Uma câmara de ionização sólida

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SÃO CARLOS

à " "UMA CÂMARA DE IONIZAÇ O SOLIDA

Marcílio de Freitas

Dissertação apresentada ao Instituto de Física e Química de são Carlos,p~ ra a obtenção do título de Mestre em Física Aplicada.

Orientador:

Prof.Dr. Guilherme Fontes Leal Fer -reira.

Departamento de Física e Ciência dos Materiais são Carlos - 1984

MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA DISSERTACAO DE MESTRADO DE

MARCILIO DE FREITAS

APRESENTADA AO INSTlfUTO DE FrSICA E nuTMICA DE SAO CARLOS, DA

UNIVERSIDADE DE SAO uAULO, EM 13 DE iunho

COMISSAO JULGADORA:

DE 198 4 .

-..-- --.---

---Dr. GUILHERME r.LEAL FERREIRA

---.----;,

d@?"íd6~eé~

/r~

- Orientador

--_._----~~--~---~---0(. RENE Am1ANDO MORENO ALFARO

"

INDICE

RESUMO

}~BSTRACT

NOTAÇÃO

••••• 011I ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••• 11 •••••••••••••••••••••••••• 11 •••••••••••••••

...

I

II

III

I

INTRODUÇÃO

1

11-- 2.a.

COIfrACÃO DO PROBLEMl\ •••••••• 0 ••••••••••••••••• 3

2.b. _{EQUAÇÕES GERAIS}

...

4

111- 3.a. - INTRODUÇÃO

...

7 3.b. - APROXIMAÇÃO DE CAMPO

BAIXO

...

8

3.c. - APROXIMAÇÃO DE CAMPO

ALTO

...

24 IV- INTRODUÇÃO EQUAÇOES GERAIS

30

30

PECULARIDADES DA INTEGRAÇÃO DO SISTE1~ 32

CURVAS CARACTERISTICAS

...

34

RESULTADOS

37

...

V- INTRODUÇÃO EQUAÇÕES GER,AIS 42 42 43 46 47 51 54 56 45

11 ••••••••••••••• •••••••• ••••••••••

...

...

RESULTADOS CONCLUSÃO REFERÊl~CIAS

5.a. - APROXIMAçÃo DE CAMPO BAIXO 5.b. - APROXIMAÇÃO DE CAMPO ALTO 5.c. - SOLUÇÃO NUM~RICA

T

RESUMO

Assumindo elétrons e buracos se movimentando em suasban das próprias e centros de recombinação independente para ambos, Hughes e Sokel calcularam as caracteristicas e distribuição de car gas para o oxido de chumbo (PbO) quando este se encontra sob radia ção. O cálculo também inclue a corrente de difusão e segundo os au tores, esta possui um importante papel em muitos aspectos.

Neste trabalho a caracteristjca para o Pbü foi recalcula do sem _{considerar a contribuição da corrente de difusão e}

essen-cialmente foi obtido o mesmo resultado. Foram desemvol vidos aprox~ mações para baixo e alto campo.

ABSTRACTS

Assuming elC'ctron and hole bands and ~ndependent reco~ bination centers or both carriers, Hughes and Sokel calculated the characteristics and charge distributions for lead oxide PbO under irradiation. The calculation also included the dlf ~

fusion current and it was asserted that such a current was ~m~ portant in some aspects.

In this work the characterístic for PbO was recalculat ed without the diffusion component and essentially the same result was obtained. Side this, approximattons were derived for low and high fields.

U[

TABELA I

NOTAÇÃO

As grandezas sem prima, abaixo explicitas, ser~o apresen-tadas no texto em unidades adimensionais. A relaç~o entre elas e as grandezas correspondentes em unidades reais

é

apresentada na tabe-Ia

2.

EI ,E

P v, P

11' ,)1

'YL'

t' I1t

,

Pot,Pot

''Ytot/not

V'

,v

Jn,Jn l<:p, Kp Kn,Kn

t'

,t

,

l/j

,1,Z'p

,

't;\1,Z'n Rp,Rp

,

Rn,Rn ,campo elétrico

densidade de corrente total concentração de buracos livres concentraçâo de eletrons livres

concentração de centos ocupados por buracos concentração de centros ocupados por eletrons concentração de centros neutros para buracos concentração de centros neutros para eltrons diferença de potencial

carga espacial efetiva (Pt + P - ht-h)

densidade de corrente transportada pelos buracos . densidade de corrente transportada pelos elétrons

razão de combinação dos buracos com os centros de captura de buracos neutros

razão de combinação de eletrons livres com os centros de captura de eletrons neutros

tempo

tempo de captura dos buracos . tempo de captura dos eletrons

razao de combinação dos buracos livres com os eletrons pre sos nos centros de captura

Ai , LL_

''P

---n

K:c J.kY\,

~- /Up

J

L

'lI

_{ü ,}X

e

E

sos nos centros de captura

razão de geração de pares elétrons-buracos

mobiblidade dos buracos e eletrons respectivamente razão das mobilidades

espessura da umostra potencial de saturação coordenada de posição carga eletronica

TABELA 2

Listas dos parâmetros de referância

1

em unidades reais e adimensionais (apresentadas no texto)

v

Unidades reais Unidades adimensionais

'L

~

= 2,852 10-3-8 "'Cp

= 6 10

s

_P

= 7,938 10-4 '(;n

r'

.

-8

Rp = 6,637 10-2

= 1.67 10

s

n

_I = 0,6637-8 3 Rn

Rp = 5 10 em Ig

>

-7 3 N

= 1,5846 107 Rn

= 5 10 em /

s

N'

=

1018 em-3

g'

15

= 3 10 _{T?ares em s}

E

=

2,124 10-12 F

em

)

-3

L

= 2 10em

e

= 1,6

10-19c

Ü)p

=

10 em

2

Vs J

2

/u..n

=

100 em

1.

CAPíTULO I

INTRODUÇÃO

Nesta dissertaçao estudamos o estado estacionário de um sólido sujeito

à

radiação ionizante. Tanto o fato de o Grupo de

E-letretos Prof.Bernhard Gross desenvolver pesquisas nestas linhas, bem como o interesse teórico sobre o problema foram os responsá~s pela escolha do tema. Este interesse nasceu após a publicação de

~

Hughes e Sokel,que estudaram teoricamente as correntes induzidasem películas de óxido de chumbo. O Cálculo por eles apresentado é bas-tante minucioso levando em conta até mesmo difusão e dando também algumas soluç6es não estacionárias. Além dissO,Hughes refere-se a um trabalho de Rose e Goldman no qual o problema foi abordado de forma simplificada. Assim o nosso interesse inicial foi duplo:pri-meiro eliminar a corrente de difusão para constatar que - ao cOn-trário do afirmado porHughes- na região de voltagens usualmentee~ pregadas ela já pode ser ignorada; em segundo lugar procurar veri-ficar de que forma o trabalho de Rose e GoldmaJ~- para quem recom-binação e captura por armadilhas se confundem num único processo -pode-se constituir numa aproximaçao de Hughes.

Os primeiros capítulos da dissertação referem-se

à

discus são deste tema, além de desenvolver aproximações para a caracterís tica corrente - tensão em campo baixo e na região de campo alto.

Nq parte final da dissertação procuramos nos desligar do trabqlho de Hughes no sentido de permitir valores dos parâmetros pertinentes - tempos de captura, densidade de armadilhas, mobili-dades, coeficientes de recombinação - outros que aqueles apropria-dos ao PbO. Neste ponto, fomos também obrigados, em

ge-raram s6mente 18 características, que s~o mostrados na parte fi-nal desta. Além disso, foram também desenvolvidas para este caso,

as aproximações de campo baixo e alto.

v

Fig. 1 - Esquema elétrico para o problema em estudo. A parte hachu riada é a amostra.

···I·

r'"

(BaND" »e CO.HOC,iÕ)

-. _. _ cel\l-l:r'OS 'De capt'lJ..r'a.

'para

eLi'tr'ON':>

1 -

{""hOó

M

C<GONb,"af"" paca b"aoo,

-&- - - -9- .{} _ ce.N-tr'os J)<?- c..a.ptlLr'd. pa.õ'd... bUr'a.C-0S

:-J

_{v v v ü v}

.

_{vvv u •} {oe",,,"o, "' ceoO"bi~aFa<i pMa_{p (BaNDâ. Jle vdLeNc.ta)} eL/teu""

CAP1TULO II

2.a Colocação do problema

o

estudo apresentando nesta dissertação refere-se ao

de-senvolvimento de modelos matemáticos, relacionados com o problema flsico de dupla extração de pares buracos-elétrons gerados unifo~ mente num dielétrico com contatos bloqueantes e sob uma diferen-ça de potencial aplicada como mostrado na Figura

1.

a

dielétrico em estudo possue duas distribuições unifor-mes de centros de captura, urna para buracos e outra para elétrons. Será considerado que estes centros de captura são profundos, isto é, os portadores após capturados não mais serão coletados pelos eletródios; porém o portador capturado poderá se recornbinar com um outro de sinal oposto que se movimente em sua banda de condu -ção própria corno mostrado na Figura 2. Corno já foi dito na

intro-dução, o objetivo da dissertação é o estudo das distribuições de portadores livres e capturados, do campo elétrico, da caracterís-tica (JxV) e de outras grandezas físicas necessárias para descre-ver as propriedades elétricas do dielétrico quando este encontra-se sob a ação de radiação e de urna diferença de potencial aplica-da. Limitar-no-emos ao regime estacionário.

Naturalmente que este problema é de certa forma análogo ao da câmara de ionização, a corrente saturando para voltagens crescentes. Porém, com os valores que os parâmetros assumem no estado sólido (por exemplo, veja o caso da ref.~) , onde a cap-tura de portadores é bem acentuada, um potencial muito mais alto é necessário para se aproximar da saturação.

-10.

2.b- EQUAÇÕESGERAIS

As equações gerais que admitiremos

para o nosso sistema,

válidas

sob condições de regime estacionário

são:

dEI

E

dx I (x I)

e (pl(Xl)

+ pl (Xl) -nl(xl)-nl(xl»

t

t

d

-:J.lp dx I (p I (x I ) EI (x I) ) +g -

P

L

I ~XI)

(1 _

P

P

t

I (x I)

P

I

) - R~(x I )

P

I (x I ) n~ (x I )=

O

to

I

(2)

d

nI (xI)

n~(xI)

J.l -

n dx'

(nl (Xl)E' (Xl) )+g-

---(1- --

LI nl

)-

RI (xl)nl (Xl)pl (Xl) =

-n

t

O

n

to

\

(3)

)

J = JI (Xl)+JI (Xl)

_P

_n

_{JI(Xl) =eJ.lpp'(x')E'(X')}

_p

JI=e]Jnnl(xl)EI(xl)

_n

(4)

I

pl (Xl)

_I

_{(1 _ t}

pl (Xl)

₎

Lp

Pt

-

R~nl (Xl) pl (Xl)

=

O

o

t

nI (Xl)

nI (Xl)

I

(1

-t

L

) - ~ P

nto

I (x

I )

n~(x

I )

n

=

O

EI (xl)

=

-dV'

(x

1)

dx'

I

(5) j (6)

,

(7)

Sujeitas às seguintes

condições de contorno:

a) A voltagem aplicada

na amostra

L

Vi

=

f

E'

(x')dxJ

o

'" "'''-;

fBl'/lOrr" DO '.STlToro DErls"A (OlJIMICADESÃoCAALOB. Us.o

; '., Fls, (A

•

b)

p'(x' = O) = nl(x' = L) = O

)

( 9 )

Fisicamente, esta condição significa que não há injeção de portadores pelos eletródios. Por outro lado admite-se que

to-,

-dos os portadores que chegam aos eletrodios sao por eles pronta-mente recolhidos .

. Assumimos agora, igualdade nas concentrações de centros de captura neutros para buracos (p'to) e elétrons (n' ) N'. De -_to

(~

finindo as variáveis adimensionais (sem prima) abaixo re1aciona-das,

p (x) p' (xI)

n (x)

n' (xI)

Xl

\Pt (x) (eflp)

1/2

Pt (xI)

X

=-i =

L

nt (x)

E:g

Int(xl)

N

I

IN'

E(x) _

_-

E \l

1/2

(egt2)

E' (Xl)

(e~flP)

1/2 ,.

(::l

=

J

=

JI

egL

as equaçoes

(I),

I

....

,

I

(9 ) sao escritas respectivamente como:

dE(X)

dx =

(1 )

d

o(x)~)

d

k dx (n (x)E

(x) )

+

1

~(x!-

_1n

(l - r1t (x) ) -_N Rn n (x) Pt (x) = O (3)

r

b

Jn(x)=

kn(x)E(x)(4)

P(x) (l

T

P

(5 )

=

O (6 )

E(x) =

_dx

d

_V

_(x)

(7)

1

V = J E(x)dx

O

p(x = O) = n(x 1) = O

( 8)

(9 )

~

-

~

-

~

..

:1-_i

CAl?!TULO 11;[

MODELO TECRICO APROXIMADO

3.a

-

Introdução

-

.

-

.,.

-

.

Nesta e na proxlma seçao deste capItulo sera desenvolvIdo um modelo teórico aproximado ao da situação real com o objetivo de se obter equações mais simples nas situações limites de campo elé-trico pequeno e de campo elétrico alto, (próximo da corrente sa -turada) . Na situação de campo baixo raciocina-se da seguinte manel ra: imagine-se o dielétrico exposto

à

radiação mas não ao campo e-létrico. As diversas densidades de cargas, livres e presas, positl va e negativa, atingem determinados valores e permanecem constan -tes em toda a amostra; admite-se que se agora um campo elétrico muito pequeno é aplicado, na região central do dielétrico as densi dades de portadores livres e imobilizados serao ainda aquelas exis tentes na ausência de campo. A influência deste se fez sentir no aparecimento de duas, a princípio, estreitas, regiões próximas aos eletródios, onde a densidade de portadores que aí iniciam'seu tra-jeto em direção a região central,

é

menor que nesta região.

Uma outra aproximação que obteremos será aquela na região próxima a saturação. Ver-se-á que as densidades de cargas nas arma dilhas tendem a uma distribuição limite. A partir da voltagem em que um campo elétrico sempre positivo existe no dielétrico em pre-sença daquela distribuição limite, podemos dizer que nos

encontra-.-

-

~

-mos na regiao de saturaçao. E posslvel estabelecer entao uma apro-ximação,

à

semelhança daquela já aplicada ao caso da câmara de

io-.

3.D - Aproxim~ç~o de Campo Baixo

No caso tratado na referência 2 - vale dizer, por efeito dos valores assumidos pelos parâmetros pertinentes - a densidade de cargas livres ~ muito menor do que a das presas. Isto pode ser visto a partir das equaç6es de balanço nas armadilhas, por exem -pIo, para os elétrons, da equação (6) resulta:

n

-j

1n

= , onde TI

1

_n

=l(l

_Tn

nt)

N

Notemos , em primeiro lugar, que devido aos valores apro-xirnadarnente iguais que os parâmetros referentes aos elétrons e bu racos assumem (mesmo um fator de 10 não será relevante nesta dis-cussão), podemos por n ,\.,p e com isto obtemos

Se tentativamente colocamos T'

_n

~ T

_n

rI.,

1

Rp1n «N

justificando a aproximaçao feita

(i

_sto

é,

T ~ = T

n) •

obtemos finalmen -conse<]uentemente

n

(3 ) 1 = -=-+_Tn Rn n Pt os valores assumi

-( e

«

1 1

n

= -(-

-t Rn n questão e Finalmente, veremos que n

dos pelos parâmetros em

P « Pt' também). Para isto, usando a equaçao

1

-). Para

Tn

corno nt > O, com Pt ~ nt obtemos que

=

₍₁₀₎

Isolando p e n das

~

equaçoes (2 )

e

( 3 ) e substituindo

a

expressão correspondente a Nt nas equações resultantes, obtem-se:

p

=

n

= -AI

1+

(TnRn)

1/2

TpRp

(11)

(12)

Para os dados da tabela 2, segue que:

p

= 1,783 10-3

e

n

=

2,974 10-4.

Portanto para o problema em questão , na região central,

/

as densidades dos portadores presos nos centros de captura e mui-to maior que as respectivas densidades dos portadores livres. Es-ta situação ainda persistirá nas regiões próximas aos eletródios,

criadas pela presença de um campo elétrico. A carga elétrica

presente encontra-se imobilizada nos centros de captura, provoca~ do uma significante distorção das linhas do campo elétrico.

Como na referência 2, as propriedades elétricas do dielé trico excitado

é

descrita em termos de processos eletrônicos que ocorrem nas três regiões distintas citadas anteriormente;

-10

rastados para o contato pJsitivoi os buracos da região 3 são arrastados para

o contato negativo e os buracos da região 1 e elétrons da região 3 são

arras-tados para a regiaõ região

2.

2- Emtodos os pJntos da regiaõ 2, a razão da geração será igual à razão

de captura e recombinação, isto

é,

todos os pares elétrons-buracos gerados nesta

região capturados e recombinadospelos respectivos centros, de forma que, a den

sidade de elétrons imobilizados é igual à dos buracos.

~

CAT01>O

l<EC,IAO

3

I

,(

(;;

I (í;;

, '"V

REC,I/.\O Z

I-t = 'l1.i: » P ( 'YL )

~--0

_~--->I

.

I

3- Para as regiões 1 e 3, a densidade líquida de pJrtadores livres (p-n)

é muito pequena quando corrprarada cema dos portadores irrobilizados nos centros

de captura (Pt - nt) .

AN(;.j)(,

~EGIÁà 1.

o I ••• I...,

~

Àll---)j(

--j

>..2.1---)\(

I ~31-

__

~1.

e

Fig.3 - Esquerrk~dos processos eletrônicosque ocorrem nas três're _ giões distintas do dielétrico.

Nesta aproximação, nas condições comentadas anteriormen-te, para a região central (Àl < x < 1 - Àl - À3) as densidades de portadores imobilizados nos centros de captura e a dos portadores livres são expressas respectivamente pelas equações (10), (11)

(12) . Dividindo (12) por (11)

n

p =

a

(13)

Da equaçao (4) resulta:

=

J

p

(1+K!:!.)

P

(14)

Onde

E2

é a intensidade do campo elétrico na região

2(çent~a~.

Substituindo (11) e (13) em (14) obtem-se:

11

onde e

-A corrente transportada pelos buracos na região

2,

asso-ciada aos portadores (buracos) gerados na região 1, é :

= =

₍₁

₊

_I~a)

-1

_J

₍₁₆₎

A corrente transportada pelos elétrons na região 2, as sociada aos portadores (elétrons) gerados na região 3, é:

=

Segue então que:

( 17)

=

₍₁₈₎

a eguaçao (18) _{mostra que a relação entre as} extensões das regiões 1 e 3 se mantém constante e depende somente üos valo-res assumidos pelos parâmetros pertinentes ao problema em estudo. Para os dados da Tabela 2 encontra-se que À3 =

1,668

Àl'

Para a região 1 (O < x < Àl); utilizando 1 e a equação (2) resulta:

d

dx(P(X)E(X) =

integração.

1 ~

J

_{P = x}

₊

_{Cl onde cl é uma constante de}

Como p(x O) O, obtem-se que p(x) _{= E (x) •}

x

(19 )

n (x)

:::

J-x

1m

(]x

(2 O)

J.2

Isolando

e (6) resulta:

pt(x) e nt(x), respectivamente, das equações (5)

_ NP (x)

- p(x)+R.~"[pNn(x)

::: Nn(x)

n (x)

+RpTnNP

(x)

(21)

Notemos _aqui

que para x :::O, pt(x) também é igual a zero porque p(x)=O. Al~m disso a outra equaç~o nos diz que nt(O) :::N . Ent~o na regi~o 1 (e com as óbvias mudanças, na região 3)

have-rá um excesso de carga negativa residindo nas armadilhas, que for temente deforma o campo elétrico nesta região.

Substibuindo a~ equaç6es (19) e(20) na I<N

p:::

---

X

t (K-Rn1pN)x+RnTpNJ

(21), resulta:

N

(J-x)

n :::

---t J+ (KRpTnN-l) x (22)

utilizando a hio6tese

3,

da equação de Poisson resulta:

d

dx El (x) p + Pt - n - nt (23)

Substituindo (22) em (23) obtem-se:

d x x - D

(24)

dx El (x) (AX+B+ Cx+D )N'"

K-Rn1pN

R T N onde

A

::: n p _{= 1}

-=

1 - w _B =

wlJ (25)

K

;

1K

c

JK R==D T N - 1 :::w - 1

:

P n 2

R T N w =

n p e wKR TN

=

1 KP n 2

I ,)

onde E_o é a intensidade do campo elétrico em x = o.

.Assumiremos

El

(x

=

À1)

=

que a função campo elétrico

sej a contínua

em x

= À

l'

onde E2 como

já

mencionado anteriormente,

é

a intensidade do

cam-po na região

central.

Substituindo

x = ~l ' na equação (26) obtem-se:

1

1

B

A

D+DC

c

Eo=N{-(A+C)À1+~2R-n(l+BÀ1) + (cr-)R-n(l+j) À1 )} + E2 (27)

Substituindo (16) e (25) na eq.(27)resu1ta:

+

e dividindo por E2' o primeiro termo a di-reita da equação acima obtem-se que:

( 28)

onde

(29)

.-.,"'..-...

A equação (28) relaciona a intensidade do campo elétrico no eletródio dianteiro (x=O) com a intensidade do campo na região central (região 2).

Para a região 3 (Àl+À2< x < Àl+ À2 + À3

=

1), analoga-mente ao desenvolvimento anterior, resulta:

d

dx(P(X)E(X) = 1

7

p(x)E(x) = x

+

C2 constante de integraçào.

Como

_{P (x=l)E (x=l)}

₌

J

P

=

J

pois n(x=l) = O, resulta:

C2 =

J -

1

e

portanto

p

(x)

n (x)

Substituindo

J+x-l

-- E (x)

l-x

KE (x)

(30)

e

(30)

(31 )

(31) nas equações (22) e utilizando as relações (25), resulta

= J-l+x

Ex+F

N

=

Cx

l-x

+

G

N (32)

RnT N

onde E = -(1+ KP) =-(1+w1) ; F =

J

+ 1 + w1

(33)

C = KR_PT

_n

N-l = w₂ - 1 . G = w (J - 1)

+

1

f 2

onde C3

é

urna constante de integração.

A constante C3

e

obtida, como anteriormente, assumindo que a função campo elétrico seja continua em x =

1 -

À31

(35)

Analogamente ao procedimento anterior,

é

possivel encon-trar uma relação entre o campo no eletródio traseiro e o campo na região central.

Para x = 1, onde

E

_L

e

a intensidade do campo no eletr6dio traseiro: Aplicando esta condição na equação (34), ob tem-se:

(36)

Substituindo obtem-se:

(35) na eq. (36) e reagrupando os termos,

C+E [E (J-1) -F) ] E G+C C

EL =N{ ( CE )À3- _E

2

.

.Q,n(1 - E+F À3) +

(-2

_C ).Q,n (1-c+GÀ3)

}+E2

Substituindo

(35)

em

(34),

se:

e agrupanJo os termos

obtem-rG

E (x)=N{

(!

+

!)

(x_l)+_(E_(_J_-_l)_-_F_)r~n(l + ~ x)- ~n(l +

~)J-3 E C E2. F F

- (G+2C)

[~n(x

+ ~)-

~n(l

+

~)J}

+

EL

C

(38)

Substituindo

=

(17)

e

(33) na equação (37), resulta

(37.a)

onde

A equaçao 37.a relaciona a intens~dade do campo el~trico no eletródio traseiro (x=l) com a intensidade do campo na regiao central (região 2).

A diferença de potencial na região 1 e:

À

J 1 EI (x)dx

o

(39)

Substituindo (26) na equação acima, integrando, e utilizando a equ~ ção (27) resulta:

Para a regiao

2:

Para a regiao

3:

1

V3 = J E3(x)dx

~~2

Substituindo (37) na equaçao acirrae integrando,resulta:

(41)

(42)

( 43)

onde

1

+

1:

E C (44)

A diferença de potencial total aplicada sobre o dielétri co excitado e:

v

=

VI

+

V2

+

V3 (45)

Substituindo

as

equaçoes (40), (41) e (43) na expressao ~ cima e reagrupando os termos, resulta:

V

I

11

111

[ 1 C+ A 2 2 ) F ) B2 A

IV

2 1+C C

- D

(-3)

9,n (1+j))\1)

C'

VII

V

B D

+ À 1(1\2 + C2

VI

D ~;1+E (l-À )

+ C) - Cll(1-À3)Zn( ,~. ~3 )

VIII

Usando as equações (16), (17), (25), (33) , (38) ,(44) e

(15) os termos da equação (46) sao

-

escri tos como:

J2

(l+KêXP

111

Wl 1 1 ] 1 J2

V ::;; [( 1-'~ + (W2

-1

f7 + (W 2

-1

) (

1+ Ka )

VI ::;; - ~-.l~{ J - (~)J2 } ,Q,n(l + (wl+1) ~)

(l+wl) l+Ka l+Ka

VIr

₍₁

_+w

1

1 )

1 Kc~ J 1

+

e

i[

VIII = rL1- S?+(- -- + e) l+K",)J (l+Ka) T

Inspecionando os termos da equação (46), conclui-se que esta

é

da forma

v

= (47)

e portanto desde que a ordenada desta curva seja

J

e a abcissa V, esta será uma parábolacom convacidade para baixo. Esta curva es-tá representada na Figura 4, para os parâmetros da Tabela

2.

o

o

o

oo

-:J

(')

o

--.J

o

o

-fl

~

---~

oo

N I

.72 1.32 1.92 2.52

LOG V

3 12 3.72

A característica (JxV)_ in;Lcialmente apresenta uma fase ohmica conforme o esperado do comportamento elétrico dos dielé ~

tricos sob radiação e baixa voltagem. A região seguinte

apresen-1/2

ta um comportamento sublinear, tendendo para o V . O comporta-mento no limite inferior da caracteristica

é

linear; entretan

to para voltagens da ordem de KBT/e a característica real deve se afastar do comportamento linear devido a perturbação causada pe-la difusão. Portanto, como a difusão só começa a ter papel

rele-VI

vante no transporte dos portadores para voltagens , m I < 1 onde

KBT/e = 2,6 IO-2V, a voltagem mínima para a qual a aproxima

ção é válida foi tomada como sendo VI = O.IV. Uma discussão mais ampla sobre esta curva será feita no próximo capitulo.

20

As Figuras seguintes mostram o comportamento das de -mais grandezas fisicas que descrevem o comportamento elétrico do di elétrico em questão.

o

LD

o

<T

o

W

r'0

(')

o

~ o

N 1\ c.

L

S~

J)

o

o

0.00 .25J

x .50 .75 100

FIG. 5 - Distribuição do campo elétrico versus V = 2629,45 V = 525,89 V = 52,589

A:

J

= 0,99

B:

J

=

0,4266

c:

J

=

0,1106

profundidade V=5,2589 D:

)1

A Figura

5

apresenta ~s d~stribuiç5es do campo elatrico como função de x para diferentes valores de voltagens. A existen cla de uma região de campo constante indica que a região central não foi totalmente destruida. A assimetria das distribuicões

,

es-tá diretamente relacionada com os valores assumidos pelos parâm~ tros intrinsecos ao problema em estudo.

O

fato das intensida des do campo elétrico nos eletródios dianteiros (x=O) e traseiro

(x=l) assumirem valores muito maior que o assumido na região ceQ traI estâ associado com o grande número de portadores imobiliza-dos nos respectivos centros de captura localizados na vizinhan -ça dos eletródios.

o

N_

p

tO

N

_o

'o

o...~

_F

_x~

LO

0_

o

o

00

1

.20

I

.40 x

I

.60

.80

I

~ 1.00

Como apresentado na Figura 6f para J/Js \< l~ a extensão das regiões 1 e 3

é

muito menor que a da região central e as den-sidades de portadores livres são do tipo caixa com os perfis dian teiros e traseiro ligeiramente perturbados. Um pequeno acrésci mo de voltagem ocasionará um aumento na extensão destas regiões

(1 e 3) e consequentemente também na densidade de corrente total J, pois esta

é

a soma das densidades de corrente geradas nestas regiões, J

_p

(região 1) e Jn(região 3), que por outro lado (em va -riáveis adimensionais) são respectivamente iguais as extensõesde~ tas regiões. As densidades dos portadores livres permanecerão com uma geometria tipo caixa, com os perfis dianteiro e traseiro um pouco mais perturbados e com as mesmas intensidades na região cen traI, uma vez que estas só dependem dos parâmetros intrlnsecos ao problema em questão.

o

Cú

o

I'--o

~

(í)

~cL

o

<..9

tO

o

---1

o

<;t

o

r<J

o

N

I

,

,

I ,

100 .75

.25

0.00

X .50

A,

Figuro,

7

mostri3,a.s densidÇl,desde portadores ~ITlobiliza,dos nos centros de captura como funçâo de x. Como comentado

anterior-efetiva mente/ na região central Pt = nt e portanto, a carga

(Pt - nt) imobilizada nos respectivos centros de captura localiza dos nesta região será nula. Por outro lado nas regiões próximas

aos eletródios dianteiros (x=O) e traseiro (x=l) existe respecti-vamente, um excesso de carga negativa e positiva residindo nas armadilhas. Em partIcular para x=O e x=l, encontramos que

7

Pt(O)=ht(l)=O e Pt(1)=nt(O)=N=1,584 10 .

o

N_

J"

,-

_o

><

o

o.

-:J

c

-:J Jp

LO

0-1.00

.00

o

o

I

I I I I

I

.20

.40

.6080

x

FIG.

8 -

Densidades de corrente versus profundidade

para

v

= 5,258 (VI = lV correponde a V = 52,58)

-rão uma distribuição gradativa da região central e consequentemen te acréscimos nas extensões das regiões 1 e 3, ocasionando trans~

lações de

J

_p

e

J

_n

no sentido crescente da ordenada pois Àl

J

e

À =

J .

P 3

n

3.c- Aproximaç~o de Campo Alto

=

Consideraremos agora a situaç~o em que o diel~trico exci tado encontra-se sob aç~o de um campo elétrico muito alto, isto é, quase todos os pares buraco-elétron gerados são recolhidos nos eletródios. _{Nesta condiç~o:}

J '"

x

P

J '"

n

l-x ( 48)

Multiplicando e dividindo as expressões (21) por KE(x) e substituindo (48) nas expressoes resultantes, obtem-se as distri-buições limites de cargas nas armadilhas:

= N __ l-x

R T

P

n

(49)

Z\demais como _{E(x) '"V, as distribuições limi} -tes de portadores livres sao:

x

p(x) = V

n (x)

= l-xKV (5 O)

Próximo da saturação, um aumento de voltagem, nao haven-do variação de cargas nas armadilhas, proporciona um aumento de cargas nos eletródios, que aumentam o campo elétrico e diminuem o tempo de trânsito dos portadores .

-naltexadas após este aumento de YQ~tagem, neces.sa~iamente aS den-sidades de portadores livres diminuirâo. Como a densidade de cor-rente que flue atrav&s do diel&trico & a densidade de corrente to tal

J

gerada nas regiões

1

e 3 onde não ocorre captura e recombi-nação, necessariamente a condição de saturação será alcançada

q~

do a região central for destruída, isto

é,

quando as regiões

1

e 3 acuparem todo o dielétrico.

Próximo da saturação, considerando prováveis perdas de portadore·s devido aos processos de captura e recombinação, de

forma aproximada (ref.4), a densidade de corrente

J

é:

p

Pt

J ~

1 - - (1 - --)-R P

n

T N P

t

P

(51)

A _equaçao acima foi deduzida assumindo corno constan

tes as densidades de portadores livres e imobilizados nos centros de captura ao longo da amostra e integrando em x, de O a

1,

a e -quação (2) para a densidade de corrente positiva

J .

_P

Considerando ti:1rnbern que próximo da saturação, as densida des de corrente associadas aos portadores livres contribuem em média*identicarnente para a corrente total

resulta:

(J

_p

= J- -

1)

n

-_ 2 e que

E~V,

('-'ogoi

J

_P

p

_n

1

2" ~

p

V

J

n

=

1

2" ~ Kn V (52)

(53)

*A contribuições para a densidade de corrente total

J,

associadas as densidades de corrente dos buracos e elétrons

,

são considera -das corno sendo suas médias espaciais

(5

= fL

J

(x)dx/fldx) .

Substituindo (21) e (52) na equaçao (51) obtem-se:

J

=

1 -

_{__ I}

_2VN R R N(K1 +1 )+R +KR_{(R T N+K) (KR 1 N+l}

_n

p

_n

r

_n

p\₎

n

p

P

n

(54)

Se, em vez de na equação 51 de partida considerarmos os portado -res positivos, tivéssemos tomado a equacão

.

correspondente aos por

-tadores negativos, chegariamos a mesma eq. (54), depois das devi~

das substituições. Dito de outra forma, esta eq. (54)

é

simétri ca em relação aos dois portadores.

Por exemplo para os dados da Tabela 2 e tomando

v

= 4207,12 (VI = 80 V) obtem-se

J

= 0,9433

:,i

_,1.

I

T---r-c.... ....:.5 ')f. }~->'

J..0

A Figura 9 mostra que próxtffiqda saturação

a

regiao cen-traI

é

totalmente destruida, isto

é,

esta região se reduz a um ponto. Acréscimos de voltagens não acarretarão modificações nes -tas curvas. As regiões 1 e 3 ocupam todo o dielétrico e nesta con dição o dielétrico armazenará nos centros de captura a máxima car ga possível, um excesso de carga negativa na região

1

e um

exces-so de carga positiva na outra região. A Figura 10 mostra o compo~ tamento das densidades de portadores livres versus x, e, uma dis-cussao màis ampla e elaborada desta e das demais curvas anterio -res será ap-resentada no próximo capitulo.

«)

-~ t<)

'o

x ~

~

o...

CX)

o

o

o

0.00 .25

.50

X

.75 1.00

No modelo te6rico aproximado desenvolvido po~ Goodman e Rase foram consideradas as duas primeiras hipotese utilizadas

na

aproximação de campo baixo (Capitulo 111, página ) e, além des tas que o campo el~trico ~ constante em cada regi~o do diel~tri -co. Em seguida os autores introduziram o "schubweg" para ambos os portadores, definiram o parâmetro "b" corno sendo igual a razão dos produtos )J1 associados a ambos os portadores e após várias manip~

lações deduziram urna expressão funcional do tipo

V=a(b)J+S(b)J2*,

para a equação característica do problema em questão. Ã luz das grandezas deflnidas pelo modelo assumido por nós, em concordância com Hugles, é muito difícil situar a natureza das aproximações fe~ tas por Goodman e Rose. Por exemplo, para estes recombinação e

captura em armadilhas são expressões sinônimas, isto é, estes pr~ cessos sao tratados como sendo um mesmo processo físico. Já no contexto desta dissertação, os dois processos físicos são

distin-tOSi captura deve ser entendido como o fenômeno físico associa do com o aprisionamento de portadores livres e recombinação o as-sociado com a destruição destes portadores com os de sinais opos-tos que se movimentam em suas bandas próprias. Ademais, d fato de considerar o campo elétrico constante em cada região do dielé-trico é uma aproximação muito drástica, pois como já visto ante -riormente, nas regiões mais próximas do dielétrico haverá umagra~ de quantidade de cargas lmobilizadas nos centros de captura, oca-sionando uma forte deformaçâo deste nestas regiões. Portanto, a princípio, as predições quantitativas e qualitativas do modeLo de senvolvido nesta dissertuç~o são mais satisfatórias, l~a vez que elas se aproximam dos resultados exatos corno será mostrado no pr~ xirno capítulo.

Na re~lidade os processos f~sicos dominantes referidos neste capitulo certamente não ocorrem sozinhos, isto

é,

captura

e recombinaçao podem ocorrer nas regiões

1

e

3,

e geração, cap-tura e recombinação dos portadores não são precisamente balan-ceadas na região central. Corno as equações referente ao pro blema em estudo não são analiticamente integráveis, estas serão

integradas numericamente. A integração numérica aliada

à

CAPITULO IV

INTRODUÇÃO

As equações que governam a dinâmica de transporte e arm~ zenamento de cargas do problema em questão constituem um siste ma de equações diferenciais acopladas, não lineares e não integr~ veis (pelo menos até hoje). Neste capítulo, com a introdução de condições iniciais apropriadas, este sistema será integrado nume-ricamente. Este é o método que resta para se obter a desejada so-lução exata quando os analiticos falharam. Ainda aqui manter-nos-emos dentro do caso estudado por Hughes(l) , isto é, essencialme~ te, os parâmetros terão os valores escolhidos por ele. A solu çao numérica permitirá avaliar as aproximações desenvolvidas no capitulo anterior, principalmente aquela referente a campo alto . Ademai.s, a solução numérica nos fornecerá informações exatas so

-30

bre as propriedades elétricas do dielétrico em estudo, pois narea lidade os processos dominantes referidos no capitulo 3 certamente nao ocorrem, isto

é,

captura e recombinação podem ocorrer nas re-giões 1 e 3, e geração, captura e recombinação não são precisameg te balanceadas na região central.

Equações Gerais

o

sistema de equaçoes (adimensionais) a ser integrado e:

dE (x)

dx

-ª-J

(x)

dx

p

p

(x)

ECx)

onde

=

--~

dV (x)

, dx

31

p(x) =

J

(x)

E

E (x) n(x) =

J-J

(x)

E

KE (x) (55)

pt(x)= N p(x)

p

n(x) n(x)+RpTnNp(x)

Com o objetivo de eliminar a incógnita

J,

a corrente, s~

~ ... _ . (3) x E (x) V(x)

rao lntroduzldas as varlavelS X*=J"i E* (x*)= --J-- e V* (x*)=7· Subistituindo

dE*

dX*(x*) =

estas variáveis nas equações (54), resulta:

p(x*)+p

t

(x*)-n(x*)- n (x*)

t

* p (x*)

-ª-

J*(x*)= 1 - p(x ) (l - t )- R p(x*)n (x*) (56)

dx* P T_P N P t

E* (x*) = dV*_{dx* (x*)}

Como

o

_{sistema de equações é constituido de três equa} çoes diferenciais, três condições iniciais se fazem necessárias.

*

* * *

-Como p(x = 0)= O, segue que J (x = O) = O.Ao "potencial" V e atri

p*

Duido arbritariamente o valor V (x* = 0)=0. A condiç~o inicial a~ saciada ao "campo elétrico" E* é deduzida levando em considera

ç~o que para E ~ O (aproximaç~o de campo baixo) obtem-se da equa ç~o (28) E*(x*=O) = (1+Sl)E2 onde E2 = ~ é o campo na regi~o ce~ traI expresso pela equaç~o (15), SI o parâmetro expresso pela e quaç~o (29) e E*(x*=O) o valor da intensidade do campo elétrico no

eletródio dianteiro. Como da equaç~o (15)

, o limite inferior de E*

2

1/2 1+ CTpRp/TnRn)

[l+K c;nRp) 1/2]

T ~

E*(E*._{o ffiln}) que

será

utilizado na integraçao

é

E*._ffiln

=

(ltSl)E*2 onde

~ ~ ~

E2 e dado pela expressaoanterior.Paraosparametros da Tabela 2 E;in = 14291,526. Logo, o problema se reduz a calcular numerica -mente o sistema de equações (56), sujeito às condições iniciais:

x*

o

J*

= O

P V* = O E*o > E*.mJJTl (57)

As equações(56)

são integradas de x* = O até um x*=

J x* para o qual J* = ~ = 1

que correspondepois a x = 1

max p

J

(1)

= p(l)E(l)= J.

Logo para x J= 1,=

l

e então paracada

p x*

integração do sistema de equações obtem-se um ponto da caracteris tica (J x V) .

pecularidades da Integração do Sistema

Os cálculos foram feitos pelo camputador VAX 11 atra ves do método de integração numérica Runge - Kutta. A solução do problema apresenta uma limitação, no sentido de que, o sistema de

/

equaçoes so e resolvido numericamente, para os dados da Tabela 2, a partir de um valor minimo para a condição inicial associada ao campo elétrico em x* = O (E*. ). O valor minimo_mln do campo elétrico

algaris-mo significativo

no valor de um certo

campo inicial,

o qual,

rot~

laremos de

E*._mln ,

faz com que os resultados

numericos divirjam.

A

princípio,

é possível

adicionar

incrementos

negativos

a E*. ,

mln

de

tal

forma que os resultados

numéricos ainda convirjam,

mas parae~

ta situação,

os resultados

numéricos obtidos

não são confiáveis

,

uma vez que, o programa utilizado,

no qual foi exigido

dupla

pre-cisão nos cálculos

numéricos,

só fornece

valores

confiáveis

den

-tro do intervalo

de precis~o

exigida,

para valores

iniciais

com

no máximo dezesseis

algarismos

significativos.

Desta forma, o

va-lor limite

encontrado

para o campo é

E*._mln =

14935,27782710728 que

corresponde

a

J

=

0,24723 e V

=

240,44869 (VI

=

4,57222 V).

A

di-ferença

entre

E*._mln

admitido

na integração

numérica e o previs

to pela aproximação

(campo baixo) deve ser atribuido

à

aproxima

-çao na equação (15). Umpequeno acréscimo em

E*.

mln

,

isto

é,

E*.

_mln

=

14935,277827107290btem-se:

J

=

0.25242 e V

=

249,53876

para

(VI

=

4,74507 V). Para

E*

=

14935,3;

J

=

0.49667 e V

=

865,27036

(VI

=

16, 45344V).Portanto, cornoITDstradoanteriomente, pequenas variações

no valor da condição inicial associado ao campoelétrico, acarreta grandes rnu~

ças nos valores das demais gr"andezasfísicas. Neste sentido dizertDSque o

siste-nu

de equações é instável comrespeito a pequenas variações nesta condição

lnl-cial.

A

rigor, comoaintegração é interrompida quando

J* =

_p

1

(J

_p

(1)

=J)

e as

fun-ções que descrevemo comportamentoelétrico do sistema emquestão sofrem grandes

variações (para baixas voltagens) nas regiões próximas aos eletrooios,

se faz ne

cessário atribuir pequenos incrementos de integração

(AX=

10-4) de'tal forma qu~

A __

quando-de acordo coma precisao exigida no programa - a condiçao associada com

.J

_p

*

é

alcançada a integração é interrompida.

Por outro lado para umincreluento

desta magnitude o prograrnanaõconsegue ajustar incrementos na integração num~

rica para voltagens menoresque 4,572 volts, isto

é,

para voltagens menores que

esta

(E;

<

E*

rnin), mas condições acima citadas) o êrro associado aos vários

está-gios da integração tende a crescer e a solução nurrérica do sistema. de equação em

questão torna-se instável,

assumindo valores

incompativeis coma limitação

numérica do computador(10

-±-

38) .

Neste

sentido dizerros que o sistema de equações

As curvas de saturaçâo (Fig.ll) foram obtidas atrav~s de

uma série de integraçào do sistema de equações

(54).

Como aprese~ tado na Figura, quando a densidade de centros de captura neutros assume valores menores, a corrente se aproximará mais rapidamente da saturação. Fisicamente este comportamento das curvas caracte -rísticas

é

entendido considerando que para menores valores de N} , a probabilidade de captura dos portadores diminuirão e portanto o campo elétrico soferá menor distorção diminuindo o tempo de trân-sito dos portadores livres e consequentemente permitindo que a corrente sature para menores voltagens.

'J() (lU

c

~~

+-·---~I

---I~---~

('.00 J~)OO 3000 4~)OO f,O(i()

V (,107)

FIG. 11. Curvas de saturação para os dados da tabela 2,e diferentes valores

14 -3

15 -3

16

-3

de

N'.

A)

N' =

10 em i B)

N'=lO

em i C)

N'=la

em

D)

N' =

1017 em-3 i E)

N'=

1018em-3

oo

o

JL{)

100.00

75.00

2500

oo

o

0.00

_50.00

V (x 102)

Características associadas ~s soluçé3es aproximda,s e exata

),IG.12.

A Figura 12 apresenta as curvas de saturaçcio associadas

~

-

~

as duas soluçoes aproximadas do capltulo anterior e a exata. Pa-ra voltagens superiores a V = 4845,05 (VI = 92V) que corresponde a

J

= 0,94, as curvas caracteristicas associadas

à

aproxima

çao de campo alto e com a solução numérica se superpoem, o que indica que qualitativamente e quantitativamente este modelo aprQ ximado na região próxima a saturação (0,94 <

J

< 1) descreve e prevê satisfatoriamente o comportamento elétrico do sistema fisi co em estudo.

O

fato da solução associada a aproximação de campo baixo, para voltagens crescentes, afastar-se continuamente da

- - - 2

curva associada a soluçao exata, e previsto pela equaçao (V=AJ+BJ) que descreve o comportamento da densidade de corrente versus vol tagem para esta aproximação. Por inspeção desta equação, notamos que assintoticamente não há um limite superior para a densida de de corrente. Entretanto, a principio, esta aproximação só

e

-válida até a voltagem V = VMAX(V = 50V) suficiente para gerar u-rna densidade de corrente

J

= 1, pois, fisicamente esta

é

a má xi ma densidade de corrente que pode ser coletada nos eletródios. O

fato da saturação ocorrer para uma voltagem relativamente.bai xa, esta relacionado com as hipóteses, de certa forma radicais, assumidas como verdadeiras nesta aproximação. A figura mostra que para voltagens suficientemente baixas, as duas curvas (A e C)te~ dem a se superpor, o que permite-nos afirmar que nestas condi

--- ...,

-

..•.

çoes esta aproximaçao e boa. Para se ter SubSldios que permi tam avaliar os resultados obtidos, nós deteremos em dois pontos arbitrários da curva caracteristica obtida para esta aproxima ção (campo baixo) e compararemos com os resultados obtidos por Hugles para estes mesmos pontos. Por exemplo, para a aproxima çao de campo baixo,e V

=262,945

os pontos= O.lV)V = 5,258(V'

(V'

= 5V) -2

correspondem respectivamente a J = 2,032 10 (J

-8 2

e J = 0,290(J'

-7 2

Comparando

estes valores de J( com os obtidos por Hugles para as voltagens

-2

-8

2

acima citadas,

J

=

1,718 10

(J'

=

1,650 10

A/cm) e

J=0,276

(JI

= 2,652 10-7A/cm2) respectivamente, conclui-se que no

inter-vala de [O.lV ; 5 V] a aproximaç~o de campo baixo reproduz sati~ fatoriamente os resultados obtidos por Hugles. Os nossos result~ dos comprovam a existência de uma linearidade (regime ohmico) da

curva característica no intervalo de O,lV a

0,14

V; enquanto os resultados por Hugles indicam a existência deste regime no inter vala de Q,IV a 0,3 V.

Apenas como ilustração para aleitar, estimaremos e com·-pararemos as voltagens necessárias para saturar uma camara de io-nização sólida (problema em questão) e uma não sólida. Como refe-rência, tomaremos a curva C (~~~.~~) da figura (2) da referência 3, na qual a densidade de corrente satura (~O,97 de saturaçã0 p~ ra uma voltagem V

_s

_{O,016v (para os dados da refêrencia~. Para} os dados de Hugles e considerandojL =

ftp

+"u", , encontra-se

2

que a voltagem necessária para saturar (~0,96 de saturação) uma camara de ionização sólida

é

V

s

= 8lv. A diferença de intensidade das duas voltagens de saturação mostra-nos o quão significante

é

o papel desempenhado pelas cargas imobili~adas

tura.

nos centros de

As figuras seguintes apresentam o comportamento das de-mais grandezas físicas que descrevem o comportamento elétrico do dielétrico em questão, para os dados da tabela 2. As curvas tracejadas estão associadas com a aproximaçãode campo baixo para

J

= 0,259.

o

o

iI)

o

o

<!

o

o

t<)

w

(9

o

-.10

o

(\J

o

o

,~

v

o

o

0,00

, J2'"

x ,50 ,75 100

FIGURA 13. _{Distribuições do campo elétrico versus profundidades} do dielétrico.A)

J

=

0,973

;

B)

J

₌

_0,777;

C)

J

,J ==

0,555

0,259

D)

;

A figura

(13 )

apresenta as distribuições do campo eletri-co eletri-como função de x para diferentes densidades de corrente.

A exis

indica que a região central não foi totalmente destruída. A medida que a densidade de corrente aproxima-se da saturação, esta região vai sendo gradativamente destruída (curva A). Próximo da saturaçã~ a partir de

J

= 0,955 (VI = l12,2V) acréscimos de voltagens, pro-vocarão translações destas curvas ao longo da ordenada, sem alte -rar suas formas.

O

potencial limite acima citado,

é

tomado corno~ do aquele resultante da integração numérica, para o qual as densi dades de cargas imobilizadas nos centros de captura alcamçam os va

lores limites Pt e Nt calculados na aproximação de campo alto

(FI

GURA

9).

Próximo dos eletródios danteiros (X=O) e traseiros (X=l)a intensidade do campo elétrico assume valores altos em relação aos assumidos na região central. Fisicamente este fato está associado

à

grande quantidade de carga espacial imobilizada nos centros de

38

captura localizados nestas regiões. CD

w

c

"'

o

c'

c

A

---~--\

v>~--~

=,~. c ~_

___----,-=-- __o_• C _

00 20 _{40 X} I₆₀ 1--_{80 10}

existência destes patamares

ê

consequência da menor intensidade do campo elétrico nesta região. Nesta região a velocidade dos portadQ res

ê

reduzida e como nas regiões próximas aos eletródios a inten-sidade do campo elétrico aumenta, nestas regiões os portadores se movimentarão mais rápido, ocasionando localmente um menor acúmulo de portadores livres. Acréscimos de voltagens ocasionarão a

des-truição gradativa da região central e o aumento local das velocida des dos portadores livres diminuindo os seus respectivos tempos de tr~nsito e os valores pr6ximos associados as suas distribuiç6es es paciais. Concomitantemente os máximos das distribuiçoes se desloca rão em direção dos seus respectivos eletr6dios, uma vez que o cam-po elétrico tende a se uniformizar. Pr6ximo de saturação (J 1,0) as curvas se transformarão em retas.

o o

'"

o o <.C

~ o <l o

~

"

o

o

o

o

o I

G 00 .251 I50

x

I

7c' 1,00

FIGURA 15. Densidades dos portadores imobilizados nos centrosd,e captura versus profundidade

,

para:

_J=

_l\)

_0,259; B)

J=

0,777 c)

A figura 15 mostra as densidades dos portadores imobili-zados nos centros de captura como função de x. Como já comentado anteriormente, a medida que a densidade de corrente aproxima-seda saturação, a região central vai sendo gradativamente destruida.Da mesma forma, a medida que aproximamos dos eletrôdios, os Derfis.I.

das densidades, nt para o eletr6dio dianteiro e Pt para o eletr6-dio traseiro, vão crescendo até atingirem o valor limite N, que na figura vale 1,584 l~ (N'=1018crn-3). O valor assumido pelas den-sidades de cargas capturadas na região central (curva A)

..

e

de

N= 3,111 l03(N'= 2,09 1014cm-3). Os valores assumidos localmente pelas densidades de cargas imobilizadas nos centros de captura,~ do comparados com os valores associados às densidades de portadorffi livres (FIG.14) mostra-nos que basicamente as cargas capturadas

go-a dinâmicgo-a de tranSDorte do problema em questão. ve~(nam

0·0 t"

I '

]

I I I

20

FIGURA

15.

/

'-'---~'-;-'---,--40 ~ 60 ''0 1.

Densidades de corrente versus profundidade para: A) J= 0,973 B)

J

= 0,555 C) J= 0,259

A figura 16 mostra o comportamento das densidades de cor rente associadas aos buracos e elétrons como função de x. Como pre vista pela aproximação de um campo alto, pr6ximo da saturação as

11 ')

,"-.

CAPiTULO

V

INTRODUÇÃO

Uma das dificuldades pertinentes ao problema em questào é o grande número de parâmetros que lhe

é

intrínseco. Este capítulo tem corno objetivo, urna análise mais ampla sobre as propriedades fi sicas do dielétrico em questão e para isto introduziremos algu-mas hipóteses que nos permita diminuir o número de parâmetros en-volvidos no problema. Em seguida, buscaremos corno anteriormente as

soluções aproximadas e a solução numérica do problema e faremos ~ ma análise mais elaborada sobre as curvas características obtidas nas condições em que os novos parâmetros do problema em questãoa~

suma diferentes valores.

EQUAÇÕES GERAIS

A_ssumln. d_{o que} I I 7:.) I j !}

-c:_P:: l:'Y\.:;' } RI':: R'1. = R) ).1.p'= ).{."'L =-

)A...-zindo as variáveis admensionais (sem prima);

e ..introdu

x

=

Xl

L E =~I_e.N'L

f:

-r)

=

(f\Jlr1

'1'L)

\p,

Pt

i

">1t

'1.'(: ( 58)

o sistema de equaçoes (54)

é

escrito corno:

1 d

J

A dx

=

1 - EJ& ( 1 -

Pt

(x))

qp

dE (x)

dx

=

p(x)

+

Pt

(x) - n(x) - nt(x) (6 O)

E(x) _{=_Q.V (x)}

dx

I

B = N) 2 R' = tR

; A =

Si'~

onde

,

q :::

'tq

I

-p

-

.

-

= SLp

N) 2

?:

N' _cIp ,rUe

ql

e

(61)

(62)

p(x)

~

+

Bq

_p

'"n, (x)

N

t

(x)=

n (x)

n (x)

+

Bq

p

(x)

p

(63)

Desenvol veremos agora as soluções aproximadas (campo baixo e campo alto) considerando como verdadeiras as hipótese utilizadas nas aproximações similares apresentadas no capítulo III.Note-se que as unidades admensionais agora escolhidas diferem daquelas usadas

•...•.• ...c,

anterlormente. A razao e que com as novas, as expressoes das dive~ sas grandezas na região central da aproximação de campo baixo, con tem sómente dois par~metros, simplificando ass~m a discussão.

5.a - Aproximação de campo baixo

Para a região

1

O ~x -< Àl, da equaçao (59) resulta que; Jp = p(x) E(x) = Ax p(x) == Ax

E (x)

(64)

~Jn= J - Jp

n (x)

J-Ax

E (x)

(65)

Substituindo (64) e (65) nas equações correspondentes aos portad~ res imobilizados nos centros de captura, resulta que:

Ax A(l-C)x+CJ

J -

Ax

A(C-l) x

+

J

(66)

onde C =

Substituindo pt(x) e nt(x) na equação (62) e integrando obtem-se

E

i

(x)

=

Eo - [~_H2

ln (1

+

!i

_E

x)

_'

onde E = C

J

A

H ==

(l-C)

,

F = ~ ,I =

(C-I)

A

(69)

ln (1

+

.!

>.0

+ E2

F

(70)

Na região central ~1~

x

<

>-.1.+À.2., , como anteriormente assumiremos que para E ~ O _{P = n , Pt ::::nt e dJp}

== dJn = O.

dx dx

Utilizando as equações (63) e (59) resulta que p = qp (1 + C) e

2~

segue então que

corno lT :::: 2pE 2

c

.

lI.

q:Tl+C)

Utilizando (64) e o fato de que os por€adores livres contribuiem i gualmente para a corrente total, resulta, que À.L:: À.3

= ~

.

t;

inte ressante notar,para referência, que a corrente de saturação (obti-das nas condições em que 0.1.. +.À!> = ~)

é

Js = A. Substituindo (69) ,

Ez

e Àl na expressão (70) resulta;

J

Eo

--__C

__

J [

ln (1

+

l-C)

A(1-C)2

2C

+

ln (1

+

C-I)]

+~

2

qp

(l+C}

(71)

Para a região (3) >'.L +-À2.. ~

x

~

1

analogarnente ao procedi-mento utilizado para a região (1), obtemos que;

,Jp ::::

A(x-l)

+

J

p(x) = A(x-l)

+

J

E (x)

(72)

,Jn

=

A(l-x)

n (x)

A(l-x)

E (x)

(73)

(74)

onde

H

=

1 - C ; L

M

=

C-I

=

; N

J - 1 ;

+

=

J

(76)

1 - C

+

CJ

-

_A A A

;Y.l. =

LH-M

e

O(z. =

N - H

_{(77 )}

7

H2

A diferença de potencial a que está submetido o dielêtrico irradiado

é :

>'1

i

_{.Àl.. .t-}

).2-V =

5

E -(x)

dx +

5

_{+ }}

E dx

_E

_{(x) dx}

(78)

o

Âl

,,~ 4-).2

Substituindo

(70),E2e

(76) na expressão acima, integrando e rea

-grupando os têrmos após substituir (69), (76) e (77) na equação re-sultante, obtem-se:

v

=

_[(-

_{2~:-C) 3}

+ S C

-

C)

(

l;C)

-

_(1-C)3 ln

1-2 2 (l-C)2

- 2

c2

ln (1 + l-C)

+

2C ]

(Jt

+ C

J.

(79)

(l-C) 3

2C (l-C) 2 ~

q (l+C) p

A expressáo acima apresenta uma singularidade para C = 1 ; por -tanto, para analisarmos o comportamento desta expressão na vizinhan

ça deste ponto, se faz necessário expandir as expressões logarímas. Expandindo e reagrupando os termos resulta que para C = 1;

v

+

E

₂ =

1

12

2

=

1

J

12 ~2

+

J

2q

_p

(80 )

S.b - Aproximação de campo alto.

limites de portadores residindo nas armadilhas e de portadores li-vres são: pt (x) =

x

x

+

C(l-x)

l-x

1- x + Cx

(81 )

p

(x) = Ax

v

n(x) = A (l-x)

V

(82 )

onde

E(x)

foi tomado como sendo em mêdia igual a V (em variâvel a-dimensional). Como antes, considerando que J = Jn = 1 (o que sign

p

-

-2

fica que

n

= p) e que;

J

A

= 1 -

-L (

1 - P

t ) -

B

P

nt

qp

(85 )

resulta:

J=A(l--

V (l+Ba

B

'

)

p

5.c - solução numérica - Característica Completa

(86 )

Nesta seç~o, de forma anãloga apresentada no capítulo IV, o sistema de equaçoes a ser integrado e:

*

*

d

Jp.

_*

(x )

dx

*

*

dE (x

--*

dx

* *

E

(x )

=

*

(1 -

pt(x*0

* *

=

1 -

p(x ) (x )nt(x ) - Bp

qp

(p

*

* *

(x*»)

1

+

- n(x )(x )(x )

P

- n

t

t A

* * AdV_{--* dx} (x )

(87)

onde qp' B, A, Pt e nt sao dados respectivamente pelas equaçoes (64) e (65). Como anteriormente, ~ incógnita

J

foi eliminada

atra-* * *

vés da introducão

,

das variáveis x = Ax

--

, E (x ) = E(x)

* *

v

(x )

=

v

(x) •

T

l"

As condições iniciais, necessárias para a integra

ção do sistema de equações (8+), são:

*

x = O

*

*

*

*

Jp

= O

V

= O

.

E ._{, Eo )} (88)

,

,

mln

*

onde E min

= Eo

é

dado pela equação (71).

-

J

*

Como antes, as equações

(87)

são integradas de x

*

para o qual Jp = 1 (Jp(x = 1) = J).

*

= O até um x

max

A seguir apresentamos os resultados obtidos da integraçao.

Curvas características - densidade de corrente versus vol-tagem

As figuras (17), (18), e (19) apresentam as características para a situaçao em que cada um dos parâmetros A, B e q assumem os

p

valores numéricos 0,1 ; 1 e 10. Em seguida, as 27 combinações asso ciadas com este conjunto de valores - para cada valor de A(Js =A) existem 9 combinações possíveis de B e q

_p

- foram substituídas nas equações (87). Como anteriormente a curva característica associada a cada valor assumido por estes parâmetros foi obtida atraves de ~ ma série de integraçao do sistema de equaçoes (87). As figuras (17) ...(19) apresentam as densidades de corrente por unidade de A versus

voltagem.

Para um die1étrico com uma dada distribuiçao de cen~ros de captura neutros para elétrons e buracos (N') submetido a uma cer-ta intensidade de radiação ( q'), da equação (64) conclui- se que A é inversamente proporcional

à

mobilidade (JL'), e, q

_p

e B direta

-mente proporcionais ao tempo de captura (~I) e ao coeficiente de

-tram que independentemente dos valores assumidos pelos parâmetros

A (Js), a saturaçâoocorrerá q e B, para valores crescentes de

p

para maiores voltagens. Fisicamente este comportamento das cur-vas pode ser entendido considerando que maiores valores do parâm~ tro A estão associados com menores valores da mobilidade (}C')dos portadores livres, os quais estarao mais sujeitos a captura e

..

a

recombinação , necessitando de campos maiores para se livraremdes tes processos. Para entendermos o comportamento para. A fixo, note mos em primeiro lugar que não

há

cruzamento entre as diversas ca-racterísticas; isto nos permite ordenar as curvas através do com-portamento inicial, ou seja, da aproximaç~o de campo baixo. Nesta aproxirnaçao , corno visto anteriormente , p = n = I

+

q B

_E

e por

-2B

tanto é esta combinação dos parâmetros que ordena as diversas cur vas, para cada valor de A. Note-se que se pusermos

l

= qr' em

B

que q

r

desempenha o papel de um tempo de recombinação ternos,

p

=

n

=

qp + qr . Vê-se desta expressão que captura em armadilhas

2

e recombinação jogam papéis analogos no estado estacionário, ape-sar de intuitivamente, o tempo de captura parece ser mais impor-tante (pois sem captura pelas armadilhas não há recombinação).

O

fato é que ser

-,>

CX) , nenhuma captura, o tempo de estabelecimen