Introdução
Diante do comportamento cada vez mais dispersivo dos alunos em sala de aula e das dificuldades comprovadas que as pessoas têm em relação ao desenvolvimento de estratégias para pensar e refletir sobre os problemas do cotidiano é que se torna necessário o desenvolvimento de trabalhos que tenham como finalidade a discussão sobre as possíveis maneiras de estimular e desenvolver o pensamento humano ainda em formação.
Um dos conteúdos matemáticos de grande importância, por ser amplamente utilizado em diversas áreas do conhecimento e também por proporcionar o desenvolvimento de habilidades mentais relacionados aos aspectos indutivos e dedutivos da lógica conjuntamente aos de generalização e abstração da matemática, é o Conceito de Função. Esse é, de acordo com os estudiosos da área, um assunto em que os alunos mais apresentam dificuldades, influenciando inclusive seu desempenho no processo de desenvolvimento acadêmico.
O ensino de conteúdos matemáticos, por outro lado, enfatiza muito mais os conteúdos procedimentais do que os conteúdos conceituais. Dessa forma, o estudo dos conceitos básicos da matemática que embasam os procedimentos é pouco valorizado, pouco explorado e, portanto, pouco discutido com os alunos. A pressão que o professor sofre para terminar o conteúdo no período pré-estabelecido, a valorização da própria sociedade de resultados imediatos, sobretudo no que diz respeito à matemática, considerada uma ciência “exata”, a formação do professor pautada mais em construções procedimentais do que conceituais, podem influenciar o planejamento do ensino de conteúdos matemáticos e a própria atuação do professor em sala de aula.
Assim, os estudos que demonstram as dificuldades na compreensão do Conceito de Função, há mais de três décadas, trazem resultados que confirmam as trocas conceituais freqüentes realizadas pelos alunos. Bianchini e Puga (2006), por exemplo, ao aplicarem um teste diagnóstico com os alunos do Curso de Ciência da Computação da PUC-SP na disciplina de Cálculo, procurando identificar fragmentos das concepções dos alunos sobre a noção de função, observaram que os alunos, na sua maioria, costumam fornecer as definições por meio de exemplos, relacionam função com
equação, apresentam dificuldades nas representações gráficas e, na transformação destas em representações algébricas. Ainda como conclusão, os autores afirmam que os alunos manuseiam com mais freqüência apenas um registro de representação simbólica por vez.
As pesquisas de Moura e Moretti (2003) sobre a aprendizagem do conceito de função com estudantes de 8ªsérie de uma escola pública paulista, alunos estes que ainda não tinham estudado tal conceito, denotaram que situações de interação entre aluno-aluno e aluno-aluno-professor contribuem de forma efetiva para o processo de sua aprendizagem. Os alunos podem, assim, migrar de um nível mais simples, como o da aritmetização dos problemas, para um nível mais avançado, como a compreensão do problema, mas, ainda, com ausência de linguagem analítica. Segundo esses autores, a grande dificuldade se encontra no fato dos alunos não conseguirem generalizar os problemas,utilizando uma formalização da linguagem.
Almeida e Scalon (2002) ao pesquisarem sobre os fatores determinantes no ensino-aprendizagem de funções matemáticas em alunos de 8ª série de escolas públicas e privadas da cidade de Três Corações – MG, concluíram, de forma quantitativa, que ao final do ano letivo, a maioria dos alunos não domina totalmente o conceito de função. Esse fato, segundo revisão bibliográfica realizada por esses autores, apresenta reflexos futuros, em especial nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I, II e III. As maiores dificuldades que os alunos apresentam se relacionam ao registro na representação gráfica de função, na sua mudança para um registro algébrico, nas definições de domínio e contradomínio, na construção de tabelas de valores numéricos, na distinção entre variável dependente e independente e na notação matemática.
Diante do problema, o objetivo deste trabalho é estabelecer conexões teóricas entre uma Metodologia do Ensino da Matemática mais específica, no caso a Seqüência Fedathi e as teorias da Aprendizagem Significativa de Ausubel e dos Campos Conceituais de Vergnaud a fim de desenvolver uma proposta para o Ensino do Conceito de Função.
A Seqüência Fedathi e o Ensino do Conceito de Função
A Seqüência Fedathi é uma Metodologia de Ensino desenvolvida pelo prof. Dr. Hermínio Borges Neto juntamente com seu grupo de trabalho no Laboratório Multimeios da FACED/UFC desde a década de 90. Essa metodologia determina que o
trabalho do aluno para aprender matemática deve ser equivalente ao trabalho do próprio matemático, ou seja, o aluno deve aprender com os erros cometidos, por meio de questionamentos e contra-exemplos. A função do professor é questionar e mediar a relação do aluno com o conhecimento, propiciando uma aprendizagem autônoma e reflexiva. Para cada aula o professor deverá atuar de acordo com as etapas da Metodologia que, segundo Santana e Borges Neto (2003) são quatro: Tomada de Posição, Maturação, Solução e Formalização ou Prova.
Na Tomada de Posição, o professor apresenta o problema e abre discussões,
fazendo questionamentos que levem o aluno a pensar e a refletir sobre o tema proposto na aula; relaciona a situação proposta com o conteúdo e, estabelece o Contrato Didático por meio de regras de atuação, tanto do aluno quanto do professor. É dessa forma que o aluno é motivado a iniciar o trabalho pedagógico proposto para um determinado intervalo de tempo.
Na Maturação,as discussões sobre o problema se iniciam, com sua conseqüente compreensão e identificação de variáveis. O processo ocorre com a interação dos alunos entre si. O professor tem um papel de observador da construção do raciocínio dos alunos, deixando-os livres para prosseguirem na evolução das discussões ou na resolução dos problemas, ao mesmo tempo que os estimula a buscarem soluções diferentes para o problema proposto. A intervenção só acontece no caso do aluno não conseguir dar prosseguimento à tarefa, utilizando sempre a postura do questionamento.
Na Solução, os alunos desenvolvem a representação, organização e sistematização dos modelos matemáticos que levarão à apresentação de uma resposta ao problema proposto. A postura do professor nesse momento é de mediador, devendo atuar junto ao grupo para decidirem qual a solução mais adequada dentre todas as apresentadas. As idéias são comparadas e discutidas por meio da confrontação de idéias e da valorização de todas aquelas que forem apresentadas. A conscientização do aluno sobre os erros cometidos acontece por meio de contra-exemplos com o objetivo de prepará-lo para novos desafios.
Na fase final, a de Formalização, a solução encontrada é formalizada, sistematizada e otimizada na linguagem matemática. As idéias concretizadas são novamente revisadas por meio de discussões entre os alunos, agora com a participação
ativa do professor. Esse momento tem como finalidade a escolha da resposta que melhor atende ao problema proposto inicialmente na Tomada de Posição.
No presente trabalho, a metodologia apresentada será utilizada para a apresentação de uma proposta voltada para o ensino do Conceito Matemático de Função. Dentro de uma evolução histórica, um dos conceitos mais modernos sobre função é aquele que se baseia na Teoria dos Conjuntos:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. (Giovanni e Bonjorno, 2000, p. 124).
Porém, de acordo com Sierpinska (1992), o conceito mais moderno sobre função é pouco compreensível para os alunos, sobretudo para aqueles que iniciam seu estudo. É necessário, portanto, que sejam utilizadas definições mais próximas da compreensão desses alunos, mesmo que não sejam completamente adequadas do ponto de vista matemático. A autora prefere que seja feita a utilização do conceito introduzido por Dirichlet no século XIX:
Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função de variável independente x. (Sierpinska, 1992, p. 46). Pensar sobre o ensino do Conceito de Função, utilizando a Seqüência Fedathi e contemplando todas as suas etapas requer uma compreensão maior de como se processa a Aprendizagem de Conceitos. Muitos são os autores que estudam a formação de conceitos na mente humana. Os estudos se desenvolveram com maior ênfase no século XX, sobretudo a partir da década de 60. Serão contemplados, neste trabalho, portanto, apenas dois autores: Ausubel e Vergnaud.
A Aprendizagem Significativa de Conceitos na perspectiva de Ausubel
David. P. Ausubel, cidadão americano, tem como objetivo desenvolver uma teoria que explique como se processa uma aprendizagem que não seja mecânica e que possa ser utilizada em sala de aula. Sua proposta é estudar a aquisição da organização do conhecimento no ensino formal.
Ausubel (1968) defende a tese de que a aprendizagem que ocorre por meio da metacognição, fazendo com que os alunos evoluam em seus níveis de conhecimento e utilizando-se de estratégias organizadas, pode ser mais efetiva já que se adequa melhor
às dificuldades cognitivas encontradas no processo da construção mental do conhecimento por parte do aluno. Este tipo de aprendizagem é um processo que considera o conhecimento que o aprendiz já possui sobre o assunto a ser estudado. Essa definição pode ser aplicada a qualquer conhecimento, inclusive à aprendizagem de conceitos.
Ribeiro e Nunez (2004) enfatizam que objetivo a ser alcançado na Aprendizagem Significativa preconizada por Ausubel é fazer com que o aluno aprenda utilizando os conhecimentos já existentes em sua estrutura cognitiva, denominados de subsuçores. É por meio da relação estabelecida entre o que já se sabe e o novo conteúdo, que ocorre uma compreensão do assunto estudado com significado e não apenas uma memorização mecânica. Dessa forma, existe uma integração do novo conhecimento ao que já se sabe sobre o assunto. E é essa inter-relação que possibilita a transformação das novas idéias em informação por meio de associações, trazendo significado ao novo.
A essência do processo da Aprendizagem Significativa de Ausubel está no fato de uma tarefa de aprendizagem se relacionar de modo substantivo e não arbitrário com a estrutura do conhecimento do aprendiz, seus conhecimentos prévios sobre o conhecimento a ser aprendido como sinaliza Praia (2000). O conceito deve ter um significado lógico. Para isto, é necessário que se busquem quais os conceitos que devem servir de subsunçores para que esse novo conceito seja ancorado na estrutura cognitiva do aprendiz. Por outro lado, deve ter também um significado psicológico. Um estudo somente sobre o conceito não é suficiente para que sua aprendizagem se torne significativa. É fundamental, também, que o aprendiz tenha, em sua estrutura cognitiva, os subsunçores necessários para que aconteça o processo de assimilação do novo conhecimento.
Dessa forma, Moreira (1999) afirma que o conhecimento prévio deve servir de matriz ideacional e organizacional para incorporação, compreensão e fixação de novos conhecimentos no momento da conexão com conhecimentos especificamente relevantes e preexistentes na estrutura mental desse aprendiz.
A estrutura cognitiva é formada pelo conteúdo total organizado das idéias de um indivíduo numa área particular de conhecimentos. Estes são organizados por meio do princípio de assimilação, um processo que ocorre quando uma nova informação, potencialmente significativa, é relacionada e assimilada por conceito subsunçor
existente na estrutura cognitiva do aprendiz. Cada grupo de idéias tem por base uma idéia-âncora que pode ser um conceito ou uma proposição mais ampla que subordina outros conceitos na estrutura cognitiva e que funciona como ancoradouro no processo de assimilação. O que acontece na Aprendizagem Significativa é que as novas idéias tornam-se progressivamente menos dissociáveis das suas idéias-âncora até deixarem de estar disponíveis individualmente.
A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
Gerard Vergnaud, cidadão francês, tem como objetivo elaborar uma teoria que estuda o processo de conceituação de situações reais. Sua proposta é localizar e estudar as continuidades e rupturas dos conhecimentos conceituais ao serem assimilados pelo aprendiz.
Vergnaud (1996) defende a tese de que o desenvolvimento cognitivo depende de situações e de conceitos específicos necessários para lidar com o conhecimento. Dessa forma, todo conhecimento está organizado em campos conceituais dominado pelo indivíduo por meio da experiência, maturidade e aprendizagem durante longos períodos de tempo. Um Campo Conceitual, portanto, é formado por um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros, entrelaçados durante o processo de aquisição do conhecimento como destaca Moreira (2004).
Dessa forma, a Teoria dos Campos Conceituais defende a premissa de que o principal no desenvolvimento cognitivo do indivíduo é a conceitualização.Essa teoria é definida por Moreira (2004) como sendo uma teoria psicológica desse processo de conceitualização do real, permitindo localizar e estudar continuidades e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual. É uma teoria complexa e analisa o desenvolvimento de situações, os conceitos e teoremas necessários para operar nessas situações, bem como, as palavras e símbolos que podem representar os conceitos e operações para os indivíduos diante de seus níveis cognitivos.
A essência dessa teoria se deposita em dois aspectos: conceitos e situações. O processo de conceitualização acontece a partir da relação que se estabelece entre esses dois aspectos. Para Vergnaud (1996), um conceito não se forma dentro de um só tipo de situações e uma situação não se analisa com um só conceito. A relação existente entre eles não pode ser considerada biunívoca. A construção e apropriação de todas as
propriedades de um conceito ou todos os aspectos de uma situação é um processo longo, com a utilização de muitas analogias e mal-entendidos entre situações, concepções, procedimentos e significantes.
Ao entrar em contato com uma situação, o indivíduo automaticamente aciona seus esquemas mentais na tentativa de solucionar a tarefa proposta. De acordo com Franchi (1999), muitos esquemas são evocados sucessivamente e até mesmo simultaneamente em uma situação nova para o indivíduo. O esquema, sendo uma função temporalizada de argumentos, gera diferentes seqüências de ações e tomadas de informação de acordo com os valores das variáveis apresentadas na situação.
Os elementos formadores de um esquema são as metas e antecipações, fazendo com que o indivíduo busque mentalmente situações já resolvidas anteriormente, antecipando, portanto, as soluções encontradas e criando objetivos a serem alcançados; as regras de ação, o que permite a geração e a continuidade da seqüência de ações por meio da criação de regras de busca de informação e controle dos resultados obtidos; os invariantes operatórios que permitem a relação entre teoria e prática e o reconhecimento dos elementos pertinentes à situação, os denominados conceitos-em-ação, e, o reconhecimento das proposições consideradas verdadeiras, os denominados teoremas-em-ação.
Ao relacionar esses elementos entre si e os vários elementos constituintes desses e de outros esquemas mentais é que esse indivíduo tem a possibilidade de realizar inferências a partir do cálculo de regras e antecipações por meio da utilização das informações obtidas e dos invariantes operatórios existentes. A visualização de todo esse processo só é possível a partir do que Vergnaud denomina de representação, momento no qual o indivíduo externaliza seu pensamento,utilizando-se de símbolos e sinais, o significante dos significados internos.
A relação entre a Seqüência Fedathi, a Aprendizagem Significativa de Conceitos e a Teoria dos Campos Conceituais no ensino do Conceito de Função
De que forma ensino e aprendizagem podem estar relacionados? Ao se trabalhar com o Conceito de Função utilizando a Seqüência Fedathi como metodologia de ensino e as Teorias de Vergnaud e Ausubel como base para a compreensão do processo da aprendizagem de conceitos é possível visualizar as conexões entre esses dois processos.
O mais importante nessa visualização está em compreendê-la e articulá-la para que se torne útil ao professor na relação dialética que pode estabelecer entre teoria e prática.
Tanto Ausubel quanto Vergnaud estabelecem condições para que um conceito seja assimilado pelo indivíduo. Para Ausubel é necessário escolher previamente os subsunçores com os quais o professor deve trabalhar, bem como verificar a existência dos mesmos na estrutura cognitiva de quem aprende. Para Vergnaud é necessário escolher a situação que melhor se adeque à aprendizagem de um determinado conceito. Baseando-se, portanto, no conceito de função de Dirichlet, os conceitos subsunçores necessários para a assimilação do conceito matemático de função podem sernos conceitos de variável, relação de unicidade, relação de dependência, valor numérico, regra ou lei de formação. A partir desse primeiro passo é fundamental a busca de problemas que relacionem o conceito de função aos subsunçores escolhidos, bem como a verificação desses subsunçores nos alunos antes mesmo da utilização da metodologia de ensino.
Dessa forma, a escolha da situação, momento que antecede a aplicação da metodologia, que se encontra na preparação da Seqüência Didática a ser realizada em sala de aula deve ser realizada com bastante cautela. No caso do Conceito de Função, o professor deve estudar com profundidade cada conceito subsunçor e a forma como pode selecioná-los, relacioná-los e distribuí-los dentro da situação proposta. A finalidade é que o professor, diante do conhecimento que apresenta sobre o conteúdo e os conceitos prévios de seus alunos, tenha a possibilidade de escolher as melhores e mais variadas situações, aquelas tarefas que podem trazer um significado adequado para o aluno sobre o novo conhecimento.
Assim, a proposta apresentada para auxiliar a ampliar a visão do professor ao trabalhar com o conceito de função, por meio da relação dos aspectos pertinentes ao ensino e à aprendizagem se faz presente no diagrama da figura 1 construído a partir dos estudos bibliográficos na disciplina de Ensino de Ciências e Matemática (FACED/UFC – 2006.2).
Ao se considerar os aspectos relacionados ao conteúdo do Conceito de Função, os conhecimentos prévios dos alunos e às situações escolhidas, o professor pode, dentro da proposta metodológica da Seqüência Fedathi, desenvolver planos e estratégias para cada situação ou classe de situações, conforme mostra a figura 1.
De uma forma mais pontual, é importante que o professor, diante de seu conhecimento teórico sobre aprendizagem, desenvolva uma ação que contemple
aspectos procedimentais, levando em consideração os aspectos conceituais que também dão sustentação ao conhecimento matemático.
Dessa forma, na fase da Maturação da Seqüência Fedathi é importante que o professor possibilite a transformação dos conceitos-em-ação e teoremas-em-ação, preconizados por Vergnaud, em conceitos e teoremas formais. É fundamental que o professor conheça como o aluno organiza mentalmente o Conceito de Função e quais são os teoremas que utiliza para este fim, com o intuito de transformá-los por meio de uma ação questionadora e sistematizada. Saber fazer a pergunta certa no momento mais adequado pode auxiliar esse processo de transformação do conhecimento comum para o conhecimento científico.
Ainda nessa fase, é importante também que o professor ao trabalhar com a assimilação do Conceito de Função possa se utilizar dos Princípios Programáticos preconizados por Ausubel. Para este autor, as idéias mais gerais e inclusivas devem ser tratadas em primeiro lugar para que depois as outras, menos inclusivas, sejam estudadas. A justificativa se dá pelo fato deo ser humano aprender melhor do mais geral para o mais específico e do conteúdo se organizar na mente do indivíduo de forma hierárquica. Além do professor escolher com qual subsunçor deseja trabalhar, deve também escolher a ordem de disposição desses subsunçores na aplicação da situação proposta, concretizando, assim, o primeiro Princípio Programático de Ausubel, a Diferenciação Progressiva. Por outro lado, sair do mais geral para o mais específico não garante a assimilação completa desse conceito. É necessário que haja um retorno do mais específico para o geral a fim de haver uma exploração entre as relações conceituais, de suas diferenças e similaridades, bem como a reconciliação de inconsistências reais ou aparentes como explicita Moreira (1999). Esse processo contrário à Diferenciação Progressiva se caracteriza como o segundo Princípio Programático de Ausubel denominado de Reconciliação Integradora.
É importante, então, que o professor ao preparar sua Seqüência Didática, levando em consideração a utilização da Seqüência Fedathi procure estabelecer, previamente todas as possíveis conexões conceituais do ponto de vista teórico e do ponto de vista prático no que diz respeito aos conhecimentos prévios dos alunos.
Na fase da Solução da Seqüência Fedathi, é importante que o professor estimule em seus alunos formas diferenciadas de estabelecer dependências seqüenciais inerentes ao conteúdo estudado, ao problema apresentado e ao pensamento desenvolvido. Ausubel, dentro do seu terceiro Princípio Programático, sugere que os alunos
desenvolvam uma seqüência dos tópicos estudados de maneira coerente com as relações de dependência existentes no conteúdo de ensino, denominada de Organização Seqüencial. A proposta desse trabalho é que, diante de cada situação apresentada pelo professor, o aluno seja capaz de organizar as informações fornecidas, os objetivos pretendidos para solucionar a tarefa proposta, os conceitos trabalhados e as ações realizadas com seu respectivo resultado, por meio da utilização de Mapas Conceituais ou do Vê Epistemológico, como sugere Moreira (1999).
Ao ampliar a visão do esquema apresentado na figura 1 e ao utilizar o quarto Princípio Programático de Ausubel, é que se concretiza a sugestão proposta para este trabalho a fim de auxiliar a ampliação da visão do professor de matemática ao ensinar o Conceito de Função. Após o desenvolvimento dos três Princípios Programáticos, Ausubel afirma ser necessário dar continuidade ao trabalho a partir de novas práticas, com exercícios e réplicas reflexivas. A esse momento, ele denomina de Consolidação. Vergnaud, por sua vez, afirma também ser necessário o professor desenvolver um trabalho que utilize variados tipos de problemas, cada qual com dificuldades diferentes para o aluno desenvolver a capacidade de olhar para o mesmo conceito de variadas formas. É diante dessa prerrogativa que se apresenta o esquema da figura 2. Quando parar? Ausubel afirma que esse dinamismo só tem fim quando o aluno internalizar o conceito abordado. Vergnaud, por sua vez, complementa que esse trabalho pode ser longínquo, perdurando por muitos anos. A internalização do Conceito de Função, portanto, utilizando a visão desses autores não acontece no primeiro contato, nem mesmo no primeiro ano de estudo. Requer um debruçamento sobre várias situações em diferentes momentos da vida do aprendiz.
Conclusão
Os estudos e as propostas apresentadas neste trabalho na tentativa de auxiliar a prática de ensino do professor de matemática na construção do Conceito de Função junto aos alunos revelou primeiramente a importância do conhecimento e da compreensão do conteúdo com o qual se desenvolve um trabalho em sala de aula. Saber quais os conceitos que dão a sustentação necessária para a compreensão de um novo conceito foram apresentadas como prerrogativas essenciais para um ensino conceitual de qualidade. Por outro lado, conhecer os conceitos prévios existentes na estrutura cognitiva do aprendiz também é um conteúdo a ser estudado e utilizado pelo professor ao preparar suas aulas. Interligar conhecimento teórico com o conhecimento do aluno é uma condição essencial para um ensino que garanta uma aprendizagem significativa,
por meio da escolha adequada de situações que tragam um sentido para o conceito estudado.
Num segundo momento, o estudo revelou também a necessidade do professor compreender a relação estreita existente entre ensino e aprendizagem. O conhecimento teórico sobre as teorias da aprendizagem pode auxiliar a prática desse professor de uma forma transformadora. A idéia é que, com a compreensão dos processos de aprendizagem do aluno, o professor possa desenvolver suas estratégias de ensino na prática de sala de aula acompanhado de uma base teórica. A partir das experiências vividas com os alunos, o professor pode voltar à teoria e transformá-la a partir de um novo olhar. Dessa forma, o professor se torna capaz de desenvolver um pensamento crítico e reflexivo sobre a relação teoria e prática, auxiliando a aprendizagem de seus alunos, sobretudo os alunos que apresentam dificuldades em compreender conceitos, inclusive o Conceito de Função.
Nos dias atuais, diante dos salários cada vez mais baixos, da desvalorização profissional, da carga de trabalho intensa, com planejamentos de aula e correções de prova que se acumulam devido à falta de tempo para gerenciá-los, o professor se afasta cada vez mais de estudos que podem auxiliá-lo a realizar um ensino de melhor qualidade. Além disso, sua formação inicial, não lhe permite a construção dos conhecimentos matemáticos interligados aos conhecimentos pedagógicos, com uma exacerbação também nos conteúdos procedimentais. Assim, pode-se utilizar essa proposta, como sugestão, na formação dos professores tanto inicial quanto continuada, a fim de aproximá-lo das teorias da aprendizagem no intuito de auxiliá-lo em seu trabalho docente.
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Figura 1
Figura 1. Esquema da relação ensino -aprendizagem do Conceito de Função, 2006.
Figura 2
