UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA
LISTA DE EXERC´ICIOS 01 – v. 1.0
Orienta¸c˜ao: Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, escrevendo a coluna que descreve cada aplica¸c˜ao de cada conectivo.
Nota¸c˜ao: Nesta lista, os conectivos (operadores) l´ogicos nega¸c˜ao (“n˜ao”), conjun¸c˜ao (“e”), disjun¸c˜ao (“ou”), “ou exclusivo”, “condicional” e “bicondicio- nal”, e as constantes l´ogicas “falso” e “verdadeiro” ser˜ao denotados, respecti- vamente, por: ¬,∧,∨, ˙∨,−→,←→,F eV. J´a⇐⇒denotar´a a equivalˆencia l´ogica entre f´ormulas. Observar que a nega¸c˜ao possui precedˆencia sobre ou- tras opera¸c˜oes. Ex.: ¬A∨B significa (¬A)∨B, e n˜ao significa¬(A∨B).
Quest˜ao ´unica. Utilizando tabelas l´ogicas (tabelas-verdade) passo a passo, demonstrar as equivalˆencias l´ogicas abaixo (semanticamente, na l´ogica cl´as- sica), onde A, B eC s˜ao vari´aveis proposicionais.
Ex.: A∨(B ∧C) ⇐⇒ (A∨B)∧(A∨C) (distributividade de ∨ com rela¸c˜ao a ∧).
Resolu¸c˜ao:
A B C B∧C A∨(B∧C) A∨B A∨C (A∨B)∧(A∨C)
F F F F F F F F
F F V F F F V F
F V F F F V F F
F V V V V V V V
V F F F V V V V
V F V F V V V V
V V F F V V V V
V V V V V V V V
As colunas em negrito s˜ao idˆenticas, mostrando que as duas express˜oes tˆem os mesmos valores l´ogicos em todas as possibilidades de (A, B, C). Em suma, elas s˜ao semanticamente equivalentes e, portanto, logicamente equivalentes.
1. Associatividade de∧: (A∧B)∧C ⇐⇒A∧(B∧C);
2. Associatividade de∨: (A∨B)∨C ⇐⇒A∨(B∨C);
3. Comutatividade de ∧: A∧B ⇐⇒B ∧A;
4. Comutatividade de ∨: A∨B ⇐⇒B ∨A;
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5. Distributividade de∧ com rela¸c˜ao a ∨:
A∧(B∨C)⇐⇒(A∧B)∨(A∧C);
6. Idempotˆenciade∧: A∧A⇐⇒A;
7. Idempotˆenciade∨: A∨A⇐⇒A;
8. Absor¸c˜ao: A∧(A∨B)⇐⇒A;
9. Absor¸c˜ao: A∨(A∧B)⇐⇒A;
10. Lei de De Morgan: ¬(A∧B)⇐⇒ ¬A∨ ¬B; 11. Lei de De Morgan: ¬(A∨B)⇐⇒ ¬A∧ ¬B;
12. Involu¸c˜ao de ¬(ou dupla nega¸c˜ao): ¬ ¬A ⇐⇒A;
13. Complemento (ou princ´ıpio da n˜ao-contradi¸c˜ao): A∧ ¬A⇐⇒F (ou seja, ¬(A∧ ¬A) ´e uma tautologia);
14. Complemento (ou lei do terceiro exclu´ıdo): A ∨ ¬A ⇐⇒ V (ou seja, A∨ ¬A ´e uma tautologia);
15. Limita¸c˜ao – lei de identidade: A∧V ⇐⇒A;
16. Limita¸c˜ao – lei de identidade: A∨F ⇐⇒A; 17. Limita¸c˜ao – aniquilamento: A∧F ⇐⇒F; 18. Limita¸c˜ao – aniquilamento: A∨V ⇐⇒V; 19. A∧B ⇐⇒A∧(¬A∨B);
20. A∨B ⇐⇒A∨(¬A∧B);
21. A∨˙B ⇐⇒(A∨B)∧ ¬(A∧B);
22. A∨B˙ ⇐⇒(A∨B)∧(¬A∨ ¬B);
23. A∨¬A˙ ⇐⇒V;
24. A−→B ⇐⇒ ¬A∨B;
25. A←→B ⇐⇒(A−→B)∧(B −→A);
26. [(A∧ ¬(A∧B))∧¬C]∨{[B ∧((¬A∧C)∨(¬B∧C))]∨[A∧(¬B∧C)]}
⇐⇒(A∧ ¬B)∨[(¬A∧B)∧C].
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