Quat´ernions e Rota¸c˜oes Uma Jornada pela ´Algebra, Geometria e Topologia

Quat´ ernions e Rota¸ c˜ oes

Uma Jornada pela ´Algebra, Geometria e Topologia

Claudio Gorodski

Disciplina Panorama da Matem´atica IME-USP

18 e 23 de novembro de 2020

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Somas de quadrados

Consideremos o corpoCdos complexos:

Dadosz1=a1+ib1, z2=a2+ib2∈C, temos|z1z2|²=|z1|²|z2|². Usando

z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1), obtemos:

(a²1+b²1)(a²2+b²2) = (a1a2−b1b2)²+ (a1b2+a2b1)². No caso deinteiros, obtemos:

(soma de dois quadrados)×(soma de dois quadrados)

= (soma de dois quadrados) (Diofanto, s´ec. III) Notemos que n˜ao vale para soma de trˆes quadrados:

(1²+ 1²+ 1²)(0²+ 1²+ 2²) = 3×5 = 156= soma de trˆes quadrados.

Somas de quadrados

Consideremos o corpoCdos complexos: Dadosz1=a1+ib1, z2=a2+ib2∈C, temos|z1z2|²=|z1|²|z2|².

Usando z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1), obtemos:

(a²1+b²1)(a²2+b²2) = (a1a2−b1b2)²+ (a1b2+a2b1)². No caso deinteiros, obtemos:

(soma de dois quadrados)×(soma de dois quadrados)

= (soma de dois quadrados) (Diofanto, s´ec. III) Notemos que n˜ao vale para soma de trˆes quadrados:

(1²+ 1²+ 1²)(0²+ 1²+ 2²) = 3×5 = 156= soma de trˆes quadrados.

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Somas de quadrados

Consideremos o corpoCdos complexos: Dadosz1=a1+ib1, z2=a2+ib2∈C, temos|z1z2|²=|z1|²|z2|². Usando

z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1), obtemos:

(a²1+b²1)(a²2+b²2) = (a1a2−b1b2)²+ (a1b2+a2b1)². No caso deinteiros, obtemos:

(soma de dois quadrados)×(soma de dois quadrados)

= (soma de dois quadrados) (Diofanto, s´ec. III) Notemos que n˜ao vale para soma de trˆes quadrados:

(1²+ 1²+ 1²)(0²+ 1²+ 2²) = 3×5 = 156= soma de trˆes quadrados.

Somas de quadrados

Consideremos o corpoCdos complexos: Dadosz1=a1+ib1, z2=a2+ib2∈C, temos|z1z2|²=|z1|²|z2|². Usando

z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1), obtemos:

(a²1+b1²)(a²2+b2²) = (a1a2−b1b2)²+ (a1b2+a2b1)².

No caso deinteiros, obtemos:

(soma de dois quadrados)×(soma de dois quadrados)

= (soma de dois quadrados) (Diofanto, s´ec. III) Notemos que n˜ao vale para soma de trˆes quadrados:

(1²+ 1²+ 1²)(0²+ 1²+ 2²) = 3×5 = 156= soma de trˆes quadrados.

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Somas de quadrados

Consideremos o corpoCdos complexos: Dadosz1=a1+ib1, z2=a2+ib2∈C, temos|z1z2|²=|z1|²|z2|². Usando

z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1), obtemos:

(a²1+b1²)(a²2+b2²) = (a1a2−b1b2)²+ (a1b2+a2b1)². No caso deinteiros, obtemos:

(soma de dois quadrados)×(soma de dois quadrados)

= (soma de dois quadrados) (Diofanto, s´ec. III)

Notemos que n˜ao vale para soma de trˆes quadrados:

(1²+ 1²+ 1²)(0²+ 1²+ 2²) = 3×5 = 156= soma de trˆes quadrados.

Somas de quadrados

Consideremos o corpoCdos complexos: Dadosz1=a1+ib1, z2=a2+ib2∈C, temos|z1z2|²=|z1|²|z2|². Usando

z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1), obtemos:

(a²1+b1²)(a²2+b2²) = (a1a2−b1b2)²+ (a1b2+a2b1)². No caso deinteiros, obtemos:

(soma de dois quadrados)×(soma de dois quadrados)

= (soma de dois quadrados) (Diofanto, s´ec. III) Notemos que n˜ao vale para soma de trˆes quadrados:

(1²+ 1²+ 1²)(0²+ 1²+ 2²) = 3×5 = 156= soma de trˆes quadrados.

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N´ umeros tri-dimensionais?

Existem “n´umeros tri-dimensionais?”

Em outras palavras, existe uma multiplica¸c˜ao emR³?

William Rowan Hamilton (1805-1865).

Durante treze anos, Hamiltontentou definir uma tal multiplica¸c˜ao.

At´e que, em 1843, caminhando com a esposa ao longo do canal em Dublin para um encontro da Academia Real, teve uma epifania e visualizou as equa¸c˜oes:

i²=j²=k²=ijk=−1. (Num famoso ato de vandalismo, gravou-as numa pedra da ponte de Brougham)

N´ umeros tri-dimensionais?

Existem “n´umeros tri-dimensionais?” Em outras palavras, existe uma multiplica¸c˜ao emR³?

William Rowan Hamilton (1805-1865).

Durante treze anos, Hamiltontentou definir uma tal multiplica¸c˜ao.

At´e que, em 1843, caminhando com a esposa ao longo do canal em Dublin para um encontro da Academia Real, teve uma epifania e visualizou as equa¸c˜oes:

i²=j²=k²=ijk=−1. (Num famoso ato de vandalismo, gravou-as numa pedra da ponte de Brougham)

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N´ umeros tri-dimensionais?

Existem “n´umeros tri-dimensionais?” Em outras palavras, existe uma multiplica¸c˜ao emR³?

William Rowan Hamilton (1805-1865).

Durante treze anos, Hamiltontentou definir uma tal multiplica¸c˜ao.

At´e que, em 1843, caminhando com a esposa ao longo do canal em Dublin para um encontro da Academia Real, teve uma epifania e visualizou as equa¸c˜oes:

i²=j²=k²=ijk=−1. (Num famoso ato de vandalismo, gravou-as numa pedra da ponte de Brougham)

N´ umeros tri-dimensionais?

Existem “n´umeros tri-dimensionais?” Em outras palavras, existe uma multiplica¸c˜ao emR³?

William Rowan Hamilton (1805-1865).

Durante treze anos, Hamiltontentou definir uma tal multiplica¸c˜ao.

At´e que, em 1843, caminhando com a esposa ao longo do canal em Dublin para um encontro da Academia Real, teve uma epifania e visualizou as equa¸c˜oes:

i²=j²=k²=ijk=−1. (Num famoso ato de vandalismo, gravou-as numa pedra da ponte de Brougham)

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N´ umeros tri-dimensionais?

Existem “n´umeros tri-dimensionais?” Em outras palavras, existe uma multiplica¸c˜ao emR³?

William Rowan Hamilton (1805-1865).

Durante treze anos, Hamiltontentou definir uma tal multiplica¸c˜ao.

At´e que, em 1843, caminhando com a esposa ao longo do canal em Dublin para um encontro da Academia Real, teve uma epifania e visualizou as equa¸c˜oes:

i²=j²=k²=ijk=−1.

(Num famoso ato de vandalismo, gravou-as numa pedra da ponte de Brougham)

N´ umeros tri-dimensionais?

Existem “n´umeros tri-dimensionais?” Em outras palavras, existe uma multiplica¸c˜ao emR³?

William Rowan Hamilton (1805-1865).

Durante treze anos, Hamiltontentou definir uma tal multiplica¸c˜ao.

At´e que, em 1843, caminhando com a esposa ao longo do canal em Dublin para um encontro da Academia Real, teve uma epifania e visualizou as equa¸c˜oes:

i²=j²=k²=ijk=−1.

(Num famoso ato de vandalismo, gravou-as numa pedra da ponte de Brougham)

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Brougham Bridge em Dublin

Quat´ ernions

Hamilton passou a 4 dimens˜oes e sacrificou a comutatividade:

H={q=a+bi+cj+dk|a, b, c, d∈R} com uma multiplica¸c˜ao satisfazendo

i²=j²=k²=−1, ij=−ji=k, jk =−kj =i, ki=−ik=j H´e uma ´algebra (sobreR, de dimens˜ao 4),associativa,normadaecom divis˜ao.

Conjugado : ¯q=a−bi−cj−ck Parte real : <q=a

Parte imagin´aria : =q=bi+cj+dk Agora a norma Euclideana emR⁴fica:

|q|²=a²+b²+c²+d²=qq¯

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Quat´ ernions

Hamilton passou a 4 dimens˜oes e sacrificou a comutatividade:

H={q=a+bi+cj+dk|a, b, c, d ∈R} com uma multiplica¸c˜ao satisfazendo

i²=j²=k²=−1, ij=−ji=k, jk =−kj =i, ki=−ik=j

H´e uma ´algebra (sobreR, de dimens˜ao 4),associativa,normadaecom divis˜ao.

Conjugado : ¯q=a−bi−cj−ck Parte real : <q=a

Parte imagin´aria : =q=bi+cj+dk Agora a norma Euclideana emR⁴fica:

|q|²=a²+b²+c²+d²=qq¯

Quat´ ernions

Hamilton passou a 4 dimens˜oes e sacrificou a comutatividade:

H={q=a+bi+cj+dk|a, b, c, d ∈R} com uma multiplica¸c˜ao satisfazendo

i²=j²=k²=−1, ij=−ji=k, jk =−kj =i, ki=−ik=j H´e uma ´algebra (sobreR, de dimens˜ao 4),associativa,normadaecom divis˜ao.

Conjugado : ¯q=a−bi−cj−ck Parte real : <q=a

Parte imagin´aria : =q=bi+cj+dk Agora a norma Euclideana emR⁴fica:

|q|²=a²+b²+c²+d²=qq¯

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Quat´ ernions

Hamilton passou a 4 dimens˜oes e sacrificou a comutatividade:

H={q=a+bi+cj+dk|a, b, c, d ∈R} com uma multiplica¸c˜ao satisfazendo

i²=j²=k²=−1, ij=−ji=k, jk =−kj =i, ki=−ik=j H´e uma ´algebra (sobreR, de dimens˜ao 4),associativa,normadaecom divis˜ao.

Conjugado : ¯q=a−bi−cj−ck Parte real : <q=a

Parte imagin´aria : =q=bi+cj+dk

Agora a norma Euclideana emR⁴fica:

|q|²=a²+b²+c²+d²=qq¯

Quat´ ernions

Hamilton passou a 4 dimens˜oes e sacrificou a comutatividade:

H={q=a+bi+cj+dk|a, b, c, d ∈R} com uma multiplica¸c˜ao satisfazendo

i²=j²=k²=−1, ij=−ji=k, jk =−kj =i, ki=−ik=j H´e uma ´algebra (sobreR, de dimens˜ao 4),associativa,normadaecom divis˜ao.

Conjugado : ¯q=a−bi−cj−ck Parte real : <q=a

Parte imagin´aria : =q=bi+cj+dk

Agora a norma Euclideana emR⁴fica:

|q|²=a²+b²+c²+d²=qq¯

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Quat´ ernions

Hamilton passou a 4 dimens˜oes e sacrificou a comutatividade:

H={q=a+bi+cj+dk|a, b, c, d ∈R} com uma multiplica¸c˜ao satisfazendo

i²=j²=k²=−1, ij=−ji=k, jk =−kj =i, ki=−ik=j H´e uma ´algebra (sobreR, de dimens˜ao 4),associativa,normadaecom divis˜ao.

Conjugado : ¯q=a−bi−cj−ck Parte real : <q=a

Parte imagin´aria : =q=bi+cj+dk Agora a norma Euclideana emR⁴fica:

|q|²=a²+b²+c²+d²=qq¯

H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao.

Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

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H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

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H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

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H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

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H ´ e uma ´ algebra normada

Notemos inicialmente a identidade

qq⁰= ¯q⁰q,¯ de f´acil verifica¸c˜ao. Agora, calculemos:

|qq⁰|²=qq⁰qq⁰

=qq⁰q¯⁰q¯

=q|q⁰|²q¯

=qq|q¯ ⁰|²

=|q|²|q⁰|², e a norma ´emultiplicativa.

Em particular,

(soma de quatro quadrados)×(soma de quatro quadrados)

= (soma de quatro quadrados)

H ´ e uma ´ algebra com divis˜ ao

Temos:

q6= 0 se e somente se |q| 6= 0. Ent˜ao, dadoq6= 0, temos

q q¯

|q|² = 1, isto ´e,

q⁻¹= q¯

|q|².

Ferdinand G. Frobenius (1849-1917).

Teorema (Frobenius1878) As ´algebras associativas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H(resp. de dimens˜ao1,2,4).

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H ´ e uma ´ algebra com divis˜ ao

Temos:

q6= 0 se e somente se |q| 6= 0.

Ent˜ao, dadoq6= 0, temos

q q¯

|q|² = 1, isto ´e,

q⁻¹= q¯

|q|².

Ferdinand G. Frobenius (1849-1917).

Teorema (Frobenius1878) As ´algebras associativas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H(resp. de dimens˜ao1,2,4).

H ´ e uma ´ algebra com divis˜ ao

Temos:

q6= 0 se e somente se |q| 6= 0.

Ent˜ao, dadoq6= 0, temos

q q¯

|q|² = 1,

isto ´e,

q⁻¹= q¯

|q|².

Ferdinand G. Frobenius (1849-1917).

Teorema (Frobenius1878) As ´algebras associativas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H(resp. de dimens˜ao1,2,4).

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H ´ e uma ´ algebra com divis˜ ao

Temos:

q6= 0 se e somente se |q| 6= 0.

Ent˜ao, dadoq6= 0, temos

q q¯

|q|² = 1, isto ´e,

q⁻¹= q¯

|q|².

Ferdinand G. Frobenius (1849-1917).

Teorema (Frobenius1878) As ´algebras associativas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H(resp. de dimens˜ao1,2,4).

H ´ e uma ´ algebra com divis˜ ao

Temos:

q6= 0 se e somente se |q| 6= 0.

Ent˜ao, dadoq6= 0, temos

q q¯

|q|² = 1, isto ´e,

q⁻¹= q¯

|q|².

Ferdinand G. Frobenius (1849-1917).

Teorema (Frobenius1878) As ´algebras associativas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H(resp. de dimens˜ao1,2,4).

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H ´ e uma ´ algebra com divis˜ ao

Temos:

q6= 0 se e somente se |q| 6= 0.

Ent˜ao, dadoq6= 0, temos

q q¯

|q|² = 1, isto ´e,

q⁻¹= q¯

|q|².

Teorema (Frobenius1878) As ´algebras associativas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H(resp. de dimens˜ao1,2,4).

Os octˆ onions e o Teorema de Hurwitz

Os octˆonions formam uma ´algebra real normada com divis˜ao de dimens˜ao 8 que n˜ao ´e comutativa nem associativa.

John T.Graves(colega de Hamilton do tempo de estudante) os descobriu em 1843, mas o primeiro a publicar sobre sua existˆencia foi ArthurCayley, em 1845. O correspondente “teorema dos oito quadrados” j´a fora descoberto por C. F.Degenem 1818.

Adolf Hurwitz (1859-1919).

Teorema (Hurwitz1898) As ´algebras normadas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H,O(resp. de dimens˜ao1,2,4,8).

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Os octˆ onions e o Teorema de Hurwitz

Os octˆonions formam uma ´algebra real normada com divis˜ao de dimens˜ao 8 que n˜ao ´e comutativa nem associativa. John T.Graves(colega de Hamilton do tempo de estudante) os descobriu em 1843, mas o primeiro a publicar sobre sua existˆencia foi ArthurCayley, em 1845.

O correspondente “teorema dos oito quadrados” j´a fora descoberto por C. F.Degenem 1818.

Adolf Hurwitz (1859-1919).

Teorema (Hurwitz1898) As ´algebras normadas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H,O(resp. de dimens˜ao1,2,4,8).

Os octˆ onions e o Teorema de Hurwitz

Os octˆonions formam uma ´algebra real normada com divis˜ao de dimens˜ao 8 que n˜ao ´e comutativa nem associativa. John T.Graves(colega de Hamilton do tempo de estudante) os descobriu em 1843, mas o primeiro a publicar sobre sua existˆencia foi ArthurCayley, em 1845. O correspondente “teorema dos oito quadrados” j´a fora descoberto por C. F.Degenem 1818.

Adolf Hurwitz (1859-1919).

Teorema (Hurwitz1898) As ´algebras normadas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H,O(resp. de dimens˜ao1,2,4,8).

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Os octˆ onions e o Teorema de Hurwitz

Os octˆonions formam uma ´algebra real normada com divis˜ao de dimens˜ao 8 que n˜ao ´e comutativa nem associativa. John T.Graves(colega de Hamilton do tempo de estudante) os descobriu em 1843, mas o primeiro a publicar sobre sua existˆencia foi ArthurCayley, em 1845. O correspondente “teorema dos oito quadrados” j´a fora descoberto por C. F.Degenem 1818.

Adolf Hurwitz (1859-1919).

Teorema (Hurwitz1898) As ´algebras normadas com divis˜ao sobreRs˜ao: R,C,H,O(resp. de dimens˜ao1,2,4,8).

A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

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A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

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A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ

onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C.

Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

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A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

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A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2) Aqui usamos queβj=jβ, etc.¯

Estamos portanto considerandoHcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC.

Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

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A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq.

De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

A representa¸ c˜ ao complexa bi-dimensional dos quat´ ernions

Escrevamos

q=a+bi+cj+dk

=a+bi+j(c−di)

=α+jβ onde

α=a+bi, β=c−di ∈C. Ent˜ao

q1q2= (α1+jβ1)(α2+jβ2)

=α1α2+jβ1jβ2+jβ1α2+α1jβ2

= (α1α2−β¯1β2) +j(β1α2+ ¯α1β2)

Aqui usamos queβj=jβ, etc. Estamos portanto considerando¯ Hcomo espa¸co vetorial`a direitasobreC. Neste sentido, a multiplica¸c˜ao `a esquerda de H=C²por um quat´ernion torna-seC-linear:

H→End(C²), q7→Lq. De fato,

Lq(xi) =q(xi) = (qx)i=Lq(x)i ondeq,x∈H.

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A representa¸ c˜ ao bi-dimensional complexa dos quat´ ernions, II

Tomemos a base{1,j}deHsobreC,q=α+jβ, e calculemos: (α+jβ)·1 =α+jβ

(α+jβ)·j=−β¯+jα¯ Assim obtemos a representa¸c ao matricial

Lq=

α −β¯ β α¯

.

AquiL1=I e a associatividade deHd´a Lq₁q₂ =Lq₁Lq₂

Logo temos um homomorfismo de grupos

q7→Lq, H^×→GL(2,C),

ondeH^×denote o grupo multiplicativo dos quat´ernions n˜ao-nulos.

A representa¸ c˜ ao bi-dimensional complexa dos quat´ ernions, II

Tomemos a base{1,j}deHsobreC,q=α+jβ, e calculemos:

(α+jβ)·1 =α+jβ (α+jβ)·j=−β¯+jα¯ Assim obtemos a representa¸c ao matricial

Lq=

α −β¯ β α¯

.

AquiL1=I e a associatividade deHd´a Lq₁q₂ =Lq₁Lq₂

Logo temos um homomorfismo de grupos

q7→Lq, H^×→GL(2,C),

ondeH^×denote o grupo multiplicativo dos quat´ernions n˜ao-nulos.

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A representa¸ c˜ ao bi-dimensional complexa dos quat´ ernions, II

Tomemos a base{1,j}deHsobreC,q=α+jβ, e calculemos:

(α+jβ)·1 =α+jβ (α+jβ)·j=−β¯+jα¯ Assim obtemos a representa¸c ao matricial

Lq=

α −β¯ β α¯

.

AquiL1=I e a associatividade deHd´a Lq₁q₂ =Lq₁Lq₂

Logo temos um homomorfismo de grupos

q7→Lq, H^×→GL(2,C),

ondeH^×denote o grupo multiplicativo dos quat´ernions n˜ao-nulos.

A representa¸ c˜ ao bi-dimensional complexa dos quat´ ernions, II

Tomemos a base{1,j}deHsobreC,q=α+jβ, e calculemos:

(α+jβ)·1 =α+jβ (α+jβ)·j=−β¯+jα¯ Assim obtemos a representa¸c ao matricial

Lq=

α −β¯ β α¯

.

AquiL1=I e a associatividade deHd´a Lq₁q₂ =Lq₁Lq₂

Logo temos um homomorfismo de grupos

q7→Lq, H^×→GL(2,C),

ondeH^×denote o grupo multiplicativo dos quat´ernions n˜ao-nulos.

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Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³:

S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×

.

Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³:

S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×

.

Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

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Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×

.

Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×

.

Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

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Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×.

Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×. Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

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Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×. Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×. Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

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Os quat´ ernions unit´ arios

Os quat´ernions de norma 1 formam um conjunto difeomorfo `a esferaS³: S³={(a,b,c,d)∈R⁴ : a²+b²+c²+d²= 1}

={q∈H : |q|= 1}

={(α, β)∈C² : |α|²+|β|²= 1}.

Como a norma ´e multiplicativa,S³forma um subgrupo deH^×. Temos ϕ:S³→SU(2), ϕ(q) =Lq,

pois

ϕ(q)ϕ(q)^∗=

α −β¯ β α¯

¯ α β¯

−β α

= 1 0

0 1

e

detϕ(q) = det

α −β¯ β α¯

=|α|²+|β|²= 1.

E f´´ acil ver queϕ´e bijetora e cont´ınua, portanto, um homeomorfismo (j´a que S³´e compacto) e um isomorfismo de grupos.

Rota¸c˜ oes de R

(Cayley 1845)

Consideremos os quat´ernions puramente imagin´arios:

=H={q∈H| <q= 0} ∼=R³.

Sejamu=u1i+u2j+u3k,v =v1i+v2j+v3k∈ =H. Ent˜ao

uv=−(u1v1+u2v2+u3v3) + (u2v3−u3v2)i+ (u3v1−u1v3)j+ (u1v2−u2v1)k

=−u·v+u×v Em particular,

u²=−|u|²=−1 parau∈ =H∩S³=S².

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Rota¸c˜ oes de R

(Cayley 1845)

Consideremos os quat´ernions puramente imagin´arios:

=H={q∈H| <q= 0} ∼=R³. Sejamu=u1i+u2j+u3k,v =v1i+v2j+v3k∈ =H.

Ent˜ao

uv=−(u1v1+u2v2+u3v3) + (u2v3−u3v2)i+ (u3v1−u1v3)j+ (u1v2−u2v1)k

=−u·v+u×v Em particular,

u²=−|u|²=−1 parau∈ =H∩S³=S².

Rota¸c˜ oes de R

(Cayley 1845)

Consideremos os quat´ernions puramente imagin´arios:

=H={q∈H| <q= 0} ∼=R³. Sejamu=u1i+u2j+u3k,v =v1i+v2j+v3k∈ =H. Ent˜ao

uv=−(u1v1+u2v2+u3v3) + (u2v3−u3v2)i+ (u3v1−u1v3)j+ (u1v2−u2v1)k

=−u·v+u×v Em particular,

u²=−|u|²=−1 parau∈ =H∩S³=S².

12 / 29

Rota¸c˜ oes de R

(Cayley 1845)

Consideremos os quat´ernions puramente imagin´arios:

=H={q∈H| <q= 0} ∼=R³. Sejamu=u1i+u2j+u3k,v =v1i+v2j+v3k∈ =H. Ent˜ao

uv=−(u1v1+u2v2+u3v3) + (u2v3−u3v2)i+ (u3v1−u1v3)j+ (u1v2−u2v1)k

=−u·v+u×v

Em particular,

u²=−|u|²=−1 parau∈ =H∩S³=S².

Rota¸c˜ oes de R

(Cayley 1845)

Consideremos os quat´ernions puramente imagin´arios:

=H={q∈H| <q= 0} ∼=R³. Sejamu=u1i+u2j+u3k,v =v1i+v2j+v3k∈ =H. Ent˜ao

uv=−(u1v1+u2v2+u3v3) + (u2v3−u3v2)i+ (u3v1−u1v3)j+ (u1v2−u2v1)k

=−u·v+u×v Em particular,

u²=−|u|²=−1 parau∈ =H∩S³=S².

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Rota¸c˜ oes de R

, II

Para cadaq∈S³ex∈H∼=R⁴, definamos ψ(q)x˜ =qxq⁻¹.

Ent˜ao ˜ψ(q) ´e uma isometria deR⁴:

|ψ(q)x˜ |=|q||x||q|⁻¹=|x|. ψ(q) fixa os pontos do subespa¸˜ coR·1⊂H:

ψ(q)a˜ =qaq⁻¹=aqq⁻¹=a paraa∈R.

ComoH=R·1⊕ =H=R⊕R³´e uma decomposi¸c˜ao ortogonal, agora ˜ψ(q) define uma isometriaψ(q) deR³:

ψ:S³→SO(3).

Rota¸c˜ oes de R

, II

Para cadaq∈S³ex∈H∼=R⁴, definamos ψ(q)x˜ =qxq⁻¹. Ent˜ao ˜ψ(q) ´e uma isometria deR⁴:

|ψ(q)x˜ |=|q||x||q|⁻¹=|x|.

ψ(q) fixa os pontos do subespa¸˜ coR·1⊂H:

ψ(q)a˜ =qaq⁻¹=aqq⁻¹=a paraa∈R.

ComoH=R·1⊕ =H=R⊕R³´e uma decomposi¸c˜ao ortogonal, agora ˜ψ(q) define uma isometriaψ(q) deR³:

ψ:S³→SO(3).

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Rota¸c˜ oes de R

, II

Para cadaq∈S³ex∈H∼=R⁴, definamos ψ(q)x˜ =qxq⁻¹. Ent˜ao ˜ψ(q) ´e uma isometria deR⁴:

|ψ(q)x˜ |=|q||x||q|⁻¹=|x|.

ψ(q) fixa os pontos do subespa¸˜ coR·1⊂H:

ψ(q)a˜ =qaq⁻¹=aqq⁻¹=a paraa∈R.

ComoH=R·1⊕ =H=R⊕R³´e uma decomposi¸c˜ao ortogonal, agora ˜ψ(q) define uma isometriaψ(q) deR³:

ψ:S³→SO(3).

Rota¸c˜ oes de R

, II

Para cadaq∈S³ex∈H∼=R⁴, definamos ψ(q)x˜ =qxq⁻¹. Ent˜ao ˜ψ(q) ´e uma isometria deR⁴:

|ψ(q)x˜ |=|q||x||q|⁻¹=|x|.

ψ(q) fixa os pontos do subespa¸˜ coR·1⊂H:

ψ(q)a˜ =qaq⁻¹=aqq⁻¹=a paraa∈R.

ComoH=R·1⊕ =H=R⊕R³´e uma decomposi¸c˜ao ortogonal, agora ˜ψ(q) define uma isometriaψ(q) deR³:

ψ:S³→SO(3).

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Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³.

Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u. Tomev⊥u, e ponha w=u×v. Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v, n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³. Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u. Tomev⊥u, e ponha w=u×v. Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v, n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

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Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³. Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u.

Tomev⊥u, e ponha w=u×v. Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v, n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³. Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u. Tomev⊥u, e ponha w=u×v.

Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v, n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

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Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³. Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u. Tomev⊥u, e ponha w=u×v. Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu

e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v, n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³. Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u. Tomev⊥u, e ponha w=u×v. Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v,

n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

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Rota¸c˜ oes de R

, III

Tomemos um quat´ernion da formaq= cosθ+usinθ, ondeu∈ =H∩S³. Proposi¸c˜ao

ψ(q)´e uma rota¸c˜ao de ˆangulo2θ e eixo u.

Demonstra¸c˜ao. qcomuta comu, ent˜aoψ(q)u=u. Tomev⊥u, e ponha w=u×v. Ent˜ao, usando

uv=u×v =w =−vu e

uvu=u(vu) =u(−uv) =−u²v=v, n´os obtemos

ψ(q)v= (cosθ+usinθ)v(cosθ−usinθ)

=vcos²θ+uvsinθcosθ−uvusin²θ−vucosθsinθ

=vcos 2θ+wsin 2θ, como desejado.

Rota¸c˜ oes de R

, IV

Deduzimos que

ψ:S³→SO(3)

´e um homomorfismo cont´ınuo sobrejetor (pois toda rota¸c˜ao deR³tem um eixo).

Al´em disso, kerψ={±1}. Finalmente obtemos um isomorfismo de grupos e um homeomorfismo

SO(3)∼=S³/{±1}

(∼=RP³, ondeRP³´e o espa¸co de retas pela origem emR³; note que toda tal reta encontraS³em dois pontos, que s˜ao ant´ıpodas.)

“Uma rota¸c˜ao deR³´e uma quat´ernion unit´ario, a menos de multiplica¸c˜ao por

−1.”

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Rota¸c˜ oes de R

, IV

Deduzimos que

ψ:S³→SO(3)

´e um homomorfismo cont´ınuo sobrejetor (pois toda rota¸c˜ao deR³tem um eixo). Al´em disso, kerψ={±1}.

Finalmente obtemos um isomorfismo de grupos e um homeomorfismo

SO(3)∼=S³/{±1}

(∼=RP³, ondeRP³´e o espa¸co de retas pela origem emR³; note que toda tal reta encontraS³em dois pontos, que s˜ao ant´ıpodas.)

“Uma rota¸c˜ao deR³´e uma quat´ernion unit´ario, a menos de multiplica¸c˜ao por

−1.”

Rota¸c˜ oes de R

, IV

Deduzimos que

ψ:S³→SO(3)

´e um homomorfismo cont´ınuo sobrejetor (pois toda rota¸c˜ao deR³tem um eixo). Al´em disso, kerψ={±1}. Finalmente obtemos um isomorfismo de grupos e um homeomorfismo

SO(3)∼=S³/{±1}

(∼=RP³, ondeRP³´e o espa¸co de retas pela origem emR³; note que toda tal reta encontraS³em dois pontos, que s˜ao ant´ıpodas.)

“Uma rota¸c˜ao deR³´e uma quat´ernion unit´ario, a menos de multiplica¸c˜ao por

−1.”

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Rota¸c˜ oes de R

, IV

Deduzimos que

ψ:S³→SO(3)

´e um homomorfismo cont´ınuo sobrejetor (pois toda rota¸c˜ao deR³tem um eixo). Al´em disso, kerψ={±1}. Finalmente obtemos um isomorfismo de grupos e um homeomorfismo

SO(3)∼=S³/{±1}

(∼=RP³, ondeRP³´e o espa¸co de retas pela origem emR³; note que toda tal reta encontraS³em dois pontos, que s˜ao ant´ıpodas.)

“Uma rota¸c˜ao deR³´e uma quat´ernion unit´ario, a menos de multiplica¸c˜ao por

−1.”

Rota¸c˜ oes de R

, IV

Deduzimos que

ψ:S³→SO(3)

´e um homomorfismo cont´ınuo sobrejetor (pois toda rota¸c˜ao deR³tem um eixo). Al´em disso, kerψ={±1}. Finalmente obtemos um isomorfismo de grupos e um homeomorfismo

SO(3)∼=S³/{±1}

(∼=RP³, ondeRP³´e o espa¸co de retas pela origem emR³; note que toda tal reta encontraS³em dois pontos, que s˜ao ant´ıpodas.)

“Uma rota¸c˜ao deR³´e uma quat´ernion unit´ario, a menos de multiplica¸c˜ao por

−1.”

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Teorema de Cartan-Dieudonn´ e

Teorema

Toda isometria deRⁿque fixa a origem ´e o produto de no m´aximo n reflex˜oes em hiperplanos pela origem.

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobren. O caso inicialn= 1 ´e f´acil, pois a ´unica isometria n˜ao-trivial deRque fixa a origem ´e uma reflex˜ao: x 7→ −x. Assumamos o resultado verdadeiro paran−1 e sejaT 6=I uma isometria de Rⁿ comT(0) = 0.Tomemosv∈RⁿcomTv=w 6=v. SejaRa reflex˜ao no hiperplano ortogonal au:=v−w. Ent˜aoTu=−u eRT fixa os pontos da reta gerada poru. AgoraRT deixa o hiperplanou^⊥∼=Rⁿ⁻¹invariante. Pela hip´otese de indu¸c˜ao,RT|u^⊥ ´e o produto de no m´aximon−1 reflex˜oes. Logo, T ´e o produto de no m´aximonreflex˜oes.