Os poliedros s˜ao s´olidos cujo volume ´e definido pela interse¸c˜ao de quatro ou mais planos (poli + edro). A superf´ıcie poli´edrica divide o espa¸co em duas regi˜oes: uma regi˜ao finita, que ´e a parte interna do poliedro e uma regi˜ao infinita, o exterior do poliedro.
1.1
Elementos de um Poliedro
A interse¸c˜ao dos diversos planos que comp˜oem o poliedro produzem retas, denom-inadas arestas do poliedros, cujas interse¸c˜oes formam os v´ertices do poliedro. Os pol´ıgonos obtidos atrav´es da delimita¸c˜ao dos planos (que formam a superf´ıcie poli´edrica) pelas arestas, s˜ao denominados faces do poliedro.
VERTICES FACES
ARESTAS
Figura 1.1: Elementos de um poliedro
1.2
Classifica¸c˜
oes dos Poliedros
H´a v´arias formas de classifica¸c˜ao dos poliedros. Pode-se classific´a-los pela sua for-ma, pelas caracter´ısticas de suas faces, por rela¸c˜oes entre as posi¸c˜oes das arestas e faces, entre outros. As classifica¸c˜oes mais comuns dizem respeito `a regularidade, `a convexidade e `a forma (rela¸c˜oes entre faces e arestas) do poliedro. Alguns au-tores consideram as pirˆamides, prismas e troncos como uma sub-classifica¸c˜ao dos poliedros. Outros, por´em, n˜ao consideram as pirˆamides, prismas e troncos como poliedros, mas sim como classes `a parte dos poliedros. Os poliedros seriam todos os demais s´olidos geom´etricos. Em alguns casos, como por exemplo o cubo, um prisma seria considerado um poliedro (veja se¸c˜ao 1.4).
1.2.1
Convexidade
A convexidade de um poliedro ´e definida da seguinte forma: Um poliedro ´e dito con-vexo se o segmento de reta obtido atrav´es da interse¸c˜ao qualquer reta que atravesse o poliedro, desde o ponto onde a reta “entra” no poliedro at´e o ponto “de sa´ıda”, estiver totalmente contido no poliedro (figura 1.2(a)). Caso o segmento possua um ou mais pontos externos ao poliedro (figura 1.2(b)), ent˜ao este ´e dito n˜ao-convexo ou cˆoncavo.
(b) (a)
SEGMENTO EXTERNO
Figura 1.2: Convexidade do Poliedro: (a) poliedro convexo e (b) poliedro n˜ao-convexo
Todo poliedro n˜ao-convexo pode ser composto ou desmembrado em poliedros convexos. Na figura 1.2(b) pode-se observar que o poliedro n˜ao-convexo pode ser composto por dois poliedros convexos (duas pirˆamides convexas). Dessa forma, o estudo dos poliedros concentra-se apenas nos poliedros convexos, uma vez que os n˜ao-convexos podem sempre ser compostos por poliedros convexos.
1.2.2
Regularidade
A regularidade de um poliedro depende do tipo de poliedro. No caso mais geral diz-se que um poliedro ´e regular se todas as suas faces forem pol´ıgonos regulares, exceto para as pirˆamides, prismas e troncos de prismas e de pirˆamides. Os poliedros regulares cl´assicos s˜ao apenas cinco: o tetraedro (faces triangulares), o hexaedro ( seis faces quadradas), o octaedro (oito faces triangulares), o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares). Os poliedros regulares portan-to possuem apenas faces que s˜ao triˆangulos equil´ateros, quadrados ou pent´agonos regulares.
No caso das pirˆamides, prismas e seus troncos, a regularidade depende de fatores espec´ıficos de cada um desses poliedros e ser´a discutida nas respectivas se¸c˜oes.
1.3
Pirˆ
amides
As pirˆamides s˜ao poliedros com caracter´ısticas distintas das dos poliedros forma-dos por faces regulares iguais. Nas pirˆamides todas as arestas das faces laterais convergem para um ´unico v´ertice, denominado v´ertice principal da pirˆamide. A
face oposta ao v´ertice principal ´e denominada base da pirˆamide. A altura de uma pirˆamide ´e a distˆancia do v´ertice principal ao plano da base (distˆancia de ponto a plano).
Uma pirˆamide ´e dita regular se todas as suas faces laterais forem pol´ıgonos iguais (triˆangulos is´osceles). Nesse caso, a base tamb´em ser´a um pol´ıgono regular e sua altura ser´a dada pela distˆancia do v´ertice principal ao centro da base. A ´unica pirˆamide regular que tamb´em ´e um poliedro regular ´e o tetraedro.
Na figura 1.3 temos alguns exemplos de pirˆamides.
(a) (b) (c)
Figura 1.3: Exemplos de pirˆamides: (a) Pirˆamide regular de base octagonal, (b) pirˆamide irregular de base octagonal regular e (c) pirˆamide irregular de base octag-onal irregular
1.3.1
Troncos de Pirˆ
amides
Um tronco ´e uma se¸c˜ao de um poliedro. Um tronco de pirˆamide ´e obtido pela se¸c˜ao de uma pirˆamide por um plano que atravesse todas as suas arestas laterais. Nesse caso s˜ao formados dos poliedros: uma pirˆamide menor e um tronco de pirˆamide, como mostrado na figura 1.4. O plano secante n˜ao precisa, necessariamente, ser paralelo `a base da pirˆamide para que exista o tronco de pirˆamide.
Caso o plano secante n˜ao atravesse todas as arestas laterais os poliedros resul-tantes poder˜ao ser ou n˜ao pirˆamides ou troncos. A figura 1.4 mostra dois troncos de pirˆamide obtidos por um plano paralelo `a base e um obtido por uma plano obl´ıquo `a base.
1.4
Prismas
Os prismas s˜ao s´olidos geom´etricos obtidos pela delimita¸c˜ao de uma superf´ıcie prism´atica. Uma superf´ıcie prism´atica ´e aquela obtida pela transla¸c˜ao de uma reta segundo uma linha poligonal fechada. Quando uma superf´ıcie prism´atica ´e secciona-da por dois planos paralelos, ent˜ao obt´em-se um prisma.
As principais caracter´ısticas de uma prisma s˜ao que todas as suas arestas lat-erais s˜ao paralelas entre si e as duas faces obtidas pelas se¸c˜oes planas s˜ao pol´ıgonos iguais. Portanto um prisma ´e um poliedro convexo com duas faces que s˜ao pol´ıgonos quaisquer, paralelos e iguais e com faces laterais que s˜ao paralelogramos.
(a) (b)
Figura 1.4: Troncos de pirˆamide: obtido por (a) plano paralelo `a base e (b) plano obl´ıquo `a base
Quando os planos secantes (que delimitam o volume da superf´ıcie prism´atica) s˜ao perpendiculares `as arestas laterais, ent˜ao o prisma ´e dito reto e as suas bases s˜ao perpendiculares `as faces laterais. Nesse caso, as faces laterais s˜ao retˆangulos ou quadrados e as arestas laterais s˜ao iguais `a altura.
Quando o prisma n˜ao ´e reto diz-se que ele ´e obl´ıquo e portanto as faces laterais s˜ao maiores que a altura do prisma, definida como a distˆancia entre os dois planos das bases.
Todo prisma obl´ıquo ´e um poliedro irregular enquanto os prismas retos podem ser poliedros regulares, desde que suas bases sejam pol´ıgonos regulares. Um prisma regular n˜ao ´e necessariamente um poliedro regular. Um prisma ´e dito regular se ele for reto e as suas bases forem pol´ıgonos regulares. O cubo ´e o ´unico prisma regular que tamb´em ´e um poliedro regular.
A figura 1.5 mostra um prisma reto e um prisma obl´ıquo, ambos de base pen-tagonal.
(a) (b)
Figura 1.5: Prismas: (a) prisma reto e (b) prisma obl´ıquo
1.4.1
Troncos de Prismas
Um tronco de prisma s´o pode ser obtido por um plano n˜ao paralelo`as bases, caso contr´ario continuaremos a ter dois prismas menores. Portanto um tronco de prisma ter´a obrigatoriamente arestas laterais paralelas por´em suas bases n˜ao ser˜ao iguais
nem paralelas. Dois exemplos de troncos de prismas podem ser observados na figura 1.6, um tronco de prisma reto e um tronco de prisma obl´ıquo.
(a) (b)
Figura 1.6: Troncos de prisma: (a) reto e (b) obl´ıquo
1.5
Representa¸c˜
ao dos S´
olidos em ´
Epura
Um s´olido geom´etrico (poliedros em geral, prismas, pirˆamides e troncos) s˜ao repre-sentados em ´epura atrav´es das proje¸c˜ao de suas arestas. Cada aresta de um poliedro ´e um segmento de reta e portanto pode ser representado em ´epura atrav´es de duas proje¸c˜oes: a vertical e a horizontal.
Figura 1.7: Representa¸c˜ao de uma pirˆamide em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Como exemplo, examine a figura 1.7(a). Nessa figura temos representada uma pirˆamide de base retangular irregular e ´e assumido que a base da pirˆamide encontra-se paralela ao plano horizontal de proje¸c˜ao (π). Abaixo da pirˆamide ´e realizada a sua proje¸c˜ao horizontal. Todos os v´ertices (pontos) e suas arestas (segmentos de
reta) s˜ao projetados no plano horizontal, portanto obteremos as proje¸c˜oes A, B, C, D e V dos respectivos v´ertices, assim como os segmentos que unem estas proje¸c˜oes. A proje¸c˜ao horizontal dessa pirˆamide pode ser observada na figura 1.7(b), na parte inferior da ´epura.
De forma an´aloga `a proje¸c˜ao horizontal pode-se realizar a proje¸c˜ao vertical dessa mesma pirˆamide, para compor a ´epura. Os v´ertices da pirˆamides ser˜ao projetados sobre o plano (π0), dando origem `as proje¸c˜oes A’, B’, C’, D’ e V’. Note que, como a
base da pirˆamide encontra-se paralela ao plano (π) as cotas dos pontos (A), (B), (C) e (D) s˜ao iguais e portanto as proje¸c˜oes verticais das arestas (AB), (BC), (CD) e (AD) ser˜ao segmentos paralelos `a linha de terra e coincidentes. A proje¸c˜ao vertical da pirˆamide pode ser observada na parte superior da ´epura da figura 1.7(b).
´
E importante notar que, na proje¸c˜ao horizontal, todas as arestas s˜ao vis´ıveis. Uma aresta ´e dita vis´ıvel quando n˜ao h´a nenhum plano entre o observador (no infinito) e a aresta a ser projetada. Por´em na proje¸c˜ao vertical nem todas as arestas ficam vis´ıveis. As arestas que delimitam o contorno da proje¸c˜ao ou do objeto s˜ao sempre vis´ıveis.
Observe a aresta (BV) na proje¸c˜ao vertical. Quando fazemos a proje¸c˜ao vertical, ´e como se estiv´essemos observando a pirˆamide “de frente”, com o plano (π0) atr´as
da pirˆamide. Desse modo, a face (VDC) fica na frente ou “esconde” a aresta (BV), que est´a atr´as da pirˆamide, pr´oxima ao plano (π0). Quando isso ocorre diz-se que a
aresta encontra-se invis´ıvel e ´e representada por uma linha tracejada.
Note que as arestas (AB) e(BC) na proje¸c˜ao vertical, tamb´em s˜ao invis´ıveis. Por´em, neste caso, como as arestas da base est˜ao em um mesmo plano horizontal, as aresta (AD) e (DC) – que s˜ao vis´ıveis – se sobrep˜oem `as outras duas. Quando ocorre sobreposi¸c˜ao de arestas vis´ıveis com invis´ıveis, representa-se apenas as vis´ıveis, sem preju´ızo de entendimento na ´epura.
Um octaedro irregular, que pode ser visto na figura 1.8 como duas pirˆamides unidas, pode ter proje¸c˜ao horizontal igual `a da figura 1.7. Isto ocorre pois as arestas da parte superior possuem proje¸c˜oes horizontais que se sobrep˜oem `as das arestas inferiores. Por´em quando observamos a proje¸c˜ao vertical do octaedro n˜ao h´a d´uvidas sobre o seu formato, pois vemos que existe a parte superior e inferior.
Na figura 1.9 temos um prisma reto de base pentagonal (prisma regular) apoiado no plano (π):
Na figura 1.10 ´e s˜ao mostradas a ´epura e a visualiza¸c˜ao espacial de um prisma obl´ıquo de base hexagonal regular (a base ´e regular – o prisma ´e irregular).
1.6
Se¸c˜
oes Planas de Poliedros
A interse¸c˜ao de um plano com um poliedro gera uma figura plana, denominada se¸c˜ao do poliedro. Essa se¸c˜ao pode ser obtida se realizarmos a interse¸c˜ao de cada aresta do poliedro com o plano secante. Ou ent˜ao, se realizarmos a interse¸c˜ao de cada plano das faces com o plano secante. A segunda op¸c˜ao ´e geralmente mais trabalhosa, pois exige a determina¸c˜ao dos tra¸cos de cada plano que forma a face do poliedro e sua interse¸c˜ao com o plano secante.
A interse¸c˜ao de cada aresta com o plano secante, geralmente torna a obten¸c˜ao da se¸c˜ao mais simples, dependendo do tipo de plano secante e da posi¸c˜ao da aresta.
Figura 1.8: Representa¸c˜ao de um octaedro irregular em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Figura 1.9: Representa¸c˜ao de um prisma reto em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente
Um exemplo pode ser observado na figura 1.11. Nessa figura uma pirˆamide apoiada no plano (π) ´e cortada por um plano de tˆopo (α), gerando a se¸c˜ao. Como o plano ´e perpendicular `a (π0), as proje¸c˜oes da interse¸c˜ao ´e facilmente obtida na
Figura 1.10: Representa¸c˜ao de um prisma reto em ´epura: (a) visualiza¸c˜ao espacial e (b) ´epura correspondente