZZ′ =hZ, Z′iH, (1.34)

paraE, F ∈v,Z, Z′ _∈_z_e_H _∈_a_.

Dado um campo vetorial Z ∈ z, observamos que (1.31) é equivalente ao fato de que∇¯Z gera uma transformação linear anti-simétrica em v. Com efeito, paraE, F ∈

v, Z′ _∈_z_e_H _∈_a_{, temos}

(24)

Cap´ıtulo 1. No¸c ˜oes Preliminares 15

2h∇¯EZ, Fi=h[E, Z]F,i − h[Z, F], Ei − h[Z, F], Ei=−hadEF, Zi=−had∗EZ, Fi (1.36)

e, finalmente,

2h∇¯EZ, Z′i=h[E, Z], Z′i − h[E, Z′], Zi − h[Z, Z′], Ei= 0, (1.37)

paraE, F ∈v, Z, Z′ _∈_z_e_H _∈_a_{. Denotamos}_J

Z :v→v,JZE =ad∗EZ.

Considerando o campo vetorialH ∈ a, observamos que (1.30) e (1.32) são equiva-lentes ao fato de que∇¯H gera uma transformação linear simétrica emz⊕vtal que z

ev s˜ao subespac¸os invariantes. Escrevemos JH : v → v, JHE = −1₂E eJH : z → z,

JHZ =−Z.

Os operadoresJZ, JH, associados aos camposZ ∈zeH ∈a, podem ser estendidos

aspondo

JZ :=−2 ¯∇Z, JH :=−2 ¯∇H. (1.38)

É útil considerar os campos tensoriais do tipo (0,2), também denotados por JZ, JH,

dados porJZ(E, F) =hJZE, Fi, JH(E, F) =hJHE, Fi.

(25)

Cap´ıtulo 1. No¸c ˜oes Preliminares 16 tensor curvatura deS:

¯

R(E, H)H = 1

4E, (1.39)

¯

R(Z, H)H =Z, (1.40)

¯

R(E, F)G=−1

4hE, GiF + 1

4hF, GiE− 1

4J[E,G]F (1.41) +1

4J[F,G]E− 1

2J[E,F]G, ¯

R(E, F)H =−1

2[E, F], (1.42)

¯

R(E, H)F =−1

4hE, FiH− 1

4[E, F], (1.43)

¯

R(E, F)Z = 1

2hJZE, FiH+ 1

4[E, JZF]− 1

4[F, JZE], (1.44) ¯

R(Z, E)F = 1

2hE, FiH− 1

4[E, JZF]− 1

4hJZE, FiH, (1.45)

R(E, Z)Z′ = 1

4JZJZ′E+ 1 2hZ, Z

′_i_E, _(1.46)

¯

R(Z, Z′)E = 1

4[JZ′, JZ]E, (1.47)

¯

R(Z, Z′)Z′′ =hZ′, Z′′iZ− hZ, Z′′iZ′, (1.48)

¯

R(Z, Z′)H = 0, (1.49)

¯

R(Z, H)Z′ =−hZ, Z′iH, (1.50)

¯

R(H, E)Z =−1

4JZE, (1.51)

¯

R(H, Z)X =−1

2JZX, (1.52)

¯

R(E, Z)H =−1

4JZE, (1.53)

paraE, F, G∈v, Z, Z′_{, Z}′′_∈_z_e_H _∈_a_{. É também útil observar que,}

( ¯∇EJZ)F = ∇¯E(JZF)−JZ( ¯∇EF)

= 1

2hE, JZFiH+ 1

2[E, JZF]−JZ

¡1

2hE, FiH+ 1 2[E, F]

¢

= 1

2hE, JZFiH+ 1

2[E, JZF]− 1

2JZ([E, F]),

ou seja,

[E, JZF] = 2( ¯∇EJZ)F − hE, JZFiH+JZ[E, F] (1.54)

e, consequentemente,

h[E, JZF], Z

′

i= 2h( ¯∇EJZ)F, Z

′

i. (1.55)

(26)

1.2.1 Conex˜ao e Curvatura para Campos Arbitr´arios

Dado um campo vetorialXemS, denotamos porXv_{, X}z_e_Xa_{suas projeç ões sobre os} subespaçosv, zea, respectivamente.

Usando as f órmulas obtidas em (1.28)-(1.34) para campos invariantes à esquerda, obtemos a seguinte expressão para a derivada covariante ambiente em termos de cam-pos de vetoresX, Y, V arbitráriosemS:

¯

∇XY = ∇¯XvYv+ ¯∇_XvYz+ ¯∇_XvYa+ ¯∇_XzYv+ ¯∇_XzYz+ ¯∇_XzYa

= 1

2hX

v_{, Y}v_i_H₊ 1

2[X

v_{, Y}v_]₋ 1

2JXvY

z₋1

2hY, HiX

v₊_Xv_h_{Y, H}_i_H

− 1

2JYvX

z_{− h}_Xz_{, Y}z_i_H_{− h}_{Y, H}_i_Xz₊_Xz_h_{Y, H}_i_H. O tensor curvatura se decomp ˜oe do seguinte modo:

¯

R(X, Y)V = R¯(Xa_{, Y}v₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xa_{, Y}v₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xa_{, Y}v₎_Vz

+ R¯(Xa_{, Y}z₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xa_{, Y}z₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xa_{, Y}z₎_Vz

+ R¯(Xv_{, Y}a₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}a₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}a₎_Vz

+ R¯(Xv_{, Y}v₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}v₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}v₎_Vz

+ R¯(Xv_{, Y}z₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}z₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}z₎_Vz

+ R¯(Xz_{, Y}a₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}a₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}a₎_Vz

+ R¯(Xz_{, Y}v₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}v₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}v₎_Vz

+ R¯(Xz_{, Y}z₎_Va_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}z₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}z₎_Vz_,

ou seja,

¯

R(X, Y)V = hX, HihV, HiR¯(H, Yv₎_H₊_h_{X, H}_i_R¯₍_{H, Y}v₎_Vv₊_h_{X, H}_i_R¯₍_{H, Y}v₎_Vz

+ hX, HihV, HiR¯(H, Yz₎_H₊_h_{X, H}_i_R¯₍_{H, Y}z₎_Vv₊_h_{X, H}_i_R¯₍_{H, Y}z₎_Vz

+ hY, HihV, HiR¯(Xv_{, H}₎_H₊_h_{Y, H}_i_R¯₍_Xv_{, H}₎_Vv₊_h_{Y, H}_i_R¯₍_Xv_{, H}₎_Vz

+ hV, HiR¯(Xv_{, Y}v₎_H_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}v₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}v₎_Vz

+ hV, HiR¯(Xv_{, Y}z₎_H_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}z₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xv_{, Y}z₎_Vz

+ hY, HihV, HiR¯(Xz_{, H}₎_H₊_h_{Y, H}_i_R¯₍_Xz_{, H}₎_Vv₊_h_{Y, H}_i_R¯₍_Xz_{, H}₎_Vz

+ hV, HiR¯(Xz_{, Y}v₎_H_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}v₎_Vv_{+ ¯}_R₍_Xz_{, Y}v₎_Vz

(27)

Cap´ıtulo 1. No¸c ˜oes Preliminares 18 Da´ı, usando as express ˜oes (1.39)-(1.53), obtemos

¯

R(X, Y)V = −1

4hX, HihV, HiY

v₊1

4hX, Hi(hY

v_{, V}v_i_H_{+ [}_Yv_{, V}v_])₋ 1

2hX, HiJVzY

v

− hX, HihV, HiYz₋ 1

2hX, HiJYzV

v₊_h_{X, H}_ih_Yz_{, V}z_i_H

+ 1

4hY, HihV, HiX

v₋ 1

4hY, Hi(hX

v_{, V}v_i_H_{+ [}_Xv_{, V}v_{]) +} 1

4hY, HiJVzX

v

− 1

2hV, Hi[X

v_{, Y}v_]₋ 1

4hX

v_{, V}v_i_Yv₊ 1

4hY

v_{, V}v_i_Xv₋ 1

4J[Xv,Vv]Y

v

+ 1

4J[Yv,Vv]X

v₋ 1

2J[Xv,Yv]V

v₊1

2hJVzX

v_{, Y}v_i_H₊ 1

4[X

v_{, J}

VzYv]−

1 4[Y

v_{, J}

VzXv]

− 1

4hV, HiJYzX

v₋ 1

2hX

v_{, V}v_i_H₋1

4[X

v_{, J}

YzVv]−

1 4hJYzX

v_{, V}v_i_H₊1

4JYzJVzX

v

+ 1

2hY

z_{, V}z_i_Xv₊_h_{Y, H}_ih_{V, H}_i_Xz₊_h_{Y, H}_i1

2JXzV

v_{− h}_{Y, H}_ih_Xz_{, V}z_i_H

+ 1

4hV, HiJXzY

v₊1

2hY

v_{, V}v_i_H₋1

4[Y

v_{, J}

XzVv]−

1 4hJXzY

v_{, V}v_i_H

− 1

4JXzJVzY

v₋ 1

2hX

z_{, V}z_i_Yv₊ 1

4[JYz, JXz]V

v_.

(28)

hR¯(X, Y)V, Wi = −1

4hX, HihV, HihY

v_{, W}v_i₊ 1

4hX, Hii(hY

v_{, V}v_ih_{W, H}_i₊_h_[_Yv_{, V}v_]_{, W}z_i₎

−1

2hX, HihJVzY

v_{, W}v_{i − h}_{X, H}_ih_{V, H}_ih_Yz_{, W}z_{i −} 1

2hX, HihJYzV

v_{, W}v_i

+hX, HihW, HihYz_{, V}z_i₊1

4hY, HihV, HihX

v_{, W}v_i

−1

4hY, Hi(hX

v_{, V}v_ih_{W, H}_i₊_h_[_Xv_{, V}v_]_{, W}z_i_{) +} 1

4hY, HihJVzX

v_{, W}v_i

−1

2hV, Hih[X

v_{, Y}v_]_{, W}z_{i −} 1

4hX

v_{, V}v_ih_Yv_{, W}v_i₊ 1

4hY

v_{, V}v_ih_Xv_{, W}v_i

−1

4hJ[Xv,Vv]Y

v_{, W}v_i₊1

4hJ[Yv,Vv]X

v_{, W}v_{i −} 1

2hJ[Xv,Yv]V

v_{, W}v_i

+1 2hJVzX

v_{, Y}v_ih_{W, H}_i₊ 1

2h( ¯∇XvJVz)Y

v_{, W}z_{i −} 1

2h( ¯∇YvJVz)X

v_{, W}z_i

−1

4hV, HihJYzX

v_{, W}v_{i −}1

2hX

v_{, V}v_ih_{W, H}_{i −} 1

2h( ¯∇XvJYz)V

v_{, W}z_i

−1

4hJYzX

v_{, V}v_ih_{W, H}_{i −}1

4hJYzW

v_{, J}

VzXvi+

1 2hY

z_{, V}z_ih_Xv_{, W}v_i

+hY, HihV, AihXz_{, W}z_i₊1

2hY, HihJXzV

v_{, W}v_{i − h}_{Y, H}_ih_{W, H}_ih_Xz_{, V}z_i

+1

4hV, HihJXzY

v_{, W}v_i₊1

2hW, HihY

v_{, V}v_{i −} 1

2h( ¯∇YvJXz)V

v_{, W}z_i

−1

4hW, HihJXzY

v_{, V}v_i₊1

4hJXzW

v_{, J}

VzYvi −

1 2hX

z_{, V}z_ih_Yv_{, W}v_i

+1

4h[JYz, JXz]V

(29)

Cap´ıtulo 2

Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie

Nilpotentes

Neste cap´ıtulo, apresentamos um teorema que estabelece condiç ões suficientes para a existência de subvariedades com curvatura extr´ınseca prescrita em grupos de Lie nilpotentes.

Fazemos reiterado uso de alguns tensores auxiliares que s˜ao apresentados a seguir.

2.1 Alguns Tensores Auxiliares

Considerando a decomposiçãon = z⊕v, escolhemos um referencial ortonormal local invariante à esquerda

E1, . . . , En+n′, (2.1)

tal que os primeiros n campos vetoriais estão em v e os últimos n′ _{campos vetoriais} estão emz. Definimos emN o campo tensorial

−2L(X, Y, V) =

n′

X

k=1

hJkV, XihY, En+ki − n′

X

k=1

hJkY, XihV, En+ki

+

n′

X

k=1

hJkY, VihX, En+ki,

ondeX, Y eV s˜ao campos de vetores emN eJk :=JEn+k para1≤k≤n

′_.

Nosso objetivo agora é derivar uma expressão local para o tensor L. Com esse prop ósito, consideramos um referencial {ea}n+n

′

a=1 definido num subconjunto aberto O

(30)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 21 deN por

ea =EbAba,

para alguma aplicaçãoA :O ⊂N →SOn+n′. Para1≤k ≤n′, definimos as funç ões

Uak=hea, En+ki=Ana+k.

Assim, se (ωa₎n+n′

a=1 e (ωab) n+n′

a,b=1 s˜ao, respectivamente, as formas duais e as formas de

conex˜ao associadas ao referencial{ea}n+n

′

a=1 , temos

h∇¯En+k, eai= dUak−

X

c

Uk

cωca=:−

1 2

X

b

uk

baωb. (2.2)

Ademais, obtemos

hJkeb, eai=−2h∇¯ebEn+k, eai=ukba.

ConsiderandoJkcomo um tensor do tipo(0,2), podemos escrever

Jk = n+n′

X

a,b=1

uk abω

a_⊗_ωb_.

(2.3)

Note que

−1

2hJkV, Wi =

n+n′

X

l,r=1

h∇¯VEn+k, Wi=− n+n′

X

l,r=1

hV, ElihW, Erih∇¯ElEr, En+ki

= −

n

X

l,r=1

hV, ElihW, Eri h∇¯ElEr, En+ki

| {z }

=1

2h[El,Er],En+ki

−

n

X

l=1

n+n′

X

r=n+1

| {z }

=0

−

n+n′

X

l=n+1

n

X

r=1

| {z }

=0

−

n+n′

X

l,r=n+1

| {z }

=0

= −1

2

n

X

l,r=1

hV, ElihW, Eriσ_lrn+k

Em termos de coordenadas locais, isto ´e, fixando-seV =ea, W =eb, temos

ukab = n

X

l,r=1

AlaA r bσ

n+k

(31)

Cap´ıtulo 2. Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes 22 Voltando nossa atenção para o tensorLdefinido acima, temos

−2L(X, ea, eb) = n′

X

k=1

hJkeb, Xihea, En+ki − n′

X

k=1

hJkea, Xiheb, En+ki

+

n′

X

k=1

hJkea, ebihX, En+ki

=

n′

X

k=1

¡ Uaku

k bc−U

k bu

k ac+U

k cu

k ab

¢

ωc(X).

Considere a matriz de1-formas diferenciaisλ= (λa b)

n+n′

a,b=1definidas por

λa

b =L(·, ea, eb). (2.5)

Isto significa que

λa b =−

1 2 n′ X k=1 ¡ Uk

aukbc−Ubkukac+Uckukba

¢

ωc_. _(2.6)

Considere agora a matriz de2-formas diferenciaisQ= (Qa d)

n+n′

a,d=1, onde

Qad=−

¡

dλ+λ∧ω+ω∧λ−λ∧λ¢ad.

Observe, inicialmente, que

−2λab =

X

k

¡ Uaku

k bc−U

k bu

k ac−U

k cu

k ab

¢ ωc.

Assim

−2λa

b ∧ωdb =−

X

k

¡ Uk

aukbcωdb −Ubkωdbukac−Uckukabωdb

¢

∧ωc_,

−2ωa b ∧λ

b d=−

X k ¡ Uk bω b au k dc−U

k dω

b au

k bc−U

k cω b au k bd ¢

∧ωc

e

−2λa

b ∧λbd=−

X

k

¡ Uk

aukbcλbd−Ubkλdbukac−Uckukabλbd

¢

∧ωc_.

Finalmente, calculamos

−2dλad =−

X

k

¡ Uaku

k db−U

k du

k ab−U

k bu

k ad

¢

∧ωbc∧ω c

+X

k

¡

dUaku k dc−dU

k du

k ac−dU

k cu

k ad+U

k adu

k dc−U

k ddu

k ac−U

k cdu

k ad

¢

∧ωc

=−X

k ¡ Uk au k dbω b c−U

k du

k abω

b c−U

k bω b cu k ad ¢

∧ωc

+X

k

¡

dUk

aukdc−dUdkuack −dUckukad+Uakdukdc−Udkdukac−Uckdukad

¢

(32)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 23 Portanto,

−2¡dλ+λ∧ω+ω∧λ−λ∧λ¢a d

=X

k

¡

dUk au

k dc−dU

k du

k ac−dU

k cu

k ad+U

k adu

k dc−U

k ddu

k ac−U

k cdu

k ad

−Uaku k dbω

b c+U

k du

k abω

b c+U

k bω b cu k ad

−Uaku k bcω

b d+U

k bω

b du

k ac+U

k cu k abω b d

−Ubkω b au

k dc+U

k dω

b au

k bc+U

k cω b au k bd

+Uaku k bcλ

b d−U

k bλ

b du

k ac−U

k cu k abλ b d ¢

∧ωc. Agrupando alguns termos, obtemos

−2¡dλ+λ∧ω+ω∧λ−λ∧λ¢ad

=¡(dUak−U k bω

b a)u

k

dc−(dU k d −U

k bω

b d)u

k

ac−(dU k c −U

k bω

b c)u

k ad

+Uak(du k dc−u

k dbω

b c−u

k bcω

b d)

−Udk(du k ac−u

k abω

b c−u

k bcω

b a)

−Uck(du k ad−u

k abω

b d−u

k bdω

b a)

+Uaku k bcλ

b d−U

k bλ

b du

k ac−U

k cu k abλ b d ¢

∧ωc (2.7)

Ademais, da definição do tensorJ, temos a equação

dUk a − X b Uk bω b a =−

1 2 X c uk caω c_. (2.8)

A derivada covariante do tensorJk(X, Y) =hJkX, Yi´e dada, em termos do referencial

adaptado, por

¯

∇Jk(ea, eb) = dukab−u k dbω

d a−u

k adω

d

b =: ¯∇u k ab.

Usando as express ˜oes acima, conclu´ımos que

−2¡dλ+λ∧ω+ω∧λ−λ∧λ¢a d =X k ¡ −1 2u k eaukdc+

1 2u

k edukac+

1 2u

k ecukad

¢

ωe_∧_ωc

+¡Uak∇¯u k dc−U

k d∇¯u

k ac−U

k c∇¯u

k ad

¢

∧ωc

+¡Uaku k bcλ

b d−U

k bλ

b du

k ac−U

k cu k abλ b d ¢

(33)

Cap´ıtulo 2. Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes 24 Deste modo, obtém-se

2Q(X, Y, ea, ed) =

X k ¡ − 1 2u k eau k dc+ 1 2u k edu k ac+ 1 2u k ecu k ad ¢

ωe₍_X₎_ωc₍_Y₎

−X k ¡ − 1 2u k eau k dc+ 1 2u k edu k ac+ 1 2u k ecu k ad ¢

ωe(Y)ωc(X)

+X

k

¡ Uak∇¯u

k

dc(X)−U k d∇¯u

k

ac(X)−U k c∇¯u

k ad(X)

¢ ωc(Y)

−X

k

¡ Uk

a∇¯u k

dc(Y)−U k d∇¯u

k

ac(Y)−U k c∇¯u

k ad(Y)

¢ ωc₍_X₎

+X

k

¡ Uk

aukbcλbd(X)−Ubkλbd(X)ukac−Uckukabλbd(X)

¢ ωc₍_Y₎

−X

k

¡ Uaku

k bcλ

b

d(Y)−U k bλ

b d(Y)u

k ac−U

k cu

k abλ

b d(Y)

¢ ωc(X)

de onde decorre que

2Q(X, Y, ea, ed)

=¡− 1

2

X

k

hJkX, eaihJked, Yi+

1 2

X

k

hJkX, edihJkea, Yi+

1 2

X

k

hJkX, YihJkea, edi

¢

−¡−1

2

X

k

hJkY, eaihJked, Xi+

1 2

X

k

hJkY, edihJkea, Xi+

1 2

X

k

hJkY, XihJkea, edi

¢

+X

k

¡ Uk

a∇¯XJk(ed, Y)−Udk∇¯XJk(ea, Y)− hY, En+ki∇¯XJk(ea, ed)

¢

−X

k

¡

Uak∇¯YJk(ed, X)−Udk∇¯YJk(ea, X)− hX, En+ki∇¯YJk(ea, ed)

¢

+

n+n′

X b=1 n′ X k=1 ¡ Uk

ahJkeb, YiL(X, eb, ed)−UbkL(X, eb, ed)hJkea, Yi

−hY, En+kihJkea, ebiL(X, eb, ed)

¢

−

n+n′

X b=1 n′ X k=1 ¡ Uk

ahJkeb, XiL(Y, eb, ed)−UbkL(Y, eb, ed)hJkea, Xi

−hX, En+kihJkea, ebiL(Y, eb, ed)

(34)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 25 Sendo assim, resulta que

2Q(X, Y, V, W)

=¡− 1

2

X

k

hJkX, VihJkW, Yi+

1 2

X

k

hJkX, WihJkV, Yi+

1 2

X

k

hJkX, YihJkV, Wi

¢

−¡−1

2

X

k

hJkY, VihJkW, Xi+

1 2

X

k

hJkY, WihJkV, Xi+

1 2

X

k

hJkY, XihJkV, Wi

¢

+X

k

¡

hV, En+ki∇¯XJk(W, Y)− hW, En+ki∇¯XJk(V, Y)− hY, En+ki∇¯XJk(V, W)

¢

−X

k

¡

hV, En+ki∇¯YJk(W, X)− hW, En+ki∇¯YJk(V, X)− hX, En+ki∇¯YJk(V, W)

¢

+X

b

X

k

¡

hV, En+kihJkeb, YiL(X, eb, W)−UbkL(X, eb, W)hJkV, Yi

−hY, En+kihJkV, ebiL(X, eb, W)

¢

−X

b

X

k

¡

hV, En+kihJkeb, XiL(Y, eb, W)−UbkL(Y, eb, W)hJkV, Xi

−hX, En+kihJkV, ebiL(Y, eb, W)

¢ .

Todavia, usando o fato de quehJkX, En+li= 0, observamos que

−2X

b

hV, En+kihJkeb, YiL(X, eb, W)

=X

b

hV, En+kihJkeb, Yi

X

l

¡

hJlW, Xiheb, En+li

−hJleb, XihW, En+li+hJleb, WihX, En+li

¢

=X

b

hV, En+kihJkY, ebi

X

l

¡

− hJlW, Xiheb, En+li − hJlX, ebihW, En+li

+hJlW, ebihX, En+li

¢

=−X

l

hV, En+kihJkY,

X

b

heb, En+liebihJlW, Xi

−X

l

hV, En+kihW, En+li

X

b

hJkY, ebihJlX, ebi

+X

l

hV, En+kihX, En+li

X

b

hJkY, ebihJlW, ebi

=−hV, En+ki

X

l

hJkY, En+lihJlW, Xi

−X

l

hV, En+kihW, En+lihJkY, JlXi+

X

l

hV, En+kihX, En+lihJkY, JlWi

=−hV, En+ki

X

l

¡

hW, En+lihJkY, JlXi − hX, En+lihJkY, JlWi

(35)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 26 Analogamente, obtemos

−2X

b

hY, En+kihJkV, ebiL(X, eb, W)

=hY, En+ki

X

l

¡

hW, En+lihJkV, JlXi − hX, En+lihJkV, JlWi

¢ ,

−2X

b

hV, En+kihJkX, ebiL(Y, eb, W)

=hV, En+ki

X

l

¡

hW, En+lihJkX, JlYi − hY, En+lihJkX, JlWi

¢

e

−2X

b

hX, En+kihJkV, ebiL(Y, eb, W)

=hX, En+ki

X

l

¡

hW, En+lihJkV, JlYi − hY, En+lihJkV, JlWi

¢ .

Finalmente, calculamos

−2X

b

Uk

bL(X, eb, W)hJkV, Yi=

X

b

Uk b

X

l

¡

hJlW, Xiheb, En+li − hJleb, XihW, En+li

+hJleb, WihX, En+li

¢

hJkV, Yi

=X

l

¡

hJlW, Xi

X

b

heb, En+kiheb, En+li+hJlX, En+kihW, En+li

−hJlW, En+kihX, En+li

¢

hJkV, Yi

=hJkW, XihJkV, Yi

e, de modo an´alogo, obtemos

−2X

b

(36)

Cap´ıtulo 2. Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes 27 Utilizando essas express ões, podemos escrever

2Q(X, Y, V, W)

=−1

2

X

k

hJkX, VihJkW, Yi+

1 2

X

k

hJkX, WihJkV, Yi+

1 2

X

k

hJkX, YihJkV, Wi

+1 2

X

k

hJkY, VihJkW, Xi −

1 2

X

k

hJkY, WihJkV, Xi −

1 2

X

k

hJkY, XihJkV, Wi

+X

k

¡

hV, En+ki∇¯XJk(W, Y)− hW, En+ki∇¯XJk(V, Y)− hY, En+ki∇¯XJk(V, W)

¢

−X

k

¡

hV, En+ki∇¯YJk(W, X)− hW, En+ki∇¯YJk(V, X)− hX, En+ki∇¯YJk(V, W)

¢

+1 2

X

k,l

¡

hV, En+kihW, En+lihJkY, JlXi − hV, En+kihX, En+lihJkY, JlWi

¢

+1 2

X

k

hJkW, XihJkV, Yi

+1 2

X

k,l

¡

hY, En+kihW, En+lihJkV, JlXi − hY, En+kihX, En+lihJkV, JlWi

¢

−1

2

X

k,l

¡

hV, En+kihW, En+lihJkX, JlYi − hZ, En+kihY, En+lihJkX, JlWi

¢

−1

2hJkW, YihJkV, Xi

−1

2

X

k,l

¡

hX, En+kihW, En+lihJkV, JlYi − hX, En+kihY, En+lihJkV, JlWi

¢ .

Note que

¯

∇VJk(X, Y) =h( ¯∇VJk)X, Yi, (2.9)

(37)

Cap´ıtulo 2. Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes 28 alguns termos na expressão anterior deQ, deduzimos que

2Q(X, Y, V, W) =hJkX, YihJkV, Wi+

1

2hJkY, VihJkW, Xi − 1

2hJkY, WihJkV, Xi

+X

k

¡

hV, En+kih( ¯∇XJk)W, Yi − hW, En+kih( ¯∇XJk)V, Yi − hY, En+kih( ¯∇XJk)V, Wi

¢

−X

k

¡

hV, En+kih( ¯∇YJk)W, Xi − hW, En+kih( ¯∇YJk)V, Xi − hX, En+kih( ¯∇YJk)V, Wi

¢

+1 2

X

k,l

¡

hV, En+kihW, En+lihJkY, JlXi − hV, En+kihX, En+lihJkY, JlWi

¢

+1 2

X

k,l

¡

hY, En+kihW, En+lihJkV, JlXi − hY, En+kihX, En+lihJkV, JlWi

¢

−1

2

X

k,l

¡

hV, En+kihW, En+lihJkX, JlYi − hV, En+kihY, En+lihJkX, JlWi

¢

−1

2

X

k,l

¡

hX, En+kihW, En+lihJkV, JlYi − hX, En+kihY, En+lihJkV, JlWi

¢ .

2.1.1 Defini¸c˜ao Alternativa do Tensor

L

A partir da escolha do referencial ortonormal local invariante `a esquerda em (2.1), definimos asconstantes de estruturaemN por

[Ek, El] = n+n′

X

r=1

σr

klEr. (2.10)

Se{θk_}n+n′

k=1 denota o co-referencial dual a{Ek}n+n

′

k=1 , ent˜ao as formas de conex˜ao emN

s˜ao dadas por

θk l =

1 2

n+n′

X

r=1

τk lrθ

r_,

(2.11) onde

τlrk =σ k rl+σ

l kr+σ

r

kl. (2.12)

De acordo com essa notação, as primeiras equaç ões de estrutura são

dθk₊_θk l ∧θ

l _{= 0}_, _θk l =−θ

l

k. (2.13)

A relac¸˜ao (1.4) pode ser reescrita como τklr =σ

r

lk, 1≤k, l≤n, 1≤r ≤n+n′. (2.14)

Da´ı, para1≤k, l ≤n, vale a relac¸˜ao σl

(38)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 29 Em termos das constantes de estrutura temos, a partir de (1.8)-(1.10),

τr

kl = 2h∇¯ElEk, Eri=−σlrk, (2.15)

para1≤l, r≤nandn+ 1≤k ≤n+n′_. A2-forma de curvaturaΘ = {Θk

l} n+n′

k,l=1deN, associada ao referencial{Ek}n+n

′

k=1 , ´e dada

por

dθkl + n+n′

X

r=1

θrk∧θ r l = Θ

k

l. (2.16)

Verifica-se facilmente que

Θk l =

1 4

n+n′

X

r,p,q=1

¡ τk

lrτ r st+τ

k rsτ

r lt

¢

θp_∧_θq_.

(2.17)

Recordamos que as duas express ˜oes distintas paraJkobtidas acima est˜ao relacionadas

pela equac¸˜ao

ukab = n

X

l,r=1

AlaA r bσ

n+k

lr . (2.18)

Utilizamos a equação (2.18) para deduzir uma expressão alternativa paraλ, a ser usada posteriormente.

Proposi¸c˜ao 1. A1-formaλ= (λa b)

n+n′

a,b=1 definida em (2.5) satisfaz

λ =A−1θA,

ondeθ = (θk l)

n+n′

k,l=1.

Prova. Como calculado acima, as constantes de estrutura deN satisfazem, em termos do referencial ortonormal{Ek}n+n

′

k=1 , as equac¸ ˜oes

σrkl=

        

0, 1≤r≤n,

0, 1≤k ≤n, n+ 1≤l ≤n+n′_,

0, n+ 1≤k, l≤n+n′_. e

τk lr =

        

σk

rl, 1≤l, r ≤nek ≥n+ 1,

σr

kl, 1≤k, l ≤ner≥n+ 1,

σl

(39)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 30 Assim, obtemos

λa

b = −

1 2

n+n′

X

c=1

n′

X

k=1

(Uk

aukbc−Ubkuack −Uckukab)ωc

= −1

2

n+n′

X c=1 n′ X k=1 n X l,r=1 Uk aA l bA r cσ

n+k lr ω

c₊ 1

2

n+n′

X c=1 n′ X l=1 n X k,r=1 Ak aU l bA r cσ

n+l kr ω

c

+ 1

2

n+n′

X c=1 n′ X r=1 n X k,l=1 Ak

aAlbUcrσkln+rω c

= 1

2

n+n′

X

c=1

n+n′

X

k=n+1

n

X

l,r=1

AkaA l bA r cτ k lrω c +1 2

n+n′

X

c=1

n+n′

X

l=n+1

n

X

k,r=1

AkaA l bA r cτ k lrω c + 1 2

n+n′

X

c=1

n+n′

X

r=n+1

n X k,l=1 Ak aA l bA r cτ k lrω c = 1 2

n+n′

X

c,k,l,r=1

Ak

aAlbArcτlrkωc=

1 2

n+n′

X

k,l,r=1

Ak

aAlbτlrkθr = n+n′

X

k,l=1

Ak aAlbθlk

=

n+n′

X

k,l=1

(A−1)akθ k lA

l b

= (A−1θA)a b.

Isso encerra a prova da proposic¸˜ao. ¤

Observa¸c˜ao 1. Podemos ainda demonstrar que

−Q=A−1ΘA. (2.19)

Uma fórmula análoga é provada posteriormente na Proposi¸cão 4.

2.2 Existˆencia de um Referencial Adaptado

SejaMuma variedade Riemannianam-dimensional. Definimosm′_por_m₊_m′ ₌_n₊_n′_. Consideramos um fibrado vetorial real RiemannianoE_sobre_M _{com posto}_m′_{e a soma} de Whitney S ₌ _{T M} _⊕ E_{, de modo que} S _{´e um fibrado vetorial trivial. Podemos,}

portanto, fixar um referencial ortonormal globalmente definido Eˆ1, . . . ,Eˆn+n′ em S.

Denotamos por h·,·io tensor m´etrico em S_{. Sejam} _∇ˆ _e_Rˆ _{a conex˜ao compat´ıvel com}

a m´etrica e o tensor curvatura emS_{, respectivamente. Ent˜ao, definimos o tensor}

hJˆkV, Wi=

X

l,r

(40)

Cap´ıtulo 2. Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes 31 ondeV, W são secç ões arbitrárias deS_{. Em virtude da definição de}_Jˆ_k_{, temos}

hJˆkV,Eˆn+li= 0 (2.21)

posto queσn_r,n+₊k_l = 0. Definimos em termos deJˆkos tensoresLˆeQˆ emSpor

−2 ˆL(X, Y, V) =

n′

X

k=1

hJˆkV, XihY,Eˆn+ki − n′

X

k=1

hJˆkY, XihV,Eˆn+ki

+

n′

X

k=1

hJˆkY, VihX,Eˆn+ki (2.22)

e

2 ˆQ(X, Y, V, W)

=hJˆkX, YihJˆkV, Wi+

1

2hJˆkY, VihJˆkW, Xi − 1

2hJˆkY, WihJˆkV, Xi

+X

k

hV,Eˆn+kih( ˆ∇XJˆk)W, Yi −

X

k

hY,Eˆn+kih( ˆ∇XJˆk)V, Wi

−X

k

hV,Eˆn+kih( ˆ∇YJˆk)W, Xi+

X

k

hX,Eˆn+kih( ˆ∇YJˆk)V, Wi

−X

k

hW,Eˆn+kih( ˆ∇XJˆk)V, Yi+

X

k

hW,Eˆn+kih( ˆ∇YJˆk)V, Xi

+1 2

X

k,l

¡

hV,Eˆn+kihW,Eˆn+lihJˆkY,JˆlXi − hV,Eˆn+kihX, En+lihJˆkY,JˆlWi

¢

+1 2

X

k,l

¡

hY,Eˆn+kihW,Eˆn+lihJˆkV,JˆlXi − hY,Eˆn+kihX,Eˆn+lihJˆkV,JˆlWi

¢

−1

2

X

k,l

¡

hV,Eˆn+kihW,Eˆn+lihJˆkX,JˆlYi − hV,Eˆn+kihY,Eˆn+lihJˆkX,JˆlWi

¢

−1

2

X

k,l

¡

hX,Eˆn+kihW,Eˆn+lihJˆkV,JˆlYi − hX,Eˆn+kihY,Eˆn+lihJˆkV,JˆlWi

¢ .(2.23)

ondeX, Y ∈Γ(T M)eV, W ∈Γ(S₎_.

Supomos, ent˜ao, que

hRˆ(X, Y)V, Wi= ˆQ(X, Y, V, W), X, Y ∈Γ(T M), V, W ∈Γ(S₎_. _(2.24)

Além disso, supomos que a condição

ˆ

∇XEˆn+k=−

1

2JˆkX, X ∈Γ(T M), k= 1, . . . , n

′ _(2.25)

(41)

Cap´ıtulo 2. Imers ões Isométricas em Grupos de Lie Nilpotentes 32 A conexão emS_{induz conex ões}_∇_em_M _e_∇E

emE_{. Mais precisamente,}

definindo-seII ∈Γ(T∗_M _⊗_T∗_M _⊗_E₎_por

ˆ

∇XY =∇XY +II(X, Y), X, Y ∈Γ(T M)

e denotando-se

hSV(X), Yi=hII(X, Y), Vi, V ∈Γ(E),

obtemos

ˆ

∇XV =−SVX+∇

E

XV.

Em termos da decomposiçãoEˆn+k =Tk+Nk,Tk ∈Γ(T M),Nk ∈Γ(E), a condição (2.25)

´e expressa por

∇XTk−Sk(X) +∇

E

XNk+II(Tk, X) =−

1

2Jˆk(X), X ∈Γ(T M), (2.26)

ondeSk=SNk.

Defini¸c˜ao 1. Dado um aberto simplesmente conexo M′ _⊂ _M_{, fixamos uma aplica¸c˜ao} _U _∈ C∞₍_M′_,_Rn′₍_n₊_n′₎

). Um referencial ortonormale:M′ _→_F₍_S₎_{com componentes} e1, . . . , em, em+1, . . . , em+m′

éadmiss´ıvelse as primeirasmseçcões são campos vetoriais emM e as últimasm′ _{são seçcões} emE_{e, ainda, se satisfizer}

hEˆn+k, eai=Uak, 1≤k≤n

′_.

Em particular, isso implica que

hTk, eii=hEˆn+k, eii=Uik (2.27)

parai= 1, . . . , me

hNk, eαi=hEˆn+k, eαi=Uαk, (2.28)

paraα =m+ 1, . . . , m+m′_{. A aplica¸c˜ao de transi¸c˜ao de um referencial ortonormal}_E_ˆ

k para

um referencial ortonormal admiss´ıvelea é dada por umaaplicação admiss´ıvel, isto é, se

ea = ˆEkAka,

ent˜aoA´e da forma

A(x) =

  ∗

U(x)



(42)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 33 Denotamos por

ω1, . . . , ωm_{, ω}m+1_{, . . . , ω}m+m′

(2.30) as 1-formas reais sobre S _{duais ao referencial} _{_e_a_}n+n′

a=1 . A conex˜ao riemanniana ∇ˆ

´e dada, em termos deste referencial, pela matriz ω = (ωa b)

n+n′

a,b=1. Assim, a primeira

equação de estrutura é escrita como

dωa+ωba∧ω b

= 0, ωba=−ω b

a. (2.31)

A express˜ao local paraJˆkem termos de um referencial ortonormal admiss´ıvel ´e

hJˆkeb, eai=ukba. (2.32)

Ent˜ao, considerandoJkcomo um tensor do tipo(0,2)dado por

ˆ

Jk(ea, eb) :=hJˆkea, ebi, (2.33)

podemos escrever

ˆ

Jk =

X

a,b

ukabω a

⊗ωb. (2.34)

Assim, a equação (2.25) é reescrita como X

k

¡

dUak−

X

c

Uckω c a

¢

=−1

2

X

k

ukbaω b

. (2.35)

As derivadas covariantes do campo tensorialJˆks˜ao dadas por

ˆ

∇Jˆk(ea, eb) = dukab−u k dbω

d a−u

k adω

d

b =: ˆ∇u k ab.

A express˜ao local paraLˆ ´e dada, em termos de1-formas, por

ˆ

λa

b = ˆL(·, ea, eb). (2.36)

Assim, do mesmo modo como foi calculado na Sec¸˜ao 2.1, obtemos a identidade

ˆ

λab =−

1 2

n′

X

k=1

¡ Uaku

k bc−U

k bu

k ac+U

k cu

k ba

¢

ωc. (2.37)

A express˜ao local paraQˆ ´e dada pela2-forma

ˆ

Qd

(43)

Cap´ıtulo 2. Imers ˜oes Isom´etricas em Grupos de Lie Nilpotentes 34 Podemos verificar que

ˆ

Qa

d := ˆQ(·, ·, ea, ed) =−

¡

dˆλ+ ˆλ∧ω+ω∧λˆ−λˆ∧λˆ¢a

d. (2.38)

Com efeito, a verificação de (2.38) é análoga àquela feita na Seção 2.1, dessa vez uti-lizando a expressão (2.21).

Observemos agora que a hip ´otese (2.24) ´e refraseada, em termos dessas formas, como

dω+ω∧ω =−( ˆQda). (2.39)

Podemos provar o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2. Suponhamos que os dados definidos acima satisfa¸cam (2.24) e (2.25). SejaM′ _⊂ M um subconjunto aberto e simplesmente conexo. Então, existe uma aplica¸cão admiss´ıvel A∈C∞₍_M′_,_SO

n+n′)tal que

A−1dA =ω−ˆλ (2.40)

com a condi¸c˜ao inicialA(x0) = Id, parax0 ∈M′ dado.

Prova. É suficiente mostrar que as hipóteses em consideração implicam nas hipóteses da Proposição 5 do Apêndice 2.4. Isso assegura a existência de uma aplicação ad-miss´ıvel tal que

A−1dA= ˆω, (2.41)

onde estamos considerando

ˆ

ω=ω−ˆλ. (2.42)

Denotando

Υ = ˆω−A−1dA, (2.43)

calculamos

−dΥ = −A−1dA∧A−1dA−dˆω

= −¡Υ−ωˆ)∧¡Υ−ωˆ)−dˆω

= −Υ∧Υ + Υ∧ωˆ+ ˆω∧Υ−dˆω−ωˆ∧ω.ˆ

Assim, em vista da expressãoωˆ =ω−λ, obtemos a seguinte equação m óduloˆ Υ dΥ = dˆω+ ˆω∧ωˆ