Determinação de equação para o coeficiente de transferência de massa e o uso da fluidodinâmica computacional (CFD) para canal hidráulico

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Tecnologia

MAYARA DE OLIVEIRA MAIA SILVA

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(CFD)

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Limeira

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(CFD)

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Dissertação apresentada à Faculdade de Tecnologia da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Tecnologia, na área de Ambiente.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Lubienska Cristina Lucas Jaquiê Ribeiro

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE Á VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA ALUNA, MAYARA

DE OLIVEIRA MAIA SILVA E

ORIENTADA PELA PROF.ª DRA.

LUBIENSKA CRISTINA LUCAS

JAQUIÊ RIBEIRO

Limeira

Abaixo se apresentam os membros da comissão julgadora da sessão pública de defesa de dissertação para o Título de MESTRA em TECNOLOGIA na área de concentração de AMBIENTE, a que submeteu a aluna MAYARA DE OLIVERA MAIA SILVA, em 8 de dezembro 2017 na Faculdade de Tecnologia- FT/ UNICAMP, em Limeira/SP.

Prof. (a). Dr (a) Lubienska Cristina Lucas Jaquiê Ribeiro Presidente da Comissão Julgadora

Faculdade de Tecnologia – Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Laura Maria Canno Ferreira Fais

Faculdade de Tecnologia – Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Erich Kellner

Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal de São Carlos

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica da aluna na Universidade.

Aos meus pais, Djair e Deomira, as minhas irmãs Andréia, Mariana e Nathália, pelo amor incondicional e a minha grande nova motivação, Davi, meu pequeno príncipe.

existência, por me sustentar, por me conceder saúde e forças para chegar até aqui.

À minha amada família, em especial aos meus pais que nunca mediram esforços para

me incentivarem de todas as formas, pelo amor e cuidado. Às minhas irmãs, por serem presentes e alegrarem nossa casa, ao meu “grãozinho de ouro” Davi que tornou a vida ainda mais feliz.

À minha Orientadora Prof. Dra. Lubienska, por todos os anos de convivência, amizade, confiança, paciência, contribuições, e por ser uma pessoa atenciosa e gentil.

Ao Prof. Dr. José Roberto, pela oportunidade de iniciar os estudos em CFD, apoiar e

contribuir imensamente para o desenvolvimento desse projeto.

Aos alunos do laboratório L-CFD Unicamp, especialmente ao Alexandre pela

disponibilidade e paciência em repassar os ensinamentos e experiência nos estudos em Fluidodinâmica Computacional.

A todos os Amigos que tornaram a vivência na faculdade inesquecível, Fabinho, Jéssica, Alana, Kath, Blim, Giulia e Marcella, especialmente a Andréa, pelas incontáveis colaborações, incentivo, presença, carinho e amor... Aos amigos de uma vida toda, que incentivaram e se fizeram presentes nesse período, Gabriela, Karolina, Dani, Bianca, Luciana, Pamela e Rayene.

À minha grande amiga Eva pela amizade verdadeira e companheirismo ao longo de tantos anos, pelo apoio, incentivo diário, e contribuições fundamentais no desenvolvimento desse trabalho.

À Capes pela concessão da bolsa de estudos.

À Unicamp e a Faculdade de Tecnologia juntamente com todos os professores e funcionários, pelo suporte e possibilidade da realização desse trabalho.

“Nada te turbe, nada te espante todo se pasa, Dios no se muda, la paciencia todo lo alcanza, quien a Dios tiene nada le falta sólo Dios basta”.

cargas poluidoras industriais e principalmente urbanas, o uso inadequado do solo, de defensores agrícolas, desmatamento, erosão, dentre outros fatores. Portanto, investir na gestão da água é uma necessidade e introduz vantagens imediata, assim, pesquisas e programas para reduzir emissões de efluentes e prever os impactos ambientais dessas tornam-se necessários. Neste cenário, iniciam-se os esforços para encontrar estratégias para o gerenciamento dos recursos hídricos. Com o intuito de preservar a qualidade das águas dos rios, simuladores que usam modelos matemáticos passam a ser interessantes, de forma a expressar as complexas interações ocorridas no corpo d’água receptor. A Fluidodinâmica Computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) vem ao encontro dessas necessidades, pois é utilizada para simular numericamente o escoamento de fluidos. Além de solucionar numericamente as leis que regem o estudo dos fluidos, seja na transferência de massa e energia, a CFD consegue também estimar reações químicas, comportamentos hidráulicos, e outras situações encontradas em escoamentos simples e complexos. Dentre essas aplicações, o comportamento local dentro de um rio pode então ser estimado utilizando-se técnicas de CFD. Para se estimar concentrações dos poluentes, quer em lançamentos contínuos ou instantâneos, esses modelos podem ser muito úteis em processos de outorga e enquadramentos dos corpos hídricos. A utilização desses modelos envolve o uso de parâmetros que precisam ser bem avaliados para o modelo retornar resultados confiáveis. Um importante parâmetro físico de qualidade da água a se quantificar é o coeficiente de transporte de massa que mede a maior e menor facil idade encontrada pelo curso d’água para dispersar um poluente. Assim, esse projeto de pesquisa teve como objetivo primeiro a obtenção da equação do coeficiente de transferência de massa para canal retangular hidráulico, com o uso de dados experimentais e segundo a simulação computacional desse canal através da ferramenta de CFD com análise comparativa da dispersão do traçador (NaCl), entre os resultados experimentais obtidos por Oliveira (2016) e os do modelo computacional desenvolvido. Tanto a equação deduzida como o modelo computacional foram considerados representativos para o canal estudado.

in industrial and mainly urban pollutant loads, inadequate land use, agricultural defenders, deforestation, erosion, and other factors. Therefore, investing in water management is a necessity and introduces immediate benefits, thus, research and programs to reduce effluent emissions and predict the environmental impacts of these become necessary. In this scenario, begin the efforts to find strategies for managing water resources. In order to preserve the quality of the rivers waters, simulators using mathematical models become interesting, in order to express the complex interactions in the receiving water body. Computational Fluid Dynamics (CFD) meets these needs. It is used to numerically simulate the flow of fluids. In addition to solving numerically the laws governing the study of fluids, whether in the transfer of mass and energy, CFD also manages to estimate chemical reactions, hydraulic behaviors, and other situations found in simple and complex flows. Among these numerous applications, local behavior inside a river can then be estimated using CFD techniques. In order to estimate concentrations of pollutants, either in continuous or instantaneous releases, these models can be very useful in granting processes and framework of water bodies. The use of these models involves the use of parameters that need to be well evaluated for the model to return reliable results. An important physical parameter of water quality to quantify is the mass transport coefficient that measures the greater and lesser facility found by the watercourse to disperse a pollutant. Thus, this research project had the objective of obtaining the equation of the mass transfer coefficient for the hydraulic rectangular channel, with the use of experimental data and according to a computational simulation of this channel through the CFD tool with comparative analysis of the tracer dispersion (NaCl), between the experimental results obtained by Oliveira (2016) and the computational model developed. Both the deduced equation and the computational model were considered for the studied channel.

Figura 1: Escoamento de superfície livre: distribuição de velocidades na linha central de um

canal. Fonte: POTTER e WIGGERT, 2004. ...19

Figura 2: Escoamento de superfície livre: seção transversal. Fonte: POTTER e WIGGERT, 2004. ...19

Figura 3: Escoamento de superfície livre: modelo unidimensional. Fonte: POTTER e WIGGERT, 2004. ... 200

Figura 4: Diferentes tipos de escoamento em canal aberto. UF: Escoamento uniforme; GVF: Escoamento gradualmente variado; RVF: Escoamento rapidamente variado. ... 21

Figura 5: Relações de raios hidráulicos para diversas geometrias de canal aberto. Fonte: ÇENGEL e CIMBALA, 2007. ... 23

Figura 6: Definições de escoamento subcrítico e supercrítico em termos de profundidade crítica. Fonte: ÇENGEL e CIMBALA, 2007. ... 24

Figura 7: Escoamento supercrítico através de uma comporta basculante. Fonte: ÇENGEL e CIMBALA, 2007. ... 25

Figura 8: Corte longitudinal do tubo de Pitot. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 27

Figura 9: O volume de controle ou elementar. Fonte: Adaptado de ANSYS, Inc. 2010... 37

Figura 10: Formas geométricas da malha. Fonte: Adaptado de Dias, 2009. ...39

Figura 11: Malha Estruturada e Não-Estruturada, respectivamente. Fonte: Dias, 2009. ... 40

Figura 12: Canal hidráulico estudado – Laboratório de hidráulica. Fonte: Arquivo pessoal, 2016. ... 42

Figura 13: (a) Reservatório enterrado maior, (b) Reservatório enterrado menor. Fonte: Arquivo pessoal. ... 43

Figura 14: Vista superior dos pontos de coleta. Fonte: Adaptado de Lopes, 2015. ... 43

Figura 15: (a) Aparelho molinete para medição de velocidade, (b) medição sendo realizada no canal.. Fonte: Arquivo Pessoal, 2017... 44

Figura 16: Esquema Computacional. Fonte: Adaptado de Castro, 2011. ... 46

Figura 17: Geometria canal hidráulico. Fonte: Arquivo Pessoal. ...47

Figura 18: Geração de Malha. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 48

Figura 22: Destaque para a parede ao final do trecho simulado. Fonte: Arquivo Pessoal. ...60

Figura 23: Malha Hexaédrica 1. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 61

Figura 24: Malha Hexaédrica 2. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 61

Figura 25: Malha Hexaédrica 3. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 62

Figura 26: Malha Numérica utilizada nas simulações. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 63

Figura 27: Pré-processamento - Inlet2.Fonte: Arquivo Pessoal. ... 64

Figura 28: Posicionamento dos pontos de medição de velocidade Fonte: Arquivo Pessoal. ... 65

Figura 29: Localização dos pontos para análise de concentração na superfície do canal. Fonte: Arquivo Pessoal... 65

Figura 30: Localização dos pontos para análise de concentração em diferentes alturas do canal. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 66

Figura 31: Monitores RMS, exemplo de convergência. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 67

Figura 32: Comparação do Perfil de Velocidade do Ensaio Experimental e resultados em CFD. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 68

Figura 33: Perfil de Velocidade com vista nos plano x e y. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 69

Figura 34: Perfil de Velocidade do canal retangular simulado. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 69

Figura 35: Velocidade na saída do escoamento aproximada. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 70

Figura 36: Estudo da Velocidade na saída do escoamento. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 70

Figura 37: Concentração do Traçador ao longo do canal. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 71

Figura 38: Concentração do Traçador nos primeiros pontos analisados. Fonte: Arquivo Pessoal... 71

Figura 39: Perfil de Concentração do Traçador para o lado direito. Fonte: Arquivo Pessoal.. 74

Figura 30: Perfil de Concentração do Traçador para o centro. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 75

Figura 41: Perfil de Concentração do Traçador para o lado esquerdo. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 76

Figura 42: Concentração do Traçador visualizado através de planos. Fonte: Arquivo Pessoal. ... 78

Tabela 1: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,001622 (m³/s)...51

Tabela 2: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,002881 (m³/s)...52

Tabela 3: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,004286 (m³/s)...52

Tabela 4: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,006006 (m³/s)...53

Tabela 5: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,007647 (m³/s) ...53

Tabela 6: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,009131 (m³/s) ...54

Tabela 7: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,009635 (m³/s). ....54

Tabela 8: etapa de levantamento de dados para o canal, para a vazão de 0,012248 (m³/s). ....55

Tabela 9: Resultado Final dos ensaios realizados com vazões diferentes...55

Tabela 10: Coeficiente de difusão binária. ... 56

Tabela 11: Resultados Teste independência de Malha. ... 62

Tabela 12: Configurações gerais da simulação. ... 64

Tabela 13: Resultado da simulação CFD - Concentração das amostras na superfície (Kg/m³). ... 72

Tabela 14: Concentração das amostras ensaio experimental (Kg/m³).. ... 73

ANA – Agência Nacional de Águas

CETESB - Companhia Tecnológica De Saneamento Ambiental CFD – Fluido dinâmica Computacional

EU - Escoamento uniforme Fr – Froude

GVF: Escoamento gradualmente variado MDF - Método das Diferenças Finitas MEF - Método dos Elementos Finitos MVF - Método de Volume Finito NaCl – Cloreto de Sódio

ONU - Organização das Nações Unidas Re – Reynolds

RMS - Root Mean Square

RSM - Modelo dos Tensores de Reynolds RVF - Escoamento rapidamente variado Sc – Número de Shmidt

Sh – Número de Sherwood SST - The Shear Stress Transport UF - Escoamento uniforme

Lista de Tabelas ... X Lista de Abreviaturas e Siglas ... XI

1. Introdução ... 13

2. Objetivo ... 16

2.1 Objetivos específicos: ... 16

3. Fundamentação Teórica ... 187

3.1 Fenômenos a serem considerados em Canais Abertos ... 24

3.2 Coeficiente de transferência de Massa... 27

3.3 Fluidodinâmica Computacional - CFD ... 28 3.4 Modelagem Matemática ... 30 3.5 Turbulência ... 32 3.6 Métodos Numéricos ... 34 3.7 Malha Numérica ... 38 3.8 Convergência ... 40

4. Metodologia e caracterização do problema ... 41

4.1 Descrição geral do canal estudado ... 41

4.2 Ensarios Experimentais ... 42 4.3 Ensaios Computacionais ... 44 5. Resultados e Discussão ... 50 5.1 Primeira etapa ... 50 5.2 Segunda etapa ... 58 6. Conclusão ... 79 7. Referências ... 81

1. Introdução

A crise da água no estado de São Paulo trouxe várias reflexões sobre seus usos. O ponto positivo que se pode destacar é que independente da necessidade de conscientização a ser trabalhada se faz necessário repensar o processo de gestão dos recursos hídricos no Brasil. Um dos grandes desafios da atualidade é a água, a qualidade da água ou a falta dela (FISCHER et al, 2016; JACOBI et al, 2015). A importância da água ou o que se pode chamar de “Segurança Hídrica”, relacionada as suas três vertentes: humana, sócio econômica e ecológica, pode ser hoje melhor entendida pela sociedade, ou seja, a sociedade passou a entender que a água é o motor do crescimento sustentável através de seu uso consciente e que a sua escassez gera fonte de conflitos entre seus diferentes usos, mas é claro o despreparo na gestão deste recurso renovável (CORTE, 2005; PORTANOVA, 2005). Sem este recurso, o abastecimento, a geração e energia, o setor industrial, as produções agropecuárias entre outros setores são afetados drasticamente (PIZELLA, 2014).

Portanto, a gestão integral da água nas bacias hidrográficas torna-se crucial e um verdadeiro trunfo de desenvolvimento econômico e social para o país. O monitoramento e a avaliação da qualidade das águas superficiais e subterrâneas são fatores primordiais para a adequada gestão dos recursos hídricos. Esses procedimentos permitem a caracterização e a análise de tendências em bacias hidrográficas, sendo essenciais para várias atividades, tais como planejamento, outorga, cobrança e enquadramento dos cursos de água (ANA, 2011).

Observa-se que com a enorme pressão da urbanização, da concentração mundial desta em grandes centros e da industrialização, os problemas de degradação ambiental são cada vez maiores. Segundo Meijerink et al. (1994) com a falta de gestão a deterioração da qualidade da água por poluição de origens pontual e não pontual (difusa) tem se tornado um dos maiores problemas ambientais dos últimos anos, pois verifica-se que à escassez de água é grave em diversas regiões do país e a ela pode-se adicionar a poluição concentrada e difusa dos corpos hídricos.

Portanto, os recursos hídricos estão sendo danificados sofrendo com o aumento das cargas poluidoras que causam o transporte de poluentes e a contaminação orgânica e química das águas. A poluição hídrica exige cuidados especiais, assim as legislações ambientais brasileiras, como por exemplo, a lei nº 9.433, de 08/01/1997 (Política Nacional de Recursos

Tendo em vista o longo prazo em projetos pilotos e altos custos em medições e monitoramentos, a modelagem e a simulação de fenômenos ambientais consistem em uma forma simplificada de representar e avaliar determinados processos de um sistema ambiental real (MILLER, 2007).

Para reduzir os custos e diminuir os prazos na investigação da degradação ambiental modelos matemáticos e simuladores são desenvolvidos com o objetivo de predizer os impactos causados na qualidade das águas superficiais e subterrâneas identificando as áreas com poluição. Eles possibilitam a criação de cenários alternativos, muitos deles ainda não explorados em experimentos reais. Esses métodos fornecem uma representação adequada dos processos-chave e tem o potencial de aumentar significativamente a compreensão da dinâmica de um determinado canal estudado, isto é, eles podem proporcionar o aumento da densidade do espaço de informação para além do que é possível através de medições de campo.

A importância da simulação computacional também reside no fato de haver dificuldade ao reproduzir fenômenos em certos experimentos laboratoriais. Quando da necessidade de se reproduzir o escoamento dos fluidos, do ponto de vista matemático, as resoluções das equações relacionadas ao fenômeno são altamente complexas (AVEROUS e FLUENTS, 1997). Uma metodologia que é altamente utilizada para resolver esses modelos e usa recursos computacionais é a fluidodinâmica computacional, conhecida como CFD (do inglês, Computacional Fluid Dynamics), que começou a assumir um papel mais significativo em meados de 1970.

A simulação numérica realizada por meio da CFD emprega um esquema numérico baseado em discretização por Volumes Finitos. Atualmente, existem vários softwares comerciais que utilizam a metodologia, tais como PHOENICS CFX, STAR-CD, FLUENT, FLOW-3D e o ANSYS CFX. A tecnologia da CFD se tornou uma parte fundamental no projeto e análise de produtos e processos de muitas empresas, devido a sua habilidade de predizer o desempenho destes equipamentos e processos antes mesmo de serem produzidos ou implementados. Devido ao aumento da capacidade de processamento dos computadores, à evolução dos recursos gráficos e à interatividade na manipulação de imagens 3-D, a ferramenta se tornou menos onerosa, reduziu o tempo de simulação e, consequentemente, o seu custo de uso (LOMBARDI, 2005).

As aplicações de CFD em análise de escoamentos são diversas, por exemplo: metalurgia, aeroespacial, pás de turbinas, aerodinâmica automotiva, biomédica, máquinas de fluxo e geração de energia. Essa ferramenta auxilia no conhecimento a respeito de como os

fluidos escoam e quais são os efeitos quantitativos de suas interações com estruturas sólidas. Através de simulações com o uso de CFD podem-se prever dados como consumo de potência, padrão de escoamento, a concentração de sólidos, dentre outros. É portanto, uma ferramenta poderosa para predizer fluxos tridimensionais e distribuição de concentração de poluentes. Segundo Devens (2006) esses modelos são úteis em processos de outorga e enquadramentos dos corpos hídricos, produzem estimativas da concentração dos poluentes conservativos e não conservativos, quer os lançamentos sejam contínuos ou instantâneos.

Cada vez mais se torna indispensável atividades de pesquisa e programas para reduzir e prever os impactos gerados nos rios. A compreensão das questões ambientais pode influenciar positivamente o grau de conscientização dos agentes envolvidos na busca pela distribuição justa e a sustentabilidade do uso dos recursos hídricos, além de contribuir para o avanço do conhecimento científico entre as relações humanas, sociais, econômicas e ecológicas (MUNEVAR, 2015).

Tendo em vista a necessidade de esforços para encontrar estratégias para o gerenciamento dos recursos hídricos acerca da dispersão de poluentes no meio hídrico devido aos grandes impactos ambientais advindos dos processos de urbanização e a industrialização, propõe-se nesse trabalho o estudo da dispersão de poluentes no meio hídrico através de experimentação em laboratório e o uso da CFD.

2. Objetivo

O objetivo da pesquisa é deduzir a equação do coeficiente de transferência de massa a partir do número de Sherwood para um canal em escala reduzida e realizar a simulação computacional hidráulica deste, com base nos usos das funcionalidades disponíveis nas ferramentas de simulação numérica de Fluidodinâmica Computacional do ANSYS CFX 16.1.0.

2.1 Objetivos específicos:

 Realizar experimentação em laboratório para caracterização do canal em estudo de

forma a possibilitar a determinação da equação do coeficiente de transferência de massa;

 Deduzir a equação do coeficiente de transferência de massa a partir do número de

sherwood;

 Utilizar a ferramenta de CFD para realizar simulações da geometria do canal em

estudo, para validação do modelo computacional;

 Comparar os dados experimentais obtidos por Oliveira (2016) de concentração do

traçado no canal, com os resultados de concentração do traçador da simulação computacional.

3. Fundamentação Teórica

Canais são estruturas hidráulicas que conduzem água com uma superfície livre, com seção aberta ou fechada. É o fenômeno de escoamento mais comumente encontrado na superfície da Terra. Os canais podem ser classificados como naturais, que são os cursos d’água naturais, como exemplo os córregos, rios entre outros e podem ser classificados como artificiais, de seção aberta ou fechada, construídos pelo homem, como exemplos as galerias, aquedutos e canais de irrigação. A principal característica dos condutos livres ou também chamado de canais é a presença da pressão atmosférica constante atuando sobre a camada superficial do líquido, também chamada de superfície livre. Nesse caso o escoamento se processa por gravidade (AZEVEDO NETTO et al, 1998; PORTO, 2001; POTTER e WIGGERT, 2004; ÇENGEL e CIMBALA, 2007).

Apesar da similaridade referente ao tratamento analítico do escoamento em condutos livres e condutos forçados, as dificuldades para o tratamento em condutos livres são maiores. Essas dificuldades podem estar relacionadas com o fato de que nos condutos livres a superfície livre não permanece constante, podendo variar com as velocidades do fluido. Outro fato é que o escoamento é tridimensional, e na maioria das vezes são feitas simplificações bidimensionais e até mesmo unidimensionais, sendo essa última a mais utilizada.

Em um canal aberto, a velocidade de escoamento é zero nas superfícies laterais e no fundo por causa da condição de não-escorregamento e máxima no plano médio da superfície livre. Em algumas situações a presença de correntes secundárias forçará a ocorrência de velocidade máxima logo abaixo da superfície livre, em algum lugar dentro dos 25% superiores da coluna de água. Além disso, a velocidade de escoamento também varia na direção do escoamento na maioria dos casos (POTTER e WIGGERT, 2004). A Figura 1 mostra uma distribuição de velocidades representativa na linha central do canal.

A Figura 2 apresenta o perfil de velocidade tridimensional em uma determinada seção transversal, onde a tensão de cisalhamento do contorno não é uniforme, sendo desprezível na superfície livre apesar de variar em torno do perímetro molhado. Sendo, y a profundidade a partir da localização mais profunda até a superfície livre. Assim, a velocidade média V é calculada em função da velocidade na seção do escoamento A, pode ser visto na Equação 1.

Figura 1: Escoamento de superfície livre: distribuição de velocidades na linha central de um canal.

Fonte: Arquivo pessoal - baseado em POTTER e WIGGERT, 2004.

Figura 2: Escoamento de superfície livre: seção transversal.

Fonte: Arquivo pessoal - baseado em POTTER e WIGGERT, 2004.

A Figura 3 mostra que na maioria das vezes em canais abertos os escoamentos são considerados turbulentos o que leva a considerar o perfil de velocidades aproximadamente constante, sem erro significativo. Portanto, um canal é caracterizado pela velocidade média, mesmo que exista um perfil parabólico de velocidades em uma determinada seção. Segundo (POTTER e WIGGERT, 2004) em um modelo unidimensional a velocidade é igual a V em todos os pontos de uma determinada seção transversal. Portanto, como a velocidade média varia apenas com a distância na direção da corrente x, V é uma variável unidimensional.

Figura 3: Escoamento de superfície livre: modelo unidimensional.

Fonte: Arquivo pessoal - baseado em POTTER e WIGGERT, 2004.

Segundo Çengel e Cimbala (2007) a condição de não-escorregamento nas paredes do canal dá origem a gradientes de velocidades, e a tensão de cisalhamento da parede se desenvolve ao longo da superfície molhada. A tensão de cisalhamento da parede varia ao longo do perímetro molhado em determinada seção transversal e oferece resistência ao escoamento. A intensidade dessa resistência depende da viscosidade do fluido e também dos gradientes de velocidade na superfície da parede. O escoamento pode ser classificado como permanente e não permanente. O escoamento é permanente se não houver variação com o tempo em determinado local. A quantidade representativa dos escoamentos em canais abertos é a profundidade do escoamento ou a velocidade média que pode variar ao longo do canal. O escoamento é permanente se a profundidade não variar com o tempo em nenhuma posição ao longo do canal, embora ela possa variar de um local para outro. Caso contrário o escoamento é não permanente.

O escoamento no canal também pode ser classificado como uniforme ou variado dependendo de como a profundidade y varia ao longo do canal, como mostra-se na Figura 4. Será dito uniforme quando a profundidade de escoamento permanece constante e caso contrário, se a profundidade do escoamento y (chamada de profundidade normal) varia com a distância na direção do escoamento o escoamento é classificado como variável. O escoamento uniforme é encontrado em seções longas e retas de canais com inclinação e seção transversal constante. O fluido nesse caso acelera até que a perda de carga devido aos efeitos do atrito seja igual á queda da elevação atingindo uma velocidade terminal.

Figura 4: Diferentes tipos de escoamento em canal aberto.

Fonte: Arquivo pessoal - baseado em ÇENGEL e CIMBALA, (2007).

Legenda: UF: Escoamento uniforme; GVF: Escoamento gradualmente variado; RVF: Escoamento rapidamente variado.

Sendo assim a quantidade de líquido que entra e sai de um trecho do canal será sempre constante. A Fórmula de Antoine Chézy, segundo Azevedo Netto e Fernandez (1998), foi proposta em 1769 e é aplicada para determinar o escoamento nos condutos livres, Equação 2:

I

R

C

V





C: Coeficiente de resistência de Chézy; Raio Hidráulico, em m;

I: Declividade, em m/m.

A fórmula de Chézy foi inicialmente aplicada tanto para condutos livres quanto para condutos forçados. O coeficiente C depende não só da natureza e estado das paredes dos condutos, mas também da sua própria forma. Para obter o coeficiente de resistência podem ser utilizadas as seguintes expressões apresentadas nas Equações 3, 4, 5 e 6:

 Manning (Netto, 1998):

(3)

Sendo:

η: Coeficiente de Manning, em (s/m1/3 )  Kutter (Neves, 1989) (4)

C: Coeficiente de resistência de Chézy; Raio Hidráulico, em m;

I: Declividade, em m/m.

m: Parâmetro que depende da rugosidade da parede.

 Bazin (Neves, 1989)

C: Coeficiente de resistência de Chézy; Raio Hidráulico, em m;

m: Parâmetro que depende da rugosidade da parede.

O escoamento ainda pode ser laminar, de transição ou turbulento dependendo do valor do número de Reynolds, (Equação 7),

Sendo:

V: velocidade média do líquido, em m/s; viscosidade cinemática, em m²/s µ: Viscosidade dinâmica, em Kg/m.s ρ: Massa específica, em kg/m³ : raio hidráulico, em m; diâmetro hidráulico, em m. (7) (8)

Portanto, calculando o Reynolds para canais tem-se que para escoamento laminar o

Reynolds é e turbulento é , ficando como de transição

. O número de Reynolds associado ao escoamento em canais abertos geralmente está acima de 50000, sendo, portanto, basicamente turbulento, visto que a viscosidade cinemática

da água a 20ºC é de 1.00x10-6 m²/s, a velocidade de escoamento média está acima de 0.5 m/s

e o raio hidráulica é em geral maior que 0.1 m (ÇENGEL e CIMBALA, 2007).

Figura 5: Relações de raios hidráulicos para diversas geometrias de canal aberto

(a) Canal circular (θ em rad) (b) Canal Trapezoidal

(C) Canal Retangular

(d) Filme líquido de espessura y

O escoamento em canal aberto também pode ser classificado como tranquilo, crítico ou rápido dependendo do número de Froude, Equação 9, que é a relação entre a força inercial e a força gravitacional, onde:

g é Aceleração da gravidade, em m/s²

V a velocidade média do líquido em uma seção transversal, em m/s

é o comprimento característico, em m.

y é profundidade, em m.

(9) De acordo com Froude o escoamento pode ser classificado como (ÇENGEL e CIMBALA, 2007; MUNSON, 2004; POTTER e WIGGERT, 2004):

, Subcrítico ou tranquilo ou fluvial: onde a velocidade é relativamente baixa, ou tranquila, e a profundidade consideravelmente grande;

, Crítico: regime intermediário, muito instável, pois qualquer alteração gera mudança na profundidade, ocasionando mudança de regime de escoamento.

, Supercrítico ou Rápido ou Torrencial: onde a velocidade é relativamente alta e a profundidade relativamente pequena;

A Figura 6 apresenta a classificação do escoamento de acordo com Froude e a Figura 7 apresenta o escoamento supercrítico através de uma comporta basculante.

Figura 6: Definições de escoamento subcrítico e supercrítico em termos de profundidade crítica

Figura 7: Escoamento supercrítico através de uma comporta basculante.

Fonte: ÇENGEL e CIMBALA, 2007.

Assim, uma onda de superfície se propaga pra montante quando , se propaga

pra jusante quando , e parece estar fixa na superfície quando . Da mesma forma, a velocidade da onde de superfície aumenta com a profundidade do escoamento y e, portanto, um distúrbio de superfície se propaga muito rápido em canais mais profundos do que em canais mais rasos.

3.1 Fenômenos a serem considerados em Canais Abertos

Entre os parâmetros mais importantes a serem levados em consideração em um canal aberto, podemos ressaltar sua forma ou seção transversal, que podem ser classificadas como irregulares, quando ocorrem variações em sua geometria, ou regulares, quando não há alteração significativa ao longo do canal (BAPTISTA, 2003). A área de seção transversal que pode ser representada e deduzida de forma mais simples é do canal regular, de seção retangular, sendo sua área dada pela Equação 10:

(10)

Onde b é a largura do fundo do canal e y é a altura da lâmina de água.

Outros parâmetros importantes que se deve levar em consideração são o perímetro molhado, que é a superfície do canal em contato com o líquido, podendo ser representado no caso de seção retangular por, Equação 11:

(11) Onde b é a largura do fundo do canal e y é a altura da lâmina de água.

E o raio hidráulico, Equação 12, definido como a razão entre a área da seção

transversal do escoamento , o perímetro molhado .

(12)

Este parâmetro é muito utilizado, como dimensão hidráulica característica, para cálculo do número de Reynolds. Também levando em consideração canais retangulares há a largura superficial, que é a largura da superfície em contato com a atmosfera, comumente representada por “B”, e a partir desta obtêm-se a profundidade hidráulica, Equação 13, que é a relação entre área molhada A e a largura superficial B:

(13)

Baptista e Coelho, junto a seus colaboradores (2003) afirmam que no caso de canais de geometria irregular, pode-se dividir o canal em várias subseções, considerando cada parte em sua forma aproximada, tratando cada parte especificamente, e posteriormente interpolando e/ou executando um ajuste de curvas.

Outro parâmetro é a velocidade de fluxo dentro do canal que não varia somente por causa de fenômenos e acessórios no canal, como por exemplo com a variação da declividade, com um vertedor ou com uma comporta, mas também dentro da própria lâmina de água. O fluído apresentará superfícies de atrito distintas como as paredes do canal ou a face do líquido que se encontra voltada para atmosfera. Assim, a velocidade não se distribui igualitariamente na extensão da seção transversal. A partir disto, pode-se considerar que a velocidade aumentará conforme se aproxima da superfície, no entanto, se distancia das paredes, desde que não haja outra corrente que cruze e altere a direção de fluxo, o que pode transformar o escoamento de forma complexa (BAPTISTA, 2003). Este fenômeno pode ser mais facilmente visualizado com equipamentos específicos, como por exemplo, o tubo de Pitot, Figura 8.

R_H = A p= (b´y) (b+2y) B A yh 

Figura 8: Corte longitudinal do tubo de Pitot.

Fonte: Arquivo Pessoal, (2016).

Delmeé (2003) descreve o tubo de Pitot como um aparelho que consiste, basicamente, em um equipamento em L, onde a perna inferior é composta por dois tubos concêntricos, um deles com um orifício centralizado em direção contrária ao fluxo, interno ao tubo de Pitot, ligado a uma tomada de pressão, que mede basicamente a velocidade de fluxo. O tubo externo, com furos laterais alinhados diametralmente, também ligados a uma tomada de pressão, que mede a altura da lâmina de água. A velocidade é medida a partir da diferença de pressão entre os dois pontos, sendo isto para líquidos incompressíveis, segundo a Equação 14:

(14) Onde:

v = Velocidade, em m/s;

g = Aceleração da gravidade, em m/s²; Δp = Variação de pressão, em Pa;

ρ = massa especifica do fluido, em Kg/m³.

As velocidades nas verticais podem ser determinadas também através de molinete, sendo a velocidade de escoamento medida em função da rotação de sua hélice ou conjunto de pás móveis. Os molinetes atuais contam com um circuito elétrico, alimentado por pilhas, que envia ao gerador sinais correspondentes a um determinado número de rotações

(cronometrando com precisão de cerca de 0.1s), permitindo assim a determinação da velocidade de rotação, Equação 15.

(15)

onde,

= velocidade em m/s,

= constante cujo valor é próximo ao passo da hélice; = número de rotações por segundo;

= são as perdas que para aparelhos precisos tem valor bastante baixo na ordem de 0.05.

3.2 Coeficiente de transferência de Massa

O Coeficiente de dispersão também chamado de coeficiente global de transferência de massa serve como indicador da capacidade de um curso d’agua em dispersar os poluentes que se dissolvem em suas águas. É comum em operações unitárias de reações químicas e separações a existência da transferência de massa entre fases distintas, onde não existe mais fronteira entre duas fases como: Sólido-Líquido ou Gás-Líquido. Sabe-se que tais mecanismos de transferência de massa são de difícil descrição e podem ser bastante complexos. Assim o cálculo do fluxo de massa é realizado através de coeficientes de transferência de massa (PINHO E PRAZERES, 2008).

Segundo Incropera e Dewitt (2003), o fluxo local e/ou a taxa de transferência total são de grande importância em qualquer problema de convecção (ou advecção). Essas grandezas podem ser determinadas pelas equações das taxas que dependem do conhecimento dos coeficientes advectivos local e médio. Estes coeficientes dependem das propriedades dos fluidos e são também uma função da geometria da superfície e das condições de escoamento. Isso porque a transferência advectiva é influenciada pelas camadas-limite que se desenvolvem sobre a superfície.

Pesquisas recentes mostraram que é possível identificar o coeficiente de transferência de massa através de ferramentas computacionais (MACHADO et al., 2008; OLIVEIRA, 2016). Machado et al (2008) desenvolveram um modelo de Fluidodinâmico Computacional tridimensional para simular a dispersão de substâncias solúveis em rios. Oliveira (2016)

utilizando dados experimentais levantados em laboratório em conjunto com a ferramenta desenvolvida por Machado et al (2008) identificou a possibilidade de calcular o coeficiente de transferência de massa e sugeriu para trabalhos futuros um estudo mais aprofundado para diferentes vazões experimentais e também estimar estes coeficientes utilizando uma relação baseada no Número de Sherwood. O Número de Sherwood é descrito na Equação 21.

(21)

Em que é o coeficiente de transferência de massa por convecção, L (em m)

representa o comprimento característico para a superfície de interesse e é uma

propriedade da mistura binária conhecida por coeficiente de difusão binária, Equação 22.

(22) A Equação 22 indica que o Número de Sherwood deve ser uma função da posição

SC, podendo ser possível trabalhar com um Número de Sherwood médio, que

depende apenas de onde representa um determinado ponto , é o Número de

Reynolds e é o Número de Schmidt.

A complexidade do fluxo em canais abertos e as dificuldades na amostragem dificultam a obtenção de dados experimentais confiáveis a partir dos processos de modelagem de uma dispersão de efluentes em um rio (OLIVEIRA, 2016).

3.3 Fluidodinâmica Computacional – CFD

Com o avanço atual da ciência computacional e com o desenvolvimento de novos algoritmos que realizam cálculos de alta complexidade, tornou-se possível o uso de ferramentas computacionais precisas a fim de solucionar problemas práticos em diversas áreas como na aerodinâmica, termodinâmica, hidráulica entre outras. Uma ferramenta utilizada para desenvolver e solucionar problemas na área de transporte e dispersão de poluentes tem sido a Fluidodinâmica Computacional (CFD - Computational Fluid Dynamics).

Segundo Fontes (2005), o modelo computacional deve ser capaz de descrever o comportamento físico, imitando o comportamento do sistema experimental; deve ser avaliado e comparado ao experimental, quanto ao resultado numérico final do sistema; deve ser capaz

de apoiar teorias ou hipóteses que explicam o comportamento observado; deve ser capaz de predizer o comportamento futuro, ou seja, os efeitos produzidos por mudanças nas variáveis do sistema ou em seu modo de operação.

As técnicas de CFD possibilitam simular condições próximas da realidade e fornecem resultados com boa acurácia, proporcionam redução de riscos em projetos inovadores, assim como a possibilidade de uso eficiente de energia e baixo custo de execução de projeto. Presentes hoje nos principais projetos de engenharia e na investigação, desenvolvimento e análise de casos complexos que envolvem escoamento (BARBOSA,2012).

A Fluidodinâmica Computacional tem o intuito de resolver numericamente as Equações de Transporte de Quantidade de Movimento, Massa e Energia, de forma a simular a dinâmica dos fluidos, assim, soluciona inúmeros problemas práticos. Tem sido amplamente usada, tanto academicamente quanto industrialmente, para predizer, visualizar e avaliar a maneira como fluidos podem se comportar em certas condições, especialmente em projetos de grande escala, nos quais é praticamente impossível realizar trabalho experimental devido ao seu custo e dificuldade. Resultados calculados mediante CFD para problemas diversos têm mostrado estarem de acordo com os resultados experimentais.

Conforme Fernandes, (2012) o CFD depende da solução numérica das equações de

Navier-Stokes, que descrevem fluxo do fluido. Como a resolução analítica das Equações de Navier-Stokes só é possível ser aplicada a um número restrito de situações e admite uma série

de hipóteses simplificadoras, tornou-se necessária a resolução numérica dessas equações. Os computadores realizam milhões de cálculos necessários para a solução dessas equações, simulando a interação de fluidos com superfícies complexas utilizadas na engenharia. De modo simplificado, como descreve essas superfícies complexas são subdividas em inúmeras partículas que formam a malha, em cada uma dessas partículas são realizadas as equações algébricas que serão relacionadas aos parâmetros específicos do problema. O conjunto de equações resultantes serão resolvidas interativamente, resultando em uma descrição completa do fluxo ao longo de todo domínio.

Comparado as aplicações das técnicas de CFD com ensaios experimentais, destaca -se como principais vantagens: o desenvolvimento e otimização de novos produtos; equipamentos e processos a preço de custo razoável; maior flexibilidade nas condições de experimentação visto a rápida análise de novas condições de processos (comparando-se com o tempo

necessário para introduzir modificações no processo experimental); tempo de desenvolvimento menor; a redução de riscos em projetos inovadores; uso eficiente de energia (NOGUEIRA, 2011).

Embora as técnicas de CFD apresentem inúmeras vantagens existem alguns limitantes em sua utilização, os quais são necessários destacar: a necessidade de validação dos modelos; a elevada demanda por memória e velocidade nos cálculos, especialmente quando os valores de Reynolds são altos, exigindo malhas numéricas muito refinadas (NOGUEIRA, 2011).

3.4 Modelagem Matemática

A fidelidade do modelo matemático com relação a realidade física do fenômeno estudado é muito relevante, a modelagem matemática compreende um conjunto de etapas que busca por meio de equações, reproduzir um fenômeno do mundo real.

Nos escoamentos de fluidos, o modelo numérico é estabelecido por meio das clássicas equações de transportes: conservação da quantidade de movimento, da massa e da energia, conjugadas com os modelos de turbulência (LAUNDER e SPALDING, 1972; PATANKAR e SPALDING, 1972; MALHOTRA, BRANION e HAUPTMANN, 1994; CULLIVAN, WILLIAMS e CROSS, 2003).

 Equação 23 de conservação de massa:

ρ (23)

Utilizando a notação de Einstein, a Equação 23 é escrita conforme a Equação 24:

ρ ρ ρ (24) Equações da Quantidade do Movimento: que indica a conservação do momento em

cada uma das direções , .ou Estas equações são conhecidas como equação de

Navier-Stokes, Equação 25. ρ ρ ρ ρ (25)

O termo temporal e os termos convectivos aparecem no lado esquerdo da equação 25. Os termos do lado direito são o gradiente de pressão, os termos responsáveis pela difusão de momento, a força gravitacional e um termo fonte.

É difícil descrever a turbulência de uma forma completa, devido à limitação computacional em efetuar cálculos que estejam ao nível da escala de turbilhão e de tempos envolvidos no escoamento turbulento. Portanto, para se obter bons resultados, uma das alternativas é utilizar uma descrição da turbulência em termos de quantidades médias no tempo em vez de utilizar valores instantâneos.

Foi Osborne Reynolds quem sugeriu a utilização de valores médios para as variáveis em um intervalo de tempo bem maior do que o observado na movimentação turbulenta (JOAQUIM JUNIOR, 2007). A partir desta abordagem a Equação 25 pode ser escrita conforme: Equação 26:

ρ ρ ρ ρ (26)

Os novos termos são os tensores de Reynolds. A barra em cima significa que os

valores são médios no tempo.

O Modelo dos Tensores de Reynolds (RSM) assume que a viscosidade turbulenta é

isotrópica e tem um valor como no modelo . No entanto, o modelo RSM calcula os

tensores de Reynolds individualmente, em cada direção. O modelo é, normalmente, bem mais preciso do que o modelo .

3.5 Turbulência

Na mecânica dos fluidos, a turbulência pode ser entendida como um regime de movimento de fluido caracterizado pela atuação aleatória das variáveis no tempo e no espaço, de modo que valores médios estatisticamente distintos podem ser observados (HINZE, 1975).

Segundo Moura, (2009), a modelagem da turbulência é um dos grandes desafios da física, e seu estudo data do século XIX com pioneiros como Reynolds e Boussinesq. Para a fluidodinâmica computacional existem diversos modelos de turbulência implementados para a maioria dos códigos numéricos disponíveis, como exemplo pode-se citar o modelo K-Epsilon, o K-Ômega, o Transition e o Reynolds Stress Model - Rsm.

De acordo com Bonfim, (2016), foi o matemático russo Andrey Nikolaevich

Kolmogorov que desenvolveu uma das primeiras teorias relevantes para caracterização da

turbulência. Essa teoria considera a existência de um espectro de redemoinhos que representa a distribuição de energia, que flui de redemoinhos maiores para redemoinhos menores, de maneira que a turbulência evolui em diferentes escalas de tempo e de tamanho.

Para predizer os efeitos de turbulências em fluidos, utiliza-se de uma modelagem de turbulência, a escolha de um bom modelo de turbulência é essencial para a boa representação do escoamento assim recomenda-se testar algumas opções para estabelecer aquela que tem o melhor desempenho e é, ao mesmo tempo, viável do ponto de vista computacional.

As equações de conservação são capazes de tratar escoamentos turbulentos sem a necessidade de informação adicional. Porém, as escalas de comprimento envolvidas consequentemente exigiriam malhas numéricas com volumes de controle muito pequenos, tornando o cálculo inviável para os padrões computacionais atuais. Então, na prática faz-se necessário o uso de modelos de turbulência (OLIVEIRA e SILVA, 2014).

3.5.1 Modelo De Turbulência - Modelo K- Epsilon (K-Ε)

De acordo com Moura, (2008) o modelo k-epsilon (k-ε) é um dos chamados “modelos de duas equações”. É mais amplamente utilizado, pela sua boa representação de uma ampla gama de fenômenos e o baixo custo computacional.

Para esse modelo duas variáveis são empregadas: a energia cinética turbulenta (k), que representa a variância das flutuações na velocidade, e a dissipação da energia cinética turbulenta ( ), que quantifica a taxa que dá a dissipação das flutuações de velocidade. Este modelo faz uso da hipótese da viscosidade turbulenta, que considera que a turbulência pode ser modelada como sendo um aumento na difusividade. Assim, a viscosidade é dividida em duas contribuições, uma laminar e a outra turbulenta.

O modelo k-ε é estável e numericamente robusto. É considerado um dos mais proeminentes modelos de turbulência e encontra-se implementado na maior parte dos códigos de CFD, sendo conhecido por ser o modelo padrão das indústrias.

Alho e Ilha, (2006) acreditam que o modelo k-ε é falho na previsão de escoamentos afastados da parede, pois esse modelo é formulado com escalas de turbulência de número de

Reynolds alto, então essa deficiência seria o suficiente para que o modelo seja usado com

cautela na previsão de escoamentos complexos.

3.5.2 Modelo De Turbulência - Modelo K – Ômega (K-Ω)

O modelo k-Ω (WILCOX, 2004) é também um modelo de duas equações, uma para k, energia cinética turbulenta, e uma para ω, que é descrito como a dissipação específica da energia de turbulência.

Segundo Dias, (2009), o maior problema desse modelo se dá na condição de contorno de corrente livre, onde k e Ω tendem a zero (0), pois isso torna a condição de contorno da viscosidade turbulenta indeterminada. Consequentemente um valor não nulo deve ser especificado e o resultado tende a depender do valor assumido de ω na corrente livre.

O modelo de duas equações proposto por Wilcox (1998), o k-Ω, tem vantagem sobre o

k-ε nas regiões próximas as da parede, mas é mais sensível às condições de contorno de

turbulência no escoamento livre.

3.5.3 Modelo De Turbulência - Modelo Transition (SST)

A forma encontrada para combinar as vantagens desses dois modelos anteriormente apresentados de duas equações foi através de uma formulação mista baseada em função de ajustagem que seleciona automaticamente as zonas de uso de k-ε e de k-Ω. Assim, em regiões próximas as da parede k-ε é selecionado automaticamente, enquanto que no escoamento livre a seleção é direcionada para k-Ω.

O modelo SST é recomendado para aplicações em que se desejam resultados precisos com relação à camada limite.

Este modelo de turbulência SST foi proposto por Menter (1994), é um modelo do tipo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) e como já mencionado utiliza o equacionamento de dois outros modelos, k-ε e o k-Ω. Sua formulação se dá de forma bem simplificada. Na região externa do escoamento se usa a formulação do robusto modelo k-ε e onde esse se mostra pouco eficiente, na região próxima à parede, utilizam-se as equações de transporte do modelo k-Ω.

3.5.4 Modelo De Turbulência - Modelo Das Tensões De Reynolds (Reynolds

Stress Model - RSM)

A modelagem RSM não considera a viscosidade turbulenta, essa classe de modelos apresenta equações diferenciais de transporte para cada componente do tensor de Reynolds. Estas equações diferenciais parciais conferem bastante robustez ao cálculo, tornando-o teoricamente mais adequado a escoamentos complexos. Porém, o esforço computacional adicionado é considerável.

Ainda é necessária uma equação de transporte para uma propriedade turbulenta, normalmente a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta , ou a frequência turbulenta,

Ω.

Fazendo uma comparação com o modelo k-ε, os modelos das Tensões de Reynolds têm seis equações de transporte a mais (uma para cada tensor de Reynolds, equações para serem resolvidas a cada passo de tempo). Os termos de geração também são mais complexos. Assim sendo, para se atingir a convergência do sistema leva-se mais tempo.

Este modelo em questão inclui os efeitos de linhas de corrente curvas, mudanças bruscas na taxa de tensão, escoamentos secundários ou empuxo, quando comparados com os modelos baseados na viscosidade turbulenta.

3.6 Métodos Numéricos

O objetivo de um método numérico é solucionar uma ou mais equações diferenciais, substituindo as derivadas existentes por expressões que envolvem a função incógnita (variável), isto é, transformar uma equação diferencial, definida em um domínio, em um sistema de equações algébricas; substituir as derivadas em termos que contêm a variável significa integrar a equação diferencial, e as diversas maneiras de fazê-lo são o que caracterizam o tipo de método numérico.

Segundo Moura, (2008), Métodos Numéricos são ferramentas utilizadas para se determinar, exata ou aproximadamente soluções numéricas de problemas matematicamente modelados, utilizado quando não se pode ou não se deseja usar métodos analíticos.

Os métodos numéricos dispõem de métodos para solucionar Equações Diferenciais Parciais, buscando simplificá-las. Essas soluções estão sujeitas as condições iniciais do problema a ser resolvido e das condições de contorno.

Normalmente as formulações matemáticas podem ser descritas por variáveis com domínio no espaço e no tempo. Utilizam-se métodos de discretização para obter soluções dessas equações matemáticas, esses métodos de discretização basicamente consistem em reverter às equações diferenciais em um sistema de equações algébricas, que então poderão ser resolvidas a partir do emprego de computadores. Quanto melhor for a qualidade da discretização adotada, melhor será a precisão da solução numérica.

Para descrever o campo de velocidade do escoamento de um fluido qualquer, são utilizadas as equações da quantidade de movimento de um fluido, as equações de

Navier-Stoke, que fornecem características do escoamento, por exemplo, se o regime é laminar e o

escoamento é no interior de um tubo, o fluido é incompressível, se o escoamento é unidirecional, existem soluções analíticas para essas equações. Porém a maioria dos escoamentos encontrados na natureza e em problemas de engenharia não tende a ter tais características, a direção é tridimensional e o regime turbulento, por tanto nesses casos para resolução do problema é necessário obter soluções numéricas.

Os métodos numéricos mais usados em problemas de escoamento são o Método das Diferenças Finitas (MDF), o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Volumes Finitos (MVF) (MALISKA, 2004).

Existem na literatura, diversos métodos numéricos para solução de um sistema de equações diferenciais, atualmente o mais utilizado tem como base o Método de Volumes Finitos, assim como no presente trabalho.

3.6.1 Método Dos Volumes Finitos

Considerado um dos possíveis métodos para a resolução de uma ou mais equações diferenciais, o Método de Volumes Finitos (MVF) ocorre a partir da obtenção de equações aproximadas que satisfazem a condição de conservação das propriedades em nível de volumes elementares (MALISKA, 2004).

Segundo Poubel (2012), para formulação da técnica de Volumes Finitos, o conceito primordial usado é o princípio de conservação de uma determinada quantidade física,

expressa por meio de equações de conservação sobre qualquer volume finito (ou volume de controle). O método reduz os termos diferenciais parciais no espaço para equações algébricas, por meio da realização de balanços de conservação da propriedade envolvida (massa, quantidade de movimento, entalpia e outros) no volume elementar. O processo de discretização torna-se muito conveniente porque todas as equações governamentais relevantes possuem uma forma comum; ou seja, a forma da equação geral do transporte. A vantagem dessa abordagem é que o sistema resultante garante a conservação das propriedades nos elementos de volume e garante a conservação das propriedades em todo o domínio.

Diferentemente do que ocorre no método das diferenças finitas, no MVF a divisão do domínio ocorre a partir de volumes de controle e não mais em pontos da malha. Este método pode ser empregado para diversos tamanhos de malhas, ainda as grosserias que proporcionam menor tempo de simulação.

De acordo com Verguel (2013), o método de volumes finitos consiste na divisão do domínio em volumes elementares, satisfazendo a conservação das propriedades de transporte para cada volume. As equações aproximadas cujo método busca são obtidas integrando no espaço e tempo as equações massa, momento e energia em sua forma divergente. No processo de integração dos volumes tem-se uma equação para cada elemento, obtidos valores discretos em cada domínio. Como se pode observar na Figura 9 as propriedades são vistas no centro e nas faces de cada elemento.

Figura 9: O volume de controle ou elementar.

Fonte: Adaptado de ANSYS, Inc. 2010.

A Equação 27 apresenta a equação para a conservação da massa e a Equação 28 da quantidade de movimento de acordo com Verguel (2013).

(27)

(28) Com a integração da Equação 27 e 28 e aplicando o teorema de divergência de Gauss para transformar nas integrais de superfícies com operador gradiente e divergente, Equação 29 e Equação 30: (29) (30) Onde:

v e s são as regiões de volume e superfície na integral; j o vetor normal da superfície;

O volume de controle não se deforma no tempo, podendo retirar as derivadas

temporais fora das integrais de volume. Segundo Verguel (2013) ”[...]as integrais de volume

representam os termos fontes e de acumulação, enquanto as integrais de superfície representam a soma dos fluxos que entram e saem do volume elementar”. O processo de discretização do método acontece quando a equação diferencial é convertida em equação algébrica através de pontos discretos. Portanto, o MVF obtém solução discretas e não requer malhas estruturadas para geometrias complexas. As malhas não estruturadas são formadas por polígonos ou poliedros sem qualquer padrão explícito de conectividade. Sua formulação é baseada no MEF e no MDF.

3.7 Malha Numérica

Segundo Dias, (2009), a malha é um fator determinante no sucesso dos resultados da simulação e deve fornecer uma distribuição de elementos e nós que permita uma boa discretização do volume da geometria.

O processo de geração de malha é onde se realiza a discretização espacial, uma representação discretizada do domínio geométrico para que em seguida possa -se aplicar algum método de solução numérica, com o qual o problema irá ser resolvido. A malha

numérica divide o domínio da solução num número finito de sub-domínios (elementos, volumes de controle) (MIRANDA et al, 2000)

A malha gerada pode ter diversas formas geométricas, como: triangular, tetraédricas, elementos prismáticos e hexaédricos, como pode ser visto na Figura 10:

Figura 10: Formas geométricas da malha.

Fonte: Adaptado de Dias, (2009).

Pode se classificar as malhas numéricas também em duas categorias: Malhas Estruturadas, através de um sistema de coordenadas e Malhas Não Estruturadas, em um sistema sem coordenadas, Figura 11.

Figura 11: Malha Estruturada e Não-Estruturada, respectivamente.

Fonte: Dias, (2009).

No caso de malhas estruturadas, estas são construídas pela subdivisão dos eixos coordenados em pequenos elementos unidimensionais, gerando elementos bidimensionais usualmente através de elementos com formato de quadriláteros e tridimensionais geralmente utilizando hexaédricos. As malhas não-estruturadas são criadas de forma automática,

compondo-se de elementos de diferentes formatos. Em casos bidimensionais geralmente usam-se triângulos, e em casos tridimensionais, tetraedros.

A escolha da malha depende do nível de complexidade da geometria a ser utilizada e qual será nessa geometria o ponto de maior interesse. Alguns modelos numéricos como o MVF permitem o uso de malha hibrida que consiste na aplicação de malha de diferentes tipos. Recomenda-se o uso desse tipo de malha para problemas que tenha uma geometria mais complexa, com mudanças de direção, curvaturas e outros. Sabe-se que normalmente para demonstrar em aplicações de escoamento de fluido, é necessário um melhor refinamento da malha na região da camada limite.

3.7.1 Refinamento da Malha Numérica

O refinamento da malha é uma etapa muito importante na simulação de fluido dinâmica computacional, pois alguns fenômenos só são reproduzidos e alguns modelos numéricos só se desenvolvem corretamente caso lhes for fornecida uma dada concentração de elementos (nós). Portanto, essa etapa consiste em definir a quantidade de elementos (ou nós) ao longo de cada aresta, e também sua distribuição. Existem várias ferramentas disponíveis que permitem agrupar os elementos ao longo de regiões mais críticas deixando outras mais espaçadas. Deve-se considerar também a razão de aspecto entre os elementos. Portanto, no final deve-se estabelecer um compromisso entre tamanho e qualidade da malha.

3.8 Convergência

De acordo com Bonfim (2016), a convergência é quando se atinge um valor limite para a solução numérica, após certo número de repetições (iterações) à medida que a malha se refina, até que a solução numérica possa ser considerada satisfatória.

Conforme determinado método numérico exija menos iterações para se aproximar satisfatoriamente do valor numérico desejado, pode-se dizer que tal método possui convergência mais rápida. Para que uma aproximação numérica seja convergente, deve possuir consistência e estabilidade na solução. Inicialmente o processo de se atingir a convergência em uma simulação computacional pode parecer simples, porém, este procedimento por diversos fatores como, a escolha de condições de contorno e iniciais adequadas, escolha de modelo de turbulência, esquema de discretização adequado, dentre outros, fazem desse processo uma atividade não trivial. O nível da convergência requerida depende do propósito da simulação e da complexidade do modelo

Segundo Verguel (2013), os critérios de convergência para as variáveis são diversos, um deles o RMS (Root Mean Square), é uma medida da conservação do balanço na equação do volume elementar que consiste no valor do resíduo médio normalizado da solução numérica. O erro residual da solução numa matriz pode ser esquematizado nas Equações 31 e 32, como segue:

(31) (32) Onde, [A] é a matriz de coeficientes, [ ]o vetor solução, [b] os termos do lado direito da

equação linear, e o erro residual. De maneira geral, valores de RMS abaixo de 10-4

, podem ser suficientes para muitas aplicações na engenharia ainda que seja uma convergência

considerada fraca, valores abaixo de 10-5 fornecem uma boa convergência, sendo esse valor

considerado satisfatório para a maioria das aplicações em engenharia. Valores de RMS

menores a 10-6 são exigidos para problemas geometricamente sensíveis (Manual ANSYS

4. Metodologia e caracterização do problema

A metodologia deste trabalho foi constituída de duas partes principais, ensaios experimentais realizados em canal em escala reduzida do Laboratório da Faculdade de Tecnologia – FT, Campus I de Limeira e simulação em software de fluidodinâmica

computacional da ANSYSversão 16.0.

4.1 Descrição geral do canal estudado

O canal em escala reduzida onde foi desenvolvida a pesquisa tem as seguintes características, aproximadamente 16,45 m de comprimento, com uma calha de 20 cm de largura e no comprimento começa na extremidade “A” com 24 cm de altura e vai até os 10,75 m de comprimento depois termina com 32 cm de altura na extremidade “B”, conforme a Figura 12. Contempla ainda dois grandes reservatórios enterrados que auxiliam no processo de circulação do fluido, Figuras 13.

Figura 12: Canal hidráulico estudado – Laboratório de hidráulica.

B A

(final do canal) (início do canal)

Fonte: Arquivo pessoal, (2017).

A B

Figura 13: (a) Reservatório enterrado maior, (b) Reservatório enterrado menor.

Fonte: Arquivo pessoal, (2016).

4.2 Ensaios Experimentais

Foram realizados testes experimentais para compreender o escoamento hidráulico ao longo do canal através da variação da vazão. Para cada vazão foram levantados dados sobre o canal em oito pontos diferentes, obteve-se, portanto, o raio hidráulico, área molhada, perímetro molhado, altura da lâmina, a largura se manteve a mesma de 20 cm, diâmetro hidráulico e a velocidade. Com isso foi possível determinar o número de Reynolds em cada ponto e determinar um Reynolds médio para o canal a cada vazão monitorada. E através da ferramenta de simulação hidráulica proposta por Machado (2008), e validada por Oliveira (2016) foi possível levantar o coeficiente de dispersão em cada ponto do canal.

Diante dos dados obtidos foi realizada a escolha da vazão a ser utilizada para iniciar os testes com a CFD para esta pesquisa, além de limitar o trecho do canal para realização dos experimentos mais detalhados, esse trecho escolhido foi divido em onze pontos, (P0, P1, P2, P3, ..., P10) e em cada ponto foi levantado o perfil de velocidade. Na Figura 14 é apresentado um esquema para a vista superior do trecho do canal em questão, com a distribuição dos pontos mais concentrados no início, onde foram medidas as velocidades da água.

Figura 14: Vista superior dos pontos de coleta.

Fonte: Adaptado de Lopes, (2015).

Para medição das velocidades, utilizou-se um equipamento chamado Molinete, como pode ser visto na Figura 15 (a). O molinete é um instrumento destinado a medir a velocidade