Gabriela de Santana Domingos

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Gabriela de Santana Domingos

Gera¸ c˜ ao de Energia El´ etrica: tendˆ encias e previs˜ oes de energia hidroel´ etrica, t´ ermica, termonuclear e e´ olica para suprir a demanda

nas Regi˜ oes Sudeste e Centro-Oeste

Niter´oi - RJ, Brasil 08 de Dezembro de 2017

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Gabriela de Santana Domingos

Gera¸ c˜ ao de Energia El´ etrica:

tendˆ encias e previs˜ oes de energia hidroel´ etrica, t´ ermica, termonuclear e e´ olica para suprir a demanda nas Regi˜ oes Sudeste e Centro-Oeste

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil 08 de Dezembro de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Gabriela de Santana Domingos

Gera¸ c˜ ao de Energia El´ etrica: tendˆ encias e previs˜ oes de energia hidroel´ etrica, t´ ermica, termonuclear e e´ olica para suprir a demanda nas Regi˜ oes Sudeste e Centro-Oeste

Monografia de Projeto Final de Gradua¸c˜ao sob o t´ıtulo

“Gera¸cão de Energia Elétrica: tendências e previsões de energia hidroelétrica, térmica, termonuclear e eólica para suprir a demanda nas Regiões Sudeste e Centro-Oeste”, defendida por Gabriela de Santana Domingos e aprovada em 08 de Dezembro de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Mois´es Lima de Menezes Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Keila Mara Cassiano Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Patricia Lusi´e Velozo da Costa Departamento de Estat´ıstica – UFF

Niter´oi,08 de Dezembro de 2017

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D671 Domingos, Gabriela de Santana

Geração de Energia Elétrica: tendências e previsões de energia hidroelétrica, térmica, termonuclear e eólica para suprir a demanda na Região Sudeste e Centro-Oeste /Gabriela de Santana Domingos. - Niterói: [s. n.], 2017.

64f.

Orientador: Prof. Dr. Prof. Moisés Lima Menezes TCC ( Graduação de Bacharelado em Estatística) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Singular Spectrum Analysis. 2. Tendência.

3. Energia Elétrica. 4. Previsões.

I. Título.

CDD 519.53

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Resumo

A vasta diversidade de recursos naturais no Brasil permite que a gera¸cão de energia possa ser feita à partir de várias fontes diferentes. O presente trabalho ressalta a im- portância do planejamento da utiliza¸cão desses recursos para a gera¸cão de energia elétrica e suprimento da demanda. Foram estudados os principais tipos de gera¸cão de energia:

hidrelétrica, térmica, nuclear e eólica. Análises de comportamento das tendências e pre- visões para as séries são fundamentais para melhor uso dos recursos responsáveis por esses tipos de gera¸cão. O trabalho aborda métodos de previsão recorrentes em séries temporais como os modelos de Box & Jenkins e os modelos de Holt-Winters, como poss´ıveis meios de planejamento. Com intuito de melhorar a acurácia das previsões, foi utilizado o método estat´ıstico Singular Spectrum Analysis (SSA), que consiste principalmente em filtrar as séries temporais. A finalidade principal desse trabalho é avaliar o ganho preditivo da modelagem Box & Jenkins e Holt-Winters usando filtragem SSA. A escolha dos modelos mais adequados foi feita com base nas estat´ısticas de aderência como a Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio (RM SE - Root Mean Square Error), o Erro Percentual Médio Absoluto (M AP E - Mean Absolute Percentage Error), o Desvio Médio Absoluto (M AD - Mean Absolute Deviation) e o coeficiente de determina¸cão R². De acordo com os resultados obtidos nos diferentes cenários abordados, concluiu-se que a abordagem SSA é mais eficiente no ganho preditivo das diferentes modelagens. Além disso, nas análises sem filtragem e com filtragem, os modelos de Box & Jenkins com componentes sazonais apresentaram melhor desempenho, que foram evidenciadas na observa¸cão das tendências das séries de gera¸cão de energia elétrica.

Palavras-chaves: Singular Spectrum Analysis, Tendência, Energia elétrica, Previsões

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Agradecimentos

Gra¸cas `a Deus, que com seu infinito amor e miseric´ordia me permitiu concluir essa etapa com sucesso.

A minha fam´ılia pelo amor e apoio incondicional, por ser meu lar e por me proporci-` onar a dedica¸c˜ao exclusiva a gradua¸c˜ao.

Aos professores e colegas que participaram da minha forma¸c˜ao, partilhando conheci- mento e dividindo as dificuldades dessa jornada.

Aos amigos que fiz, que me apoiaram, que torceram e brigaram por mim. Gratid˜ao!

Ao meu orientador Mois´es Lima de Menezes por me acolher, pelo aux´ılio e pela liber- dade dados para a constru¸c˜ao deste trabalho. Obrigada pelo exemplo de profissional e de ser humano.

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Sum´ ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 13

1.1 Contextualiza¸cão . . . p. 13 1.2 A importância de fazer previsão . . . p. 14 1.3 Proposta . . . p. 16 1.4 Estrutura . . . p. 17

2 Objetivos p. 18

3 Materiais e M´etodos p. 19

3.1 Base de Dados . . . p. 19 3.1.1 Descri¸cão dos dados . . . p. 19 3.2 Processos Estocásticos . . . p. 22 3.3 Séries Temporais . . . p. 23 3.4 Modelos de Previsão . . . p. 24 3.4.1 Modelos de Holt-Winters . . . p. 24 3.4.1.1 Modelo Aditivo . . . p. 25 3.4.1.2 Modelo Multiplicativo . . . p. 25 3.4.2 Modelos Box & Jenkins . . . p. 26 3.4.2.1 Modelos Autorregressivos (AR): . . . p. 27

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3.4.2.2 Modelo de Médias Móveis (M A): . . . p. 27 3.4.2.3 Modelos Autorregressivos e de Médias Móveis (ARM A): p. 27 3.4.2.4 Modelos Autorregressivos Integrados e de Médias Móveis

(ARIM A): . . . p. 28 3.4.2.5 Modelos SARIM A . . . p. 28 3.4.2.6 Fun¸cão de Autocorrela¸cão (F AC) e Fun¸cão de Autocor-

rela¸cão Parcial (F ACP) . . . p. 28 3.5 Estat´ısticas de Aderência . . . p. 30 3.6 Filtragem SSA . . . p. 31 3.6.1 Decomposi¸cão . . . p. 32 3.6.2 Reconstru¸cão . . . p. 33 3.6.3 Análise Gráfica dos Autovetores . . . p. 35 3.6.4 Resumo da Metodologia . . . p. 35

4 An´alise dos Resultados p. 37

4.1 Séries Originais . . . p. 37 4.1.1 Gera¸cão Hidrelétrica . . . p. 37 4.1.2 Gera¸cão Térmica . . . p. 38 4.1.3 Gera¸cão Nuclear . . . p. 39 4.1.4 Gera¸cão Eólica . . . p. 40 4.2 Modelagem . . . p. 41 4.2.1 Gera¸cão Hidrelétrica . . . p. 42 4.2.2 Gera¸cão Térmica . . . p. 43 4.2.3 Gera¸cão Nuclear . . . p. 44 4.2.4 Gera¸cão Eólica . . . p. 45 4.3 Filtragem SSA . . . p. 47 4.3.1 Decomposi¸cão . . . p. 47

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4.3.1.1 Gera¸cão Hidrelétrica . . . p. 48 4.3.1.2 Gera¸cão Térmica . . . p. 48 4.3.1.3 Gera¸cão Nuclear . . . p. 49 4.3.1.4 Gera¸cão Eólica . . . p. 49 4.3.2 Reconstru¸cão e Modelagem pós Filtragem SSA . . . p. 50 4.3.2.1 Gera¸cão Hidrelétrica . . . p. 50 4.3.2.2 Gera¸cão Térmica . . . p. 51 4.3.2.3 Gera¸cão Nuclear . . . p. 52 4.3.2.4 Gera¸cão Eólica . . . p. 52 4.4 Previsões . . . p. 53 4.4.1 Gera¸cão Hidrelétrica . . . p. 54 4.4.2 Gera¸cão Térmica . . . p. 55 4.4.3 Gera¸cão Nuclear . . . p. 56 4.4.4 Gera¸cão Eólica . . . p. 57

5 Conclus˜ao p. 58

Referˆencias p. 60

Anexo A -- Lista de abreviaturas p. 63

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Lista de Figuras

1 Gera¸cão elétrica por fonte no Brasil (2015) . . . p. 14 2 Séries históricas (2005 - 2016) . . . p. 20 3 Série histórica demanda de energia (2005 - 2016) . . . p. 20 4 Séries de médias anuais . . . p. 21 5 Média mensal da demanda de energia elétrica . . . p. 22 6 Exemplos de F AC e F ACP para modelos AR(1), M A(1) e ARM A(1,1) p. 29 7 Fluxogramas da Metodologia . . . p. 36 8 Série temporal de gera¸cão de energia hidrelétrica . . . p. 38 9 Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de gera¸cão

hidrelétrica de energia. . . p. 38 10 Série temporal de gera¸cão térmica de energia elétrica. . . p. 39 11 Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de gera¸cão

térmica de energia . . . p. 39 12 Série temporal de gera¸cão de energia nuclear . . . p. 40 13 Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de gera¸cão

nuclear de energia . . . p. 40 14 Série temporal de velocidade dos ventos . . . p. 41 15 Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de velocidade

dos ventos. . . p. 41 16 Representa¸cão gráfica das fun¸cões de Autocorrela¸cão e de Autocorrela¸cão Par-

cial da série Hidrelétrica. . . p. 42 17 Representa¸cão gráfica das fun¸cões de Autocorrela¸cão e de Autocorrela¸cão Par-

cial da s´erie T´ermica. . . p. 44

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18 Representa¸cão gráfica das fun¸cões de Autocorrela¸cão e de Autocorrela¸cão Par-

cial da série Nuclear. . . p. 45 19 Representa¸cão gráfica das fun¸cões de Autocorrela¸cão e de Autocorrela¸cão Par-

cial da série Eólica. . . p. 46 20 Decomposi¸cão da série de Gera¸cão Hidrelétrica via Filtragem SSA . . . p. 48 21 Decomposi¸cão da série de Gera¸cão Térmica via Filtragem SSA . . . p. 48 22 Decomposi¸cão da série de Gera¸cão Nuclear via Filtragem SSA . . . p. 49 23 Decomposi¸cão da série de Gera¸cão Eólica via Filtragem SSA . . . p. 49 24 Reconstru¸cão da série de Gera¸cão Hidrelétrica via Filtragem SSA . . . p. 50 25 Reconstru¸cão da série de Gera¸cão Térmica via Filtragem SSA . . . p. 51 26 Reconstru¸cão da série de Gera¸cão Nuclear via Filtragem SSA . . . p. 52 27 Reconstru¸cão da série de Gera¸cão Eólica via Filtragem SSA . . . p. 53 28 Série de Gera¸cão Hidrelétrica via Filtragem SSA e Série modelada porSARIM A p. 54 29 Série de Gera¸cão Térmica via Filtragem SSA e Série modelada porSARIM A p. 55 30 Série de Gera¸cão Nuclear via Filtragem SSA e Série modelada porSARIM A p. 56 31 Série de Gera¸cão Eólica via Filtragem SSA e Série modelada porSARIM A p. 57

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Lista de Tabelas

1 Estat´ısticas Descritivas . . . p. 19 2 Média mensal das séries de energia elétrica . . . p. 21 3 Comportamento t´ıpico da F AC e da F ACP nos processos AR, M A e

ARM A . . . p. 29 4 Medidas de Acur´acia dos Modelos para os dados originais de Gera¸c˜ao de

Energia Hidrelétrica . . . p. 43 5 Medidas de Acurácia dos Modelos para os dados originais de Gera¸cão de

Energia Térmica . . . p. 44 6 Medidas de Acurácia dos Modelos para os dados originais de Gera¸cão de

Energia Nuclear . . . p. 46 7 Medidas de Acur´aciados Modelos para os dados originais de Gera¸c˜ao de

Energia E´olica . . . p. 47 8 Medidas de Acur´acia dos Modelos para os dados filtrados via SSA de

Gera¸cão de Energia Hidrelétrica . . . p. 50 9 Medidas de Acurácia dos Modelos para os dados filtrados via SSA de

Gera¸cão de Energia Térmica . . . p. 51 10 Medidas de Acurácia dos Modelos para os dados filtrados via SSA de

Gera¸c˜ao de Energia Nuclear . . . p. 52 11 Medidas de Acur´acia dos Modelos para os dados filtrados via SSA de

Gera¸cão de Energia Eólica . . . p. 53 12 Modelos Box & Jenkins e Holt-Winters para os dados de Gera¸cão de

Energia Hidrelétrica . . . p. 54 13 Medidas de Acurácia para os dados de Gera¸cão de Energia Hidrelétrica p. 54 14 Modelos Box & Jenkins e Holt-Winters para os dados de Gera¸cão de

Energia T´ermica . . . p. 55

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15 Medidas de Acurácia para os dados de Gera¸cão de Energia Térmica . . p. 55 16 Modelos Box & Jenkins e Holt-Winters para os dados de Gera¸cão de

Energia Nuclear . . . p. 56 17 Compara¸cão das medidas de Acurácia para os dados de Gera¸cão de Energia

Nuclear . . . p. 56 18 Modelos Box & Jenkins e Holt-Winters para os dados de Gera¸c˜ao de Energia

Eólica. . . p. 57 19 Compara¸cão das medidas de Acurácia para os dados de Gera¸cão de Energia

E´olica. . . p. 57

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1 Introdu¸ c˜ ao

1.1 Contextualiza¸ c˜ ao

A energia elétrica é a capacidade de uma corrente elétrica realizar trabalho. Essa forma de energia pode ser obtida por meio da energia qu´ımica ou da energia mecânica, por intermédio de turbinas e geradores que transformam essas formas de energia em energia elétrica. Grande parte dos avan¸cos tecnológicos alcan¸cados se deve à energia elétrica.

Quanto mais os pa´ıses se desenvolvem, mais se torna necessário aumentar a produ¸cão de energia. Ela pode ser convertida para gerar luz, for¸ca para movimentar motores e fazer funcionar diversos produtos elétricos e eletrônicos. Ela é gerada, principalmente, nas usinas hidrelétricas, usando o potencial energético da água. Porém, ela pode ser produzida também pela for¸ca dos ventos, por origem térmica, solar, nuclear dentre outras.

O Brasil possui um dos maiores e melhores potenciais energéticos do mundo, com cerca de 8,5 milhões de quilômetros quadrados, mais de 7 mil quilômetros de litoral e condi¸cões climáticas extremamente favoráveis. A energia elétrica brasileira provem, em primeiro lugar, de usinas hidrelétricas; seguida de termelétricas; e, por último, de usinas nucleares (ANEEL, 2008).

A grande extensão da rede de transmissão no Brasil é explicada pela configura¸cão do segmento de gera¸cão, constitu´ıdo, na maior parte, de usinas hidrelétricas instaladas em localidades distantes dos centros consumidores. A principal caracter´ıstica desse segmento

é a sua divisão em dois grandes blocos. O SIN (Sistema Interligado Nacional) é formado pelas empresas das regiões Sul, Sudeste, Centro-Oeste, Nordeste e parte da região Norte.

Apenas 1,7% da energia requerida pelo pa´ıs encontra-se fora do SIN, em pequenos sistemas isolados localizados principalmente na região amazônica. O ONS (Operador Nacional do Sistema Elétrico) é responsável pela coordena¸cão e controle da opera¸cão do SIN, realizada pelas companhias geradoras e transmissoras, sob a fiscaliza¸cão e regula¸cão da Aneel (Agência Nacional de Energia Elétrica)(ROCHA, 2012).

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1.2 A importˆancia de fazer previs˜ao 14

Entre os benef´ıcios desta integra¸cão e opera¸cão coordenada está a possibilidade de troca de energia elétrica entre regiões. Isto é particularmente importante em um pa´ıs como o Brasil, caracterizado pela predominância de usinas hidrelétricas localizadas em regiões com regimes hidrológicos diferentes. O sistema Norte é responsável por 15% da gera¸cão de energia elétrica no pa´ıs, o Nordeste responsável por 16,2%, o Sul por 28,7%

e o sistema Sudeste/Centro-Oeste é responsável por 40,1% da gera¸cão de energia (EPE, 2016). As reservas de combust´ıveis fósseis são reduzidas, porém os potenciais hidráulicos, da incidência solar, da biomassa e da for¸ca dos ventos são suficientemente abundantes para garantir a autossuficiência energética do pa´ıs.

1.2 A importˆ ancia de fazer previs˜ ao

Duas fontes energéticas – hidráulica e petróleo – tem sido extensivamente aproveitadas no Brasil ao longo dos anos. Em 2015, cerca de 65 % do suprimento de energia elétrica do pa´ıs veio de gera¸cão hidráulica e o petróleo representou mais de 28% da matriz energética nacional (EPE, 2016). A Figura 1 mostra a representa¸cão dos tipos de fontes energéticas na gera¸cão de energia elétrica no Brasil no ano de 2015.

Figura 1: Gera¸c˜ao el´etrica por fonte no Brasil (2015)

O aumento da demanda, a escassez de oferta e restri¸cões financeiras, socioeconômicas e ambientais, que são cenários atuais do setor elétrico brasileiro, indicam que o suprimento futuro de energia elétrica exigirá maior aproveitamento de fontes alternativas. É necessário buscar formas de suprimento energético compat´ıveis com os potencias energéticos e as

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1.2 A importˆancia de fazer previs˜ao 15

necessidades econômicas nacionais e regionais através do planejamento e estudo da oferta de energia. Da´ı a importância do estudo do comportamento das séries temporais históricas e a previsão da gera¸cão de energia das diferentes fontes energéticas.

A energia hidráulica representa significativamente a produ¸cão mundial. No Brasil, além de ser um fator histórico de desenvolvimento da economia, a energia hidrelétrica desempenha papel importante na integra¸cão e no desenvolvimento de regiões distantes dos grandes centros urbanos e industriais. A água é uma das poucas fontes para produ¸cão de energia que não contribui para o aquecimento global, principal problema ambiental da atualidade. Silveira et al. (2012) utilizaram a metodologia de Séries Temporais para estimar a série de gera¸cão de energia hidráulica, em GWh do Brasil. A série estudada se ajustou bem aos dados e pode prever com eficiência via modeloARIM A.

Em fun¸cão do grande potencial h´ıdrico, o Brasil utiliza a energia termoelétrica de forma estratégica. Esse uso ocorre quando há diminui¸cão de água, provocada pela carência de chuvas, nas represas que abastecem as usinas hidrelétricas (REIS, 2011). As usinas térmicas geram energia a partir da queima de combust´ıveis sólidos, l´ıquidos ou gasosos.

Os principais combust´ıveis utilizados nas usinas termoelétricas são o carvão mineral, o petróleo, o gás natural e a biomassa, fonte renovável que é produzida a partir da cana de a¸cúcar. Silva (2007) encontrou no modelo ARIM Amaior eficiência para descrecrever o comportamento de matrizes termoenergéticas, em particular o caso do gás natural no cenário brasileiro. Consequentemente, a análise de previsão utilizou como referencial a metodologia de Box & Jenkins. As termoelétricas são responsáveis por parte da emissão dos gases que contribuem para o aquecimento global. Na maioria, as fontes de energia utilizadas pelas termoelétricas não são renováveis, o que eleva a preocupa¸cão sobre a disponibilidade desses recursos a médio e longo prazo (GUENA, ALMEDA & AQUINO, 2006).

A energia térmica gerada por fonte nuclear é vista como uma poss´ıvel fuga ao alto consumo e dependência externa do petróleo. É apontada como uma alternativa por apresentar atratividade econômica para gera¸cão, além de eliminar o problema das emissões de gases na atmosfera. No entanto, este benef´ıcio é substitu´ıdo pelos res´ıduos nucleares, que, sem uma solu¸cão até hoje encontrada, a produ¸cão é feita a partir do urânio e do tório, dois minérios radioativos, sendo o urânio o mais utilizado e conhecido, devido as reservas abundantes (N3E, 2014). Sorato et al. (2013) também utilizaram o modelo Box & Jenkins para previsão de gera¸cão de energia, por se mostrar mais eficiente para descrever o comportamento temporal da produ¸cão de energia termonuclear no Brasil.

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1.3 Proposta 16

O potencial eólico brasileiro para aproveitamento energético tem sido objeto de es- tudos e inventários desde os anos 1970 e o seu histórico revela o lento mas progressivo descortinamento de um potencial energético natural de relevante magnitude existente no pa´ıs (AMARANTEet al., 2001). Barros (2015) propoz uma nova metodologia e aplica¸cão em dados de produ¸cão de energia eólica utilizando o método de Holt-Winters e sua recente varia¸cão, que lida com múltiplos padrões de sazonalidade. Os resultados das métricas de avalia¸cão mostraram que os métodos desenvolvidos foram promissores para lidar com o problema levantado. Nos últimos anos, a energia eólica vem despontando como uma das principais fontes alternativas de energia no mundo. Ela tem se destacado pelo re- duzido impacto ambiental e pela sua base tecnológica e industrial já desenvolvida, além da experiência e confiabilidade adquiridas com a opera¸cão de grandes parques eólicos (MILLAIS, 2005).

A necessidade de previsões precisas de eventos futuros e suas consequências levou a um desenvolvimento estável na técnicas de previsão em uma série temporal. A Análise Spec- tral Singular (SSA - Singular Spectrum Analysis) é um método não paramétrico usado em análise de séries temporais. Essa técnica investiga o comportamento da série temporal através da decomposi¸cão e reconstru¸cão dos componentes como tendência, componentes harmônicas e ru´ıdo (BOJAR, 2011). SSA também descreve os principais fenômenos f´ısicos refletidos pelos dados e fornece filtros espectrais adaptativos associados às oscila¸cões dominantes do sistema e esclarece as caracter´ısticas de ru´ıdo dos dados (VAUTARD &

GHIL, 1989). SSA é uma técnica poderosa que permite decompor uma série temporal em componentes de acordo com seu comportamento definidas por: tendência, harmônicas e ru´ıdo e com a remo¸cão desta última parte, obter uma série temporal filtrada aproximada a série original que pode proporcionar modelos mais acurados. Menezeset al. (2014) utilizaram SSA para realizar filtragem de uma série temporal de consumo de energia elétrica de uma distribuidora do Estado do Rio de Janeiro. Neste experimento, o modelo de Box

& Jenkins obteve melhor capacidade preditiva e a filtragem SSA melhorou a acur´acia do modelo.

1.3 Proposta

Este projeto propõe a filtragem SSA antes da modelagem a partir das classes de modelos ARIM A de Box & Jenkins e de Amortecimento Exponencial de Holt-Winters para séries temporais de gera¸cão de energia elétrica a partir de fontes diferentes como hi- drelétrica, eólica, nuclear e térmica. Propõe também comparar a tendência destas fontes

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1.4 Estrutura 17

e o comportamento delas a fim de obter um sistema de complementariedade de uso de energia como forma alternativa ao despacho hidro-térmico. Por fim, propõe uma compara¸cão entre a demanda e as formas de gera¸cão de energia para atender esta demanda de forma mais eficiente.

Para a escolha do melhor modelo em termos de ajustes serão testadas as estat´ısticas de aderência como a Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio (RM SE - Root Mean Square Error), o Erro Percentual Médio Absoluto (M AP E - Mean Absolute Percentage Error), o Desvio Médio Absoluto (M AD-Mean Absolute Deviation) e o coeficiente de determina¸cão R². Os softwares utilizados para este projeto serão o Forecast Pro for Windows (F P W) para modelagens Holt-Winters e Box & Jenkins, além das estat´ısticas de aderência e as análises dos res´ıduos, Gretlpara testes de normalidade e de raiz unitária, Microsoft Excel para formata¸cão gráfica e Caterpillar SSA para a realiza¸cão das filtragens.

1.4 Estrutura

O trabalho está subdivido em cinco cap´ıtulos. O cap´ıtulo 1 apresenta a introdu¸cão com a contextualiza¸cão e a proposta. No cap´ıtulo 2 está o objetivo deste projeto. Os materiais e métodos estão no cap´ıtulo 3. No cap´ıtulo 4 estão as análises e os principais resultados e no cap´ıtulo 5, as conclusões.

(19)

18

2 Objetivos

O projeto tem a finalidade de analisar as modelagens das séries temporais de gera¸cão de energia de acordo com o melhor modelo encontrado. O objetivo principal é avaliar o ganho preditivo da modelagem Holt Winters e Box & Jenkins usando fitragem SSA. Os objetivos secundários são: avaliar a possibilidade de incluir a energias eólica e a energia nuclear no despacho hidro-térmico de acordo com as tendências e com as previsões obtidas no per´ıodo de maior demanda e apresentar tendências das gera¸cões térmica, nuclear e eólica em fun¸cão da demanda de energia.

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3 Materiais e M´ etodos

3.1 Base de Dados

Para esse estudo, foram considerados bases de dados de gera¸cão de energia elétrica oriunda de fontes h´ıdricas, térmicas e nucleares no subsistema Sudeste/ Centro-Oente (em MWmed) encontrados no site da ONS, dispon´ıveis em: http://www.ons.org.br/, e dados de velocidade dos ventos no mesmo subsistema (em m/s) provenientes do INMET (Ins- tituto Nacional de Metereologia), encontrados em: http://www.inmet.gov.br/. Também foi obtido no site da ONS, o histórico da série de demanda de energia para futuras compara¸cões. Os dados tem periodicidade mensal entre janeiro de 2005 a julho de 2016. Cada banco possui 139 observa¸cões.

3.1.1 Descri¸ c˜ ao dos dados

A Tabela 1 apresenta algumas estat´ısticas descritivas das s´eries temporais em estudo.

Tabela 1: Estat´ısticas Descritivas

Série M´ınimo Máximo Média Desvio Padrão

Demanda de Energia (MWmed) 34278,19 51497,35 4192,59 3187,9 Gera¸cão Hidrelétrica (MWmed) 13460 25910 20010 2552,6 Gera¸cão Térmica (MWmed) 364,9 7423 3079 2278,8

Gera¸c˜ao Nuclear (MWmed) 0,6 2018 1611 409,2

Velocidade dos Ventos (m/s) 4,1 7,3 5,2 0,7

A Figura 2 apresenta o comportamento temporal das séries de gera¸cão de energia em estudo. Pode-se perceber que as séries possuem comportamentos distintos.

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3.1 Base de Dados 20

(a) Energia Hidrel´etrica (b) Energia T´ermica

(c) Energia Nuclear (d) Velocidade dos ventos

Figura 2: S´eries hist´oricas (2005 - 2016)

A Figura 3 apresenta a s´erie temporal de demanda de energia no subsistema Sudeste/Centro- Oeste.

Figura 3: S´erie hist´orica demanda de energia (2005 - 2016)

A Tabela 2 apresenta os valores m´edios mensais de cada uma das s´eries de energia.

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3.1 Base de Dados 21

Tabela 2: Média mensal das séries de energia elétrica

Mês Demanda Hidrelétrica Térmica Nuclear Eólica

(MWmed) (MWmed) (MWmed) (MWmed) (m/s)

Janeiro 42185,2 21388,0 2617,7 1563,6 5,0

Fevereiro 43503,9 21470,4 2906,8 1519,3 5,0

Mar¸co 43264,6 21734,2 2849,3 1435,7 4,7

Abril 42268,5 20521,5 2951,5 1551,6 4,8

Maio 41354,6 1873,7 3144,7 1529,6 4,8

Junho 40777,3 18578,1 3101,0 1652,0 4,9

Julho 40699,7 18427,4 2846,2 1682,4 5,2

Agosto 41059,2 19094,6 3140,7 1563,7 6,1

Setembro 41761,5 19386,5 3346,0 1778,3 6,3

Outubro 42352,9 19659,8 3403,9 1644,2 5,7

Novembro 41762,2 20085,1 3511,5 1709,4 5,3

Dezembro 42090,7 20673,1 3232,1 1737,6 5,0

A Figura 4 apresenta o comportamento médio anual das séries de gera¸cão em estudo.

(a) Energia Hidrel´etrica (b) Energia T´ermica

(c) Energia Nuclear (d) Velocidade dos ventos

Figura 4: S´eries de m´edias anuais

(23)

3.2 Processos Estoc´asticos 22

Pode-se perceber que as séries possuem comportamentos distintos. As energias térmica e nuclear concentram uma maior gera¸cão nos últimos meses do ano enquanto a energia hidrelétrica concentra sua gera¸cão nos meses iniciais do ano, come¸cando esse aumento a partir do final do inverno. Percebe-se que a velocidade do vento tende a ser mais intensa nos meses agosto a novembro.

A Figura 5 apresenta o comportamento m´edio anual da s´erie de demanda de energia.

Pode-se perceber que a série possui comportamento similar ao da média anual de gera¸cão de energia hidrelétrica, vista na Figura 4.

Figura 5: M´edia mensal da demanda de energia el´etrica

3.2 Processos Estoc´ asticos

Os processos estocásticosX_(t)são fam´ılias arbitrárias de variáveis aleatórias indexadas por t onde t ∈ T (sendo T um conjunto qualquer, geralmente N⁺) e X_(t) representa o estado do processo no tempo t. O conjunto ´ındice do processo t pode ser visto como um indexador de tempo ou espa¸co.

• SeTé um conjunto enumerável, entãoX_(t),t ∈T, é um processo estocástico discreto no tempo.

• Se T é um conjunto não enumerável ou T é um intervalo aberto ou fechado da reta, entãoX(t), t∈T, é um processo estocástico cont´ınuo no tempo. Os resultados assumidos por X_(t) (ou X_t) são denotados como conjunto dos estados do processo.

Os processos estocásticos são definidos de maneira estritamente formal através do Teorema Fundamental dos Processos Estocásticos (ANTENEODO, 2004).

(24)

3.3 S´eries Temporais 23

Defini¸cão 3.2.1 Se a fun¸cão distribui¸cão de probabilidade conjunta das variáveis aleató- rias X_t1, X_t2, ..., X_tn é conhecida para todo n enumerável positivo, e para todo conjunto valorest1, t2, . . . , tnondet_kqualquer pertence a um conjuntoT, podemos denotar conjunto destas variáveis, X_ti, por Processo Estocástico.

Um processo é dito estacionário se quando dividido em intervalos de tempo as várias se¸cões do processo exibem essencialmente as mesmas propriedades estat´ısticas. Caso contrário, por apresentar tendência, é dito não-estacionário. Para detectar a não-estacionariedade de uma série, o comportamento temporal pode ser analisado graficamente, ou aplicando os testes estat´ısticos de raiz unitária.

3.3 S´ eries Temporais

A classe de fenômenos cujo processo observacional e consequente quantifica¸cão numéri- ca gera uma sequência de dados distribu´ıdos no tempo é denominada série temporal (SOUZA, 1989). Uma série temporal é amostra de um processo estocástico. É definida como qualquer conjunto de observa¸cões ordenadas no tempo (MORETTIN & TOLOI, 2006). Segundo SAMOHYL et al. (2001), se as observa¸cões consecutivas são dependentes umas das outras, então é poss´ıvel obter uma previsão e assim, fornecer bases para compreender o comportamento do evento ao qual está se analisando.

Uma das considera¸cões para o uso de modelos de séries temporais consiste em assumir que os eventos futuros terão os mesmos comportamentos dos eventos passados. O objetivo da análise de séries temporais é identificar padrões não aleatórios na série temporal de uma variável de interesse, e a observa¸cão deste comportamento passado pode permitir fazer previsões sobre o futuro orientando a tomada de decisões.

Pressupõe-se que as componentes que influenciaram um a série temporal no passado e no presente continuarão a persistir no futuro, deste modo, identificar e analisar tais fatores constitui-se na técnica de previsão de eventos futuros para uma mesma série. Existem, basicamente, quatro caracter´ısticas inerentes a estas séries, quais sejam:

Tendência: corresponde a um padrão persistente que descreve um comportamento geral e a longo prazo, podendo ser ascendente ou descendente, caracterizando uma dire¸cão para a curva;

Efeito C´ıclico: Corresponde a oscila¸cões ou movimentos ascendentes ou descendentes ao longo de toda a série. Estes movimentos variam de extensão, geralmente durando de

(25)

3.4 Modelos de Previs˜ao 24

2 a 10 anos (LEVINE et al., 2012);

Efeito aleatório: Oscila¸cões que não correspondem a efeitos c´ıclicos nem a tendência da curva geralmente se classificam como efeito aleatório;

Efeito Sazonal: Sazonalidade é um padrão que se repete na curva em intervalos regulares de tempo, podendo estar ainda mais evidente quando a série corresponde a dados mensais ou trimestrais.

Os objetivos de se analisar as s´eries temporais s˜ao:

• Investigar o mecanismo gerador da s´erie temporal;

• Fazer previs˜oes de valores futuros da s´erie;

• Descrever o comportamento da s´erie;

• Procurar periodicidades relevantes nos dados.

3.4 Modelos de Previs˜ ao

A partir dos objetivos da análise e das caracter´ısticas da série temporal, para este projeto serão considerados os modelos de amortecimento exponencial de Holt-Winters (1960) e os modelosARIM Apropostos por Box & Jenkins (1970). Tradicionalmente considerados no planejamento de expansão de médio prazo de fenômenos naturais (MENEZES et al., 2014).

3.4.1 Modelos de Holt-Winters

Os modelos de Holt-Winters descrevem apropriadamente dados em que se verifica a ocorrência de tendência linear, além de componente de sazonalidade (PELEGRINI &

FLOGIATTO, 2000). O método Holt-Winters é uma expansão do método Holt (1957) desenvolvida por Winters (1960), que utiliza a média móvel transformada de simples em exponencial, para aplicar em séries temporais, visando representar melhor a tendência e a sazonalidade dos dados. Com isso, geralmente produz previsões melhores do que as realizadas com médias móveis simples (SAMOHYL et al., 2008). É um dos métodos mais utilizados para previsão de curto prazo da demanda devido a sua simplicidade, baixo custo de opera¸cão, boa precisão e capacidade de ajustamento automático e rápido a mudan¸cas na série em análise. Partindo do princ´ıpio de que determinadas séries possuem um fator

(26)

sazonal, além do n´ıvel e tendência que capta caracter´ısticas da série que se repetem a intervalos regulares de tempo, os modelos de amortecimento exponencial de Holt-Winters se dividem em dois grupos: aditivo e multiplicativo. No modelo aditivo, a amplitude da varia¸cão sazonal é constante ao longo do tempo. Ou seja, a diferen¸ca entre o maior e menor valor de demanda dentro das esta¸cões permanece relativamente constante no tempo. No modelo multiplicativo, a amplitude da varia¸cão sazonal aumenta ou diminui como fun¸cão do tempo (LAWTON, 1998).

3.4.1.1 Modelo Aditivo

Método de Holt-Winter para Efeitos Sazonais Aditivos é utilizado na modelagem de dados onde a amplitude do ciclo sazonal independe do n´ıvel local da série, ou seja, permanece constante com o passar do tempo. Considere um modelo cuja série sazonal, de per´ıodos, é formada pela soma do n´ıvel, tendência, um fator sazonal e um erro aleatório, dado por :

Z_t=a₁+a₂t+ρ_t+e_t. (3.1) Esse método se aplica melhor em séries com tendência e sazonalidade que não au- mentam com o tempo. Para a estima¸cão de valores futuros de Z_t, a equa¸cão utilizada é:

Zb_t(h) =ba₁(t) +ba₂(t)h+ρb_m(t+h)(t). (3.2) OndeZb_t(h) é estimador do valor da série no instantet,h passos à frente, ba₁ é estimador do n´ıvel em t, ba2 é estimador da tendência em t, ba2 é estimador da tendência em t, ρb_m(t+h) é estimador do fator em t sazonal e α, β e γ, são respectivamente, parâmetros de amortecimento de n´ıvel, tendência e sazonalidade. As equa¸cões de atualiza¸cão dos estimadores, estão a seguir.

ba1(t) = α[Zt−ρbt(t−1) + (1−α)[ba1(t−1) +ba2(t−1)] (3.3) ba₂(t) = β[ba₁(t)−ba₁(t−1)] + (1−β)ba₂(t−1) (3.4) ρb_m(t) = γ[Z_t−ba₁(t)] + (1−γ)ρbm(t−1) (3.5) 3.4.1.2 Modelo Multiplicativo

O m´etodo de Holt-Winters para efeitos sazonais multiplicativos ´e utilizado na modelagem de dados onde a amplitude do ciclo sazonal varia proporcionalmente ao n´ıvel da

(27)

série com o passar do tempo. Considere um modelo de série sazonal, de per´ıodo s, fator sazonal multiplicativo e tendência aditiva, isto é,

Z_t= (a₁+a₂t)ρ_t+e_t, (3.6) que descreve o comportamento estrutural da série. As proje¸cões dos valores futuros da série são efetuadas através da fun¸cão de previsão do método. Este método é melhor para dados com tendência e com a sazonalidade que aumenta ao longo do tempo. Isso resulta em uma previsão curva que reproduz as mudan¸cas sazonais nos dados. Para a estima¸cão de valores futuros, a equa¸cão utilizada é:

Zb_t(h) = (ba₁(t) +ba₂(t)h)ρb_m(t+h)(t) (3.7) As equa¸cões de atualiza¸cão dos estimadores, estão a seguir.

ba₁(t) = α

Z_t ρb_t(t−1)

+ (1−α)[ba₁(t−1) +ba₂(t−1)] (3.8)

ba₂(t) = β

ba₁(t) ba₁(t−1)

+ (1−β)ba₂(t−1) (3.9)

ρb_m(t) = γ Z_t

ba₁(t)

+ (1−γ)ρbm(t−1) (3.10)

Ondeba₁ é estimador do n´ıvel emt,ba₂ é estimador da tendência emt,ρb_m(t+h)é estimador do fator emt sazonal e α, β eγ, são respectivamente, parâmetros de amortecimento de n´ıvel, tendência e sazonalidade.

3.4.2 Modelos Box & Jenkins

A idetifica¸cão das estruturas Box & Jenkins baseia-se no comportamento teórico da fun¸cão de autocorrela¸cão (F AC) e da fun¸cão de autocorrela¸cão parcial (F ACP ). O método é aplicado ao conjunto de processos estocásticos denominados modelos ARIM A (Autoregressive Integrated Moving Average) onde, em cada instante de tempo t, existe um conjunto de valores que a série pode assumir, aos quais estão associadas possibilidades de ocorrência. A modelagem parte do princ´ıpio que cada valor da série temporal pode ser explicado por seus valores prévios, em virtude da utiliza¸cão de uma estrutura de correla¸cão temporal, presente na série (GUJARATI, 2000; FAVA, 2000;WERNER ;RIBEIRO, 2003).

Partindo do pressuposto que os valores de determinada série temporal são altamente dependentes dos valores passados, seus valores futuros poderão ser explicados pelos valores

(28)

passados da série (PELLEGRINI, 2000). A metodologia Box & Jenkins é aplicada aos processos estocásticos estacionários. Se o processo não é estacionário, pode-se torná-lo estacionário por sucessivas diferencia¸cões na série original.

3.4.2.1 Modelos Autorregressivos (AR):

Os modelos autorregressivos de ordem p, AR(p), foram criados com a idéia de que a presente observa¸cão da série Z_t pode ser explicada como uma fun¸cão das p observa¸cões passadas,Z_t−1, Z_t−2, ..., Z_t−p, onde p determina o número de passos entre as observa¸cões passadas e a previsão da próxima observa¸cão. A estrutura autoregressiva geral é expressa por:

Z_t =φ₁Zt−1+φ₂Zt−2+...+φ_pZt−p+a_t. (3.11) Onde φ_i são coeficientes da estrutura, i= 1, ..., p ea_té ru´ıdo branco com média zero e variância σ²_a.

3.4.2.2 Modelo de M´edias M´oveis (M A):

Os modelos médias móveis, M A(q), são formados por combina¸cão linear do ru´ıdo branco, a_t, ocorridos no per´ıodo corrente e nos q per´ıodos passados. A estrutura de médias móveis geral é expressa por:

Zt=at−θ1at−1−θ2at−2−...−θqat−q. (3.12) Onde θ_i são coeficientes da estrutura, i= 1, ..., q ea_t é ru´ıdo branco com média zero e variância σ²_a.

3.4.2.3 Modelos Autorregressivos e de M´edias M´oveis (ARM A):

Esse modelo é uma combina¸cão dos dois anteriores ondeZté descrito por seus valores passados e pelos ru´ıdos branco corrente e passados. A estrutura geral ARM A(p, q) é expressa por:

Z_t=φ₁Zt−1+φ₂Zt−2+...+φ_pZt−p+a_t−θ₁at−1−θ₂at−2−...−θ_qat−q. (3.13) Onde φ_i são coeficientes da estrutura, i = 1, ..., p, θ_i são coeficientes da estrutura, i = 1, ..., q e at é ru´ıdo branco com média zero e variância σ_a².

(29)

3.4.2.4 Modelos Autorregressivos Integrados e de M´edias M´oveis (ARIM A):

O modelo ARIM A(p, d, q) (Auto-Regressive Integrated Moving Average) é adequado para a previsão de séries temporais cujo processo estocástico não é estacionário. Logo, a série original passará por algumas diferencia¸cões a fim de torná-la estacionária (Box

& Jenkins, 1994). O número necessário de diferen¸ca para tornar a séries estacionária é denominado ordem de integra¸cão (d). A estrutura geralARIM A(p, d, q) é expressa por:

φ(B)∇^dZ_t=θ(B)a_t. (3.14) Ondeφ(B) representa o operador auto-regressivo de ordemp,θ(B) representa o operador médias móveis de ordem q,at é ru´ıdo branco com média zero e variânciaσ_a², drepresenta o número de diferen¸cas e ∇^d representa o operador diferen¸ca, definido como:

∇Z_t =Z_t−Zt−1 =Z_t−BZ_t = (1−B)Z_t (3.15)

∇^dZ_t= (1−B)^dZ_t. (3.16) 3.4.2.5 Modelos SARIM A

O modelo que contempla as séries que apresentam autocorrela¸cão sazonal, um dos mais recorrentes, é conhecido comoSARIM A(MORETTIN & TOLOI, 2006). O modelo SARIM A contém uma parte não sazonal com parâmetros (p, d, q) e uma sazonal com parâmetros (P, D, Q). Logo, o modelo geral para a série, com per´ıodo sazonals, é escrito da forma:

φ(B)Φ(B^s)∇^d∇^D_s Z_t=θ(B)Θ(B)a_t. (3.17) Ondeφ(B) representa o operador auto-regressivo de ordemp, Φ(B) representa o operador sazonal auto-regressivo de ordemP, θ(B) representa o operador médias móveis de ordem q, Θ(B) representa o operador médias móveis de ordem Q, d representa o número de diferen¸cas,∇^drepresenta o operador diferen¸ca, ∇^D_s representa o operador sazonal diferen¸ca ea_t é ru´ıdo branco com média zero e variância σ²_a.

3.4.2.6 Fun¸cão de Autocorrela¸cão (F AC) e Fun¸cão de Autocorrela¸cão Parcial (F ACP)

A identifica¸cão do modelo a ser estimado ocorre pelo comportamento das fun¸cões de autocorrela¸cões (F AC) e das fun¸cões de autocorrela¸cões parciais (F ACP). Segundo Pinto (2006), a F AC decai exponencialmente para modelos AR estacionário, sofre um

(30)

corte brusco após a defasagemq para modelosM Aestacionário e decai exponencialmente após a defasagem q para o modelo ARM A estacionário, ou seja, analisando a F AC é poss´ıvel identificar apenas o parâmetroq. A defini¸cão do parâmetro pé feita através da análise da F ACP, que é definida para essa finalidade. A F ACP decai exponencialmente para os modelos M A, sofre um corte brusco após a defasagem p para os modelos AR e decai exponencialmente após a defasagemppara os modelosARM A. A Tabela 3 resume as caracter´ısticas das fun¸cões para os diversos processos.

Tabela 3: Comportamento t´ıpico daF AC e daF ACP nos processos AR,M A eARM A

F AC F ACP

AR Decai exponencialmente Corte brusco ap´os defasagem p M A Corte brusco ap´os a defasagem q Decai exponencialmente

ARM A Decai exponencialmente ap´os a defasagem q

Decai exponencialmente ap´os a defasagem p

A Figura 6 apresenta alguns exemplos dos correlogramas (gr´aficos te´oricos daF AC e F ACP) (BROOKS, 2002).

(a) AR(1) (b) M A(1)

(c) ARM A(1,1)

Figura 6: Exemplos de F AC e F ACP para modelos AR(1), M A(1) e ARM A(1,1)

(31)

3.5 Estat´ısticas de Aderˆencia 30

No modeloARIM Aé necessária a defini¸cão o parâmetrod, que representa o grau de diferencia¸cão necessário para tornar os dados estacionários. Pela análise da F AC e da F ACP, a série é diferenciada até o graud, de forma que o processo seja estacionário. A F AC pode ser definida como a razão entre autocovariância e variância para um conjunto de dados:

F AC(k) =ρ_k = γ_k

γ₀, k = 0, ..., N −1, (3.18) onde γ₀ é a variância da série estacionária e a estimativaγ_k é dada por:

γ_k =

T−k

X

t=1

1

T −k(Z_t−E(Z_t))(Z_t+k−E(Z_t+k)) (3.19) A F ACP corresponde a correla¸cão de Z_t e Zt−k removendo o efeito das observa¸cões Z_t−1, Z_t−2, ..., Z_t−k+1 e é denotada por φ_kk ( Último coeficiente de um modelo AR(k)), ou seja,

φ_kk=Cor(Z_t, Zt−1/Zt−1, Zt−2, ..., Zt−k). (3.20)

3.5 Estat´ısticas de Aderˆ encia

Dependendo do comportamento da série temporal que se deseja analisar, vários modelos podem ser empregados na previsão de seus valores futuros. A maioria dos métodos de previsão baseia-se na ideia de minimizar soma dos erros gerados por cada modelo

e_t =z_t−zb_t. (3.21)

Uma vez que o cálculo dos erros pode resultar em valores positivos e negativos, zerando assim o seu somatório, diferentes formas de cálculo para o somatório dos erros podem ser empregadas tais como a soma de quadrados ou de valores absolutos dos erros de previsão, que é também uma medida usada para comparar a adequa¸cão de modelos alternativos. A ideia então é comparar o M SE (erro quadrático médio) ou M AD (erro absoluto médio) para diferentes modelos. Entre as formas de medir a acurácia de previsões, o M AP E (erro médio percentual absoluto) é a mais popular. No entanto, este critério limita-se a medir a acurácia de séries temporais que não contenham valores iguais a zero. Os erros a serem considerados como estat´ısticas de aderência serão:

(32)

3.6 Filtragem SSA 31

• Desvio M´edio Absoluto ou M AD (Mean Absolute Deviation)

M AD=

T

X

t=1

|e_t|

T (3.22)

• Erro M´edio Percentual Absoluto ou M AP E (Mean Absolute Percentage Error)

M AP E = PT

t=1

|e_t| zt

T ×100 (3.23)

• Raiz quadrada do Erro Quadr´atico M´edio ouRM SE (Root Mean Squared Error ):

RM SE = v u u t

T

X

t=1

e²_t

T (3.24)

• Coeficiente de Determina¸c˜ao ou R²:

R² = 1−SQE

SQT (3.25)

SQE =

T

X

t=1

(z_t−zb_t)²

T (3.26)

SQT =

T

X

t=1

(z_t−z)²

T (3.27)

onde, z_t é o valor observado, zb_t é a previsão e z é a média dos valores observados. O instantet ∈[1, T].

3.6 Filtragem SSA

Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma técnica não paramétrica que permite decompor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. E uma t´´ ecnica útil para filtrar dados de séries temporais. Menezes et al. (2014) utilizaram três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Cluster e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Nesse artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que será usado neste projeto. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incorpora elementos de análise

(33)

clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais (ELSNER, 1996). SSA tem sido aplicada com sucesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYANDINA et al., 2001).

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYANDINAet al., 2001; HASSANIet al., 2012). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e reconstru¸cão.

3.6.1 Decomposi¸ c˜ ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

Seja Y_t = [y₁, . . . y_T]_1×T uma série temporal e considere L tal que 2 ≤ L ≤ T de modo que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela (GOLYANDINAet al., 2001). Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporalY_T é levada a uma matrizX chamada “Matriz Trajetória” dada por (3.28).

X =







y₁ y₂ y₃ . . . y_k y₂ y₃ y₄ . . . y_k+1

... ... ... . .. ... y_L y_L+1 y_L+2 . . . y_T







(3.28)

A matrizX´e uma matriz Hankel, ou seja, os elementos dex_i,j tal quei+j = constante s˜ao iguais.

Considere S = XX⁰. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ₁ ≥ . . . ≥ λ_L ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovalores U₁, . . . , U_L são encontrados.

ConsidereV⁰ = (X⁰U_L)/√

λ, comoSé positivo semi-definido, então a matriz trajetóriaX pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (3.29):

X =E₁+E₂+· · ·+E_L, (3.29) ondeE_l =√

λU_lV_l⁰, para todol = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (√

λ_l, U_l, V_l) é conhecida como autotripla da expansão SVD deX. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente

(34)

por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (MENEZES et al., 2014). A contribui¸cão de cada componente em (3.29) pode ser mensurada pela razão de autovalores λ_l/PL

l=1λ_l.

3.6.2 Reconstru¸ c˜ ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da decomposi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1E_l de matrizes elementares da expansão de SVD. Agrupe as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo que a expansão (3.29) pode ser reescrita como em (3.30), sendoX_I_iarbitrária tal queX_I_i = Ppi

j=1X_I_i_j (MENEZES et al., 2014).

X =

L

X

l=1

E_l =

m

X

i=1

X_I_i (3.30)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (3.31) (MENEZES et al., 2014).

Ppi

j=1λ_I_ij PL

l=1λ_l . (3.31)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L^∗ = min(L, K) e K^∗ = max(L, K).

Considere x⁽ⁱ⁾_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento y⁽ⁱ⁾_t da componente h

y_t⁽ⁱ⁾i

1×T da série temporal [y_t]_1×T é calculado por meio da média diagonal

(35)

da matriz elementarXIi definida em (3.32), a partir da matriz elementar XIi.

y_t⁽ⁱ⁾=











t

P

l=1

x⁽ⁱ⁾_l,t−l+1

t , se 1≤t < L^∗

L∗

P

l=1

L^∗ , se L^∗ ≤t < K^∗

T−K∗+1

P

l=t−K∗+1

T−K^∗+1 , se K^∗ ≤t≤T

(3.32)

Cada componente h y_t⁽ⁱ⁾i

1×T concentra parte da energia da s´erie temporal original [y_t]_1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores

pi

P

j=1

λ_I_ij/

d

P

l=1

λ_l. De acordo com Hassani et al. (2012), podemos classificar as componentes SSA h

y_t⁽ⁱ⁾i

1×T de uma série temporal arbitrária [yt]_1×T em três categorais: tendência,componentes harmônicas(ciclo e sazonalidade) eru´ıdo (GOLYANDINA et al., 2001).

Um dos principais conceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade (HASSANI et al., 2012). Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as diferentes, componentes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderadaweighted correlation ouw-correla¸cão, podemos en- tender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA Y_T⁽¹⁾ e Y_T⁽²⁾ definida em (3.33) (MENEZES et al., 2014).

ρ^(w)_ij =

Y_T⁽ⁱ⁾, Y_T^(j)

w

||Y_T⁽ⁱ⁾||_w||Y_T^(j)||_w. (3.33) onde||Y_T⁽ⁱ⁾||_w=

r

Y_T⁽ⁱ⁾, Y_T⁽ⁱ⁾

w

; ||Y_T^(j)||_w= r

Y_T^(j), Y_T^(j)

w

;

Y_T⁽ⁱ⁾, Y_T^(j)

w

=

T

P

k=1

w_ky_k⁽ⁱ⁾y_k^(j) e w_k = min{k, L, T −k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Segundo Hassani et al.

(2012), o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA corres- pondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYANDiNA et al., 2001).

(36)

3.6.3 An´ alise Gr´ afica dos Autovetores

A análise das coordenadas da série temporal na base definida pelos vetores singulares resultantes da SVD permite identificar as componentes de tendência e da sazonalidade da série. O problema geral aqui consiste em identificar e separar as componentes oscilatórias das componentes que fazem parte da tendência. De acordo com Golyandinaet al. (2001) a análise gráfica de tais coordenadas aos pares permite identificar por meio visual as componentes harmônicas da série.

As coordenadas da série temporal em duas componentes ortogonais podem ser dispos- tas em um diagrama de dispersão. Considere um harmônico puro com frequência igual a ω, fase igual a δ, amplitude igual aξ e per´ıodoρ= _ω¹ definido como um divisor do tama- nho da janela L e K. Se o parâmetro ρ assume um valor inteiro, então ρ é classificado como per´ıodo do harmônico. Por exemplo, as fun¸cões seno e o cosseno com frequências, amplitudes e fases iguais resultam em um diagrama de dispersão que exibe um padrão circular. Por sua vez, se ρ = _ω¹ é um inteiro, então o diagrama de dispersão exibe um pol´ıgono regular com ρ vértices. Para uma frequência ω = ^m_n <0,5 com m e n inteiros e primos, os pontos são vértices de um pol´ıgono regular denvértices (GOLYANDINAet al., 2001). Dessa forma, a identifica¸cão dos componentes que são gerados por um harmônico é reduzida à análise pictórica do padrão determinado nos diferentes pares de componentes.

3.6.4 Resumo da Metodologia

Os objetivos deste trabalho foram mencionados no cap´ıtulo 2. As séries de gera¸cão de energia serão modeladas via Holt-Winters e via Box & Jenkins sem e com a abordagem SSA. A partir das séries originais e filtradas via SSA, os modelos de Box & Jenkins e de Holt-Winters serão aplicados e comparados entre si a partir das estat´ısticas de aderência.

O que obtiver melhor desempenho será considerado para previsão. Os softwares utilizados para o estudo serão: F P W (Forecast Pro for Windows) para fazer a modelagem Holt- Winters e Box & Jenkins eCaterpillar SSA para abordagem SSA. Os resultados obtidos ao longo dos experimentos computacionais realizados serão comparados em termos das estat´ısticas de aderência (M AP E,RM SE,M ADeR²) que ambém serão obtidas a partir doF P W. A Figura 7 apresenta um fluxograma com resumo da metodologia.

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Figura 7: Fluxogramas da Metodologia

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4 An´ alise dos Resultados

4.1 S´ eries Originais

A aplica¸cão da metodologia apresentada, através de experimento computacional, foi realizada a partir das médias mensais de gera¸cão de energia no subsistema Sudeste/Centro- Oeste (MWmed). Cada uma das séries originais possui 139 observa¸cões mensais de janeiro de 2005 e julho de 2016.

4.1.1 Gera¸ c˜ ao Hidrel´ etrica

Uma usina hidrelétrica tem por finalidade a gera¸cão de energia elétrica a partir do aproveitamento da for¸ca das águas. A estrutura da usina é composta, basicamente, por barragem, sistema de capta¸cão de água, casa de for¸ca e sistema de restitui¸cão de água ao leito natural do rio. No interior da barragem, onde são formados os reservatórios, são instalados grandes tubos inclinados, geralmente chamados de aquedutos, que abrigam as turbinas. A água desce pelos tubos e faz girar um sistema de hélices, movimentando o eixo dos geradores, que convertem a energia cinética do movimento das águas em a energia elétrica. Perto dos geradores são instalados os transformadores, equipamentos que acumulam e enviam a energia elétrica para os cabos das linhas de transmissão. Depois de movimentar as turbinas, as águas voltam para o leito do rio sem sofrer nenhum tipo de degenera¸cão.

A Figura 8 apresenta o comportamento temporal da série mensal de gera¸cão de energia elétrica proveniente de fonte h´ıdrica no subsistema Sudeste/Centro-Oeste para o per´ıodo de janeiro/2005 a julho/2016.

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4.1 S´eries Originais 38

Figura 8: Série temporal de gera¸cão de energia hidrelétrica

Na Figura 8 é poss´ıvel observar a repeti¸cão do comportamento ao longo dos per´ıodos, indicando sazonalidade, apesar da quebra do crescimento cont´ınuo entre 2013 e 2014. A Figura 9 apresenta a compara¸cão da curva de tendência com a série original. Esta Figura evidencia a identifica¸cão da tendência na série original.

Figura 9: Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de gera¸cão hidrelétrica de energia.

4.1.2 Gera¸ c˜ ao T´ ermica

A energia elétrica proveniente das usinas termelétricas é gerada por um sistema que consiste em uma caldeira, uma turbina a vapor, um condensador e um sistema de bombas.

O calor liberado pela combust˜ao, aquece a ´agua na caldeira, que se transforma em vapor.

Este vapor movimentam as turbinas que transformam a energia térmica em mecânica. O gerador transforma a energia mecânica em energia elétrica. Após mover as turbinas, o vapor é direcionado ao condensador para retornar ao estado l´ıquido, que por sua vez, é direcionado, por meio do sistema de bombas, novamente para a caldeira, que repetirá o processo de produ¸cão da energia térmica.

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A Figura 10 apresenta o comportamento temporal da série de gera¸cão de energia elétrica proveniente de fonte térmica no subsistema Sudeste/Centro-Oeste para o per´ıodo de janeiro/2005 a julho/2016.

Figura 10: Série temporal de gera¸cão térmica de energia elétrica.

Na Figura 10 pode-se observar a repeti¸cão do comportamento e o crescimento cont´ınuo ao longo dos per´ıodos, indicando poss´ıvel presen¸ca de ciclo sazonal no histórico da gera¸cão de energia de origem térmica. A Figura 11 apresenta a compara¸cão entre a série original e a curva de tendência.

Figura 11: Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de gera¸cão térmica de energia

4.1.3 Gera¸ c˜ ao Nuclear

As usinas termonucleares funcionam similarmente ao processo de gera¸cão de energia nas usinas térmicas, mas a energia é proveniente da fissão de urânio em reator nuclear. A

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agua dentro do reator é aquecida através da energia do átomo e passa do estado l´ıquido para o gasoso. Este vapor movimenta as turbinas, que transformam a energia nuclear em

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energia mecânica. Um gerador transforma a energia mecânica em energia elétrica.

A Figura 12 apresenta o comportamento temporal da série mensal de gera¸cão de energia elétrica proveniente de fonte nuclear no subsistema Sudeste/Centro-Oeste para o per´ıodo de janeiro/2005 a julho/2016.

Figura 12: S´erie temporal de gera¸c˜ao de energia nuclear

Pode-se observar a repeti¸cão do comportamento e crescimento ao longo dos per´ıodos, indicando poss´ıvel presen¸ca de sazonalidade na série de gera¸cão de energia de origem termonuclear. A Figura 13 mostra a compara¸cão da curva de tendência com a série original.

Figura 13: Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de gera¸cão nuclear de energia

4.1.4 Gera¸ c˜ ao E´ olica

A gera¸cão eólica ocorre através dos aerogeradores. O contato do vento com as pás do cata-vento dão origem à energia mecânica que aciona o motor da turbina e produz a eletricidade. O subsistetema Sudeste/Centro-Oeste não produz esse tipo de energia,

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4.2 Modelagem 41

porém observa-se uma média de velocidade dos ventos favorável a gera¸cão eólica por apresentar média acima de 3,5 m/s, velocidade m´ınima de funcionamento da maioria dos aerogeradores (TOMALSQUIM, 2016).

A Figura 14 apresenta o comportamento temporal da série de velocidade média dos ventos nas regiões Sudeste e Centro-Oeste.

Figura 14: S´erie temporal de velocidade dos ventos

Pode-se observar a repeti¸cão do comportamento ao longo dos per´ıodos, indicando poss´ıvel presen¸ca de ciclo sazonal na série de for¸ca dos ventos. O gráfico a seguir evidência a identifica¸cão da tendência na série original.

Figura 15: Compara¸cão entre a curva de tendência e a série original de velocidade dos ventos.

4.2 Modelagem

Cada série de fonte de energia foi avaliada quanto aos requisitos de aplica¸cão e medidas de acurácia dos modelos propostos neste trabalho: Holt-Winters e Box & Jenkins. O modelo Sugerido é o modelo indicado pelo programa utilizado nas modelagens, o F P W. Os testes realizados foram avaliados ao n´ıvel de 5% de significância.

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4.2 Modelagem 42

4.2.1 Gera¸ c˜ ao Hidrel´ etrica

Para a modelagem de Box & Jenkins é necessário que os dados obede¸cam alguns critérios como Normalidade e Estacionariedade.

• Normalidade: Para se testar a normalidade dos dados, o teste de Shapiro-Wilk foi aplicado. A hipótese nula deste teste é a de normalidade e o n´ıvel de significância 0,05. O teste apresentou um p-valor de 0,195455. Portanto a hipótese nula não é rejeitada, não havendo ind´ıcios para rejeitar a normalidade dos dados.

• Estacionariedade: Para se testar a estacionariedade da série, um teste de raiz unitária de Dickey Fuller (ADF) foi aplicado. A hipótese nula deste teste é a de existência de raiz unitária e o n´ıvel de significância 0,05. O p-valor obtido do teste ADF foi 0,0694 sendo maior que o n´ıvel de significância e, portanto, aceitando a hipótese de existência de raiz unitária, concluindo-se que a série não é estacionária e, desta forma, sendo necessária diferencia¸cão na série.

A Figura 16 apresenta o correlograma da série temporal de médias mensais de energia elétrica de origem h´ıdrica.

(a) F AC (b)F ACP

Figura 16: Representa¸cão gráfica das fun¸cões de Autocorrela¸cão e de Autocorrela¸cão Parcial da série Hidrelétrica.

Na Figura 16 é poss´ıvel perceber um decaimento na F AC e um corte brusco na primeira defasagem daF ACP . Este é o comportamento t´ıpico do modelo autorregressivo AR(1). Combinando com a parte sazonal, pode-se chegar a alguns modelos. A Tabela 4 apresenta as estat´ısticas de aderência dos modelos testados para os dados originais de gera¸cão de energia hidrelétrica.