P ²Ö ³μ, Œ.. Ò ± 1, 2,..ˆ μ,.ˆ.š ²Ó. Œ ˆ œ Š Œ Ÿ Š Š ˆˆ Š ˆ. Œ ƒ Ÿ Œ ˆ ˆŸˆ. ƒ ³ Ö 2 Š ± Í μ ²Ó Ò Ê É É ³.. Î ±μ, Š

P11-2013-118

’. . ¡²Ö§¨³μ¢, Œ. ‚. ‡Ò§ ±

, ‚. ‚. ˆ¢ ´μ¢, . ˆ. Š¨¸¥²Ó

Œ…’„ ”ˆ‹œ’ Š‹Œ

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‡Ÿ†…›• —‘’ˆ– ‚ Š‘…ˆŒ…’… CBM ˆ …ƒ ‹‹…‹œŸ …‹ˆ‡–ˆŸ

ŒƒŸ„…Œ ‘…‚…… ‹ˆ’ ˆŸˆ

1”· ´±Ëʷɸ±¨° Ê´¨¢¥·¸¨É¥É ¨³. ˆ. ‚. ƒ¥É¥, ”· ´±ËÊ·É-´ -Œ °´¥, ƒ¥·³ ´¨Ö

2Š¨¥¢¸±¨° ´ Í¨μ´ ²Ó´Ò° Ê´¨¢¥·¸¨É¥É ¨³. ’. ˜¥¢Î¥´±μ, Š¨¥¢

¡²Ö§¨³μ¢ ’. . ¨ ¤·. P11-2013-118 Œ¥Éμ¤ Ë¨²ÓÉ·  Š ²³ ´  ¤²Ö ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨

É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í ¢ Ô±¸¶¥·¨³¥´É¥ CBM

¨ ¥£μ ¶ · ²²¥²Ó´ Ö ·¥ ²¨§ Í¨Ö ´  ³´μ£μÖ¤¥·´μ³ ¸¥·¢¥·¥ ‹ˆ’ ˆŸˆ

‡ ¤ Î  ´ Ì즤¥´¨Ö ¶ · ³¥É·μ¢ É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í Å μ¤´  ¨§

μ¸´μ¢´ÒÌ ¢ Ô±¸¶¥·¨³¥´É¥ ‘‚Œ (GSI, ƒ¥·³ ´¨Ö). ±¸¶¥·¨³¥´É ¶·¥¤¶μ² £ ¥É

¶μ²´ÊÕ ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨Õ ¸μ¡Òɨ° ¢ ·¥¦¨³¥ ·¥ ²Ó´μ£μ ¢·¥³¥´¨, ÎÉμ É·¥¡Ê¥É · §-

¢¨É¨Ö ¡Ò¸É·ÒÌ  ²£μ·¨É³μ¢, ³ ±¸¨³ ²Ó´μ ¨¸¶μ²Ó§ÊÕÐ¨Ì ¶μÉ¥´Í¨ ² ¸μ¢·¥³¥´-

´ÒÌ  ·Ì¨É¥±ÉÊ· CPU ¨ GPU. ‚ ´ ¸ÉμÖÐ¥° · ¡μÉ¥ ¶·¨¢¥¤¥´Ò ·¥§Ê²ÓÉ ÉÒ  ´ ²¨§ 

 ²£μ·¨É³  ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í ´  μ¸´μ¢¥ ˨²ÓÉ· 

Š ²³ ´ , ·¥ ²¨§μ¢ ´´μ£μ ¸ ¶·¨³¥´¥´¨¥³ · §²¨Î´ÒÌ ³¥Éμ¤μ¢ · ¸¶ · ²²¥²¨¢ ´¨Ö

±μ¤ . „²Ö  ´ ²¨§  ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ²¸Ö ³´μ£μÖ¤¥·´Ò° ¸¥·¢¥· ‹ˆ’ ˆŸˆ ¸ ¤¢Ê³Ö Í¥´- É· ²Ó´Ò³¨ ¶·μÍ¥¸¸μ· ³¨ Intel Xeon X5660 ¨ £· Ë¨Î¥¸±¨³ ¶·μÍ¥¸¸μ·μ³ NVidia GTX 480.

 ¡μÉ  ¢Ò¶μ²´¥´  ¢ ‹ ¡μ· Éμ·¨¨ ¨´Ëμ·³ Í¨μ´´ÒÌ É¥Ì´μ²μ£¨° ˆŸˆ.

‘μμ¡Ð¥´¨¥ ¡Ñ¥¤¨´¥´´μ£μ ¨´¸É¨ÉÊÉ  Ö¤¥·´ÒÌ ¨¸¸²¥¤μ¢ ´¨°. „Ê¡´ , 2013

Ablyazimov T. O. et al. P11-2013-118

A Kalman Filter Method for the Charged Particles Trajectories Reconstruction in the CBM Experiment

and Its Parallel Implementation at the JINR LIT Manycore Server

The charged particles trajectories reconstruction is one of the most important tasks in the CBM experiment (GSI, Germany). The experiment assumes a full online event reconstruction that requires development of fast algorithms which harness the potential of modern CPU and GPU architectures to the best advantage. This work scrutinizes the Kalman ˇlter based track reconstruction algorithm and discusses its implementation under different parallelization approaches. To perform the analysis, a manycore server with two Intel Xeon X5660 CPUs and a NVidia GTX 480 GPU (LIT, JINR) was used.

The investigation has been performed at the Laboratory of Information Tech- nologies, JINR.

Communication of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 2013

‚‚…„…ˆ…

‚ ´ ¸ÉμÖÐ¥¥ ¢·¥³Ö ¢ GSI („ ·³ÏÉ ¤É, ƒ¥·³ ´¨Ö) ´  ¸É·μÖÐ¥³¸Ö ʸ±μ·¨- É¥²Ó´μ³ ±μ³¶²¥±¸¥ FAIR (Facility for Antiproton and Ion Research) ¢¥¤ÊÉ¸Ö · -

¡μÉÒ ¶μ ¸μ§¤ ´¨Õ Ô±¸¶¥·¨³¥´É ²Ó´μ° ʸɠ´μ¢±¨ CBM (Compressed Baryonic Matter). ”¨§¨Î¥¸± Ö ¶·μ£· ³³  ‘‚Œ ´ Í¥²¥´  ´  ¢¸¥¸Éμ·μ´´¥¥ ¨§ÊÎ¥´¨¥

Ë §μ¢μ° ¤¨ £· ³³Ò ¸¨²Ó´μ¢§ ¨³μ¤¥°¸É¢ÊÕÐ¥° ³ É¥·¨¨ ¨ Ê· ¢´¥´¨Ö ¸μ¸ÉμÖ-

´¨Ö ¢¥Ð¥¸É¢  ¶·¨ Ô±¸É·¥³ ²Ó´μ ¢Ò¸μ±¨Ì ¶²μÉ´μ¸ÉÖÌ ¡ ·¨μ´´μ° ³ É¥·¨¨ [1].

„²Ö ¥¥ ·¥ ²¨§ Í¨¨ ´¥μ¡Ì줨³Ò ¨§³¥·¥´¨Ö ³´μ¦¥¸É¢¥´´μ¸É¨ Π¸É¨Í, ¨Ì · ¸-

¶·¥¤¥²¥´¨° ¢ Ë §μ¢μ³ ¶·μ¸É· ´¸É¢¥, Í¥´É· ²Ó´μ¸É¨ ¸μʤ ·¥´¨° ¨ ¶²μ¸±μ¸É¨

·¥ ±Í¨¨. ‘ Éμα¨ §·¥´¨Ö ˨§¨Î¥¸±μ° ¶·μ£· ³³Ò ´ ¨¡μ²ÓϨ° ¨´É¥·¥¸ ¸¢Ö-

§ ´ ¸ μÎ¥´Ó ·¥¤±¨³¨ · ¸¶ ¤ ³¨, ·¥£¨¸É· Í¨Ö ±μÉμ·ÒÌ ¶μÉ·¥¡Ê¥É ¶·μ¢¥¤¥´¨¥

Ô±¸¶¥·¨³¥´É  ¶·¨ Ô±¸É·¥³ ²Ó´μ ¢Ò¸μ±¨Ì Π¸ÉμÉ Ì ¸μʤ ·¥´¨Ö Ö¤¥· ¶Êα  ¸

³¨Ï¥´ÓÕ ¨ ¡μ²ÓÏμ° ³´μ¦¥¸É¢¥´´μ¸É¨ § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í, ·μ¦¤ ÕÐ¨Ì¸Ö ¢

·¥§Ê²Óɠɥ ÔÉ¨Ì ¸μʤ ·¥´¨°.

‘Ì¥³  Ô±¸¶¥·¨³¥´É ²Ó´μ° ʸɠ´μ¢±¨ ‘‚Œ ¸ ³Õμ´´Ò³ ¤¥É¥±Éμ·μ³ ¶·¥¤-

¸É ¢²¥´  ´  ·¨¸. 1.

¨¸. 1. ‘Ì¥³  Ô±¸¶¥·¨³¥´É ²Ó´μ° ʸɠ´μ¢±¨ ‘‚Œ ¸ ³Õμ´´Ò³ ¤¥É¥±Éμ·μ³ MuCh

¥¶μ¸·¥¤¸É¢¥´´μ §  ³¨Ï¥´ÓÕ ³¥¦¤Ê ¶μ²Õ¸ ³¨ ¸¢¥·Ì¶·μ¢μ¤ÖÐ¥£μ

¤¨¶μ²Ó´μ£μ ³ £´¨É  · ¸¶μ² £ ÕÉ¸Ö ±μμ·¤¨´ É´Ò¥ É·¥±μ¢Ò¥ ¤¥É¥±É¨·ÊÕШ¥

¸¨¸É¥³Ò: MVD (Micro-Vertex Detector), ¢±²ÕΠÕШ° ¤¢¥ ¸É ´Í¨¨ ¨§ ³μ-

´μ²¨É´ÒÌ ³¨±·μ¶¨±¸¥²Ó´ÒÌ ¤¥É¥±Éμ·μ¢, ¨ STS (Silicon Tracking System),

¸μ¸ÉμÖШ° ¨§ ¢μ¸Ó³¨ ¤¢Ê̸Éμ·μ´´¨Ì ±·¥³´¨¥¢ÒÌ ³¨±·μ¸É·¨¶μ¢ÒÌ ¤¥É¥±Éμ-

·μ¢. „¥É¥±É¨·ÊÕШ¥ ¸¨¸É¥³Ò MVD ¨ STS ¶·¥¤´ §´ Î¥´Ò ¤²Ö ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨

É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í, ¢μ¸¸É ´μ¢²¥´¨Ö ¨Ì ¨³¶Ê²Ó¸μ¢ ¸ Éμδμ¸ÉÓÕ

´¥ Ìʦ¥ 1 % ¨ ´ Ì즤¥´¨Ö ¢Éμ·¨Î´ÒÌ ¢¥·Ï¨´ ¢ ʸ²μ¢¨ÖÌ ¢Ò¸μ±μ° ³´μ¦¥-

¸É¢¥´´μ¸É¨ ¨ ¶²μÉ´μ¸É¨ Π¸É¨Í. ŒÕμ´´ Ö ¸¨¸É¥³  MuCh (Muon Chamber),

¸μ¸ÉμÖÐ Ö ¨§ Î¥·¥¤ÊÕÐ¨Ì¸Ö ¸²μ¥¢ ¦¥²¥§´ÒÌ ¶μ£²μɨɥ²¥° ¨ ±μμ·¤¨´ É´ÒÌ

¤¥É¥±Éμ·μ¢, ¶·¥¤´ §´ Î¥´  ¤²Ö ¨¤¥´É¨Ë¨± Í¨¨ ¢Éμ·¨Î´ÒÌ ³Õμ´μ¢ ¨ ·¥±μ´-

¸É·Ê±Í¨¨ ¨Ì É·¥±μ¢. „¥É¥±Éμ· ¶¥·¥Ìμ¤´μ£μ ¨§²ÊÎ¥´¨Ö TRD (Transition Radi- ation Detector) ¨¸¶μ²Ó§Ê¥É¸Ö ¤²Ö ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ É·¥±μ¢ Π¸É¨Í ¨ ¨¤¥´É¨Ë¨-

± Í¨¨ Ô²¥±É·μ´μ¢/¶μ§¨É·μ´μ¢ ¢ ʸ²μ¢¨ÖÌ ¤μ³¨´¨·ÊÕÐ¥£μ Ëμ´  μÉ ¶¨μ´μ¢.

„²Ö ¨¤¥´É¨Ë¨± Í¨¨  ¤·μ´μ¢ ¨¸¶μ²Ó§Ê¥É¸Ö ¤¥É¥±Éμ· ¢·¥³¥´¨ ¶·μ²¥É  TOF (Time-Of-Flight). Š ²μ·¨³¥É· PSD (Projectile Spectator Detector) ¸²Ê¦¨É ¤²Ö μ¶·¥¤¥²¥´¨Ö ¶²μ¸±μ¸É¨ ·¥ ±Í¨¨.

 ²¨Î¨¥ ¨´É¥´¸¨¢´ÒÌ ¶μÉμ±μ¢ ·¥£¨¸É·¨·Ê¥³μ° Ô±¸¶¥·¨³¥´É ²Ó´μ° ¨´- Ëμ·³ Í¨¨, ±μÉμ·Ò¥ ³μ£ÊÉ ¤μ¸É¨£ ÉÓ ¢¥²¨Î¨´Ò 1 ’¡ °É/¸ ¶·¨ Π¸ÉμÉ¥ Ö¤·μ- Ö¤¥·´ÒÌ ¸μʤ ·¥´¨° 10 ŒƒÍ, μ¡Ê¸² ¢²¨¢ ¥É ¦¥¸É±¨¥ É·¥¡μ¢ ´¨Ö ± ± ±  ·- ̨ɥ±ÉÊ·¥ ¨ ¡Ò¸É·μ¤¥°¸É¢¨Õ ¸¨¸É¥³Ò ¸¡μ·  ¨ ´ ±μ¶²¥´¨Ö ¨´Ëμ·³ Í¨¨, É ±

¨ ± μ·£ ´¨§ Í¨¨ μÉ¡μ·  ·¥¤±¨Ì ¸μ¡Òɨ°, ¶·¥¤¸É ¢²ÖÕÐ¨Ì ¨´É¥·¥¸ ¤²Ö ˨-

§¨±μ¢. ‚¢¨¤Ê ¸²μ¦´μ¸É¨ ¨ ´¥μ¤´μ§´ Î´μ¸É¨ ±·¨É¥·¨¥¢ μÉ¡μ·  É ±¨Ì ¸μ¡Ò- ɨ°, ±μ²² ¡μ· Í¨¥° ‘‚Œ ¶·¨´ÖÉμ ·¥Ï¥´¨¥ ´¥ ¸É·μ¨ÉÓ μ¡ÐÊÕ ¤²Ö ¢¸¥Ì ¨¸-

¸²¥¤Ê¥³ÒÌ Ë¨§¨Î¥¸±¨Ì ¶·μÍ¥¸¸μ¢ É·¨££¨·ÊÕÐÊÕ ¸¨¸É¥³Ê,   ¶·μ¢μ¤¨ÉÓ μ¡· -

¡μÉ±Ê ¢¸¥° ·¥£¨¸É·¨·Ê¥³μ° ¨´Ëμ·³ Í¨¨ ¢ ·¥ ²Ó´μ³ ¢·¥³¥´¨ Ô±¸¶¥·¨³¥´É . μÉ챨 Ô±¸¶¥·¨³¥´É ²Ó´μ° ¨´Ëμ·³ Í¨¨ ¡Ê¤ÊÉ Ê¶· ¢²ÖÉÓ¸Ö ¶μ¸·¥¤¸É¢μ³ ¢Ò-

¸μ±μ¸±μ·μ¸É´μ° ¸¥É¨, μ¡Ñ¥¤¨´ÖÕÐ¥° ¢Ò¸μ±μ¶·μ¨§¢μ¤¨É¥²Ó´ÊÕ ¢ÒΨ¸²¨É¥²Ó-

´ÊÕ ¸·¥¤Ê ¸ ±μ´Ë¨£Ê·¨·Ê¥³Ò³¨ ¢ÒΨ¸²¨É¥²Ó´Ò³¨ ·¥¸Ê·¸ ³¨. É  ¸·¥¤  ¡Ê¤¥É

¨¸¶μ²Ó§μ¢ ÉÓ¸Ö ¤²Ö ˨²ÓÉ· Í¨¨ ¨´Ëμ·³ Í¨¨ ¨ Ëμ·³¨·μ¢ ´¨Ö ¸μ¡Òɨ°. „²Ö

¢±²ÕÎ¥´¨Ö ± ´¤¨¤ É  ´  ¸μ¡Òɨ¥ ¢ ¸¶¨¸μ± μÉμ¡· ´´ÒÌ ¸μ¡Òɨ° É·¥¡Ê¥É¸Ö

´ ²¨Î¨¥ ·¥±μ´¸É·Ê¨·μ¢ ´´ÒÌ É·¥±μ¢,   É ±¦¥ ¢μ¸¸É ´μ¢²¥´´ÒÌ ¸ ¶μ³μÐÓÕ

¤¥É¥±Éμ·μ¢ MVD ¨ STS ¶¥·¢¨Î´μ° ¨ ¢Éμ·¨Î´ÒÌ ¢¥·Ï¨´. ‚ ± Î¥¸É¢¥ μ¶·¥¤¥-

²ÖÕÐ¥£μ Ë ±Éμ·  ¤²Ö ¸¨¸É¥³Ò DAQ (Data AcQuisition) ¶·¨´ÖÉ  ¶·μ¶Ê¸±´ Ö

¸¶μ¸μ¡´μ¸ÉÓ ¢¸¥° ¢ÒΨ¸²¨É¥²Ó´μ° ¸·¥¤Ò. ’ ±μ° ¶μ¤Ìμ¤ ¤μ²¦¥´ ¶μ§¢μ²¨ÉÓ

¸ ³ ±¸¨³ ²Ó´μ° ÔËË¥±É¨¢´μ¸ÉÓÕ ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ÉÓ ¢¸¥ ¢ÒΨ¸²¨É¥²Ó´Ò¥ ·¥¸Ê·¸Ò ʸɠ´μ¢±¨ ‘‚Œ ¶·¨ ´ ¡μ·¥ ¸É É¨¸É¨±¨, ¤μ¸É ÉμÎ´μ° ¤²Ö ·¥£¨¸É· Í¨¨ ·¥¤±¨Ì

¶·μÍ¥¸¸μ¢, ¢μ§´¨± ÕÐ¨Ì ¢ Ö¤·μ-Ö¤¥·´ÒÌ ¸μʤ ·¥´¨ÖÌ ¶·¨ ¢Ò¸μ±¨Ì Ô´¥·£¨ÖÌ.

’ ±¨³ μ¡· §μ³, ¡Ò¸É· Ö ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨Ö É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í

¸ ¶μ³μÐÓÕ ¤¥É¥±Éμ·μ¢ MVD ¨ STS Ö¢²Ö¥É¸Ö ±²ÕÎ¥¢μ° ¶·μ¡²¥³μ° ¢ § ¤ Î¥

μÉ¡μ·  ¶μ²¥§´ÒÌ ¸μ¡Òɨ° ¢ Ô±¸¶¥·¨³¥´É¥ CBM. ‚Ò¸μ± Ö ³´μ¦¥¸É¢¥´´μ¸ÉÓ

¸μ¡Òɨ° (¤μ 1000 É·¥±μ¢ ¢ ± ¦¤μ³ Ö¤·μ-Ö¤¥·´μ³ ¸μʤ ·¥´¨¨), ¨´É¥´¸¨¢´Ò°

Ëμ´ (¤μ 85 % Ëμ´μ¢ÒÌ μɸΥÉμ¢ ¢ MVD ¨ STS), ´¥μ¤´μ·μ¤´μ¥ ³ £´¨É´μ¥ ¶μ²¥

¨ ´¥μ¡Ì줨³μ¸ÉÓ ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ ¢¸¥Ì ¸μ¡Òɨ° ¢ ·¥¦¨³¥ ·¥ ²Ó´μ£μ ¢·¥³¥´¨

(¤μ 10⁷ ¸μ¡Òɨ° ¢ ¸¥±Ê´¤Ê) É·¥¡ÊÕÉ ´¥ Éμ²Ó±μ · §¢¨É¨Ö ´μ¢ÒÌ ¶μ¤Ìμ¤μ¢

¤²Ö ·¥Ï¥´¨Ö · ¸¸³ É·¨¢ ¥³μ° § ¤ Î¨, ´μ ¨ ³ ±¸¨³ ²Ó´μ£μ ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ´¨Ö

¶μÉ¥´Í¨ ²  ¸μ¢·¥³¥´´ÒÌ ³´μ£μÖ¤¥·´ÒÌ  ·Ì¨É¥±ÉÊ· CPU/GPU.

·μÍ¥¤Ê·  ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í, ·¥£¨¸É·¨-

·Ê¥³ÒÌ ¸ ¶μ³μÐÓÕ ¢¥·Ï¨´´μ£μ ¤¥É¥±Éμ·  ‘‚Œ, ¢±²ÕΠ¥É ¤¢  ¶μ¸²¥¤μ¢ É¥²Ó-

´ÒÌ ÔÉ ¶ :

1) · ¸¶μ§´ ¢ ´¨¥ É·¥±μ¢ ¢ ʸ²μ¢¨ÖÌ ¢Ò¸μ±μ° ³´μ¦¥¸É¢¥´´μ¸É¨ ¨ ¶²μÉ-

´μ¸É¨ § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í, ¨´É¥´¸¨¢´μ£μ Ëμ´  ¨ ´¥μ¤´μ·μ¤´μ£μ ³ £´¨É´μ£μ

¶μ²Ö;

2) ¢μ¸¸É ´μ¢²¥´¨¥ ¶ · ³¥É·μ¢ É·¥±  (³¥¸Éμ ¶μ¶ ¤ ´¨Ö ¢ ±μμ·¤¨´ É´Ò°

¤¥É¥±Éμ· ¨ ´ ¶· ¢²¥´¨¥ É·¥± ) ¨ ¨³¶Ê²Ó¸  § ·Ö¦¥´´μ° Π¸É¨ÍÒ ¸ ¨¸¶μ²Ó§μ-

¢ ´¨¥³ ¨´Ëμ·³ Í¨¨ μ ±μμ·¤¨´ É Ì É·¥±  (¸ ¤¥É¥±Éμ·μ¢ MVD ¨ STS), ´ °-

¤¥´´μ£μ ´  Ï £¥ 1.

‚ ¢Ò¶μ²´¥´´μ° · ´¥¥ · ¡μÉ¥ [2] ¡Ò²  ¶·¥¤¸É ¢²¥´  ·¥ ²¨§ Í¨Ö ¡Ò¸É·μ£μ  ²£μ·¨É³  · ¸¶μ§´ ¢ ´¨Ö É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í ¢ ¢¥·Ï¨´´μ³ ¤¥É¥±- Éμ·¥ Ô±¸¶¥·¨³¥´É  ‘‚Œ ¸ ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ´¨¥³ ¶ · ²²¥²Ó´ÒÌ ¢ÒΨ¸²¥´¨° ´  ³´μ-

£μÖ¤¥·´μ³ ¸¥·¢¥·¥ ‹ˆ’ ˆŸˆ ¸ ¤¢Ê³Ö Í¥´É· ²Ó´Ò³¨ ¶·μÍ¥¸¸μ· ³¨ Intel Xeon 5640^∗. ‚ μ¸´μ¢Ê ÔÉμ£μ  ²£μ·¨É³  ¶μ²μ¦¥´Ò ±μ´Í¥¶Í¨Ö ±²¥Éμδμ£μ  ¢Éμ³ É  ¨ ˨²ÓÉ· Š ²³ ´ . ¥¸³μÉ·Ö ´  ¢Ò¸μ±ÊÕ ³´μ¦¥¸É¢¥´´μ¸ÉÓ ¸μ¡Òɨ°,

¨´É¥´¸¨¢´Ò° Ëμ´ ¨ ´¥μ¤´μ·μ¤´μ¥ ³ £´¨É´μ¥ ¶μ²¥,  ²£μ·¨É³ ¶·μ¤¥³μ´¸É·¨·μ-

¢ ² ¢Ò¸μ±ÊÕ ÔËË¥±É¨¢´μ¸ÉÓ · ¸¶μ§´ ¢ ´¨Ö É·¥±μ¢ Å 96Ä97 % Å ¶·¨ ´¨§±μ³ Ê·μ¢´¥ ´¥±μ··¥±É´μ ´ °¤¥´´ÒÌ É·¥±μ¢ Å 2Ä4 %. ·¨ ÔÉμ³ ¡Ò²  ¤μ¸É¨£-

´ÊÉ  ¢Ò¸μ± Ö ¸±μ·μ¸ÉÓ μ¡· ¡μɱ¨ ¸μ¡Òɨ° ´  μ¤´μ³ ²μ£¨Î¥¸±μ³ Ö¤·¥, · ¢´ Ö

¢ ¸·¥¤´¥³ 220 ³¸ ´  μ¤´μ Í¥´É· ²Ó´μ¥ ¸μ¡Òɨ¥ ¨ 25 ³¸ ´  μ¤´μ ¸³¥Ï ´´μ¥

¸μ¡Òɨ¥. Ò²μ ¶μ± § ´μ, ÎÉμ ¸ Ê¢¥²¨Î¥´¨¥³ Ψ¸²  ¢±²ÕΠ¥³ÒÌ ¢ μ¡· ¡μÉ±Ê Ö¤¥· ¶· ±É¨Î¥¸±¨ ²¨´¥°´μ · ¸É¥É ±μ²¨Î¥¸É¢μ μ¡· ¡μÉ ´´ÒÌ ¸μ¡Òɨ°.

‚ ´ ¸ÉμÖÐ¥° · ¡μÉ¥ ¶·¨¢¥¤¥´Ò ·¥§Ê²ÓÉ ÉÒ ¨¸¸²¥¤μ¢ ´¨Ö ¶·μ¨§¢μ¤¨É¥²Ó-

´μ¸É¨  ²£μ·¨É³  ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ É· ¥±Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í, ·¥ ²¨§μ¢ ´-

´μ£μ ´  μ¸´μ¢¥ ˨²ÓÉ·  Š ²³ ´  ¸ ¶·¨³¥´¥´¨¥³ · §²¨Î´ÒÌ ¶μ¤Ìμ¤μ¢ ¤²Ö

· ¸¶ · ²²¥²¨¢ ´¨Ö ±μ¤  ´  ³´μ£μÖ¤¥·´μ³ ¸¥·¢¥·¥ ‹ˆ’ ˆŸˆ. ‚ μɲ¨Î¨¥

μÉ ¶·¥¤Ò¤ÊÐ¥° ´ Ï¥° · ¡μÉÒ [2], ÔÉμÉ ¸¥·¢¥· μ¸´ Ð¥´ ¤¢Ê³Ö ¡μ²¥¥ ¢Ò¸μ±μ-

¶·μ¨§¢μ¤¨É¥²Ó´Ò³¨ ¶·μÍ¥¸¸μ· ³¨ Intel Xeon X5660 ¨ £· Ë¨Î¥¸±μ° ± ·Éμ°

NVidia GTX 480: ¸Ê³³ ·´μ¥ ±μ²¨Î¥¸É¢μ ˨§¨Î¥¸±¨Ì Ö¤¥· ¤¢ÊÌ ¶·μÍ¥¸¸μ·μ¢

Intel Xeon X5660 · ¢´Ö¥É¸Ö 12, ÎÉμ (¸ ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ´¨¥³ £¨¶¥·¶μÉμδμ¸É¨) ¸μμÉ-

¢¥É¸É¢Ê¥É 24 ²μ£¨Î¥¸±¨³ Ö¤· ³; μ¡Ð¥¥ Ψ¸²μ ¢ÒΨ¸²¨É¥²Ó´ÒÌ Ö¤¥· ´  ± ·É¥

NVidia GTX 480 ¸μ¸É ¢²Ö¥É 448. „²Ö μÍ¥´±¨ ¶·μ¨§¢μ¤¨É¥²Ó´μ¸É¨  ²£μ·¨É³ 

∗¡Ð¥¥ ±μ²¨Î¥¸É¢μ ˨§¨Î¥¸±¨Ì Ö¤¥· ´  ¤¢ÊÌ ¶·μÍ¥¸¸μ· Ì · ¢´Ö¥É¸Ö 8,   ¸Ê³³ ·´μ¥ Ψ¸²μ

²μ£¨Î¥¸±¨Ì Ö¤¥· (¸ ÊÎ¥Éμ³ £¨¶¥·¶μÉμδμ¸É¨) ¸μ¸É ¢²Ö¥É 16.

¨¸¶μ²Ó§μ¢ ²¨¸Ó · §´Ò¥ ¶μ¤Ìμ¤Ò ¤²Ö · ¸¶ · ²²¥²¨¢ ´¨Ö ¨ ¢¥±Éμ·¨§ Í¨¨ ¶·μ-

£· ³³´μ£μ ±μ¤ : § £μ²μ¢μδҥ Ë °²Ò, μ¸ÊÐ¥¸É¢²ÖÕШ¥ ¶¥·¥£·Ê§±Ê 춥· Éμ-

·μ¢, ¸·¥¤¸É¢  ¡¨¡²¨μÉ¥±¨ Vc (Vector Classes) [3], ¶·μ£· ³³´Ò¥ ¸·¥¤Ò OpenMP (Open Multi-Processing) [4] ¨ OpenCL (Open Computing Language) [5].

1. ‘˜ˆ…›‰ ”ˆ‹œ’ Š‹Œ

”¨²ÓÉ· Š ²³ ´  Å ÔÉμ ÔËË¥±É¨¢´Ò° ¢ÒΨ¸²¨É¥²Ó´Ò°  ²£μ·¨É³,

¶·¥¤´ §´ Î¥´´Ò° ¤²Ö ·¥±Ê·¸¨¢´μ£μ ¤μμÍ¥´¨¢ ´¨Ö ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö  ¶·¨- μ·´μ ¨§¢¥¸É´μ° ¤¨¸±·¥É¨§¨·μ¢ ´´μ° ¶μ ¢·¥³¥´¨ ²¨´¥°´μ° ¤¨´ ³¨Î¥¸±μ° ¸¨¸- É¥³Ò [6, 7]. „²Ö · ¸Î¥É  É¥±ÊÐ¥£μ ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ´Ê¦´μ §´ ÉÓ É¥±ÊÐ¥¥

¨§³¥·¥´¨¥ ¨ ¶·¥¤Ò¤ÊÐ¥¥ ¸μ¸ÉμÖ´¨¥ ¸ ³μ£μ ˨²ÓÉ· . ”¨²ÓÉ· Š ²³ ´  춥·¨-

·Ê¥É ¶μ´Öɨ¥³ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò (´ ¡μ·μ³ ¶ · ³¥É·μ¢, Ì · ±É¥·¨-

§ÊÕÐ¨Ì ¸μ¸ÉμÖ´¨¥ ¸¨¸É¥³Ò ¢ ´¥±μÉμ·Ò° ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨) ¨ ¥£μ ¸É É¨¸É¨Î¥-

¸±¨³ 춨¸ ´¨¥³. ‚ μ¡Ð¥³ ¸²ÊΠ¥ ¤¨´ ³¨±  ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö μ¶·¥¤¥²Ö¥É¸Ö

¶²μÉ´μ¸ÉÖ³¨ ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨ · ¸¶·¥¤¥²¥´¨Ö ¥£μ ±μ³¶μ´¥´É ¢ ± ¦¤Ò° ³μ³¥´É

¢·¥³¥´¨. ·¨ ´ ²¨Î¨¨ μ¶·¥¤¥²¥´´μ° ³ É¥³ É¨Î¥¸±μ° ³μ¤¥²¨ ¶·μ¨§¢μ¤¨³ÒÌ

´ ¡²Õ¤¥´¨° §  ¸¨¸É¥³μ°,   É ±¦¥ ³μ¤¥²¨ ¨§³¥´¥´¨Ö ¶ · ³¥É·μ¢ ¢¥±Éμ·  ¸μ-

¸ÉμÖ´¨Ö (¢ ¤ ´´μ³ ¸²ÊΠ¥ Å ³ ·±μ¢¸±μ£μ Ëμ·³¨·ÊÕÐ¥£μ ¶·μÍ¥¸¸ ) ³μ¦´μ

§ ¶¨¸ ÉÓ Ê· ¢´¥´¨¥ ¤²Ö  ¶μ¸É¥·¨μ·´μ° ¶²μÉ´μ¸É¨ ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸Éμ- Ö´¨Ö ¢ ²Õ¡μ° ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨. ‘μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐ¥¥ Ê· ¢´¥´¨¥ ´μ¸¨É ´ §¢ ´¨¥

Ê· ¢´¥´¨Ö ‘É· Éμ´μ¢¨Î , ±μÉμ·μ¥ ¢ μ¡Ð¥³ ¢¨¤¥ ´¥ ¨³¥¥É ·¥Ï¥´¨Ö. ´ ²¨É¨- Î¥¸±μ¥ ·¥Ï¥´¨¥ ʤ ¥É¸Ö ¶μ²ÊΨÉÓ Éμ²Ó±μ ¢ ¸²ÊΠ¥ ·Ö¤  μ£· ´¨Î¥´¨°:

•£ Ê¸¸μ¢¸±¨Ì  ¶·¨μ·´ÒÌ ¨  ¶μ¸É¥·¨μ·´ÒÌ ¶²μÉ´μ¸É¥° ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨ ¢¥±- Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ´  ²Õ¡μ° ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨ (¢ Éμ³ Î¨¸²¥ ´ Î ²Ó´Ò°);

•£ Ê¸¸μ¢¸±¨Ì Ëμ·³¨·ÊÕÐ¨Ì Ïʳμ¢;

•£ Ê¸¸μ¢¸±¨Ì ÏÊ³μ¢ ´ ¡²Õ¤¥´¨°;

•¡¥²ÒÌ ÏÊ³μ¢ ´ ¡²Õ¤¥´¨°;

•²¨´¥°´μ¸É¨ ³μ¤¥²¨ ´ ¡²Õ¤¥´¨°;

•²¨´¥°´μ¸É¨ ³μ¤¥²¨ Ëμ·³¨·ÊÕÐ¥£μ ¶·μÍ¥¸¸  (±μÉμ·Ò°, ´ ¶μ³´¨³, ¤μ²-

¦¥´ Ö¢²ÖÉÓ¸Ö ³ ·±μ¢¸±¨³ ¶·μÍ¥¸¸μ³).

Š² ¸¸¨Î¥¸±¨° ˨²ÓÉ· Š ²³ ´  [8, 9] ¶·¥¤¸É ¢²Ö¥É¸Ö Ê· ¢´¥´¨Ö³¨ ¤²Ö

· ¸Î¥É  ¶¥·¢μ£μ ¨ ¢Éμ·μ£μ ³μ³¥´Éμ¢  ¶μ¸É¥·¨μ·´μ° ¶²μÉ´μ¸É¨ ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨

(¢ ¸³Ò¸²¥ ¢¥±Éμ·  ³ É¥³ É¨Î¥¸±¨Ì 즨¤ ´¨° ¨ ³ É·¨ÍÒ ¤¨¸¶¥·¸¨°, ¢ Éμ³ Î¨¸²¥ ¨ ¢§ ¨³´ÒÌ) ¶·¨ ʱ § ´´ÒÌ μ£· ´¨Î¥´¨ÖÌ. ‚¢¨¤Ê Éμ£μ, ÎÉμ ¤²Ö ´μ·-

³ ²Ó´μ° ¶²μÉ´μ¸É¨ ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨ ³ É¥³ É¨Î¥¸±μ¥ 즨¤ ´¨¥ ¨ ¤¨¸¶¥·¸¨μ´´ Ö

³ É·¨Í  ¶μ²´μ¸ÉÓÕ § ¤ ÕÉ ¶²μÉ´μ¸ÉÓ ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨, ³μ¦´μ ¸± § ÉÓ, ÎÉμ ˨²ÓÉ·

Š ²³ ´  · ¸¸Î¨ÉÒ¢ ¥É  ¶μ¸É¥·¨μ·´ÊÕ ¶²μÉ´μ¸ÉÓ ¢¥·μÖÉ´μ¸É¨ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸Éμ- Ö´¨Ö ´  ± ¦¤Ò° ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨. §´ Î¨É, ¶μ²´μ¸ÉÓÕ μ¶¨¸Ò¢ ¥É ¢¥±Éμ·

¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ± ± ¸²ÊΠ°´ÊÕ ¢¥±Éμ·´ÊÕ ¢¥²¨Î¨´Ê.  ¸Î¥É´Ò¥ §´ Î¥´¨Ö ³ É¥³ - ɨΥ¸±¨Ì 즨¤ ´¨° ¶·¨ ÔÉμ³ Ö¢²ÖÕÉ¸Ö μ¶É¨³ ²Ó´Ò³¨ μÍ¥´± ³¨ ¶μ ±·¨É¥·¨Õ

¸·¥¤´¥±¢ ¤· É¨Î¥¸±μ° μϨ¡±¨, ÎÉμ ¨ μ¡Ê¸² ¢²¨¢ ¥É ¥£μ Ϩ·μ±μ¥ ¶·¨³¥´¥´¨¥.

‘ÊÐ¥¸É¢Ê¥É ´¥¸±μ²Ó±μ · §´μ¢¨¤´μ¸É¥° ˨²ÓÉ·  Š ²³ ´ , μɲ¨Î ÕШ̸Ö

¶·¨¡²¨¦¥´¨Ö³¨ ¨ ¶·¨¥³ ³¨, ±μÉμ·Ò¥ ¶·¨Ìμ¤¨É¸Ö ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ÉÓ ¤²Ö ¸¢¥¤¥-

´¨Ö ˨²ÓÉ·  ± 춨¸ ´´μ³Ê ¢¨¤Ê ¨ ʳ¥´ÓÏ¥´¨Ö ¥£μ · §³¥·´μ¸É¨. ‚ Π¸É´μ-

¸É¨, ¢· ¸Ï¨·¥´´μ³ ˨²ÓÉ·¥ Š ²³ ´ ´¥²¨´¥°´Ò¥ ³μ¤¥²Ó ´ ¡²Õ¤¥´¨° ¨ ³μ-

¤¥²Ó Ëμ·³¨·ÊÕÐ¥£μ ¶·μÍ¥¸¸  ²¨´¥ ·¨§ÊÕÉ¸Ö ¶μ¸·¥¤¸É¢μ³ · §²μ¦¥´¨Ö ¢ ·Ö¤

’¥°²μ· .

·¨ ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ´¨¨ ˨²ÓÉ·  Š ²³ ´  ¤²Ö μ¶·¥¤¥²¥´¨Ö μÍ¥´μ± ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö

¨¸¸²¥¤Ê¥³μ£μ ¶·μÍ¥¸¸  ¶μ ¸¥·¨¨ § Ïʳ²¥´´ÒÌ ¨§³¥·¥´¨° ¶·¥¤¶μ² £ ¥É¸Ö, ÎÉμ

¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ¢ ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨ k ³μ¦¥É ¡ÒÉÓ ¶μ²ÊÎ¥´ ¨§ ¨¸- ɨ´´μ£μ ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¢ ³μ³¥´Ék−1¨§ ¸²¥¤ÊÕÐ¥£μ Ê· ¢´¥´¨Ö:

rk=Fkrk−1+qk, (1)

£¤¥F_k Å ³ É·¨Í  Ô¢μ²Õͨ¨ ¶·μÍ¥¸¸ , ±μÉμ· Ö ¢μ§¤¥°¸É¢Ê¥É ´  ¢¥±Éμ·r_k−1 (¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ¢ ³μ³¥´É k−1); qk Å ´μ·³ ²Ó´Ò° ¸²ÊΠ°´Ò°

¶·μÍ¥¸¸ ¸ ´Ê²¥¢Ò³ ³ É¥³ É¨Î¥¸±¨³ 즨¤ ´¨¥³ ¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨- Í¥°Qk 춨¸Ò¢ ¥É ¸²ÊΠ°´Ò° Ì · ±É¥· Ô¢μ²Õͨ¨ ¸¨¸É¥³Ò: qk ∼N(0,Qk).

Šμ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í Qk≡ qk·q^T_k¤μ²¦´  ¡ÒÉÓ ¨§¢¥¸É´ .

‚ ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨k ¶·μ¨§¢μ¤¨É¸Ö ¨§³¥·¥´¨¥ mk ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö rk.

‚¥±Éμ·Òmk ¨rk ¸¢Ö§ ´Ò ³¥¦¤Ê ¸μ¡μ° Ê· ¢´¥´¨¥³

m_k=H_kr_k+v_k, (2)

£¤¥Hk Å ³ É·¨Í  ¨§³¥·¥´¨° (´ ¡²Õ¤¥´¨°), ¸¢Ö§Ò¢ ÕÐ Ö ¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö

¸ ¨§³¥·¥´¨¥³; vk Å ¡¥²Ò° £ Ê¸¸μ¢¸±¨° Ïʳ ¨§³¥·¥´¨° ¸ ´Ê²¥¢Ò³ ³ É¥-

³ É¨Î¥¸±¨³ 즨¤ ´¨¥³ ¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨Í¥° Vk: vk ∼ N(0,Vk).

Šμ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í Vk≡ vk·v^T_kÉ ±¦¥ ¤μ²¦´  ¡ÒÉÓ ¨§¢¥¸É´ .  Î ²Ó´μ¥ ¸μ¸ÉμÖ´¨¥ ¸¨¸É¥³Ò r₀ ¨ ¢¥±Éμ·Ò ¸²ÊΠ°´ÒÌ ¶·μÍ¥¸¸μ¢ ´ 

± ¦¤μ³ Ï £¥

{r₀,q₁, . . . ,q_k, . . . ,v₁, . . . ,v_k}

¶μ² £ ÕÉ¸Ö ´¥§ ¢¨¸¨³Ò³¨.

Œ¥Ì ´¨§³ · ¡μÉÒ Ë¨²ÓÉ·  Š ²³ ´  ´μ¸¨É ·¥±Ê·¸¨¢´Ò° Ì · ±É¥·: ¤²Ö

¢ÒΨ¸²¥´¨Ö μÍ¥´±¨ ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ´ k-³ É ±É¥ ´Ê¦´μ §´ ÉÓ ®¸μ¸ÉμÖ´¨¥

˨²ÓÉ· ¯ ´  ¶·¥¤Ò¤ÊÐ¥³ É ±É¥ ¨ ¨§³¥·¥´¨¥, ¢Ò¶μ²´¥´´μ¥ ´  É¥±ÊÐ¥³ É ±É¥.

‘μ¸ÉμÖ´¨¥ ˨²ÓÉ·  μ¶·¥¤¥²Ö¥É¸Ö ¤¢Ê³Ö ¶¥·¥³¥´´Ò³¨:

•rk Å μÍ¥´±  ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ¢ ³μ³¥´É ¢·¥³¥´¨k, ¶μ²ÊÎ¥´-

´ Ö ¶μ ·¥§Ê²ÓÉ É ³ ´ ¡²Õ¤¥´¨° ¢¶²μÉÓ ¤μ ³μ³¥´É  ¢·¥³¥´¨k¢±²ÕΨɥ²Ó´μ;

•Ck Å ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  μϨ¡μ±, § ¤ ÕÐ Ö μÍ¥´±Ê Éμδμ¸É¨

¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ¸μ¤¥·¦ Ð Ö ¤¨¸¶¥·¸¨¨ μϨ¡μ± ¢ÒΨ¸²¥´´μ£μ ¢¥±Éμ·  ¨

±μ¢ ·¨ Í¨¨, ¶μ± §Ò¢ ÕШ¥ ¢§ ¨³μ¸¢Ö§¨ ³¥¦¤Ê ¶ · ³¥É· ³¨ ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö

¸¨¸É¥³Ò.

·μÍ¥¤Ê·  ¢ÒΨ¸²¥´¨Ö μÍ¥´±¨ ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ¸ ¶μ³μÐÓÕ Ë¨²ÓÉ· 

Š ²³ ´  ¸μ¸Éμ¨É ¨§ ¤¢ÊÌ ¶μ¸²¥¤μ¢ É¥²Ó´ÒÌ ÔÉ ¶μ¢: Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ¨ ±μ··¥±- ͨ¨.   ÔÉ ¶¥ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ¢ÒΨ¸²ÖÕÉ¸Ö ¶·¥¤¢ ·¨É¥²Ó´Ò¥ μÍ¥´±¨ ¢¥±Éμ· 

¸μ¸ÉμÖ´¨Ör⁻_k ¨ ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐ¥° ¥³Ê ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ μϨ¡μ±C⁻_k.

‚ ¶·¨´ÖÉÒÌ ´ ³¨ μ¡μ§´ Î¥´¨ÖÌ §´ ± ®Ä¯ μ§´ Î ¥É, ÎÉμ ¢ ÔÉ¨Ì μÍ¥´± Ì ´¥

ÊΨÉÒ¢ ¥É¸Ö ¨§³¥·¥´¨¥k-£μ É ±É .   ÔÉ ¶¥ ±μ··¥±Í¨¨ μÍ¥´±¨, ¶μ²ÊÎ¥´´Ò¥

¶·¨ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨, ±μ··¥±É¨·ÊÕÉ¸Ö ¶ÊÉ¥³ ÊΥɠ É¥±ÊÐ¥£μ ¨§³¥·¥´¨Ö. ·¨

ÔÉμ³ §´ ± ®Ä¯ § ³¥´Ö¥É¸Ö ´  §´ ± ®+¯.

  ·¨¸. 2 ¶·¥¤¸É ¢²¥´  ¡²μ±-¸Ì¥³ , ¨²²Õ¸É·¨·ÊÕÐ Ö · ¡μÉÊ ±² ¸¸¨Î¥-

¸±μ£μ μ¶É¨³ ²Ó´μ£μ ˨²ÓÉ·  Š ²³ ´  [10].

¨¸. 2. ²μ±-cÌ¥³  · ¡μÉÒ ±² ¸¸¨Î¥¸±μ£μ μ¶É¨³ ²Ó´μ£μ ˨²ÓÉ·  Š ²³ ´  ˆ´¨Í¨ ²¨§ Í¨Ö. ‡ ¤ ÕÉ¸Ö ´ Î ²Ó´Ò¥ §´ Î¥´¨Ö ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö r0 ¨

¥£μ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ C0. ‡´ Î¥´¨¥ r0 ³μ¦¥É ¡ÒÉÓ ¢Ò¡· ´μ ¶·μ-

¨§¢μ²Ó´Ò³ μ¡· §μ³, ´ ¶·¨³¥· ¸ ¨¸¶μ²Ó§μ¢ ´¨¥³ ´¥±μÉμ·μ° ¶·¥¤¢ ·¨É¥²Ó´μ°

¨´Ëμ·³ Í¨¨ μ ¢¥±Éμ·¥ ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö. ‚ ¸²ÊΠ¥ μɸÊɸɢ¨Ö É ±μ° ¨´Ëμ·³ Í¨¨, r0 ³μ¦´μ ¶μ²μ¦¨ÉÓ · ¢´Ò³ ´Ê²Õ. ‚ ± Î¥¸É¢¥ ´ Î ²Ó´μ£μ ¶·¨¡²¨¦¥´¨Ö ¤²Ö

³ É·¨ÍÒC0 ¡¥·¥É¸Ö ¤¨ £μ´ ²Ó´ Ö ³ É·¨Í  ¸ ¤μ¸É ÉμÎ´μ ¡μ²ÓϨ³¨ Ψ¸² ³¨

´  ¤¨ £μ´ ²¨, ÎÉμ¡Ò Ôɨ Ψ¸²  ¶·¥¢μ¸Ì줨²¨ ¤¨¸¶¥·¸¨Õ ·¥ ²Ó´ÒÌ ¨§³¥·¥´¨°.

‚ ÔÉμ³ ¸²ÊΠ¥ ´  ¶¥·¢ÒÌ É ±É Ì · ¡μÉÒ Ë¨²ÓÉ· ¡Ê¤¥É ¸ ¡μ²ÓϨ³ ¢¥¸μ³ ¨¸-

¶μ²Ó§μ¢ ÉÓ ·¥§Ê²ÓÉ ÉÒ ¨§³¥·¥´¨°, Î¥³  ¶·¨μ·´ÊÕ ¨´Ëμ·³ Í¨Õ. Š·μ³¥ Éμ£μ,

É ±μ° ¢Ò¡μ· ¶μ§¢μ²Ö¥É ¨§¡ ¢¨ÉÓ¸Ö μÉ § ¢¨¸¨³μ¸É¨ μ±μ´Î É¥²Ó´μ° μÍ¥´±¨ ¢¥±- Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö μÉ ´ Î ²Ó´μ£μ ¶·¨¡²¨¦¥´¨Ö (¸³. ´¨¦¥).

·μÍ¥¤Ê·  ¢ÒΨ¸²¥´¨Ö μÍ¥´μ± ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò (Ô±¸É· ¶μ²Öꬅ ¨ ±μ·-

·¥±Í¨Ö) ¶·μ¤μ²¦ ¥É¸Ö ¸μ£² ¸´μ ·¥±Ê·¸¨¢´μ³Ê  ²£μ·¨É³Ê, ¶·¨¢¥¤¥´´μ³Ê

´  ·¨¸. 2, ¢¶²μÉÓ ¤μ ÊΥɠ ¶μ¸²¥¤´¥£μn-£μ ¨§³¥·¥´¨Ö.

É ¶ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨.  ÔÉμ³ ÔÉ ¶¥ ¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö r⁺_k−1 ¨ ¥£μ ±μ¢ -

·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  C⁺_k−1 Ô±¸É· ¶μ²¨·ÊÕÉ¸Ö ± ¨§³¥·¥´¨Õ mk ¸²¥¤ÊÕÐ¥£μ É ±É . ·¨ ¢ÒΨ¸²¥´¨¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒC⁻_k ÊΨÉÒ¢ ¥É¸Ö ¸²ÊΠ°´Ò°

Ïʳ Qk−1, ¸¢Ö§ ´´Ò° ¸ Ô¢μ²Õͨ¥° ¸¨¸É¥³Ò. ±¸É· ¶μ²¨·μ¢ ´´Ò¥ μÍ¥´±¨

¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö r⁻_k ¨ ¥£μ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  C⁻_k · ¸¸Î¨ÉÒ¢ ÕɸÖ

¸μ£² ¸´μ Ëμ·³Ê² ³

r⁻_k =F_k−1r⁺_k−1, (3 ) C⁻_k =F_k−1C⁺_k−1F^T_k−1+Q_k−1, (3¡)

£¤¥r⁺_k−1¨C⁺_k−1Å μÍ¥´±¨ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ¥£μ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ

¶μ¸²¥(k−1) Ï £  ±μ··¥±Í¨¨.   ¶¥·¢μ° ¨É¥· Í¨¨ ¶μ² £ ¥É¸Ö, ÎÉμr⁺₀ =r0

¨C⁺₀ =C0.

É ¶ ±μ··¥±Í¨¨.  ÔÉμ³ ÔÉ ¶¥ ¢ÒΨ¸²ÖÕÉ¸Ö μ¶É¨³ ²Ó´ Ö μÍ¥´±  ¢¥±- Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ör⁺_k ¨ ¥£μ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í C⁺_k ¸ ÊÎ¥Éμ³ ¨§³¥·¥´¨Ömk,

¸¤¥² ´´μ£μ ´ k-³ É ±É¥.

‚´ Î ²¥ μ¶·¥¤¥²Ö¥É¸Ö · §´¨Í  ³¥¦¤Ê ¨§³¥·¥´¨¥³ mk ¨ Ô±¸É· ¶μ²¨·μ-

¢ ´´μ° μÍ¥´±μ° ¨§³¥·¥´¨Ö:

d_k =m_k−H_kr⁻_k. (4 ) Šμ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  ¢¥±Éμ·  μɱ²μ´¥´¨Ö μ¶·¥¤¥²Ö¥É¸Ö Ëμ·³Ê²μ°

W_k =H_kC⁻_kH^T_k +V_k. (4¡) ˆ¸¶μ²Ó§ÊÖ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´Ò¥ ³ É·¨ÍÒ ¤²Ö Ô±¸É· ¶μ²¨·μ¢ ´´μ£μ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸Éμ- Ö´¨ÖC⁻_k ¨ ¤²Ö ¢¥±Éμ·  μɱ²μ´¥´¨ÖWk, ¢ÒΨ¸²Ö¥³ μ¶É¨³ ²Ó´ÊÕ ¶μ Š ²³ ´Ê

³ É·¨ÍÊ ±μÔË˨ͨ¥´Éμ¢ Ê¸¨²¥´¨Ö

Kk=C⁻_kH^T_kW⁻_k¹. (4¢)

“Éμδ֥³ ¶μ²ÊÎ¥´´ÊÕ ´  ÔÉ ¶¥ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ μÍ¥´±Ê ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö r⁺_k =r⁻_k +Kkdk. (4£)

‚ÒΨ¸²Ö¥³ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ÊÕ ³ É·¨ÍÊ, μÉ¢¥Î ÕÐÊÕ ¸±μ··¥±É¨·μ¢ ´´μ³Ê ¢¥±- Éμ·Ê ¸μ¸ÉμÖ´¨Ör⁺_k:

C⁺_k = (I−K_kH_k)·C⁻_k. (4¤)

¥§Ê²ÓÉ É ¢ÒΨ¸²¥´¨°. μ¸²¥ Éμ£μ ± ±  ²£μ·¨É³μ³ ˨²ÓÉ·  Š ²³ ´  ÊÎÉ¥´Ò ¢¸¥ ¨§³¥·¥´¨Ö, ¢±²ÕÎ Ö ¶μ¸²¥¤´¨° É ±É n, ¶μ²ÊΠ¥³ μ¶É¨³ ²Ó´Ò¥

μÍ¥´±¨ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ör⁺_n ¨ ¥£μ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒC⁺_n.

‚ ¨¸¸²¥¤Ê¥³μ° ´ ³¨ § ¤ Î¥ ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ É·¥±μ¢ § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í,

·¥£¨¸É·¨·Ê¥³ÒÌ ¸¨¸É¥³μ° ±μμ·¤¨´ É´ÒÌ ¤¥É¥±Éμ·μ¢ MVD ¨ STS, · ¸¶μ²μ-

¦¥´´ÒÌ ³¥¦¤Ê ¶μ²Õ¸ ³¨ ¸¶¥±É·μ³¥É·¨Î¥¸±μ£μ ³ £´¨É , ¢¥±Éμ·Ê ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö

¸¨¸É¥³Òrk μÉ¢¥Î ¥É ´ ¡μ· ¶ · ³¥É·μ¢ É·¥± , ³ É·¨Í  Ô¢μ²Õͨ¨ ¸¨¸É¥³ÒFk

·¥ ²¨§Ê¥É Ô±¸É· ¶μ²ÖÍ¨Õ É·¥±  ¢ ³ £´¨É´μ³ ¶μ²¥ μÉ μ¤´μ£μ ¤¥É¥±Éμ·  ± ¤·Ê-

£μ³Ê,   ³ É·¨Í  Ïʳ  ¶·μÍ¥¸¸  Qk 춨¸Ò¢ ¥É ³´μ£μ±· É´μ¥ · ¸¸¥Ö´¨¥ Π-

¸É¨Í ¢ ³ É¥·¨ ²¥ ¤¥É¥±Éμ· . Š·μ³¥ Éμ£μ, É ± ± ± ¢ ¤ ´´μ³ ¸²ÊΠ¥ ³μ¤¥²Ó

´ ¡²Õ¤¥´¨° ¨ ³μ¤¥²Ó Ëμ·³¨·ÊÕÐ¥£μ ¶·μÍ¥¸¸  ´μ¸ÖÉ ´¥²¨´¥°´Ò° Ì · ±É¥·,

¨Ì ²¨´¥ ·¨§ÊÕÉ ¶μ¸·¥¤¸É¢μ³ · §²μ¦¥´¨Ö ¢ ·Ö¤ ’¥°²μ· .

2. …Š‘’“Š–ˆŸ Œ…’‚ ŸŒ‹ˆ…‰ƒ ’…Š ‘‚… ”ˆ‹œ’ Š‹Œ

„²Ö ¨²²Õ¸É· Í¨¨ μ¸´μ¢´ÒÌ ¶μ²μ¦¥´¨°  ²£μ·¨É³  ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨ É· ¥±- Éμ·¨° § ·Ö¦¥´´ÒÌ Î ¸É¨Í ¢ ´¥μ¤´μ·μ¤´μ³ ³ £´¨É´μ³ ¶μ²¥ ´  μ¸´μ¢¥ ˨²Ó- É·  Š ²³ ´  · ¸¸³μÉ·¨³ ˨ɨ·μ¢ ´¨¥ ¶·Ö³μ²¨´¥°´μ£μ É·¥±  ´  ¶²μ¸±μ¸É¨

(¸³. É ±¦¥ [11]). ·¨¢¥¤¥³ ¸²ÊΠ°, ±μ£¤  ¶ÖÉÓ ±μμ·¤¨´ É´ÒÌ ¤¥É¥±Éμ·μ¢

· ¸¶μ² £ ÕÉ¸Ö ¢¤μ²Ó μ¸¨Z ´  · ¢´ÒÌ · ¸¸ÉμÖ´¨ÖÌ L ¤·Ê£ μÉ ¤·Ê£  (·¨¸. 3).

¡μ§´ Î¨³y-±μμ·¤¨´ ÉÒ ³¥¸É  ¶¥·¥¸¥Î¥´¨Ö É·¥±μ³ ± ¦¤μ£μ ¨§ ¤¥É¥±Éμ·μ¢,

´ Î¨´ Ö ¸ ¶μ¸²¥¤´¥£μ, y1, y2, y3, y4 ¨ y5. „²Ö ¶·μ¸ÉμÉÒ ¡Ê¤¥³ ¶μ² £ ÉÓ, ÎÉμ ¶μ£·¥Ï´μ¸ÉÓ ¨§³¥·¥´¨Ö y-±μμ·¤¨´ ÉÒ ¢μ ¢¸¥Ì ¤¥É¥±Éμ· Ì μ¤¨´ ±μ¢  ¨

· ¢´ σ. ’ ±¦¥ ¤²Ö ʶ·μÐ¥´¨Ö § ¤ Î¨ ¢´ Î ²¥ · ¸¸³μÉ·¨³ ¸²ÊΠ° ¡¥§ ÊΥɠ

³ É¥·¨ ²  ¤¥É¥±Éμ·μ¢,   § É¥³ ¶μ¸³μÉ·¨³, ± ± ¤μ¡ ¢²¥´¨¥ ³ É¥·¨ ²  ¨§³¥´¨É

¶ · ³¥É·Ò É·¥±  ¨ ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐÊÕ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ÊÕ ³ É·¨ÍÊ.

¨¸. 3. ·Ö³μ²¨´¥°´Ò° É·¥± ¢ ¶²μ¸±μ¸É¨ YOZ, ¨³¥ÕШ° ´ Î ²μ ¢ Éμα¥ IP, ¶¥·¥¸¥-

± ¥É ¶ÖÉÓ ±μμ·¤¨´ É´ÒÌ ¤¥É¥±Éμ·μ¢, · ¸¶μ²μ¦¥´´ÒÌ ´  · ¢´ÒÌ · ¸¸ÉμÖ´¨ÖÌ L ¤·Ê£

μÉ ¤·Ê£ 

‡ ¤ Î , ±μÉμ·ÊÕ ³Ò ¸μ¡¨· ¥³¸Ö ¨¸¸²¥¤μ¢ ÉÓ ¢ ¤ ´´μ³ ¶·¨³¥·¥, Å ÔÉμ μÍ¥´±  Éμδμ¸É¨ ¢μ¸¸É ´μ¢²¥´¨Ö É· ¥±Éμ·¨¨ Π¸É¨ÍÒ ¢ μ±·¥¸É´μ¸É¨ Éμα¨ ¥¥

¨¸¶Ê¸± ´¨Ö IP. ‚ ¸¢Ö§¨ ¸ Ôɨ³, ¸É ·ÉÊÖ ¸ ¶μ¸²¥¤´¥£μ ¨§³¥·¥´¨Ö y1 ¨ ¤¢¨£ - Ö¸Ó μÉ ¤¥É¥±Éμ·  ± ¤¥É¥±Éμ·Ê ¢ ´ ¶· ¢²¥´¨¨, ¶·μɨ¢μ¶μ²μ¦´μ³ ´ ¶· ¢²¥´¨Õ μ¸¨Z, ³Ò ¡Ê¤¥³ ±μ··¥±É¨·μ¢ ÉÓ ¶ · ³¥É·Ò É·¥± , ¨¸¶μ²Ó§ÊÖ ¨§³¥·¥´¨Ö, ¸¤¥-

² ´´Ò¥ ±μμ·¤¨´ É´Ò³¨ ¤¥É¥±Éμ· ³¨.

“· ¢´¥´¨¥ ¤²Ö ¶·Ö³μ²¨´¥°´μ£μ É·¥±  ¨³¥¥É ¸²¥¤ÊÕШ° ¢¨¤:

y=tyz+b.

·¥¤¸É ¢¨³ ¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¸¨¸É¥³Ò ¸μ¤¥·¦ Ð¨³ É¥±ÊÐÊÕ ±μμ·¤¨-

´ ÉÊy¨ É ´£¥´¸ Ê£²  ´ ±²μ´  É·¥± ty ± μ¸¨z, ¨ ¶μ¸É·μ¨³ ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐÊÕ

¥³Ê ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ÊÕ ³ É·¨ÍÊ:

r= y

ty

, C=

Cyy Cyty

Cyty Ctyty

. (5)

’ ± ± ± ¸ ¶μ³μÐÓÕ ¤¥É¥±Éμ·  ¨§³¥·Ö¥É¸Ö Éμ²Ó±μ μ¤´  ±μμ·¤¨´ É y, ¢¥±- Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐ Ö ¥³Ê ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  ¢Ò·μ¦¤ ÕɸÖ

¢ ¸± ²Ö·´Ò¥ ¢¥²¨Î¨´Ò:

mk ={yk}, Vk =σ².

Š·μ³¥ Éμ£μ, ¶μ¸±μ²Ó±Ê ¨§³¥·Ö¥É¸Ö ²¨ÏÓ μ¤¨´ Ô²¥³¥´É ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Öy,

¸μ£² ¸´μ (2) ¤²Ö ³μ¤¥²¨ ¨§³¥·¥´¨ÖHk ¶μ²ÊΨ³ H_k = ( 1 0 ).

“· ¢´¥´¨Ö ((4 )Ä(4¤)) ¤²Ö ´ Ï¥£μ ¶·¨³¥·  ¶·¨´¨³ ÕÉ ¸²¥¤ÊÕШ° ¢¨¤:

Wk = 1 σ²+C_k⁻_yy,

Kk = 1 σ²+C_k⁻_yy

C_k⁻_yy C_k⁻

yty

,

dk =y^m_k −y_k⁻,

r⁺_k =

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎝

y⁻_k + C_k⁻_yy

σ²+C_k⁻_yy(y_k^m−y⁻_k)

t⁻_yk+ C_k⁻

yty

σ²+C_k⁻_yy(y^m_k −y_k⁻)

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎠,

C⁺_k =

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎝ C_k⁻_yy

1− C_k⁻_yy σ²+C_k⁻

yy

C_k⁻

yty

1− C_k⁻_yy σ²+C_k⁻

ty ty

C_k⁻

yty

1− C_k⁻

yy

σ²+C_k⁻_yy

C_k⁻

ty ty − C_k⁻²

yty

σ²+C_k⁻_yy

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎠ .

(6)

2.1. ±¸É· ¶μ²Öꬅ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ³¥¦¤Ê ¨§³¥·¥´¨Ö³¨. ¥·¥¤

¤μ¡ ¢²¥´¨¥³ ¨§³¥·¥´¨Ö ¢ ¸²¥¤ÊÕÐ¥³ ¤¥É¥±Éμ·¥ ´¥μ¡Ì줨³μ Ô±¸É· ¶μ²¨·μ¢ ÉÓ

¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö, 춨¸Ò¢ ÕШ° É·¥± ¢ É¥±ÊÐ¥°k-° ¸É ´Í¨¨, ± ¨§³¥·¥´¨Õ

¢ ¸²¥¤ÊÕÐ¥³ (k−1)-³ ¤¥É¥±Éμ·¥. μ¸±μ²Ó±Ê ¤¥É¥±Éμ·Ò ´ Ìμ¤ÖÉ¸Ö ´  · ¸¸Éμ- Ö´¨¨L ¤·Ê£ μÉ ¤·Ê£ ,   ¤¢¨¦¥³¸Ö ³Ò ¶·μɨ¢ ´ ¶· ¢²¥´¨Ö μ¸¨Z, ±μμ·¤¨´ É  É·¥± y_k⁻ ´  (k−1)-° ¸É ´Í¨¨ μ¶·¥¤¥²Ö¥É¸Ö ¨§ Ê· ¢´¥´¨Ö

y_k⁻=t⁺_yk−1(zk−1−L) +b=y_k⁺₋₁−t⁺_yk−1L.

μ¸±μ²Ó±Ê É ´£¥´¸ Ê£²  ´ ±²μ´  ¶·Ö³μ° ¶·¨ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ´¥ ³¥´Ö¥É¸Ö, Éμ t⁻_yk =t⁺_yk−1.

„²Ö Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ ¢μ¸¶μ²Ó§Ê¥³¸Ö Ëμ·³Ê-

² ³¨ (3 ), (3¡). ·¨ ÔÉμ³, ÊΨÉÒ¢ Ö μɸÊɸɢ¨¥ ³ É¥·¨ ²  ¢ ¤¥É¥±Éμ· Ì, ¶μ-

²μ¦¨³Qk= 0. ‘μ£² ¸´μ Ëμ·³Ê²¥ (3 )

Fk−1=

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎝

∂y_k⁻

∂y_k⁺₋₁

∂y⁻_k

∂t⁺y_k−1

∂t⁻_yk

∂y_k⁺₋₁

∂t⁻_yk

∂t⁺y_k−1

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎠=

1 −L 0 1

.

μ¤¸É ¢¨¢ ¶μ²ÊÎ¥´´μ¥ ¢Ò· ¦¥´¨¥ ¢ (3 ), (3¡), ¶μ²ÊΨ³ ¨¸±μ³Ò¥ Ëμ·³Ê²Ò

¤²Ö ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ:

r⁻_k =

y⁺_k−1−t⁺_yk−1L, t⁺_yk−1

,

C⁻_k =

C_k⁺_−1yy−2LC_k⁺_−1yty +L²C_k⁺

ty ty C_k⁺₋₁

yty −LC_k⁺₋₁

ty ty

C_k⁺₋₁

yty −LC_k⁺₋₁

ty ty C_k⁺₋₁

ty ty

.

(7)

2.2. ˆ´¨Í¨ ²¨§ Í¨Ö ¶ · ³¥É·μ¢. „²Ö ¶μ²ÊÎ¥´¨Ö ´ Î ²Ó´ÒÌ §´ Î¥´¨°

¶ · ³¥É·μ¢ É·¥±  ³μ¦´μ, ´ ¶·¨³¥·, ¢μ¸¶μ²Ó§μ¢ ÉÓ¸Ö ³¥Éμ¤μ³ ´ ¨³¥´ÓϨÌ

±¢ ¤· Éμ¢. Šμ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  § ¤ ¥É¸Ö ± ± ¤¨ £μ´ ²Ó´ Ö ³ É·¨Í , Ô²¥-

³¥´ÉÒ ±μÉμ·μ° Å ¡¥¸±μ´¥Î´μ ¡μ²ÓϨ¥ ¶μ²μ¦¨É¥²Ó´Ò¥ Ψ¸² : r0=

y0

ty0

, C0=

C0_yy 0

0 C0_{ty ty}

. (8)

2.3. „μ¡ ¢²¥´¨¥ ¶¥·¢μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö. μ¸±μ²Ó±Ê ¶¥·¥¤ ¤μ¡ ¢²¥´¨¥³ ¶¥·-

¢μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ´¨± ±¨Ì ¤μ¶μ²´¨É¥²Ó´ÒÌ ¤¥°¸É¢¨° ´¥ É·¥¡Ê¥É¸Ö, Éμr⁻₁ =r0

¨C⁻₁ =C₀. ’ ± ± ± ¢¥²¨Î¨´  C0yy ¡Ò²  ¢§ÖÉ  ´ ³¨ ¡¥¸±μ´¥Î´μ ¡μ²ÓÏμ°,

¢Ò· ¦¥´¨¥ C₀⁻_yy

σ²+C₀⁻_yy ¶·¥¤¸É ¢²Ö¥É ¸μ¡μ° ´¥μ¶·¥¤¥²¥´´μ¸ÉÓ, ¢¥¤ÊÐÊÕ ± Ψ¸-

²¥´´μ³Ê · ¸Ì즤¥´¨Õ · ¸Î¥Éμ¢. „²Ö Éμ£μ ÎÉμ¡Ò ¨§¡ ¢¨ÉÓ¸Ö μÉ ÔÉμ° ´¥μ¶·¥¤¥-

²¥´´μ¸É¨, · §²μ¦¨³ · ¸¸³ É·¨¢ ¥³μ¥ ¢Ò· ¦¥´¨¥ ¢ ·Ö¤ ’Ô°²μ·  ¨ ÊÎÉ¥³ ²¨ÏÓ Î²¥´ ¶¥·¢μ£μ ¶μ·Ö¤± :

C0_yy

σ²+C0yy

= 1

1 + _C^σ2

0yy

≈1− σ² C0yy

. (9)

·¨´¨³ Ö ¢μ ¢´¨³ ´¨¥ (9) ¨ Éμ, ÎÉμ σ²

C₀⁻_yy ≈0, ¸ ¶μ³μÐÓÕ Ëμ·³Ê²Ò (6)

¶μ²ÊΨ³ ¢Ò· ¦¥´¨Ö ¤²Ö ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐ¥° ¥³Ê ±μ¢ ·¨ - Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ:

r⁺₁ = y1

ty₀

,

C⁺₁ =

σ² 0 0 C0_{ty ty}

.

(10)

ˆ§ ³ É·¨ÍÒ C⁺₁ ¸²¥¤Ê¥É, ÎÉμ ¤μ¡ ¢²¥´¨¥ ¶¥·¢μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¶μ§¢μ²¨²μ μ¶·¥¤¥²¨ÉÓ ¶μ²μ¦¥´¨¥ É·¥±  ¸ Éμδμ¸ÉÓÕ σ, μ¤´ ±μ ¨´Ëμ·³ Í¨Ö μ¡ Ê£²¥

´ ±²μ´  É·¥±  μɸÊɸɢʥÉ.

2.4. ±¸É· ¶μ²ÖÍ¨Ö É·¥±  ±μ ¢Éμ·μ³Ê ¨§³¥·¥´¨Õ. ¥·¥¤ ¤μ¡ ¢²¥´¨¥³

¢Éμ·μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ´ °¤¥³ μÍ¥´±Ê ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕÐ¥° ±μ-

¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ. μ¤¸É ¢¨¢ (10) ¢ ¢Ò· ¦¥´¨Ö (7), ¶μ²ÊΨ³ r⁻₂ =

y1−ty₀L ty₀

,

C⁻₂ =

σ²+L²C0_{ty ty} −LC0_{ty ty}

−LC0_{ty ty} C0_{ty ty}

.

(11)

Œμ¦´μ ¢¨¤¥ÉÓ, ÎÉμ ¢ ·¥§Ê²Óɠɥ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ¸ÊÐ¥¸É¢¥´´μ ¢Ò·μ¸²¨

Ô²¥³¥´ÉÒ ±μ··¥²ÖÍ¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ. ·¨ ÔÉμ³ ·μ¸É μϨ¡±¨ μ¶·¥¤¥²¥´¨Ö

¶μ²μ¦¥´¨Ö É·¥±  μ¡Ê¸²μ¢²¥´ ÊÎ¥Éμ³ μϨ¡±¨ Ê£²  ´ ±²μ´  É·¥± .

„μ¡ ¢²¥´¨¥ ¢Éμ·μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¢ ¨´Ëμ·³ Í¨Õ μ É·¥±¥. μ¸²¥ Éμ£μ

± ± ³Ò μÍ¥´¨²¨ ¶μ²μ¦¥´¨¥ É·¥±  ´  (k−1)-° ¸É ´Í¨¨, ¤μ¡ ¢¨³ ¨§³¥·¥´¨¥ ¢ ÔÉμ° ¸É ´Í¨¨ ± ¨´Ëμ·³ Í¨¨ μ É·¥±¥, ¨¸¶μ²Ó§ÊÖ Ëμ·³Ê²Ò (6):

y₂⁺=y1−ty₀L+ σ²+L²C0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

(y2−y1+ty₀L),

t⁺_y2 =ty0− LC0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

(y2−y1+ty0L),

C₂⁺_yy = (σ²+L²C0_{ty ty})

1− σ²+L²C0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

= (σ²+L²C0_{ty ty}) 2σ²+L²C0_{ty ty}

σ²,

C₂⁺

yty =−LC0_{ty ty}

1− σ²+L²C0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

=− LC0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

σ²,

C₂⁺_{ty ty} =C0_{ty ty} − L²C0²_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

= 2σ²C0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty}

.

μ¸±μ²Ó±ÊC0_{ty ty} ¸É·¥³¨É¸Ö ± ¡¥¸±μ´¥Î´μ¸É¨, ³μ¦´μ § ¶¨¸ ÉÓ ¸²¥¤ÊÕÐ¥¥:

σ²+L²C0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty} ≈ L²C0_{ty ty}

L²C0_{ty ty}

= 1,

LC0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty} ≈ LC0_{ty ty}

L²C0_{ty ty}

= 1 L, C0_{ty ty}

2σ²+L²C0_{ty ty} ≈ C0_{ty ty}

L²C0_{ty ty}

= 1 L².

’죤  ´μ¢Ò¥ ¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í  ¶·¨³ÊÉ ¸²¥¤Ê- ÕШ° ¢¨¤:

r⁺₂ =

⎛

⎝ y2

y1−y2

L

⎞

⎠,

C⁺₂ =

⎛

⎜⎜

⎝

σ² −σ² L

−σ² L

2σ² L²

⎞

⎟⎟

⎠.

(12)

‡ ³¥É¨³, ÎÉμ ¶μ¸²¥ ¤μ¡ ¢²¥´¨Ö ¢Éμ·μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¨´Ëμ·³ Í¨Ö μ ´ Î ²Ó-

´μ³ ¶·¨¡²¨¦¥´¨¨ ʦ¥ ´¥ ¢Ìμ¤¨É ¢ Ëμ·³Ê²Ò, 춨¸Ò¢ ÕШ¥ ¢¥±Éμ· ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö

¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ÊÕ ³ É·¨ÍÊ É·¥± .

2.5. ±¸É· ¶μ²ÖÍ¨Ö É·¥±  ± É·¥ÉÓ¥³Ê ¨§³¥·¥´¨Õ. „²Ö Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨

É·¥±  ± É·¥ÉÓ¥° ¸É ´Í¨¨ ¶μ¤¸É ¢¨³ Ëμ·³Ê²Ò (12) ¢ (7):

r⁻₃ =

⎛

⎝ 2y2−y1

y1−y2

L

⎞

⎠,

C⁻₃ =

⎛

⎜⎜

⎝

5σ² −3σ² L

−3σ² L

2σ² L²

⎞

⎟⎟

⎠.

(13)

·μ ´ ²¨§¨·Ê¥³ ¶μ²ÊÎ¥´´Ò° ·¥§Ê²ÓÉ É. μ¸±μ²Ó±Ê ¶·¨ Ô±¸É· ¶μ-

²Öͨ¨ É·¥±  É ´£¥´¸ Ê£²  ´ ±²μ´  ´¥ ³¥´Ö¥É¸Ö, ¸μμÉ¢¥É¸É¢ÊÕШ° Ô²¥-

³¥´É ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ É즥 ´¥ ¨§³¥´Ö¥É¸Ö. μ£·¥Ï´μ¸ÉÓ μÍ¥´±¨ ³¥-

¸É  ¶μ¶ ¤ ´¨Ö É·¥±  ¢ ¤¥É¥±Éμ· ¢Ò·μ¸² , É ± ± ± ¶·¨ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨

É·¥±  ¸ ¶·¥¤Ò¤ÊÐ¥° ¸É ´Í¨¨ ÊÎÉ¥´  μϨ¡± , ¸¢Ö§ ´´ Ö ¸ Ê£²μ³ ´ ±²μ´  É·¥± . μ ÔÉμÉ ·μ¸É ¢¸¥ ¦¥ ³¥´ÓÏ¥, Î¥³ ´  ¶·¥¤Ò¤ÊÐ¥³ Ï £¥, ¶μ¸±μ²Ó±Ê ¶μ¸²¥

¤μ¡ ¢²¥´¨Ö ¢Éμ·μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¶μ£·¥Ï´μ¸ÉÓ É ´£¥´¸  Ê£²  ´ ±²μ´  μ¶·¥¤¥-

²Ö¥É¸Ö ʦ¥ ´¥ ´ Î ²Ó´Ò³ ¶·¨¡²¨¦¥´¨¥³,   ¨§³¥·¥´¨Ö³¨ ¸ ¶¥·¢ÒÌ ¤¢ÊÌ

¸É ´Í¨°.

„μ¡ ¢¨³ É¥¶¥·Ó É·¥ÉÓ¥ ¨§³¥·¥´¨¥, ¶μ¤¸É ¢¨¢ (13) ¢ Ëμ·³Ê²Ò (6):

r⁺₃ =

⎛

⎜⎝

2y2−y1+ 5y3

6 y1−y3

2L

⎞

⎟⎠,

C⁺₃ =

⎛

⎜⎜

⎝ 5

6σ² −σ² 2L

−σ² 2L

σ² 2L²

⎞

⎟⎟

⎠.

(14)

Œμ¦´μ ¢¨¤¥ÉÓ, ÎÉμ ¢¸¥ Ô²¥³¥´ÉÒ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ ¸É ²¨ ³¥´ÓÏ¥.

‚ μÍ¥´±Ê É ´£¥´¸  Ê£²  ´ ±²μ´  ´¥ ¢Ìμ¤¨É ¨´Ëμ·³ Í¨Ö μ¡ ¨§³¥·¥´¨¨ ¸μ ¢Éμ-

·μ° ¸É ´Í¨¨, μ¤´ ±μ ÔÉμ ´¥ Ö¢²Ö¥É¸Ö § ±μ´μ³¥·´μ¸ÉÓÕ,   ¢¸¥£μ ²¨ÏÓ ¸²¥¤-

¸É¢¨¥ ¸¨³³¥É·¨¨ · ¸¸³ É·¨¢ ¥³μ° ´ ³¨ § ¤ Î¨. Š ± ³Ò Ê¢¨¤¨³ ¤ ²¥¥, ¶μ¸²¥

¤μ¡ ¢²¥´¨Ö μÎ¥·¥¤´μ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¢Éμ·μ¥ ¨§³¥·¥´¨¥ ¸´μ¢  ¶μÖ¢¨É¸Ö ¢ Ëμ·-

³Ê² Ì.

2.6. ±¸É· ¶μ²ÖÍ¨Ö É·¥±  ± Υɢ¥·Éμ³Ê ¨§³¥·¥´¨Õ. „²Ö Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨

É·¥±  ± Υɢ¥·Éμ° ¸É ´Í¨¨ ¶μ¤¸É ¢¨³ Ëμ·³Ê²Ò (14) ¢ (7):

r⁻₄ =

⎛

⎜⎝

y2−2y1+ 4y3

3 y1−y3

2L

⎞

⎟⎠,

C⁻₄ =

⎛

⎜⎜

⎝ 7

3σ² −σ² L

−σ² L

σ² 2L²

⎞

⎟⎟

⎠.

(15)

’¥¶¥·Ó ¤μ¡ ¢¨³ Υɢ¥·Éμ¥ ¨§³¥·¥´¨¥, ¶μ¤¸É ¢¨¢ Ëμ·³Ê²Ò (15) ¢ (6):

r⁺₄ =

⎛

⎜⎜

⎝

−2y1+y2+ 4y3+ 7y4

10

3y1+y2−y3−3y4

10L

⎞

⎟⎟

⎠,

C⁺₄ =

⎛

⎜⎜

⎝ 7

10σ² −3σ² 10L

−3σ² 10L

σ² 5L²

⎞

⎟⎟

⎠.

(16)

‚¨¤´μ, ÎÉμ ÊÎ¥É Î¥É¢¥·Éμ£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¢μ§¢· Ð ¥É ¢ μÍ¥´±Ê É ´£¥´¸ 

Ê£²  ´ ±²μ´  É·¥±  ¨´Ëμ·³ Í¨Õ μ¡ ¨§³¥·¥´¨¨ ¸μ ¢Éμ·μ° ¸É ´Í¨¨. ɳ¥É¨³ É ±¦¥, ÎÉμ ´ ¡²Õ¤ ¥É¸Ö ¤ ²Ó´¥°Ï¥¥ ʳ¥´ÓÏ¥´¨¥ Ô²¥³¥´Éμ¢ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ°

³ É·¨ÍÒ. μ¸±μ²Ó±Ê Ê봃 ¶μ¸²¥¤´¥£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ´¥ ´¥¸¥É ´μ¢μ° ¨´Ëμ·³ Í¨¨, μ¸É ´μ¢¨³¸Ö ´  Î¥ÉÒ·¥Ì ¨§³¥·¥´¨ÖÌ.

2.7. ‚²¨Ö´¨¥ ³´μ£μ±· É´μ£μ · ¸¸¥Ö´¨Ö ´  ¶ · ³¥É·Ò É·¥±  ¨ ±μ¢ ·¨ - Í¨μ´´ÊÕ ³ É·¨ÍÊ. “¸²μ¦´¨³ ´ ÏÊ § ¤ ÎÊ ¨ ÊÎÉ¥³ ´ ²¨Î¨¥ ³ É¥·¨ ²  ¢

±μμ·¤¨´ É´ÒÌ ¤¥É¥±Éμ· Ì. „²Ö ¶·μ¸ÉμÉÒ ¡Ê¤¥³ ¶μ² £ ÉÓ, ÎÉμ ¸É ´Í¨¨ ¡¥¸-

±μ´¥Î´μ Éμ´±¨¥. ‚ ÔÉμ³ ¸²ÊΠ¥ μ´¨ ¡Ê¤ÊÉ ¢´μ¸¨ÉÓ ¢±² ¤ ¢ μϨ¡±Ê É ´£¥´¸ 

Ê£²  ´ ±²μ´  É·¥± , ´μ ´¥ ¶μ¢²¨ÖÕÉ ´  μϨ¡±Ê μÍ¥´±¨ ¶μ²μ¦¥´¨Ö É·¥±  ¨

´  ´¥¤¨ £μ´ ²Ó´Ò¥ Ô²¥³¥´ÉÒ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ. μ²μ¦¨³, ÎÉμ ¢¸¥

¸É ´Í¨¨ ¢´μ¸ÖÉ μ¤¨´ ±μ¢ÊÕ μϨ¡±Êδ ¢ μÍ¥´±Ê É ´£¥´¸  Ê£²  ´ ±²μ´  É·¥± .

„²Ö ÊΥɠ ³´μ£μ±· É´μ£μ · ¸¸¥Ö´¨Ö ¢ ³ É¥·¨ ²¥ ¸É ´Í¨¨ ¶·¨ Ô±¸É· ¶μ-

²Öͨ¨ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö μÉ É¥±ÊÐ¥£μ ¤¥É¥±Éμ·  ± ¸²¥¤ÊÕÐ¥³Ê ¢μ¸¶μ²Ó§Ê¥³¸Ö Ëμ·³Ê² ³¨ (3 ), (3¡), ¢ ±μÉμ·ÒÌ ³ É·¨Í  Qk, μÉ¢¥É¸É¢¥´´ Ö §  μϨ¡±Ê δ,

¨³¥¥É ¢¨¤

Qk =

0 0 0 δ²

.

·μÍ¥¤Ê·  ÊΥɠ ³´μ£μ±· É´μ£μ · ¸¸¥Ö´¨Ö ¢  ²£μ·¨É³¥ ·¥±μ´¸É·Ê±Í¨¨

É·¥±  ¸μ¸Éμ¨É ¢ ¸²¥¤ÊÕÐ¥³. μ¸²¥ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö É·¥± 

¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ ´  ¸²¥¤ÊÕШ° ¤¥É¥±Éμ· ¶·μ¢μ¤¨É¸Ö ³μ¤¨Ë¨± - ꬅ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ ¸ ÊÎ¥Éμ³ ³´μ£μ±· É´μ£μ · ¸¸¥Ö´¨Ö ¢ ³ É¥·¨ ²¥

¸É ´Í¨¨. μ¸²¥ ÔÉμ£μ μ¸ÊÐ¥¸É¢²Ö¥É¸Ö ±μ··¥±É¨·μ¢±  ¢¥±Éμ·  ¸μ¸ÉμÖ´¨Ö ¨ ±μ-

¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ ¸ ÊÎ¥Éμ³ ¨§³¥·¥´¨Ö ¢ ´μ¢μ³ ¤¥É¥±Éμ·¥.

μ¸±μ²Ó±Ê μϨ¡±  δ, μ¡Ê¸²μ¢²¥´´ Ö ³´μ£μ±· É´Ò³ · ¸¸¥Ö´¨¥³, Ö¢²Ö-

¥É¸Ö ³ ²μ° ¤μ¡ ¢±μ° ± ¡¥¸±μ´¥Î´μ ¡μ²ÓÏμ³Ê Ô²¥³¥´ÉÊ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ - É·¨ÍÒ C0_{ty ty}, Ê봃 ³ É¥·¨ ²  ´¥ ¨§³¥´¨É Ëμ·³Ê² (10), (11) ¨, ± ± ¸²¥¤-

¸É¢¨¥, Ëμ·³Ê² (12). ¥·¢Ò³¨ ¶·¥É¥·¶ÖÉ ¨§³¥´¥´¨Ö Ëμ·³Ê²Ò Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨

± É·¥ÉÓ¥³Ê ¨§³¥·¥´¨Õ (13):

r⁻₃ =

⎛

⎝ 2y2−y1

y1−y2

L

⎞

⎠,

C⁻₃ =

⎛

⎜⎜

⎝

5σ² −3σ² L

−3σ² L

2σ² L² +δ²

⎞

⎟⎟

⎠.

‚ ¸μμÉ¢¥É¸É¢¨¨ ¸ Ôɨ³ ¶μ¸²¥ ¤μ¡ ¢²¥´¨Ö É·¥ÉÓ¥£μ ¨§³¥·¥´¨Ö ¨§³¥´ÖɸÖ

¶ · ³¥É·Ò É·¥±  ¨ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´ Ö ³ É·¨Í :

r⁺₃ =

⎛

⎜⎝

2y2−y1+ 5y3

6 y1−y3

2L

⎞

⎟⎠,

C⁺₃ =

⎛

⎜⎜

⎝ 5

6σ² −σ² 2L

−σ² 2L

σ² 2L²+δ²

⎞

⎟⎟

⎠.

(17)

μ²ÊÎ¥´´Ò° ·¥§Ê²ÓÉ É ¤μ¢μ²Ó´μ μÎ¥¢¨¤¥´: Ê봃 ³ É¥·¨ ²  ¶μ¢²¨Ö² ´  μϨ¡±Ê μÍ¥´±¨ É ´£¥´¸  Ê£²  ´ ±²μ´  É·¥± . μ¸³μÉ·¨³, ± ±¨¥ ¨§³¥´¥´¨Ö

¶·μ¨§μ°¤ÊÉ ¶μ¸²¥ Ô±¸É· ¶μ²Öͨ¨ ± Υɢ¥·Éμ³Ê ¨§³¥·¥´¨Õ:

r⁻₄ =

⎛

⎜⎝

y2−2y1+ 4y3

3 y1−y3

2L

⎞

⎟⎠,

C⁻₄ =

⎛

⎜⎜

⎝ 7

3σ²+δ²L² −σ² L −δ²L

−σ²

L −δ²L σ² 2L² + 2δ²

⎞

⎟⎟

⎠.

μ ¸· ¢´¥´¨Õ ¸ ¶·¥¤Ò¤ÊШ³ ¢ ·¨ ´Éμ³, ¢ ±μÉμ·μ³ ´¥ ÊΨÉÒ¢ ²¸Ö ³ É¥-

·¨ ² ¢ ¤¥É¥±Éμ·¥, ´ ¡²Õ¤ ¥É¸Ö ·μ¸É Ô²¥³¥´Éμ¢ ±μ¢ ·¨ Í¨μ´´μ° ³ É·¨ÍÒ. ‚Ò-

·μ¸²¨ μϨ¡±¨ ¶ · ³¥É·μ¢ É·¥± , ¶·¨Î¥³ ¶μ£·¥Ï´μ¸ÉÓ μÍ¥´±¨ ¶μ§¨Í¨¨ É·¥± 

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