• Nenhum resultado encontrado

AULA 01. Conjunto formado pelo conjunto N (números naturais) e os números inteiros negativos. Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "AULA 01. Conjunto formado pelo conjunto N (números naturais) e os números inteiros negativos. Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}"

Copied!
44
0
0

Texto

(1)
(2)
(3)

AULA 01

1) Números inteiros

Conjunto formado pelo conjunto N (números naturais) e os números inteiros negativos.

N = {0, 1, 2, 3...}, logo:

Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}

Obs.: Z* = {...-3, -2, -1, 1, 2, 3....}

Z+ = {0, 1, 2, 3....}

Z- = {...-3, -2, -1, 0}

Z*+ = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}

Z*- = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}

a. Relação de ordem

Identifica os números iguais, maiores e menores.

Todos os números são maiores do que os que estão à sua esquerda.

b. Módulo (Valor absoluto)

Valor absoluto de um número é o número, desconsiderando seu sinal.

|-5|= 5; |-1|= 1; |+3|= 3

c. Números opostos (simétricos)

Números de mesmo valor absoluto e sinais contrários. Por exemplo, -7 e +7 são opostos (simétricos)

d. Adição, subtração, multiplicação e divisão i. Adição e subtração

Para sinais iguais, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal. Se os sinais forem diferentes, subtraímos os valores absolutos e conservamos o sinal do maior.

+2+3 = +5 -2-4 = -6 -5+2 = -3 +5-2=+3

(4)

ii. Multiplicação e divisão

Multiplica-se ou divide-se os valores absolutos e usa-se a regra dos sinais: resultado positivo se sinais iguais e resultado negativo se diferentes.

(+4) . (+3) = +12 (-2) . (-4) = +8 (-20) : (+5) = -4 (-30) : (-6)=+5

e. Potenciação e radiciação

Potenciação é a multiplicação de fatores iguais. Composta de base, expoente e potência.

24 = 16 = 2.2.2.2; 2 é a base, 4 o expoente e 16 a potência

Para o caso de bases negativas, devemos considerar o expoente: se o expoente for ímpar o resultado é negativo. Se for par, o resultado é positivo.

(-3)3 = -27; (-3)4 = +81; (+3)3 = +27 Obs.: se a base for positiva o resultado sempre será positivo

Não esquecer: Todo número elevado a zero é sempre igual a 1

Radiciação é o inverso da potenciação. O resultado é obtido achando-se o número que, elevado ao índice, resulte no radicando.

4

16

= 2; 24 = 16; 4 é o índice, 16 é o radicando e 2 é a raiz f. Expressões numéricas

Resolve-se as expressões inicialmente pelas potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem.

Depois as multiplicações e divisões e só então as adições e subtrações. Além disso, deve-se eliminar os sinais de associação sempre na seguinte ordem:

1º parênteses ( ) 2º colchetes [ ] 3º chaves { }

Exercícios de fixação:

1- Resolva as operações:

a. (-44):(-4) + (-5).(+2) = b. [(-3)3.(-2)2]:(+6)2 =

c. (–1)10 + (–1)24 . (–1)35 · (–1)41 = d. (–7)³ · (–2)² + (–5)³ + (–6)² : 4 =

e. 4 – [22 · (–3) – (–3)2 · (–2)] – 60 : [(–2)2 · 5 – 23] = f.

81 ⋅ 16 − 121 ⋅ 64 =

g.

10

2

− 8 − 8 ⋅ 7 − 20 ⋅ 14 =

Respostas: a=1; b=-3; c=2; d=-1488; e=-7; f=-52; g=-274

(5)

são inteiros e o denominador é diferent

Q* = racionais Q+

Q-

Q*

Q*

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um número finito de

vírgula ( 3/4 = 0,75;

dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

0,9 = 9/10;

quantos 9 forem os algarismos do número que se repete.

que se repete e deixá 0,333....

zero.

2) Números racionais

Os números que podem ser expressos na forma de fração são inteiros e o denominador é diferent

Q = {m/n Q* = racionais

+ = racionais = racionais Q*+ = racionais Q*- = racionais

De forma geral temos o seguinte

a.

Supondo um número racional

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um número finito de

vírgula (decimais periódicos 3/4 = 0,75;

Para transformar números decimais em frações deve

dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

0,9 = 9/10;

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar quantos 9 forem os algarismos do número que se repete.

que se repete e deixá 0,333.... = 3/9

b.

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao zero.

Números racionais

Os números que podem ser expressos na forma de fração são inteiros e o denominador é diferent

m/n: m e n em Z, Q* = racionais não nulos

= racionais não negativos

= racionais não positivos

= racionais positivos

= racionais negativos

De forma geral temos o seguinte

Frações e decimais Supondo um número racional

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um número finito de algarismos após a vírgula (

decimais periódicos 35/8 = 4,375;

Para transformar números decimais em frações deve

dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

0,76 = 76/100;

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar quantos 9 forem os algarismos do número que se repete.

que se repete e deixá-lo após a v

4,3232... = 4+0,3232... = 4+32/99 Módulo

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao Números racionais

Os números que podem ser expressos na forma de fração são inteiros e o denominador é diferent

em Z, n diferente de zero}

não negativos não positivos

De forma geral temos o seguinte

e decimais Supondo um número racional

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um algarismos após a vírgula (

decimais periódicos ou dízimas periódicas 35/8 = 4,375; 1/3 = 0,333....

Para transformar números decimais em frações deve

dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

/100; 32,17 = 3217/100

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar quantos 9 forem os algarismos do número que se repete.

lo após a vírgula:

4,3232... = 4+0,3232... = 4+32/99

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao Os números que podem ser expressos na forma de fração

são inteiros e o denominador é diferente de zero.

diferente de zero}

De forma geral temos o seguinte diagrama:

Supondo um número racional m/n, tal que

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um algarismos após a vírgula (decimais exatos

dízimas periódicas 1/3 = 0,333....

Para transformar números decimais em frações deve

dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

32,17 = 3217/100

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar quantos 9 forem os algarismos do número que se repete.

írgula:

4,3232... = 4+0,3232... = 4+32/99

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao Os números que podem ser expressos na forma de fração

e de zero. A notação dos números racionais é:

diferente de zero}

diagrama:

, tal que m não seja múltiplo de

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um decimais exatos

dízimas periódicas):

36/7 = 5,147857....

Para transformar números decimais em frações deve

dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar quantos 9 forem os algarismos do número que se repete. Mas atenção

4,3232... = 4+0,3232... = 4+32/99

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao Os números que podem ser expressos na forma de fração (ou razão)

A notação dos números racionais é:

não seja múltiplo de

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um decimais exatos) ou com número infinito de algarismos após a

36/7 = 5,147857....

Para transformar números decimais em frações deve-se considerar o caso de decimais exatos ou dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar Mas atenção,

7,123123...=7+123/999

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao (ou razão), onde o numerador e denominador A notação dos números racionais é:

não seja múltiplo de n. Para represent

decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um com número infinito de algarismos após a

36/7 = 5,147857....

se considerar o caso de decimais exatos ou dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar , para isso é necessário isolar o termo

7,123123...=7+123/999

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao , onde o numerador e denominador A notação dos números racionais é:

. Para representá-lo na forma de decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um com número infinito de algarismos após a

se considerar o caso de decimais exatos ou dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no denominador, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado:

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar é necessário isolar o termo

7,123123...=7+123/999

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao , onde o numerador e denominador

lo na forma de decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um com número infinito de algarismos após a

se considerar o caso de decimais exatos ou dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar é necessário isolar o termo

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao , onde o numerador e denominador

lo na forma de decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Assim, podem acontecer decimais com um com número infinito de algarismos após a

se considerar o caso de decimais exatos ou dízimas. Para decimais exatos basta copiar, no numerador, o decimal sem a vírgula e colocar o número 1 no

Para as dízimas basta compor o numerador com o número que se repete e no denominador colocar é necessário isolar o termo

Mesmo raciocínio dado aos números inteiros, agora considerando a distância do número racional ao

(6)

c. Números opostos

Idem aos números inteiros, considerando que a distância de números opostos ao ponto de abcissa zero é igual.

d. Adição e subtração

A adição e subtração de números racionais segue a regra de adição e subtração de frações. Com denominadores iguais, repete-se o denominador e soma-se (ou subtrai-se) os numeradores. Para denominadores diferentes, acha-se o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores, divide-se por cada denominador e multiplica-se pelo seu respectivo numerador. De forma genérica, temos:

yq py xq q p y

x ± = ±

15 7 35 15

4 15

31 + = =

24 7 24

3 10 8 1 12

5 − = − =

15 2 5 1 3 1 − =

Propriedades da adição:

- Comutativa: x+y = y+x

- Associativa: x+(y+z) = (x+y)+z - Elemento neutro: x+0 = x - Elemento oposto: x+(-x) = 0

e. Multiplicação e divisão

Para a multiplicação de números racionais é suficiente multiplicarmos os numeradores e os denominadores em separado, resultando um novo numerador e denominador e respeitando-se as regras de sinais já estabelecidas:

 

 

 −

=

 

 

 −

 

 

 +

15 2 3

. 1 5

2 

 

 +

=

 

 

 −

 

 

 −

26 12 2

. 3 13

4

Propriedades da multiplicação:

- Comutativa: x.y = y.x - Associativa: x.(y.z) = (x.y).z - Distributiva: x.(y+z) = (x.y) + (x.z) - Elemento neutro: x.1 = x

- Elemento inverso:

. = 1 x y y

x

; se

≠ 0

y x

A divisão de números racionais é igual a multiplicação, desde que o segundo número seja invertido:

6 . 3

2 : 1

2   −

 

 

 

=

 

 

 

 

3 8

4 :

=

 

 

 

 

(7)

f. Potenciação e radiciação

Tal qual os números naturais, a potenciação do número racional é a multiplicação de fatores iguais, composta de base, expoente e potência.

125 8 5

2 5 2 5 2 5

2

3

 = −

 

 −

 

 

 −

 

 

 −

=

 

 

 −

Propriedades da potenciação:

8 1 3

0

=

 

 

 − 

 

 −

=

 

 

 −

8 3 8

3

1

9 64 3

8 8

3

2 2

=

 

 

 −

=

 

 

 −

- Toda potência com expoente impar tem o mesmo sinal da base:

27 8 3

2 

3

= −

 

 −

- Toda potência com expoente par é positiva:

81 16 3

2 

4

= −

 

 −

- Produto de potências de mesma base. Conserva-se a base e somam-se os expoentes:

7 3

4

5 2 5

2 5

2 

 

 −

=

 

 

 −

 

 

 −

- Divisão de potências de mesma base. Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes:

 

 

 −

=

 

 

 −

 

 

 −

5 2 5

: 2 5

2

4 3

- Potência de potência. Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes:

2 8 4

5 2 5

2 

 

 −

 =

 

 

 

 −

A radiciação de números racionais também é obtida sendo o inverso da potenciação. Alguns exemplos devem ser expostos para uma melhor fixação:

25 4 5

2 5 2 25

4

2

=

 

 

⇒ 

= 3

2 81

4

16 =

3

0 , 027 = 0 , 3

=

− 0 , 16

?

(8)

Exercícios de fixação:

1- Resolva as operações:

a.

 =

 

 

 

 − +

 

 

 −

− 4

3 6 7 8

1 12

5 24

7

b.

 =

 

 −

 −

 

  +

 

 −

 

 

2 7 4 9 2 5 12 : 1 16

3

c.

 

 

 

 −

− 4

: 3 2 1 24

13

3

2- Transforme em fração:

a. 2,08 = b. 1,4 = c. 0,017 = d. 32,17 =

3- Reduza a uma potência:

a.

4 3 7

3 : 2 3 . 2 3

2 

 

 

 

 

 

b.

4 12

25 : 16 25

16 

 

 −

 

 

 −

4- No dia do lançamento de um prédio de apartamentos,

3

1

desses apartamentos foi vendido e

6 1

foi reservado. Qual a fração do total de apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

5- Em um pacote há

5

4

de 1Kg de açúcar. Em outro pacote há

3

1

. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

Respostas: 1)a=5/12; b=15/4; c=13/144; 2)a=52/25; b=7/5; c=17/1000; d=3217/100; 3)a=(2/3)6; b=(- 16/25)8 ; 4)1/2; 5)7/15

(9)

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 08/2011)

2- (Escriturário BB – 03/2011)

(10)

3- (Escriturário BB – 03/2011)

4- (Escriturário BB – 03/2011)

Gabarito: 1)c; 2)c; 3)a; 4)b

(11)

Aula 02

1) Expressões numéricas

a. Expressões algébricas, variáveis e valor numérico

Expressões que contém letras e números, sendo as letras chamadas de variáveis. O valor numérico é o resultado que se obtém quando substituímos as variáveis por números.

O valor numérico de X3+y2, para x = 1 e y = 2 é 5.

b. Adição e subtração

Para somar ou subtrair expressões algébricas basta somar ou subtrair os termos semelhantes.

x3+y5-x2z2+2x3-3y5+4x2z2 = 3x3-2y5+3x2z2 (x3+2y2+1) – (y2-2) = x3+y2+3

c. Multiplicação e divisão

Para multiplicar ou dividir expressões algébricas usamos a propriedade distributiva.

x(x2+y) = x3+xy (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by (a-b)(x+y) = ax+ay-bx-by (6x3-8x):2x = 3x2-4 (x4-5x3+9x2):(x2) = x2-5x+9

Exercícios de fixação:

1- Resolva as operações:

a.

 

 + x x 1

6 =

b. (3x2+2x-1)+(-2x2+4x+2) = c. (2x+3)(4x+1) =

d. (x-y)(x2-xy+y2) = e. (3x-y)(3x+y)(2x-y) =

Respostas: a=6x+6/x; b=-6x4+8x3+16x2-2; c=8x2+14x+3; d=x3-2x2y+2xy2-y3; e=18x3-9x2y-2xy2+y3 2) Múltiplos e divisores de números naturais

14 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 14.

14:2 = 7

(12)

a. Conjunto dos múltiplos

É obtido multiplicando-se um número pela sucessão dos números naturais 0, 1, 2, 3.... O conjunto dos múltiplos de 4 é: M(4) = {0,4,8,16,20,24...}

Obs.:

Todo número natural é múltiplo de si mesmo Todo número natural é múltiplo de 1

Todo elemento do conjunto N* tem infinitos múltiplos Zero é múltiplo de qualquer número natural

b. Divisibilidade

Regras práticas para saber se um número é divisível ou não por outro, sem a necessidade de efetuar a divisão.

• Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se ele for par. Ex: 9656, 4321.

• Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é divisível por 3. Ex: 354, 5332.

• Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se seus dois últimos algarismos são 00 ou são divisíveis por 4. Ex: 15300, 632, 1521.

• Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se seu último algarismo for 0 ou 5. Ex: 5620, 78245, 6841.

• Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3. Ex: 430254, 80530.

• Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o número formado pelos algarismos, sem o último, e o dobro do último for divisível por 7. Ex: 41909, 364609.

• Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 se seus três últimos algarismos são 000 ou são divisíveis por 8. Ex: 153000, 6032

• Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é divisível por 9. Ex: 6253461, 325103.

• Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 se termina em 0.

• Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 se a diferença ente a soma dos algarismos de posição impar e a soma dos algarismos de posição par é um número divisível por 11. Ex: 43813, 83415721

• Divisibilidade por 12: um número é divisível por 12 se for divisível por 3e por 4. Ex: 78324, 863104

• Divisibilidade por 15: um número é divisível por 15 se for divisível por 3e por 5. Ex: 650430, 673225.

(13)

3) Problemas

Normalmente a solução de problemas envolve as adições e subtrações e posteriormente as multiplicações e divisões. Depois se faz necessária a criação de equações matemáticas com variáveis (letras) para a resposta genérica. Se for necessário, substitui-se as variáveis pelos valores numéricos encontrando-se, finalmente, a solução.

Exercícios de fixação:

1- A soma de 3 números pares consecutivos é 96. Determine-os.

2- O triplo de um número natural somada a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o.

3- A idade de um pai é igual ao quádruplo da idade do seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual a idade atual de cada um?

4- O dobro de um número adicionado ao ser triplo corresponde a 20. Qual é o número?

5- Em uma fazenda existem galinhas e coelhos, totalizando 35 animais e 100 pés. Qual o total de galinhas e coelhos na fazenda?

6- Verificou-se que numa feira 5/9 dos feirantes são de origem japonesa e 2/5 do resto são de origem portuguesa. O total de feirantes japoneses e portugueses é 99. Qual o total de feirantes?

7- Num dia, uma pessoa lê 3/5 de um livro. No dia seguinte, lê ¾ do restante e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais. Quantas páginas tem o livro?

8- A soma das idades de Lúcia e Gabriela é 49 anos. Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é ¾ da idade de Gabriela?

9- Um aluno escreve 3/8 do total das páginas de seu caderno com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, assim, 7/9 do total de páginas do caderno. Quantas páginas possui o caderno?

Respostas: 1) 30,32,34; 2)7; 3)p=40, f=10; 4)4; 5)g=20, c=15; 6)135; 7)200; 8)L=21,G=28; 9)36

(14)

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 02/2011)

2- (Escriturário BB – 06/2010)

3- (Escriturário BB – 08/2011)

(15)

4- (Escriturário BB – 03/2011)

Gabarito: 1)e; 2)c; 3)b; 4)a

(16)

Aula 03

1) Frações e operações com frações

a. Adição e subtração

Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador. Temos que analisar dois casos:

i. Denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

ii. Denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações.

Ex:

2

5 5 4 +

Obtendo o MMC dos denominadores temos MMC (5,2) = 10.

b. Multiplicação e divisão

Nas multiplicações de frações multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.

(17)

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Sempre simplifique, caso necessário.

5 48 1 3 1 2 5 8 3 : 1 2 : 1 5

8 = X X =

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 01/2013)

(18)

2- (Escriturário BB – 08/2011)

3- (Escriturário BB – 03/2011)

(19)

4- (Escriturário BB – 02/2011)

5- (Ass. Adm. PMMG – 03/2012)

Gabarito: 1)d; 2)d; 3)e; 4)a; 5)c

(20)

Aula 04

1) Números e grandezas proporcionais

a. Razão

A razão é simplesmente o quociente entre dois números. Apesar de ser representada por um número racional, é lida de forma diferente.

Ex1: a razão entre 30 e 50 é

50 30

=

5

3

, já a razão entre 50 e 30 é

3 5

Ex2: Se numa sala de aula há 18 homens e 24 mulheres, a razão entre o número de homens e mulheres é

4

3

. Já a razão entre o número de mulheres e o total de alunos é

21

12

, o que significa que, para cada 21 alunos, 12 são mulheres.

b. Proporção

Proporção é a igualdade entre 2 razões.

3 1

=

12

4

(1 está para 3 assim como 4 está para 12)

Não esquecer: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Ex: A bula de um remédio indica 7 gotas para cada 1Kg da criança. Quantas gotas devem ser dadas para uma criança de 8 Kg? E se fosse sabido que a criança precisa tomar 28 gotas, qual seria o peso da criança?

1 7

=

8

x

=> 42 gotas

7 1

=

28

x

=> 4 gotas

c. Propriedades da proporção

a. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro (segundo) assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro (quarto).

3 4

=

6 8

=>

4 ) 3 4 ( +

=

8 ) 6 8 ( +

=>

4 7

=

8 14

b. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

2 3

=

6 9

=>

6 2

9 3

+ +

=

2 3

=>

8 12

=

2

3

(21)

Exercícios de fixação:

1- Em um mapa, a distância em linha reta entre duas cidades é 10 cm. Sabendo que a distância real entre elas é 3.000km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?

2- A cidade de POA ocupa uma área aproximada de 500 Km2 e tem uma população de 1.500.000 habitantes, segundo o censo 2011. Qual é a densidade demográfica de Porto Alegre?

3- A diferença entre dois números é 65. Sabendo que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4, calcule esses números.

4- Em um galão, estão misturados água e tinta à razão de 9 para 5. Sabendo que há 81 litros de água na mistura, qual o volume total?

Respostas: 1)1:30.000.000; 2)3.000 hab/km2; 3)117,52; 4)126 2) Divisão em partes proporcionais

a. Diretamente

Deve-se montar um sistema com quantas equações forem o número de incógnitas.

Ex1: determinar dois números diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo que a diferença entre eles é 60.

36

; 96 5 12

60 3 8 3

8 = = => = =

= −

= y x y x y

x

Ex2: determinar os números diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, sabendo que o dobro do primeiro, somado ao triplo do segundo e subtraído do quádruplo do terceiro é igual a 120.

90

; 60

; 30 8 15

120 6 . 4 4 . 3 2 . 2

4 3 2 6 4

2 = − => = − = − = −

= −

− +

= +

=

= b c a b c a b c

a

b. Inversamente

Segue-se a mesma linha de raciocínio da divisão em partes diretamente proporcionais (montar um sistema com quantas equações forem o número de incógnitas) com a diferença na construção dos denominadores.

Ex1: determinar dois números inversamente proporcionais a 8 e 3, sabendo que a diferença entre eles é 60.

96

; 36

; 288 24

5 60 24

8 3 3 1 8

1 x = y = x − − y = − = − x = − y = −

Ex2: determinar os números inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, sabendo que o dobro do primeiro, somado ao triplo do segundo e subtraído do quádruplo do terceiro é igual a 10.

13

; 20 13

; 30 13 60 13

120 6 1 4 1 2

1 = b = c = => a = b = c =

a

(22)

3) Regra de três a. Simples

É o processo usado para resolver problemas envolvendo duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Ex1: Se um carro faz 180km com 15 litros de combustível, quantos litros ele gastaria para percorrer 210km?

Ex2: Ao participar de uma corrida, um piloto faz um percurso em 18 segundos com uma velocidade média de 200km/h. Se sua velocidade fosse aumentada para 240km/h, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

b. Composta

É o processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Ex1: Em 4 dias, 8 máquinas produzem 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas levaria para produzir 300 peças?

Exercícios de fixação:

1- Duas torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras encheriam esse mesmo tanque?

2- Com 3 pacotes de pão, Samanta faz 63 sanduíches. Quantos pacotes ela precisa para fazer 105 sanduíches?

3- Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.

Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

Respostas: 1)30; 2) 5; 3)15 dias

4) Porcentagem e problemas

Denomina-se porcentagem a medida da razão que apresenta como base o número 100 (razão centesimal). Assim, admitindo a razão 2/5, podemos transformá-la em centesimal se multiplicarmos o numerador e o denominador por 20.

Desse modo a razão centesimal 40 para 100 é equivalente à expressão 40 por cento e pode ser representada por 40% (forma porcentual).

Um método fácil de expor a forma porcentual de uma razão é achando a sua forma decimal (dividindo o numerador pelo denominador), e multiplicando-a por 100.

5

2

= 0,4 (forma decimal)

0,4 . 100 = 40% (forma porcentual)

(23)

a. Aumento percentual e aumento sucessivo

É o resultado direto do percentual aplicado sobre um dado valor inicial. Basta somar o percentual dado, representado na forma de decimal, à unidade e multiplicar pelo valor inicial.

Para o caso de aumentos sucessivos, basta multiplicar os fatores dos aumentos individuais.

Ex1: Um produto que custava V teve um aumento de x%. Qual seu valor final?

Vf = V + x % de V =>Vf = V +

x V

 

 

100

=>Vf = V

 

 + 1 100 x

Ex2: Um produto que custava R$ 100,00 sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Qual o preço final do produto?

Pf = 100 (1+0,2)(1+0,2) =>Pf = 100 (1,2)2 =>Pf = R$ 144,00 b. Desconto percentual e desconto sucessivo

Tem o mesmo raciocínio do aumento percentual, com o sinal de subtração no lugar da adição.

Vf = V - x % de V =>Vf = V-

x V

 

 

100

=>Vf = V

 

 − 1 100 x

Para o caso de descontos sucessivos, também multiplicam-se os fatores dos aumentos individuais.

Ex1: Um produto que custava R$ 120,00 sofreu dois descontos sucessivos de 10% e 20%. Qual o preço final do produto?

Pf = 120 (1-0,1)(1-0,2) =>Pf = 120 (0,9)(0,8) =>Pf = R$ 86,40

Ex2:Maria decidiu fazer uma economia e guardou 45 % do seu salário. Se o salário dela é de R$ 900, quanto de dinheiro Maria juntou?

45% de 900 = 0,45 . 900 = 405 (reais)

Ex3:Uma TV de plasma que custava R$ 1.200 passou a custar R$ 900 durante uma promoção. Qual foi a porcentagem de desconto da TV?

Desconto = 1200 – 900 = 300 (reais)

A questão também poderia ser resolvida assim:

Fator de aumento

Fator de desconto

(24)

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 04/2006 - DF)

2- (Escriturário BB – 08/2011)

3- (Escriturário BB – 06/2010)

(25)

4- (Escriturário BB – 06/2010)

5- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)

6- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)

(26)

7- (Escriturário BB – 04/2006 - SP)

8- (Escriturário BB – 08/2011)

9- (Escriturário BB – 06/2010)

(27)

10- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)

11- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)

12- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)

(28)

Aula 05

1) Estatística Descritiva

a. Média aritmética simples

A média dos elementos de um conjunto numérico é a soma de todos os seus elementos, dividida pela quantidade de elementos.

Ex: qual a média aritmética entre os números 3,4,6,9 e 13?

X = 7

b. Média aritmética ponderada

A média dos elementos de um conjunto numérico é a soma dos produtos de cada elemento, multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.

Ex: qual a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3 e 5, respectivamente?

X = 18

Exercícios de fixação:

1- Em uma sala do 1º ano do ensino médio, 10 alunos possuem 14 anos, 12 possuem 15 anos e 8 possuem 16 anos. Qual é a idade média dessa turma?

2- Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

3- Calcule a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada:

Profissionais Quantidade Salário

Auxiliares 20 R$ 640,00

Técnicos 10 R$ 1.680,00

Engenheiros 5 R$ 3.200,00

Respostas: 1)14,933...; 2)6,45; 3)R$ 1.302,85

(29)

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 01/2013)

2- (Escriturário BB – 08/2011)

(30)

3- (Escriturário BB – 03/2011)

4- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)

5- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)

(31)

6- (Escriturário BB – 04/2006 - SP)

Gabarito: 1)a; 2)c; 3)b; 4)e; 5)c; 6)e

(32)

uma rápida interpretação dos valores apresentados.

distribuídos.

O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite uma rápida interpretação dos valores apresentados.

O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores distribuídos.

Usemos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

2) Gráficos de Barras

variáveis

colunas.

O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite uma rápida interpretação dos valores apresentados.

O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

Gráficos de Barras

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos variáveis – todos alinhados na base

Se a apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de colunas.

O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite uma rápida interpretação dos valores apresentados.

O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

Gráficos de Barras

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos todos alinhados na base

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite uma rápida interpretação dos valores apresentados.

O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos todos alinhados na base – indicando os valores analisados.

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de

Aula 06

O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite uma rápida interpretação dos valores apresentados.

O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos indicando os valores analisados.

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores

mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos indicando os valores analisados.

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores

mos, como exemplo, os dados da tabela representada abaixo:

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos indicando os valores analisados.

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de O gráfico é uma forma de representar os dados mediante uma visualização imediata. Ele permite O importante para analisar uma questão é determinar o significado dos eixos e os valores

O gráfico em barras é a representação por meio de figuras retangulares com tamanhos

apresentação dos retângulos estiver na vertical, o gráfico é chamado de gráfico de

(33)

3) Gráficos de Setor

representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência

4) Gráficos Linhas

utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para mostrar tendências ao longo do tempo.

Gráficos de Setor

Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo, representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência

Gráficos Linhas

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para mostrar tendências ao longo do tempo.

Gráficos de Setor

Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo, representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para mostrar tendências ao longo do tempo.

Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo, representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para mostrar tendências ao longo do tempo.

Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo, representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo, representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo, representando o total, é dividido proporcionalmente à frequência dos dados.

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo,

dos dados.

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo,

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para Também conhecido como gráfico de pizza é uma representação onde um círculo,

Muito usado para mostrar crescimento, decrescimento e estabilidade, o gráfico de linhas é utilizado para a representação poligonal de algum dado. É a melhor representação gráfica para

(34)

5) Infográficos

infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o leitor tenha tantas informações quanto possível.

Infográficos

A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o leitor tenha tantas informações quanto possível.

A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o leitor tenha tantas informações quanto possível.

A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o leitor tenha tantas informações quanto possível.

A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o leitor tenha tantas informações quanto possível.

A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o A melhor definição para infográficos seria a junção das palavras informação + gráficos.Os infográficos normalmente contêm breves textos com ilustrações em sua apresentação de modo que o

(35)

Fonte: visualoop.com.br visualoop.com.br visualoop.com.br – out/2012out/2012

(36)

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 01/2013)

(37)

2- (Escriturário BB – 01/2013)

(38)

3- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)

Gabarito: 1) 21-e; 22-a; 2) 23-b; 24-c; 25-e; 3)d

(39)

Aula 07

6) Juros simples

Os juros são uma quantia em dinheiro paga a um credor por um devedor, referente à remuneração ocasionada por um empréstimo. É necessário nos familiarizarmos com as nomenclaturas usadas neste tipo de transação.

O dinheiro que se empresta e sobre o qual são calculados todos os juros é chamado de capital e representado pela letra C.

Os juros são representados pela letra J.

O tempo durante o qual é contratado o empréstimo é denominado n.

A taxa de juros – razão centesimal que incide sobre o capital – é representada por i.

O valor final a ser pago é o montante e representado por M.

a. Cálculo dos juros simples

Se for aplicado uma taxa de juros i a um capital C, durante n períodos consecutivos sob o regime de capitalização simples, os juros formados no final de cada período serão iguais. Assim:

J = C.i.n

E o montante, que é a soma do capital com os juros, seria:

M = C + J = C(1+i.n)

Ex1: Quais os juros de um capital de R$ 1.000,00, colocado a uma taxa de 1,5 % a.m., durante 6 meses?

J = 1000.0,015.6 =>J = R$ 90,00

Ex2: Qual o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado a uma taxa de 1% a.m. durante 1 ano e meio?

M = 1200 (1+0,01.18) =>M = R$ 1.416,00

Ex3: A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 e que rendeu, em 3 anos, R$

36.000?

i= 100 X (36000)/(20000.3) =>i= 60% a.a.

7) Juros compostos

No regime de capitalização composta os juros obtidos, ao final de cada período, são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. É o chamado juros sobre juros.

O crescimento do montante sob o regime de juros compostos cresce exponencialmente enquanto que, no regime de juros simples, o crescimento do montante é linear.

(40)

a. Cálculo dos juros compostos

Se for aplicado uma taxa de jurosia um capital C, durante n períodos consecutivos sob o regime de capitalização composta, os juros formados no final de cada período serão:

J1 = M0.i J2 = M1.i J3 = M2.i

E o montante é dado por:

C = M0

M1 = M0 + J1 = M0 + M0.i= C(1+i) M2 = M1 + J2 = M1 + M1.i= C(1+i)2 M3 = M2 + J3 = M2 + M2.i= C(1+i)3

M = C(1+i)n

Assim, os juros obtidos no final do período ficam:

J = M - C J = C(1+i)n-C

J = C[(1+i)n-1]

Ex1: Qual o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. durante 1 ano e meio?

M = 1200 (1+0,01)18 =>M = R$ 1.435,37

(41)

Questões de provas:

1- (Escriturário BB – 08/2011)

2- (Escriturário BB – 03/2011)

3- (Escriturário BB – 03/2011)

(42)

4- (Escriturário BB – 02/2011)

5- (Escriturário BB – 02/2011)

6- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)

(43)

7- (Téc. Bancário BANESE – 03/2012)

8- (Escriturário BB – 04/2006 - SP)

9- (Ass. Adm. PMMG – 03/2012)

(44)

10- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)

11- (Ag. Adm. MPU/RS – 12/2010)

Gabarito: 1)b; 2)d; 3)c; 4)b; 5)d; 6)b; 7)d; 8)e; 9)b; 10)d; 11)e

Referências

Documentos relacionados

Presidente da Câmara referiu que esta constituição de direito de superfície a favor do Município sobre dois prédios rústicos da titularidade da União de Freguesias de Gondomil

Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores. Operações com Números

[r]

a) Represente essa relação por diagrama de flechas determinando Domínio, Imagem, Contradomínio e responda:.. essa relação representa uma função de A

Em todos esses casos houve a proposta de aplicação da regra jurídica, mas esta não foi utilizada como razão para a ação ou decisão porque outro argumento institucional

Outro ponto crítico para o fechamento controlado de disjuntores de transformadores de potência sem carga é que o fluxo prospectivo criado pela tensão no instante do fechamento

na 54ª Assembleia Mundial de Saúde da OMS, ocorreu a aprovação de um novo modelo, a Classificação Internacional de Funcionalidade, Incapacidade e Saúde (CIF) com o

Nos casos anteriores, a representação decimal dos racionais tem um número finito de casas depois da vírgula. Esses números são conhecidos como decimais finitos. Mas há racionais