Natureza Dual da Matéria

Natureza Dual da Matéria Função de Onda

Os resultados que levaram a conclusão da dualidade de onda e partícula para a matéria, conduz uma

descrição dos fenômenos ondulatórios como probabilidade de eventos corpusculares.

Quando tratamos de ondas, temos a descrição por uma função de onda que depende da posição e do

tempo.

Veremos que a conexão entre a onda e os fenômenos corpusculares estão no indicativo do evento

corpuscular ocorrer.

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Caso motivador:

Um microscópio eletrônico de transmissão consiste de um feixe de elétrons e um conjunto de lentes eletromag- néticas, que controlam o feixe, encerrados em uma col- una evacuada com uma pressão cerca de 10

mmHg.

A gura mostra a seção esquemática vertical de um

aparelho que utiliza 100 kV como diferença de poten-

cial máxima de aceleração do feixe.

Função de onda:

É conveniente empregar a função de onda como ele- mento central da nova linguagem da mecânica quân- tica.

Chamamos de função de onda de uma partícula ou de um sistema quântico de

Ψ(x, y, z, t)

Diferentemente das funções de onda mecânicas, a função de onda de uma partícula é uma função complexa.

Podemos usar a função de onda da mecânica quân-

tica de uma partícula para encontrar valores médios de

posição, momentos linear, energia e momento angular

da partícula.

Interpretação da função de onda:

A função de onda descreve a distribuição de probabili- dade de uma partícula no espaço.

O quadrado da função de onda de uma partícula em cada ponto representa a probabilidade de encontrar a partícula nas vizinhanças do ponto considerado.

Para uma partícula que se desloca em 3D, a grandeza

|Ψ(x, y, z, t)|

dV é a probabilidade de que uma partícula seja encontrada no tempo t dentro de um volume dV em torno do ponto (x, y, z ) .

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Normalização da função de onda:

Dado o caráter probabilístico do quadrado da função de onda, A probabilidade de encontra em partícula com função de onda Ψ(x, y, z, t) em qualquer ponto do es- paço é 100 % . Assim, espera-se que

Z

| Ψ(x, y, z, t) |

dV = 1

Estado estacionário:

Caso a partícula tenha energia denida, ela se encontra em estado estacionário. Nesse estado, temos que o valor da probabilidade |Ψ(x, y, z, t)|

dV não dependa do tempo.

No caso da partícula em estado estacionário, dado que a energia da partícula seja E , a função de onda é:

Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e

onde ψ(x, y, z) é a função de onda estacionária indepen- dente do tempo e a função exponencial é denida pela fórmula de Euler, e

= cos θ + i sin θ .

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Equação de Shrodinger:

Para descrever o estado estacionário precisamos con- hecer a sua função de onda ψ(x, y, z ) e sua energia E . Para encontrar esses valores, resolver a equação de Schrodinger. Para sermos mais objetivos, vamos con- siderar o partícula em 1D. Nessa dimensão, a equação a ser resolvida é:

− ~

2m

d

ψ(x)

dx

+ U (x)ψ(x) = Eψ(x)

onde U (x) é o potencial que a partícula esteja sendo

submetida em 1D.

Partícula livre:

Como exemplo, vamos considerar uma partícula livre, i. e. U (x) = 0 .

Como sabemos, a energia é a energia cinética E = p

/2m .

De acordo com De Broglie, λ = h/p e E = hf . Assim, Ψ(x, t) = ψ(x)e

onde ω = 2πf = E/ ~.

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Partícula livre:

A solução da equação de Schrodinger,

− ~

2m

d

ψ

dx

= Eψ(x)

é dado por: ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx) com k = 2π/λ = p/ ~.

Assim, a função de onda pode ser descrita como:

Ψ(x, t) = Ae

= A[cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt)].

Pacote de onda:

Ao obter a função de onda de uma partícula livre em 1D vemos que o momento linear dessa partícula é bem denido, p . Mas a localização dela no espaço não pois a probabilidade de encontrar ela em algum ponto do espaço é a mesma,

|Ψ(x, t)|

dx = A

ou seja não podemos dizer com a mínima precisão onde se encontra no espaço.

Mas os experimento trazem uma mínima localidade do elétron no espaço. De que forma isso ocorre? Sua função de onda é um pacote de ondas formado pela superposição de onda de partículas livres.

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Pacote de onda:

Ou seja, para garantir o princípio de incerteza, um pacote de onda localizado no espaço apresenta uma incerteza na posição. E por ser formado pela super- posição de ondas de partículas livres com momento bem denido, apresenta também uma incerteza no momento linear tal que,

∆p∆x ≥ ~

Para ilustrar temos o fenômeno de batimento onde é

a composição de duas ondas com momentos lineares

exatos e de vários.

Conclusão:

A partícula quântica é descrita pela função de onda.

Essa função é complexa.

O módulo quadrado da função de onda multiplicado pelo ele- mento de volume innitesimal dV é a probabilidade de encontrar a partícula no volume centrado na posição (x, y, z).

A função é normalizada.

Existe um tipo de função de onda chamado de estado estacionário onde a energia é constante.

A função de onda é solução da equação de Schrodinger.

A função de onda satisfaz o princípio de incerteza de Heisenberg.