Quest˜ ao 1. Determine os conjuntos-solu¸c˜ ao dos sistemas lineares abaixo.

(1)

2

^a

Lista de ´ Algebra Linear II – 2011.2

Quest˜ ao 1. Determine os conjuntos-solu¸c˜ ao dos sistemas lineares abaixo.

1.a.







1 3 −1 −2 3

−2 −6 5 5 −4

−2 −9 4 5 −8 3 18 −12 −8 11







1.b.





1 2 −1 0

3 5 4 4

−1 −3 8 1





1.c.







2 6 3 1 4

2 6 3 −2 10

−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14







1.d.





0 1 2 1 1 6

0 −2 −4 −2 −4 −18

0 1 2 2 3 13





Quest˜ ao 2. A forma totalmente escalonada de A

5×5

´ e B =





1 0 −2 3 0

0 1 2 −1 0

0 0 0 0 1



.

Determine, se for poss´ıvel:

2.a. os conjuntos-solu¸c˜ ao de A~ x = ~ 0 e de B~ x = ~ 0;

2.b. os conjuntos-solu¸c˜ ao de A~ x = (1, 2, 3, 0, 0) e de B~ x = (1, 2, 3) e

2.c. os conjuntos-solu¸c˜ ao de A~ x = A(1, 2, 3, 0, 0) e de B~ x = B(1, 2, 3, 0, 0).

Quest˜ ao 3.

3.a. O conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = ~b ´ e ~ x

_p

+ h~ x

_h1

, ~ x

_h2

, ~ x

_h3

i. O que vocˆ e pode dizer sobre o conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = ~ 0?

3.b. O conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = ~b ´ e vazio. O que vocˆ e pode dizer sobre o conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = ~ 0?

3.c. O conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = ~ 0 ´ e { ~ 0}. O que vocˆ e pode dizer sobre o conjunto-solu¸c˜ ao de A~ x = ~b?

Defini¸ c˜ ao I Diz-se que {~ v

₁

, ~ v

₂

, · · · , ~ v

_p

} ´ e linearmente dependente (LD) se algum dos ~ v

_i

’s

´

e combina¸c˜ ao linear (CL) dos demais.

(2)

Defini¸ c˜ ao II Diz-se que {~ v

₁

, ~ v

₂

, · · · , ~ v

_p

} ´ e LD se ~ 0 pode ser expresso como CL n˜ ao trivial (isto ´ e, com coeficientes nem todos nulos) de ~ v

₁

, ~ v

₂

, · · · , ~ v

_p

.

Observa¸ c˜ ao Foi provado, em aula, que as duas defini¸c˜ oes acima s˜ ao equivalentes.

Defini¸ c˜ ao III Um conjunto que n˜ ao ´ e LD ´ e denominado linearmente independente (LI).

Quest˜ ao 4. Considere os vetores de R

³

~ v

₁

= (1, −2, 2), ~ v

₂

= (2, 1, 0), ~ v

₃

= (3, −1, 2) e

~

v

₄

= (1, −7, h), este ´ ultimo dependente do parˆ ametro H.

4.a. Para que valores de h o vetor ~ v

₄

´ e CL de ~ v

₁

, ~ v

₂

e ~ v

₃

? 4.b. Para que valores de h o conjunto {~ v

₁

, ~ v

₂

, ~ v

₃

, ~ v

₄

} gera R

³

?

4.c. Para que valores de h o conjunto {~ v

₁

, ~ v

₂

, ~ v

₃

, ~ v

₄

} ´ e LI?

Quest˜ ao 5. Alguns textos denominam um sistema linear com mais equa¸c˜ oes do que inc´ ognitas como sobredeterminado e um com menos equa¸c˜ oes do que inc´ ognitas de subde- terminado. Diga se cada afirma¸c˜ ao abaixo ´ e verdadeira ou falsa, justificando, no primeiro caso, ou apresentando contra-exemplo, no segundo.

5.a. Sistemas sobredeterminados n˜ ao admitem solu¸c˜ ao.

5.b. Sistemas subdeterminados n˜ ao admitem infinitas solu¸c˜ oes.

5.c. Sistemas sobredeterminados, quando admitem solu¸c˜ ao, tˆ em solu¸c˜ ao ´ unica.

5.d. Sistemas subdeterminados admitem infinitas solu¸c˜ oes.

5.e. Sistemas subdeterminados, quando admitem solu¸c˜ ao, tˆ em infinitas solu¸c˜ oes.

Quest˜ ao 6. A Defini¸c˜ ao II, aplicada ao conjunto {~a

₁

, ~a

₂

, · · · , ~a

_n

} de n vetores de R

^m

, pode ser traduzida da seguinte forma, denotando-se por A

m×n

a matriz de colunas ~a

_j

.

{~a

₁

, ~a

₂

, · · · , ~a

_n

} ´ e LD ⇐⇒ A~ x = ~ 0 tem infinitas solu¸c˜ oes.

6.a. Use o fato destacado acima e o ´ ultimo item da quest˜ ao anterior para concluir o seguinte fato:

Um conjunto de mais de m vetores de R

^m

´ e LD.

Quest˜ ao 7. Para que lados-direitos ~b os sistemas A~ x = ~b abaixo tˆ em solu¸c˜ ao?

7.a.

1 2 3 b

₁

2 1 0 b

₂

(3)

7.b.





1 2 3 b

₁

2 1 0 b

2

1 −7 −15 b

₃





Quest˜ ao 8. Os sistemas abaixo tˆ em solu¸c˜ ao para todo lado-direito ~b? (Responda apenas sim ou n˜ ao. Ao contr´ ario do exerc´ıcio anterior, n˜ ao determine o conjunto dos ~b’s para os quais o sistema tem solu¸c˜ ao.)

8.a.





1 2 b

₁

2 1 b

₂

1 −7 b

3





8.b.







√ 17 π

²

log 7 b

₁

332 sin(π/17) tan

⁻¹

(211) b

2

178! −567 5

¹²²

b

₃

35477

¹⁷

√

4545 1 b

₄







E claro que vocˆ ´ e n˜ ao deve fazer as contas, aqui, mas apenas prever alguns aspectos qualitativos dos resulta- dos dessas contas.

Complete a frase: um sistema tem solu¸c˜ ao para qualquer lado direito se, durante o processo de escalonamento da matriz de coeficientes,

linhas s´ o de zeros.

8.c. Conclua o seguinte fato:

Um conjunto de menos de m vetores n˜ ao gera R

^m

.

Quest˜ ao 9. Seja A

_m×m

=

~a

₁

~a

₂

· · · ~a

_m

.

9.a. Se A~ x = ~b tem solu¸c˜ ao para todo lado direito, quantas linhas (equa¸c˜ oes) restam (n˜ ao s˜ ao zeradas) ap´ os o escalonamento? Portanto, quantos pivots? E portanto, quantas vari´ aveis livres? Conclua o seguinte fato:

Se um sistema de m equa¸c˜ oes em m inc´ ognitas tem solu¸c˜ ao para todo lado direito, ent˜ ao a solu¸c˜ ao ´ e sempre ´ unica.

9.b. Prove que:

Se um sistema de m equa¸c˜ oes em m inc´ ognitas tem solu¸c˜ ao

´

unica para algum lado direito, ent˜ ao ele tem solu¸c˜ ao para todo lado direito.

Quest˜ ao 10. Encontre a interse¸c˜ ao entre os dois espa¸cos abaixo:

*







−2 2

−2

−1





 ,





 0 0 3

−3





 ,







−1

−3 1

−2





 +

e

*





 2

−2

−4 7





 ,





 4

−4 4 2





 ,





 0 0 3

−3





 +

.

(4)

E dado que o conjunto-solu¸c˜ ´ ao do sistema







−2 0 −1 2 4 0 0

2 0 −3 −2 −4 0 0

−2 3 1 −4 4 3 0

−1 −3 −2 7 2 −3 0







´ e

(1, 2, 0, 1, 0, 0), (2, 0, 0, 0, 1, 0), (0, −1, 0, 0, 0, 1) . Quest˜ ao 11. Seja A

m×n

=

~a

₁

~a

₂

· · · ~a

_n

. Mostre que a k-´ esima coluna ~a

k

´ e com-

bina¸c˜ ao linear das demais se e somente se A~ x = 0 possuir alguma solu¸c˜ ao (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

)

com k-´ esima entrada x

_k

6= 0. Conclua que se na forma escalonada de A os pivots aparecem

nas colunas j

1

, j

2

, . . . , j

p

, ent˜ ao os vetores ~a

j1

, ~a

j2

, . . . , ~a

jp

s˜ ao LI.