Cálculo da série de Fourier de uma função f(x) periódica, isto é, f (x+t) = f(x), dada em um intervalo qualquer [c,d], ou seja,com período T=2L=d-c

(1)

>

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Disciplina: MAT01168 -Matemática Aplicada -Semestre Letivo 2008/2

Professoras: Elisabeta Gallicchio e Irene Strauch TERCEIRA ÁREA

SÉRIES DE FOURIER UTILIZANDO O MAPLE

Aula do dia 05/11/2008

CASO II

Cálculo da série de Fourier de uma função f(x) periódica, isto é, f (x+T) = f(x), dada em um intervalo qualquer [c,d], ou seja,com período T=2L=d-c

A função f(x) é representada pela série

. Mas, d-c=T , então a série da função pode ser escrita na forma

. e, como T=2L, simplificando o argumento, tem-se que a base é o conjunto de funções {

}, como no CASO I , ou seja, reduz-se à mesma base utilizada na extensão normal.

Os coeficientes e , agora, são calculados com as fórmulas de Euler dadas por

, e

Observação: Para c= -L, estas fórmulas se reduzem às do CASO I.

A seguir, o período será denotado por T=2L = d-c e o cálculo da integral é feito no período T .

Exemplo 1 (

dado em aula)

Desenvolver em série de Fourier a função , 0< x <2 , sendo . Resolução:

restart:with(plots):with(plottools):assume(n,integer):interface

(2)

>

(2.1) (2.1)

>

(2.2) (2.2)

>

(showassumed=0):#Para não exibir n~

Warning, the name changecoords has been redefined Warning, the name arrow has been redefined

O período e a função são introduzidos de maneira simbólica:

T :=2*Pi;L:=T/2;

Dar entrada à função f:=x->x^2;

Gráfico da função dada no intervalo 0< x < 2

plot(f(x),x=0..T,thickness=2,titlefont=[COURIER,DEFAULT,16], labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16],axesfont=

[COURIER,DEFAULT,16],title=` f(x)=x^2, f(x+2)=f(x)`);

Gráfico do prolongamento periódico da função

h:=proc(x) if x>0 and x<2*Pi then f(x) elif x>2*

Pi then f(x-2*Pi) elif x>-2*Pi and x<0 then f(x+2*Pi) elif x>-4*Pi and x<-2*Pi then f(x+4*Pi)fi end:

G:=plot(h,-4*Pi..4*Pi,thickness=2,titlefont=[COURIER,DEFAULT,16], labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16],discont=true, axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=`f(x)=x^2, f(x+2Pi)=f(x)`):

G;

(3)

>

(2.5) (2.5) (2.3) (2.3)

>

(2.7) (2.7)

>

(2.4) (2.4)

(2.6) (2.6) Cálculo dos coeficientes da série de Fourier, para n =1,2,3,...

Lembrar que T=2L, portanto, para o cálculo dos coeficientes, as fórmulas acima serão reescritas de modo adequado.

a[n]:=int(f(x)*cos(2*n*Pi/T*x),x=0..T)/L;

Cálculo do coeficiente

a[0]:= simplify(int(f(x)/L,x=0..T));

A seguir, os coeficientes , para n=1,2,3,...

b[n]:=int(f(x)*sin(2*n*Pi/T*x),x=0..T)/L;

A série Fourier da função é

serie_f(x):=a[0]/2+ Sum(a[n]*cos(2*n*Pi/T*x)+b[n]*sin(2*n*Pi/T*

x),n=1..infinity);

Aproximar a função f(x) com a série truncada até n=3 termos.

f_ap3(x):=a[0]/2+ sum(a[n]*cos(2*n*Pi/T*x)+b[n]*sin(2*n*Pi/T*x), n=1..3);

Traçar os gráficos da função dada e da sua aproximação em série de Fourier truncada.

(4)

>

plot({f(x),f_ap3(x)},x=0..T,title=`Função e sua Série de Fourier, n=1..3`, thickness=2,titlefont=[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x",

"f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT, 16], color=[red,blue]);

Aumentando o número de termos, obtém-se uma melhor aproximação. Por exemplo, para n=1..10 termos

plot({f(x),f_ap10(x)},x=0..T,thickness=2, color=[red,blue], titlefont=[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=

[COURIER,DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=`A Função e sua Série de Fourier truncada (n=1..10)`);

(5)

>

(3.1) (3.1)

>

G1:=plot(f_ap10(x),x=-2*T..2*T,thickness=2, color=blue,titlefont=

[COURIER,DEFAULT,12],scaling=constrained,labels=["x", "f(x)"], labelfont=[COURIER,DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16]):

plots[display](G,G1,title=`A Função e a Série de Fourier`);

Exemplo 2

Determinar a série de Fourier da função definida no intervalo [0, ],

sendo que .

restart:with(plots):with(plottools):assume(n,integer):interface (showassumed=0):#Para não exibir n~

T := Pi;L:=T/2;

(6)

>

(3.1) (3.1)

>

(3.2) (3.2)

>

f:=x-> x*(Pi-x);

Traçar o gráfico da função f(x):

plot(f(x),x=0..T,thickness=2,titlefont=[COURIER,DEFAULT,14], labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16],scaling=

constrained,axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=` f(x)=x(Pi-x), f (x+Pi)=f(x)`);

h:=proc(x) if x>0 and x<Pi then f(x) elif x>Pi and x<2*Pi then f(x-Pi) elif x>-Pi and x<0 then f(x+Pi)elif x>-2*Pi and x<-Pi then f(x+2*Pi) fi end:

G:=plot(h,-2*Pi..2*Pi,thickness=2,scaling=constrained,titlefont=

[COURIER,DEFAULT,16],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER, DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=` f(x)=x(Pi-x), f (x+Pi)=f(x)`): G;

(7)

(3.4) (3.4) (3.1) (3.1)

>

(3.7) (3.7) (3.5) (3.5)

>

(3.3) (3.3)

>

(3.6) (3.6) Determinar os coeficientes da série de Fourier, para n =1,2,3,...

Lembrar que T=2L, portanto, para o cálculo dos coeficientes, as fórmulas acima serão reescritas de modo adequado:

Calcular o coeficiente

a[0]:= simplify(int(f(x),x=0..T)/L);

A seguir, os coeficientes , para n=1,2,3,...

b[n]:=int(f(x)*sin(2*n*Pi/T*x),x=0..T)/L;

A série Fourier da função é dada por

a[0]/2+ Sum(a[n]*cos(2*n*Pi/T*x)+b[n]*sin(2*n*Pi/T*x),n=1..

infinity);

Aproximar a função f(x) com a sua série truncada n=1..3 termos.

Traçar os gráficos da função dada e da sua aproximação com série de Fourier truncada.

"f(x)"],scaling=constrained,labelfont=[COURIER,DEFAULT,16], axesfont=[COURIER,DEFAULT,16], color=[red,blue]);

(8)

>

(3.8) (3.8)

>

(3.1) (3.1)

>

Como a função é suave, a convergência acontece rapidamente

Aumentando o número de termos, obtém-se uma melhor aproximação. Por exemplo, para n=1..5 termos:

plot({f(x),f_ap5(x)},x=0..T,scaling=constrained,title=`A Função e sua Série de Fourier, n=1..5`, thickness=2,titlefont=[COURIER, DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16], axesfont=[COURIER,DEFAULT,16], color=[red,blue]);

[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER, DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16]):

plots[display](G,G1,title=`A Função e a Série de Fourier`);

(9)

(4.2) (4.2) (3.1) (3.1)

>

(4.1) (4.1)

>

Exemplo 3

Considere-se a função, definida por partes: f(x)=1 se 0< x < , f(x)= -1, se < x <2 , período T=2 restart:with(plots):with(plottools):assume(n,integer):interface (showassumed=0):#Para não exibir n~

T:=2*Pi;L:=T/2;

f:=x->piecewise(x>0 and x<T/2,1,x>T/2 and x<T,-1);

Traçar o gráfico da função f(x):

plot(f(x),x=0..T,thickness=2,titlefont=[COURIER,DEFAULT,14], labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16],scaling=

constrained,discont=true,axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=` f (x)=1 se 0<x<Pi,f(x)=-1, se Pi<x<2Pi,f(x+2Pi)=f(x)`);

h:=proc(x)

(10)

>

(3.1) (3.1)

(4.4) (4.4)

>

(4.5) (4.5)

>

(4.3) (4.3)

(4.6) (4.6)

>

(4.7) (4.7) if x>0 and x<2*Pi then f(x) elif x>2*Pi and x<4*Pi then f(x-2*Pi) elif x>-2*

Pi and x<0 then f(x+2*Pi)elif x>-4*Pi and x<-2*Pi then f(x+4*Pi) fi end:

G:=plot(h,-4*Pi..4*Pi,thickness=2,scaling=constrained,discont=

true,titlefont=[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"], labelfont=[COURIER,DEFAULT,12],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16], title=` f(x)=1 se 0<x<Pi,f(x)=-1 se Pi<x<2Pi,T=2Pi`): G;

Calcular os coeficientes da série de Fourier desta função (note que a função não é par, nem é ímpar no período onde foi definida).

Calcular o coeficiente

a[0]:=simplify(int(f(x)/L,x=0..T));

e os coeficientes , para n=1,2,3..

b[n]:=int(f(x)*sin(2*n*Pi/T*x)/L,x=0..T);

infinity);

f_ap3(x):=a[0]/2+ sum(a[n]*cos(2*n*Pi/T*x)+b[n]*sin(2*n*Pi/T*x),

(11)

(4.9) (4.9) (3.1) (3.1)

>

(4.7) (4.7)

(4.8) (4.8) n=1..3);

Traçar os gráficos da função dada e a sua aproximação com série de Fourier truncada, para um certo número de termos: a) n=1..3

b) n=1..5

plot({f(x),f_ap5(x)},x=0..T,scaling=constrained,title=`Função e sua Série de Fourier, n=1..5`, thickness=2,titlefont=[COURIER, DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16], axesfont=[COURIER,DEFAULT,16], color=[red,blue]);

c) Para n=1..15

(12)

(4.9) (4.9) (3.1) (3.1)

>

(4.10) (4.10)

>

(4.7) (4.7)

>

> plot({f(x),f_ap15(x)},x=0..T,scaling=constrained,title=`Função e sua Série de Fourier, n=1..15`, thickness=2,titlefont=[COURIER, DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16], axesfont=[COURIER,DEFAULT,16], color=[red,blue]);

Note que a função é suave por partes no intervalo, então a convergência da série truncada (somas parciais dos termos) só acontece para um número maior de termos. Para n=1..25

[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,

(13)

>

(4.9) (4.9)

>

(3.1) (3.1)

>

(5.1) (5.1)

>

(5.2) (5.2)

>

(4.7) (4.7)

DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16]):

plots[display](G,G1,scaling=unconstrained,title=`A Função e a Série de Fourier`);

Observe os pontos onde a função é descontínua. Aparecem oscilações. Note que, mesmo aumentando o número de termos na série truncada, as oscilações não desaparecem. Alí, acontece a convergência em média f(x)=(f(t+) +f(t

-

))/2, ou seja, para a média dos valores limites da função no ponto (fenômeno de Gibbs, mínimo valor 9% da descontinuidade ordinária). Agora, observe o eixo das ordenadas e

verifique o mínimo valor da oscilação.

Exemplo 4

Considere-se a função definida por partes:

f(x)= 2x para 0 < x < T / 4, f(x)= (4-2x) / 3 para T / 4 < x < T, período 2

Para dar entrada a esta função, utiliza-se o comando"piecewise", que permite definir as partes.

Determinar a série de Fourier desta função:

Note que T=2L

restart:with(plots):with(plottools):assume(n,integer):interface (showassumed=0):#Para não exibir n~

T:=2;L:=T/2;

f:=x->piecewise(x>0 and x<T/4,2*x,T/4<x and x<T,(4-2*x)/3);

Traçar o gráfico da função dada no período:

plot(f(x),x=0..T,thickness=2,discont=true,titlefont=[COURIER, DEFAULT,14],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER,DEFAULT,16], scaling=constrained,axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=`f(x)=2x se 0<x<T/4,f(x)=(4-2x)/3 se T/4<x<T, T=2 `);

(14)

>

(4.9) (4.9)

>

(3.1) (3.1)

>

(5.3) (5.3) (4.7) (4.7)

h:=proc(x) if x>0 and x<2 then f(x) elif x>2 and x<4 then f(x-2) elif x>-2 and x<0 then f (x+2)elif x>-4 and x<-2 then f(x+4) fi end:

G:=plot(h,-4..4,thickness=2,scaling=constrained,discont=true, titlefont=[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=

[COURIER,DEFAULT,12],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16],title=`f(x)=2x se 0<x<T/4,f(x)=(4-2x)/3 se T/4<x<T, T=2`): G;

Calcular os coeficientes da série de Fourier, para n =1,2,3,...

a[n]:=simplify(int(f(x)*cos(2*n*Pi/T*x)/L,x=0..T));

(15)

(4.9) (4.9)

>

(3.1) (3.1)

>

(5.4) (5.4)

>

(4.7) (4.7)

(5.7) (5.7) (5.5) (5.5)

(5.6) (5.6) Calcular o coeficiente

a[0]:=simplify(int(f(x)/L,x=0..T));

Calcular os coeficientes para n=1,2,3...:

b[n]:=simplify(int(f(x)*sin(2*n*Pi/T*x)/L,x=0..T));

infinity);

Traçar os gráficos da função dada e a sua aproximação com série de Fourier truncada, para um certo número de termos: a) n=1..3

(16)

>

(4.9) (4.9) (3.1) (3.1)

>

(5.9) (5.9)

>

(4.7) (4.7)

(5.8) (5.8) b) n=1..5

c) Para n=1..10

(17)

(4.9) (4.9) (3.1) (3.1)

>

(5.9) (5.9)

>

(4.7) (4.7)

Note que a convergência é perfeita. Parece um único gráfico

[COURIER,DEFAULT,12],labels=["x", "f(x)"],labelfont=[COURIER, DEFAULT,16],axesfont=[COURIER,DEFAULT,16]):

plots[display](G,G1,scaling=unconstrained,title=`A Função e a Série de Fourier`);

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