A resolu¸c˜ao de v´arios problemas em Eletromagnetismo est´a relacionada com o tipo de sistema de co- ordenadas que ´e utilizado. A simplifica¸c˜ao de muitos desses problemas depende de uma escolha correta do sistema de coordenadas, al´em de uma compreens˜ao de algumas conceitos fundamentais do C´alculo Vetorial e do C´alculo Diferencial e Integral. Vamos revisar os principais sistemas utilizados no Eletromagnetismo:
o sistema cartesiano, o cil´ındrico e o esf´erico.
1 Sistema de Coordenadas Cartesiano
Em um sistema de coordenadas cartesiano um ponto P ´e especificado pelas coordenadas x, y e z. Todos esses valores s˜ao medidos a partir da origem do sistema de coordenadas. Os vetores unit´arios desse sistema s˜ao ˆi, ˆj e ˆk. Um vetor em um sistema de coordenada cartesiano ser´a escrito como:
A~ =Axˆi+Ayˆj+Az kˆ
1.1 Produto Escalar
ˆi·ˆi= ˆj·ˆj = ˆk·ˆk= 1 ˆi·ˆj = ˆi·ˆk = ˆj ·ˆk= 0
1.2 Produto Vetorial
ˆi׈i= ˆj ׈j = ˆk׈k = 0 ˆi׈j = ˆk ˆj׈i=−ˆk ˆj ׈k= ˆi kˆ×ˆj =−ˆi kˆ×ˆi= ˆj ˆi׈k =−ˆj
1.3 Elemento Infinitesimal de Comprimento d~l
d~l=dxˆi+dyˆj+dzˆk
1.4 Elemento de Volume
dv =dxdy dz
1.5 Limites de Integra¸ c˜ ao
Coordenada Intervalo
x -∞ at´e +∞
y -∞ at´e +∞
z -∞ at´e +∞
1.6 Operadores de Campo
Seja A~ um campo vetorial em coordenadas cartesianas: A~ = Axˆi+Ayˆj +Azˆk e V = V(x, y, z) uma fun¸c˜ao escalar.
• Gradiente
∇V~ = ∂V
∂xˆi+ ∂V
∂yˆi+∂V
∂zˆi
• Divergente
∇ ·~ A~ = ∂Ax
∂x + ∂Ay
∂y + ∂Az
∂z
• Rotacional
∇ ×~ A~ =
∂Az
∂y − ∂Ay
∂z
ˆi+
∂Ax
∂z −∂Az
∂x
ˆj+
∂Ay
∂x −∂Ax
∂y
ˆk
• Laplaciano
∇2V = ∂2V
∂x2 + ∂2V
∂y2 +∂2V
∂z2
Em um sistema de coordenadas cil´ındricas o ponto P ´e especificado pelas coordenadas r, φ e z. A coordenada r ´e positiva a partir do eixo z, enquanto que a coordenada z ´e a mesma da coordenada cartesiana e serve como o eixo do cilindro. A coordenada φ ´e chamado de ˆangulo azimutal e ´e dado com referˆencia ao eixox do sistema cartesiano. Os vetores unit´arios desse sistema s˜ao ˆr, ˆφ e ˆk. Um vetor geral em um sistema de coordenada cil´ındrica ´e escrito como:
A~=Arrˆ+Aφφˆ+Azˆk
2.1 Produto Escalar
ˆ
r·rˆ= ˆφ·φˆ= ˆk·kˆ= 1 ˆ
r·φˆ= ˆr·kˆ= ˆφ·kˆ= 0
2.2 Produto Vetorial
ˆ
r׈r= ˆφ×φˆ= ˆk׈k= 0 ˆ
r×φˆ= ˆk φˆ×rˆ=−kˆ φˆ×kˆ= ˆr kˆ×φˆ=−ˆr ˆk׈r= ˆφ rˆ×kˆ=−φˆ
2.3 Transforma¸ c˜ oes dos Vetores Unit´ arios
ˆ
r = cosφˆi+ sinφˆj φˆ=−sinφˆi+ cosφˆj kˆ= ˆk
2.4 Elemento Infinitesimal de Comprimento d~l
d~l=drrˆ+rdφφˆ+dz kˆ
2.5 Elemento de Volume
dv =r dr dφ dz
2.6 Limites de Integra¸ c˜ ao
Coordenada Intervalo
r 0 at´e∞
φ 0 at´e 2π
z -∞ at´e +∞
2.7 Operadores de Campo
SejaA~ um campo vetorial em coordenadas cil´ındricas: A~ =Arˆr+Aφφˆ+AzˆkeV =V(r, φ, z) uma fun¸c˜ao escalar.
• Gradiente
∇V~ = ∂V
∂r ˆr+ 1 r
∂V
∂φ
φˆ+ ∂V
∂z kˆ
• Divergente
∇ ·~ A~ = 1 r
∂
∂r(rAr) + 1 r
∂Aφ
∂φ + ∂Az
∂z
• Rotacional
∇ ×~ A~ =
1
r
∂Az
∂φ −∂Aφ
∂z
ˆ r+
∂Ar
∂z −∂Az
∂r
φˆ+1 r
∂
∂r(rAφ)− ∂Ar
∂φ
ˆk
• Laplaciano
∇2V = 1 r
∂
∂r
r∂V
∂r
+ 1 r2
∂2V
∂φ2 +∂2V
∂z2
Em um sistema de coordenadas esf´ericas um ponto P ´e especificado pelas coordenadas r, θ e φ. A coordenada r ´e o raio da esfera. A coordenada θ ´e o ˆangulo formado entre o eixo z cartesiano e o raio r da esfera. A coordenadaφ´e o ˆangulo entre o eixo cartesianox e a proje¸c˜ao do raio da esfera no plano xy.
Os vetores unit´arios desse sistema s˜ao ˆr, ˆθ e ˆφ. Um vetor geral em um sistema de coordenada esf´erica ´e escrito como::
A~ =Arrˆ+Aθθˆ+Aφφˆ
3.1 Produto Escalar
ˆ
r·rˆ= ˆθ·θˆ= ˆφ·φˆ= 1 ˆ
r·θˆ= ˆr·φˆ= ˆφ·θˆ= 0
3.2 Produto Vetorial
ˆ
r׈r= ˆθ×θˆ= ˆφ×φˆ= 0 ˆ
r×θˆ= ˆφ θˆ×ˆr=−φˆ θˆ×φˆ= ˆr φˆ×θˆ=−ˆr φˆ×rˆ= ˆθ rˆ×φˆ=−θˆ
3.3 Transforma¸ c˜ oes dos Vetores Unit´ arios
ˆ
r = sinθcosφˆi+ sinθsinφˆj+ cosθkˆ θˆ= cosθcosφˆi+ cosθsinφˆj −sinθ ˆk φˆ=−sinφˆi+ cosφˆj
3.4 Elemento Infinitesimal de Comprimento d~l
d~l=drrˆ+rdθθˆ+rsinθdφφˆ
3.5 Elemento de Volume
dv=r2sinθ dr dθ dφ
3.6 Limites de Integra¸ c˜ ao
Coordenada Intervalo
r 0 at´e∞
θ 0 at´e π
φ 0 at´e 2π
3.7 Operadores de Campo
SejaA~ um campo vetorial em coordenadas esf´ericas: A~ =Arˆr+Aθθˆ+Aφφˆe V =V(r, θ, φ) uma fun¸c˜ao escalar.
• Gradiente
∇V~ = ∂V
∂rrˆ+1 r
∂V
∂θ
θˆ+ 1 rsinθ
∂V
∂φ φˆ
• Divergente
∇ ·~ A~ = 1 r2
∂
∂r r2Ar
+ 1
rsinθ
∂
∂θ(sinθAθ) + 1 rsinθ
∂Aφ
∂φ
• Rotacional
∇ ×~ A~ = 1 rsinθ
∂
∂θ (sinθAφ)− ∂Aθ
∂φ
ˆ r+ 1
r
1
sinθ
∂Ar
∂φ − ∂
∂r(rAφ)
θˆ+1 r
∂
∂r (rAθ)− ∂Ar
∂θ
φˆ
• Laplaciano
∇2V = 1 r2
∂
∂r
r2∂V
∂r
+ 1
r2sinθ
∂
∂θ
sinθ∂V
∂θ
+ 1
r2sin2θ
∂2V
∂φ2
