Reflexão em Interface Metal-dielétrico

(1)

Reflexão em Interface Metal-dielétrico

SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas

Amílcar Careli César

Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP

(2)

Atenção!

Este material didático é

planejado para servir de apoio às aulas de SEL-310 E SEL-612:

Ondas Eletromagnéticas, oferecida aos alunos

regularmente matriculados no curso de engenharia de

computação.

Não são permitidas a reprodução e/ou

comercialização do material.

solicitar autorização ao

docente para qualquer tipo de

uso distinto daquele para o

qual foi planejado.

(3)

Condições de contorno: dielétrico-dielétrico

2 1

2 2

1 1

2 1

( finito)

0 0

0 t t

n n S

t t

n n

E E

B

D

H H

B D

σ

ρ

− =

( )

2 1

1 2

2 1

2

1 0 0

s s

n E E

n

n H H K

n B

D B

D ρ

× − =

⋅ − =

× − =

⋅ − =

ɵ

ɵ ɵ ɵ

1 2

ˆ n

Componentes normais

Componentes tangenciais

(4)

Condições de contorno: dielétrico-condutor perfeito

1 1

0 0 E

H

=

( )

2 1

1 2

2 1

2

1 0 0

s s

n E E

n

n H H K

n B

D B

D ρ

× − =

⋅ − =

× − =

⋅ − =

ɵ

ɵ ɵ ɵ

Componentes normais Componentes tangenciais

1 2

ˆ n

condutor perfeito, σ → ∞

(5)

Exemplo (1)

Água, ε

r

=80

m

-1

2 ˆ V

E = z ⋅

ˆ n

( )( )

1 2

2,

12 -1 -1

9 2 1

- -

1 1 -

2 1 9

0 80 8, 854 10 2 F m V m 1, 41 10 C V m V m

n

n S

S água normal

S S

n n S

D D

E D D

ρ

ρ ε

ρ ρ

−

− −

−

=

= × × × ⋅ ⋅

= × ⋅ ⋅ ⋅

− =

1 2

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ρ

S

condutor perfeito, σ → ∞

(6)

Exemplo (2)

Condutor perfeito, σ→∞

Ar, ε

r

=1

m

-1

2 ˆ

K

S

= x A ⋅

ˆ n

1 2

ˆ x ˆ

y

ˆ z

- 2

m

1

ˆ 2

H = z A ⋅

( ₂ ₁ )

2 2 2

ˆ -1

2 ˆ m

ˆ ˆ ˆ

S

S S

n H K y

n H H K

K z

H x

H A

× − =

=

× =

⋅

(7)

POLARIZAÇÃO PERPENDICULAR

(8)

Pperp: Coeficientes de reflexão e transmissão

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 1

2 2 1

cos cos

cos co

2 cos

cos cos

s

i t

I

i t

i I

i t

R

T

η θ η θ

η θ η

η θ

η θ η θ

θ

= −

+

= +

(9)

Polarização perpendicular: campos

( )

( ) ⁽ ⁾

( )

( ) ⁽ ⁾

( )

0 0 0

0 1

1 0 ˆ

Tr

ˆ Refletida

ˆ ˆ

ˆ Incidente

ˆ ˆ

ansmitida

ˆ ˆ

rx r

ix iz

z

ix i

rx rz

z

tx t

j k x k z j k x k z i

j k x k z i

j k

r I

j k x k z r I

iz i

rz

x k z

t I

t tz tx

rx x

E E e y

H E

E T E e y

H k x

k

E R E e y

H k x k R E x k

k z z

z

e e

ωµ ωµ

−

− +

−

+

−

=

 =

 

  = − +

 

 

 



=

= − +



 =

 +

 

( )

0 j k x

^tx

k z

^tz

T E I

ωµ e

− +

 

 

 

(10)

Condutor perfeito

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 material dissipa

0 t i o

,

v j

k

ω µ ε

ω µ ε ε ε σ

ω

η ε

ε

µ σ

µ

=

→ ∞

=

= → =

→

∞

−

∞

→

=

(11)

Interface dielétrico-condutor perfeito (1)

2 2

2

2 2 2

2 2

2 0

cos sen

, ,

tz t tx t

tz tx

k k k

k

k k

k µ

η

θ ω

θ µ ε ε

→

= =

→ ∞

→ ∞ = →

∞

=

→ ∞

(12)

Interface dielétrico-condutor perfeito (2)

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 1

2 2

2

2 2 1

cos cos

cos co 1

2 cos

cos cos 0 s 0

i t

I

i t

i I

i t

R

T

µ

η θ

η θ η θ

η

η θ η θ

η θ

ε

θ η

=

= − → −

+

=

+

→

(13)

Interface dielétrico-condutor perfeito (3)

( )

( ) ⁰ ⁽ ⁾

2 2

0 2

2 cos ; se

ˆ 0

0 n

, ,

ˆ ˆ

0 tx tz

tx tz

tz t tx t

t

j k x k z I

tz

z tx

I

t

t tx

T E

k T E

E e

k k

T

x

k k k

H

k

y

k z e

k

θ θ

ωµ

− +

→

= =

→ ∞ → ∞

−

∞

= +

= →

→

(14)

Incidência normal (1)

( ) ( ) ( )

( )

1 1

0 ; 0

sen 0

cos s 1 co

i r

ix i

rx i

iz i

rz i

k k

k k k

R

θ θ

= =

=

= −

=

x

y z

E

i

H

i

k

i

n σ ^{→ ∞}

1 2

(15)

Incidência normal (1)

( )

( ) ⁽ ⁾

( )

( ) ⁽ ⁾

1

1 1

1

0 0

1

0 0 1

0 0

1 1

0 0 1

0 ;

ˆ ˆ

1 ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

;

ˆ ˆ

r

ix iz

x rz

r rz

ix iz

x

jk z i

j

ix rx

j k x k z jk z

r I

j k x k z jk z

iz rz

j k x k z

iz i

k I

z i

r I

rz

x

rx

k k k k k

E e y

k x k E

E R E e y yE e

E yE e

H x E

R E E

H k x k z e x e

z e e

R

ω η

η ω

µ µ

− +

−

=

= = −

= + = −

= −

=

= = =

 

 

 

 − +

 

 

 

=

= −



=

 





0 0

t t

E H

 

 =

 

 =



(16)

Incidência normal (2)

( )

1 1

1

0 1 0

-1

1

0 -1

0 1

campo

ˆ elétrico

m

cam

ˆ

po ˆ

magnético

m 2 se

ˆ 2 cos

n

i r

jk z jk z

i r

jk z jk z

j E k z

E k z x

E E E

yE e e

V

H H H

E

y

y e e

η A η

−

  = +

 

  = −

 

  = ⋅

 

 

 

 = +

 

 = − −

 

 

  = ⋅

−

 −



(17)

Incidência normal (2)

( )

-1 1

2 1

2 1 1 0

0 0

1 -1

m

ˆ

ˆ ˆ 0 ;

ˆ e ˆ

2 2

2 cos ˆ

ˆ

2 ˆ ˆ ˆ

ˆ m

S

S S z

S

H A

n H H K

H n z

z H K K z H

E k z

E

K z x E z x

x

y A K

η

η η

=

= ⋅

× − =

= ≡

× − = = − ×

 

 

= − × −     = ×

=



⋅

−



(18)

Incidência normal (3)

x

y z

E

i

E

r

H

i

H

r

k

i

k

r

K

S

n σ → ∞

X

( ) ( )

1

1 1

0 0 1

0

-1 1

0 0 1

1

0 1

0 -

m ˆ

ˆ

ˆ 2 se

m ˆ

ˆ

2 cos ˆ

ˆ

n

2 m

jk z

jk z r

i

jk z i

i r

E

E yE e

H x E e

j E k z

K E y

E yE e

H x E e

E k

E E V

H H H x A

y

A

z η

η

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 = + = ⋅

 

 = +

=

= −

−

= −

=

= −

−

= ⋅

 

⋅

(19)

Incidência normal (4)

1

,

1

E H

0 1

2E η 2 E

0

E

1

H

1

( ) ( )

-

0 1 1

1 - 0

1 1

1 ˆ

2 se

s ˆ n 2 co

m m

i r

E E E V

H

j E k

E k

H H A

y x z

η z

= + = ⋅

= + ⋅

−

=

x

y z

E

i

E

r

H H

r

k

i

k

r

K

S

n σ → ∞

X

(20)

POLARIZAÇÃO PARALELA

(21)

Polarização paralela: campos

( 0

( )

0 ( )

0 1

( )

0 2

Incidente

Refletid

( )

a

Transmit da

( )

i

rx rz

rx

tx

ix iz

ix i

tz

rz z

j k x k z

r II

j k x k z i

j k x k z

i iz

j k

x k z

r rz rx

x k ix

I

t II

I

H yR H e

E k x k z R H e H yH e

E H

H yT H

k x z e

e

k ω

ε ε

ω

− +

−

− −

− +

−

− +

 

 

 

 

 

 

 

 

=

= − +

=



−

= ɵ

ɵ ɵ

)

( )

( ) 0

^tx ^tz

z

j k x k z

t tz tx II

E k x k z T H e ωε

− +

 

 

= −

 

ɵ ɵ

(22)

Coeficientes de reflexão e transmissão

2

2 2 1

2 1

1 cos cos

cos co

2 cos c

s

os cos

t i

II

i II

i

t i

t

T R

η θ

η θ η θ

η θ η

θ

= η

+

= − −

+

(23)

Meio 2 é condutor perfeito

2 1

cos cos

t i

II

t i

R η θ η θ

η θ η θ

= − −

+

2 2 1

2 cos

cos cos

i II

t i

T η θ

η θ η θ

= +

2 0

η →

1 0

II II

R T

→

(24)

Incidência normal (θ _i =0)

1 1

1 0

0 0

0 1

Refletid ˆ Incident ˆ

ˆ

e ˆ

a

jk z i

jk z

jk z r

jk i

z r

E x H e

E x H e H yH e

H yH e η

η

−

 =

 

 =



 

 

 = −

 =

 



(25)

Campo resultante no meio dielétrico

( )

1 1

1 1 0 1

1 0 1

1 1 0

-1

1 0

-1

ˆ 2 sen

ˆ2 cos

2 ˆ

ˆ

m

ˆ

m

jk z jk z

i r

jk i

z jk z

r

E E E x H e e

V

H H

E xj H k z

H y H k z

H

K

yH e e

H x

A

η η

−

= −

 = + = −

 

 ⋅

 



  = + = +

 

 

=

= ⋅

 



⋅

(26)

Polarização Paralela

( ) ( )

1

1 0

0 -

-1

1 1 0 1

-1

0 1 0

1 1 1

0

0 ˆ 2 sen m

ˆ 2 ˆ

2 cos m

ˆ ˆ

m

jk z i

jk

jk z r

S

z i

E x H e

H y

E xj H k z V

H y

E x H e H yH

H k z

x e

H

H e

A

A K

η

η η

−

  =

 

  =

 

 

 



= −

=

 

 



 

 

 

 



⋅

= ⋅

⋅

= −

=

x

y

E i

E r

H i

H r

k i

k r

n K S

σ → ∞

z

(27)

Resumo: Coeficientes de reflexão e transmissão

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 1

2 2 1

2 2 cos

cos cos

2 cos Polarização

perpendicular

Polarizaç

c ão

paralel

cos cos

a

os cos

i I

i t

i II

i t

I

i t

t i

II

t i

R

R T

T

η θ η θ

η θ η

η θ

η θ η θ

η θ

θ

η θ η θ

η θ η

η θ η θ

θ

 

 

 

 

 

 



= −

+

−

 



=

+

=

−

+

=

+

(28)

Resumo: Coeficientes de reflexão e transmissão

( )

2 1

2

2 2 1

2 1

Incidência normal 0 Polarização

perpendicular

Polarização p

2 2 aralela

I

II II

i

T

T R

R

η

η η

η

η η

η θ

η

=

  −

= +

−

 

 

 

 



=

 

 

=

− + +

= +

(29)

Resumo: Coeficientes de reflexão e transmissão

Incidência normal e meio 2 é condutor perfeito

polarização perpendicular

polarização paral

1 1 0

0 ela

I I

II

T

T R

R



=

 = −

 

 



 =

 

 

