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Códigos Corretores Notas de aula adicionais. Aula de 08/09/2009 PJEJ

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Códigos Corretores

Códigos Corretores – – Notas de aula Notas de aula adicionais

adicionais

Aula de 08/09/2009

PJEJ PJEJ

(2)

• Distância Mínima

– A distância mínima dmin expressa a capacidade de controle de erro de um dado código

– Ela é obtida selecionando a menor distância de Hamming entre todos os pares de palavras de código

• A distância mínima é a menor distância entre 2 vetores do código

– Quanto maior for a distância mínima de um código, mais diferentes são as palavras de código e maior é sua capacidade para detectar ou corrigir um erro

– A detecção de erros é sempre possível quando o número de erros é menor que a dmin

• Quando o no de erros > dmin palavra recebida é igual a uma palavra de código válida, não sendo possível detectar o erro

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos de Bloco Códigos de Bloco

(3)

– Utilizando um código com distância mínima d

min

, tem-se que:

• Pode-se detectar até t1 erros por palavra se: dmin > t1 + 1

• Pode-se corrigir até t2 erros por palavra se: dmin > 2 ⋅⋅⋅⋅ t2 + 1

• Pode-se corrigir até t2 e detectar até t1 > t2 erros por palavra se: dmin > t1 + t2 + 1

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos de Bloco Códigos de Bloco

(4)

• Distância de Hamming

– A distância de Hamming expressa o número de elementos diferentes entre 2 palavras de código

• Teorema 1

– Um código com distância mínima dmin > t1 + 1, pode detectar até t1 erros por palavra

• Teorema 2

– Um código com distância mínima dmin > 2 ⋅⋅⋅⋅ t2 + 1, pode detectar e corrigir até t2 erros por palavra

Correção de Erros

Correção de Erros – – Código de Bloco Código de Bloco

(5)

• Distância Mínima – Esfera de Decisão

– Considere dois vetores de código Y1 e Y2 de um código (n , k) num espaço n-dimensional:

– Pode-se verificar que é possível detectar t1 = dmin– 1 erros

• A única maneira de não detectar erros é se os erros transformaram a palavra de código em outra palavra válida (requer a mudança de dmin bits de código)

– Pode-se verificar que é possível corrigir t2 = (dmin– 1)/2 erros

• Se ocorrerem mais erros, a palavra recebida irá cair na esfera de decodificação de outra palavra de código

Correção de Erros

Correção de Erros – – Código de Bloco Código de Bloco

Y1 Z Y2 Y1 Z Y2

t2 t2

d(Y1 , Y2) = 2 t2 d(Y1 , Y2) < 2 t2

(6)

• Distância Mínima de Códigos de Bloco

– A distância mínima dmin de um código de bloco (n , k) é limitada por:

– A eficiência do código é dada por:

• Para os Códigos Verificadores de Paridade Simples

(n , n – 1) Rc = (n – 1) / n

• Para os Códigos de Repetição

(n , 1) Rc = 1 / n (a medida que repetição → ∞ , a taxa 0)

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos de Bloco Códigos de Bloco

1 k

n

d

min

= − +

n

R

c

= k

(7)

• Códigos de Golay

– São códigos de correção de erros cíclicos perfeitos (para correção 3 erros) que podem ser gerados pelos polinômios:

– Os códigos de Golay apresentam as seguintes características:

– A distância mínima é sempre igual a 7, de modo que podem detectar até 6 erros e corrigir até 3 erros:

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos de Códigos de Golay Golay

23

n = k = 12

1 t

2

7 ≥ ⋅

2

+

( )

2 4 5 6 10 11

1

p 1 p p p p p p

g = + + + + + +

( )

5 6 7 9 11

2

p 1 p p p p p p

g = + + + + + +

7

d

min

= 7 ≥ t

1

+ 1

(8)

• Códigos BCH

– Foram descobertos por Bose, Chaudhuri e Hocquenghem – São os códigos de correção de erros cíclicos mais

eficientes

• Constituem uma família de códigos de bloco cíclicos que englobam os códigos de Hamming

• Enquanto os códigos de Hamming conseguem detectar no máximo 2 erros e corrigir apenas 1, os códigos BCH permitem detectar e corrigir um número bastante grande de erros

– Exemplo: BCH (127, 64) pode corrigir até 10 erros

– Os códigos BCH apresentam p ≥≥≥≥ 3 e com:

– A distância mínima é dada por:

– Exemplo: p=5; (31,26); t=1 com g(x)=x5+x2+1 ou 45octal

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos BCH Códigos BCH

1 2

n =

p

− n − k ≤ p ⋅ t

1 t

2

d

min

= ⋅ +

(9)

• Códigos de Reed Solomon

– São um subconjunto dos códigos BCH que opera num nível de bloco ao invés de bit

– Em outras palavras, a seqüência de informação é

primeiramente empacotada em blocos menores que são tratados como um novo conjunto de k símbolos para serem empacotados num bloco supercodificado de n símbolos

– Dessa maneira, o decodificador é capaz de detectar e corrigir blocos completos de erros

– O emprego de códigos de Reed Solomon permite corrigir uma seqüência grande de erros (erros em rajadas) que ocorrer com freqüência nas transmissões em canais com desvanecimento e nas reproduções de CDs contendo riscos

• Normalmente são associados a entrelaçadores

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos Códigos Reed Reed Solomon

Solomon

(10)

– Os códigos de Reed Solomon (N, K) são uma subclasse dos BCH, não binários e apresentam:

– A distância mínima é dada por:

– E a capacidade de correção é dada por:

– Exemplo: p = 8; (255,223); t = 16 símbolos

– Outros: Códigos reduzidos, concatenados, turbo etc

Correção de Erros

Correção de Erros – – Códigos Códigos Reed Reed Solomon

Solomon

1 2

N =

p

− K = 1 , 2 , ..., N − 1

 

 

 −

= 2

K t N

1 K

N

d

min

= − +

(11)

Modula

Modula çã çã o Codificada o Codificada em Treli

em Treli ç ç a (TCM) a (TCM)

(12)

• Modulação Codificada em Treliça

Modulação Codificada em Treliça Modulação Codificada em Treliça – –

TCM TCM

Partição – 8PSK

(13)

• Modulação Codificada em Treliça

Modulação Codificada em Treliça Modulação Codificada em Treliça – –

TCM TCM

(14)

• Modulação Codificada em Treliça

Modulação Codificada em Treliça Modulação Codificada em Treliça – –

TCM TCM

(15)

• Modulação Codificada em Treliça

Modulação Codificada em Treliça Modulação Codificada em Treliça – –

TCM TCM

Referências

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