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VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS Wooldridge 5.12 Suponha o seguinte o modelo: , em que

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Academic year: 2022

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VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS Wooldridge 5.12

Suponha o seguinte o modelo:

, em que . Suponha que haja um vetor tal que . Suponha ainda que seja não singular. Seja .

Mostre que se e somente se algum na seguinte projeção linear for diferente de zero:

DICA: Escreva como a projeção linear de cada elemento de em , em que . Então , em que , fazendo com que . Você pode escrever , em que é uma matriz cujas primeiras colunas são os primeiros vetores unitários do e cuja última coluna é dada por . Escreva , de tal forma que, como é não singular, tem posto se e somente se também tiver.

Wooldridge 6.12

Suponha o seguinte modelo linear . Suponha que haja um vetor de instrumentos e um vetor , que contem todos os elementos não redundantes de e , tal que e , em que . Por fim, suponha que todas as condições de posto de OLS e de 2SLS são satisfeitas.

Mostre que:

DICA: Escreva , em que , e é a covariância assintótica entre e . Você pode usar as fórmulas dos estimadores de 2SLS e OLS para mostrar que . Para mostrar a segunda igualdade, você precisará usar que .

Davidson e MacKinnon 8.8

Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de tamanho , de tal forma que possamos escrever o modelo de regressão em formato matricial: , em que é . Suponha que e sejam matrizes de instrumentos, respectivamente, e , em que consiste de mais

colunas. Mostre que o estimador de 2SLS usando é assintoticamente mais eficiente do

(2)

que o usando . Para isso, você precisará mostrar que a matriz é positiva semidefinida.

Hayashi 3.3

Mostre que o estimador de 2SLS pode ser escrito como um estimador de GLS se e

forem interpretadas como, respectivamente, as matrizes de regressores e da variável dependente, e se for interpretada como a matriz de variância do termo de erro.

ESTIMAÇÃO EM SISTEMA Greene 14.4

Mostre que no seguinte modelo, com observações:

O estimador de GLS em sistema é equivalente ao estimador de OLS equação por equação se . O mesmo acontece quando ?

Wooldridge 7.2

Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de tamanho da população para o seguinte modelo:

, em que é um vetor de parâmetros de interesse e é um vetor de não observáveis . Suponha que , seja não singular e , em que . Seja o estimador de OLS em sistema.

a) Mostre que . b) Como você estimaria a variância assintótica do item anterior?

c) Agora, suponha que , seja positiva definida, seja não singular e

. Mostre que é positiva semi-

definida.

(3)

d) Mostre que se, além das suposições anteriores, , os estimadores de SOLS e SFGLS têm a mesma variância assintótica.

Wooldridge 7.4

Usando a consistência do estimador de SOLS , para mostre que:

Supondo e não singular. Suponha também que todas as condições de momento necessárias para aplicar a LGN e o TCL sejam satisfeitas. A conclusão importante deste exercício é que a distribuição assintótica de não depende da de , e, portanto, quaisquer testes assintóticos de elementos de podem ignorar a estimação de . DICA: Comece em e use que .

GMM

- em uma equação

Davidson e MacKinnon 9.4

Suponha o modelo , com observações e , de dimensão . Suponha também que tenhamos uma matriz de instrumentos , de dimensão , e que . Por fim, seja uma matriz com posto . Mostre que o estimador que minimiza a seguinte forma quadrática:

em que a matriz de ponderação é é igual ao que satisfaz as seguintes condições de momento:

Hansen 14.2

Suponha o seguinte modelo , com e . Mostre que se for estimador por GMM com matriz de ponderação , então:

(4)

Hansen 14.3

Tome o modelo com . Seja , em que é um estimador de GMM consistente para com matriz de ponderação arbitrária. Defina o estimador da matriz de ponderação ótima de GMM como:

Mostre que , em que .

Hansen 14.4

Em um modelo linear estimador por GMM com uma matriz de ponderação geral , a variância assintótica de é:

, em que .

a) Seja a matriz acima quando . Mostre que .

b) Queremos mostrar que para qualquer matriz , é positiva semi-definida (assim, é a menor matriz de covariância possível e é a matriz de ponderação eficiente). Para isso, comece encontrando as matrizes e tais que e .

c) Mostre que e, portanto, que .

d) Use as expressões , e para mostrar que .

Hayashi - 5 da p. 208

O estimador de GMM do modelo , com , é dado por:

Verifique que este estimador continua bem definido para suficientemente grande mesmo que seja singular, contanto que não o seja.

Hayashi - 7 da p. 216

Suponha que tenhamos o modelo de regressão em notação matricial: . Pré-multiplicando os dois lados por , obtemos .

Seja a variância de e um estimador consistente para ela. Aplique FGLS. Verifique que este

estimador é igual ao GMM eficiente.

(5)

-em um sistema de equações Hayashi 4.1 modificado Suponha o seguinte modelo:

, em que denota a equação e o indivíduo. Suponha que tenhamos os mesmos instrumentos para todas as equações. Defina:

, de ordem

, de ordem , de ordem

, de ordem

, de ordem

, de ordem

, de ordem

Mostre que:

- podemos escrever o modelo como

- podemos escrever como obs: e

- , em que

-

(6)

Hayashi 4.7

Suponha que tenhamos o mesmo modelo do exercício anterior. Assim, temos os mesmos instrumentos para todas as equações. Suponha que todas as condições necessária para usar o estimador de 3SLS são satisfeitas.

a) Prove que os estimadores de 3SLS e de 2SLS são iguais.

b) Se os erros não forem condicionalmente homoscedásticos o item anterior permanece verdadeiro?

DICA: Você consegue escrever como um produto Kronecker sem homoscedasticidade?

Wooldridge - 8.2

Considere o seguinte sistema de equações:

Em que indica a observação, e têm dimensão , tem e é a matriz de instrumentos . Seja . Faça as seguintes hipóteses: (1) ; (2) ; (3) é não singular; (4) é não singular.

a) Quais são as propriedades do estimador de 3SLS?

b) Encontre a variância assintótica de . c) Como você estimaria ?

Wooldridge - 9.6

O seguinte sistema de equações apresenta uma interação entre uma variável endógena e uma exógena:

a) Suponha inicialmente que , de tal forma que o sistema seja o convencional. Discuta a identificação de cada equação neste caso.

b) Para qualquer valor de , encontre a forma reduzida de (supondo que ela exista) em função das variáveis exógenas, dos erros e dos parâmetros definidos no enunciado.

c) Supondo que , encontre .

d) Argumente que, sob as condições do item c, o modelo será identificado independentemente do

valor de .

(7)

e) Proponha um procedimento em dois estágios para estimar a primeira equação.

f) Defina uma matriz de instrumentos adequada para a estimação por 3SLS.

g) Suponha que e que . Os parâmetros da primeira equação podem ser estimados

de maneira consistente? Se sim, como? Podemos testar se ?

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