MODELO ELETROTÉRMICO DE UM LIMITADOR DE CORRENTE SUPERCONDUTOR A NÚCLEO DE AR. Felipe Novaes Francis Dicler

MODELO ELETROTÉRMICO DE UM LIMITADOR DE CORRENTE SUPERCONDUTOR A NÚCLEO DE AR

Felipe Novaes Francis Dicler

Projeto de Graduação apresentado ao Corpo Docente do Departamento de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Eletricista.

Orientadores: Rubens de Andrade Júnior Wescley T. B. de Sousa Alexander Polasek

Rio de Janeiro Agosto de 2017

Dicler, Felipe Novaes Francis

Modelo eletrotérmico de um limitador de corrente supercondutor a núcleo de ar / Felipe Novaes Francis Dicler. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2017.

XIII, 62 p.: il.;29,7cm.

Orientadores: Rubens de Andrade Júnior Wescley T. B. de Sousa Alexander Polasek

Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/

Departamento de Engenharia Elétrica, 2017.

Referências Bibliográficas: p. 45 – 46.

1. Superconductor. 2. HTS Simulation. 3. Analogia Eletrotérmica. 4. fitas 2G. I. de Andrade Júnior, Rubenset al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Elétrica.

III. Modelo eletrotérmico de um limitador de corrente supercondutor a núcleo de ar.

Agradecimentos

Eu gostaria de agradecer em primeiro lugar aos meus pais, Benami e Marisa, que não pouparam esforços para que eu pudesse estudar tão longe de minha terra natal. Estendo esse agradecimento aos meus irmãos, primos, e tios que mesmo de longe sempre me ajudaram em tudo de que eu precisei.

Agradeço também aos meus amigos da faculdade Gabriel Giacomini Moura, Lucas Valle, Vinicius Landeira, Rafael Rates, Pedro Lira, Rafael Bastos pela ami- zade sincera.

Agradeço especialmente ao Gabriel Serpa Mendonça, que como um verda- deiro irmão me ajudou em sucessivas mudanças de endereço, e posteriormente abriu as portas de sua própria casa para mim e minha esposa durante quase um ano.

Agradeço aos amigos do Laboratório de Supercondutividade do CEPEL, Ro- drigo Dias, Fernando Dias, Luís Micahel, Luiz Felipe, Paulo Sérgio, José Juan e Pedro Barusco. Foram dois anos de convivência diária extremamente alegre, gra- tificante e enriquecedora, que certamente deixará saudades.

Agradeço ao professor Ricardo Rhomberg Martins e sua esposa Márcia, pela amizade, ajuda e pelos ensinamentos, tanto de engenharia, como de vida.

Não posso deixar de agradecer à secretária do Departamento de Engenharia Elétrica, Kátia, sempre muito disposta em ajudar todos os alunos com seus pro- blemas acadêmicos, e até pessoais.

Agradeço, é claro, ao meu orientador Wescley T. B. de Sousa, que confiou em mim na realização deste trabalho e teve a paciência de me ensinar muito didati-

camente como simular limitadores de corrente supercondutores.

Agradeço também ao meu orientador e professor Rubens de Andrade Jr., pelas frutuosas conversas e conselhos, e também pelas cadeiras de Eletromagnetismo II, onde pela primeira vez programei um método numérico, e Termodinâmica, permeada de digressões históricas e culturais interessantíssimas.

Agradeço ao Engenheiro Alexander Polasek, meu orientador e supervisor, pela experiência de profissional que pude obter como seu estagiário no CEPEL, pelas valiosas correções e sugestões em diversos momentos, pelas agradáveis conversas sobre os mais diversos assuntos.

Agradeço ao Matheus Soares, com quem convivi diariamente nesses últi- mos anos de faculdade, pelas inúmeras conversas produtivas, pelos trabalhos em equipe, enfim, pela boa amizade.

Agradeço ao CEPEL e à CAPES pelo apoio financeiro.

Agradeço finalmente à minha esposa Annycia, pelo amor e carinho ao longo desses anos, à minha filha Cecília, que é a luz da minha vida, e à Deus, que nos mantém unidos.

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista

MODELO ELETROTÉRMICO DE UM LIMITADOR DE CORRENTE SUPERCONDUTOR A NÚCLEO DE AR

Felipe Novaes Francis Dicler

Agosto/2017

Orientadores: Rubens de Andrade Júnior Wescley T. B. de Sousa Alexander Polasek Departamento: Engenharia Elétrica

Neste trabalho, foi desenvolvido um método de simulação para limitadores de corrente supercondutores. Um limitador a núcleo de ar foi modelado utilizando o método desenvolvido e os resultados de simulação foram comparados com me- didas experimentais, havendo boa concordância entre ambos. A simulação foi feita através da solução numérica desacoplada das equações diferenciais que des- crevem o comportamento de um limitador, utilizando o método de Runge-Kutta para a solução das grandezas elétricas e a analogia eletrotérmica para a solução das grandezas térmicas, em duas dimensões. Foram levadas em conta as variações térmicas das seguintes propriedades físicas do materiais envolvidos: condutivi- dade térmica, calor específico, resistividade e coeficiente de troca por convecção.

Abstract of Graduation Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Electrical Engineer

ELECTRO-THERMAL SIMULATION OF SUPERCONDUCTING FAULT CURRENT LIMITERS

Felipe Novaes Francis Dicler

August/2017

Advisors: Rubens de Andrade Júnior Wescley T. B. de Sousa Alexander Polasek

Department: Electrical Engineering

In this work, a superconductor fault current limiter simulation method was developed and an Air-Coil limiter was modeled with the developed method. The simulation results were compared with the experimental measurements and a good agreement was observed between them. The model consists in a set of cou- pled thermal and electrical differential equations which were solved apart. The electrical equations were solved by the Runge Kutta method, while the thermal equations were solved by means of the thermo-electrical analogy, mapping the device in two dimensions. The thermal dependency of the material’s properties, such as thermal conductivity, specific heat, resistivity and convective heat transfer coefficient were taken into account.

Sumário

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xiii

1 Introdução 1

1.1 Objetivos . . . 2

1.2 Organização . . . 3

2 Supercondutividade e Limitadores de Corrente Supercondutores 4 2.1 Histórico . . . 4

2.2 Tipos de Supercondutores . . . 7

2.3 Curva E-J e densidade de corrente crítica . . . 8

2.4 Limitadores de Corrente Supercondutores . . . 9

2.4.1 Tipos de limitadores supercondutores . . . 10

2.5 Air-Coil SFCL . . . 12

3 Simulação 15 3.1 Modelo Elétrico . . . 15

3.2 Solução da equação do calor através da Analogia Eletrotérmica . . 20

3.3 Modelo Térmico . . . 28

3.4 Rotina de simulação . . . 29

4 Resultados 33

5 Conclusões e Trabalhos Futuros 43

Referências Bibliográficas 45

A Propriedades Físicas 47

A.1 Resistividadeρ(Ωm) . . . 47 A.2 Calor Específicoc

J kg.K

. . . 47 A.3 Condutividade térmicak _m.K^W

. . . 48 A.4 Coeficiente de troca por convecçãoh_{c cm}^W2.K

. . . 48 A.5 Corrente críticaI_cme desvio padrãoδ(A). . . 49 A.6 Código . . . 50

Lista de Figuras

2.1 Superfície crítica de um supercondutor. Adaptado de [7]. . . 5

2.2 Efeito Meissner-Ochsenfeld. Linhas de fluxo magnético são ex- pulsas do interior do material no estado supercondutor (T < T_c). Adaptado de [7]. . . 6

2.3 Rede de fluxóides no estado misto. Adaptado de [7]. . . 7

2.4 Curva E-J para diferentes índices de transição. Adaptado de [7]. . . 8

2.5 Modos de operação de um limitador supercondutor. Adaptado de [7]. . . 9

2.6 (a) Limitador resistivo em série. (b) Shunt para evitar o surgimento dehot-spots. Adaptado de [7]. . . . 11

2.7 (a) Circuito equivalente de um limitador indutivo. (b) Limitador Indutivo. Adaptado de [7]. . . 12

2.8 Estrutura em camadas da fita SCS120050 utilizada no Air-Coil. Adaptado de [7]. . . 13

2.9 (a) Limitador Air-Coil; (b) Circuito equivalente. Adaptado de [7]. . 13

2.10 (a) Vista superior; (b) Seção reta. Adaptado de [7]. . . 14

3.1 Circuito equivalente do Air Coil. [7]. . . 16

3.2 ResistorR_SEC, representando as 22 fitas em paralelo. . . 16

3.3 Flowchart da rotina de simulação. . . 19

3.4 (a) Elemento da discretização térmica; (b) Elemento da discretiza- ção elétrica. . . 21

3.5 Malha térmica 3x3 para um material de três camadas, distintas pe- las cores. . . 24 3.6 Malha térmica de uma fita supercondutora. As cores são apenas

ilustrativas, para distinguir as camadas. Figura fora de escala. . . . 29 3.7 Rotina completa da simulação. . . 31 4.1 Gráficos de corrente de curto, corrente limitada e tensão nos termi-

nais do limitador, para o ensaio E1 (corrente de curto de450A, sob 400V (valores eficazes)). . . 33 4.2 Gráficos de corrente de curto, corrente limitada e tensão nos termi-

nais do limitador, para o ensaio E2 (corrente de curto de1.05kA, sob 400V (valores eficazes)). . . 34 4.3 Gráficos de corrente de curto, corrente limitada e tensão nos termi-

nais do limitador, para o ensaio E3 (corrente de curto de2.55kA, sob 400V (valores eficazes)). . . 35 4.4 Gráficos de corrente limitada (a) e tensão (b), medidos e simulados,

para o ensaio E1 (corrente de curto de450A, sob 400V(valores efi- cazes)). . . 36 4.5 Temperatura simulada das 22 fitas, durantes os instantes T1(5ms),

T2(15ms), T3(25ms) e T4(35ms), do ensaio E1. Visão longitudinal (espessura (y) por comprimento (z)). Figura fora de escala. . . 37 4.6 Gráfico de resistência equivalente das 22 fitas em paralelo simulado

para o ensaio E1. . . 38 4.7 Gráficos de corrente limitada (a) e tensão (b), medidos e simulados,

para o ensaio E2 (corrente de curto de1.05kA, sob 400 V (valores eficazes)). . . 38 4.8 Temperatura simulada das 22 fitas, durantes os instantes T1(5ms),

T2(15ms), T3(25ms) e T4(35ms), do ensaio E2. Visão longitudinal (espessura (y) por comprimento (z)). Figura fora de escala. . . 39

4.9 Gráfico de resistência equivalente das 22 fitas em paralelo simulado para o ensaio E2. . . 40 4.10 Gráficos de corrente limitada (a) e tensão (b), medidos e simulados,

para o ensaio E3 (corrente de curto de2.55kA, sob 400 V (valores eficazes)). . . 40 4.11 Temperatura simulada das 22 fitas, durantes os instantes T1(5ms),

T2(15ms), T3(25ms) e T4(35ms), do ensaio E3. Visão longitudinal (espessura (y) por comprimento (z)). Figura fora de escala. . . 41 4.12 Gráfico de resistência equivalente das 22 fitas em paralelo simulado

para o ensaio E3. . . 42 A.1 Dependência térmica do coeficiente de troca de calor por convecção

[7]. . . 49

Lista de Tabelas

2.1 Parâmetros do Air-Coil. . . 14

3.1 Parâmetros da discretização térmica do Air Coil. . . 28

3.2 Dados de entrada. . . 32

4.1 Tempos de simulação dos ensaios E1, E2 e E3. . . 42

A.1 Corrente crítica médiaIcme desvio padrãoδ(A)de cada fita. . . 50

Capítulo 1 Introdução

Os equipamentos elétricos de um sistema de potência são projetados para ope- rar durante um período de tempo que seja suficiente para compensar os custos de sua aquisição e instalação. Devem ser dimensionados, portanto, para suportar as ampliações que o sistema possa receber. São realizados estudos de planejamento do sistema a longo prazo para a definição das características nominais desses equi- pamentos. Entretanto, devido à ocorrência de mudanças topológicas imprevistas no planejamento inicial do sistema, é comum haver aumento nos níveis das gran- dezas elétricas para valores acima das especificações nominais dos equipamentos existentes. Os dispositivos geralmente superados são: disjuntores, seccionadores, transformadores de corrente e barramentos [1].

As características nominais geralmente superadas são corrente de carga e cor- rente de curto-circuito. Em caso de superação, os equipamentos devem ser subs- tituídos, ou devem ser realizadas medidas para mitigar sua superação. Muitas vezes, a substituição pode ser inviável, tanto economicamente, como do ponto de vista operacional, pois para isso são necessárias longas interrupções. Dentre as medidas que podem mitigar a superação, destacam-se: seccionamento de barra;

modificação da rede de sequência zero do sistema,bypassde linhas nas subesta- ções e utilização de limitadores de corrente de curto-circuito. As medidas que modificam a rede são provisórias, pois podem reduzir a flexibilidade e a confia- bilidade do sistema, o que justifica o emprego de limitadores de corrente, dispo-

sitivos capazes de atenuar os picos de corrente para que disjuntores possam atuar com segurança. A referência [1] traz mais detalhes sobre superação de equipa- mentos. A referência [2] faz um estudo das principais subestações superadas no sistema elétrico brasileiro.

A utilização de materiais supercondutores em limitadores de corrente vem sido estudada por diversos grupos de pesquisa e alguns protótipos foram cons- truídos e instalados em subestações na Europa e Ásia [3][4][5].A modelagem des- ses equipamentos é indispensável para que seu comportamento no sistema possa ser previsto.

Os modelos mais simples tratam o limitador como um resistor variável, cuja resistência varia de zero para algum valorR > 0na ocorrência de um curto. A acurácia deste modelo é bastante reduzida, uma vez que despreza toda a física envolvida na transição entre os estados supercondutor e normal. Contudo, mui- tas vezes este procedimento é suficiente para se obter resultados aproximados do ponto de vista sistêmico. Já ao nível do equipamento, é necessário levar em conta a distribuição de corrente entre as camadas do limitador, e a dependência térmica da resistividade dos materiais que o compõe [6]. Portanto, um modelo mais rea- lista deve levar em conta a temperatura.

Na referência [7], foi desenvolvido um modelo eletrotérmico que representa o limitador em uma dimensão, através da analogia eletrotérmica. Foi também im- plementado um modelo em duas dimensões utilizando o método de diferenças finitas com direção implícita alternada. Devido à grande complexidade deste úl- timo método, foi-nos proposta a extensão do modelo de analogia eletrotérmica, de compreensão mais intuitiva e imediata, para duas dimensões.

1.1 Objetivos

Os objetivos deste trabalho são:

i) o desenvolvimento de um método de simulação eletrotérmica de limitado- res de corrente supercondutores, utilizando a Analogia Eletrotérmica em duas

dimensões;

ii) a validação deste método através da modelagem de um limitador e compa- ração dos resultados da simulação com resultados experimentais. O dispositivo modelado foi um limitador a núcleo de ar, doravante denominado Air Coil, de- senvolvido peloKarlsruhe Institute of Technology, na Alemanha. Este trabalho foi realizado através da parceria entre o Laboratório de Aplicações de Supercondu- tores da UFRJ (LASUP), o Centro de Pesquisas em Energia Elétrica (CEPEL) e o Karlsruhe Institute of Technology(KIT), Alemanha.

1.2 Organização

Este trabalho está dividido em 6 capítulos. Neste primeiro capítulo, foi reali- zada uma introdução sobre o assunto do trabalho.

No capítulo 2, é feito um resumo sobre a teoria de supercondutividade neces- sária para o entendimento do trabalho e são apresentados os principais tipos de limitadores de corrente supercondutores.

No capítulo 3 são descritos os detalhes da modelagem térmica do limitador Air Coil, introduzindo aAnalogia Eletrotérmica.

No capítulo 4 os resultados são apresentados e analisados.

O capítulo 5 apresenta a conclusão do trabalho.

Capítulo 2

Supercondutividade e Limitadores de Corrente Supercondutores

Supercondutividade é o fenômeno devido ao qual certos materiais apresentam resistividade nula abaixo de uma certa temperatura. Desde sua descoberta, em 1911, foram elaboradas diversas teorias para descrever o fenômeno, embora ainda não haja uma teoria conclusiva. O início deste capítulo traz um histórico e um resumo dos princípios básicos da supercondutividade. Em seguida, são descritos os principais tipos de limitadores de corrente supercondutores. Este capítulo se baseia nas referências.

2.1 Histórico

A supercondutividade foi descoberta em 1911 pelo físico holandês Heike Ka- merlingh Onnes [8]. Após ter liquefeito o gás hélio, cujo ponto de ebulição é4,2K, Onnes passou a estudar o comportamento de metais em baixas temperaturas es- perando encontrar uma resistividade residual limite à medida em que se apro- ximasse do zero absoluto. Ele observou, porém, que ao atingir4,2K, o mercú- rio perdia sua resistividade de forma descontínua e nomeou esse fenômeno de supercondutividade. Estudando outros metais, esse comportamento foi também observado no Chumbo a uma temperatura mais elevada, de7,2K. A partir disso,

definiu-se a temperatura críticaT_cde um material a temperatura limite abaixo da qual um material perde sua resistividade, tornando-se supercondutor.

Além da temperatura crítica, Onnes descobriu que o campo magnético e a den- sidade de corrente também são parâmetros críticos, denominados H_c e J_c, res- pectivamente. Desta forma, define-se uma região supercondutora, mostrada na figura 2.1. Para que esteja em seu estado supercondutor, as grandezas H, J e T observadas no material devem estar dentro da região delimitada.

B

T

J

T J

B

Super fície S

uperc ondut

ora

Figura 2.1: Superfície crítica de um supercondutor. Adaptado de [7].

Em 1933, os cientistas alemães Walther Meissner e Robert Ochsenfeld des- cobriram que a indução magnética no interior de um supercondutor é nula, caracterizando-o como um diamagneto perfeito. Aplicando uma densidade de fluxo magnéticoB < B_c, observa-se uma expulsão total do fluxo no interior do material, como mostrado na figura 2.2.

Após a descoberta do diamagnetismo perfeito por Meissner, em 1935 os irmãos Fritz e Heinz London apresentaram uma tentativa de descrever a superconduti- vidade através do eletromagnetismo, sugerindo que na presença de um campo externo são induzidas correntes superficiais responsáveis pela blindagem mag- nética no interior do material [9] e propondo o conceito chamado deprofundidade de penetração de London, λ_L, uma propriedade de cada supercondutor associada

B B T < T _c T > T _c

Figura 2.2: Efeito Meissner-Ochsenfeld. Linhas de uxo magnético são expulsas do interior do material no estado supercondutor (T < T_c). Adaptado de [7].

com a extensão com que o campo magnético é capaz de penetrar em seu interior.

Em 1950, Ginzburg e Landau [10] formularam uma teoria da supercondutivi- dade a partir de aspectos termodinâmicos baseada na minimização da energia de superfície. A nova teoria preencheu lacunas existentes na teoria dos irmãos Lon- don, prevendo a existência de dois tipos de supercondutores. Essa divisão será detalhada na seção 2.2.

Com base nos estudos de Ginzburg e Landau, em 1957 os cientistas america- nos John Bardeen, Leon Cooper e Robert Schreiffer desenvolveram um modelo microscópico conhecido comoTeoria BCS[11], propondo que elétrons se organi- zam em pares, denominadosPares de Cooper.

Em 1986 os físicos Johannes Georg Bednorz e Karl Alexander Müller observa- ram uma temeperatura crítica de 30 K na liga cerâmicaLaBaCuO, o que lhes ren- deu o prêmio Nobel de 1987. Nos anos seguintes, foram descobertos supercondu- tores com temperatura crítica superior à 77 K, possibilitando o uso de nitrogênio líquido - mais barato e acessível que gás hélio - para resfriamento. Esses novos supercondutores foram denominadosHigh Temperature Superconductors(HTS).

2.2 Tipos de Supercondutores

De acordo com a teoria de Ginzburg-Landau, a transição entre o estado su- percondutor e o estado normal tende a minimizar a energia livre de superfície, porém essa minimização de energia implica na maximização ou minimização da própria superfície [8].

Desta forma, foram denominados os supercondutores tipo I aqueles que ten- dem a minimizar a interface entre as fases supercondutora e normal, expulsando todo o campo magnético de seu interior. A grande maioria dos supercondutores descobertos no início do século XX são do tipo I.

Os supercondutores do tipo II possuem dois valores de campo crítico (H_c1 e H_c2). Para campos abaixo deH_c1, o material expulsa completamento o campo e encontra-se no estado supercondutor. Assim que o campo ultrapassaH_c1, o mate- rial deixa de apresentar o diamagnetismo perfeito e passa para o chamadoestado misto, em que as fases supercondutora e normal coexistem no material. Nesta si- tuação, o campo penetra no material em filamentos microscópicos chamados vór- tices, que formam uma rede triangular, denominadarede de Abrikosov, ilustrada na figura 2.3. No interior dos vórtices, o material encontra-se no estado normal.

Cada vórtice possui um fluxo magnético quantizado, dado por:

φ= h

2e = 2.07×10⁻¹⁵W b, onde h é a constante de Planck eea carga elementar.

Figura 2.3: Rede de uxóides no estado misto. Adaptado de [7].

2.3 Curva E-J e densidade de corrente crítica

A relação entre o campo elétrico e a densidade de corrente no estado misto é descrita empiricamente pela curva E-J, conhecida comoPower Law[7]:

E(J) =E_c J

J_c(T) n

(2.1) Nesta expressão, a densidade de corrente crítica J_c é definida como a den- sidade de corrente que produz um campo Ec, geralmente especificado como E_c = 1µV /cm. Em J_c, portanto, o material ainda não transitou para o estado normal, o que ocorre a partir deJ_d, a densidade de corrente de ’depareamento’, responsável por quebrar os pares de Cooper [12]. O expoente n, chamado de ín- dice de transição, é obtido experimentalmente e varia com o material, bem como com o estágio de transição. ParaT = 0 K,n → ∞. ParaT > T_c,n = 1. A figura 2.4 ilustra a curva E-J para diferentes índices de transição.

E(V/cm)

J (A/cm²) Jc

Ec

n = 1 n = 9 n = 25 n =∞

Figura 2.4: Curva E-J para diferentes índices de transição. Adaptado de [7].

A dependência de Jc com a temperatura pode ser descrita por uma relação linear para temperaturas entre 77 K eTc, de acordo com a equação 2.2 [13][14].

J c(T) = J_c(77)

T_c−T_{HT S} Tc−77

(2.2) O valor deJ_c(77), que varia com o material, é obtido experimentalmente na situação em que o campo elétricoE_catinge o critério de1µV /cm.

2.4 Limitadores de Corrente Supercondutores

A função de um limitador de corrente é diminuir os níveis de correntes de curto-circuito para valores tais que os equipamentos existentes na rede possam suportar. É possível explorar o crescimento brusco de resistividade que um mate- rial HTS sofre ao ultrapassarI_cpara limitar correntes de curto-circuito. A figura 2.5 ilustra os modos de operação de um limitador supercondutor [7].

Operação normal Curto-circuito

Corrente

Tempo

Sem SFCL

Com SFCL

Duração do curto

Recuperação

Tempo de recuperação

Figura 2.5: Modos de operação de um limitador supercondutor. Adaptado de [7].

Em operação normal, o limitador apresenta baixíssima resistência, sendo pra- ticamente invisível para a rede. Na ocorrência de um curto, o aumento de cor- rente provoca aumento da temperatura e da resistividade do material, inserindo uma impedância antes inexistente e limitando a corrente de curto-circuito. Após a abertura do circuito pelos disjuntores, o limitador deve recuperar sua temperatura inicial, sendo resfriado pelo sistema criogênico no qual está imerso.

As principais vantagens dos limitadores supercondutores são:

• Falha segura: a atuação do limitador supercondutor não depende de ne- nhum sistema de controle, sendo ativado pela própria corrente de curto- circuito através de uma propriedade física intrínseca ao material. Em caso de alguma falha no sistema criogênico, o limitador atua indevidamente, mas nunca deixa de atuar quando necessário.

• Após eliminação do curto, o limitador recupera-se automaticamente através do sistema criogênico. O tempo de recuperação é, em geral, menor do que 1 minuto [15].

• Possui reatância desprezível em operação normal, ao contrário dos reatores a núcleo de ar.

2.4.1 Tipos de limitadores supercondutores

Os principais tipos de limitadores supercondutores são [7]:

• Resistivo

Este é o modelo mais simples de limitador supercondutor, colocado em série no circuito, através de um sistema criogênico. Em operação normal, o mate- rial está no estado supercondutor, e portanto, não gera perdas significativas.

Na ocorrência de um curto, o aumento de corrente produz aquecimento e aumento de resistividade, o que limita a corrente, atuando como um resis- tor em série. O nível de tensão suportado pelo equipamento depende do comprimento de material supercondutor utilizado. Como a distribuição de corrente crítica e temperatura crítica ao longo do material não é homogênea, a transição para o estado normal não ocorre simultaneamente ao longo da extensão do material, gerando os chamados hot-spots, que são regiões em que o aquecimento ocorre prematura e isoladamente, podendo levar à de- gradação do material. Para evitá-los, costuma-se usar um shunt resistivo, ilustrado na figura 2.6, para que, com o desvio da corrente, o material não se sobreaqueça. Além disso, oshuntlimita a tensão imposta ao dispositivo [7].

Shunt

Material HTS Hot Spot Corrente

(a) (b)

Impedância Disjuntor

LN₂

Conjunto Componente

R-SFCL

Linha

Criostato Contato de corrente

Figura 2.6: (a) Limitador resistivo em série. (b) Shunt para evitar o surgimento de hot-spots. Adaptado de [7].

O limitador resistivo possui como principais vantagens seu projeto simplifi- cado, pois está em série com o circuito, o baixo volume e peso de seus com- ponentes, impedância desprezível em operação normal e rápido tempo de atuação. A principal desvantagem é a complexidade do sistema criogênico, uma vez que o material supercondutor deve possuir uma interface de cor- rente entre o ambiente normal e o ambiente criogênico, gerando perdas tér- micas. Esse problema motivou a existência do limitador indutivo, no qual o material supercondutor está acoplado apenas magneticamente ao circuito.

• Indutivo

O limitador indutivo atua como um transformador, cujo primário liga-se em série à rede, e cujo secundário é composto por um cilindro supercondutor, como ilustrado na figura 2.7. Em operação normal, a corrente induzida no supercondutor é menor do que a corrente crítica, e então o campo não pene- tra no material. Na ocorrência de um curto, a corrente induzida ultrapassa a corrente crítica, o campo penetra no entreferro, aumentando a impedância vista pelo primário.

Como o material supercondutor está acoplado magneticamente à rede, o sis- tema criogênico permanece isolado. A principal desvantagem deste tipo de

limitador é o seu grande tamanho e peso, similares aos de um transformador de mesma potência nominal.

Cobre

LN₂

R1

X2

X1

RSC

Carga

(a) (b)

Material Supercondutor

Núcleo ferrode

Figura 2.7: (a) Circuito equivalente de um limitador indutivo. (b) Limitador Indu- tivo. Adaptado de [7].

2.5 Air-Coil SFCL

O limitador Air-Coil é um transformador a núcleo de ar, com duas bobinas concêntricas que atuam como primário e secundário. No protótipo estudado, o enrolamento primário é feito de cobre, possui 34 voltas e é conectado em série com o sistema. O secundário é composto de 22 fitas de YBCO de segunda geração, modelo SCS120050, fabricadas pela SuperPower Inc., cuja estrutura em camadas está ilustrada na figura 2.8.

100 m Hastelloy� 0.16 m�

1.0 m YBCO� 2.0 m�

40 m� 40 m� Cobre

Prata

Buffer

Cobre

Figura 2.8: Estrutura em camadas da ta SCS120050 utilizada no Air-Coil. Adap- tado de [7].

As fitas possuem 147cm de comprimento e são curto-circuitadas em paralelo, atuando como um enrolamento de apenas uma volta. O design do Air-Coil e seu circuito equivalente estão representados na figura 2.9. A figura 2.10 traz as vistas superior e de seção reta.

Z_prim

R X R_SEC X_SEC

Z_sec

X = Z_{m m}

(a) (b)

Contatos de corrente

Primário Secundário

cobre cobre

Figura 2.9: (a) Limitador Air-Coil; (b) Circuito equivalente. Adaptado de [7].

Em operação normal, a corrente induzida no secundário é menor queI_c, por- tanto o material está no estado supercondutor e impede a penetração de campo magnético, reduzindo a impedância vista pelo primário. Na ocorrência de um curto, a impedânciaZsec aumenta, limitando a corrente.

(a) (b) Enrolamento de cobre (primário)

Enrolamento de fitas HTS (secundário)

Figura 2.10: (a) Vista superior; (b) Seção reta. Adaptado de [7].

A corrente e tensão nominais do equipamento são 150A e 400V, a 77 K, em valores RMS. A tabela 2.1 apresenta os parâmetros do circuito equivalente a 50Hz.

X_cu eR_cu são a reatância e resistência do primário de cobre,X_m é a reatância de magnetização eX_sec a reatância do secundário.

Tabela 2.1: Parâmetros do Air-Coil.

Parâmetro Valor (Ω) Parâmetro Valor (Ω)

X_cu 0.011 R_cu 0.0002

X_m 0.155 X_sec 0.007

A reatância equivalente do dispositivo em regime supercondutor, quando a resistência do secundário tende a zero, vale:

X_eq =R_cu+j

X_cu+Xm×Xsec

X_m+X_sec

= (0,0002 +j0,0177) Ω

Capítulo 3 Simulação

A simulação de limitadores de corrente supercondutores tem o objetivo de prever seu comportamento num sistema de potência e o aumento de temperatura ocorrido na ocasião de um curto-circuito. O conhecimento do comportamento térmico do dispositivo é essencial para finalidades de projeto, pois o sobreaqueci- mento pode danificar o material supercondutor. Neste capítulo, o modelo eletro- térmico do limitador Air-Coil é descrito, sendo detalhados os métodos numéricos de solução das grandezas elétricas e térmicas.

3.1 Modelo Elétrico

O Air-Coil é modelado como um transformador, cuja resistividade do secun- dário depende não somente da temperatura, como é usual em condutores comuns, mas também da corrente que percorre o material supercondutor. A figura 3.1 mos- tra o circuito equivalente do Air Coil associado à resistênciaR_ce à reatânciaX_c, que representam o circuito em que o limitador está inserido.

O resistorR_SEC(i_hts, T)é o equivalente das 22 fitas em paralelo. Cada fita, por sua vez, possui cinco camadas em paralelo, como exposto na figura 3.2.

RSEC depende das correntes que percorrem a camada supercondutora de cada uma das 22 fitas e da temperatura de cada camada de cada fita. A resistividade das camadas não supercondutoras varia linearmente com a temperatura, de acordo

X_m R_c X_c

Vorms= 400 V VAC-SFCL

Air Coil Superconducting Fault Current Limiter

i_s i_h

i_total(t) ^{(t) (t)}

R^cobre X^cobre R_SEC X_SEC

Figura 3.1: Circuito equivalente do Air Coil. [7].

}

Cobre Prata YBCO Hastelloy

Cobre SEC

Figura 3.2: Resistor R_SEC, representando as 22 tas em paralelo.

com as expressões contidas no anexo A. A resistividadeρ_htsdas camadas super- condutoras é obtida observando que comoρ= ^E_J e pela Power Law (equação 2.1) E = E_ch

J Jc(T)

in

, considerando que J_c(T) varia linearmente com a temperatura (equação 2.2), temos:

ρ_hts = E_c J





J Jc(77)

Tc−T_hts Tc−77





n

= E_cA i_hts





i_hts Ic(77)

Tc−T_hts Tc−77





n

(3.1)

ondei_hts, T_hts e A são a corrente, a temperatura e a seção reta da camada super- condutora, respectivamente. Os outros termos já foram previamente definidos.

Para obter a correntei_sque percorre o secundário, resolve-se o circuito da fi- gura 3.1 através da equação diferencial matricial 3.2.







 di_s

dt di_h

dt









=

L

















 V_o

V_o









−

R







 i_s

i_h



















, (3.2)

onde a matriz de indutânciasL, composta pela indutância do circuitoL_c, indutân- cia do primárioL_cu, indutância do secundárioL_sece indutância de magnetização

L_m, é dada por:

L=









L_c+L_cu+L_sec L_c+L_cu L_c+L_cu L_c+L_cu+L_m







 ,

e a matriz de resistênciasR, cujos termos já foram definidos, é dada por:

R=









R_c+R_cu+R_SEC(i_hts, T_hts) R_c+R_cu R_c+R_cu R_c+R_cu









Em [7], a solução da equação 3.2 foi simplificada com a consideração de que sua solução pode ser obtida sem o conhecimento da correntei_htsdo instante atual, pois quando no estado supercondutorR_SEC tende a zero, desaparecendo da matrizR e quando no estado normalR_SEC não depende da correntei_hts. Assim a solução do sistema é feita de forma desacoplada, resolvendo inicialmente a equação 3.2 por algum método númerico (Runge Kutta, por exemplo), para obter a corrente i_s.

Se a resistência das camadas supercondutoras de todas as fitas forem iguais e tendam a zero, a fração _R^R_tapen^SEC, que aparece na equação 3.3 a seguir, é constante igual a₂₂¹, onde no denominador sempre aparecerá o número de fitas em paralelo.

Desta forma, também é possível conhecer a correntei_tapenque percorre cada fita.

i_tapen = RSEC

R_tapeni_s (3.3) i_htsn = Rtapen

R_htsn i_tapen (3.4)

ondei_tapen eR_tapen são a corrente e a resistência da fitan, respectivamente ei_htsn eR_htsn são a corrente e a resistência da camada supercondutora da fitan, respec- tivamente.

Para o cálculo da correnteihtsn é necessário um método iterativo. Sendoitapen

conhecido (quandoR_htsn tende a zero, a fração _R^R_tapen^SEC tende a 1/22) e utilizando a temperaturaT_htsdo instante anterior, e comoR_tapen eR_htsn são funções de T_hts

ei_hts, a equação 3.4 torna-se do tipox = f(x), sendo x = i_hts. Para resolvê-la, é possível utilizar o método do ponto fixo. Partindo de uma aproximação inicial de x, itera-sexk = f(xk−1)até quexk−xk−1 seja menor que uma tolerância estabe- lecida. O valor deR_htsn encontrado após a convergência será o valor utilizado no cálculo da potência dissipada por efeito Joule.

Com a atualização deR_htsn, há um novo valor paraR_tapen eR_SEC. A equação 3.3 não precisa ser recalculada, pois a razão _R^R_tapen^SEC continua tendendo a1/22. Com o novo valor deR_tapen, são recalculadas por divisão de corrente as correntes em cada camada de cada fita. Em seguida, são calculados os valores de potência dis- sipada em cada camada, que serão utilizados na equação de condução do calor 3.5.

∂T(y, z, t)

∂t = k cd

∂²T(y, z, t)

∂z² + ∂²T(y, z, t)

∂y²

+ g˙

cd (3.5)

onde k, c e d são a condutividade térmica, o calor específico e a densidade do material, respectivamente eg˙ é taxa de geração de calor por unidade de volume por unidade de tempo.

Para resolver a equação 3.5, é realizada uma discretização espacial ao longo da espessura e do comprimento de cada fita, aproximando a derivada segunda por diferenças finitas de segunda ordem. A subseção 3.2 a seguir mostra os detalhes da resolução numérica da equação do calor 3.5.

Utilizando a temperatura calculada em cada ponto da malha, calcula-se a nova resistividade de cada ponto discretizado de cada camada, e então passa-se para o próximo instante de tempo da simulação, voltando a resolver a equação 3.2. O flowchart da figura 3.3 ilustra esse procedimento. Na seção 3.4, esse flowchart é repetido, incluindo detalhes sobre a resolução numérica da equação do calor.

O processo iterativo para o cálculo dei_htseρ_htsinicia-se com a iteraçãou= 1, a partir de uma resistividadeρ_hts infinitesimal estimada. Se temperatura do ma- terial supercondutor está acima deT_c, a resistividade não depende da corrente, e portanto, ela pode ser calculada como num condutor comum, dependendo ape-

01

02

? 03

04

05

Cálculo das correntes em cada camada de cada fita, por divisor

de corrente

Processo iterativo para calcular a resistividade de cada elemento

da camada supercondutora Atualização de todas propriedades dependentes da temperatura

sim não

Fim da simulação

Cálculo da potência dissipada em cada um dos elementos

da malha construída

06 07

08 09 10

Resolução da equação 3.5, obtendo a temperatura em cada elemento da malha construída Carregar constantes

Condições iniciais para T = 77K

Solução da equação 3.2, obtendo a corrente

Figura 3.3: Flowchart da rotina de simulação.

nas da temperatura. Do contrário, se a temperatura está abaixo deT_c, considera- se a dependência com a temperatura através da resolução daPower Law(Equação 2.1), utilizando a corrente previamente calculadai_{HT Sold} e obtendo um novo va- lor de resistividade e resistênciaR_{HT SN EW}. Com esse novo valor de resistência, calcula-se a nova resistência equivalenteRtapeda fita, pela associação em paralelo dos resistores.

Com os novos valores deR_{HT SN EW} eR_tapecalcula-se a nova correntei_{HT Snew} na camada supercondutora. Esse valor é então comparado com o valor antigoi_{HT Sold}. Caso o erro percentual seja menor que uma tolerância estabelecida (utilizou-se 0.1%), considera-se que o cálculo de resistividade está correto, e portanto, finaliza- se a iteração de corrente. Se o erro foi maior que0.1%, atualiza-sei_{HT Sold}, fazendo iHT S_old → iHT Snew, partindo para uma nova iteração. A expressão 3.6 a seguir é utilizada para o cálculo do erro.

ERRO^u = 100

i^u_{HT Snew} −i^u_{HT S}

old

i^u_{HT S}

new

(3.6) Para acelerar o processo iterativo, a atualização deiHT S_old pode ser feita com um fator de ajusteβ, como na equação 3.7 a seguir.

i^u+1_{HT S}

old =i^u_{HT S}

old+β^u+1(i^u_{HT Snew} −i^u_{HT S}

old) (3.7)

O fator de ajusteβé variável e depende dos erros das iterações atual e anterior.

Se ambos possuem o mesmo sinal, o ajuste está sendo feito na direção correta e pode ser incrementado de uma quantidadeδ. Caso tenham sinais contrários, o valor deβé mantido.

Os valores pré-definidos deβ variam entre 0.01 e 0.5, ao passo que os valores deδvariam entre 0.01 e 0.1. Eles podem ser ajustados para se obter uma conver- gência mais rápida no processo de iteração de corrente. Para mais detalhes sobre o método iterativo de corrente, consultar referência [7].

3.2 Solução da equação do calor através da Analo- gia Eletrotérmica

O método da analogia eletrotérmica aproveita o isomorfismo existente entre a equação do calor e a equação de linha de transmissão para obter a solução da equação do calor através das leis de Kirchoff [16].

Para um caso em duas dimensões num sistema cartesiano, a equação do calor com geração interna é dada por:

∂T(y, z, t)

∂t = k cd

∂²T(y, z, t)

∂z² + ∂²T(y, z, t)

∂y²

+ g˙

cd (3.8)

Aproximando a derivada segunda espacial por diferenças finitas centrais de

segunda ordem, obtém-se:

∂T(y, z, t)

∂t = k cd

T(y−∆y, z, t)−2T(y, z, t) +T(y+ ∆y, z, t)

∆y²

+

T(y, z−∆z, t)−2T(y, z, t) +T(y, z+ ∆z, t)

∆z²

+ g˙

cd

(3.9)

Utilizando o elemento discretizado ilustrado na figura 3.4(a), a equação 3.10 torna- se:

dTE

dt = k cd

TA−2TE +TC

∆y²

+

TB−2TE +TD

∆z²

+ g˙

cd (3.10)

A

B

C

D E

x

y z

x

y z

0 0

1 1

2

2

Figura 3.4: (a) Elemento da discretização térmica; (b) Elemento da discretização elétrica.

Da aplicação das leis de Kirchoff ao circuito da figura 3.4 (b), resulta a seguinte expressão:

i_a+i_b +i_c+i_d+i_cap=P Portanto, comoi_cap= ^dv_dt^E,

vE−vA

R₁ +vE−vC

R₁ + vE −vB

R₂ +vE −vD

R₂ +CdvE

dt =P

Juntando os denominadores comuns e isolando ^dv_dt^E:

dv_E

dt = v_A−2v_E +v_C CR1

+ v_B−2v_E +v_D CR2

+P

C (3.11)

As equações 3.10 e??possuem o mesmo formato. A comparação de seus ter- mos permite dimensionar o valor dos componentes elétricos do circuito para que a solução elétrica seja análoga à solução térmica, obtendo um valor de tensão para o nóv_E equivalente ao valor de temperatura do nó E.

A equação 3.10 é repetida aqui para facilitar a visualização.

dT_E dt = k

cd

T_A−2T_E +T_C

∆y²

+

T_B−2T_E +T_D

∆z²

+ g˙

cd (??)

O termog˙é a geração de calor por unidade de volume, por unidade de tempo.

Assume-se que o calor é gerado apenas por efeito Joule, e portantog˙ = ^Ri_V², sendo R a resistência elétrica associada ao elemento,ia corrente que o percorre eV seu volume. Da comparação com o último termo de??, resulta:

˙ g

cd = Ri² V cd = P

C →P =Ri²;C =V cd

O volumeV de um elemento é dado porV = (2∆z)(2∆y)L = 4∆z∆yL, onde L é a largura do elemento na direção x.

A comparação do primeiro termo das equações resulta em:

1

CR₁ = k cd∆y² A substituiçãoC =V cdresulta em:

1

V cdR₁ = k

cd∆y² ⇒R₁ = ∆y² kV

ComoV = 4∆y∆zL, conclui-se que:

R₁ = ∆y²

4k∆y∆zL = ∆y

4k∆zL (3.12)

Trata-se de uma expressão fisicamente coerente, pois a resistência térmica na direção y é proporcional ao comprimento em y e inversamente proporcional à condutividade térmicakdo material e à área da seção reta através da qual o calor é transferido(2∆zL).

Procedendo de modo semelhante para o segundo termo, obtém-se a expressão paraR₂:

1

CR₂ = k cd∆z² A substituiçãoC =V cdleva a:

1 V cdR2

= k

cd∆z² ⇒R₂ = ∆z² kV

ComoV = 4∆y∆zL, conclui-se que:

R₂ = ∆z²

4k∆y∆zL = ∆z

4k∆yL (3.13)

O modelo térmico do limitador Air Coil é constituido por uma malha cujos elementos possuem espessuras diferentes, o que resulta em diferentes valores de resistência nos circuitos térmicos equivalentes. Além disso, os elementos associ- ados a diferentes camadas possuem diferentes condutividades térmicas, calores específicos, densidades e resistividades, resultando em diferentes valores de ca- pacitores e fontes de corrente para os circuitos associados a cada camada. A título de exemplo, será resolvido um caso 3x3 para demonstrar o procedimento de re- solução, que é idêntico ao procedimento utilizado para resolver o modelo do Air Coil, diferindo apenas no tamanho da malha.

Figura 3.5: Malha térmica 3x3 para um material de três camadas, distintas pelas cores.

O caso a seguir possui três camadas, numa malha de nove elementos, conforme ilustrado na figura 3.5. v_exté a tensão que representa a temperatura constante do meio exterior eRconv a resistência que modela a troca por convecção, dada por R_conv = _h¹

cA, ondeh_cé o coeficiente de troca térmica por convecção eAé área de troca térmica, perpendicular ao fluxo de calor.

Para resolver o circuito da figura 3.5, deve-se aplicar as leis de Kirchoff para cada elemento, chegando num sistema de nove equações diferenciais acopladas.







































































P1 =C1

dv₁

dt + v₁ −v_ext

R₁ +R_conv + v₁−v_ext

R₂+R_conv + v₁−v₂

R₃+R₅ + v₁−v₄ R₄+R₁₄ P2 =C2

dv₂

dt + v₂−v₁

R₅ +R₃ + v₂−v_ext

R₆+R_conv + v₂ −v₃

R₇+R₉ + v₂−v₅ R₈+R₁₈ P₃ =C₃dv3

dt + v3−v2

R₉ +R₇ + v3 −vext

R₁₀+R_conv + v3−vext

R₁₁+R_conv + v3−v6

R₁₂+R₂₂ P₄ =C₄dv₄

dt + v₄−v_ext

R₁₃+R_conv + v₄−v₁

R₁₄+R₄ + v₄−v₅

R₁₅+R₁₇ + v₄−v₇ R₁₆+R₂₆ P₅ =C₅dv₅

dt + v₅−v₄

R₁₇+R₁₅ + v₅−v₂

R₁₈+R₈ + v₅−v₆

R₁₉+R₂₁ + v₅−v₈ R₂₀+R₃₀ P₆ =C₆dv₆

dt + v₆−v₅

R₂₁+R₁₉ + v₆−v₃

R₂₂+R₁₂ + v₆−v_ext

R₂₃+R_conv + v₆−v₉ R₂₄+R₃₄ P₇ =C₇dv₇

dt + v₇−v_ext

R₂₅+R_conv + v₇−v₄

R₁₆+R₂₆ + v₇−v₈

R₂₇+R₂₉ + v₇−v_ext R₂₈+R_conv P₈ =C₈dv₈

dt + v₈−v₇ R29+R27

+ v₈−v₅ R30+R20

+ v₈−v₉ R31+R33

+ v₈−v_ext R32+Rconv

P₉ =C₉dv₉

dt + v₉−v₈

R₃₃+R₃₁ + v₉−v₆

R₃₄+R₂₄ + v₉−v_ext

R₃₅+R_conv + v₉−v_ext R₃₆+R_conv

Agrupando termos comuns e resolvendo para as derivadas, obtém-se a equa- ção matricial 3.14 a seguir.

dv

dt =C⁻¹[P−Gv+Gextv_ext], (3.14) ondev9x1é o vetor de tensões,P9x1é o vetor de fontes de corrente,C9x9é a matriz diagonal de capacitâncias, G9x9 é a matriz de condutâncias e Gext9x1 é a matriz de condutâncias que multiplica vext. A equação a seguir expande as matrizes e vetores da equação 3.14.

(3.14)

C P G

25

G _ext

V V

Gé uma matriz quadrada n x n altamente esparsa, com ordem n igual ao nú- mero de elementos da malha. As linhas correspondentes a elementos situados nas quinas da malha (neste caso, linhas 1, 3, 7 e 9) possuem 3 elementos. As linhas que correspondem a elementos situados nas bordas da malha possuem 4 elemen- tos (linhas 2, 4, 6). Nas linhas restantes, associadas a elementos do interior da malha, há 5 elementos. O algoritmo computacional elaborado para a construção da matrizGfoi generalizado para qualquer número de elementos em ambas di- reções. No protótipo modelado, a matrizGpossuin = 12×147 = 1764, portanto trata-se de uma matriz (1764,1764).

A solução dessa equação constitui um problema de valor inicial e pode ser obtida por métodos numéricos simples, como o método de Euler implícito, utili- zando a condição inicialvn=0 = 77, através da seguinte expressão:

vn+1 =vn+dtdvn+1

dt , (3.15)

onde vn+1 é o vetor de tensões no instante atual, vn no instante passado e dt o passo de tempo. A substituição de 3.14 em 3.15 dá:

vn+1 =vn+dt[C⁻¹(P−Gvn+1+Gextvext)].

Distribuindo a multiplicação e resolvendo paravn+1, obtém-se a expressão ??a seguir.

vn+1 = [C+dtG]⁻¹[Cvn+dt(P+Gextv_ext)] (3.16) Caso a variação térmica das propriedades físicas dos materiais for conside- rada, as matrizesC, GeGextdevem ser atualizadas a cada passo temporal. Uma vez obtidos os valores de temperatura para cada nó da malha térmica, atualizam- se os valores de resistência associados a cada ponto discretizado, obtendo a re- sistência total de cada camada, o que permite o cálculo de corrente na próxima iteração. Na subseção a seguir será detalhada a geometria da malha térmica do

Tabela 3.1: Parâmetros da discretização térmica do Air Coil.

Espessura Elementos em z Comprimento da ta Elementos em y Total Cobre 1330×10⁻⁶m 3

147 cm 147

441

Prata 2×10⁻⁶ m 1 147

YBCO 1×10⁻⁶ m 1 147

Hastelloy 250×10⁻⁶ m 4 588

Cobre 1330×10⁻⁶ m 3 441

Total do dispositivo: (441 + 147 + 147 + 588 + 441)×22 = 38808 elementos Air Coil.

3.3 Modelo Térmico

O secundário do Air Coil é composto por um enrolamento de 22 fitas super- condutoras curto-circuitadas, atuando como uma bobina de apenas uma volta.

Cada fita foi modelada por uma malha retangular, como ilustrado na figura 3.6.

A tabela 3.1 apresenta os parâmetros da discretização de cada camada. Os nós que representam a temperatura do nitrogênio são mantidos em 77 V, pois assume-se que o nitrogênio mantém-se em sua temperatura de ebulição de 77 K. A tensão ini- cial de todos os nós é 77 V, pois a temperatura inicial - de regime - do secundário é de 77 K.

As matrizesGeCpossuem dimensão[(n_y ×n_z)x(ny ×n_z)], onden_y en_z são os números de elementos nas dimensões y e z, respectivamente. Como visto na tabela 3.1,ny = 147enz = 12, e portanto, as matrizesGeCpossuem dimensão [1764x1764]. A cada passo de tempo, a equação??deve ser resolvida doze vezes, uma vez para cada fita em paralelo, o que implica na construção deGeCe inver- são de[C+dtG]vinte e duas vezes por passo de tempo, causando um razoável esforço computacional, reduzido, entretanto, devido à esparsidade das matrizes envolvidas.

Cobre

HTS

Hastelloy

Cobre

147 elementos ao longo do comprimento da fita LN₂

LN₂ Prata

Figura 3.6: Malha térmica de uma ta supercondutora. As cores são apenas ilus- trativas, para distinguir as camadas. Figura fora de escala.

3.4 Rotina de simulação

As subseções anteriores definiram os modelos térmicos e elétricos do Air Coil.

A seguir, ambos serão unidos na rotina geral de simulação.

Inicialmente, definem-se os parâmetros gerais do programa, como tempo total de simulação e passo de integração. Em seguida, definem-se as dependências tér- micas das propriedades físicas de todos os materiais constituintes da fita, como

condutividade térmica, calor específico, densidade e resistividade, além da de- pendência térmica do coeficiente de troca por convecção. O valor inicial de cada uma dessas propriedades é calculado para 77 K. Para o material supercondutor, é preciso também definir o campo críticoE_c, temperatura críticaT_c, corrente crítica I_ce o desvio padrão para cada fita (considera-se uma distribuição normal deI_cao longo do comprimento da fita), índices de transição para flux creep e flux flow e uma resistividade arbitrária inicial. É necessário também entrar com as medidas geométricas, como largura e comprimento de cada fita, espessura de cada camada e número de fitas em paralelo.

Definem-se em seguida os parâmetros elétricos do circuito utilizado no ensaio de curto, como tensão de entrada, fase, indutância e resistências da fonte, e in- dutância e resistência do primário, indutância de magnetização e indutância do secundário.

A seguir, definem-se os parâmetros do modelo térmico, a saber, o número de elementos ao longo da espessura de cada camada, número de elementos ao longo do comprimento da fita, temperatura inicial, temperatura externa.

Com todas as constantes definidas, cria-se as matrizesC,GeGext.

A seguir, inicia-se o loop temporal de simulação, utilizando as condições inici- ais para se obter a correntei_s que percorre o secundário, através da resolução da equação 3.2 por Runge-Kutta de quarta ordem. Calcula-se, então, por divisor de corrente, as correntes que percorrem cada camada de cada fita, com as equações 3.3 e 3.4. Em posse das correntes estimadas nas camadas supercondutoras, parte- se para a iteração de corrente, para calcular a resistividade e a corrente correta de cada camada supercondutora. Com o valor de resistividade, atualizam-se as cor- rentes em cada camada de cada fita, e calcula-se a potência dissipada por efeito Joule. Uma vez obtido o vetor de potênciasP, resolve-se a equação??, obtendo a temperatura em cada nó da malha térmica. A seguir, todas as propriedades físicas são recalculadas a partir dos novos valores de temperatura, e as matrizesGeC são recriadas a partir dos novos valores de propriedades físicas, seguindo para o

Término da simulação 01

02

t > tempo de simulação?

sim

03 04

05

Dados de entrada

Cálculo da potência dissipada em cada camada por efeito

Joule

Cálculo da temperatura em cada nó da malha térmica pela equa-

ção 3.14

Atualização de todas as gran- dezas dependentes da tempe-

ratura Tempo de integração:

não

06 07

08 09 10 11

Construção das matrizes

Cálculo da corrente através da equação 3.2

Processo iterativo para calcular a resistividade e a corrente do material supercondutor Cálculo das correntes em cada camada por divisor de corren- te (equações 3.3 e 3.4)

Atualização da divisão de correntes com a resistividade

corrigida

Figura 3.7: Rotina completa da simulação.

próximo instante de tempo. Repete-se esse procedimento até que seja atingido o tempo total de simulação. Essa rotina está apresentada no diagrama da figura 3.7.

A tabela 3.2 apresenta todas os dados de entrada utilizados.