Força de levitação e distorção do campo elétrico devido a partículas condutoras livres.

FORÇA DE LEVITAÇÃO E DISTORÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A PARTÍCULAS CONDUTORAS

LIVRES

Por

LÍGIA SOUZA PALMA

TESE DE MESTRADO

A p r e s e n t a d a a Coordenação S e t o r i a l de PÕs-Graduação e Pesquisa da Prõ-Reitoria para A s s u n t o s do I n t e r i o r da U n i v e r s i d a de F e d e r a l da Paraíba, em c u m p r i m e n t o ãs exigências para Obteji ção do Grau de M e s t r e em Ciências.

COORDENAÇÃO DE P0"S-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

PARECER FINAL DO JULGAMENTO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO LTGIA SOUSA PALMA

Título: "FORÇA DE LEVITAÇÃO E DISTORÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A PARTlCÜ LAS CONDUTORAS LIVRES"

COMISSÃO EXAMINADORA

PROF. SREERAMULU RAGHURAM NAIDU - Ph.D - Presidente - f

/

_/J

11. ;

PROF. EMANUEL GOES DE ARAUJO - M.Sc J Examinador Externo - .

CONCEITO

Efetiva"'

PROF. FRANCISCO DE ASSIS F. TEJO

- Examinador Interno - M.Sc

A OVADO

A g r a d e ç o s i n c e r a m e n t e ã meus p a i s e i r m ã o s , p e l o a p o i o e i n c e n t i v o a p e s a r da nossa s e p a r a ç ã o ; ao p e s s o a l d i r e t a ou i n d i r e t a m e n t e e n v o l v i d o n e s t e t r a b a l h o , p e l o e s f o r ç o e d e d i c a ç ã o ; 5 S. R. Na.idu, p e l a v a l i o s a o r i e n t a ç ã o ; a L i k i so H a t t o r i , p e l o e s t i m u l o de t o d a s as h o r a s . i i

RESUMO E s t e t r a b a l h o t e v e como o b j e t i v o c a l c u l a r a d i s t o r ç ã o do campo e l é t r i c o na v i z i n h a n ç a de uma p a r t T c u l a c o n d u t o r a e n t r e d o i s e l e t r o d o s p l a n o s , i n f i n i t o s e p a r a l e l o s , quando a e l e s é a_ p l i c a d o um campo e l é t r i c o u n i f o r m e . Um m é t o d o de s i m u l a ç ã o de c a r g a m o d i f i c a d o f o i u t i l i z a _ do nos c á l c u l o s de f o r m a que os d e s v i o s e n t r e o p o t e n c i a l de su^ p e r f T c i e da p a r t í c u l a e o p o t e n c i a l o b t i d o a t r a v é s da s i m u l a ç ã o f o s s e m m i n i m i z a d o s com base no m é t o d o dos m í n i m o s q u a d r a d o s . 0 v a l o r d o campo e l é t r i c o m á x i m o e da f o r ç a de l e v i t a ç ã o s o b r e a p a r t i c u l a f o r a m t a m b é m c a l c u l a d o s . •

The o b j e c t i v e o f t h i s work was t o c a l c u l a t e t h e d i s t o r t i o n o f t h e e l e c t r i c f i e l d i n t h e v i n i c i t y o f a c o n d u c t i n g p a r t i d e between two i n f i n i t e p a r a l l e l p l a n e s when a u n i f o r m elec_ t r i e f i e l d i s a p p l i e d .

A m o d i f i e d c h a r g e s i m u l a t i o n method was used i n w h i c h the d e v i a t i o n s between t h e p o t e n t i a l on t h e p a r t i c l e s u r f a c e and t h e p o t e n t i a l o b t a i n e d f r o m t h e s i m u l a t i o n were m i n i m i z e d on a l e a s t s q u a r e b a s i s . The maximum e l e c t r i c f i e l d and t h e l i f t i n g f o r c e on t h e p a r t i c l e were a l s o c a l c u l a t e d .

I N D I C E

CAPITULO PAGINA

I I N T R O D U Ç Ã O 1

I I RUTURA DE GASES COMPRIMIDOS CONTAMINADOS COM

P A R T Í C U L A S M E T Á L I C A S CONDUTORAS 3

2.1 - I N T R O D U Ç Ã O 3

2.2 - RUTURA DO GAS SEM C O N T A M I N A Ç Ã O 4 2.2.1 - C r i t é r i o de Townsend 4 2.2.2 - C r i t é r i o de S t r e a m e r 5

2.3 - RUTURA DO GAS COM C O N T A M I N A Ç Ã O 8 2.3.1 - D i n â m i c a da P a r t í c u l a 8

2 . 3 . l ( b ) - D i n â m i c a da P a r t T c u l a p a r a T e n s ã o AJ_ t e r nada 2.3.2 - R u t u r a de Gases C o n t a m i n a d o s sob C o n d i ç õ e s C.C. e C A . 2.3.3 - Mecanismo de R u t u r a p a r a Gases Contarni nados 2 . 3 . 3 ( a ) - I n t e n s i f i c a ç ã o do , Campo 2 . 3 . 3 { b ) - M i c r o d e s c a r g a

CALCULO DO CAMPO E L É T R I C O USANDO A T É C N I C A DE S I M U L A Ç Ã O DE CARGA

3.1 - D E S C R I Ç Ã O DO M É T O D O

3.1.1 - C o n s i d e r a ç õ e s G e r a i s 3.1.2 - P r i n c í p i o . B á s i c o

v i i CAPITULO PAGINA 3.2 - A P L I C A Ç Ü E S DO M É T O D O 25 3.2.1 - S i s t e m a s B i d i m e n s i o n a i s 2 5 3.2.2 - S i s t e m a s T r i d i m e n s i o n a i s sem S i m e t r i a A x i a l 38 3.3 - O T I M I Z A Ç Ã O DO M É T O D O DE S I M U L A Ç Ã O DE CARGA 43 3.3.1 - L i m i t a ç ã o do M é t o d o 43 3.3.2 - T é c n i c a de O t i m i z a ç ã o 45 3.3.3 - Exemplo de S o l u ç ã o 47 3.3.4 - E x t e n s ã o da T é c n i c a de Otimj_ z a ç ã o p a r a S i s t e m a s sem Sime t r i a A x i a l 48 IV D I S T O R Ç Ã O DO CAMPO E L É T R I C O NA V I Z I N H A N Ç A DE P A R T Í C U L A S CONDUTORAS 58 4.1 - I N T R O D U Ç Ã O 58 4.2 - METODOLOGIA 59

4.2.1 - M é t o d o de S i m u l a ç ã o de Carga M o d i f i c a d o 63 4.3 - RESULTADOS E D I S C U S S Ã O 67 4.3.1 - S i m u l a ç ã o da P a r t í c u l a E s f é r i c a 67 4.3.2 - S i m u l a ç ã o da P a r t í c u l a C i l T j i d r i c a com Ponta H e m i s f é r i c a 73 4 . 3 . 2 ( a ) - S i m u l a ç ã o com Cargas F i c t í c i a s P o n t u a i s 73 4 . 3 . 2 ( b ) - S i m u l a ç ã o com L i n h a s F i n i t a s de Carga 77 4.3.3 - S i m u l a ç ã o da P a r t í c u l a C i l T n

d r i c a com Topo P l a n o e Bordas

A r r e d o n d a d a s 84

V C O N C L U S Ã O 94

A P Ê N D I C E I . 97 A P Ê N D I C E I I 101

CAPITULO I

I N T R O D U Ç Ã O

O c o n s t a n t e aumento no n í v e l de t e n s ã o p a r a t r a n s m i s ; são de e n e r g i a e l é t r i c a tem l e v a d o os p e s q u i s a d o r e s a s o f i s t i c a r cada vez mais os e q u i p a m e n t o s de p o t ê n c i a d e s t i n a d o s a e s t e f i m . Uma das p r e o c u p a ç õ e s d e s t e s p e s q u i s a d o r e s e s t á em c o n s e g u i r , dos e q u i p a m e n t o s , a m a n u t e n ç ã o do e l e v a d o n í v e l de t e n s ã o com o q u a l e l e s devem o p e r a r . Para t a n t o , p e s q u i s a s em t o r n o de i s o l a n t e s e s t ã o sendo r e a l i z a d a s com o p r o p ó s i t o de a s s e g u r a r e s t a f i n a l j [ dade sem, c o n t u d o , a l t e r a r em demasia as d i m e n s õ e s dos equipameji

t o s .

D e n t r e os i s o l a n t e s p e s q u i s a d o s , os g a s o s o s tem s i d o l a r g a m e n t e u t i l i z a d o s p o r a p r e s e n t a r e m elt\/ada r i g i d e z d i e l é t M c a , quando s u b m e t i d o s ã a l t a s p r e s s õ e s . E n t r e t a n t o , f o i observa_ do que algumas v e z e s o n í v e l de r u t u r a dos gases c o m p r i m i d o s so_ f r e uma r e d u ç ã o de a t é 1/3 do seu v a l o r n o m i n a l . A causa d e s t e

d u t o r a s no i n t e r i o r do g á s , p r o v e n i e n t e s , m u i t a s v e z e s , do des_ g a s t e f í s i c o do e l e t r o d o , g r a u de p o l i m e n t o da s u p e r f í c i e do e l e t r o d o ou do e s f o r ç o m e c â n i c o de j u n t a s c o n e c t o r a s .

A i n f l u ê n c i a das p a r t í c u l a s m e t á l i c a s c o n d u t o r a s no de sempenho i s o l a n t e do g á s s e r á e x p l i c a d o no C a p i t u l o I I . Este fe_ n ô m e n o n ã o e s t á bem e n t e n d i d o p o r q u e pouco se sabe a r e s p e i t o da d i n â m i c a da p a r t í c u l a , bem como da d i s t o r ç ã o do campo e p o s s i v e i s d e s c a r g a s p a r c i a i s ( c o r o n a ) causadas p o r e l a s . Para c o n h e c e r m e l h o r e s t e s f e n ô m e n o s , o c á l c u l o do campo na v i z i n h a n ç a da p a r t T c u i a se f a z n e c e s s á r i o . 0 C a p i t u l o I I I a p r e s e n t a r á um m é t o d o de s i m u l a ç ã o de c a r g a p a r a c á l c u l o de campo e l é t r i c o , a p l i c á v e l ã m u i t o s s i s t e m a s f T s i c o s . E s t e m é t o d o f o i u t i l i z a d o n e s t e traba_ l h o i n c l u i n d o algumas m o d i f i c a ç õ e s . 0 m é t o d o de s i m u l a ç ã o de c a r g a m o d i f i c a d o f o i a p l i c a d o p a r a c a l c u l a r a d i s t o r ç ã o do campo e l é t r i c o na v i z i n h a n ç a de p a r t í c u l a s e s f é r i c a s e c i l í n d r i c a s , co mo t a m b é m a f o r ç a de l e v i t a ç ã o que i n c i d e s o b r e e l a s . 0 CapTtjj l o IV m o s t r a r á os r e s u l t a d o s d e s t a s i m u l a ç ã o .

CAPITULO I I

RUTURA DE GASES COMPRIMIDOS CONTAMINA DOS COM P A R T Í C U L A S M E T Á L I C A S CONDUTORAS

2.1 - I N T R O D U Ç Ã O

Gases c o m p r i m i d o s e s t ã o sendo l a r g a m e n t e usados como i s o l a n t e s em e q u i p a m e n t o s de a l t a t e n s ã o . Um exemplo t T p i c o é a s u b e s t a ç ã o b l i n d a d a , i s o l a d a com SFg ( h e x a f 1 u o r e t o de e n x o f r e ) , q u e , alem de a p r e s e n t a r m a i o r c o n f i a b i l i d a d e s o b r e as c o n v e n c i r j n a i s , tem a vantagem de o c u p a r menor e s p a ç o f í s i c o . C o n q u a n t o , em p r i n c i p i o , os gases c o m p r i m i d o s a p r e s e n t e m m a i o r e s v a n t a g e n s s o b r e os demais como i s o l a n t e , sua a p l i c a b i l i d a d e e s t á b a s t a n t e c o m p r o m e t i d a com a p r e s e n ç a de p a r t í c u l a s m e t á l i c a s c o n d u t o r a s

'2-8)

no seu i n t e r i o r . F o i m o s t r a d o e x p e r i m e n t a l m e n t e *1 ' que a r i g j _ dez d i e l é t r i c a desses g a s e s tem c o m p o r t a m e n t o d i f e r e n t e p a r a e s t a s i t u a ç ã o e que a p r e s e n ç a de p a r t í c u l a s m e t á l i c a s c o n d u t o r a s i um f a t o r l i m i t a n t e na u t i l i z a ç ã o dos gases c o m p r i m i d o s como i s o l a j i

r u t u r a com r e l a ç ã o ao v a l o r de r u t u r a dos mesmos sem c o n t a m i n a ç ã o .

2.2 - RUTURA DO GAS SEM C O N T A M I N A Ç Ã O

A r i g i d e z d i e l e t r i c a dos i s o l a n t e s gasosos e f u n ç ã o da p r e s s ã o a qual o gás e s t a s u b m e t i d o , e da c o n f i g u r a ç ã o geomêtrj_ ca do s i s t e m a . Para o caso de p l a n o s p a r a l e l o s i n f i n i t o s , subme_ t i d o s a um campo e l é t r i c o u n i f o r m e , a t e n s ã o de r u t u r a é d e f i n j da p e l a L e i de Paschen: Ur = f ( p . d ) ( 2 . 1 ) onde p é a p r e s s ã o do g a s , d é a d i s t â n c i a e n t r e os e l e t r o d o s . C o n s e q u e n t e m e n t e , a r i g i d e z d i e l e t r i c a d e v e r á c r e s c e r com a p r e s s ã o a p l i c a d a ao g á s . A r u t u r a , n e s t e c a s o , a c o n t e c e d e v i d o aos e f e i t o s caiu sados p e l a a v a l a n c h e de e l é t r o n s e d o i s c r i t é r i o s são usados pa_ r a e x p l i c a r t a l f e n ô m e n o : o c r i t é r i o de Towsend e o c r i t é r i o de S t r e a m e r .

5 Quando um e l é t r o n é e m i t i d o p e l o c á t o d o , e s t e produz um f l u x o de e l é t r o n s d e v i d o ao choque com as m o l é c u l a s do gás q u e , ao c h e g a r ao â n o d o já c o n t a com ea d e l é t r o n s l i v r e s . D e s t e mo d o , o c r i t é r i o de Townsend p a r a r u t u r a é dado p o r : e ( ea d - 1) = 1 ' ( 2 . 2 ) onde a é o c o e f i c i e n t e de i o n i z a ç ã o p r i m á r i a , 6 e o c o e f i c i e n t e de i o n i z a ç ã o s e c u n d a r i a . C o n t u d o , os gases c o m p r i m i d o s e l e t r o n e g a t i v o s , como o SFg e o N^> têm uma g r a n d e f a c i l i d a d e em c a p t a r e l é t r o n s l i v r e s p a r a f o r m a r Tons n e g a t i v o s e, n e s t e c a s o , o c r i t é r i o de Townsend se t o r n a : 3 ( e ( a " ^ . 1) = ] - 21 ( 2 . 3 ) onde n ê o c o e f i c i e n t e de agrupamento.. A i n t e r p r e t a ç ã o do c r i t é r i o de Townsend e m u i t o sim CL d p i e s . Se um e l é t r o n l i b e r a d o do c á t o d o g e r a no â n o d o e e l £ t r o n s l i v r e s e t a m b é m o mesmo n ú m e r o de Tons p o s i t i v o s ao l o n g o

do caminho p e r c o r r i d o , e se e s t e s Tons, ao se chocarem com o ca_ t o d o , v o l t a m a l i b e r a r m a i s um e l é t r o n l i v r e , e n t ã o t o d o o pro_ c e s s o s e r á r e p e t i d o i n d e p e n d e n t e m e n t e das c o n d i ç õ e s i n i c i a i s e a d e s c a r g a se t o r n a r á a u t o m a n t i d a .

2.2.2 - C r i t é r i o de S t r e a m e r

7

p r o v o c a uma a v a l a n c h e de e l é t r o n s com a l t a m o b i l i d a d e em d i r e ç ã o ao â n o d o , d e i x a n d o Tons p o s i t i v o s como l o c a i s de i o n i z a ç ã o . A d e n s i d a d e dos Tons p o s i t i v o s é a l t a p e r t o do â n o d o , mas é b a i x a p e r t o do c á t o d o , de modo que no l o c a l onde a c o n c e n t r a ç ã o d e s s e s Tons é e l e v a d a , v a i a c o n t e c e r uma d i s t o r ç ã o do campo e l é t r i c o . Es t a d i s t o r ç ã o e f a v o r e c i d a p e l a a l t a p r e s s ã o do g á s que r e d u z o caminho m é d i o l i v r e dos e l é t r o n s . Se e s t a d i s t o r ç ã o f o r b a s t a n t e c o n s i d e r á v e l , e l a pode p r o v o c a r a v a l a n c h e s a u x i l i a r e s , d e v i d o ã p r e s e n ç a de e l é t r o n s l i v r e s no g á s r e s u l t a n t e s da f o t o i o n i z a _ ç ã o , na d i r e ç ã o dessas a l t e r a ç õ e s do campo. A q u a n t i d a d e de Tons p o s i t i v o s s e r á e n t ã o aumentada e e s t e n d i d a na d i r e ç ã o do c á t o d o de uma m a n e i r a m u i t o r á p i d a . A e x t e n s ã o d e s s e s Tons é um S t r e a mer.

M e e k ' ^ ' p r o p ô s que a r u t u r a a c o n t e c e r i a quando o cam

po d e v i d o ã s c a r g a s p o s i t i v a s f o s s e da mesma ordem do campo e l é t r i c ô a p l i c a d o .

0 p r o c e s s o de r u t u r a t i p o S t r e a m e r p a r e c e e x p l i c a r me l h o r a r u t u r a do gas c o m p r i m i d o . Para esse t i p o de r u t u r a é ne c e s s ã r i o que o c o r r a m l o c a i s de i o n i z a ç ã o d e v i d o ã s c a r g a s espa_ c i a i s p a r a d i s t o r c e r o campo e f o r m a r pequenas a v a l a n c h e s auxj_ l i a r e s que causam a r u t u r a do g á s . Já f o i v i s t o q u e , d e v i d o a e l e v a d a p r e s s ã o a q u a l o g á s f i c a s u b m e t i d o , a f o r m a ç ã o d e s s e s l£ c a i s de i o n i z a ç ã o é b a s t a n t e f a v o r e c i d a . 0 c r i t é r i o de Townsend não c o n s i d e r a e s t e e f e i t o .

C o n t u d o , d u r a n t e algum e s t á g i o , os gases c o m p r i m i d o s n ã o obedecem ã L e i de Paschen nem a r u t u r a se d á segundo os d o i s pro_

c e s s o s d e s c r i t o s a n t e r i o r m e n t e . F o i o b s e r v a d o '2 - 8^ que a r u t u r a dos g a s e s , quando s u b m e t i d o s a a l t a s p r e s s õ e s , a c o n t e c e para va

l o r e s m u i t o menores que o v a l o r c a l c u l a d o . I s t o e e x p l i c a d o pe l o s u r g i m e n t o de pequenas c o r r e n t e s p r é - r u t u r a comprovadamente c a u s a d a s p e l a p r e s e n ç a de pequenas p a r t í c u l a s l i v r e s c o n d u t o r a s no i n t e r i o r do g á s . A i n f l u ê n c i a d e s s a s p a r t í c u l a s na r u t u r a do g á s será e x p l i c a d a com d e t a l h e s na p r ó x i m a s e ç ã o .

2.3 - RUTURA DO GAS COM C O N T A M I N A Ç Ã O

A n t e s de e x p l i c a r a r u t u r a do gas c o m p r i m i d o contamina_ do com p a r t í c u l a s m e t á l i c a s cond.utoras e n e c e s s á r i o d e s c r e v e r o c o m p o r t a m e n t o d e s s a s p a r t í c u l a s no que d i z r e s p e i t o aos seus mo v i m e n t o s , quando e l a s se e n c o n t r a m no i n t e r i o r do g á s s u b m e t i d o a d e t e r m i n a d a p r e s s ã o e com um campo e l é t r i c o a p l i c a d o aos ele_ t r o d o s .

2.3.1 - D i n â m i c a da P a r t í c u l a

Quando uma p a r t í c u l a m e t á l i c a c o n d u t o r a r e p o u s a s o b r e um dos e l e t r o d o s de um gap s u b m e t i d o a um campo e l é t r i c o u n i f o r ^ me 'E', e l a a d q u i r e uma c a r g a 'Q' que ê f u n ç ã o do campo a p l i c a d o , f o r m a , tamanho e o r i e n t a ç ã o da p a r t í c u l a . A f o r ç a a t u a n t e na pa_r t l c u l a é

F = Q . E ( 2 . 4 )

9

tação do d i p o l o . Quando essa força excede a força g r a v i t a c i o n a 1 a partícula se e l e v a e, dependendo da situação, pode a t r a v e s s a r o gap para c a u s a r r u t u r a do gãs.

No caso de uma partícula esférica c o n d u t o r a , a c a r g a 'Q' a d q u i r i d a e o campo de levitação podem s e r c a l c u l a d o s a n a l j _

(41 t i c a m e n t e p o r ^ ' Q = 2 . i r3 . e , r2' . -y- ( 2 . 5 ) EL •- ~ . / ( 2 . g . ( >p - P g ) . r / e ) ( 2 . 6 ) on^e r e o r a i o da e s f e r a r • •• «

pp e pg são as d e n s i d a d e s da partícula e do gás respec_ t i vãmente,

E e o campo a p l i c a d o ,

g é a aceleração da g r a v i d a d e , e Õ a p e r m i s s i v i d a d e do meio.

As equações que descrevem a dinâmica de uma partícula esférica para campo elétrico u n i f o r m e e a l t e r n a d o com v a l o r de

• r i ~ ( 3 ) p i c o E , s a ov ' x = A u s e n ( w t + <j>n) --g ( 2 . 7 ) x = An {cos(cf>n) - cos(ajt - <j,n)} - g t - RUn ( 2 . 8 ) An ísen(<j>_) - sen(oot + * ) } a t 2 x Sm _ü !lDJ . n 5|- - R Unt ( 2 . 9 ) u + t cos <j>

onde x, k e x são a aceleração, a v e l o c i d a d e e a d i s t a n c i a p e r c o r r i d a r e s p e c t i v a m e n t e , n e o número da excursão, ir e E. E An = 1 2 r o ) (P p- pg)

En é o campo no e l e t r o d o em t = 0 para cada excursão, -1 En

*n = sen 1 (•£)

Un e a v e l o c i d a d e da partícula ao r e t o r n a r da excursão a n t e r i o r ,

R e o c o e f i c i e n t e da restituição.

Veremos a s e g u i r que, ao d e i x a r o e l e t r o d o l o g o apôs a levitação, a partícula se movimenta de m a n e i r a d i f e r e n t e , depeji dendo do t i p o de tensão a p l i c a d a .

2.3.1 ( a ) - D-inãmioa da Partícula para Tensão Conti_ nua

Para e s t e t i p o de tensão a p l i c a d a ao gap gasoso a p a r t i c u i a e p r i m e i r a m e n t e l e v a n t a d a p e l o campo e então a t r a v e s s a o gap num movimento contínuo de i d a e v o l t a e n t r e os e l e t r o d o s , mudaji do de p o l a r i d a d e a cada choque. A v e l o c i d a d e com a qual o movj[ mento e e x e c u t a d o , depende do nível da tensão a p l i c a d a . N o t o u

11

do e n t r e o e l e t r o d o n e g a t i v o e o c e n t r o do gap, sem c o n t u d o atra_ vessã-lo t o t a l m e n t e para c a u s a r r u t u r a , mesmo quando o gap e s t a va s u b m e t i d o a v a l o r e s de campo e l e v a d o . Este t i p o de movimento da partícula f o i o b s e r v a d o em quase t o d a s as f a i x a s de pressão e x p e r i m e n t a d a s e tem o nome de ' F i r e f l y * que s i g n i f i c a "vôo do f o g o " , porque e l e vem sempre acompanhado de c o r o n a com emissão de l u z visível. A explicação para e s t e fenômeno é a s e g u i n t e :

uma partícula c a r r e g a d a p o s i t i v a m e n t e , após o choque com o e l e t r o do p o s i t i v o , move-se em direção ao e l e t r o d o n e g a t i v o onde, após o choque, t r o c a de p o l a r i d a d e . Na p o n t a da partícula, agora ne g a t i v a , e c r i a d a um l o c a l de ionização do gas e os elétrons l i b e r a d o s daí move-se r a p i d a m e n t e em direção ao e l e t r o d o a p o s t o , dej_ xando uma nuvem de Tons p o s i t i v o s nas imediações da partícu 1 a. Es_ t a d e i x a então o e l e t r o d o n e g a t i v o em direção ao e l e t r o d o p o s i t j _ vo e n v o l t a na nuvem de íons de p o l a r i d a d e o p o s t a que imediatamen^ t e n e u t r a l i z a m a partícula e a c a r r e g a m p o s i t i v a m e n t e . A partí_ c u i a então d e s a c e l e r a e é atraída de v o l t a ao e l e t r o d o n e g a t i v o para r e p e t i r o p r o c e s s o .

2 . 3 . 1 ( b ) - Dinâmica da Partícula para Tensão Alter_ nada

0 movimento da partícula para tensão a l t e r n a d a aplic£ da ao gap e c o m p l e t a m e n t e d i f e r e n t e d a q u e l e para tensão contí nua. Neste c a s o , a partícula não v a i a t r a v e s s a r i m e d i a t a m e n t e o gap após a levitação, porque sua a t i v i d a d e é dependente do nível da tensão a p l i c a d a , de forma que apenas para s u b s t a n c i a l m e n t e a]_

t o s v a l o r e s da tensão a partícu1 a v a i c r u z a r o gap para c a u s a r r u t u r a . A partícula pode também e v e n t u a l m e n t e permanecer na região média do gap por l o n g o período de tempo e pode tomar m u i t o s c i c i o s de tensão para atravessã-lo t o t a l m e n t e .

2.3.2 - R u t u r a de Gases Contaminados sob Condições C.C, e C A .

A tensão de r u t u r a dos gases quando c o n t a m i n a d o s com partículas c o n d u t o r a s é dependente não so da pressão, campo eljé tricô a p l i c a d o , t i p o de gãs i s o l a n t e usado, p o l a r i d a d e da tensão, como também da f o r m a , tamanho, q u a n t i d a d e e m a t e r i a l da partícu_ l a metálica c o n t a m i n a d o r a .

As f i g u r a s 2.3 e 2.4 mostram as características de r u t u r a para SFg e o ^ r e s p e c t i v a m e n t e , sob condições C.C., e C.A., quando partículas cilíndricas c o n d u t o r a s de alumínio de 6.4mm por 0.45mm estão d e n t r o de um s i s t e m a c o a x i a l de 250/76mm. Os p i c o s de tensão a l t e r n a d a de r u t u r a são i n d i c a d o s p e l a região h a c h u r i a d a e n t r e os p o n t o s q u a d r a d o s , enquanto que os v a l o r e s de r u t u r a para tensão contínua de ambas as p o l a r i d a d e s são dados pe_ l a s sólidas b a r r a s e n t r e círculos. Sob condição C.C., o b s e r v a --se ' F i r e f l y ' em t o d a f a i x a de pressão m o s t r a d o p e l a s b a r r a s t r a c e j a d a s . Vê-se também na f i g u r a 2.3 a característica C.C., de r u t u r a para o gãs sem contaminação.

>?c.e, / P A R T I O ' 2 5 0 / 7 6 mm |_A. / ' / / / > ^ F I R E F L Y V I S Í V E L . C.C . R U T U R A CC. 2 R U T U R A C A ( P I C 0 ) 6 0 H Z 0 5 10 15 PRESSÃO DO SF6 ,'aím) F I G . 2 . 3 R U T U R A D O S Fg C O M P A R T Í C U L A S C I L Í N D R I C A S D E A L U M Í N I O O E D I M E N S Õ E S 6 . 4 X 0 , 4 5 m m . 5 10 15 PRESSÃO DO N2( a t m ) F I O . 2.4 R U T U R A D O N2 C O M P A R T Í C U L A S C I L I M D R I C . D E A L U M Í N I O D E D I M E N S Õ E S 6 . 4 X 0 . 4 5 m m .

de r u t u r a é r e l a t i v a m e n t e r e s t r i t a com relação a r u t u r a c o n t i n u a e t e n d e quase sempre a o c o r r e r próximo ao l i m i t e i n f e r i o r do nT v e l de r u t u r a sob condição C.C. I s t o e e x p l i c a d o p e l o próprio movimento da partícula para tensão a l t e r n a d a a p l i c a d a e a consis_

tência desses r e s u l t a d o s pode s e r um f a t o r i m p o r t a n t e para a de_ terminação do desempenho i s o l a n t e de um e q u i p a m e n t o i n s t a l a d o de a l t a tensão. 0 mesmo não pode s e r c o n s i d e r a d o para o caso C.C., p o i s a f a i x a de variação na tensão de r u t u r a pode s e r tão l a r g a q u a n t o um f a t o r de 3.

Para o SFg, nas b a i x a s pressões, os níveis de r u t u r a C.C., p o s i t i v a são mais a l t o s que os níveis n e g a t i v o s . Contudo, para pressões acima de 5 atm o contrário e v e r d a d e i r o e a r u t u r a p o s i t i v a pode s e r 20% mais b a i x a que a n e g a t i v a .

No nitrogênio, v e r i f i c a - s e que os níveis de tensão de r u t u r a para ambas as condições C.C., e C.A., são, g era 1 , ma i s baj_ xas que para o SFg. I s t o se e v i d e n c i a na F i g . 2.4 p e l a e x t e n s j _ va a t i v i d a d e de " F i r e l y " sob condições C.Cr, e p e l o movimento r e d u z i d o das partículas sob condições C.A.

O b s e r v o u - s e ^ que a r u t u r a para o SFg a c o n t e c i a sem p r e quando a partícula e s t a v a próxima ao e l e t r o d o i n t e r n o do sijs tema c o a x i a l , enquanto que no N2 a r u t u r a p o d i a a c o n t e c e r em am bos os e l e t r o d o s , bem como na região media do gap.

A r u t u r a do gás também e d e p e n d e n t e da f o r m a , tamanho, q u a n t i d a d e e m a t e r i a l da partícula, como d i t o a n t e r i o r m e n t e , da s e g u i n t e m a n e i r a :

15

a) Forma - Uma partícula cilíndrica produz menores tensões de r u t u r a que partículas esféricas F i g . 2.7 e F i g .

2.8 .

b) Tamanho - Partículas cilíndricas de mesmo diâmetro, mas de

c o m p r i m e n t o s d i f e r e n t e s , produzem tensões de r u t u ra também d i f e r e n t e s . As m a i o r e s a p r e s e n t a m a t i v j [ dade de " F i r e f l y " com m a i o r i n t e n s i d a d e e conse_ quentemente menor tensão de r u t u r a F i g . 2.5 e F i g . 2.6.

c ) Q u a n t i d a d e - Quanto m a i o r é a contaminação, menor Ó a tensão de r u t u r a .

d ) M a t e r i a l - 0 m a t e r i a l de que é constituída a partícula, tem importância no nível da tensão de r u t u r a o b t i d o para o gás i s o l a n t e . Por exemplo, partículas de c o b r e produzem m a i o r e s níveis de r u t u r a que as s i _ mi l a r e s de alumínio F i g . 2.3 e F i g . 2 . 5 . Todas as afirmações acima c i t a d a s foram comprovadas e_x

( 0 2 - 0 8 ) . p e r i m e n t a 1 mente por p e s q u i s a d o r e s no a s s u n t o

2.3.3 - Mecanismos de R u t u r a para Gases Contaminados

A l g u n s mecanismos f o r a m s u g e r i d o s para e x p l i c a r o fenô meno de iniciação da r u t u r a do gás p e l a partícula metálica condu

—1000- -A r R U T U R A CC. R U T U R A CA|PIC0)60HZ PRESSÃO DO SF. 10 (atm) 15 FIG. 2.5 R U T U R A 0 0 S F6 COM P A R T Í C U L A S C I L Í N D R I C A S O E C O B R E DE D I M E N S Õ E S 6 . 4 X 0 . 4 5 m m . 2 5 0 / 7 6 m m F I R E F L Y V I S Í V E L , C C R U T U R A CC R U T U R A CA ( P I C O ) 6 0 H Z R U T U R A C A l P I C O l e O H Z 5 10 PRESSÃO DO SFs(atm) 15 F I O . 2 . 6 R U T U R A DO S Fg C O M P A R T Í C U L A S C I L Í N D R I C A S D E A L U M Í N I O D E D I M E N S Õ E S 3 . 2 X 0 , 4 3 m m .

200CÍ -.1500 > oc o *-û o 1000-o o û o z I-5 0 0

©

2 5 0 / 7 6 m m • R U T U R A P O S I T I V A . - R U T U R A N E G A T I V A 'cc 9 / S E M P A R - * / T I C U L A / . F I R E F L Y V I S Í V E L / : ' 1/ N Í V E L D E L E V I T A Ç Ã O C O M C O R O N A N Í V E L D E L E V I T A Ç Ã O S E M I C O R O N A H I V X L _D£_ fiEPGUSO 5 10 PRESSÃO DO SF6 ( a t m ) 15 F I G . 2.7 R U T U R A D O SF6 C O M P A R T Í C U L A S C I L Í N O R I C A S D E A L U M Í N I O D E D I M E N S Õ E S 1.6 X 0 . 4 3 m m . 2 5 0 / 7 6 m m • R U T U R A P O S I T I V A . - R U T U R A N E G A T I V A 1500. / CC

/

S E M E S F I R A S / 9 or a § 10001-o o a 500 / / / / / / ' I / / / / ff N Í V E L D E L E V I T A Ç Ã O S E M C O R O N A N Í V E L D E R E P O U S O r i i_ 5 10 15 PRESSÃO DO SFgfotm) F I O . 2.8 R U T U R A O o S F g C O M P A R T Í C U L A S E S F É R I C A S D E A L U M Í N I O O E D I Â M E T R O 1.6 m m .

c r o d e s c a r g a .

2 . 3 . 3 ( a ) - Intensificação do Campo

A intensificação do campo na e x t r e m i d a d e da partícula pode i n i c i a r a descarga do gás quando a q u e l a e n t r a em c o n t a t o com o e l e t r o d o . I s t o f u n c i o n a r i a como que se a partícula e s t i v e s s e f i x a d a no e l e t r o d o , e s t e s u b m e t i d o a uma tensão a l t e r n a d a , e, so b r e a p a r t i c u l a , f o s s e a p l i c a d o um p u l s o de tensão a d i c i o n a l . 0 súbito aumento do campo elétrico n e s t e p o n t o p o d e r i a então provrj c a r a r u t u r a d o g ã s .

Um f i r m e s u p o r t e para e s t a t e o r i a ê a observação de que a forma das características de r u t u r a s u g e r i d a para e l a são s i m i l a r e s a q u e l a s para as partículas l i v r e s . Esta t e o r i a e x p l j _ ca também porque a r u t u r a a c o n t e c e quando a partícula está proxj_ ma ao e l e t r o d o p o s i t i v o , como no caso de SFg. Contudo, o critê

r i o de r u t u r a d e s t e mecanismo está r e l a c i o n a d o com a i n t e n s i f i c a _ ção do campo na e x t r e m i d a d e da partícula e t a n t o a dimensão quan^ t o o peso da partícula não d e v e r i a m i n f l u i r na r u t u r a , o que não a c o n t e c e na prática. Alem d i s s o , nem sempre a r u t u r a o c o r r e quaji do a partícula e s t a próxima ao e l e t r o d o p o s i t i v o e os r e s u l t a d o s para o N2 estão aí para c o n t r a d i z e r e s t e f a t o . .

2 . 3 . 3 ( b ) - Micvodescavga

19

l a r i d a d e o p o s t a podem g e r a r regiões de e l e v a d a c a r g a e s p a c i a l su[ f i c i e n t e s para c a u s a r a d e s c a r g a do t i p o t r i g a t r o n e c o n s e q u e n t e rompimento do g á s . A objeção f e i t a a e s t e mecanismo e o f a t o de que a e n e r g i a r e q u e r i d a para a r u t u r a p o s s u i m a g n i t u d e m u i t a s ve zes menor que a q u e l a medida para um gap de três e l e t r o d o s do t i po t r i g a t r o n . Também não e s t a e v i d e n t e porque uma pequena des_ c a r g a em b a i x o de uma partícula esférica deva c a u s a r r u t u r a n o s e u t o p o . P r o v a v e l m e n t e essas m i c r o d e s c a r g a s c r i a m regiões de b a i x a d e n s i d a d e do g á s , mas e l a s não podem por s i mesmas e x p l i c a r a i n j _ ciação da r u t u r a p e l a partícula.

0 f a t o ê que ambos os mecanismos e x p l i c a m em p a r t e e concordam também em p a r t e com os dados o b t i d o s em laboratório,de forma que a contribuição de cada um d e l e s , para e x p l i c a r o fenÔ meno da iniciação da r u t u r a p e l a s partículas c o n d u t o r a s , não p£ de s e r e x a t a m e n t e d e t e r m i n a d o . A e f e t i v i d a d e de ambos os mecanij; mos v a i depender da partícula c o n t a m i n a d o r a e das condições expe? r i m e n t a i s do s i s t e m a .

Para compreender m e l h o r e s t e fenômeno Ô necessário co nhecer i n i c i a l m e n t e a distribuição do campo elétrico na v i z i n h a j i ça dessas partículas c o n d u t o r a s . 0 p r e s e n t e t r a b a l h o tem e s t a f i n a l i d a d e .

CALCULO DO CAMPO ELÉTRICO USANDO A TÉCNICA DE SIMULAÇÃO DE CARGA

3.1 - DESCRIÇÃO DO MÉTODO

3.1.1 - Considerações Gevais

Na solução do cálculo do campo elétrico em um s i s t e m a físico, e necessário que'sejam s a t i s f e i t a s a equação de L a p l a c e e as condições de c o n t o r n o do s i s t e m a . I s t o pode s e r f e i t o de duas m a n e i r a s ; a n a l i t i c a m e n t e ou u t i l i z a n d o os métodos numéricos d e s e n v o l v i d o s para e s t e f i m . A solução analítica é p r e f e r i d a , quando o s i s t e m a físico t r a t a d o tem g e o m e t r i a extremamente s i m p i e s . Porém, na prática, os s i s t e m a s são tão c o m p l i c a d o s que a solução do campo elétrico por meio a n a l 7 t i c o se t o r n a inviável e, como consequência, os métodos numéricos são mais f r e q u e n t e m e n t e

21

usados nas aplicações de a l t a - t e n s a o .

A d i s p o n i b i l i d a d e dos métodos numéricos é normalmente baseada nos c o n c e i t o s de diferenciação e integração. A solução da equação de L a p l a c e f o i c o n s e g u i d a através da técnica das d i f e renças f i n i t a s . Também se tem c o n s e g u i d o boa aproximação da so_ lução da equação de L a p l a c e usando a equação na forma i n t e g r a l e empregando c a r g a s d i s c r e t a s ou d i v i d i n d o a região onde se quer c a l c u l a r o campo em subseções de c a r g a s .

A técnica de simulação de c a r g a é baseada no c o n c e i t o de c a r g a s d i s c r e t a s e têm a vantagem de s e r aplicável a d i f e r e j i tes t i p o s de s i s t e m a s e x i s t e n t e s no d i a a d i a da alta-tensão.

3.1.2 - P r i n c i p i o Básico

0 método de simulação de c a r g a c o n s i s t e em se c o l o c a r um c e ^ t o número de c a r g a s fictícias f o r a da região onde se quer c a l c u l a r o campo. Normalmente e s t a região e o volume do condu^ t o r , p o i s a p a r t e e x t e r n a ao c o n d u t o r ê j u s t a m e n t e o l o c a l onde o campo elétrico deve s e r d e t e r m i n a d o . São usadas como c a r g a s fictícias c a r g a s p o n t u a i s , l i n h a s de c a r g a ou anéis de c a r g a . Os p o n t o s de c a r g a s s a t i s f a z e m a superfícies t e r m i n a d a s e s f e r i c a m e n t e . As l i n h a s de c a r g a s , f i n i t a s ou i n f i n i t a s , são usadas em coni figurações cilíndricas. Os anéis de c a r g a s s i m u l a m , em g e r a l , p e r f i s a x i a l m e n t e simétricos. Uma combinação adequadadessas três formas pode s e r f e i t a para s i m u l a r quase t o d a s as configurações

de e l e t r o d o . A f i g u r a 3.1 m o s t r a um t i p o de simulação empregain do apenas l i n h a s de c a r g a s .

A localização e x a t a dessas c a r g a s não e i m p o r t a n t e com relação a solução f i n a l . Contudo, e l a Õ responsável p e l o tempo d i s p e n d i d o na computação, bem como na precisão dos r e s u l t a d o s o]) t i d o s .

Os p o t e n c i a i s das c a r g a s são tomados como solução pa_r t i c u l a r da equação de L a p l a c e . A m a g n i t u d e d e l a s deve s e r t a l que, i n t e g r a d o seu e f e i t o , satisfaça as condições de c o n t o r n o nos p o n t o s s e l e c i o n a d o s da superfície do e l e t r o d o . A solução encori t r a d a serã então única d e n t r o d e s t e espaço, já que e l a s a t i s f a z t o d a s as condições acima c i t a d a s , ( e q . de L a p l a c e e condições de c o n t o r n o ) .

Para d e t e r m i n a r a m a g n i t u d e das c a r g a s fictícias, um i g u a l número de pontos de checagem no c o n t o r n o Õ e s c o l h i d o de f o r ma que o v a l o r do p o t e n c i a l em cada um desses p o n t o s , r e s u l t a n t e da superposição das c a r g a s , s e j a i g u a l ao p o t e n c i a l da superfície do c o n t o r n o , ou s e j a ,

S

P. . . Q. = 4>c • j = 1 , .. . ,n ( 3 . 1 ) •j = ] J 1 1 J onde ?.. são os c o e f i c i e n t e s do p o t e i c i a l a s s o c i a d o as c a r 3 • gas, Q.j são as c a r g a s fictícias, <J>c • e o p o t e n c i a l do c o n t o r n o .

23

Da aplicação d e s t a equação r e s u l t a um s i s t e m a de "n" e^ quações l i n e a r e s para as " n " c a r g a s fictícias. Esse s i s t e m a ê então r e s o l v i d o para se d e t e r m i n a r os v a l o r e s de Q...

Na forma m a t r i c i a l : {P} . {Q} = {<f>c}

onde

ÍQ} = { P } "1 . U c } ( 3 . 2 )

Tendo-se d e t e r m i n a d o a m a g n i t u d e das " n " c a r g a s , deve--se v e r i f i c a r se o c o n j u n t o s a t i s f a z as condições de c o n t o r n o do p r o b l e m a , c a l c u l a n d o com e l a s o p o t e n c i a l em cada um dos "n" pori t o s de chacagem l o c a d o s no c o n t o r n o . A diferença e n t r e os pote_n c i a i s c a l c u l a d o s e o p o t e n c i a l do c o n t o r n o i n d i c a a precisão do método de simulação. Com os p o t e n c i a i s c a l c u l a d o s e c h e c a d o s , po de-se então, caso a precisão dos r e s u l t a d o s s e j a satisfatória, c a l c u l a r o campo elétrico em q u a l q u e r ponto da região de i n t e r e s s e por superposição.

Devido ã n a t u r e z a d i s c r e t i z a d a do m é t o d o , ê necessário e s c o l h e r grande número de c a r g a s para o b t e r precisão satisfató-r i a nos satisfató-r e s u l t a d o s , o que t o satisfató-r n a indispensável o uso do computa^ dor para os cálculos. Também, m u i t o s dos problemas de c a l c u l o de campo envolvem s i s t e m a s de c o n d u t d r e p l a n o i n f i n i t o a t e r r a d o . Neste c a s o , para ".evar em c o n t a o e f e i t o da t e r r a i n t r o d u z - s e o p r i n c i p i o das imagens c o n j u n t a m e n t e com o método da simt£ lação.

25

3.2 - APLICAÇÕES DO MÉTODO

Embora e s t e s e j a um método r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s , e l e é aplicável a m u i t o s problemas de cálculo de campo elétrico envoJ_ vendo s i s t e m a s b i d i m e n s i o n a i s e t r i d i m e n s i o n a i s (sem s i m e t r i a a x i a l ) .

A l g u n s exemplos do uso d e s t e método, d e s e n v o l v i d o s por p e s q u i s a d o r e s ^ " ^ ) , serão m o s t r a d o s a s e g u i r .

3.2.1 - Sistemas B i d i m e n s i o n a i s

A e s c o l h a do uso de c a r g a s p o n t u a i s , 1inhãs de c a r g a ou anéis de carga v a i depender i n v a r i a v e l m e n t e da configuração geo métrica do s i s t e m a p e s q u i s a d o . Os d o i s p r i m e i r o s exemplos ilu£ tram o cálculo t a n t o para os c o e f i c i e n t e s do p o t e n c i a l a s s o c i a d o as c a n g a s , q u a n t o em relação ao cálculo do g r a d i e n t e para duas configurações d i s t i n t a s , sendo que, no p r i m e i r o , a simulação ê f e i t a usando apenas um t i p o de c a r g a e, no segundo, uma combina ção de d o i s desses t i p o s .

S i n g e r , S t e i n b i g l e r e W e i s s ^9) s i m u l a r a m o s i s t e m a da f i g . 3 . 1 , c o n s t a n d o de uma f a i x a c o n d u t o r a com bordas h e m i s f Ó H cas e um p l a n o a t e r r a d o . ' A q u i , apenas l i n h a s de c a r g a s de compH mento i n f i n i t o e p e r p e n d i c u l a r e s ao p l a n o x-y f o r a m usadas.

Os c o e f i c i e n t e s dos p o t e n c i a i s dessas l i n h a s foram cal_ c u l a d o s p e l a expressão:

1J 2 T T£

/ ( Y i + Y j ) 2 + ( X j - X j ) 2

/ ( y

i

- y

J

0

2

M x

i

^ T T

f

( 3 . 3 )

sendo e a p e r m i s s i v i d a d e do meio.

A expressão acima j a i n c l u i o e l e t r o d o imagem que subs t i t u i o p l a n o a t e r r a d o na simulação.

Com os v a l o r e s de P.. a s s i m d e t e r m i n a d o s e a p l i c a n d o a eq. 3.2, sendo <|>c i g u a l a 1.0 p.u., o b t i v e r a m - s e os v a l o r e s das l i n h a s de c a r g a p o r u n i d a d e de c o m p r i m e n t o X j , j a que e l a s eram de c o m p r i m e n t o i n f i n i t o .

Depois de checadas as condições de c o n t o r n o , as comprj n e n t e s x e y do campo elétrico foram c a l c u l a d a s p e l a s s e g u i n t e s relações: Ex 2ire x i • x j ( y i - y , ) 2 + ( x i - x ) 2 ( y i + y j ) 2 + ( x i - x j ) 2 ( 3 . 4 ) Ey 2TT£ ^ i -y j y • + y • (y-i - Y j ) 2 + ( x , - x j } 2 ( y i + y j ) 2 + ( x i - x j ) 2 ( 3 . 5 )

0 máximo v a l o r do campo elétrico o c o r r e u na e x t r e m i d a de da p o n t a hemisférica ( p o n t o A) e a intensificação do campo f l cava mais c r i t i c a ã medida que se aumentava a distância e n t r e o p l a n o e o c o n d u t o r .

2 7

ra 3.2. Este e um s i s t e m a composto de uma e s f e r a com h a s t e e i i T n d r i c a c o n t r a um p l a n o a t e r r a d o que f o i s i m u l a d o usando l i n h a s e anéis de c a r g a . A p a r t e cilíndrica f o i s u b s t i t u l d a por 1inhãs de carga f i n i t a s l o c a l i z a d a s ao l o n g o do e i x o de s i m e t r i a do coji d u t o r e a p a r t e esférica, por anéis de carga c e n t r a d o s no e i x o de

s i m e t r i a da e s f e r a . Para e s t e t i p o de configuração de simulação, os c o e f i c i e n t e s dos p o t e n c i a i s e as componentes do campo elêtri_ co foram c a l c u l a d o s p e l a s expressões: Anéis de Cargas 4ir£ _Tf K(k-, ) K ( k2) a- a. (3.6) n Er.: = E j = l 4TT£ i r r ^

( r f - r f

+

( z . - z . )

2

)

E ( k1) -

&\

• K ( k1) a-| . 3] E ( k2) - ez • K ( k2) a2 . B2 (3.7) n -Q. 4 í T £ Tf (Zj - z\) . E ( k-| ) ( Zi +Z j ) . E ( k2) an . B-] a2 B2 (3.8) onde <*! = / + r d ) 2 + ( z . - z . r / T i + r. ) 2 + ( Z . + z. ) 2

32 - / ( r ^ r j 2 + ( z i + z . ):

a]

2 . /FTTF:

ko = ^ -_a

2

sendo K ( k ) e E ( k ) i n t e g r a i s e l i p t i c a s da p r i m e i r a e segunda espê c i e s , r e s p e c t i v a m e n t e . L i n h a s de Carga 1J _{4 7 r e ( z}j 2 -Z j l ) Ln ÍZJ 2 "21 + Y1 1 > - ( Z J 1 " Z i + Y 2 i ) ( Z j l - z. + « „ • ) . ( z j 2 + Z i + 52 i ) ( 3 . 9 ) r i Z1 4 i r e ( z j 2 - Z j l ) z . 0 - z . Z . - z . z . -, + z . j 2 i _ j 1 i + j I i r

i :

Y

n

r

i '

ô

i i

r

i '

Y

2 i

Z

j2

+ Z

i

r

i •

6

2i

1 1 1 1 — + — Y l i 6 l i Y2 i «2i ( 3 . 1 0 ) ( 3 . 1 1 ) sendo »11 = 7 { r \ ^ ( z n - ^ Y 1

i

(

r

1 + <

2

J1 -

Z

1>

{

2

1 • / « r ^ í z j ^ z ^

29

de simulação em problemas práticos da alta-tensão e f o r n e c e m tam bem d e t a l h e s a r e s p e i t o da precisão do método, tempo de computa_ ção, a q u a n t i d a d e e t i p o de c a r g a s u s a d a s , bem como os r e s u 1 t a d o s o b t i d o s . A f i g . 3.3 e um exemplo de configuração composta de um gap esférico d e n t r o de uma g a i o l a a t e r r a d a . 0 método de simula^

( 9 )

çao f o i a p l i c a d o ^ ' para se d e t e r m i n a r a i n f l u e n c i a da g a i o l a no v a l o r do campo elétrico do gap e os cálculos f o r a m f e i t o s basea^ dos nas equações 3.6 ã 3 . 1 1 . Neste p r o b l e m a , 48 c a r g a s , e n t r e anéis e l i n h a s de c a r g a s , f o r a m usados para s i m u l a r as e s f e r a s e os c i l i n d r o s do gap e 16 anéis de c a r g a s , na simulação da g a i o l a a t e r r a d a . 0 tempo g a s t o na computação f i c o u em t o r n o dos 21 se gundos e, para um gap de 1 m e t r o , a t a b e l a 3.1 m o s t r a a variação do campo AE em função do espaçamento " d " da c e l a . Os v a l o r e s de AE estão r e l a c i o n a d o s com a i n t e n s i d a d e do campo máximo sem a g a i o l a para e s t e mesmo espaçamento. Este exemplo f o i também cal_ c u l a d o ^9) usando o método das diferenças f i n i t a s para f i n s de com paração. Notou-se que a precisão na i n t e n s i d a d e do campo e n t r e as e s f e r a s f o i menor que 1 % para ambos os m é t o d o s , porém a simu_ lação de c a r g a g a s t o u apenas 25% do tempo que o o u t r o método l e vou para f o r n e c e r os r e s u l t a d o s .

Abou-Seada e Na s s er *»1 0 '1 1 ', d o i s dos p i o n e i r o s no uso do método de simulação de c a r g a para cálculo do campo elétrico, u t i l i z a r a m - n o a f i m de s i m u l a r um s i s t e m a de l i n h a de transmi_s são gêmea u n i p o l a r , que se a p l i c a a l i n h a s de c o r r e n t e c o n t i n u a como se o p e r a d a s u s u a l m e n t e com r e t o r n o p e l a t e r r a - ( F i g . 3 . 4 ) .

-F I G : 3 . 3 Ç A P E S F É R I C O C E R C A D O P O R U M A C E L A A T E R R A D A . ( D I M E N S Õ E S E M I T U T I J

31

AE ( % ) 3.5 1.0 0.6 0

d ( m e t r o ) 10 20 30 00

T a b e l a 3.1 - Variação do campo elétrico do gap esfé r i c o da f i g u r a 3.3 em função da d i s t a r ^ c i a 'd' da c e l a que e n v o l v e o gap.

mente c o l o c a d a s sobre um c i l i n d r o fictício de r a i o Rc d e n t r o de cada s u b c o n d u t o r de r a i o R$. A s i m e t r i a d e t e r m i n a v a a l o c a l i z a ^ ção das c a r g a s c o r r e s p o n d e n t e s ao s u b c o n d u t o r I I do mesmo modo que f o i f e i t o para o s u b c o n d u t o r I . Para r e p r e s e n t a r o p o t e n c i a l z e r o da t e r r a , c a r g a s imagens de t o d a s a q u e l a s l i n h a s de c a r g a s f o r a m d i s p o s t a s do o u t r o l a d o do p l a n o t e r r a . Os cálculos f o r a m f e i t o s com os s e g u i n t e s v a l o r e s : R = 2.235 cm _s R = 0.5 . Re c s A = 41.25 cm H = 23.622 m A t a b e l a 3.2 c o n t e n d o os v a l o r e s do p o t e n c i a l nos pon-t o s de checagem no c o n pon-t o r n o dos c o n d u pon-t o r e s d e m o n s pon-t r a a precisão do método para e s t e exemplo, que f o i de 0.07%.

A d i s t r i b u i ção do p o t e n c i a l e do campo elétrico em to_r no dos c o n d u t o r e s é v i s t a nas f i g u r a s 3.5 e 3.6 r e s p e c t i v a m e n t e . 0 campo elétrico máximo a c o n t e c e u no t o p o dos c o n d u t o r e s a üm aji g u i o de 100.5 g r a u s , m o s t r a n d o assim o e f e i t o da t e r r a .

0 o b j e t i v o p r i n c i p a l no e s t u d o d e s t a configuração f o i i n v e s t i g a r , usando o método da simulação:

1. E f e i t o da t e r r a ,

2. Campo elétrico máximo para e f e i t o de iniciação de c q rona ,

Ângulo ( g r a u s ) P o t e n c i a l ( p . u . ) 0.0 1.000000 30. 0 1.000095 45.0 1.000730 60.0 1.000436 90.0 1 .000000 120.0 0.999563 135.0 0.999302 1 50.0 0.999560 180.0 1.000000 210.0 1.000422 225.0 1.000644 240.0 1.000386 270.0 1.000000 300. 0 0.999605 315.0 0.999326 330.0 0.999531 T a b e l a 3.2.- V a l o r do p o t e a c i a l através da simulação de c a r g a nos d i v e r s o s pontos do contor^ no para os c o n d u t o r e s da F i g . 3.4.

paçamento dos c o n d u t o r e s e a l t u r a com relação ã t e r ; r a .

Os a u t o r e s não f o r n e c e r a m dados a r e s p e i t o de tempo de computa_ ção para e s t e caso»

Nasser e I b r a h i m ^ ^ s i m u l a r a m o s i s t e m a da F i g . 3.7 com 12 l i n h a s de c a r g a em cada s u b c o n d u t o r p a r a , a p a r t i r d e l a s e do campo elétrico, v e r i f i c a r :

1. Capacitância p o r u n i d a d e de comprimento do c o n d u t o r , p e l a determinação da q u a n t i d a d e das c a r g a s p o r unj_ dade de tensão a p l i c a d a . Notou-se que a capacitân_ c i a aumenta c o n t i n u a m e n t e com a separação "A" e n t r e os c o n d u t o r e s de uma mesma f a s e .

2. Variação da c a p a c i t a n c i a com a d i s t a n c i a "S" e n t r e as f a s e s .

3. L o c a l e m a g n i t u d e do campo elétrico máximo na super f i c i e do c o n d u t o r para e s t u d o de c o r o n a .

4. Variação do 'campo elétrico máximo com o espaçamento "A" e n t r e os c o n d u t o r e s .

De maneira g e r a l , o método de simulação de c a r g a tem provado s e r b a s t a n t e e f i c i e n t e , quando se t r a t a de problemas do cálculo de campo elétrico em s i s t e m a s b i d i m e n s i o n a i s , em v i s t a de s e r s i m p l e s , f o r n e c e r r e s u l t a d o s com precisão b a s t a n t e a c e i t a v e l e de t e r um tempo de computação r e d u z i d o com r e i ação a o u t r o s métodos.

3 7

B/2 B/2

; 3.7 S I M U L A Ç Ã O D E UM S I S T E M A B I P O L A R C C . C O M J C O N D U T O R E S P O R

3.2.2 - Sistemas T r i d i m e n s i o n a i s sem S i m e t r i a A x i a l

0 método de simulação de c a r g a pode s e r a p l i c a d o com grande vantagem no cálculo do campo elétrico em s i s t e m a s t r i d i _ m e n s i o n a i s em s i m e t r i a a x i a l . Um exemplo s i m p l e s , c o n s i s t i n d o de um gap de e l e t r o d o s em bastão com e l e t r o d o de " g a t i l h o " Ó usa_ do para a p l i c a r o p r i n c i p i o de f u n c i o n a m e n t o para e s t e caso.

( F i g . 3 . 8 ) .

0 e i x o de s i m e t r i a o r i g i n a l do campo para os bastões d e s a p a r e c e em v i r t u d e da presença do e l e t r o d o de " g a t i l h o " .

Para u t i l i z a r o método, algumas modificações são f e i _ t a s . As c a r g a s f i c t T c i a s são f i x a d a s de meneira semelhante ãque_ l a adotada para a g e o m e t r i a com s i m e t r i a a x i a l . Os anéis de ca_r ga são c o l o c a d o s na p a r t e hemisférica dos bastões e na p a r t e cõ_ n i c a do e l e t r o d o . Estes anéis, c o n t u d o têm agora d e n s i d a d e de c a r g a variável em v i s t a da a s s i m e t r i a do p r o b l e m a . Na p a r t e c l i T n d r i c a são c o l o c a d a s l i n h a s de c a r g a s e m i - i n f i n i t a s em t o r n o do e i x o de s i m e t r i a de cada e l e t r o d o , cada qual com d e n s i d a d e de c a r ga d i f e r e n t e .

A distribuição de c a r g a nos anéis é i n i c i a l m e n t e des_ c o n h e c i d a . Por e s t a razão, e l a ê d i v i d i d a em uma p a r t e c o n s t a i i t e e uma variável, e s t a última constituída de harmônicas cosse n o i d a i s (ou s e n o i d a i s ) com v a l o r e s de p i c o Ap d e s c o n h e c i d o s . Esta distribuição Ô função do ângulo de rotação a do anel e é dada pe l a expressão.

39 nH

A(a) • Z X . cos (Ày) ( 3 . 1 2 ) u=0

onde

nH é a ordem de harmônicas,

A(a) e a d e n s i d a d e de c a r g a de cada a n e l

0 número t o t a l de p o n t o s na p a r t e esférica d e s t e coji t o r n o deve s e r i g u a l a

m . ( n H + 1) , onue

m é o número de anéis de c a r g a .

0 c o e f i c i e n t e do p o t e n c i a l de um a n e l de c a r g a perio_ d i c a m e n t e variável, d e v i d o ã y-êsima harmônica em q u a l q u e r pojn t o ( r , , z) do s i s t e m a de c o o r d e n a d a s cilíndricas, é (sem car;

g a s i m a g e n s ) : í D2 / * 7 P, = — • 0, U 2 ) ( - — )• c o s ( y ^ ) ) . — J ( 3 . 1 3 ) J 2-rre { v " i / £ ) 2 r r , /F~ onde ? ? ? 2 D = ( z - z , ) + r. + r J J

Q(y 1/2) ® 3 ^ u n Ç a o ^e L e9 e nd r e de 2- espécie de oj^ dem (y - 1/2)

r . e z. sao as c o o r d e n a d a s de cada a n e l de carga como J J

m o s t r a a F i g . 3.8.

De m a n e i r a s i m i l a r â d e s c r i t a para o caso b i d i m e n s i q n a l , um s i s t e m a de equações l i n e a r e s é e s t a b e l e c i d o e r e s o l v i d o para e n c o n t r a r os v a l o r e s de XY. ••.

A i n t e n s i d a d e das componentes do campo, o b t i d a s por dj_ ferenciação da função p o t e n c i a l com relação a r , i> e z, são:

,2 T y -Scf> ôr 2 l T £ cos (yifj) 1 2r 'y - 1/2 D ( ) + 2 r r • y + 1/2 9 ? . Zr. . ( 2 r ^ - D^) . D4 - 4 r 2r2 J

J

2 2 u " 1 / 2 2 r r . 2 r r . J J D2 V l / 2 ( — ) y U á 2 r r , ( 3 . 1 4 ) 2 T Í £

s . 1

/F

r 'y - 1/2 ( J L _ _ ) . s i n (y<|0 2 r r • ( 3 . 1 5 ) 'zy 5ò ôz X" / F : y + 1/2 _JL . - cos(yife) . — — • 4 rj. r ( z - Zj ) . 2ire / F _{D - 4 r ^ r} 4 2 2 « „ - 1 / 2 < — > - / - • « y i/í 2 r r 2 r r . ( ^ — ) ^ " 1 / 2 2 r r . ) ( 3 . 1 6 )

F I O ! 3 8 G A P B A S T Ã O - B A S T Ã O COM E L E T R O D O D E G A T I L H O .

F I O ! 3.9 T O R R E D E UMA LINHA T R I F Á S I C A D E 7 3 5 KV C O M 4 C O N D U T O R E S P O R F A S E .( D I M E N S Õ E S

ção Ó c a l c u l a d a p o r adição das p a r t e s das q u a i s se o r i g i n a r a m car gas c o n s t a n t e s e c a r g a s p e r i o d i c a m e n t e variáveis:

nH

A e f e t i v i d a d e do método para campos elétricos t r i d i m e i n s i o n a i s ê v e r i f i c a d a num exemplo p r a t i c o : a influência da t o r r e s o b r e o campo elétrico próximo aos c o n d u t o r e s c e n t r a i s de uma l i _ nha de transmissão aérea trifásica de 735 Kv e com 4 c o n d u t o r e s por f a s e e 2 f i o s t e r r a aéreos. A f i g u r a 3.9 m o s t r a as dimensões da t o r r e .

( 9 )

Para r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a , os a u t o r e s ^ ' i n t r o d u z i -ram algumas simplificações assumindo c o n t o r n o s cónicos p a r t i c u l a _ r e s que são v i s t o s na f i g u r a 3.9. 0 braço da t o r r e f o i a p r o x i mado p o r um c i l i n d r o . Essas simplificações f o r a m possíveis, por. que somente p e r t o dos c o n d u t o r e s c e n t r a i s e r a necessária uma boa precisão nos r e s u l t a d o s . Foram usadas ao t o d o 259 c a r g a s , 172de_ l a s para s i m u l a r os c o n d u t o r e s e os f i o s t e r r a aéreo, e 87 para a t o r r e . 0 tempo de computação f i c o u em t o r n o de 600 segundos (10 m i n ) e os cálculos m o s t r a r a m que a máxima i n t e n s i d a d e do cam po o c o r r e u nos c o n d u t o r e s s u p e r i o r e s do c o n j u n t o do meio no mo_ mento em que e s t a f a s e alcançava tensão máxima. Este v a l o r f o i em t o r n o de 8% mais a l t o p e r t o dos c o n d u t o r e s do que a uma dis_ tância de 20 m e t r o s da t o r r e . Neste p o n t o , pode-se n o t a r que o método de simulação de carga t o r n a - s e b a s t a n t e l e n t o , quando o

nH E y = 0 r y nH S y = 0

.4 3

s i s t e m a a s e r s i m u l a d o aumenta em c o m p l e x i d a d e . I s t o Ô d e v i d o ao f a t o de o numero de c a r g a s fictícias t e r aumentado s i g n i f i c a t i v a m e n t e na simulação.

A seção s e g u i n t e a p r e s e n t a uma técnica de otimização u sada na simulação de c a r g a que, e n t r e o u t r a s c o i s a s , reduz o tem po de computação na m a i o r i a dos casos.

3.3.- OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE CARGA

Esta técnica de otimização f o i p r o p o s t a p o r Y i a l i z i s ( 1 5 ) .

3.3.1 - Limitação do Método

0 m a i o r problema no uso d e s t e método para cálculo do campo elétrico Ô o de e n c o n t r a r as posições das c a r g a s fictícias ( r - , z . j ) , bem como as posições dos p o n t o s de checagem no c o n t o r

no ( r r z . ) . .

0 s i s t e m a da f i g u r a 3.10.a f o i s i m u l a d o por Abou-Seada e N a s s e r '1 0^ , usando um p o n t o de carga na p a r t e esférica e nove l i n h a s s e m i - i n f i n i t a s de c a r g a na p a r t e cilíndrica. A m e l h o r so lução e n c o n t r a d a , d e p o i s de várias t e n t a t i v a s com esse c o n j u n t o de c a r g a s em posições d i f e r e n t e s , r e s u l t o u numa superfície equi_ p o t e n c i a l com um e r r o de -3% na vizinhança da ponta esférica. Es. t e e r r o , c o n t u d o , aumentou s u b s t a n c i a l m e n t e para v a l o r e s de G/R

v=v. t N _ PONTA OE CARGA G ANÉIS OE CARGA LINHA DE CARGA — P O N T O S NO CONTORNO V=V2 v=o v=o

45 menores que 50, onde

G e r a o c o m p r i m e n t o do gap,

R r a i o da p a r t e hemisférica do c o n d u t o r .

A solução para a distribuição de campo n e s t e exemplo F i g . ( 3 . 1 0 . b ) f o i c o n s e g u i d a usando anéis de carga e 5 l i n h a s de c a r g a s e m i - i n f i n i t a s . Os r e s u l t a d o s i n d i c a r a m que uma quantida_ de considerável de tempo f o i g a s t a para e n c o n t r a r uma boa combi na_ ção de p o n t o s ( r . , z . ) e ( r . , z . ) d e m a n e i r a a p r o d u z i r uma s u p e r f l c i e u n i f o r m e m e n t e e q u i p o t e n c i a l . A d i f i c u l d a d e aumentou quando se t e n t o u ^ r e s o l v e r distribuições de campo em g e o m e t r i a s mais complji_ c a d a s , c o m o n o caso d a q u e l a s sem s i m e t r i a a x i a l . Contudo, a técnica de s i m u l ação de c a r g a tem uma p r o p r i e d a d e mui t o v a i i o s a que é:

- Dadas as posições e-os v a l o r e s característicos da dis_ tribuição de c a r g a numa g e o m e t r i a d e t e r m i n a d a , o campo elétrico em qual q u e r p o n t o pode s e r c a l c u l a d o a n a l i t i c a m e n t e por superposição. V a l e n d o - s e d i s t o , s u r g i u u m m é t o d o d e o t i m i z a ç ã o p a r a a s i mu l a ção de c a r g a a f i m de d e t e r m i n a r v a l o r e s Ótimos para as posições das c a r g a s fictícias e suas r e s p e c t i v a s m a g n i t u d e s . I s t o r e d u z i r i a a complexi_ dade com a qual o s i s t e m a f o i modelado, m e l h o r a r i a a precisão dos r e s u l t a d o s e também o tempo de computação.

3.3.2 - Técnicas de Otimização

o b j e t i v o . I s t o u s u a l m e n t e v a r i a com a n a t u r e z a do p r o b l e m a . A função o b j e t i v o usada a q u i é o somatório do e r r o quadrático e tem a f o r m a : m p U = E (V - <b.(r, z ) T ( 3 . 1 8 ) j = l 3 ou U = / (V - é.(r, z ) ) 2 . ds ( 3 . 1 9 ) s J onde V e o v a l o r do p o t e n c i a l na posição física do c o n t o r n o , <)>.(r, z) e o v a l o r do p o t e n c i a l s i m u l a d o , 3 S e a s u p e r f c i e do c o n d u t o r .

As variáveis de otimização que p r i m a r i a m e n t e são as po_ sições das c a r g a s e seus r e s p e c t i v o s v a l o r e s , devem e s t a r s u j e j _ t a s a algumas restrições que v a r i a m de um problema para o u t r o .

A consideração f i n a l e a e s c o l h a de uma técnica ou aí g o r i t i m o de otimização capaz de manusear funções o b j e t i v o s não l i _ neares de a l t a ordem e também que são d e s c r i t a s por funções l i _ neares ou não l i n e a r e s de 'N' variáveis. Alem d i s t o , o a l g o r T U mo de otimização deve s e r t a l que* s e j a possível mudar as r e s t r i _ ções e a função o o j e t i v o sem m o d i f i c a r o a l g o r T t i m o . A técnica usada p o r Y i a l i z i s para a otimização f o i o Método de Rosembrock, uma das p r i m e i r a s e mais confiáveis, porém com r e l a t i v a m e n t e 1 en_ ta razão de convergência.

47

3.3.3 - Exemplo de Solução

Na demonstração do p r i n c i p i o de otimização, f o i simula_ do o s i s t e m a da F i g . 3.10.a para propósito de comparação com o me todo de simulação c o n v e n c i o n a l . Neste caso f o r a m c o n s i d e r a d a s n o ve l i n h a s de c a r g a para a p a r t e cilíndrica, mais uma c a r g a punti_ forme no c e n t r o do hemisfério, e r e s p e c t i v a s imagens em relação ao p l a n o de t e r r a . .

A expressão analítica para o p o t e n c i a l <j>(r, z) então é dada por <J>(r, z) : 9 z, + z E Q. . Ln ( - 1 1 = 1 1 + Ar2 + ( zi + z ) ). z. - Z + (z. -*z)2) '10 1

tf*

_{(z 10} z) / r2 + ( z 1 0 + z ) 2 ( 3 . 2 0 ) m U = E (V - * . ( r , z ) ) j = l J onde V é f e i t o i g u a l ã u n i d a d e , m = 65, c o r r e s p o n d e n t e a 15 pontos na p a r t e esférica do c o n t o r n o e 50 na p a r t e cilíndrica e n t r e (G + R) e (G + R + 50) .

0 problema f o i r e s o l v i d o para duas restrições a r b i t r a r i a m e n t e e s c o l h i d a s . A p r i m e i r a r e s t r i n g i u as posições das 9 l j _

nhãs de c a r g a e n t r e (6 + R) e (G + R + 2 5 0 ) . A segunda r e s t r i n g i u as mesmas e n t r e (G + R) e (G + R + 5 0 ) . As restrições são v i s t a s nas t a b e l a s 3.3 e 3.4 r e s p e c t i v a m e n t e . Nas t a b e l a s , A Ó um grande número n e g a t i v o e B ê um g r a n d e número p o s i t i v o .

Os r e s u l t a d o s da otimização foram o b t i d o s para d o i s com p r i m e n t o s de gap d i f e r e n t e s e as posições ( r ^ , z - ) das 10 cargas são v i s t a s nas t a b e l a s 3.5 e 3.6 e q u i v a l e n t e s , respectivamente,ãs restrições das t a b e l a s 3.3 e 3.4.

Os erros no p o t e n c i a l d e v i d o as c a r g a s fictícias otimiza, das na Tabela 3.5 para a pa; t e s e m i - e s f e r i c a e cilíndrica e para os gaps de 200 e 10 são m o s t r a d o s nas F i g s . 3.11 e 3.12, r e s p e c t ^ vãmente.

Da mesma f o r m a , o e r r o do p o t e n c i a l para e s t a s mesmas p a r t e s d e v i d o ãs c a r g a s o t i m i z a d a s da Tabela 3.6 para ambos os gaps usados estão nas f i g u r a s 3.13 e 3.14 r e s p e c t i v a m e n t e .

0 e r r o na p o n t a semi-esférica q u e . a n t e s e r a em t o r n o de ± 3 % , quando do uso do método c o n v e n c i o n a l , f i c o u agora em t o r no de ±0.2% d e m o n s t r a n d o assim a m e l h o r i a considerável do método de simulação c o n v e n c i o n a l , quando a otimização e i n t r o d u z i d a .

3.3.4 - Extensão da Técnica de Otimização para Sistemas sem S i m e t r i a A x i a l

49 (0,Z, ) = G + R G + R < ( 0 , z2) < G + R + 1 .5 G+R < ( 0 , z3) < G + R + 1 . 5 G + R < ( 0 , z4 ) < G + R + 1.5 G + R < ( 0 , z5^ < G + R + 1.5 G + R + 5 < (O.Zg) < G + R + 10 G + R.+ 1 5 < ( 0 , z7 ) < G + R + 35 G + R + 80 < ( 0 , z8) < G + R + 100 G+ R + 2 0 0 < ( 0 , Z j ) < G + R + 2 5 0 ( 0 , z1 Q) = G + R A < Q . < B i = 1 , ,10

Tabela 3.3 Região do e i x o de s i m e t r i a da F i g . 3.10.a onde as c a r g a s fictícias a serem minimiza_ das devem f i c a r l o c a l i z a d a s no f i n a l da o_ timização, para a restrição G + R + 250.

( 0 , z1 ) = G + R G + R < ( 0 , z2) < G + R + 48 G + R < ( O . Z j ) G + R + 48 G + R < ( 0 , z4) < G + R + 48 G + R < ( 0 , z5) ^ < G + R + 48 G + R < ( 0 , z6) < G + R + 48 G + R < ( 0 , z7) < G + R + 48 G + R < ( 0 , z8) < G + R + 48 G + R < ( 0 , z9) < G + R + 48 ( 0 , z1 0) = G + R A < Q. < B i = 1 , . . . , 10

Tabela 3.4 - Região do e i x o de s i m e t r i a da F i g . 3.10.a onde 'as c a r g a s fictícias a serem minimiza_ das devem f i c a r l o c a l i z a d a s no f i n a l da o timização, para a restrição G + R + 50.

51 1 i G = 200 G = 10 1 201.00 11.00 ' 2 201.11 11.10 3 201 .19 11.15 4 201.55 11 .57 5 202.16 12.18 6 210.97 20.20 7 228.94 41 .60 8 295.06 110.99 9 410.80 238.59 10 201.00 1 1 .00 T a b e l a 3.5.- Posições f i n a i s o t i m i z a d a s das c a r g a s fictícias da F i g . 3.10.a para a r e s t H ção G + R + 250.

F I 6 3.11 E R R O N O P O T E N C I A I . DEVIDO A S C A R O \ S F I C T Í C I A S O T I M I Z A D A S D A T A B E L A 3 . 5 N O T R E C H O H E M I S F É R I C O D A F I S . 3 . 1 0 £ 3.0 O 2 . 0 QC CE LU 10 0 0 - 1.0. 2JD 3 0 2JD -0 • 3.0- 2.0-1.0 0 . 0 - 1.0 2 . 0 -- 3 . 0 -1 10 R 2 0 R 3 0 R I 4 0 R F 1 G 3. 12 E R R O N O P O T E N C I A L D E V I D O A S C A R G A S F I C T Í C I A S O T I M I Z A D A S D A T A B E L A 3 . 3 N O T R E C H O C I L Í N D R I C O D A F I G 3 . 1 0

i G = 200 G = 10 1 201.00 11 .00 2 201 .11 11 .00 3 201.15 11.11 4 201 .18 11 .38 5 201.35 11 .49 6 201.45 12.22 7 202.03 23.25 8 212.29 46.30 9 231 .12 58.81 10 201.00 11 .00 T a b e l a 3.6 - Posições f i n a i s o t i m i z a d a s das c a r g a s fictícias da F i g . 3.10.a para a res_ trição G + R + 50.

tf-LU 0.1 0 . 0 -- 0.1 • 0 . 2 G = 10 R = I r = S E N ( 6 ) Z = G + R - C O S O ) — I — * /4 —1— * / 2 C > 3.0 F I G . 3 . 1 3 E R R O N O P O T E N C I A L D t V I D O A S C A R G A S F I C T Í C I A S O T I M I Z A D A D A T A 8 E L A 3 . 6 N O T R E C H O H E M I S F É R I C O D A F I G . 3 . 1 0 2 . 0 O CE CE LU LO 0.0 - 1 . 0 - 2.0 - 3.0 0 3.0 \o 10 0 . 0 - 1.0 - 2 . 0 - 3 . 0 G = 2 0 0 — I 10 R 2 0 R 3 0 R 4 0 R F I G 3 . 1 4 E R R O H O P O T E N C I A L D I V E D O A S C A R G A S F I C T Í C I A S O T I M I Z A D A D A T A B E L A 3 . 6 N O T R E C H O C I L Í N D R I C O O A F I G 3 . 1 0