Introduc¸˜ao `a Matem´atica Aplicada - Algebra Linear Lista n
1. Achar erros na lista!
2. SejamAeBmatrizes quadradasn×n. Mostre queABeBAtˆem os mesmos autovalores.
3. Demonstre o Teorema de Cayley-Hamilton: Cada matriz ´e um zero de seu polinˆomio carac- ter´ıstico.
4. Encontre o polinˆomio minimal de
A=
2 −8 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0 0
0 0 4 2 0 0 0
0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 0 5
5. Mostre que matrizesAeAt tˆem os mesmos autovalores.
6. Verifique a relac¸˜aohu,av1+bv2i=ahu,v1i+bhu,v2i 7. Sejamu= (x1,x2)ev= (y1,y2)pertencentes aR2,
a)Para que valores dek ´e o seguinte um produto interno noR2? f(u,v) =x1y1−3x1y2−3x2y1+kx2y2.
b)Para que valores dea,b,c,d∈R´e o seguinte um produto interno noR2? f(u,v) =ax1y1+bx1y2+cx2y1+dx2y2.
8. SejaV o espac¸o vetorial dos polinˆomios sobreR. Mostre quehf,gi=R01f(t)g(t)dt define um produto interno emV.
9. Encontre uma base do subespac¸oW deR4ortogonal au1= (1,−2,3,4)eu2= (3,−5,7,8).
10. SejaW subespac¸o deR5gerado poru= (1,2,3,−1,2)ev= (2,4,7,2,−1). Encontre uma base do complemento ortogonalW⊥ deW.
11. SejaW um subespac¸o deV. Demonstre queV =W⊕W⊥.
12. Sabendo que a populac¸˜ao de uma certa localidade variou com o tempo segundo a tabela
Ano 1980 1990 2000 2010
Populac¸˜ao×104 1,0 1,5 1,8 2,0
aproximando os pontos da tabela por uma func¸˜ao no tempo do tipo f(t) =a2+bt+c, qual ser´a a populac¸˜ao em 2020?
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