Resolução algébrica das equações

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RESOLUÇÃO ALGÉBRICA DAS EQUAÇÕES

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PORTO

IMPRENSA PORTUGUESA

116, Rua Formosa, 116 1 9 3 2

de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

MEU QUERIDO PAI

A resolução algébrica das equações constitui um dos mais trans- cendentes problemas da Álgebra Superior. Foi o génio assombroso dum rapaz de 20 anos que, há precisamente um século, lançou as bases da teoria que permite resolvê-lo, e que por isso ficou conhecida pelo nome de TEORIA DE QALOIS.

Esta teoria, a principio confusa, adquiriu clareza e precisão com a TEORIA DAS SUBSTITUIÇÕES.

Evidentemente, pela sua extensão, a exposição completa destas teorias não poderia ser feita num trabalho desta natureza. Por isso, uma vez demonstrado o teorema fundamental de QALOIS sobre a resolubilidade algébrica das equações, e a impossibilidade de resolver algebricamente a equação geral de grau superior a quatro, limitei-me a tratar da aplicação da teoria de QALOIS às equações abelianas e ás equações irredutíveis de grau primo.

Porto, Fevereiro de 1932.

O AUTOR.

DOMÍNIO DE RACIONALIDADE.

REDUTIBILIDADE DAS FUNÇÕES INTEIRAS

1 — Consideremos um sistema de números ou grandezas tal que, executando sobre estes números ou grandezas as quatro operações fundamentais, adição, subtracção, multiplicação e divi- são, os resultados dessas operações sejam ainda números do mesmo sistema.

Ao sistema assim constituído chamou Dedekind corpo de números, e Kronecker domínio de racionalidade. Dá-se-lhe também o nome de campo de números.

Os números ou grandezas chamam-se os elementos do corpo, domínio de racionalidade, ou campo.

São exemplos de corpos:

O agregado dos números racionais.

O agregado dos números reais.

O agregado dos números imaginários.

2 —Adjunção de uma grandeza « a um campo. — Diz-se que se faz a adjunção da grandeza a a um campo /•" quando se juntam aos elementos de F as grandezas que se obteem combinando et com os elementos de F por meio das operações fundamentais.

Obtém-se assim um novo corpo, que é formado pelo con- junto de todas as funções racionais de «, de coeficientes perten- centes ao campo F.

3 — Funções redutíveis e irredutíveis num dado domínio de racionalidade. — Seja uma função racional e inteira F(x) do grau n cujos coeficientes pertencem a um dado domínio de racionalidade.

Se a função puder ser decomposta em factores de graus inferiores a n cujos coeficientes pertençam ao mesmo domínio, a função diz-se redutível nesse domínio. No caso contrário diz-se irredutível.

Se uma equação é redutível, a sua resolução pode fazer-se depender da resolução de outras equações de grau inferior.

Assim se

/•(*)=/,(>)/:>(<) . . . / * ( x ) = 0

esta equação desdobra-se nas seguintes:

/,(-0 = 0 /,(.<)=0...Jk(x) = 0.

4—Tratemos do problema da redutibilidade duma equação de coeficientes reais, no campo dos coeficientes. Os casos a con- siderar são os seguintes:

l.° — Os coeficientes da equação são racionais.

2.° — Os coeficientes são irracionais.

O 1.° caso reduz-se àquele em que os coeficientes são intei- ros, multiplicando a equação pelo m. m. c. dos denominadores dos coeficientes. Se a equação tiver raizes racionais, obtém-«e uma primeira redução calculando essas raízes. Podemos considerar então apenas uma equação f(x) = 0 admitindo somente raizes irracionais e imaginárias.

Obtemos ainda uma segunda redução se a equação tiver raizes múltiplas, e poderemos então supor que a equação /(.v) = (V stí admite raizes simples, irracionais ou imaginárias.

5 — Vejamos como é possível fazer depender a resolução da equação/(^) = 0 de outras irredutíveis. Para isso demonstra- remos primeiramente o seguinte lema, devido a Qauss:

Se um polinómio de coeficientes inteiros é divisível por outro poli­

nómio de coeficientes racionais, é igual ao produto de 2 polinómios de coeficientes inteiros.

Suponhamos que o polinómio

f(x) = a0x'l+í,lx"­1+... + an

de coeficientes inteiros admite o divisor '■?(*) de coeficientes racio­

nais, de modo que

/ ( x ) - f (x)X'.t(x).

Pondo em evidência o denominador comum dos coeficientes de cada um destes polinómios, temos a identidade

f(x) = X —

em que ­f, (x) tem todos os coeficientes inteiros sem divisor comum com m e <|\(x) tem todos os coeficientes inteiros sem divisor co­

mum com m'.

Vamos demonstrar que m' divide todos os coeficientes de 'f1 (x) e m divide todos os coeficientes de ty (x). Para isso basta demons­

trar que todo o divisor primo p de m! divide todos os coeficientes de yl(x) e todo o divisor primo q de m divide todos os coeficien­

tes de i}», (x).

Como por hipótese os coeficientes de ^ (x) não teem divisor comum com m!, esses coeficientes não são todos divisíveis por p.

E portanto, designado por Q(x) o quociente inteiro da divisão de <[>,(*) por p e por B(x) o resto (de coeficientes não divisíveis por p) temos

Donde

Multiplicando ambos os membros por '^(x) vem:

H ( , ) ? 1( A ) 6 , ( A ) •

o . ( A ) -i. (A-)

Ora : é um polinómio de coeficientes inteiros, porque P

m I x ) dl ( * )

— é um polinómio de coeficientes inteiros e p é divisor m. m'

de m m'.

Q{x) é também um polinómio de coeficientes inteiros.

Logo — ^ - PU)? (A) é um polinómio de coeficien- P '

tes inteiros. Designemo-lo por f^x). Temos então

p

ou

/ 7/1( A ) = ? 1( A - ) H ( A ) .

Ora /; divide o primeiro membro desta igualdade; logo divide o segundo. Como é primo com os coeficientes de B (x), divide neces- sariamente todos os coeficientes do factor <?1(x).

Do mesmo modo demonstraríamos que qualquer divisor de m divide todos os coeficientes de '^(-v').

Então/(.v) é igual ao produto de 2 polinómios — #- e

4 <m' í IM

de coeficientes inteiros, como queríamos demonstrar.

Em virtude deste lema, para decompormos uma equação inteira / ( x ) = 0, de coeficientes inteiros, noutras irredutíveis, esta- mos limitados a procurar os factores inteiros do polinómio/(A).

Para resolvermos este problema, começaremos por demons- trar o seguinte:

6 — Teorema. — Se conhecermos uma relação entre 2 ou mais

raizes da equação f( x ) = O, é possível, em geral, efectuar a decompo- sição de / ( x ) num produto de 2 factores racionais.

Consideremos, com efeito, a equação

(1) / ( . v ) = 0

sem raízes iguais. Sejam XÁ X2, . . . jr as suas raízes e

y1 = <f ( . r , , ^ , ...xp)

uma funçãovconhecida de /; raízes. Sejam tpx, (s.,,...'fr os valores algébricos distintos que toma 'f quando se substituem x, x„, . . x por todos os arranjos das n raízes tomadas p ap. Se\amyl,y.„...y os valores da função ç quando uma raiz, x1 por exemplo, fica no mesmo lugar.

Consideremos a equação:

(2) (J'-J'i) 0 - - ^ ) . - - ( ^ - ^ ) = 0.

O primeiro membro é uma função simétrica de x,„ xv ..-xn e por- tanto os seus coeficientes são funções simétricas das raízes da equação—-— = 0. São portanto funções racionais de .v , e a

* — *i

equação (2) toma a forma

(2') /-(/,^,) = 0.

Mas esta equação deve ser satisfeita pelo valor j ; conhecido.

Então F{yx, xt ) — 0, o que mostra também que xy é raiz da equação

(3) /-O.,,.v)=0.

Esta equação tem portanto uma raiz comum com a pro- posta f{x) — 0.

Vejamos se estas equações admitem mais raízes comuns, por exemplo x .

Para isso é preciso que F(yv *m) = 0, o que exprime também quej'j é raiz da equação F (y, xm) = Ò.

Ura esta equação deduz­se de (2') mudando xt em xm, ou fazendo esta mesma mudança em (2). Por esta substituição J7!­ JV • • ■ yq transformam­se em geral em outros valores de ip, de sorte que a condição para que xm seja raiz comum das equações (1) e (3) é que haja um valor <?k de ç, no qual xm substitua xv e para o qual <fk=y,.

Conclue­se então que as equações (1) e (3) teem como raízes comuns todos os valores de x que podem substituir o lugar de xy em yy — ­^ (*,, x.,, .. . x ) sem alterar o valor numérico da função cp.

Em particular, se (?(xvx.,, ... xp) é uma função simétrica, todas as raízes x.>,x3, .,, x podem tomar o lugar de xl sem alte­

rar o valor da função ?. As 2 equações terão então pelo menos as raízes comuns xr x^,, . .. x .

7 — Este teorema, conjuntamente com o lema demonstrado, vai­nos permitir formar os divisores racionais dum polinómio/(;c) [se os houver], e portanto efectuar a redução da equação f{x) = 0.

Com efeito, se f(x) admitir um divisor racional do grau p, em virtude do lema devem existir p raízes da equação f(x) — 0 cujo produto seja inteiro e divisor do termo de grau zero da equação.

Seja então yx UTI divisor do termo de grau zero, e procure­

mos se a equação dada tem p raízes cujo produto seja y , e se admite um divisor do grau p.

Para isso é preciso que entre /> raízes da equação exista a relação

y1 = xixí...xp.

Se isto acontecer, aplicando o teorema anterior devemos che­

gar a duas equações

(4, \/{X) = °

que têm as raízes comuns .v,, A„, ..­X. Os dois polinómios f(x) e F{yv x) admitem nesse caso um m. d. c. do grau p, e

temos

/ ( . V ) = / , ( A ) . / ; ( . V ) .

A equação proposta é equivalente a

/ , ( . . ) = 0 /;(.v) = 0.

Se as equações (4) não admitirem raízes comuns, ensaiam­se outros divisores do termo independente, e outros produtos de raízes.

Vemos assim que, com um número finito de operações, se podem sempre determinar os divisores racionais dum polinó­

mio/(.v) de coeficientes inteiros.

As equações (4) podem ter raízes comuns diferentes de AC,,*,, ...x . Para que ist> n&o aconteça é necessário que não haja outro produto de raízes, diferentes de xit x.,, . . x , que seja igual ayr

Partindo da hipótese de que a equação/(JC) — 0 não tem raí­

zes iguais, é evidente que não pode ser

xⁱ x² .. . x^p = .t^/;_|_, x., . .. Xp ■= . .. = xⁿ x , . . . Xp .

Mas pode, por exemplo, verificar­se a igualdade

*i h ■•■ x,i~xp+i ­V+­' ­va l'i • • • xi>

ou, duma maneira geral,

*1 Xi '•• XPS=S Xp+1 X/>+!! ••■ *1P ■

Então, se as equações (4) tiverem todas as raízes comuns, teremos de, antes de aplicar o método para a decomposição, transformar a equação f(x)= 0 pela relação j> = x­j­/i, por exem­

pio, e determinar h pela condição da equação cujas raízes são os produtos distintos das raízes p a p não ter raízes iguais.

8 — Suponhamos agora que se trata dum polindnio

(5) f(x,y,z,...)

inteiro em relação a g variáveis x, y, z .. . e cujos coeficientes pertencem ao domínio dos números inteiros.

Pode reduzir­se este caso ao anterior fduma única variável], do seguinte modo:

Seja g um número inteiro superior ao maior expoente de cada uma das variáveis no polinómio dado. Pondo

J> = x ^

a função f{x,y, z, ...) transforma­se num polinómio

( 6 ) /■(,)

inteiro em x. A um termo jt?jfl z't . . . de (5) corresponde em (6) um termo

cujo expoente pode ser considerado como um número escrito num sbtema de base g.

Os termos de (5) e (6) correspondem­se então duma maneira biíinivoca. Se F(x) fôr decomponível num produto de funções in­

teiras, também f(x,y, z, .. . ) o será.

9—Consideremos finalmente o caso de serem irracionais os coeficientes.

Podemos sempre transformar a equação numa outra cujos coeficientes sejam funções inteiras de certos parâmetros irracio­

nais. Tratando estes parâmetros como se fossem vaiiáveis, caímos assim no caso dum polinómio inteiro, de coeficientes inteiros, a duas ou mais variáveis, que foi tratado no íj anterior, ficando reduzido, em última análise, ao primeiro caso.

10 — Do teorema do § 6.° conclue­se o seguinte:

Suponhamos que é conhecida uma função racional

1', = ? ( . ^ , ^ , . . . , . ^ )

de todas as raízes da equação f(x) = Q, que tome «! valores dis­

tintos quando se permutam de todas as maneiras possíveis as raízes x,, jcjt .. . x_.

Sejam Vv Vv . • . K „ _1 )| os valores da função tp quando a raiz Aij fica no seu lugar.

A equação

(!'—1'x) ( r — t . ). . . (i'—r{„_1)!) = o fica

/••(.v,,l') = 0 ;

e como admite a raiz Vr concluímos que f(x) = 0 e F(x, V,) = 0 admitem a raiz comum x,, e só ela.

E como essa raiz se obtém achando o m. d. c. entre os 2 polinómios f(x) e F(x, Vt), ela exprime­se racionalmente em V..

Sejam agora Vlt V.,, ■'•V[n_in os valores de <? quando a raiz x„ fica no seu lugar.

A equação

( r - i - ) ( r - i ' J - . O ' - i ' , , , - .) - ) = 0

fica <l> (x2, K) = 0; e como admite a raiz \\, concluímos que/(;c)=0 e <1> (x, Kj) = 0 admitem a raiz comum *.,, e só ela. E como essa raiz se obtém achando o m. d. c. entre ~f{x) e *(JC, Vx), ela ex­

prime­se racionalmente em Vt.

Temos então o

Teorema. —Seja Vl = <p(xl, xt, ... xn) uma função racional das raízes da equação / ( x ) = 0 que (orne n ! valores distintos quando se permutam de todas as maneiras possíveis as raízes.

As raízes da equação f(x) = 0 exprimem-se racionalmente em V . Este teorema, devido a GALOIS, encontra-se nas memórias deste matemático publicadas no Journal de Mathématiques pures et appliquées—Tomo XI, e dêle se tira a seguinte conclusão:

A resolução duma equação de grau n reduz-se à determinação duma raiz da equação de grau n\

(V-V1)(V-V2)...{V-Vn,) = Q.

Se esta fôr redutível, o problema pode simplificar-se. No caso contrário não.

GRUPO DE GALOIS DUMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA

11 — Consideremos uma equação algébrica/(jc) = 0 sem raí- zes iguais, cujos coeficientes pertençam a um campo F. Podemos sempre construir uma função V das raízes desta equação que tome n\ valores distintos quando se executam sobre as variá- veis x., x„ . .. x todas as n\ substituiçõs possíveis. Satisfaz a essa condição a função

l\ = m, .v, -f m, xg -f . . . -f- mn .v„

em que m., nu, ... m são constantes convenientemente esco- lhidas (1).

Se estas constantes pertencem ao campo F, a função V cha- ma-se uma função de Galois relativamente à equação/(x) = 0.

Consideremos os n\ valores distintos Kp V„, .. . V x da fun- ção V e a equação

P(V)={V-V,) {V-K.) . . . ( ^ - ^ , ) - . 0 .

(1) Basta dar a estas constantes valores tais que o descriminante da equação P(V) = 0 considerada adiante seja diferente de zero.

Esta equação pode ser redutível ou irredutível no domínio de racionalidade dos coeficientes de/(.ï). No 1.° caso, seja

pw**[p

(v)]K[p

{n]P...[Pt,(v)yp.

lli —1\>— • • • — \Lp= 1. porque, se assim não fosse, a equação />(K) = 0 teria raízes múltiplas, o que é contra a hipótese. De- monstraremos ainda que Pl (V), P2(V) P{1 (V) são do mesmo grau r.

f Com efeito, sejam Vv V2, . . . Vr as raízes da equação Pl ( V) = 0 e 2, uma substituição das raízes xrx2, .. . r ; que transforme V numa raiz K + 1 da equação P,(V) = Q. Efectuando sobre Pt(V) à substituição \ , chegamos então a uma função P,(V) idêntica

*PAV)(1)- '

Como P2(V) se obtém de PX(V) por uma substituição, é evi- dentemente do mesmo grau que P (V).

O raciocínio subsiste para os outros factores. Logo P (V), Pt(V), . . . Pp(V) são do mesmo grau. Temos então n\ = r\,

n\

ou r — —.

As equações irredutíveis P

Pp(V)=Q

do grau r chamam-se résolvantes de Galois.

(1) Pt (V) 6 irredutível por hipótese. I'k (V) é irredutível porque, com»

/'(!') tien invariável por todas as substituições de xít x2 x , os factores irredutíveis ficam também invariáveis, embora a sua ordem possa mudar. .Was sendo irredutíveis P2 ((') e Pk (v), como as equações A, (|/) = 0 e />. ( l ' ) = 0 admitem a raiz Vr ( ,, siío idênticas.

Consideremos uma delas, por exemplo Pl(V) = 0, e sejam K» Ki, . . . V as suas raízes,

( I ) I, Sg, S„,...Sf

as substituições de x.,xv ... x pelas quais essas raízes se obtêm de Vr

Estas substituições formam um grupo. Com efeito, se efectuar- mos uma das substituições precedentes, por exemplo Sa, sobre

V , V, ... V, estas funções transformam-se respectivamente em V1, VÍ\ • • • V'r. Mas então temos V,=Va. Logo

( l ' - K , ) (V-V.i)...(V-Vr) = (V-v[)(V-v'a_) . . . ( l ' - I V ) ,

porque, se uma equação admite uma raiz de uma equação irredu- tível, admite-a todas, e sendo as duas equações do mesmo grau são idênticas.

Se efectuarmos então sucessivamente duas substituições Sa e S^, Vl passará para um dos r valores Vv V.,, ... V/, por- tanto o produto SySti é uma substituição do conjunto (1). Estas substituições formam portanto um grupo de ordem r.

O grupo assim definido chamase o grupo da equação /(.r) = 0 no domínio de racionalidade F. Representá-lo-hemos por G.

12 — Consideremos outra resolvente de Oalois, Pr(V) = 0 por exemplo. Vamos ver que esta resolvente conduz a um grupo idêntico ao primeiro.

Com efeito, demonstrámos que os factores P.,(V), . . . Pp (V) se deduzem de P^V) pelas substituições 2,,,2,, . . . , 2p efectua- das sobre xv x.,, .. . xn.

As n\ substituições das letras x^x,, ... xn podem dispor-se do seguinte modo:

1 S,j S3 ... Sr correspondentes as raízes de /J, ( ^ ) = 0 Ea S, S, S, B, ...< 5 , 2 , . . . . /^(1) = 0

E s S, E8 S8£3 . . . S , 2a » . . . /'3(l') = 0 Sp S, Cp S3Sp . . . SrKp » . . . Pp(l')=0

E vê-se assim facilmente que as raízes de Pk{V) = Q se obtêm do valor Vl transformado pela substituição ï,., a que chama- mos Vk% efectuando sobre êle as substituições

I

- * dJ -li V—t o V -k °a - * V—1 (j v - * ar ~k

Com efeito, pela substituição S,24 transformamos f, numa certa função, que se obtém a partir de Vk efectuando as substi- tuições sucessivas £ - ' , 52 e J\.

As substituições acima indicadas formam o grupo transfor- mado de O pela substituição 2 . Chamemos-lhe O'.

Como a transformada duma substituição Sf por E,. se obtém efectuando sobre os ciclos de Sr a transformação tk, passamos do grupo G para G' trocando apenas a designação das raízes da equação f{x) = 0.

Podemos considerar portanto os grupos G e G' idênticos.

13 — Outra maneira de considerar o grupo duma equação.—

Vimos na pág. 10 que dada a função Vl=míxl + m.xi \-m x das raízes da equação/(.r)r=0, que toma n\ valores distintos, as raízes de f(x) = 0 exprimem-se racionalmente em função de V^.

(*) *i = #,(^) fr-^Ci).*" 4 - ^ 0 ^

Suponhamos que a fquaçáo P(V) é redutível, e seja l\{V) = (v-\\) (v-vi)...{V-yr)

um dos factores irredutíveis.

Sendo Vh uma raiz da equação /^(1^) = 0, vamos demonstrar que as raízes de/(.r) = 0 são também

(?) _{*ICA) *I} **)»•*„&*).

Com efeito, a equação /(.r) = 0 admite a raiz #,((^). Logo / ( ^ , ( ^ ) 1 = 0 admite a raiz V=Vl da equação irredutível

/ ^ ( ^ ) = 0 e portanto admite-as tôdas, e em especial Vh. Por- tanto Rfi^i,) é r a i z d e / ( . r ) = 0. Do mesmo modo/(7^,(/^)1 = 0 admite a raiz FA, e portanto / ^ ( í ^ ) é raiz de/(.r) = 0.

Os números (,3) são portanto raízes. Mostremos que são todos diferentes. Com efeito, se fosse #, ( ^/, ) = #2 ( ^A )> aequação

admitiria a raiz Vn da equação irredutível P1(V) = Q. Portanto admitiria a raiz Vx e seria /?, ( i7, ) =/?2 ( ^, ), o que é absurdo, pois os números da série (a) são todos diferentes.

Vemos então que as raízes d e / ( * ) = 0 podem ser dispostas do seguinte modo:

•v, = ^(/j) , -h = 1^,^) ... J f c - V F J

*,(»'*) ?»C*) ••• */.<"*>

/v'.CV) R,(M ••• M W

em que os números de qualquer linha são os mesmos da pri- meira, embora por outra ordem.

Vamos demonstrar que a substituição pela qual passamos da 1.» linha para a 2." é justamente a substituição pela qual pas- samos de V. para V%.

Com efeito, stja S a substituição pela qual passamos de Vl

para Vv Atendendo à maneira como foram determinadas as raí- zes R{V), a raiz RX(V„) sera" aquela que a substituição 5 levou em V1 wmmlxl + mtxi^-... Jrmnxn ao lugar de xv e assim sucessivamente. Do mesmo modo demonstraríamos que a substi- tuição pela qual passamos da 1." linha para a linha de ordem k é aquela pela qual passamos de Vy para Vk.

14 —Do que acabamos de expor e do teorema de Oalois (§ 10.°) resulta o seguinte:

A resolução de uma equação de grau n cujo grupo é de ordem r reduz­se à determinação duma única raiz duma resolvente de grau r.

15 — Propriedades do grupo de uma equação. — 1." — Toda a função racional das raízes da equação / ( . r ) = 0, invariável nume­

ricamente (1) pelas substituições de G, pertence ao domínio de racionalidade F.

Com efeito, as raízes exprimem­se racionalmente numa raiz qualquer da equação P(V) = Q. Portanto uma função racional

<f(.vrx.,, ... xn) exprime­se também racionalmente em V V ou V . Seja por exemplo <? = F(y).

Mas como a função tp tem o mesmo valor numérico para todas as substituições do grupo O, temos também:

9 = F(\­2) = F(v3) = . . . = F ( \ ­r) . Donde

rf — F(Vl)+FlVa)+...+­F(Vr) e

O 2.° membro é uma função simétrica de V.t V.,h...V e por­

tanto exprime­se racionalmente nos coeficientes de P {V), que pertencem ao domínio de racionalidade.

2.a—Toda a função racional das raízes pertencente ao domí­

nio de racionalidade fica invariável pelas substituições do grupo.

Seja 'i(xv.v.,,...xn) essa função e R o seu valor pertencente ao domínio de racionalidade. Exprimindo %.,'xi%...x em função da raiz \\ da resolvente P(V1) = 0 temos

/■-(1',) = * .

(') Ksta propriedade diz também respeito ás funções das raízes cuja forma algébrica é invariável pelas permutações das raízes, pois que neste caso o valor numérico é também invariável.

Mas esta equação, admitindo a raiz V. da equação irredutível Pí(F) = 0, admite todas as raízes desta, e temos portanto

^ = / ^ ) = / ^ ) = ... = / ^ ) .

O valor numérico de tp fica portanto invariável pelas substi- tuições de G.

E«tas duas propriedades podem resumir-se no seguinte:

É condição necessária e suficiente para que uma função racio- nal ^{xvx^ ... xn) das raízes duma equação algébrica/(.r) = 0 seja racionalmente conhecida, que o valor numérico de <p fique inva- riável para todas as substituições do grupo de Galois da equação proposta.

16 — Teorema. — Só as substituições do grupo da equação é que deixam invariáveis todas as funções racionais das raizes, que sejam racionalmente conhecidas.

Com efeito, a função

(t-Vi) {a-Vt) ... (a-Vr),

em que a é uma constante, em virtude da propriedade 1." é racio- nal, mas muda de valor para qualquer substituição não perten- cente ao grupo de Qalois.

17 — Ao definirmos o grupo duma equação, partimos duma certa função de Qalois V1.

Posto isto, suponhamos que, partindo de outra função de Qalois IV, chegávamos a um grupo diferente de G, por exemplo o grupo H constituído pelas substituições

l , sA, sA, . . sm.

Designemos por F,, Vh, Vk,... Vm os valores obtidos da pri- mitiva função de Qalois por estas substituições, e consideremos a função

*(i') = (v'-i'i) O'-''/,) [V-vk) ... (v-vm)

3

.cujos coeficientes são funções simétricas de Vv Vh, Vk> • • • Vm e-

portanto inalterados pelas substituições de H.

Em virtude da propriedade l.a, os coeficientes de <I>(f) per- tencem ao domínio de racionalidade. Mas a equação (l> ( F) — GV de coeficientes pertencentes ao domínio, admitindo a raiz Vx da equação irredutível Px(V) = 0, admite-as todas. Portanto H con- tém as substituições 1, S2,S3, . . . Sr, e então O é igual a H ou a um sub-grupo de //.

Consideremos agora a função racional Pl (FJ.-que é igual a zero por ser Vx uma raiz da resolvente de Qalois Px(V) = 0. Em virtude da propriedade 2.", a função racionalmente conhecida (por ser igual a zero) Px ( Vx ) fica inalterada para todas as substitui- ções de H. Portanto

Pi(Ki:).*!>ílKâ)-/^-(Ii)r- . : . = ^( 4 ) = 0.

Então ^ , , ^ , ^ ^m são raízes de P,(//) = 0, e as substitui- ções 1, S.,Sk, ... Sm estão todas contidas no grupo O.

H é portanto igual a G ou a um sub grupo de O (1).

Como para o grupo da equação devem verificar-se as pro- priedades 1." e 2.\ concluiremos que H = G.

18 — Teorema. — Uma equação ê irredutível ou redutível con- forme o seu grupo é transitivo ou intransitivo.

Com efeito, se o grupo é intransitivo, êle troca algumas raí- zes entre si sem as trocar com as outras. Sejam .r,, xg, . .. xp

(p<n) as raízes que são trocadas entre si. Sendo os coeficientes do polinómio

g(x) = (x — xx) (x — x.,) ... (.v-.v,,)

(1) Daqui rcsultn o seguinte Teorema : — Se uma funçflo racional das raí- zes duma equaçflo com coeficientes em /•", que é igual a uma quantidade em F, fica inalterada pelas substituições dum grupo H, H & um sub-grupo do grupo O da equaçflo, no campo h\ e a função fica também inalterada pelas substituições de O (propriedade 2.").

funções simétricas de xvxv ... xp, ficam inalterados por todas as substituições do grupo G e portanto pertencem ao domínio de racionalidade. f{x) admite então o divisor g(x) racional e por- tanto é redutível.

Suponhamos agora que o grupo é transitivo, e demonstremos que a equação é irredutível.

Com efeito, suponhamos que era redutível no campo dos coeficientes. Então/(.r) teria um divisor racional g(x) do grau p<n que se anularia para x = xv por exemplo. Se a função g(xi) é racional [g(xJ) = 0], fica inalterada para todas as substi- tuições do grupo G. Mas como G é transitivo, contém substitui- ções que mudam .r, em qualquer das raízes de/(.r) = 0. Portanto g (x) anula-se para todas as raízes d e / ( . r ) = 0; donde se con-

clue que

gU)m/[x), e a equação é irredutível.

19 — No caso da equação ser redutível, procuremos o grupo da equação g[x) = 0, cujas raízes são xy, xv ... x .

Seja G o grupo da equação/(.r) = 0, e Sv 52, S3, ... S,, as suas substituições. Em cada uma delas supostas decompostas em ciclos, tomemos apenas os ciclos que afectam xt, x2, x3, ...xr

[Eles existem por ser G intransitivo e xltx2,x,v ... x um sis- tema de transitividade]. Obtemos assim outras substituições sl,svSt, •••sk que formam um grupo G,. Este é o grupo da equação g(x) = 0.

Com efeito, toda a função racional das raízes da equação g(x) = 0 pode considerar-se função racional das raízes de/(.r)=0.

Se essa função fôr invariável pelas substituições de G, também é invariável pelas substituições de G,, e é racional (propriedade l'.f do grupo).

Reciprocamente, toda a função racional das raízes da equa- ção g(x) — 0, pertencente ao domínio de racionalidade, fica inva- riável pelas substituições de G, e portanto também pelas de G (propriedade 2.").

Logo G, é o grupo da equação g(x) = 0.

20—Vimos no § 14 que a resolução duma equação do grau n, cujo grupo é de ordem r, reduz­se à determinação duma única raiz duma resolvente de grau r.

Se o grupo da equação fosse de ordem r<n, a resolução da equação de grau n poderia fazer­se depender da resolução duma equação de grau inferior. Vamos porém demonstrar o se­

guinte

Teorema. — O grupo de Galois duma equação irredutível nunca é de ordem inferior ao grau da equação.

Com efeito, o grupo é transitivo. Ora a ordem dum grupo G transitivo sobre n letras é um múltiplo de n.

Sejam com efeito S,, S„, .. . S &s substituições do grupo que deixam JC, invariável. Estas substituições formam evidentemente um sub grupo H. Se G é transitivo, contém substituições que permutam x\ com x„, x. com xa, ,,,­x. com xn. Chamemos­lhe

£., S­, . .. ~n e formemos o quadro

■ ' ] ­J , O n _j .j t • t <3_ 2 J Q

SI E„ S2Ln... Sr E f l

Qualquer substituição de G está contida no quadro (I); com efeito, se t é uma substituição que permuta xí com xk, então t)ù~l

deixa *■ invariável, e portanto é uma substituição Sf de H. Logo

ou

Donde se conclue que a ordem de G é rxn, e portanto múltiplo de n. E teremos

(D

Q = t/Sl + HEi + fiSa+... + / / 2 , ,

21—Afinidade (i) duma equação. — Quando o grau da re- solvente de Galois duma equação do grau n atinge o valor má- ximo ni, diz-se que a equação tem uma afinidade nula.

Sendo r o grau da resolvente de Galois, chama-se grau da afinidade ao quociente — — p. Quando r— 1, o grau da afinidade n\

r

atinge o máximo, e as raízes da equação pertencem ao domínio de racionalidade dos coeficientes, pois que se exprimem racional- mente na raiz da resolvente de Galois, que é do 1.° grau, e tem portanto uma raiz pertencente ao domínio considerado.

22 — Teorema. - O grupo da equação geral, no domínio de racionalidade dos seus coeficientes, é o grupo simétrico.

Seja a equação geral

(2) f(x)=x" + a^lX'-^}+...+aⁿ = 0

cujos coeficientes são arbitrários, x.,xv . . . x as suas raízes, e K, uma função de Galois desta equação. A equação

(3) fiivy^iV-VJiV-V,)... (K-K„,) = 0 é irredutível.

Com efeito, suponhamos que P{V) admite um factor irre- dutível

(4) (V-V,) (V-Va)...(V-V„)^ V*+A1Vl,-1+...+Àh

que se anula para V— Vr Os coeficientes de (4) são funções ra- cionais dos coeficientes de (2), e portanto funções simétricas de xv x2, .. . xn. Substituindo na equação

(5) v"+A1Vn-1 + ...+Ah = 0

(1) Traduzimos por afinidade o termo affect empregado por Kronccker.

V por Vl = mt xx -+- m., x2 -f- . . . + mnxn t Al, A,z, ... Ah pelos seus valores expressos em xl,x.,, ... xn, obtemos uma identidade

(6) F(x¹,x^t,...x^tt)B0.

Permutando de todas as maneiras possíveis x^x%% ... xn, a iden- tidade (6) conserva-se, evidentemente, e como essas permutações conservam os AA e mudam F, em V„, K, ..'. Vn[, conclue-se que a equação (5) admite todas as raízes da equação (3). Esta é então irredutível, e o grupo da equação (2) é o grupo geral ou simétrico, c. q. d.

Corolário 1.° — A equação geral é irredutível no domínio de ra- cionalidade dos coeficientes.

Com efeito, o grupo da equação geral é o grupo simétrico.

E como este é transitivo, em virtude do teorema demonstrado no g 18, a equação é irredutível.

Corolário 2.° — As raízes da equação geral, de grau superior ao primeiro, não são funções racionais dos coeficientes.

Porque, se assim não fosse, a equação seria redutível.

REDUÇÃO DO GRUPO DUMA EQUAÇÃO

23 — Procuremos as condições para que as raízes duma equação sejam funções algébricas dos coeficientes, ou melhor funções algébricas de quantidades pertencentes ao domínio de racionalidade dos coeficientes.

Teorema. — B condição necessária e suficiente para que as raí- zes duma equação irredutível sejam conhecidas, que a equação resol- vente possa reduzir-se a uma equação do I.° grau.

A condição é necessária. — Com efeito, se as raízes da equa- ção são- conhecidas, pela adjunção dessas raízes, em número finito, a equação torna-se redutível em equações do 1.° grau, e do mesmo modo a equação resolvente

(v-\\) ( i ' - K2) . . . ( i ' - i g = o decompõe-se em

v — K, = O r— i'8 = o ••• V—V, = 0.

A condição è suficiente. — Com efeito, se a resolvente de Galois é do 1.° grau, [K-F, = 0], conhecemos a raiz \\, e as raízes da equação dada podem exprimir-se racionalmente em Vv

como vimos.

Quando a resolvente de Qalois se toma redutível pela adjun- ção ao campo duma grandeza algébrica, encontra-se uma resolvente de grau inferior. A afinidade da equação / ( A ) = 0 aumenta, e a ordem do grupo diminue.

Se pela adjunção sucessiva de grandezas algébricas chegar- mos a um grupo de I." ordem (grupo identidade), a equação está resolvida.

2 4— Noção de corpo de Galois duma equação. — Dá- se o

nome de corpo de Galois duma equação ao corpo que se obtém adjuntando ao corpo ou campo dos coeficientes da equação todas as raízes da mesma equação.

É evidente que no corpo de Qalois a equação é sempre re- dutível em equação do 1.° grau.

Aos elementos do corpo de Qalois chamou Kronecker irra- cionalidades naturais da equação dada. Estas irracionalidades são as funções racionais das raízes da equação.

25—Funções racionais pertencentes a um grupo. — Cha-

ma-se grupo duma função <p(*,, •*,, . . . xn) de n variáveis o grupo de substituições efectuadas sobre as variáveis, que conservam o- valor algébrico da função (1).

Vejamos que é possível formar, duma infinidade de maneiras, uma função inteira que fique invariável pelas substituições dum grupo dado, e mude de valor para qualquer outra substituição.

Consideremos a função de Qalois

V=m1xl-\-m.íx,2+... +m„xn

das n variáveis *,, x2, . . . xn, e o grupo H[Si,S„ SV...S,].

(1) E evidente que estas substituições formam um grupo.

Quando efectuamos as substituições do grupo H, a função de Galois toma os valores Vi,V2,...Vr.

O produto

(1) ia'—V1)(tt-rVi)...(u—Vr)

em que ti z\z o, é uma função que tem para grupo o grupo H.

Com efeito, se Sa é uma substituição do grupo, Sa = Oj Sa op = Sg Sa . . . S\= Sr sa

são ainda substituições do grupo, e são distintas porque S,, S„, ... Sr

o são também. Logo Sa, 5 s , . . . S/t são idênticas a 5t, 52, . . . Sr, embora em ordem diferente.

As funções Vlt Vv . . . Vr transformam-se pela substituição Srx

em Va, Kp, . . . K), que são idênticas a K,, ! < , , . . . ^,, embora em ordem diferente. Por conseguinte o produto (1) não muda pelas substituições de fi.

Por outro lado, se considerarmos uma substituição T que não pertença ao grupo, as substituições

Sp = Sj r SV=S.,T ... S-=SrT não fazem parte do grupo fi. Por meio destas substituições, o produto (1) transforma-se em

(2) ( " - I V ) (u-V,)...(u-V-)

que é diferente do primeiro, pois que, para que eles fossem iguais, seria preciso que

V^Va K^v = Kp . . . V^X=V^X, o que é impossível.

26 —Efeito no grupo duma equação, por uma adjunção ao campo. — Seja G o grupo duma equação / (x ) = 0 para o campo F dos coeficientes. 0 campo Fr=F[ty) composto das funções racio­

nais de (|i com coeficientes em F diz­se derivado de F pela adjunção de if a F.

Se a resolvente de Qalois j°(K) = 0 fica irredutível no campo /■', o grupo para F' d e / ( j t ) = 0 é evidentemente G. Mas se a resol vente fica redutível, seja f (V) o factor de P( V) cujos coefi­

cientes pertencem a F', é irredutível em F' e se anula para V=V . Se então \\, V , . . . Vk são as raízes de P (K) = 0, o grupo de f(x) = 0 no campo F é, por definição, G' (Sl = 1, Su, ... Sk), que

é um sub­grupo de G. Temos então o

Teorema. — Por uma adjunção ao campo, o grupo da equação reduz­se a uni sub­grupo, que pode ser ainda o grupo dado.

11—Posto isto, vejamos o que acontece quando se adjunta a uma equação o valor zl duma certa função racional das raízes.

Neste caso, se o grupo da equação era G, o grupo reduz­se às substituições de G que não alteram z .

Com efeito, uma vez adjunto z~, deve ser considerado z como pertencendo ao campo. 2, deve pois ficar invariável para as substituições do novo grupo, que necessariamente está contido no antigo.

Vamos mostrar que o novo grupo é formado por todas as substituições de O que não alteram z,\

Seja ?(*,, x2, ... xn) uma função racional qualquer das raí­

zes da equação proposta, racionalmente conhecida no novo campo de racionalidade. Seria então <f = F(zi), sendo F(z1) uma função racional de zl e dos elementos do primitivo campo.

Para todas as substituições que não alteram z , <p fica tam­

bém inalterado, e portanto, como ­f é qualquer, essas substituições formam o novo grupo.

Mais geralmente:

Se se adjuntam várias funções das raízes, o grupo da equação reduz­se ao grupo das substituições contidas em G e que não alteram as diferentes funções.

Se se adjunta uma função racional das raízes pertencente ao grupo de Galois ou a um grupo mais elevado, o grupo de Galois da equação fica o mesmo. Essa função é necessariamente um ele- mento do campo de racionalidade, em virtude das propriedades do grupo duma equação.

Se se adjunta uma função racional das raízes não perten- cendo ao campo de racionalidade (irracionalidade natural), o grupo de Galois fica reduzido. Com efeito, esta irracionalidade natural pertence a um sub-grupo do grupo de Galois, ou a um outro grupo de ordem inferior ao de Galois que tem com o de Galois um subgrupo comum. [As substituições comuns a dois grupos formam um grupoj.

28 — Teorema. — Toda a redução possível do grupo de Galois duma equação é produzida peta adjunção duma irracionalidade natural.

Porque, se a adjunção dum irracional reduz o grupo G da equação a um sub-grupo Gp como podemos sempre formar uma irracionalidade natural pertencendo ao grupo G,, esta irracionali- dade produz pela adjunção o mesmo efeito que aquele irracional.

29 — Posto isto, consideremos uma função racional

»(*t'i*« "»)

das raízes da equação, e suponhamos que esta função toma p valores numéricos para as substituições do grupo da equação.

Sejam <?,,?,, . • fy esses valores.

Se p é menor que a ordem g do grupo G, haverá um certo número de substituições de G transformando ?, em si mesmo.

Sejam 5 , 5 , , . . Sr essas substituições, que formam um grupo H.

O grupo G é formado pelas substituições s, r, s, r,... sr rx

s, r, s, T^t... s, r, Si rp s , T(J... sr 7p

(D

em que

Ti é a identidade 7"„ t r a n s f o r m a <pj e m <?2 r3 ? i • <?3

rp » ?i * ?p

Ou simbolicamente

0 ^ / / / - , + / / 7 , + / / 7 3 + . . . / ^ , .

As substituições da I.« linha do quadro (I) transformam ip em si mesmo.

As da 2." linha transformam <p, em ?.,, e assim sucessiva- mente.

Procuremos as substituições que transformam ?., em si mesmo.

Se as representarmos por v, as substituições T. £ T-1 transfor- mam '.p, em si mesmo. Logo

Donde

- = r.f ! 5« rt.

O £Ttf/*> correspondente à função cp^ ^ portanto o grupo trans- formado de H pela substituição T .

30 — Consideremos a equação

<3) ( ? - < ? ! ) ( 9 - ¾ ) . . . (<? —tpp) = 0 = S(<í).

O seu grau é igual ao quociente da ordem do grupo O pela ordem do grupo a que pertence « .

Esta equaçfio é irredutível, porque, se fosse redutível, tería- mos um factor

( ? —¥ i ) ( ? - ^ 9 , ) ....(? — ?-*) ( * < p )

que seria racional, dando a cp um valor qualquer do domí­

nio de racionalidade. Este factor deveria portanto ficar invariável para todas as substituições do grupo, o que é impossível, pois que, para uma dada substituição do grupo, podemos mudar por exemplo <p, em <p^, em que k' > /<■.

31 — Suponhamos agora que a adjunção a uma equação f(x) — 0 duma raiz rx duma equação irredutível

(4) / • » = (>

de grau p reduz o grupo da equação de G a G,.

Podemos, como já foi demonstrado, formar uma função ra­

cional ­^l(x1,xi, ... xn) pertencente ao grupo G1( cuja adjunção reduz o grupo da equação também a G .

Se, partindo desta função cp, (JC , x„, •..*„). formarmos a equa­

ção (3), vamos mostrar que a adjunção das diferentes raízes de (4) equivale d adjunção das diferentes raízes de (3).

Com efeito, temos evidentemente ^, = 8(^,) sendo B uma função racional (1).

A equação 5[0(r)] = O, admitindo a raiz rx da equação irre­

dutível (4), admite todas as suas raízes rv r„, ... r . Mas os coe­

ficientes da­equação j°(tp) = 0, cujas raízes são 6(/^), 8(ru), ...

6(/­^), pertencem ao domínio inicial de racionalidade, por serem funções simétricas de ©(/"J, 9 ( ^ ) , . . . ®(/■«')• e portanto funções simétricas de rv r.,, ... r, que são as raízes da equação (4).

Além disso, a equação irredutível (3) admite todas as raízes de P(<f) = Q. Logo deve ser

P(<?) = [S(<í)f e portanto p = |xp.

Posto isto, seja H(ra) = 'fa, e designemos por G„ e Gr/ os grupos aos quais se reduz o grupo da equação quando se adjun­

(1) Se f, fica invariável pelas substituições de Qlt exprime­se racional­

mente em r,.

tam respectivamente ra e î o. Como ? a se exprime racionalmente após a adjunção de ra, ^ deve ficar invariável pelas substitui­

ções de Ga. Logo G'a contém todas as substitutes de G'a. Mas Ga é da mesma ordem que G, (V. § 29).

Demonstremos que pela adjunção de cada uma das raizes da equação (4) obtemos grupos reduzidos da mesma ordem.

Seja rx a raiz que reduz o grupo a G,. Então a resolvente de Qalois P(V) = 0 decompõe­se em outras irredutíveis do mesmo grau, servindo qualquer delas para determinar o' novo grupo.

Seja Pl ( V, rx ) = 0 uma delas.

Se dividirmos P(V) por Pt(V, r j e igualarmos a zero os coeficientes do resto, obtemos as condições para que P(V) seja divisível por P^V.rJ. Estas equações de condição são satis­

feitas para r = / £ e como a equação (4) é irredutível, elas de­

vem também ser satisfeitas para r=r = . . . = / • . P(V) é, pois divisível por /> ( V, r, ), /> ( V, r2), ... P{( V, rp ).

Como /^(1/,/^)=­0 é irredutível, as outras equações I\(V,r.,)=0 ... />l (,/^, = o

são também irredutíveis. Com efeito, se P^V.r) fosse divisível por uma certa função Q(V,r), para r = rp o resto da divisão de Px{V,r) por Q(V,r) deveria ser nulo para r = ri; mas então de­

veria também ser nulo para /■ = /­,, e /°, (V, r, ) séria divisível por Q{v<rx), o que é absurdo, porque PX{V, r{) é irredutível, por hipótese.

As equações resolventes

Pi(K,/i)­0

l\(V,r2) = Q

^,(^./-,,)=0

sflo então todas do mesmo grau; e como a ordem do grupo duma equação é igual ao grau da resolvente, a proposição ini­

cial está demonstrada.

O grupo Gri é, pois, da mesma ordem que Gr Os grupos

G,x e G',j são portanto idênticos, porque são da mesma ordem e GrJ contém todas as substituições de Gu.

Concluímos mais :

1.° —O grau p da equação F(r) = 0, que é igual a |tp, é um múltiplo de p, e as raízes desta equação dividem­se em p sis­

temas de \i raízes, de tal sorte que se obtêm grupos reduzidos diferentes quando se adjuntam duas raízes pertencentes a sistemas diferentes, e se obtém o mesmo grupo reduzido quando se adjun­

tam raízes do mesmo sistema.

2.° — A adjunção de todas as raízes da equação F(r) = 0 reduz o grupo da equação ao grupo comum H aos grupos Ot, G,, ... 0. correspondentes às funções ?,,<?„, . . . ?p.

32 — Vejamos um caso particular muito importante: — Supo­

nhamos que a equação F(r) = Q é uma equação normal, isto é, uma equação cujas raízes se exprimem racionalmente em qualquer delas.

Quando adjuntarmos uma raiz, na qual as outras se expri­

mem racionalmente, isso equivale a adjuntar todas as raízes, e portanto os grupos Gr 0,, . . . Gp coincidem.

0 grupo G da equação dada, após a adjunção das raízes de F(r) = 0 reduz­se ao grupo Gr que é de ordem — , sendo m a ordem de G.

No caso de /; ser primo, como /? == jx p, o grupo reduzido será de ordem — .

n

33 _ O grupo H, ou O,, (no caso da equação F(r)­­~0 ser normal), é um sub­grupo invariante de G. Isto é, é um grupo per­

mutável com todas as substituições de O, ou, o que é o mesmo, um grupo idêntico ao transformado de li por todas as substitui­

ções de G.

Com efeito, uma substituição // de H deixa invariáveis as funções tplf<p2i • • • '■?« • Portanto a substituição ShS~\ sendo S uma substituição de G, transforma orj em si mesmo, qualquer que seja a. Resulta daí que o grupo S/iS~l é idêntico a H.

EQUAÇÕES BINÓMIAS E EQUAÇÕES CÍCLICAS.

SUA RESOLUÇÃO ALGÉBRICA

34 — Consideremos uma equação bindmia x" — A = 0.

As suas raízes são

A a!\ A «V A ... a \A,

representando por a uma raiz primitiva da equação jt"— 1 = 0.

Sabemos que a determinação desta raiz primitiva depende da determinação de raízes primitivas de equações bindmias cujos graus são os factores primos de n.

Consideremos então uma equação binómia

(1) ^ - 1 = 0 ,

em que p é primo. As raízes primitivas desta equação são as raí- zes da equação

(2) —ZL - ^ ^ + ^ ^ 4 - . . , 4-4:4- | = 0

x — I

chamada ciclotómica.

4

V

Se designarmos por r uma raiz desta equação, será rp—\, e=

as raízes de (2) serão:

r, > . / . . . ./ ^ -1

ou ainda

designando por a uma raiz primitiva da congruência

a " -1 — 1 = 0 (mod. p) V. Nota 1

Consideremos uma raiz qualquer j3 da equação

(3) A ^ -1 — 1 = 0

e formemos a função

Fazendo

ra= 6 ( r )

! ? _ ( , " ] " - 9 ( ^ =6.6(/-) = «V)

>»(/y.e|[>j-ë.e»(r)-e»(/.)

temos:

(4) <r(r) = [r4-p«(r)+^e,(r)+u.

+ jh*-iW**-i (,)+ ... + ?-*&-* (r)f-1. Comoa"-^l=p + \, será / ' W , ou Q^p-^l(r) = r~

Substituindo em (4) r por r" , (k<p — \), vem:

* K ) = |>*(') + Pe*

(r)+p

b*+

( r ) + . . .

+ pP~*-> H""¹ (>) + . , . + p"-²8 " + * -² ( r ) ] "- 1

==[pp-*-i

pp-*e(r) + ...

+ p p - .a ek - i( f l ) + e* (r) + p B * +1{ r ) -r- píe * +r( r ) + . . .

+ ^ ­ * ­ 2eP ­ 2( f )y ­ i

atendendo a que

H"(r) ■ e e ' - ' i i i o e i ' f )

&+1 (r) = 6* d»-*1 (r) = e* (r) ou

♦ [X]-(p'-*-

)'-

[r+p»'(r) + pPe»(r)+...

+ p*-

e*-

(r)+|*-<"-

)e*(>) + p*+

-c-

)e*+

(/-)+

+ p*+«-<P-"il 8*+*(rj + . . . + pP-»-</»-») (V-2 ( r ) l "_ 1. Mas ( ^ ^ ­ l y ­ i a s ^ ­ i V ' ­ * ­ » — ! / ' ­ * ­ ! ­ ­ ! ,

Logo

*| '"*] = [/•+ p6 (r) + p»9⁸(r) + . .. + p*"¹ 0*"¹ (r) + p*8*(r)+...

Temos então

Donde

Como o 2.° membro desta igualdade é uma função racional e simétrica de todas as raízes da equação (2), o 1.° membro exprime-se racionalmente nos coeficientes de (2) e nas raízes da equação (3), e temos

* (r) = [H-P9 (r) + ? B'jr) + ... + y-

(^-

(r)]"

= A

ou

r+ p6 (r) + P* H* (>) + ... + P"^-8 Si-" (r) = ' y A

Se substituirmos ,¾ por cada uma das raízes 1, j5,, p,, . .. ^ _a

da equação (3), vem:

P-i,—

r+(-)(r) +e»(r) + . . . +<-»"-2(r) = V/t0 = - l . por ser a soma das raízes de ( 2 )

I r+ p, e (r) + fl e« (r) + • • • + PT

* " ' (r) = ' V-4,

r+p,'e(r) +P|e

(r) +... + pr

e"-« (,) = y,,.

/ ' - 1

r + ?„_',« ir) + Pj_, »2 ir) + . . .+ ^ I2 e*"8 ir) = ^Ap_,_

Estas equações do 1.° grau dão-nos as raízes de (2).

Somando membro a membro vem:

(p _ 1 ) r = Si . H (,) + S„ . £ (r) + ... + Sp_a . e""2 (r)

fl-1,— p-li— P — li

=-> + y ^ +

YA

_

Logo

P-\ — p-i,— />-ii-

As outras raízes são as potências sucessivas de r. Mas pode­

mos calculá­las directamente do seguinte modo:

Multiplicando as equações (5) respectivamente por 1, 0­*, Pr*> • • • ? Z* e somando­as membro a membro, vem:

S_/c.r+S1_k^(r) + ... + (p­\)^k(r)+­­­+Sp_,_ll.Qp.­2(r) = P—\I~ p—ir" ./'­i /

= ­ i + p r * V^I + ÍT* v

*+­­­ + ^­1 VV­*

S_t, 5 , _ A , . . . 5/ ;_2­A­ são as funções simétricas simples St, S/c­i, • • • S*+2­/> das raízes da equação recíproca de (3), que é ainda a mesma equação. Logo

S_k =Sk = 0 Si­k = S*_i = 0

^p — k — í — ^k + 2­^p — U

Temos então

­ ■ + K

"~\J\ + K

"~\J\ +■■■ + ( ^ ' " v ^ ­ s

9»w— — T m -

35—Do que acabamos de expor conclue­se o seguinte:

As raízes da equação (1), de grau primo, exprimem­se racio­

nalmente em radicais de índice p—le nas raízes duma equação binómia de grau p—l. Estas por sua vez dependem racionalmente das raízes de equações bindmias de graus primos contidos em p­\.

Continuando com o mesmo raciocínio, chegamos a exprimir as raízes duma equação binómia da forma x" — A = 0 no radi­

n .—

cal \A e em radicais de índices inferiores a n.

Caso particular:

A equação binómia x" — 1 = 0, cujo grau é um número primo da forma n = 22 + 1, é resolúvel por meio de extracções sucessivas de raízes quadradas.

E portanto:

A divisão da circunferência em 22"'+ 1 partes iguais pode efec- tuar-se somente com a régua e o compasso.

36 — Equações cíclicas. — Dá-se este nome às equações cujo grupo é um grupo cíclico regular, isto é, formado pelas potências sucessivas duma mesma substituição circular de ordem n e de n letras.

Teorema. — As equações cíclicas são resolúveis por meio de ra- dicais.

Sejam, com efeito,

(6) ?(.v) = 0

uma equação cíclica, xltxv ...xp as suas raízes, e « uma raiz qualquer da equação xP — 1 = 0 .

Adjuntando « ao domínio de racionalidades dos números ra- cionais, a expressão

(7) (*, + «•<•>+...+</'-%)"

é racional, porque fica invariável para todas as substituições do grupo da equação (6).

Assim

= (a h + V ^ + . , . + xp)P

Representando por A o valor de (xl + axí + . . . +a»-lx\"

temos :

Pr-

*i + «A + • • • + « " " *p ="\M

Substituindo nesta igualdade a por cada uma das raízes 1, «j, «;,, . . . o j da equação / — 1 = 0 , vem:

.v.fx, + . . . + .xp = \ M 0

*i+«i*« + . . . + ^ ­ 1 ^ ^

(8)

■ t f

Portanto as raizes xvxt, ...xp da equação (6) exprimem­se por meio de radicais, c. q. d.

As expressões da forma (7), cujos valores são racionais, e

■de que já nos servimos para a resolução da equação ciclotdmica, chamam­se resolventes de LAGRANQE. Mais adiante veremos como se calculam os seus valores. .