LINHAS DE TRANSMISSÃO 100 EXERCÍCIOS

LINHAS DE TRANSMISSÃO

100 EXERCÍCIOS

AUTORA: Leni Joaquim de Matos ORIGEM: UFF/CTC/TCE/TET REALIZAÇÃO: 1997

ATUALIZAÇÃO: 2007*

*

I - PARÂMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO EXEMPLO:

Projetar uma linha paralela ideal, de impedância característica igual a 300 Ω, cujos condutores apresentam raio igual a 0,5 mm e cujo dielétrico apresenta as características µo e εo.

Solução:

Zo = 120 . ln(d/a) → d = a . e^Zo/120 → d = 5 . 10^-4 . e^300/120 → d = 0.0061 m → d = 6,1mm

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Um cabo coaxial, de poucas perdas, e que tem o ar como dielétrico, apresenta as seguintes características: R = 0,10 Ω/m, G = 0,001 S/m e razão b/a (raio externo/ raio interno) igual a 3. Determinar, para a excitação de 100 MHz: a) a impedância característica do cabo e b) os fatores de atenuação e fase da onda propagante no mesmo.

2. Determinar os parâmetros R (Ω/m), L (H/m), G (S/m) e C (F/m) de uma linha de transmissão coaxial, cujos condutores são perfeitos, de razão b/a = 3 (raio externo/ raio interno) e cujo dielétrico tem características relativas: µr = 1 e εr = 1. A seguir, determinar a impedância característica da linha e a velocidade de fase do sinal na linha.

3. Determinar a impedância característica de uma linha de transmissão paralela, cuja razão d/a = 10 (distância entre condutores/raio dos condutores), e o dielétrico é o ar, cujas características relativas são εr = µr = 1.

4. Projetar um cabo coaxial ideal, de impedância característica igual a 50 Ω, cujo condutor interno apresenta raio igual a 5 mm e cujo dielétrico apresenta as características iguais às do ar.

5. Que condutância deve ter um dielétrico de uma linha de transmissão, de poucas perdas e de impedância característica igual a 50 Ω, que atenua um sinal de 0,5 NP/m e possui 10 Ω/m de resistência ao longo dos condutores?

6. Que velocidade de fase apresenta um sinal de 200 MHz, ao longo de uma linha de transmissão quase ideal, cujos parâmetros são: L = 50 µH/m, C = 50 pF/m, G = 0,0001 S/m e R = 0,01 Ω/m? - Qual é a sua impedância característica real? - E a aproximada?

II - IMPEDÂNCIA AO LONGO DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO EXEMPLO:

Que comprimento de uma linha paralela ideal e de dielétrico ar, de 300 Ω e curto- circuitada, é equivalente a um indutor de 5µH em 60 MHz?

Solução:

L

in jX

Z =

28 , 6 300 j

95 , j1884 X

j

95 , 1884 j jX

10 5 10 60 2 j jX

L j jX

L L

6 6

L L

=

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅ π

⋅

⋅

= ω

=

−

Pela carta, anda-se em direção à carga (Toward Load – T.L) e acha-se o comprimento da linha: L=0,224λ

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Dada a linha de transmissão ideal representada na figura, pede-se: a) o valor da carga quando a impedância de entrada da linha (Zin) é igual a 50 Ω e o comprimento "L" é qualquer; b) o valor da menor carga puramente resistiva que admite uma impedância de entrada igual a (50 + j 50) Ω; c) o valor de "L", na condição b, se a excitação é igual a 300 MHz e o dielétrico é o ar.

2. Um cabo coaxial, sem perdas, e tendo ar como dielétrico, propaga um sinal de 300 MHz, apresentando uma tensão de (3 + j 6) volts e uma corrente de 3 ampères, a 0,5 m da carga. Qual é o valor da carga?

3. Um transmissor, operando em 20 MHz, é conectado a uma antena através de uma linha paralela ideal, de 5 metros e 50 Ω. Se a impedância de entrada da antena, na frequência dada, é igual a (36 + j 5) Ω, pede-se a impedância na entrada da linha.

4. Determinar a impedância de entrada das linhas de transmissão, ideais, abaixo:

a)

b)

c)

d)

5. Uma linha de transmissão ideal, de 50 Ω, é terminada numa carga igual a (20 + j 10) Ω.

A que distância da carga encontra-se uma impedância na linha igual a (50 + j X) Ω?

6. As impedâncias de entrada de uma mesma linha de transmissão, sem perdas, medidas com os terminais em curto e em aberto são, respectivamente, (-j25) Ω e (j225) Ω. Pede-

se a impedância característica da linha.

7. Determinar a impedância de carga da configuração abaixo, supondo linhas ideais:

8. Determinar a carga de uma linha de transmissão ideal, de 50 Ω, sabendo que, a 0,4 λ da sua carga, a impedância medida é igual a (2 + j 1) Ω.

9. Qual é a impedância característica de uma linha ideal, de λ/4 metros, que acopla uma carga de 100 Ω a uma outra linha ideal de 75 Ω, garantindo uma impedância nos terminais AA', como mostrra a figura, igual a 75 Ω?

10. Determinar o valor da admitância de entrada de uma linha ideal, de 100 Ω e λ/8 metros, que se acha carregada com (25 - j 25) Ω.

11. Determinar a impedância característica das linhas ideais abaixo:

a)

b)

c)

d)

12. Qual é o mínimo comprimento de uma linha de transmissão ideal, conectada a um transmissor de 30 MHz, quando a impedância de entrada da linha é igual à carga, qualquer que seja Zo?

13. Qual é a impedância de entrada de uma linha de transmissão aberta e ideal, de 75 Ω e λ/8 metros?

14. Qual é o menor comprimento, em λ′s, de uma linha de transmissão ideal de 50 Ω, que apresenta impedância de entrada igual a ( j50 ) Ω e uma carga em curto?

15. Dadas as duas configurações abaixo, qual é a relação entre m e n para que ambas as linhas em curto, de mesma impedância característica, apresentem a mesma impedância de entrada?

16. Quantos graus elétricos deve ter uma linha ideal de 150 Ω, cuja impedância de entrada é igual a ( 300 + j75) Ω e a carga, 330 Ω? ( λ = 360° elétricos)

III - COEFICIENTE DE REFLEXÃO, TAXA DE ONDA ESTACIONÁRIA E IMPEDÂNCIAS MÁXIMA E MÍNIMA AO LONGO DAS LINHAS EXEMPLO:

A taxa de onda estacionária medida, na carga conectada a uma LT de 50 Ω, , é igual a 2.

Se a λ/4 da carga encontra-se um ponto de máxima tensão, pede-se determinar a carga.

Solução:

A λ/4 da carga tem-se máxima tensão, portanto, máxima impedância. A λ/4 de um máximo, tem-se um mínimo. Assim, caminhando-se em direção à carga, de λ/4, acha-se uma impedância dada por:

Zmín = Zo/RVOE → Zmín = 50/2 → ZL = Zmín = 25 Ω

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Um cabo coaxial de 150 Ω, sem perdas, conecta um transmissor a uma antena dipolo de meia-onda, cuja impedância de entrada é, aproximadamente, igual a 75 Ω. Pede-se determinar: a) a taxa de onda estacionária no cabo; b) a máxima e mínima impedâncias ao longo do cabo.

2. Na configuração dada, calcular as amplitudes das tensões incidente e refletida no ponto AA′, supondo que as linhas são ideais e que BB’ diste de λ/2 de AA’:

3. Para alimentar uma antena, cuja impedância de entrada é (75 + j 5) Ω, na frequência de 150 MHz, um transmissor se acha a 7,25 metros da antena. Se a linha ideal de 300 Ω é utilizada, determinar: a) o coeficiente de reflexão na carga e na saída do transmissor; b) a taxa de onda estacionária na linha; c) a máxima impedância ao longo da linha.

4. Um transmissor, operando em 30 MHz, é conectado a uma antena através de uma linha paralela de 300 Ω e sem perdas. Medindo-se a taxa de onda estacionária, achou-se RVOE = 3 e observou-se que o primeiro máximo de tensão ocorria a 0,20 λ da carga.

Qual é o valor da carga? - A que distância se acha o primeiro mínimo de tensão?

5. Uma linha de transmissão fendida, ideal e de 75 Ω, é curto-circuitada e apresenta o pri- meiro mínimo de tensão a 7 cm da carga. Com uma determinada carga, a mesma linha apresenta uma taxa de onda estacionária igual a 1,2 e o mínimo se desloca para 1,75 cm da carga. Qual é o valor da carga, se o dielétrico apresenta as características do ar ? 6. Uma linha coaxial ideal, de 50 Ω e 2 λ, conecta um transmissor de rádio-frequência a

uma carga de 150 Ω. Pede-se: a) o coeficiente de reflexão na carga e na saída do transmissor; b) a taxa de onda estacionária; c) a menor impedância ao longo da linha.

7. Qual é a menor impedância ao longo de uma linha ideal de 300 Ω que apresenta um coeficiente de reflexão na carga igual a 0,5 ∠30°? - Qual é o valor da carga?

8. Na configuração abaixo, determinar: a) o número de pontos de máxima tensão ao longo da linha, se o dielétrico usado tem características relativas µr= 1 e εr = 9; b) a taxa de onda estacionária e o coeficiente de reflexão na entrada da linha. Supor linha ideal.

9. Um cabo coaxial fendido e ideal, com dielétrico ar e de 75 Ω, conecta um gerador de rádio-frequência a uma carga e observa-se, com um medidor, que os primeiros máximos de tensão ocorrem a 1,8 e 31,8 cm da carga. Pede-se a frequência do gerador.

10. Uma antena dipolo filamentar de meia-onda, de impedância de entada igual a 73 Ω, é conectada ao transmissor de rádio-frequência através de uma linha de 10 metros, cujas perdas são pequenas. Se o coeficiente de reflexão na carga é igual a -0,615, pede-se a impedância característica da linha.

11. Sabe-se que a taxa de onda estacionária numa carga é igual a 3,0 e que a tensão incidente na mesma é igual a 10 volts. Quais são o módulo e a fase da tensão refletida, se o seu primeiro máximo observado está a 0,2 λ da carga?

12. O coeficiente de transmissão na carga de uma linha de transmissão, de 150 Ω e de poucas perdas, é igual a 1,2 ∠45°. Pede-se determinar: a) o valor da carga; b) o primeiro ponto de máxima tensão na linha, a partir da carga; c) a relação entre as tensões máxima e mínima na linha.

13. Sabe-se que as impedâncias máxima e mínima ao longo de uma linha ideal são,

respectivamente, 75 e 50 Ω. Pede-se a taxa de onda estacionária na linha e sua impe- dância característica.

14. Quantos graus elétricos deve ter uma linha ideal, cuja máxima impedância normalizada é igual a 3 e se acha a λ/8 do transmissor, sabendo que a carga é a mínima impedância ao longo da linha?

15. No problema anterior, determine: a) o valor da carga normalizada; b) o coeficiente de reflexão na carga e na entrada da linha; c) a taxa de onda estacionária; d) a mínima impedância normalizada na linha.

IV - ONDAS DE TENSÃO E CORRENTE NAS LINHAS EXEMPLO:

Determinar, no domínio do tempo, a expressão da onda de tensão, resultante numa linha de transmissão, quando a mesma se acha em aberto e a amplitude da onda incidente é igual a 0,2 e^jπ V/m.

Solução:

Para a L.T. em aberto, a carga é ZL = ∞. Assim, para o coeficiente de reflexão, tem-se:

ΓL = [ ZL - Zo]/[ ZL - Zo ] → ΓL = 1 → V^- = V⁺ . Para a tensão ao longo da L.T.:

V(z) = V⁺ e^-jβz [ 1 + ( V^- / V⁺ )e ^j2βz ] → V(z) = 0,2 e^jπ e^-jβz[ 1 + 1 e ^j2βz ] V(z) = 0,2e-j (βz - π) [ 1 + 1 e ^j2βz ]

V(z,t) = Re{ V(z) . e^jwt } → V(z,t) = Re{ 0,2 e^jπ e^-jβz[ 1 + 1 e ^j2βz ] e^jwt } V(z,t) = Re{ 0,2 ej (wt - βz + π ) + 0,2 ej (wt + βz + π ) }

V(z,t) = Re 0,2{ ej ( wt + π - βz ) + ej (wt + π +βz ) } V(z,t) = Re {0,2[ ej ( wt + π ) ( e^{-j βz} + e^+jβz )]} V(z,t) = Re {0,2{ ej ( wt + π ). 2 cos(βz)]}

V(z,t) = 0,4 [cos(wt + π)]. cos(βz)]

V(z,t) = - 0,4 [sen(wt) . cos(βz)] → é uma onda estacionária pura, pois a variação com z e t é independente, ou seja, V não varia simultaneamente com z e t.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Uma linha paralela, ideal, de 300 Ω e 1,5 metros, é excitada por uma fonte de amplitude igual a 200 volts, frequência de 100 MHz e resistência interna desprezível. Se uma carga de 600 Ω é conectada em seus terminais, determinar as expressões das ondas de tensão e corrente ao longo da linha.

2. O coeficiente de reflexão na carga de uma linha sem perdas é igual a -1. Qual é a expressão da onda de tensão resultante na linha?

3. Uma linha de transmissão ideal, de 50 metros e 50 Ω, conecta um transmissor ideal de 200.cos(6π.10⁶ t) volts a uma carga de 30 Ω. Determinar a expressão de tensão ao longo da linha sabendo que o seu dielétrico tem características relativas µr = 1 e εr = 4.

4. Um transmissor de UHF, operando em 450 MHz, entrega 20∠0° volts a um cabo coaxial ideal de 75 Ω e 2 metros de comprimento. Nos terminais desse cabo há uma antena de impedância de entrada igual a (75 + j 0,5) Ω. Qual é o valor da tensão real na entrada da linha ?

V - POTÊNCIA EM LINHAS IDEAIS, PERDA DE RETORNO E DE REFLEXÃO EXEMPLO:

Um transmissor de 30W e 150MHz alimenta uma linha de transmissão sem perdas e de características µ_r =1 e ε_r =4. Sabe-se que o consumo pela carga é de 20W e que, a 50 cm da mesma, observa-se o primeiro ponto de corrente máxima. Determinar o valor da carga normalizada.

Solução:

Como o consumo pela carga é igual a 20W, a potência refletida será igual a 10W.

W 30

P_i = P_r =10W

577 , 0

33 , 30 0 10 P P

i 2 r

= Γ

=

=

= Γ

f 2

c f 4 1 f

1

0 0 r

r

⋅ = ε

= µ

⋅ ε

= µ λ

λ

⇒ =

=

λ 1m 0,50m 0,5

No ponto de corrente máxima encontra-se Zmín. Pela carta, anda-se em T.L e acha-se o valor da carga: ZL =0,275

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Um cabo coaxial sem perdas e de 75 Ω conecta um gerador de RF a uma carga. Se a perda de retorno é de 6,0 dB e o primeiro mínimo de tensão ocorre a 0,25 λ da carga, pede-se o valor da carga.

2. Uma linha de transmissão ideal, com dielétrico ar, de 52 Ω e 8 metros de comprimento, interliga o transmissor de 300 MHz a uma antena.A perda de retorno do sistema é de 6 dB e lê-se o primeiro mínimo de corrente a 35 cm da carga. pede-se: a) qual é a impe- dância de entrada da antena? b) quantos pontos de máxima impedância ocorrem ao longo da linha? c) qual é a perda de reflexão?

3. Um gerador de RF é conectado à antena através de um cabo coaxial ideal de 75 Ω, com dielétrico de características relativas: µr = 1 e εr = 4. Se a perda de retorno igual a 8,5 dB e a localização dos primeiros máximos de tensão ocorrem a 1,8 cm e 31,8 cm da carga, pede-se: a) o valor da impedância de entrada da antena; b) a distância da carga para a qual obtém-se o maior valor reativo indutivo.

4. Numa linha de transmissão de perdas desprezíveis incide uma potência de 5 KW. Se a perda de retorno é de 12 dB, qual é a potência refletida? - Qual é o máximo valor pos- sível da componente reativa da impedância de entrada da linha, se sua impedância característica é igual a 50Ω?

5. A perda de reflexão numa linha de transmissão, sem perdas, é igual a 1 dB. Se a carga consome 5 watts de potência, que potência o gerador entrega à linha?

6. Uma linha de transmissão, praticamente sem perdas, de 150 Ω e características relativas µr = 1 e εr = 4 é alimentada com um transmissor de 50 W e 150 MHz. Seu comprimento é igual a 3 metros e em seus terminais se acha uma carga que consome 25 W de potência. Observa-se, ainda, que a 20 cm da carga ocorre o primeiro ponto de corrente mínima na linha. Pede-se: a) o valor da carga; b) a mínima impedância ao longo da linha.

7. Qual é a perda de retorno numa linha de transmissão que apresenta o coeficiente de reflexão de potência igual a 0,56?

8. Se a potência refletida de uma carga para a LT sem perdas, de 150 Ω, é igual a 20 W, pergunta-se: a) qual é o módulo da tensão refletida na carga?; b) qual deve ser a potência do transmissor para que a perda de retorno não ultrapasse 3 dB?

9. Num sistema de transmissão a LT utilizada, considerada sem perdas, é de 75 Ω e a carga a ela conectada é igual a 225 Ω .Determine a potência absorvida pela carga, se o transmissor é de 150 W.

10. Medindo-se a potência consumida por uma carga, nos terminais de uma linha de trans- missão ideal, obtém-se 30 W. Mede-se a taxa de onda estacionária igual a 3,2 e pede-se calcular a potência do transmissor.

11. A taxa de onda estacionária, medida numa linha de transmissão ideal, é igual a 2,2. Se o transmissor é de 10 W, qual será a potência refletida para a linha?

VI - ATENUADORES EXEMPLO:

Um transmissor de 30W e 120MHz alimenta uma linha de transmissão de 6m, sem perdas e de características µ_r =1 e ε_r =4. Sabe-se que o consumo pela carga é de 20W e que a 50cm da mesma observa-se o primeiro ponto de corrente máxima.

Pede-se:

a) O valor da carga e

b) O valor de um atenuador colocado próximo à carga que consome juntamente com a carga, 25W.

Solução:

a) Como o consumo pela carga é de 20W, a potência refletida será de 10W.

W 30

P_i = P_r =10W

577 , 0

33 , 30 0 10

2

= Γ

=

=

= Γ

i r

P P

f 2

c f 4 1 f

1

0 0 r

r

⋅ = ε

= µ

⋅ ε

= µ λ

λ

⇒ =

=

λ 1,25m 0,50m 0,4

No ponto de corrente máxima encontra-se Zmín. Pela carta, anda-se em T.L e acha-se o valor da carga: ZL =0,4+j0,65

b)









=

⋅

=

⋅

5 X 3 / logP 10

P X log30 10

r 0

1,5dB X

21,213 log 30

10 X

21,213W 15 P

P P 30

0 0 0

=

⋅

=

⇒ =

=

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Uma linha de transmissão, ideal e de 52 Ω, alimenta uma carga que consome metade dos 50 W que lhe entrega o gerador de 150 MHz. Com um medidor, verifica-se que ocorre um ponto de tensão máxima na linha a 20 cm da carga. Ao se colocar um atenuador casado próximo à carga, este e a carga consomem, juntos, 30 W. Determinar:

a) o valor da carga; b) o valor do atenuador.

2. Um cabo coaxial, sem perdas e de 52 Ω, conecta um transmissor a uma carga que absorve 14 dB de potência. Insere-se um atenuador casado, próximo à carga, e ambos,o atenuador mais a carga, consomem 18 dB de potência. determinar o novo valor de RVOE na linha e o valor do atenuador.

3. No sistema dado, qual deve ser o atenuador casado, inserido entre a linha ideal e a carga, de forma que a potência refletida caia à metade daquela sem o atenuador?

4. Qual é o valor do atenuador casado inserido entre uma linha de transmissão, de perdas desprezíveis, e a carga se, sem o atenuador, a perda de retorno é igual a 5 dB e, com o atenuador, a mesma passa para 10 dB?

5. Determinar a potência consumida pela carga, do sistema abaixo, se a taxa de onda estacionária medida, na carga, é igual a 2,2.

6. Qual deve ser o menor valor "X", do atenuador casado inserido entre a linha ideal e a carga na figura, de forma que a potência lida na carga não exceda 10 W, valor máximo lido pelo medidor de potência?

7. Medindo-se a taxa de onda estacionária, na carga de um sistema transmissor, obtém-se o valor igual a 4,0. Se um atenuador casado é inserido entre a linha e a carga, um medidor acusa, na entrada do atenuador, uma taxa de onda estacionária igual a 2,0.

Pede-se o valor do atenuador.

8. No sistema abaixo, qual é o valor do atenuador casado se a potência refletida deve ser 1% da transmitida, considerando a impedância da carga igual a 75 Ω?

VII – CASADORES EXEMPLO:

Calcular os comprimentos L1 e L2 do estube duplo abaixo, de forma que a impedância vista nos terminais A-A’ seja igual a 50 Ω.

Solução

Normalizando a admitância tem-se:

0 L L

Y Y = Y

50 Y₀ = 1

6 , 0 j 6 , 0 Y_L = −

Para encontrar a admitância total nos terminais B-B’, levando em consideração que a linha de transmissão deve apresentar nos terminais A-A’ uma impedância de 50 Ω:

Na carta, 8

λ equivale a 90°. Rotaciona-se, 90° em direção à carga (Toward Load – T.L), a circunferência de parte real igual a 1. Em, seguida acha-se os pontos onde a circunferência deslocada corta a parte real de Y_L(−l), sendo l a distância da carga aos terminais B-B’ (no caso, l=λ). Nesse exercício, Y_L(−l)=0,6−j0,6.

Dessa forma os pontos encontrados são:

P1: YBB'_Tot =0,6+j1,92 (1ª Solução) P2: YBB'_Tot =0,6+j0,08 (2ª Solução)

Sendo YBB'_Tot =YL(−l)+Yest1 tem-se para o estube 1:

52 , 2 j

Yest1 =+ (1ª Solução)

68 , 0 j

Yest1 =+ (2ª Solução)

Como o estube 1 está em curto, para descobrir o seu comprimento, anda-se em T.L na carta até o ponto onde a admitância é máxima (Ymáx →∞), ou seja, até o ponto de curto.

Nos terminis A-A’ pede-se que a impedância total seja de 50 Ω, ou seja a linha deve estar casada (Yin =1). Logo, rotaciona-se de 90° em direção ao gerador (Toward Generator – T.G) os pontos P1 e P2. Dessa forma, tem-se os pontos:

P1’: YAA' =1−j2,5 (1ª Solução) P2’: YAA' =1+ j0,52 (2ª Solução)

2 est ' AA Tot _ '

AA Y Y

Y = +

Logo:

5 , 2 j

Yest2 =+ (1ª Solução)

52 , 0 j

Yest2 =− (2ª Solução)

Como o estube 2 está em curto, para descobrir o seu comprimento, anda-se em T.L na carta até o ponto onde a admitância é máxima (Ymáx →∞), ou seja, até o ponto de curto.

Dessa forma, tem-se:

Para a 1ª solução: L₁ =0,44λ e L₂ =0,439λ Para a 2ª solução: L₁ =0,345λ e L₂ =0,175λ

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Na configuração dada, a que distância da carga pode ser inserido um casador de quarto- de-onda para casar a linha, de poucas perdas, à carga? - Qual é a impedância característica do casador?

2. No sistema dado determinar o comprimento da linha de 75 Ω, em curto, que anula o efeito capacitivo da carga. A seguir, calcular o transformador de quarto-de-onda utilizado para efetuar o casamento.

3. É possível casar totalmente o sistema abaixo, nos terminais AA', através de um capacitor introduzido em paralelo à carga? – Mostrar o desenvolvimento matemático.

4. Qual deve ser a reatância indutiva "X" e a que distância "L" da carga deve estar, de forma a garantir casamento nos terminais AA' da configuração dada?

5. Calcular, na configuração dada, o comprimento da linha de transmissão, colocada em

paralelo à carga, de forma a eliminar a parcela reativa da mesma e, então, realizar o ca- samento com o transformador de quarto-de-onda.

6. Um transmissor operando em 300 MHz é conectado a uma antena, cuja impedância se deseja determinar, através de uma linha paralela, sem perdas, de 300 Ω e dielétrico ar.

Mede-se, na carga, uma RVOE = 3,0 e verifica-se que o primeiro mínimo de corrente ocorre a 0,20 λ da carga. Pede-se: a) o valor da carga; b) a menor distância à carga em que deve ser inserido um estube, em paralelo e em curto, de forma a eliminar a reflexão para o transmissor; c) o comprimento do estube.

7. No sistema dado, determinar a impedância de entrada da antena. A seguir, calcular o casador estube simples, paralelo e em curto, colocado o mais próximo possível da antena, de forma a garantir nenhuma reflexão para a linha. Considerar a velocidade de fase do sinal na linha igual à velocidade da luz.

8. Uma antena deve ser alimentada, de um transmissor de 60 MHz, através de uma linha de transmissão de 4 m e 300 Ω. Não se dispondo dos 4 metros, duas linhas emendadas são usadas, conforme é mostrado na figura. Qual deve ser a impedância característica da linha "2" de forma a não haver reflexão para a linha "1"?

9. Projetar um estube simples, paralelo e em curto, que realize o casamento da carga de 50 Ω com a linha de 100 Ω, poucas perdas.

10. Calcular os valores de " L " e " que permitem o casamento da carga com a linha, na configuração dada.

11. Uma linha de transmissão, de 300 Ω e sem perdas, é terminada numa carga de (30 + j15) Ω. É possível realizar o casamento apenas com uma capacitância em série à linha, na frequência de 60 Hz? – Se positivo, determinar o seu valor e a que distância da carga deverá ser introduzida.

12. Um transmissor, operando em 30 MHz, é acoplado a uma antena, através de uma linha de transmissão ideal de 300 Ω. Se o coeficiente de reflexão é igual a 0,4∠-132°, pede- se: a) o valor da carga; b) a menor distância à carga em que deve ser introduzido um estube paralelo em aberto, garantindo não haver reflexão para o transmissor; c) o comprimento do estube.

13. É possível o casamento da linha de 50 Ω com a carga de (50 + j 30) Ω, apenas com o estube paralelo e em curto na carga? – Se negativo, de que maneiras poderá ser realizado tal casamento?

14. Uma linha paralela e de 300 Ω, conecta uma antena de VHF a um receptor de TV que está operando no canal 4, cuja frequência portadora é igual a 69 MHz. Se a impedância de entrada do receptor é igual a 285 Ω, verificar se há a necessidade de casador e, se

positivo, qual é o seu tipo. Considerar taxas de onda estacionária toleráveis até 1,1.

15. Um estube em curto, 15 cm de comprimento, está em paralelo a uma linha de trans-

missão, de poucas perdas e de 300 Ω, num ponto que dista 10 cm da carga. Qual é o valor da carga, se a excitação é igual a 100 MHz?

16. Determinar os comprimentos dos estubes colocados em paralelo à linha de tranmissão dada:

17. Calcular os menores comprimentos do estube duplo que garantem não haver reflexão para o transmissor. Supor perdas desprezíveis.

VIII - LINHAS COM PERDAS EXEMPLO:

Uma antena dipolo filamentar, de meia-onda, apresenta uma impedância de entrada igual a 73 Ω e é conectada ao transmissor através de uma linha de transmissão de 10 metros, cujas perdas são pequenas. Sabe-se que o coeficiente de reflexão na carga é igual -0,615.

Pede-se:

a) a impedância característica da linha

b) a impedância de entrada da linha, se uma atenuação de 0,015NP/m é considerada ao longo da L.T e o comprimento de onda é igual a 1m.

Solução:

a)

⋅ π

= Γ

−

= Γ

j L

L

e 615 , 0

615 , 0

Pela carta:

Ω

⇒ =

⇒ =

=

∴

=

300 243 Z

, 0 Z 73 243 , Z 0 Z

243 , 0 Z

0 0

0 L L

b)

456 , 0

e 615 , 0 e

in

) 10 ( 015 , 0 2 in

z 2 L in

= Γ

⋅

=

⇒ Γ

⋅ Γ

=

Γ ^{α ⋅ ⋅−}

Da carta: Zin =0,38

Ω

⇒ =

⋅

=0,38 300 Z 114

Z_{in in}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Uma linha de transmissão de 50 Ω atenua um sinal de 0,04 NP/m. Se a carga é igual a ( 50 + j 50 ) Ω, a frequência do transmissor, 30 MHz, e o comprimento da linha, 2,5 metros, qual é a impedância nos terminais de entrada da linha?

2. Determinar a impedância de entrada de uma linha de transmissão de 52 Ω e 1,5 λ, sa- bendo que a atenuação na mesma é igual a 0,3 dB/λ e que a carga é igual a 50 Ω.

3. Determinar a impedância de entrada de uma linha de transmissão, de 50 Ω e 5 metros, com RVOE = 3,0 na carga e o primeiro máximo ocorrendo a 0,1λ da carga, quando o transmissor opera em 100 MHz. São dadas: a resistência do dielétrico igual a 25 mΩ/m e a condutância do mesmo igual a 0,1 mS/m.

4. O cabo coaxial RG 11 A/U, de impedância característica igual a 75 Ω, e 1,5 metros de comprimento, conecta um transmissor a uma antena, cuja impedância de entrada normalizada é igual a 1. Sabendo-se que as perdas no cabo ficam caracterizadas por R

= 0,02 Ω/m e G = 0,0015 S/m, determinar: a) a potência fornecida pelo transmissor, se a antena consome 10 W de potência; b) a atenuação ao longo da linha.

5. Numa linha de transmissão, casada e de 10 metros de comprimento, que conecta um transmissor de FM à antena, entrega-se uma potência igual a 10 KW. Na antena, porém, a potência que chega é igual a 9,5 KW. Qual é a atenuação na linha, em NP/m?

6. Qual é a atenuação, em dB/m, de um sinal ao longo de uma linha de transmissão de 75 Ω, na qual se acha conectada uma carga de 75 Ω e cujas características são: R = G = 0,001 unidades MKS.

7. Determinar a atenuação, em dB, ao longo de uma linha casada de 12 metros, se a constante de atenuação é igual a 0,01 NP/m.

8. Com que potência se deve alimentar uma linha casada de 300 Ω ,15 metros e características R = 0,01 Ω/m e G = 0,005 S/m, para que sejam entregues 15 W de potência à carga?

9. Um cabo coaxial de 75 Ω e 8 metros, liga uma antena receptora a um aparelho de TV.

A potência que chega à antena é igual a 8 W e a impedância de entrada do receptor é igual a 300 Ω. Pede-se determinar a impedância, vista nos terminais da antena, se a frequência do sinal é igual a 60 MHz e as características do cabo são: R = 0,001 Ω/m, G = 0,0001 S/m, µr e εr iguais a 1.( Considerar o balanceamento é de 1:1 )

10. Determinar a impedância de entrada da linha de transmissão dada, onde a impedância característica da linha é igual a 150 Ω e a constante de atenuação, 0,2 NP/λ.

11. Uma linha de transmissão, de 50 Ω e 45λ/4, atenua um sinal de 0,029 NP/m.

Determinar a atenuação total na linha, em dB, se a carga é de 225 Ω e a frequência do gerador de RF é de 100 MHz. Considerar a velocidade de fase do sinal na linha igual a 80% da velocidade da luz.

12. Um cabo coaxial, de 50 Ω e atenuação normal de 5 dB/m, conecta um transmissor de 100 MHz a uma carga de 220 Ω, que se acha a 5 λ/4 do transmissor. Pede-se determinar a impedância nos terminais de entrada da linha e a atenuação total, se a velocidade de fase do sinal na linha é 80% da velocidade da luz.

13. Numa linha de transmissão de 50 Ω, a taxa de onda estacionária medida, na carga, é igual a 2,0 e o primeiro ponto de tensão mínima ocorre a 0,35 λ da carga. Se a linha é de 9,5 λ e atenua 0,1 dB/λ, pede-se: a) o valor da carga; b) a impedância vista nos terminais da linha; c) a atenuação total ao longo da linha.

14. Qual é a perda total numa linha de transmissão de 12 metros e 0,1 dB/m, se o módulo do coeficiente de reflexão, na carga, é igual a 0,5?

15. Qual é a potência média entregue a uma carga de 220 Ω, conectada ao transmissor atra- vés de uma linha de 100 Ω e 0,05dB/λ, se a amplitude da tensão na carga é igual a 1 volt? - Qual deve ser a potência do transmissor se a linha é de 6 λ de comprimento?

16. Uma linha de transmissão, de 300 Ω e 5 metros, atenua um sinal de 2 dB, desde a saída do transmissor até a carga. Que parcela de atenuação é somada quando a linha está descasada, com uma carga de 240 Ω?

17. Qual deve ser o comprimento de uma linha de transmissão de 50 Ω, conectada a um transmissor de 15 W, que deve entregar 10 W à carga casada, sendo R = G = 0,01 unidades MKS?

18. Com uma carga de 125 Ω, uma linha de transmissão, de 75 Ω e 2,5 metros, atenua um sinal, desde a saída do transmissor até a carga, de 3 dB. A taxa de onda estacionária, medida na saída do transmissor, é igual a 1,5. Determinar a atenuação na linha para o caso dela estar casada.

19. Numa linha de transmissão de características R = G = 0,002 unidades MKS, L = 2mH/m e C = 4 µF/m determinar, para 100 MHz, a taxa de onda estacionária e o coeficiente de reflexão na carga de 50 Ω .

20. Na entrada de uma linha de transmissão de 50 Ω, λ/4 metros e 0,01 NP/m, sabe-se que o coeficiente de reflexão é igual a 0,4 ∠-30°. Pede-se o valor da carga, a potência entregue à mesma, quando o transmissor entregar à linha uma potência de 20 W, e a atenuação total de sinal na linha.

21. Qual é a atenuação total ao longo de uma linha de transmissão, de 0,05 NP/m e 2 metros de comprimento, quando a RVOE medida, na carga, é igual a 1,2?

22. Que potência média um transmissor deve entregar a um cabo coaxial de 50 Ω, 1,5 metros e 0,02 NP/m, quando a tensão incidente na carga é igual a 1 volt e o coeficiente de reflexão, na carga, é igual a 0,2 ∠30°?

23. Retira-se, de uma tabela de fabricante, os seguintes dados para o cabo CELLFLEX, da Pirelli, tipo CF 1/4" – 50: impedância característica = 50 Ω e atenuação dB/100m, em 100 MHz, igual a 4,5. Pede-se a atenuação total no cabo, se seu comprimento é igual a 5 metros e sua carga, 75 Ω.

LISTA DE VARIÁVEIS a - raio do condutor interno do cabo coaxial

a′′′′ - raios dos condutores de uma linha paralela b - raio do condutor externo do cabo coaxial

d - distância entre os centros dos condutores de uma linha paralela µµ

µµ - permeabilidade do meio εεεε - permissividade do meio

Zo - impedância característica da linha de transmissão Zin - impedância de entrada da linha de transmissão RF - radio-frequência

RVOE ou ROE - relação de tensão de onda estacionária λλ

λλ - comprimento de onda FM - modulação em frequência TX - transmissor

VHF - very high frequency (faixa de frequências de 30 a 300 MHz) UHF - ultra high frequency (faixa de frequência de 300 a 3000 MHz) LT - linha de transmissão

FORMULÁRIO

ε

= 10

/(36.π) F/m µ

= 4.π.10

H/m v

= w/β

V(z) = ( V

. e

. e

+ V

. e

. e

) Z = R + jwL Y = G + j wC

I(z) = ( V

. e

. e

+ V

. e

. e

) β = w [LC]

γ = [ Z/Y ]

Z

Z

α = {1/2 (RG – w

LC + [( R2 + w

L

) . (G

+ w

C

)]

}

β = 2.π/λ β = {1/2 (- RG + w

LC + [( R2 + w

L

) . (G

+ w

C

)]

}

λ = v/f

Z

= 60.ln( b/a ) Z

= 120.ln( d/a ) Z

= [ L/C ]

P

= ½ Re[ V x I

] Γ( z ) = Γ

. e

γ = α + j β Z( z ) = Z

. [1 + Γ( z )]/[1 - Γ ( z )] α ≈ ( 1/2 ).[ R/Z

+ GZ

] Γ z ) = [ Z( z ) - Z

]/[ Z( z ) + Z

] SWR = [ 1 +| Γ

|] / [ 1 - | Γ

| ] Z( z ) = Z

. [ Z

- j Z

.tg βz ]/[ Z

- j Z

.tg βz ] P = ½ Re( V.I* ) Γ

= ( Z

- Z

)/( Z

+ Z

)

R

= 10.log( P

/P

) L/l = [µ

/(2.π)] ln ( b/a )

C/l = 2.π.ε

/[ ln ( b/a )] L/l = [µ

/π] ln ( d/a ) C/l = π.ε

/[ ln ( d/a )]

A

≈ 8,686 α l P

= [1/(2 Z

)] | V

|

e

[ 1 - |Γ( z )|

]

P

= [1/(2 Z

)] | V

|

e

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

I - 1. a) ≈66 Ω; b) 0,034 NP/m e 2,096 rad/m

2. R = G = 0, L = 220 nH/m, C=50,57 pF/m, Z = 66 Ω e Vf = 3,0 x 108 m/s 3. 276,31 Ω

4. 1,15 cm 5. 0,016 S/m

6. 999,9996 Ω e 1000 Ω

II - 1. a) 50 Ω; b) 19 Ω; c) 16,2 cm 2. ( 1 + j2 ) Ω

3. ( 56 - j17,5 ) Ω

4. a) ( 10 - j20 ) Ω; b) ( 23 + j0,4 ) Ω; c) ( 118 - j29 ) Ω; d) ( 22 - j23 ) Ω 5. 0,126 λ

6. 75 Ω 7. 300 Ω

8. ( 3,50 + j38,50 ) Ω 9. 86,6 Ω

10. ( 0,008 - j0,014 ) S

11. a) 1 Ω; b) 200 Ω; c) 100 Ω; d) qualquer 12. É um múltiplo inteiro de 4,5 metros.

13. -j75 Ω 14. λ/8

15. m= n + kλ/2, k = 0, 1, 2, ...

16. 172° elétricos

III - 1. a) 2,0; b) 300 Ω e 75 Ω

2. tensão incidente = 5/2 V e tensão refletida = -3/2 V 3. a) 0,6∠178° e 0,6∠88°; b) 4,0; c) 1200 Ω

4. ( 108 + j87 ) Ω e 4,5 m 5. ( 73,5 - j13,5 ) Ω

6. a) 0,5 tanto na carga como no transmissor; b) 3; c) 16,67 Ω 7. 99 Ω e ( 600 + j390 ) Ω

8. a) 10 pontos; b) 2,0 e 0,34∠173°

9. 500 MHz 10. 306,22 Ω 11. 5∠144° V

12. a) ( 18,75 + j124,5 ) Ω; b) 0,139 λ; c) 15 13. ROE = 1,22 e 61,48 Ω

14. 135° elétricos

15. a) 0,333; b) 0,5∠180° e 0,5∠-90°; c) 3,0; d) 0,333

IV - 1. V ( z ) = 150 ( e-j2πz/3 + 0,33 ej2πz/3 ) e I ( z ) = 0,5 ( e-j2πz/3 - 0,33 ej2πz/3 ) 2. V ( z ) = -j2 sen βz V⁺

3. V ( z ) = 266,66 ( e-j0,04πz - 0,25 ej0,04πz ) 4. 19,999

V - 1. 225 Ω

2. a) ( 24,96 – j31,72 ) Ω; b) 16 pontos; c) 1,3 dB 3. a) ( 146,25 + j45 ) Ω; b) 0,462 λ

4. 315,5 W e 27,50 Ω 5. 6,3 W

6. a) ( 29,25 + j48 ) Ω; b) 26,25 Ω 7. 2,52 dB

8. a) 77,46 V; b) A potência não deve ultrapassar 40 W.

9. 112,5 W 10. 41,4 W 11. 1,4 W

VI - 1.( 25 + j66 ) Ω e 0,315 dB 2. ROE = 1,3; 2 dB

3. 1,5 dB 4. 2,5 dB 5. 2,16 W 6. 6,48 dB 7. 2,6 dB 8. 11,74 dB

VII - 1. 0,09 m e 217,37 Ω 2. 0, 213 λ e 128,62 Ω

3. Não, a menos que se use um casador de λ/4 entre a LT e a carga, de valor igual a 80,78 Ω.

4. 420 Km e 225 Ω 5. 0,039 λ

6. a) ( 111 + j87 ) Ω; b) 3,3 cm; c) 38,6 cm

7. ( 30 - j40 ) Ω, 6,6 cm da carga e comprimento de 44,7 cm 8. 150 Ω

9. 0,098 λ da carga e comprimento de 0,347 λ 10. 0,051 λ da carga e comprimento de 0,125 λ

11. Sim, um capacitor de 3 µF a 0,194 λ da carga, ou seja, 970 Km da carga.

12. 1,58 m da carga e comprimento de 1,14 m

13. Não. Com um estube em série à carga de Zin = -j30 Ω, com um estube paralelo e em curto a certa distância da carga, com um casador de λ/4 inserido na linha em

um ponto de impedância puramente resistiva ou ainda com estubes duplos.

15. ( 34,5 - j162 ) Ω

16. L1 = 0,169 λ e L2 = 0,375 λ ou L1 = 0,031 λ e L2 = 0,051 λ 17. L1 = 0,133 λ e L2 = 0,143 λ

VIII - 1. ( 30 - j22,5 ) Ω

2. 54 Ω 3. ( 65-j60 ) Ω

4. a) 11,8 W b)0,73 dB 5. 2,57 x 10-3 NP/m 6. 0,326 dB/m 7. 1,042 dB 8. 88,7 x 10⁹ W

9. ( 54 - j82,5 ) Ω 10. 712,5 Ω

11. 8,98 dB

12. 17,3 dB e 52 Ω

13. a) ( 49 + j34 ) Ω; b) ( 55 + j28,5) Ω; c) 1,11 dB 14. 1,77 dB

15. a) 4,30 mW; b) 4,70 mW 16. 0,03 dB

17. 0,81m 18. 2,9 dB 19. 2,22 e 0,38

20. ( 22,5 + j10,8 ) Ω; 19,86 W; 0,032 dB 21. 0,9 dB

22. 10,24 mW

23. 0,245 dB