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Função composta
Definição: seja g uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja f uma função de B em um conjunto C; chama-se função composta de f e g à função h de A em C definida por h(x) = f(g(x)) para todo x em A.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {1, 3, 5, 7, 9} e as funções f de A em B, definida por f(x) = x² e g, de B em C, definida por g(x) = 2x + 1.
Obtenha a lei de formação da função composta h(x) = g(f(x)).
Função inversa
Definição: se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por 𝑓−1.
Exemplo:
Qual é a inversa da função f bijetora em ℝ definida por f(x) = 3x + 2?
Observações:
I – A composta f(g(x)) só está definida quando o contradomínio de g é igual ao domínio de f.
II – Em geral, f(g(x)) ≠ g(f(x)). Pode acontecer que somente uma das funções f(g(x)) ou g(f(x)) esteja definida.
Observações:
I – (x, y) ∈ f se, e somente se, (y, x) ∈ 𝑓−1.
II – (y, x) ∈ 𝑓−1 se, e somente se, (x, y) ∈ (𝑓−1)−1.
III – O domínio da função 𝑓−1 é B, que é a imagem da função f. A imagem da função 𝑓−1 é A, que é o domínio da função f.
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Lista de exercícios
1) Dadas as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ, onde f(x) = 2x – 1 e g(x) = 1 – 4x, determine:
a) f(f(x)) b) g(g(-2)) c) f(g(0)) d) g(f(4))
2) (UFMG) Para função f(x)=5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b)) = - 2. O valor de b é:
a) -1 b) -4/5 c) -17/25 d) -1/5
3) (PUC-SP) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:
a)-2 b)0 c)1 d)3 e)5
4) (FGV) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x)) =0 são:
a) inteiras b)negativas c)racionais d)inversas e)opostas 5) Seja a função f bijetora de ℝ − {2} em ℝ − {1} definida por f(x) = 𝑥+1
𝑥−2. Qual é a função inversa de f?
6) Obtenha a função inversa das seguintes funções:
a) f: ℝ − {3} → ℝ − {1}
f(x) = 𝑥+3 𝑥−3.
b) f: ℝ − {−1} → ℝ − {2}
f(x) = 2𝑥+3 𝑥+1.
c) f: ℝ − {3} → ℝ − {−1}
f(x) = 4−𝑥 𝑥−3.
d) f: ℝ − {1/3} → ℝ − {5/3}
f(x) = 5𝑥+2 3𝑥−1. e) f: ℝ∗ → ℝ − {4}
f(x) = 4𝑥+2 𝑥
.
f) f: ℝ − {3} → ℝ − {3}
f(x) = 3𝑥+2 𝑥−3
.
7) Seja a função f de ℝ − {−2} em ℝ − {4} definida por f(x) = 4𝑥+3
𝑥+2. Qual é o valor do domínio de 𝑓−1 com imagem 5?
8) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f(x) = 𝑥
3 - 2, então:
a) g(x) = 9x – 15 b) g(x) = 9x + 15
d) g(x) = 15x + 9 e) g(x) =9x - 5
