LISTA 2 - Triângulos

(1)

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA E ESTAT´ ISTICA

Especializa¸ c˜ ao em Aprendizagem Matem´ atica Prof. Jaime Velasco Cˆ amara da Silva

LISTA 2 - Triˆ angulos

1. Responda verdadeiro ou falso:

(a) Um triˆ angulo is´ osceles ´ e sempre acutˆ angulo.

(b) Todo triˆ angulo equil´ atero ´ e is´ osceles.

(c) Um triˆ angulo escaleno pode ser is´ osceles.

(d) Existe triˆ angulo retˆ angulo is´ osceles.

(e) Todo triˆ angulo acutˆ angulo ou ´ e is´ osceles ou ´ e equil´ atero.

(f) Todos os triˆ angulos equil´ ateros s˜ ao congruentes.

(g) Se dois triˆ angulos retˆ angulos possuem os catetos ordenadamente congruentes, ent˜ ao eles s˜ ao congruentes.

(h) Se dois triˆ angulos retˆ angulos possuem hipotenusas congruentes, ent˜ ao eles s˜ ao congruentes.

(i) Se dois triˆ angulos possuem ordenadamente congruentes um ˆ angulo, um lado adjacente e o lado oposto a esse ˆ angulo, ent˜ ao eles s˜ ao congruentes.

(j) Se dois triˆ agulos is´ osceles possuem bases congruentes, ent˜ ao eles s˜ ao congruentes.

(k) Se dois triˆ angulos s˜ ao congruentes, ent˜ ao eles possuem o mesmo per´ımetro.

(l) Se dois triˆ angulos possuem o mesmo per´ımetro, ent˜ ao eles s˜ ao congruentes.

(m) Em um triˆ angulo ABC , a mediana relativa ao lado BC intersecta a mediatriz relativa a esse lado.

(n) Duas retas no plano s´ o podem ser paralelas ou concorrentes.

(o) Duas retas s˜ ao paralelas quando elas n˜ ao possuem pontos em comum.

(p) ˆ Angulos colaterais externos s˜ ao complementares.

(q) O incentro de um triˆ angulo ´ e um ponto equidistante dos trˆ es v´ ertices.

(r) O incentro de um triˆ angulo ´ e um ponto equidistante dos trˆ es lados.

(s) O circuncentro de um triˆ angulo ´ e um ponto equidistante dos trˆ es v´ ertices.

(t) O circuncentro de um triˆ angulo ´ e um ponto equidistante dos trˆ es lados.

(u) O incentro e o circuncentro de um triˆ angulo podem coincidir.

(v) Em um triˆ angulo equil´ atero, o baricentro, o incentro, o ortocentro e o circuncentro coin- cidem.

(w) O baricentro e o incentro de um triˆ angulo s˜ ao sempre pontos interiores do triˆ angulo.

(x) O circuncentro ´ e sempre interior ao triˆ angulo.

(y) Por trˆ es pontos distintos, sempre existe uma circunferˆ encia passando por eles.

(z) Em qualquer triˆ angulo, sempre existe um c´ırculo inscrito a ele.

(2)

(za) Os quatro pontos not´ aveis de um triˆ angulo pertencem ` a reta de Euler.

(zb) Se um triˆ angulo for is´ osceles, ent˜ ao seus quatro pontos not´ aveis pertencem ` a reta de Euler.

(zc) O incentro pode pertencer ` a reta de Euler.

(zd) O circuncentro e o ortocentro de um triˆ angulo retˆ angulo pertencem aos lados desse triˆ an- gulo.

(ze) O baricentro G pertence ao segmento que liga o circuncentro O ao ortocentro H , e a distˆ ancia entre G e O ´ e igual a metade da distˆ ancia entre G e H.

2. Em cada item abaixo, decidir quais triˆ angulos s˜ ao congruentes e indicar o caso de congruˆ encia que se aplica.

(a)

I II

III

(b)

I

II III

(c)

I II III

(d)

I II

III

(e)

I II III

3. Seja ABC um triˆ angulo is´ osceles de base BC. Prove que as medianas relativas aos lados AB

e AC s˜ ao congruentes. Conclua da´ı que em todo triˆ angulo equil´ atero as trˆ es medianas s˜ ao

(3)

4. Calcular a medida do ˆ angulo ∠ BP C , sabendo que P ´ e o ponto de interse¸c˜ ao entre as bissetrizes internas dos ˆ angulos ∠ ABC e ∠ ACB .

70

^o

A

B

C P

5. Calcular α + β + γ + δ.

α

β

γ

δ

6. Sabendo que o triˆ angulo ACD ´ e is´ osceles de base AD , calcular a medida do ˆ angulo ∠ ACD.

A

C B

D

42

^o

20

^o

7. Determinar o valor de α + β + γ + δ + .

α δ

γ

β 8. Calcular o valor do ˆ angulo α.

α

(4)

9. Sabendo que as retas r e s s˜ ao paralelas, calcular o valor do ˆ angulo α.

(a)

α

20

^o

90

^o

40

^o

y

r

s

(b)

α 45

^o

20 x

^o

% 15

^o

25 -

^o

r s

(c)

α 147

^o

156

^o

r

s

(d)

α

120

^o

100

^o

130

^o

r

s

10. Na figura a seguir, calcular a medida do ˆ angulo ∠ BCD.

A

B

C

D 40

^o

30

^o

% ²⁰

o

11. Na figura a seguir, o triˆ angulo ABC ´ e is´ osceles e os segmentos BC, CD, DE, EF e AF s˜ ao congruentes. Calcular a medida do ˆ angulo ∠ BAC .

A

D E

F

(5)

12. Calcular os valores de x e y.

x 3y + 2

% ^2x ⁻ ⁵

y

13. Em um triˆ angulo ABC , seja M o ponto m´ edio de BC. Se AM ´ e a metade de BC , mostre que ABC ´ e retˆ angulo em A .

14. Se I ´ e o ponto de interse¸c˜ ao das bissetrizes internas tra¸cadas a partir dos v´ ertices B e C de um triˆ angulo ABC , prove que B IC b = 90

^◦

+

¹₂

B AC b .

RESPOSTAS DA LISTA 2

1. (a) F (b) V (c) F (d) V (e) F (f) F (g) V (h) F

(i) F (j) F (k) V (l) F (m) V (n) F (o) V (p) F (q) F

(r) V (s) V (t) F (u) V (v) V (w) V (x) F (y) F (z) V

(za) F (zb) V (zc) V (zd) V (ze) V

2. (a) II e III , por ALA (b) I e II , por Caso Especial (c) I e II , por LLL (d) II e III , por LAL (e) I e III , por LAAo

4. B P C b = 125

^o

5. α + β + γ + δ = 540

^o

6. A CD b = 56

^o

7. α = 35

^o

8. α = 105

^o

9. (a) α = 70

^o

(b) α = 65

^o

(c) α = 57

^o

(d) α = 30

^o

10. B CD b = 90

^o

11. B AC b = 20

^o