Modelagem e controle de sistemas fuzzy Takagi-Sugeno

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

Departamento de Engenharia El

etrica

MODELAGEM E CONTROLE DE SISTEMAS

FUZZY TAKAGI-SUGENO

TeseapresentadaaFaculdadede Engenhariade IlhaSolteirada UniversidadeEstadual Paulista

-UNESP,como parte dosrequisitosexigidospara aobtenc~ao dottulode DoutoremEngenharia

Eletrica.

por

Erica Regina Marani Daruichi Machado

Mestre em EngenhariaEletrica |FEIS/UNESP

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira FEIS/UNESP

Co-Orientador: Prof. Dr. Edvaldo Assunc~ao FEIS/UNESP

Banca Examinadora

Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira FEIS/UNESP

Prof. Dr. Pedro Luis Dias Peres FEEC/UNICAMP

Prof. Dr. Wagner Caradori do Amaral FEEC/UNICAMP

Prof. Dr. Jose Paulo Fernandes Garcia FEIS/UNESP

Agradecoa Deus,fontede tudo.

Ao meu marido, amigo e companheiro, Eduardo, pelo apoio em todos os momentos.

Aosmeus sobrinhos Kauana eLuis, queaolongo desta jornada tornaram-se nossos\lhos"

e pela fonte de alegria que s~ao e aos meus pais e irm~as por tudo que eles representam e

representaram para mim.

Ao Prof. Marcelo, pela orientac~ao e pelos ensinamentos humanos e cientcos, e sua

esposa, Vera, pela paci^encia e compreens~ao desprendida durante todos estes anos. E a

ambospelaatenc~aoe conselhos pessoaisdados nos momentosdifceis.

SougratatambemaoProf. EdvaldoAssunc~aopelaco-orientac~ao,apoioepelosconselhos

muito valiosos.



A Prof. Neusa, pelaamizade eapoio.

Ao tecnico Deoclecio, por sua invariavel disposic~ao e boa vontade em auxiliar-me, as

pessoas queduranteesses anos trabalharamcomigoe aos demais colegas,professores e

fun-cionarios, cujos nomes n~ao citarei, pelo motivo ja consagrado do possvel esquecimento de

alguns,e todos que direta ouindiretamente, conscienteou inconscientemente, contriburam

para a concretizac~ao deste trabalho, sintam-se contemplados pelos meus sinceros

Este trabalhoaborda o problema de modelageme controle de uma classe de sistemas n~

ao-linearesatraves dos modelos fuzzyTakagi-Sugeno (TS).

Primeiramentes~ao apresentados dois metodos de modelagemexistentes naliteratura. O

primeiroe ummetodode modelagemexata eosegundo, baseado emmodelos locaisotimos,

eutilizadoem todos os desenvolvimentos desta tese.

A seguir e proposto um novo metodo para se obter os modelos locais, baseado em

De-sigualdades Matriciais Lineares (LMIs-Linear Matrix Inequalities), utilizando os modelos

locais otimos com novos graus de liberdade eque permitemuma melhor aproximac~ao local

dosistema.

Novas func~oes de pertin^encia, que servem para combinar os modelos locais, s~aoobtidas

apartir da soluc~aode um problema de otimizac~ao(um dos metodos para obter a soluc~aoe

baseado em LMIs), que tem como objetivo minimizar a norma Euclidiana do erro entre o

modelo Takagi-Sugeno ea planta.

Um algoritmo para determinar quantos e quais modelos locais devem ser utilizados na

aproximac~ao, considerando o maximo erro de modelagem permitido, e desenvolvido. Este

algoritmotemcomopar^ametrooerrodemodelagem. Umexemploilustrativodestealgoritmo

eapresentado.

Utilizando a modelagem proposta foram desenvolvidos dois novos metodos de projetos

dereguladores fuzzy, baseadosemLMIs, queconsideramoerro de modelagem. Noprimeiro

projeto e utilizado um conjunto de pontos na regi~ao de operac~ao considerando somente as

componentes dovetor de estado quefazem partedas n~ao-linearidadesdosistema eos erros

de aproximac~aodasfunc~oes nestes pontos. Nosegundo projetoeutilizadaamaximanorma

Euclidiana do erro obtido no ponto onde a aproximac~ao e mais deciente. Estes metodos

permitema construc~ao de modelosfuzzy Takagi-Sugeno, emtermos donumero de modelos

locais, quando comparadoscom osmetodos descritos na literatura.

Astecnicasde projetopropostastambempermitemaespecicac~aodotransitorioatraves

O projeto e a simulac~aodo controle de um p^endulo invertido ilustramos metodos

estu-dados. 

Eapresentadaumacomparac~aoentre osmetodosde modelagemecontrolepropostos

eometododeaproximac~aoexata, nosquaisosmetodosdesenvolvidos apresentaram

This work considers the problemof modeling and designing of a class of nonlinear systems

represented by Takagi-Sugeno(TS) fuzzy models.

Initially, two methods of modeling described in the literature are presented. The rst

one, is a method of exact modeling and the second one, based on optimal local models, is

utilizedin alldevelopment inthis thesis.

Anewmethod,basedonLMIs(LinearMatrixInequalities),toobtainbetterlocalmodels

using new degrees of freedom is proposed.

Newmembershipfunctions,thatcombinethelocalmodels,areobtainedstartingfroman

optimizationproblem (one method is based on LMIs), that has as the end to minimizethe

Euclidiannorm of the error between the Takagi-Sugeno fuzzy models and the plant model.

An algorithm to nd the number of local models, their operation points and matrices,

consideringthe maximummodelingerrosallowed, ispresented. This algorithmhas as

para-meterthe modelingerror and it isillustrated by anexample.

Takingintoaccounttheproposedmodelingmethods, twonewmethodsoffuzzyregulator

designsbased on LMIs were proposed, considering the modelingerrors.

In the rst design a set of points inthe region of operation is used considering only the

components of the state vector that compound the non-linearities of the system and the

modelingerror in these points.

The seconddesign method used the largestvalue ofthe Euclidiannorm ofthe modeling

error. These methods allow the construction of reduced TS fuzzy models, in terms of the

number of local models, when compared with the methods described in the literature. The

specication of the decay rate, constraints on control input and output are also described

by LMIs.

Thedesignandsimulationsofthenewcontrollawsforaninvertedpendulumillustratethe

studiedmethods. A comparison between the new design methods and the method of exact

modeling showed that the proposed methods allowed simpler controllers and, in general,

1 Introduc~ao 1

1.1 Sistemas Fuzzy: Breve Historico . . . 6

1.2 Organizac~aoe Contribuic~oes . . . 7

2 Sistemas Fuzzy e Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno 10 2.1 Introduc~ao . . . 10

2.1.1 SistemasFuzzy . . . 10

2.1.2 Func~oes de Pertin^encia Tradicionais . . . 12

2.1.3 Metodos de Infer^encia . . . 14

2.1.4 Fuzzicadores . . . 14

2.1.5 Defuzzicadores . . . 15

2.1.6 Modelos Lingusticos . . . 15

2.2 Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno . . . 17

2.3 Modelos Homog^eneos x Modelos Ans . . . 19

2.4 Representac~aode SistemasFuzzy Takagi-Sugeno . . . 20

2.5 Interpretac~ao de SistemasFuzzy Takagi-Sugeno . . . 22

2.5.1 Aproximac~oes Locais Ans . . . 23

2.5.2 Variaveis Premissas . . . 23

2.5.3 Func~aode Pertin^encia para SistemasFuzzy Takagi-Sugeno . . . 24

2.6 Compilac~aoBibliograca . . . 25

2.7 Discuss~oes Complementares . . . 31

2.8 Contribuic~oes . . . 31

3 Modelos Locais Fuzzy 32 3.1 Introduc~ao . . . 32

3.2 Forma Generalizada doSistema Fuzzy Takagi-Sugeno . . . 33

3.3 Modelos Locais Lineares  Otimos . . . 38

SUMARIO viii

3.4 Obtenc~aode Modelos Locais Quando o Ponto de Equilbrio N~aoe a Origem 43

3.4.1 Simetriados Pontos de Operac~ao . . . 47

3.5 Construc~aode Modelos Locais com Novo Grau de Liberdade . . . 48

3.5.1 Soluc~aopor LMIs . . . 52

3.6 Discuss~oes Complementares . . . 58

3.7 Contribuic~oes e Perspectivas . . . 59

4 Modelagem e Func~oes de Pertin^encia 60 4.1 Introduc~ao . . . 60

4.2 Forma Generalizada doSistema Fuzzy Takagi-Sugeno . . . 61

4.2.1 Reduc~ao de Regras . . . 64

4.3 Func~oes de Pertin^encia Otimizadas . . . 73

4.3.1 Simetriadas Func~oes de Pertin^encia. . . 75

4.3.2 Soluc~aoAnaltica . . . 75

4.3.3 Soluc~aopor LMIs . . . 92

4.4 Erro de Modelagem . . . 99

4.4.1 Erro de Modelagempara aAproximac~aoOtimizada . . . 99

4.5 Numerode Modelos Locais . . . 100

4.6 Algoritmo de Aproximac~ao . . . 100

4.7 Discuss~oes Complementares . . . 119

4.8 Contribuic~oes e Perspectivas . . . 120

5 Projeto de Reguladores com Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno 121 5.1 Introduc~ao . . . 121

5.2  Indices de Desempenho para Reguladores Fuzzy . . . 122

5.2.1 Condic~oes para aEstabilidade . . . 122

5.2.2 Taxade Decaimento . . . 124

5.2.3 Restric~aonaEntrada . . . 125

5.2.4 Restric~aonaSada . . . 125

5.3 Projeto de Reguladores com aFormaGeneralizada . . . 125

5.4 Projeto de Reguladores para Modelos Locais  Otimos . . . 135

5.4.1 Projeto 1 . . . 135

5.4.2 Projeto 2 . . . 144

SUMARIO ix

6 Conclus~oes 158

6.1 Perspectivas para TrabalhosFuturos . . . 161

A Construindo o Modelo de Simulac~ao 163

B Construindo o Modelo de Projeto 167

C Propriedades Matematicas 170

D Complemento de Schur 171

2.1 Congurac~ao basica dos sistemasfuzzy puros. . . 11

2.2 Congurac~ao basica dos sistemasfuzzy com fuzzicador e defuzzicador. . . 11

2.3 Congurac~ao basica dos sistemasfuzzy TS. . . 12

2.4 Func~aode pertin^encia triangular. . . 13

2.5 Func~aode pertin^encia trapezoidal. . . 13

2.6 Func~aode pertin^encia emformade sino. . . 14

2.7 Exemplos de aproximac~ao com modelo TS (a) am e (b) homog^eneo: f(x)  e a func~ao dosistema de simulac~ao;f f (x)e a func~ao de aproximac~ao obtida com modelos fuzzy e m 1 e m 2 s~ao aproximac~oes lineares em (b). Em (a) m 2  e a aproximac~aoam. . . 20

2.8 Ilustrac~ao da aproximac~ao da func~ao do modelo de simulac~ao pela func~ao obtida por modelos fuzzyTS. . . 25

3.1 Conjuntode pontos simetricos emrelac~aoa origem. . . 47

3.2 Sistema n~ao-linear com novograu de liberdade. . . 48

3.3 Exemplo deaproximac~aocommodeloTS com: (a)modelolocalotimoobtido com (3.45), dado por (3.49); (b) modelo com novo grau de liberdade dado por (3.109). f 2 (x 1 ) representa a func~ao do sistema; f f (x 1 ) e a aproximac~ao fuzzy destafunc~ao;f h2 (x 1 )e afunc~aon~ao-linearcom novograu de liberdade; f fh (x 1 ) e aaproximac~aofuzzydesta func~ao. . . 56

3.4 Func~oes de pertin^encia adequadas para a aproximac~ao. . . 56

3.5 Func~oes de pertin^encia inadequadas para aaproximac~ao. . . 57

3.6 Exemplo deaproximac~aocommodeloTS com: (a)modelolocalotimoobtido com (3.45),dado por(3.49);(b) modelocomnovograude liberdadedado por (3.109)efunc~oes de pertin^enciadadas em(3.111). f 2 (x 1 )representaafunc~ao do sistema; f f (x 1 ) e a aproximac~ao fuzzy desta func~ao; f h2 (x 1 ) e a func~ao n~ao-linear com novo grau de liberdade; f fh (x 1 ) e a aproximac~ao fuzzy desta func~ao. . . 57

4.1 Func~oes de pertin^encia do metodode representac~ao exata com dezesseis

mo-delos locais para ointervalo 60=180x

1

60=180rad. . . 65

4.2 Aproximac~ao fuzzy: aproximac~ao exata com dezesseis modelos locais para

o intervalo 60=180  x

1

 60=180  rad; (-) curvas do modelo de

simulac~ao,(+) aproximac~oes com modelosfuzzy. . . 65

4.3 Aproximac~aofuzzy: aproximac~aocom reduc~ao dotermo A(2;1) parao

inter-valo 60=180  x

1

 60=180  rad; (-) curvas do modelo de simulac~ao,

(+) aproximac~oes com modelos fuzzy. . . 68

4.4 Aproximac~aofuzzy: aproximac~aocom reduc~aodotermoA(4;1)para o

inter-valo 60=180  x

1

 60=180  rad; (-) curvas do modelo de simulac~ao,

(+) aproximac~oes com modelos fuzzy. . . 70

4.5 Aproximac~aofuzzy: aproximac~aocom reduc~ao dotermo B(2;1)para o

inter-valo 60=180  x

1

 60=180  rad; (-) curvas do modelo de simulac~ao,

(+) aproximac~oes com modelos fuzzy. . . 72

4.6 Aproximac~aofuzzy: aproximac~aocom reduc~ao dotermo B(4;1)para o

inter-valo 60=180  x

1

 60=180  rad; (-) curvas do modelo de simulac~ao,

(+) aproximac~oes com modelos fuzzy. . . 73

4.7 Func~oes de pertin^encia simetricas emrelac~ao aorigem. . . 75

4.8 Func~oes de pertin^encia: soluc~aoanaltica direta para tr^esmodelos locais. . . 81

4.9 Func~oesde pertin^encia: soluc~aoanalticaparcialparaointervalo0x

f p

2

com dois modelos locais. . . 82

4.10 Func~oes de pertin^encia: soluc~ao analtica parcial para o intervalo p

2 x f  p 3

, com dois modelos locais. . . 83

4.11 Func~oesde pertin^encia resultantesde soluc~oes parciaisparatr^esmodeloslocais. 83

4.12 Func~oes de pertin^encia: soluc~ao analtica para o intervalo 60=180 x

1 

60=180rad, com dois modelos locais. . . 85

4.13 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoanalticacomdoismodeloslocaisparaointervalo

60=180  x

1

 60=180 rad. (-) curvas do modelo de simulac~ao; (+)

aproximac~oes com modelos fuzzy, () representa os modeloslocais . . . 86

4.14 Func~oes de pertin^encia: soluc~aoanalticapara ointervalo 106=180 x

1 

106=180rad, com dois modelos locais. . . 88

4.15 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoanalticacomdoismodeloslocaisparaointervalo

106=180  x

1

4.16 Func~oes de pertin^encia: soluc~aoanalticapara ointervalo 106=180 x

1 

106=180rad, com tr^esmodelos locais. . . 90

4.17 Func~oes de pertin^encia para o intervalo 70=180 x

1

 70=180 rad com

dois modeloslocais. . . 91

4.18 Func~oes de pertin^encia: soluc~ao analtica para os intervalos 106=180 

x

1

 70=180 rad e 70=180x

1

106=180rad com dois modelos locais. 91

4.19 Func~oes de pertin^encia para o intervalo 106=180  x

1

 106=180 rad

com tr^es modelos locais: x

1 =0rad, x 1 =70=180rad e x 1 =106=180rad. 91

4.20 Aproximac~ao fuzzy: soluc~ao analtica parcial com tr^es modelos locais para o

intervalo 106=180  x

1

 106=180 rad. (-) curvas do modelo de

simu-lac~ao,(+) aproximac~oes com modelos fuzzy, () representa os modeloslocais. 92

4.21 Func~oesdepertin^enciaobtidaspormeiodasoluc~aodeLMIsparaosintervalos

60=180 x

1

60=180rad, com dois modeloslocais. . . 95

4.22 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoporLMIscomdoismodeloslocaisparaointervalo

60=180  x

1

 60=180 rad. (-) curvas do modelo de simulac~ao, (+)

aproximac~oes com modelos fuzzy, () representa os modeloslocais. . . 95

4.23 Func~oesdepertin^encia: soluc~aoporLMIsparaointervalo 106=180 x

1 

106=180rad, com dois modelos locais. . . 96

4.24 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoporLMIscomdoismodeloslocaisparaointervalo

106=180  x

1

 106=180 rad. (-) curvas do modelo de simulac~ao, (+)

aproximac~oes com modelos fuzzy, () representa os modeloslocais . . . 97

4.25 Func~oesdepertin^encia: soluc~aoporLMIsparaointervalo 106=180 x

1 

106=180rad, com tr^esmodelos locais. . . 97

4.26 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoporLMIscomtr^esmodeloslocaisparaointervalo

106=180  x

1

 106=180 rad; (-) curvas do modelo de simulac~ao, (+)

aproximac~oes com modelos fuzzy, () representa os modeloslocais. . . 98

4.27 Algoritmode aproximac~ao: modeloslocaisnos extremos daregi~aode operac~ao.102

4.28 Algoritmo: exemplo de func~oes de pertin^encia 

1 (x f ) e  2 (x f ) obtidos entre

os dois pontos extremos p

1 e p

2

com dois modelos locais. . . 103

4.29 Algoritmo: aproximac~aofuzzypara modeloslocais nos extremosdaregi~aode

operac~ao. . . 103

4.30 Algoritmo: erro de modelagempara dois modeloslocais. . . 104

4.31 Algoritmo: modelo local no ponto p

3

aproxi-4.32 Algoritmo: redenindotr^es modeloslocais. . . 104

4.33 Algoritmo: func~oesdepertin^enciaobtidaspormeiodeLMIsparatr^esmodelos locais. . . 105

4.34 Algoritmo: func~oes de pertin^encia obtidas de forma analtica entre a origem e o pontop 2 onde ocorreu o maiorerro de aproximac~ao. . . 105

4.35 Algoritmo: func~oes de pertin^enciaobtidade formaanalticaentre opontop 2 , onde ocorreuomaiorerro de aproximac~aoeopontop 3 , extremodaregi~aode operac~ao. . . 106

4.36 Algoritmo: aproximac~aofuzzy com tr^esmodelos locais. . . 106

4.37 Algoritmo: denic~ao doquarto modelo local. . . 107

4.38 Algoritmo: func~oes de pertin^enciapara quatro modelos locais. . . 107

4.39 Func~oes de pertin^encia: soluc~ao porLMIs para o intervalo x 1  rad, com dois modelos locais. . . 108

4.40 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoporLMIscomdoismodeloslocaisparaointervalo  x 1  rad;(-)curvasdomodelo de simulac~ao,(+)aproximac~oescom modelosfuzzy, ()representa osmodelos locais . . . 109

4.41 Erro de modelagem: soluc~ao por LMIs para o intervalo   x 1   rad, com dois modelos locais. . . 110

4.42 Func~oes de pertin^encia: soluc~ao porLMIs para o intervalo x 1  rad, com tr^es modelos locais. . . 110

4.43 Aproximac~aofuzzy: soluc~aoporLMIscomtr^esmodeloslocaisparaointervalo  x 1 rad. (-)curvasdomodelode simulac~ao, (+) aproximac~oes com modelosfuzzy, ()representa osmodelos locais . . . 111

4.44 Aproximac~aofuzzy dacurva f 2 (x 1 ): soluc~ao porLMIs para o intervalo  x 1   rad. (-) curvas do modelo de simulac~ao, (+) aproximac~oes com modelosfuzzy, ()representa osmodelos locais. . . 112

4.45 Aproximac~aofuzzy dacurva f 4 (x 1 ): soluc~ao porLMIs para o intervalo  x 1   rad. (-) curvas do modelo de simulac~ao, (+) aproximac~oes com modelosfuzzy, ()representa osmodelos locais. . . 113

4.46 Aproximac~aofuzzy dacurva g

2 (x

1

): soluc~ao porLMIs para o intervalo 

x

1

4.47 Aproximac~aofuzzy dacurva g

4 (x

1

): soluc~ao porLMIs para o intervalo 

x

1

  rad. (-) curvas do modelo de simulac~ao, (+) aproximac~oes com

modelosfuzzy, ()representa osmodelos locais. . . 115

4.48 Func~oes de pertin^encia: soluc~aopor LMIs para o intervalo x

1

 rad. 116

4.49 ErrodeModelagemparaointervalo x

1

 rad. Erromaximo: Æ

vmax =

0:001. . . 117

5.1 Exemplo de um conjunto de 4 regras fuzzy: 

1 (x 1 (t)),  2 (x 1 (t)),  3 (x 1 (t)),  4 (x 1 (t))2[0;1]e  1 (x 1 (t))+ 2 (x 1 (t))+ 3 (x 1 (t))+ 4 (x 1 (t))=1: . . . . 123

5.2 Forma Generalizada. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dezesseis modelos

locais para condic~ao inicial x(0) = [0:96 000] T

, intervalo 60=180  x

1 

60=180rad e considerando-se ataxa de decaimento maxima. . . 130

5.3 Forma Generalizada. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dezesseis modelos

locais para condic~ao inicial x(0) = [0:96 000] T

; intervalo 60=180  x

1 

60=180rad e considerando-se =380 e =20. . . 131

5.4 Func~oes de pertin^encia h

j (x

1

); j = 1;:::;16 para a forma generalizada com

dezesseis modelos locais e intervalo 70=180x

1

70=180rad. . . 132

5.5 Aproximac~ao fuzzy com a forma generalizada com dezesseis modelos locais

para o intervalo 70=180  x

1

 70=180 rad; (-) curvas do modelo de

simulac~ao,(+) aproximac~oes com modelosfuzzy, ()representaaorigeme os

extremos daregi~aode operac~ao. . . 133

5.6 Forma Generalizada. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dezesseis modelos

locais para condic~ao inicial x(0) = [0:96 000] T

, intervalo 70=180  x

1 

70=180rad e considerando-se ataxa de decaimento maxima. . . 134

5.7 (a) Erros de aproximac~ao: (+) jj

f (x 1 )jj 2 e (-) jj
g (x 1 )jj 2 . (b) Erro de mo-delagem Æ v (x 1 ) para o intervalo 60=180  x 1

 60=180 rad, com dois

modeloslocais. . . 138

5.8 Projeto1. Respostas de x

1 (t),x

3

(t),eu(t) comdois modeloslocais para

con-dic~aoinicial x(0) =[0:9600 0] T

, intervalo 60=180x

1

60=180 rad, e

considerando-se a taxa de decaimentomaxima.. . . 139

5.9 Projeto 1. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dois modelos locais para

condic~aoinicialx(0)=[0:96000] T

,intervalo 60=180x

1

5.10 Func~oes de pertin^encia para o intervalo 70=180x

1

70=180 rad, com

dois modeloslocais; (-)soluc~ao analtica, ()soluc~ao porLMIs . . . 141

5.11 Aproximac~ao Fuzzy com dois modelos locais para o intervalo 70=180 

x

1

70=180rad. (-)curvasdomodelode simulac~ao, (+)aproximac~oescom

modelosfuzzy, ()representa osmodelos locais . . . 142

5.12 (a) Erros de aproximac~ao: (+) jj

f (x 1 )jj 2 e (-) jj
g (x 1 )jj 2 . (b) Erro de mo-delagem Æ v (x 1

) para o intervalo 70=180  x

1

 70=180 rad com dois

modeloslocais. . . 142

5.13 Projeto 1. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dois modelos locais para

condic~aoinicialx(0)=[0:96 000] T

,intervalo 70=180x

1

70=180rad

e considerando-se a taxade decaimento maxima.. . . 143

5.14 Projeto 1. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dois modelos locais para

condic~aoinicialx(0)=[0:96 000] T ,intervalo 70=180x 1 70=180rad e considerando-se =450 e=35. . . 144 5.15 Projeto 2. Respostas de x 1 (t), x 3

(t), e u(t) com dois modelos locais para

condic~aoinicialx(0)=[0:96 000] T

,intervalo 60=180x

1

60=180rad

e considerando-se a taxade decaimento maxima.. . . 150

5.16 Projeto 2. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com dois modelos para condic~ao

inicial x(0) = [0:96 0 0 0] T , intervalo 60=180  x 1  60=180 rad e considerando-se =380 e =20. . . 150 5.17 Projeto 2. Respostas de x 1 (t), x 3

(t), e u(t) com dois modelos para condic~ao

inicial x(0) = [0:96 0 0 0] T

, intervalo 70=180  x

1

 70=180 rad e

considerando-se a taxa de decaimentomaxima.. . . 152

5.18 Projeto 2. Respostas de x

1 (t), x

3

(t), e u(t) com tr^es modelos para condic~ao

inicial x(0) = [0:96 0 0 0] T , intervalo 70=180  x 1  70=180 rad e considerando-se =450 e =35. . . 153

4.1 Modelos Locais e Erros de Modelagempara o intervalo x

1

 rad. . . 118

5.1 

Indices de Desempenho para o intervalo 60=180  x

1  60=180 rad e x 0 =[0:96000] T ;sendo que I e I

s~aoosvaloresimpostosdas restric~oes de

entradaesadae

0 e

0

s~aoosvaloresobtidos,respectivamente;t

s

eotempo

de estabelecimento; e e ataxa de decaimento . . . 154

5.2 

Indices de Desempenho para o intervalo 70=180  x

1  70=180 rad e x 0 =[0:96000] T ;sendo que I e I

s~aoosvaloresimpostosdas restric~oes de

entradaesadae

0 e

0

s~aoosvaloresobtidos,respectivamente;t

s

eotempo

 BMIs: BilinearMatrix Inequalities(Desigualdades Matriciais Bilineares ).

 CDP:Parallel DistributedCompensation(Compensac~ao Paralela Distrubda).

 EMF:ElectromotiveForce (ForcaEletromotriz).

 I: Input-Output (Entrada-Sada).

 LMI: Linear MatrixInequalities (Desigualdades MatriciaisLineares).

 MISO:MultiInput and SingleOutput (Multiplasentradas e UmaSada).

 TS:TakagieSugeno.

 TSK:Takagi,Sugeno e Kang.

 PID: Proportional,Integral and DerivativeController (ControladorProporcional,

Introduc~ao

Nosultimos anos, houveum crescente interesseempesquisas de teoria eaplicac~oes de

siste-mas nebulosos, mais conhecidos como sistemas fuzzy. Este interesse se deve a similaridade

destessistemas com o comportamentohumanona soluc~aode problemas complexos. Assim,

os sistemas fuzzy permitem que o projetista utilize o seu conhecimento experimental para

elaborar o projeto de controle do seu sistema.

Se observarmos nossas atitudes do cotidiano, vericaremos facilmente que somos

cons-tantementeconduzidos a tomar varias decis~oes para resolver os mais variados tiposde

pro-blemas. Em geral, as decis~oes s~ao feitas em func~ao de algum aprendizado adquirido com

experi^encias anteriores, muitas vezes, similares. Entretanto, podemos ser submetidos a

si-tuac~oes inusitadas ou pouco convencionais, que podem nos deixar com duvidas, incertos

sobre qual atitude devemos tomar. Ent~ao, embora n~ao tenhamos absoluta certeza, temos

que tomar decis~oes que s~ao elaboradas a partir de uma interac~ao de aprendizados que

fo-ram adquiridosanteriormente, em situac~oes diferentes, mas que sejamas mais proximas da

situac~aoemquest~ao.

Os sistemas reais, em geral, s~ao complexos e esta complexidade surge de incertezas na

formadeambiguidades. Problemascaractersticosdecomplexidadeeambiguidades~ao

trata-dos de formasubconscientepelos humanosnasoluc~ao de varios problemas sociais, tecnicos,

biologicoseemocionais. Multidimensionalidade,estruturas hierarquicas, interac~oes mutuas,

mecanismosde realimentac~aoe din^amicasimprevisveiss~aoapenasparte das caractersticas

de taissistemas complexos.

Analisandoocomportamentohumanodiantede problemas,noinciodosanos60,

pesqui-sadorescomecaramaquestionarseoconceito deincertezas, ambiguidadeseoconhecimento

humanopoderiamser utilizadosparacompletar adescric~aoecompreens~aode sistemasreais

complexos.

tra-duc~ao em portugu^es e nebulosa ou difusa). Emseu artigo \Fuzzy Sets", (Zadeh, 1965) ele

formalizou suas ideias sobre uma nova ferramenta matematica que utiliza conhecimento e

incertezassemdescrev^e-lasemtermosdeprobabilidade. ApropostadeZadeheramodelaro

mecanismo dopensamentohumano, com valores lingusticosem lugar de numeros,levando

estesvaloresparaateoriadesistemasedesenvolverumanovaclassedesistemasdenominada

sistemas fuzzy.

Duasraz~oes principaismotivamoestudodateoriafuzzy. Aprimeiraequeesses sistemas

conjugam a capacidade de processar informac~ao de natureza incerta ou qualitativa com a

capacidade de aproximac~ao universal (Campello (2002); Kosko (1997)). A precis~ao com

que os sistemas fuzzy podem aproximar sistemas reais pode ser, em geral, estipulada pelo

projetista.

A segunda raz~ao esta relacionada com a exist^encia de varios modelos existentes,

ade-quados a diferentes tipos de aplicac~ao, indo dos modelos lingusticos na modelagem de um

determinadosistema,aosmodelosTakagi-Sugeno(TS),comestruturas adequadaspara

apli-cac~oes em controle. As contribuic~oes desta teseconcentram-se nos modelosfuzzyTS eest~ao

relacionadasa aproximac~aoe controle de sistemas n~ao-lineares.

O primeiro tema abordado e a interpretac~ao e representac~ao dos modelos TS e suas

principais aplicac~oes. Neste contexto procurou-se estudar o modelo TS e algumas de suas

caractersticas intrnsecas.

Uma outra ferramenta matematica, as LMIs (Linear Matrix Inequalities, cuja traduc~ao

paraoportugu^eseDesigualdadesMatriciaisLineares )(Boyd etal.,1994),tem sido

ampla-mentedifundidaem sistemasde controle. Muitos problemasde controlecomo asanalises de

estabilidadeeoprojeto,especicando, porexemplo,restric~oesnas entradasesadas,taxade

decaimentoerobustez, podemserreduzidosaproblemasdescritosporLMIs.

Numericamen-te, os problemas de LMIs podem ser resolvidos ecientemente por meio de algumas

ferra-mentaspoderosasdisponveisnaliteraturade programac~aomatematica(Boydetal.,1994).

Destaforma,encontrar a soluc~ao paraproblemas descritos porLMIs e equivalente a

encon-trar asoluc~ao para o problema original. Esta ferramenta sera utilizadana soluc~aode todos

ostopicos abordadosneste trabalho.

Ahabilidadepara controlarumsistema emum ambienteincertoouimprecisoeuma das

caractersticas mais importantes de qualquer sistema de controle inteligente. Mas,

normal-mente, para que um sistema seja controlado, e necessaria a sua descric~ao por um modelo

dor, e deve incluir todas as caractersticas relevantes do processo. Normalmente o modelo

de simulac~ao e complexo para o projeto de sistemas de controle. Assim, necessita-se de

um modelo simplicado, denominado \modelo de simulac~ao" (Friedland (1996),Pietrobom

(1999)). Omodelode projetodeve capturarascaractersticasessenciais doprocesso.

Quan-doaplantadosistemaedesconhecida,enecessarioutilizarumprocesso deidenticac~aodos

par^ametros (Teixeira et al. (1996); Teixeira et al. (1998); Teixeira, Daruichi e Assunc~ao

(2000); Ioannou e Sun (1996)). Nesta tese ser~ao estudados apenas sistemas com plantas

n~ao-lineares cujos modelos matematicoss~ao disponveis.

A tecnica mais comum para a obtenc~ao de um modelo de projeto para plantas n~

ao-linearese sem duvida a linearizac~aoda planta emum ponto de operac~aode interesse. Com

estemetodoomodelodeprojetoeemgeralumsistemalinearinvariantenotempo,oprojeto

de reguladorese relativamente simples em muitos casos e a teoria e bastante desenvolvida,

como, por exemplo, as tecnicas baseadas no root locus, diagramas de Bode e Nyquist e na

descric~ao atraves de variaveis de estado (Ogata (1997); Teixeira, Assunc~ao e Daruichi

(2003); Chen (1999), Teixeira, Assunc~ao e Avellar (2003)) . Entretanto, este modelo de

projeto descreve bem a din^amica do sistema somente em uma certa vizinhanca em torno

do ponto de operac~ao no qual o sistema foi linearizado. Assim, nos casos onde o sistema

pode operar em regi~oes distantes do ponto de operac~ao, este modelo de projeto n~ao e, em

geral, adequado. Neste caso deve-se adotar um modelo de projeto mais sosticado, que

considere adicionalmente a din^amica da planta em regi~oes distantes do ponto de operac~ao

mencionado. OsmodelosfuzzyTS (Takagie Sugeno(1985),Sugenoe Kang(1988))podem

facilmentesolucionaresteproblema. Aideiadestesmodelosconsistedadescric~aoaproximada

de um sistema n~ao-linear como a combinac~ao de um certo numero de modelos lineares (ou

ans)invariantes notempolocais,que descrevemaproximadamenteocomportamentodeste

sistema emdiferentes pontos do seu espaco de estados. Desta forma, pode-se interpretar a

tecnicatradicionaldelinearizac~aoemapenasumpontodeoperac~aocomoumcasoparticular

dos modelos fuzzy TS, consistindo apenas de um modelo local. Neste trabalho o modelo de

projeto sera obtidoatraves domodelo fuzzy TS com modelos locais lineares.

Uma formula para a obtenc~ao dos modelos locais foi desenvolvida em Teixeira e _

Zak

(1999). Com esta formulae possvel obter resultados mais atraentes que a tecnica de

line-arizac~ao,pois apresenta uma melhor aproximac~aodo modelo fuzzy com respeito ao modelo

de simulac~ao. Alguns pesquisadores t^emutilizadoesta formulapara obter as aproximac~oes

(Bergsten et al., 2002), Cao e Frank, no controle de um processo qumico com atraso de

transporte (Cao e Frank, 2000) e Kim, no controle de um p^endulo invertido, utilizando

sistemasfuzzy Singleton (Kim, 2001). A formulatambemtem sido empregada em sistemas

n~ao-lineares que n~ao utilizammodelos fuzzy como em Guo et al.(2000), para rastreamento

de orbitas de sistemas caoticos.

Esta tese prop~oeum novometodoparadeterminar osmodeloslocaisbaseado na tecnica

de Teixeira e _

Zak (1999). Estes modelospossuemnovos graus de liberdade es~ao obtidosa

partirda soluc~aode um problema de otimizac~aobaseado emLMIs.

Umadas principaiscontribuic~oesdestetrabalhorefere-seasfunc~oes depertin^enciafuzzy.

Estasfunc~oes, utilizadaspara combinar osmodeloslocais,t^empapelfundamentalno

desen-volvimentodoprojetode controle, poiss~aoelasque determinam,dadososmodelos locais,a

formade aproximac~ao domodelo fuzzy com relac~ao aomodelo de simulac~ao. As principais

func~oes de pertin^enciautilizadass~aoastriangulares,trapezoidaiseem formade sino

(gaus-siana)(vejaWang (1997),Yagere Filev(1994),Ross (1995)). Ospar^ametrosdestasfunc~oes

dependem do conhecimento do projetista sobre o comportamento dosistema ou podem ser

obtidas por um processo de identicac~ao. Entretanto, muitas vezes, determinar as func~oes

e os par^ametros que melhor se ajustam aosistema, nem sempree uma tarefa trivial. Uma

formasistematicapara determinarasfunc~oes de pertin^enciafuzzyeproposta. Estas func~oes

s~ao obtidas a partir de um problema de otimizac~ao que tem por objetivo minimizar o erro

entre a aproximac~ao fuzzy e o modelo de simulac~ao (Teixeira et al. (2002a), Teixeira et al.

(2002b)). A unicainformac~aonecessaria apriori s~aoos modelos locais.

Outrotema importanteabordadonotrabalhorefere-seaquest~ao doerro de modelagem,

que ocorre nas aproximac~oes. Neste desenvolvimento, o erro de modelageme um fator

de-terminante, pois eledene o numero de modelos locais utilizadose suas localizac~oes. Uma

aproximac~ao suciente ou desejada para efetuar o projeto de um sistema de controle esta

relacionadacomoerrodemodelagem,poisquantomaioronumerodemodeloslocais,melhor

a ader^encia do modelo fuzzy ao modelo de simulac~ao e menor se torna o erro. O numero

de regras ou de modelos locais necessarios para representar um sistema com determinada

precis~aopodesetornarexcessivamentegrandeemfunc~aodoaumentodonumerodeentradas

destesistema. Esse problemaeum dos principaisobstaculos aaplicac~aodesses modelos em

sistemasde grandeporte. Aimport^anciade seobtermodelosfuzzyTS compoucosmodelos

locais e a facilidadede implementac~aono projeto de controladores. Logo, a principal

de sistemas de controle (nesta tese ser~ao consideradosreguladores).

Taniguchi e seus colaboradores apresentaram um metodo de representac~aoexata de

sis-temasfuzzycomLMIs emTaniguchietal.(2001). Ometodoproporcionauma aproximac~ao

exata do sistemadentro de uma regi~aode operac~ao,utilizando2 s

regras,sendo que \s" eo

numerode func~oes n~ao-linearespresentes nosistema. Osmodelos locaiss~aoobtidosapartir

dosvaloresmaximosemnimosdasfunc~oes. Asfunc~oesdepertin^encias~aoobtidasutilizando

osmodeloslocaiseasfunc~oesn~ao-lineares. Ummetododereduc~aode regrasepropostopara

tentar minimizaro problema de dimensionamento. O erro de modelagem gerado nesta

re-duc~aoetratadocomoincertezasnaplantaeeconsideradonoprojetodocontrolador. Mesmo

com a reduc~ao proposta pelos autores, o numerode regras pode ser excessivamente grande

em alguns casos. Este metodo sera utilizado para comparar o desempenho da metodologia

proposta nesta tese.

Aareadecontroledesistemasfuzzyeumdosramosmaisativosequetemgeradodiversas

linhas de pesquisa. Durante a ultima decada o controle fuzzy tem atrado grande atenc~ao

e muitas aplicac~oes t^em sido feitas, por exemplo, na analise de novos sistemas de controle

para automoveis (Will et al., 1997), no controle de elevadores de alta velocidade (Tanaka,

Nishimura e Wang, 1998), na detecc~ao e isolamento de falhas (Ichtev et al., 2001) e no

controle de helicopteros (Kadmiry e Driankov (2001), Tanaka et al. (2001). 

E uma das

maisuteisaproximac~oesparaseutilizaroconhecimentoqualitativodeumsistemaeprojetar

um regulador, mas muitas quest~oes permanecem para discuss~oes adicionais. A analise da

estabilidadee um dos conceitos mais importantes emsistemasde controle fuzzy. 

E possvel

projetar teoricamente um regulador fuzzy se for disponvel um bom criterio para a analise

da estabilidade, adequado a estes sistemas. Recentemente muitos esforcos t^em sido feitos

nesta area (Tanaka e Sugeno, 1992), (Tanaka e Sano, 1994a), (Cao et al., 1997a), (Cao

et al., 1997b), (Tanaka, Ikeda e Wang, 1998a), (Kim e Lee, 2000), (Teixeira, Assunc~ao

e Pietrobom, 2001), (Teixeira, Assunc~ao e Avellar, 2001) . Esta tese trata das quest~oes

de estabilidade e projeto de reguladores fuzzye prop~oe dois novos metodos de projeto. S~ao

apresentados estudos e condic~oes sucientes para a estabilidade de sistemas e projeto de

reguladores fuzzy utilizando o metodo direto de Lyapunov. O erro de modelagem obtido

nas aproximac~oeseconsideradonos projetosenas analises de estabilidade. Desta forma,os

metodos propostos oferecem alternativas atraentes e rigorosas para o projeto metodico de

reguladorespara uma classe de sistemasn~ao-lineares.

Um sistema n~ao-linear, conhecido como p^endulo invertido,e o exemplo base utilizadopara

ilustrartodos ostopicos desenvolvidos.

1.1 Sistemas Fuzzy: Breve Historico

Inicialmente, a teoria fuzzy foi tema de muitas discuss~oes entre pesquisadores, pois

ma-tematicos com especializac~ao em estatstica e probabilidade armavam que os problemas

que poderiam ser resolvidos com a teoria fuzzy seriam igualmente resolvidos utilizando a

teoriadaprobabilidade. Com isto, nenhuma aplicac~aopraticareal foi iniciadaecou difcil

defendera nova teoria de um pontode vistapuramentelosoco.

Embora ateorian~aotenhasetornadopopular,nonaldos anos60muitospesquisadores

comecaram a se dedicar a este novo campo de forma independente e novos metodos fuzzy

forampropostos.

Depois de seu trabalho introdutorio de conjuntos fuzzy em 1965, Zadeh prop^os os

con-ceitos dos algoritmosfuzzy em 1968 (Zadeh, 1968), a elaborac~aode decis~oes fuzzy em 1970

(Bellmane Zadeh, 1970)e o ordenamento fuzzyem1971 (Zadeh, 1971).

Em1973, Zadeh estabeleceu a base para ateoria de controle fuzzy (Zadeh,1973)

intro-duzindo o conceito de variaveislingusticase propondo o uso de regras fuzzySe-Ent~ao para

formular oconhecimentohumano.

Dezanosaposaintroduc~aodateoriafuzzy,MamdanieAssilianestabeleceramaestrutura

basica decontroladoresfuzzyecontrolaramuma maquinaavaporcom umcontroladorfuzzy

(Mamdanie Assilian,1975). Depois,em1978, os controladores fuzzyforamutilizados pela

primeiravez em um processo industrialcompleto, o controle fuzzy de um forno de cimento.

Estas aplicac~oes mostraram que ocampoera promissor.

Entretanto, ao contrariodo esperado, nadecada de 70e 80o progresso neste campofoi

muito lento. Poucos conceitos novos e abordagens foram propostos neste perodo, porque

poucos pesquisadores se dedicaram apesquisa deste assunto.

Foram as aplicac~oes de controle fuzzy feitas principalmentepelos engenheiros japoneses

quemantiveram apesquisa naarea. Eles descobriramque os controladores fuzzys~ao muito

faceis de seremprojetados es~ao uteis nasoluc~ao de diversos problemas industriais.

Em1980,Sugenocomecou a criaraprimeiraaplicac~aofuzzynoJap~ao: ocontrole de um

puricador de agua. Em 1983, iniciou o trabalho pioneiro de um rob^o com controle fuzzy

Miyamoto, 1985). Este projeto foi concludo em 1987 e se tornou o mais avancado sistema

de metr^o da Terra (Yasunobu et al., 1987). Logo apos a conclus~ao deste trabalho, foi

realizada a segunda confer^encia internacional de sistemas fuzzy em Tokio. Hirota e seus

colaboradores (Hirota et al., 1989) apresentaram, em uma confer^encia, o controle fuzzy de

um braco de um rob^o que jogava Ping-Pong em tempo real e Yamakawa demonstrou um

sistemade controle fuzzy de um p^endulo invertido (Yamakawa, 1989).

Depois deste evento, o interesse por sistemas fuzzy aumentou e, no incio dos anos 90,

varios produtos baseados em sistemas fuzzy apareceram no mercado. Inicialmente as

apli-cac~oes de controle fuzzy foram em processos industriais, chuveiros, maquinas de lavar,

lim-padores a vacuo, lmadoras, maquinas fotogracas e condicionadores de ar. Estes e outros

produtosderamateoria de logicafuzzyuma maiorprojec~aonaarea de controleeestimulou

aexplorac~aode suas aplicac~oes em muitas outrasareas.

O sucesso de sistemas fuzzy no Jap~ao surpreendeu a comunidade cientca dos Estados

Unidos e da Europa. Alguns cientistas ainda criticaram a teoria fuzzy, mas muitos outros

mudaram sua forma de pensar e passaram a analisar a teoria fuzzy com mais seriedade.

Em1992,a primeiraconfer^encia de sistemasfuzzyinternacional doIEEE aconteceu em San

Diego,simbolizandoa aceitac~ao da teoriafuzzy pela maioriados engenheiros do IEEE. Em

1993, operiodico IEEE Transactions onFuzzy Systems foi inaugurado.

Muitos trabalhos forampublicados a partirde 1990. A partir de 1996 forampublicados

osprimeirostrabalhos deprojetode sistemasfuzzycomLMIs. Elest^empermitidoumsolido

progressodealgunsproblemasfundamentaisemsistemasfuzzyecontrole. Porexemplo,para

a determinac~ao das func~oes de pertin^encia e rigorosas analises de estabilidade de sistemas

de controle fuzzy. Apesar dos grandesavancos obtidos, muita pesquisa permanece para ser

feita.

1.2 Organizac~ao e Contribuic~oes

A organizac~ao dos captulos subsequentes junto as suas principais contribuic~oes e descrita

abaixo:

 Captulo 2: Sistemas Fuzzy e Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno:

apresenta uma compilac~ao bibliograca sobre os sistemas fuzzy Takagi-Sugeno, nos

quaissebaseia opresente trabalho. S~aodiscutidas ascaractersticasdestes sistemase

 Captulo 3: Modelos Locais Fuzzy: refere-se aoproblema de modelagem

de sistemas complexos atraves dos modelos fuzzy TS. S~ao apresentadas duas tecnicas

paraadeterminac~aodos modeloslocais existentes naliteraturaeeproposta umanova

formapara a obtenc~ao dos modelos locais com um novo grau de liberdade. Principal

contribuic~ao:

1. Desenvolvimentode um novometodoparadeterminar osmodelos locais com um

novo grau de liberdade. Exemplos ilustram a melhoria na modelagem localque

este metodopode proporcionar.

 Captulo4: Func~oesde Pertin^encia eModelagem: Abordaaquest~ao

das func~oes de pertin^encia. Apresenta-se uma metodologia para determinar um novo

conjuntodefunc~oes. Dene-seoerrodemodelagemobtidocomaproximac~aodomodelo

de projeto como modelo de simulac~ao. Um algoritmoe elaboradopara determinaros

modeloslocaiseasregrasfuzzyapartirdoerrodemodelagem. Principaiscontribuic~oes:

1. Desenvolvimento de uma nova metodologia para determinar as func~oes de

per-tin^enciafuzzyatraves de problemas de otimizac~aocujas soluc~oes podem ser

obti-das de formaanalticaou baseadas emLMIs;

2. Denic~ao de dois tipos de erro de modelagem, obtidos com as aproximac~oes. O

primeiro erro, obtido com as aproximac~oes das func~oes, e utilizado nos projetos

doscontroladores. Osegundoerroeobtidoapartirdeumproblemadeotimizac~ao

que visa minimizar a norma do erro das func~oes. Ele e utilizado como criterio

para determinar a localizac~aodos modelos locais.

3. Comparac~ao com tecnicas existentes na literatura. Exemplos mostram que o

metodoproposto pode modelar sistemas din^amicos com um numeroreduzido de

modelos locais, quando comparados com metodos descritos na literatura.

 Captulo 5: Projeto de Controle: tratadaestabilidade,taxade

decaimen-to,erestric~oesnaentradaenasadadesistemaseprojetode reguladorescomsistemas

fuzzy TS. S~ao propostos dois metodos de projeto baseados nas func~oes de Lyapunov.

Oerro de modelagemeinserido noprojeto dos reguladores. Principaiscontribuic~oes:

1. Desenvolvimentode novosmetodos de projeto de reguladoresutilizandomodelos

pontodeste conjunto. No segundo metodo, o projeto considera a norma do erro

maximoobtido nas aproximac~oes.

2. Comparac~oes com um metodode modelagemexata, existente naliteratura.

 Captulo 6: Conclus~oes e Perspectivas: apresentaas conclus~oes e

pers-pectivas para trabalhos futuros.

Esta introduc~ao foi inspirada em Campello (2002), Wang (1997), Ross (1995), Yager e

Sistemas Fuzzy e Modelos Fuzzy

Takagi-Sugeno

2.1 Introduc~ao

A principal caracterstica de um sistema fuzzy e o conhecimento condicionado por regras

fuzzy Se-Ent~ao. Uma regra fuzzy Se-Ent~ao e uma declarac~ao na qual algumas palavras

s~ao descritas por func~oes contnuas, conhecidas como func~oes de pertin^encia. O Modelo

Ling usticoeum modelofuzzyproposto porTong eeconstitudoporum conjuntode regras

Se-Ent~ao (Tong, 1978). Este modelo e utilizado para identicar sistemas a partir de um

conjuntode dadosdesuasentradasesadas. Oformatode umaregradoModeloLingustico

possui uma parte premissae uma parte consequentedo tipo:

Se x e A (premissa),

Ent~ao y e B (consequente);

(2.1)

sendoxey asvariaveisde entradae sada, respectivamente, eAe B s~aotermoslingusticos

associadosaosconjuntosfuzzyquedescrevemlinguisticamenteessasvariaveis. Paraumdado

valorde entrada, a sadacorrespondente ecalculada a partir doconjunto de regras atraves

de um metodode infer^encia.

2.1.1 Sistemas Fuzzy

Em geral ha tr^es tipos de sistemas fuzzy encontrados na literatura (Wang, 1997): sistemas

fuzzypuro,sistemafuzzycomfuzzicadoredefuzzicadoresistemasfuzzyTS.Estessistemas

ser~ao rapidamente descritos a seguir.

Sistemas fuzzy puros

A Figura2.1 ilustraa congurac~aobasica do sistemafuzzy puro:

Regras Fuzzy

Infer^encia Fuzzy

ConjuntosFuzzy ConjuntosFuzzy

emU

emV

Figura2.1: Congurac~aobasica dos sistemas fuzzy puros.

estas regras fuzzy Se-Ent~ao em um mapeamento dos conjuntos fuzzy no espaco de entrada

U  R n

para conjuntos fuzzy no espaco de sada V  R baseado nos princpios de logica

fuzzy. Se a linha tracejada na Figura2.1 existir, o sistema passa a ser denominadosistema

fuzzydin^amico.

Oprincipalcaractersticadosistemafuzzypuroequesuasentradasesadass~aoconjuntos

fuzzy, istoe, palavrasemlinguagem natural.

Sistemas com fuzzicador e defuzzicador

A Figura2.2 ilustraa congurac~aobasica do sistemafuzzy de sistemas com fuzzicador

edefuzzicador:

Regras Fuzzy

Infer^encia Fuzzy

Conjuntos Fuzzy ConjuntosFuzzy emU em V xemU y emV Fuzzificador Defuzzificador

Figura2.2: Congurac~ao basica dos sistemas fuzzycom fuzzicador e defuzzicador.

Nestes sistemas,um fuzzicador transforma uma variavel de valorreal emum conjunto

fuzzy, para a entrada, e um defuzzicador transforma um conjunto fuzzy em uma variavel

real, para asada.

Oprincipalcaractersticadosistemafuzzycomfuzzicadoredefuzzicadorepermitirque

Sistema Fuzzy Takagi-Sugeno

Umsistemafuzzyalternativo,comestruturaapropriadaparaengenhariafoipropostopor

Takagi-Sugeno(Takagie Sugeno, 1985). Nestes sistemas,asentradas esadas s~aovariaveis

reais,comonossistemascomfuzzicadoredefuzzicador. Entretanto,aoinvesdeconsiderar

asregras fuzzySe-Ent~aona forma(2.1), estes sistemas usamas regras naseguinteforma:

Se x e A(premissa),

Ent~ao y=cx (consequente):

(2.2)

Comparando (2.1) e (2.2), verica-se que a parte consequente, \Ent~ao", muda de uma

descric~aoque usa termoslingusticospara umasimples formulamatematica. Esta mudanca

torna mais facil combinar as regras. Assim, no sistema fuzzy TS e obtido um peso medio

dos valores nas partes \Ent~ao" das regras.

A Figura2.3 mostraa congurac~aobasica de uma sistemafuzzy TS.

Regras Fuzzy

Peso Medio

xemU

yem V

Figura 2.3: Congurac~aobasica dos sistemas fuzzyTS.

2.1.2 Func~oes de Pertin^encia Tradicionais

Um conjunto fuzzy A em um universo do discurso U e caracterizado por uma func~ao de

pertin^encia 

A

que tem valores compreendidos no intervalo [0;1]. O conjunto fuzzy e uma

generalizac~aodoconjuntoclassico quepode ter apenas dois valores,\0" e \1". Portanto,as

func~oes de pertin^enciafuzzyemumconjuntofuzzys~aofunc~oes contnuas es~aolimitadaspor

\0" e por\1".

Asprincipaisfunc~oes de pertin^enciaencontradasnaliteraturas~aoastriangulares,

trape-zoidaise emformade sino (gaussianas). Estas func~oes est~ao representadas nas Figuras2.4,

2.5 e 2.6, respectivamente.

x v 1 v 2 v 3 1 (x)

Figura2.4: Func~ao de pertin^enciatriangular.

Matematicamente, a func~ao de pertin^encia triangularedenida por:

 (x)= 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : x v 1 v 2 v 1 ; v 1 xv 2 ; v 3 x v 3 v 2 ; v 2 xv 3 ;

0; nos demais intervalos:

(2.3) x v 1 v 2 v 3 v 4 (x) 1

Figura2.5: Func~aode pertin^encia trapezoidal.

Os par^ametros da func~ao de pertin^encia trapezoidal s~ao denidos por v

1 , v 2 , v 3 e v 4 .

Matematicamente, a func~ao de pertin^enciatrapezoidale denida por:

 (x)= 8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : x v 1 v 2 v 1 ; v 1 xv 2 ; 1; v 2 xv 3 ; v 4 x v 4 v 3 ; v 3 xv 4 ;

0; nos demais intervalos:

(2.4)

x x p w p (x) 0 1

Figura 2.6: Func~ao de pertin^encia em forma de sino.

como descritoa seguir:

 (x)= 1 1+ jx x p j 2mp w p !! (2.5) sendo x p o ponto medio, w p

a largura da func~ao sino e m

p

 1, descreve a convexidade da

func~ao sino.

2.1.3 Metodos de Infer^encia

Na infer^encia fuzzy, os princpios de logica fuzzy s~ao usados para combinar as regras fuzzy

Se-Ent~aoem um mapeamentode umconjuntofuzzyA emU, paraum conjuntoB emV. A

seguirser~aocitados os metodos mais comuns da literatura.

 Infer^encia \Produto";

 Infer^encia \Mnimo" ;

 Infer^encia \Lukasiewicz";

 Infer^encia \Zadeh";

 Infer^encia \Dienes-Rescher" ;

 Infer^encia \Takagi-Sugeno".

Maiores detalhes podem ser encontradosem Wang (1997) e Ross (1995).

2.1.4 Fuzzicadores

O fuzzicador e denido como um mapeamento de um valor real x  2 U  R n para um conjunto fuzzyA 0

 FuzzicadorGaussiano;

 FuzzicadorTriangular;

2.1.5 Defuzzicadores

O defuzzicador e denido como um mapeamento de um valor real B 0

2 U  R para um

pontoy 

2V. Os metodos de defuzzicac~ao s~ao:

 Defuzzicac~ao Centro da 

Area (tambemconhecido como Centrode Gravidade);

 Defuzzicac~ao Centro doMaximo;

 Defuzzicac~ao Media doMaximo.

2.1.6 Modelos Lingusticos

A principal caracterstica dos modelos lingusticos e a de serem qualitativamente

inter-pretaveis desde que os respectivos conjuntos de regras sejam claros e bem denidos. No

entanto, a obtenc~ao de um conjunto adequado de regras a partir de dados de um

siste-man~aoe uma tarefa simples, especialmenteporque as regras envolvemtermos de natureza

lingustica.

Tong prop^os um metodo o-line de tentativa e erro associado com heursticas e dados

estatsticosparatrataresse problema(Tong, 1978). Posteriormente, GrahameNewell

gene-ralizaramesta metodologiaatravesde um algoritmocom capacidadede gerac~aoautomatica

de regras e um gerenciamento heurstico de regras con itantes (Graham e Newell, 1989).

Embora limitadas,essas contribuic~oes expuseram acomplexidadedoproblemae motivaram

abusca por estrategias ecientes para aborda-lo.

Umadas abordagens mais conhecidase ecientes para esse problemaeouso de tecnicas

declustering(Sugenoe Yasukawa(1993); Setnesetal.(1998); Pedrycze Vasilakos(1999)).

Essas tecnicas, baseadas em otimizac~ao,foramcapazes de gerar automaticamente conjunto

deregrasfuzzyquepodemdescreverprecisamenteocomportamentodeentradaesadade

sis-temascomplexos. Contudo, osconjuntos fuzzyde regrasresultantes s~aousualmenteobtidos

aposterioripeloalgoritmo,en~aodenidos pelousuario. Consequentemente, osconjuntose

asrespectivasregras podemn~aopossuir um signicadolingusticoclaro (Guillaume,2001).

Outras abordagens s~ao encontradas naliteratura, destacando-se os Modelos Relacionais

e Filev, 1994). A vantagem dessa representac~ao e que nos modelos lingusticos tem-se um

conjunto de regras que devem ser determinadas, enquanto nos modelos relacionais tem-se

apenas uma matriz relacional que descreve a relac~ao fuzzy a ser estimada. Este modelo

apresenta caractersticas importantes tanto sob aspectos numericos quanto lingusticos.

Outros modelos com propositos especcos t^em sido propostos, como por exemplo, os

Celibate Fuzzy Models (Filev e Yager, 1997), desenvolvidos para a modelagem de

proble-mas que requerem soluc~oes exclusivas (n~ao combinaveis), taiscomo diagnosticos e algumas

aplicac~oes de tomada de decis~ao; os Fuzzy Multimodels(Pedrycz, 1996),desenvolvidos para

a modelagem de problemas que admitem multiplas soluc~oes tendo em vista a sua

nature-za mais relacional do que funcional; os Modelos Hierarquicos (Wang (1998); Campello e

Amaral (2002a); Wang (1999); Chen e Wang (2000)), desenvolvidos para tratar do

pro-blema de dimensionalidade em sistemas fuzzy, Modelos com Func~oes de Base Ortonormal

(FBO) (Campello e Amaral, 2002b) para a modelagem fuzzy de sistemas din^amicos sem

realimentac~aodos erros de previs~ao.

O modelo fuzzy TS (Takagie Sugeno, 1985) e uma abordagem alternativa para a

mo-delagem fuzzy. Este modelo tambem possui uma estrutura baseada em regras. Contudo,

os consequentes das regras n~ao s~ao conjuntos fuzzy como nos modelos lingusticos. Esses

consequentes s~aoformadosporfunc~oes crisp(n~aofuzzy) quemapeiamasentradasdo

mode-loem sua sada. Essas func~oes, tambem denominadas modelos locais, possuem usualmente

uma formaam emseus argumentos. Nesse caso o modelo TS e linear nos par^ametros das

referidasfunc~oes que por sua vez podem ser estimados utilizando algoritmosclassicos como

os algoritmosdos Mnimos Quadrados (Least Squares) e o ltro de Kalmam(Soderstrome

Stoica (1989), Ljung (1999)). Embora o modelo TS original seja am, a vers~ao linear e a

quetem sido mais utilizada.

Estesmodelospodemserconsideradoscomoumavers~aofuzzydometodode aproximac~ao

linearporpartes, que proporciona uma relac~ao linear(ou am) daentrada-sadapara cada

subespacopre-determinadodoespacodeentrada,possuindoavantagemdeseremcapazes de

combinar asdiferentes relac~oes correspondentes acada uma de suas regras. Essa habilidade

deinterpolac~aopermiteagerac~aode ummapeamentonal maissuave,reduzindo onumero

derelac~oes individuaisepar^ametrosdeprojetonecessariospararepresentarumsistemacom

precis~aoarbitraria.

Embora os modelos TS n~ao sejam interpretaveis no sentido qualitativo, ou seja, n~ao

con-mas din^amicos (Filev (1991); Johansen, Shorten e Smith (1998)), o que sera explorado no

Captulo 5.

Osmodelos fuzzyTakagi-Sugeno (TS) tambems~ao referenciadosnaliteraturacomo

mo-delos fuzzy Takagi-Sugeno-Kang (TSK). A raz~ao para isto e que este tipo de modelo foi

originalmente proposto por Takagi e Sugeno(Takagie Sugeno, 1985), mas Kang e Sugeno

(Sugeno e Kang(1986b), Sugeno(1988))desenvolveram importantes trabalhos em

identi-cac~ao de modelos fuzzy e por isso muitos pesquisadores t^em citado o modelo fuzzy original

de Takagi-Sugeno como TSK. Neste trabalho, como em Tanaka e Wang (2001), ele sera

denotado comoTS.

2.2 Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno

OmodelofuzzyTakagi-Sugenopoderepresentarumaclassegenericadesistemasn~ao-lineares

din^amicos ou estaticos (Kim et al., 1997). Ele e baseado na partic~ao fuzzy do espaco de

entrada e pode ser visto como uma expans~ao da partic~ao linear por partes (piecewise). Os

modeloss~ao construdos por\r" implicac~oesfuzzy (regras)do seguinte formato:

R i : SEz 1 (t)eM i 1 E ::: Ez p (t)eM i p ; ENT ~ AOy i =f i (z 1 ;:::;z p ) (2.6) y 0 = r X i=1 ! i y i P r i=1 w i (2.7) sendo  R i

(i=1;2;:::;r)denotaaregrafuzzyi. S~aorelac~oesfuzzyquedescrevemimplicac~oes

ques~ao calculadas atravesde uma func~ao de implicac~ao;

 z

j

(t) (j =1;2;:::;p)e aentrada. S~aoas variaveis das premissas;

 y i



e a sada da implicac~ao i. Por simplicidade, um sistema com multiplas entradas

e sada simples e assumido (MISO). No caso de um sistema com multiplas sadas,

diversas variaveisde sadataiscomo y i 1 ey i 2 s~aousadas.  f i

(i=1;2;:::;r)s~ao func~oes querelacionam as entradas domodelo com a sada;

 M i 1 ; M i 2 ;:::; M i p

s~ao as variaveis fuzzy sendo que cada func~ao de pertin^encia,

 i

j (z

j

(t)) pode ser trapezoidal, triangular, tipo sino, ou outras func~oes que

represen-tem um subespacofuzzy noqual aimplicac~aoR i

Nos modelos TS a infer^encia de um valorde saday =y 0

a partir de um dado conjunto

de valores de entrada z 1 =z 0 1 ;:::;z p = z 0 p

e calculada como a media ponderada das sadas

individuais de cada implicac~ao, sendo que y

i = f i (z 0 1 ;:::;z 0 p ) e ! i  e o nvel de ativac~ao da

enesima implicac~ao, istoe

! i = p Y j=1  i j (z 0 j ): (2.8)

Sugenoeseus colaboradores(Takagie Sugeno(1985); Sugenoe Kang(1986b); Sugeno

e Kang(1988);Sugenoe Tanaka(1991))propuseramautilizac~aodefunc~oesansnaspartes

consequentes das implicac~oes, ou seja:

f i (z 1 ;:::;z n )=q i 0 + p X j=1 q i j x j : (2.9)

Esta escolha (2.9) permite uma interpretac~ao matematica simples do modelo com uma

interpolac~aodediferentesmodelosanseimplicaqueasadaem(2.7)elinearnospar^ametros

q i 0 ;:::;q i n

. Logo, esses par^ametros podem ser estimados utilizando qualquer algoritmo de

estimac~ao(Soderstrome Stoica(1989);Ljung(1999);Teixeira etal.(1996); Teixeira etal.

(1998); Teixeira, Daruichi e Assunc~ao (2000)).

Assim, o modelo fuzzy TS e capaz de aproximar um sistema n~ao-linear com uma

com-binac~ao de varios sistemas lineares ans pela decomposic~ao de todo o espaco de entrada

em varios espacos parciaiserepresentar cada espacoentrada/sada(I/O) com umaequac~ao

linear.

No caso emque apenas os termos constantes s~ao considerados em(2.9), o modelo (2.7)

coincidecomomodelolingusticodotiposingleton(Kim,Kange Park(1999),Kim(2001)).

A estrutura do sistema fuzzy TS, equivale uma estrutura composta por uma infer^encia

dotipo produto,fuzzicador singletone defuzzicadorcom centro medio (Wang, 1997)

O algoritmo original de identicac~ao sugerido por Sugeno e seus colaboradores t^em os

seguintes passos (Takagi e Sugeno, 1985):

1. Escolhaa estrutura da premissae aestrutura da parteconsequente;

2. Estimeos par^ametros daestrutura determinada nopasso 1;

3. Avalieo modelo;

Entretanto, a implementac~ao de tal algoritmo n~ao e trivial (Wang e Langari, 1995b),

porque para determinar as variaveis das func~oes de pertin^encia otimasenecessario resolver

um problema de programac~ao n~ao-linear. Embora o algoritmo TS possa expressar uma

relac~ao funcional altamente n~ao-linear usando um pequeno numero de regras fuzzy e seu

potencialdeaplicac~aosejagrande,acomplexidadedoprocedimentodeidenticac~aoproposto

em Takagi e Sugeno (1985) pode dicultar o seu uso em aplicac~oes praticas (Kim et al.,

1997). Para resolver estes problemasvariosalgoritmost^emsido propostos(Kim, Park, Lee,

Jie Park (1996); Kim et al.(1997); Wang e Langari (1995); Kim etal. (1998)).

2.3 Modelos Homog^eneos x Modelos Ans

Omodelofuzzyoriginalproposto emTakagie Sugeno(1985)descritoem(2.6)eummodelo

am. EntretantoamaioriadostrabalhosqueadotamossistemasfuzzyTSutilizamomodelo

\homog^eneo".

O sistema fuzzy TS homog^eneo possui a parte consequente linear e n~ao tem um termo

biasconstante. Enquantoqueosistemafuzzyampossuiaparteconsequenteameotermo

biasn~aonulo.

Embora os sistemas ans sejammais naturaise atraentes para osseres humanosdoque

sistemashomog^eneos, s~aoestes ultimosque t^emdespertado maiorinteresse dacomunidade

cientca devido a sua facilidade de analise.

Omotivodestefatoeque,comestetipodemodelolocal,oprojetode controladores(por

exemplo de reguladores) pode ser feito com LMIs. Com o uso de modelos locais ans, em

geral, o problema so pode ser descrito por Desigualdades Bilineares Matriciais (em ingl^es,

BMIs) cuja soluc~aocomputacionale muito mais complexa.

Entretanto alguns pesquisadores t^em dedicado atenc~ao a analise de estabilidade de

sis-temas ans (Johansen, Hunt e Gawathrop (1998); Marin e Titli (1995); Johansson e

Rantzer (1998)).

Geralmente, o modelo fuzzyde um sistema fsico pode ser construdopor:

1. convers~ao direta daequac~ao n~ao-lineardomodelo fsico;

2. identicac~ao usandoo observador de dados I/O (entrada/sada).

Se o sistema fuzzy e diretamente convertido da equac~ao n~ao-linear como, por exemplo, em

Wang et al. (1996); Tanaka et al. (1996b) e Teixeira e _

A Figura2.7mostrauma aproximac~aode um sistemaporum modeloTS am eporum

modelo homog^eneo.

o

o

Figura 2.7: Exemplos de aproximac~ao com modelo TS (a) am e (b) homog^eneo: f(x) e a

func~aodo sistemade simulac~ao;f

f

(x)e afunc~ao de aproximac~aoobtidacom modelosfuzzy

em

1 em

2

s~ao aproximac~oes lineares em(b). Em (a) m

2 

e aaproximac~aoam.

2.4 Representac~ao de Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno

No metodo de modelagem e projeto propostos nesta tese, uma dada planta n~ao-linear e

representada pelomodelo fuzzy TS (Takagi e Sugeno, 1985) homog^eneo (o termo bias em

(2.9) e nulo, q i

0

= 0, i = 1;:::;p) atraves da convers~ao direta da equac~ao n~ao-linear do

modelo fsico. Osistema fuzzy TS edescrito pelas regras fuzzy Se-Ent~ao, que representam

localmenterelac~oes linearesentre aentrada e a sada de um sistema.

A descric~ao local da planta din^amica a ser controlada esta disponvel em termos dos

modeloslineares locais:

_ x(t) = A i x(t)+B i u(t); y(t) = C i x(t);

sendo i=1;2;:::;r, o vetor de estado x(t)2R n

, o vetor de entrada u(t) 2R m , o vetor de sada y(t)2 R q , A i 2 R nn , B i 2 R nm e C i 2R qn

. A informac~ao acimae ent~ao fundida

com asregras Se-Ent~ao disponveis, onde a enesima regra pode ter a forma:

Regrai : Sez 1 (t)eM i 1 E ::: Ez p (t)eM i p ; Ent~ao ( _ x(t)=A i x(t)+B i u(t) y(t)=C i x(t): (2.10) M i j

,j =1;2;:::;peoconjuntofuzzyjdaregraiez

1

(t);:::;z

p

(t)s~aoasvariaveispremissas.

Seja  i

j (z

j

(t)) a func~ao de pertin^encia do conjunto fuzzy M i j , w i (z(t)) denido em (2.8) e z(t)=[z (t)z (t) ::: z (t)].

Como  i j (z j (t))0 tem-se,para i=1;2;:::;r, w i (z(t))0 e r X i=1 w i (z(t))>0:

Umaescolhanaturalparaaobtenc~aode ummodelofuzzyTS parasistemasn~ao-lineares

e adotar z(t) =x(t), sendo x(t) o vetor estado do sistema n~ao-linear. Esta escolha e feita

em todos os desenvolvimentos teoricos deste trabalho.

Destaforma,dadoum par (x(t);u(t)),osistemafuzzy resultanteeobtidocomoamedia

ponderada dos modelos locais,e para i=1;2;:::;r; tem aforma:

_ x(t) = r X i=1 w i (x(t))(A i x(t)+B i u(t)) r X i=1 w i (x(t)) = r X i=1  i (x(t))(A i x(t)+B i u(t)) (2.11) = r X i=1  i (x(t))A i ! x(t)+ r X i=1  i (x(t))B i ! u(t) = A( )x(t)+B( )u(t):

A sadaedada por

y(t) = r X i=1 w i (x(t))C i x(t) r X i=1 w i (x(t)) = r X i=1  i (x(t))C i x(t) (2.12) = C( )x(t): Para i=1;2;:::;r,  i (x(t)) = w i (x(t)) r X i=1 w i (x(t)) 0; e r X i=1  i (x(t)) =1: (2.13)

Observac~ao 1 Em algumaspassagens destadissertac~ao, x(t)serarepresentado apenas por

x, para facilitar a notac~ao. Mas em todos os casos citados, x e uma func~ao de t.

2.5 Interpretac~ao de Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno

conjunto fuzzy ouvalorconstante. Esta propriedade apresenta varias vantagens (Johansen,

Shorten e Smith,1998):

 Da perspectiva de engenharia de controle, o uso de modelos locais lineares (ou local

linear) preenche a lacuna entre o controle fuzzy e o controle convencional. Existem

muitasferramentasnateoriadesistemaslinearesquepodemserparcialmenteaplicadas

paramodelosTS fuzzye controladores;

 As partes consequentes, relativamente complexas, permitem que o numero de regras

fuzzy (modelos locais) seja muito pequeno em muitas aplicac~oes. Consequentemente,

omodelo fuzzy TSe menospropenso ao problema de dimensionamentodo queoutros

modelosfuzzy. Istoocorreporque nas regi~oes onde asn~ao-linearidadess~aomais

acen-tuadas,aspartes consequentes podem serfunc~oes maiselaboradaspararepresentarem

estasn~ao-linearidadese,conformeanecessidade, maisregras podem ser includas

nes-tas regi~oes. Por outro lado, nas regi~oes onde as n~ao-linearidades n~ao s~ao t~ao fortes,

pode-se utilizar func~oes de pertin^encia mais simples e o numero de regras pode ser

reduzido. Esta distribuic~ao das regras leva a uma melhor representac~ao do sistema

com um numeromnimo de modelos locais;

 estrutura do modelo (partic~ao do espaco de estados e estrutura do modelo local) e

propriedadesdo modelo localpodem, emalgumasaplicac~oes, seremfacilmente

relaci-onadascom o sistema fsico. Isto simplicaodesenvolvimento domodelo e validac~ao.

Para muitas aplicac~oes, e importantequeo comportamentoglobal domodelo n~ao-linear

fuzzy seja similar ao comportamento global do sistema n~ao-linear que representa o sistema

fsico. Por exemplo, quando o modelo globale usado para predic~aon~ao-linear ouquando o

modelo globale usado emum modelo internode um controlador(Johansen, 1994).

Por outro lado, algumas vezes e necessario e frequentemente desejavel que os modelos

lineareslocaisfuzzysejamaproximac~oesprecisasdaslinearizac~oeslocaisdosistemareal. Este

e o caso quando o modelo fuzzy din^amico TS e usado como uma base para um controlador

fuzzy de ganho programado, ja que os modelos lineares locais s~ao usados para projetar

controladores lineares locais.

Entretanto, identicar modelos din^amicos que sejam boas aproximac~oes para

lineari-zac~oesdesistemasn~ao-linearesnemsempreetrivial(Yenetal.(1998);Shortenetal.(1999)).

Outraimportanteraz~aoequeaescolhadoalgoritmo(oalgoritmodosmnimosquadrados,

por exemplo) geralmente e feita com o objetivo explcito de selecionar os par^ametros dos

modeloslocais para otimizaro desempenho global.

Isto e frequentemente obtido com modelos locais que s~ao signicativamente diferentes

das linearizac~oes locais. Os problemas s~ao, na maioria das aplicac~oes praticas, ampliados

por restric~oes sobre o projeto experimental, que restringe a quantidade de informac~oes nos

dadostransientes. Umaconsequ^encia e quesepode determinarfacilmenteum modelofuzzy

TS, que fornece um bommodelo n~ao-linearglobal do sistema n~ao-linear, mas com modelos

locais que t^em pouco em comum com as linearizac~oeslocais.

EmShortenetal.(1999)emostradoqueomodelofuzzydin^amicoTSamcontem

excessi-vosgrausdeliberdadeedeveserinterpretadocuidadosamente. Oproblemadainterpretac~ao

tambem e discutido em Leith e Leithead (1999).

Muitos dosproblemas mencionadosacimaocorremsomenteparaamodelagemdin^amica

na identicac~ao. Logo, estes problemas n~ao ocorrem quando e feita a convers~ao direta do

modelo fsico (mapeamentos estaticos),como serafeito nesta tese.

2.5.1 Aproximac~oes Locais Ans

O modelo fuzzy TS din^amico e composto de multiplos modelos din^amicos locais ans (ou

homog^eneos). 

E necessario para o proposito de analise e aplicac~aoque estes modelos locais

possam ser relacionados com aslinearizac~oes dosistema n~ao-linear.

Em Leith e Leithead (1999) e apresentado o Teoremada Aproximac~ao que mostra que

omodelo fuzzydin^amicoTS, considerandoque osmodelos din^amicos locais ans conduzem

auma aproximac~ao arbitrariadosistema din^amico, quando onumero de regras r!1.

2.5.2 Variaveis Premissas

Um objetivo comum do modelamento e obter uma parametrizac~ao mnima dos sistemas

din^amicos. Neste contexto de modelos de estruturas locais, representac~oes econ^omicas do

sistemas~ao algumasvezes difceis de obter devido aos problemas de dimensionamento.

As-sim,para reduziracomplexidadedomodelofuzzyTS,ecomum(quando possvel)restringir

asfunc~oes de pertin^encia para dependerem de um subconjunto de variaveis(x;u) .

Nos casos em que as n~ao-linearidades n~ao s~ao muito fortes, a tend^encia e minimizar o

numerode variaveispremissas para minimizaracomplexidade domodelo.

Emalguns casos onumero de variaveispremissas pode ser reduzido sem reduzira precis~ao,

mas este procedimento sacrica a interpretabilidade do modelo local como linearizac~oes

locais.

2.5.3 Func~ao de Pertin^encia para Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno

OmodelofuzzyglobalTS pode forneceruma aproximac~aosatisfatoriadosisteman~ao-linear

ate mesmo quando os modelos locais ans constituintes n~aos~ao convencionalmente

lineari-zados. Na pratica, os modelos TS s~ao construdos interpolando ospar^ametrosdos modelos

locais constituintes usando infer^encia fuzzy. A escolha da func~ao de pertin^encia e de

im-port^ancia crucial neste procedimento(Leith e Leithead, 1999). Esta escolha deve ser feita

para fornecer tanta precis~aodo sistema din^amico quanto possvel. Entretanto, em algumas

aplicac~oes,func~oes de pertin^enciaescolhidasparaaproximarasdin^amicasglobaispodemser

inadequadas quando o modelo e linearizado. No entanto, para aplicac~oes de controle que

requeremalinearizac~aodomodelodaplanta,adelidade domodelonavizinhancadoponto

de equilbrio daplantae de primordialimport^ancia.

A Figura2.8apresentauma ilustrac~aosimplicada domodeloTS. Uma aproximac~aode

umafunc~aof(x):R !R efeitacom doismodeloslocais linearesdenidas pelas constantes

a

1 ea

2

combinados com asfunc~oes de pertin^encia 

1 (x) e  2 (x). f 1 =a 1 x f 2 =a 2 x f(x) f f (x) 0=x 0 x x 1 f(x)f f (x)= 1 (x)a 1 x+ 2 (x)a 2 x  1  2 f(x);f f (x) 1 0

Figura2.8: Ilustrac~aodaaproximac~aodafunc~aodomodelode simulac~aopelafunc~aoobtida

pormodelos fuzzy TS.

Considereafunc~aon~ao-linearf(x)descritanaFigura2.8. Notequeestafunc~aopode ser